NOTAS DE AULAS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARA A DISCIPLINA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

NOTAS DE AULAS E EXERCÍCIOS

RESOLVIDOS PARA A DISCIPLINA DE

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Prof. Dr. Leandro Blass

Prof. Dr. Anderson Bihain

Equações Diferenciais

1.1Introdução

Muitas vezes em física, engenharia e outros ramos técnicos, há necessidade de encontrar uma função incógnita. Em muitos casos esta pesquisa leva a uma equação envolvendo derivadas (ou diferenciais) da função incógnita. Tais equações envolvendo derivadas (ou diferenciais) são chamadas equações diferenciais, em que a incógnita não é um número, mas uma função. Simbolicamente, uma equação diferencial pode ser escrita como:

F(x, y, y’ , y ’’, ... , y (n)_{) = 0}

ou

F(x, y, dx dy

,

2 2

dx y d

, ...,

n n

dx y d

) = 0.

Se a função incógnita depende apenas de uma variável, temos uma equação diferencial ordinária. Se depender de mais de uma variável, temos uma equação diferencial parcial.

A ordem de uma equação diferencial é o número n que corresponde à ordem máxima das derivadas da equação.

O grau de uma equação diferencialé a maior potência da derivada de maior ordem. Exemplos: Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais.

(a) 7 0

3

2 2

        

dx dy dx dy

dx y d

(b) 3 0

2

        

y dx dy dx

dy

A Equação (a) é uma equação diferencial de primeiro grau de ordem 2 porque d2y/dx2 é a derivada de maior ordem na equação e está elevada à primeira potência. Notar que a terceira potência de dy/dx não tem influência no grau da Equação (a) porque dy/dx é de menor ordem que d2y/dx2.

A Equação (b), por outro lado, é uma equação diferencial de segundo grau e primeira ordem; dy/dx é a derivada de maior ordem (ordem 1) e 2 é a maior potência de dy/dx aparecendo na equação.

Uma solução deuma equação diferencial é uma função y = f (x) a qual, juntamente com as suas derivadas, satisfaz a equação diferencial dada.

Exemplos:

(a) Verificar que y = 4.e-x + 5 é uma solução da equação diferencial de segunda ordem e primeiro grau ₂ 0.

2   dx dy dx y d

Observando que x e dx

dy _ 

.

4 e _e x dx

y

d _ 

. 4

2 2

e substituindo na equação diferencial dada, temos:

4.e-x + (– 4.e-x) = 0 0 = 0 é solução.

(b) Verificar que y = _x

x e C e C . 1 . 1  

é uma solução da equação diferencial de primeira ordem

e primeiro grau ( 1) 2

1 2 

 y

dx dy

.

A primeira derivada da equação dada é





2

. 1 . . 2 x x e C e C dx dy 

 . Substituindo este resultado na

equação diferencial dada, temos:





2

. 1 . . 2 x x e C e C  =









_         1 . 1 . 1 2 1 2 2 x x e C e C =



 







_            2 2 2 2 2 . 1 . . 2 1 . . 2 1 2 1 x x x x x e C e C e C e C e C =





_       2 . 1 . . 4 2 1 x x e C e C





2

. 1 . . 2 x x e C e C  .

A solução y = 4.e-x + 5 no Exemplo (a) acima é um exemplo de uma solução particular de uma equação diferencial. Podemos verificar que y = 4.e-x _{+ 3 é também uma solução} particular da equação diferencial no exemplo (a). Deste modo, uma equação diferencial pode ter mais do que uma solução particular.

arbitrárias é chamada uma solução geral. Assim, a solução y = _x

x

e C

e C

. 1

. 1

 

no Exemplo (b) ou y = 4.e-x + C no Exemplo (a) é um exemplo de uma solução geral.

Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial de primeira ordem representa uma família de curvas conhecidas como curvas-solução uma para cada valor da constante arbitrária.

Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas certas condições iniciais. Uma condição inicial de uma equação diferencial é uma condição que especifica um valor particular de y, y0, correspondente a um valor particular de x, x0. Isto é, se y = f(x) pode ser uma solução da equação diferencial, então a função deve satisfazer a condição: y0 = f(x0). O problema de ser dada uma equação diferencial com condições iniciais é chamado um problema de valor inicial.

Um estudo completo de equações diferenciais incluiria um estudo de equações diferenciais de todos os graus e equações diferenciais parciais e ordinárias. Limitamos deste modo as nossas considerações às equações diferenciais ordinárias do primeiro grau.

Exemplos:

(a) Verificar que y = C1.cosx + C2.senx é uma solução geral da equação diferencial y’’ + y = 0. Primeiro, determinar as derivadas da função dada:

y' = - C1.senx + C2..cosx y’’= - C1.cosx - C2..senx Substituindo na equação diferencial, temos:

y’’ + y = 0

- C1.cosx - C2..senx + ( C1.cosx + C2..senx) = 0 - C1.cosx - C2..senx + C1.cosx + C2..senx = 0 _{0 = 0}

Portanto, y = C1.cosx + C2..senx é uma solução geral da equação diferencial dada com duas constantes arbitrárias distintas.

(b) Mostre que y = C.e-2x é uma solução para a equação diferencial y’ + 2y = 0 e encontre a solução particular determinada pela condição inicial y(0) = 3.

Sabemos que y = C.e-2x é solução porque y’ = - 2.C.e-2x e y’ + 2y = - 2.C.e-2x + 2.( C.e-2x ) = 0.

y = C.e-2x  _{3 = C e}-2.0  _{C = 3}

e concluímos que a solução particular é y = 3.e-2x _.

1.2Classificação das Equações Diferenciais de 1ª Ordem Equação diferencial de primeira ordem é da forma:

) , (x y f dy dy



Se g(x) é uma função continua dada, então a equação de primeira ordem

) (x g dx dy



Pode ser resolvida por integração. A solução é y



g(x)dxc

Existem numerosos métodos desenvolvidos para resolver equações diferenciais ordinárias. Veremos de perto vários destes métodos. Certas equações diferenciais de primeira ordem podem ser mais facilmente resolvidas usando o método de separação de variáveis.

Uma equação diferencial de primeira ordem é uma relação envolvendo a primeira derivada. Isto é, pode ser escrita na forma:

0 )

, ( ) ,

(  

dx dy y x N y x M

ou (multiplicando ambos os membros pela diferencial dx, onde dx  0)

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

onde M(x,y) e N(x,y) são funções envolvendo as variáveis x e y. Para esse tipo de equação, pode-se juntar todos os termos contendo x com dx e todos os termos contendo y com dy, obtendo-pode-se uma solução através de integração. Tais equações são ditas separáveis, e o método de solução é o método de separação de variáveis. O método é descrito a seguir.

* Método de Separação de Variáveis

1. Coloque a equação na forma diferencial

M(x)dx + N(y)dy = 0 ou M(x)dx = - N(y)dy

2. Integre para obter a solução geral



M(x)dx



N(y)dyC.

Exemplo 01: Reescreva a equação diferencial de primeiro grau x2yy’ – _2xy3 _{= 0 na forma da} Equação geral das separações de variáveis.

x2yy’ – 2xy3 = 0 0 2 3

2 _{ xy }

dx dy y x

x2 _ydy – _2xy3_{dx= 0 (multiplicando cada membro por dx)}

-2xy3_{dx+ x}2 _{ydy = 0 (multiplicando cada membro por 1/x}2_y3₎ ou

0 dy y

1 dx x 2

2 

 

Neste exemplo, M(x) = - 2/x e N(y) = 1/y2. Por multiplicações e divisões apropriadas separamos a equação em termos onde cada um envolve apenas uma variável e a sua diferencial. Assim sendo, a solução geral pode ser obtida por integração de cada termo.

Exemplo 2: Determinar a solução geral da equação diferencial x2yy’ – 2xy3 = 0.

No Exemplo 1 determinamos que x2yy’ – _2xy3 _{= 0 pode ser escrita como}

0 dy y

1 dx x 2

2 

 

dx x 2 dy y

1

2 

Integrando cada membro da equação, temos:





 dx

x dy y

2 1

2

C 2lnx y 1

-  

ou

1 + 2ylnx + Cy = 0.

Nota 1: Quando a solução de uma equação diferencial envolver a integração de um termo na

forma u du

, escrevemos agora u C u

du

 



ln em vez de u C

u du

 



ln . Estamos agora percebendo que a solução é válida apenas quando u é positivo. Lembrar também de incluir a

constante de integração C.

Nota 2: Algumas regras para logaritmo na base e (e  2,718....).

Sendo a > 0 e b > 0 e IR, então temos as seguintes propriedades:

P1) ln(a . b) = lna + lnb P3) ln(a) = .lna P2) ln(a : b) = lna - lnb P4) elna

= a

Exemplo 3: Resolver a equação diferencial

1 '

2 _



x y

y .

Tornando a escrever, temos:

1

2_



x y dx dy

dx x

y dy

1

2_

 (multiplicar cada membro por dx)

1

2_



x dx y

dy

(multiplicar cada membro por 1/y)





 _

1

2 x

dx y

dy

lny = arctg x + C

y = earctgx +C

y = k.e arctgx, onde k = eC

Exemplo 4: Resolver a equação diferencial x(1 + y2₎ – _{y(1 + x}2)y’= 0.

Tornando a escrever, temos:

   

1 2  1 2 0 dx dy x y y x

   

1 y2 dx y1x2 dy0

x

0 1

1 2 2

 



 y dy

y dx x x

ou

dy y y dx x x

2

2 ₁

1 

 





 _

 y dy

y dx

x x

2

2 ₁

1

C y

x   

 ln(1 )

2 1 ) 1 ln( 2

1 _{2 2}

ou

C y x

  

) 1 1 ln( 2 1

2 2

.

k y

x

ln 2 1 ) 1 1 ln( 2 1

2 2

  

ou k

y x

  

) 1 1 (

2 2

ou (1x2)k(1 y2)

ou x21kky2 0

Esta última equação é mais fácil de trabalhar porque já não envolve logaritmos naturais.

As equações C y x

  

) 1 1 ln( 2 1

2 2

e x21kky2 0são equivalentes. Elas diferem apenas na

forma da constante de integração. Praticando nos exercícios você ganhará experiência na escolha da forma mais apropriada para esta constante arbitrária.

Exemplo 5: Resolver a equação diferencial y’ – 2x = 0 sujeita à condição inicial de que y = 1 quando x = 2, ou seja, y(2) = 1.

A solução geral é:

y = x2 + C Substituindo y = 1 e x = 2, temos:

1 = (2)2 _{+ C}  _{1 = 4 + C}  _{- 3 = C}

Portanto, a solução particular é

y = x2– 3

Exemplo 6: Resolver a equação diferencial y + xy’ = 0 sujeita à condição inicial de que y = 2 quando x = 3, ou seja, y(3) = 2.

Tornando a escrever, temos:

0

 

dx dy x y

0

 

y dy x dx

ou

y dy x

dx _







y dy x

dx

lnx = - lny + C lnx + lny = C

ln

ln

,

xy C

xy C

ou

e e

C xy



 

Substituindo y = 2 quando x = 3, temos

3.2 = C  6 = C

Portanto, a solução particular desejada é: xy = 6 ou y = 6/x. Exemplo 7:



y2



dyexdx é uma equação de variáveis separáveis Solução:

Por integração dos dois lados:



y



dy



exdxc



2





c e y _ x _

2 2 2

Esta é a solução da equação diferencial.

Exemplo 8: Considere a seguinte Edo



1 y2



dxxydy0 Solução:



1y2



dxxydy

Em seguida tenta-se colocar todas as funções de x do lado de dx e todas as funções de y do lado de dy: dy y y x dx 2 1   integrando: c dy y y x dx _   





2

1  y dy c

y

x 

 





₂

1 2 2 1

ln 

 x ln1 y2 c

2 1

ln  lnxln 1 y2 c 

 1 2

1

C y

x  

Esta é a solução da equação.

Exemplo 9: Considere a seguinte EDO:



1 '



1



y

e y  1 1

       dx dy

e y  ey

dx dy   1 1   y e dx

dy _





dx e

dy y 1  dx

e dy e y y     1 c dx e dy e y y   





 

1  e x c

y _{ }

 

1

ln 1ey  Aex

y x

e Ae  



1  ln



1Aex



y  yln



1Aex



Algumas equações que não são separáveis podem vir a sê-lo mediante uma mudança de variáveis. Isso funciona para equações da forma y’ = f(x,y), onde f é uma função homogênia.

Definição 1.2.2 Função Homogênea

Se uma função f satisfaz

f(tx,ty) = tn f(x,y)

para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.

Exemplos: Determinar de as funções (1) e (2) são homogéneas: (1) f(x,y) = x2– _{3xy + 5y}2

f(tx,ty) = (tx)2– _{3(tx)(ty) + 5(ty)}2 = t2x2– 3t2 xy + 5t2y2

= t2[x2– 3xy + 5y2] = t2 f(x,y)  função homogênea de grau dois.

(2) f(x,y) = x3 _{+ y}3 _{+ 1.}

f(tx,ty) = (tx)3 + (ty)3 + 1  t3 f(x,y) pois

t3_{.f(x,y) = t}3_x3 _{+ t}3_y3 _{+ t}3 _{função não é homogênea.}

OBS: Muitas vezes uma função homogênea pode ser reconhecida examinando o grau de cada termo.

Exemplos: Identificando pelo grau da função: (1) f(x,y) = 6xy3– _x2_y2

   A função é homogênea de grau quatro. grau 4 grau 4

   A função não é homogênea, pois os graus dos dois termos são diferentes

grau 2 grau 1

Definição 1.2.2 Equação Homogênea

Uma equação diferencial da forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

é chamada homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau.

Resolução de uma equação homogénea: uma equação homogénea resolve-se com base

na mudança de variável x y

u , substituindo-se a função u pela função y. Para isso determina-se

dx dy

. Como y ux, u dx du x dx dy



 . A equação f(x,y) dx

dy

 transforma-se na equação seguinte:

) , (x y f u dx du

x   . A partir daqui a resolução depende da função f(x,y) pelo que se ilustra o método com exemplos.

Para resolver uma equação diferencial homogênea pelo método de separação de variável, basta fazer a mudança de variáveis dada pelo Teorema a seguir.

Teorema Mudança de Variáveis para Equações Homogêneas

Se M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é homogênea, então ela pode ser transformada em uma equação diferencial cujas variáveis são separáveis pela mudança de variável y = v.x onde v é uma função diferenciável de x e dy/dx = v + x dv/dx.

OBS: São válidas também as substituições x = y.v e dx = y dv + v dy. Exemplo 1: Resolva a seguinte edo: (x2 + y2)dx + (x2– xy)dy = 0.

Solução: Como M(x,y) e N(x,y) são funções homogêneas de grau dois, tomamos y = v.x para obter dy = v dx + x dv. Então, substituindo, temos:

(x2+ v2x2)dx + (x2– vx2)vdx +(x2– vx2)xdv = 0

x2(1+ v2 + v – v2)dx + x3 (1 – v)dv = 0

x2_{(1 + v)dx + x}3 ₍₁ – _{v)dv = 0}  _{(dividindo por x}2₎ (1 + v)dx + x(1 – v)dv = 0

0 x dx dv v 1

v

1 _{ }

 

0

x dx dv v 1

2

1 _  

 

 

  (utilizamos frações parciais)

Depois de integrar a última linha, obtemos:

-v + 2 ln1 + v+ lnx= lnc

lnx lnc

x y 1 2ln x

y_{   }



.  (substituindo v)

Usando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a solução precedente como:





x y cx

y x ln

2

 

.

A definição de um logaritmo implica:





x

y

cxe

 _y 2

x .

Exemplo 2:

x y x

y dx

dy 2

cos

 

u dx du x dx

dy _{ }

u u

u dx du

x   cos2  u

dx du

x cos2 

x dx

u du







 x dx u du 2

cos  cotg

 

u ln(x)k x x k y

g  

     ) ln( cot

Exemplo 3: 2x2y' x2  y2

2 2 2 2 1 x y dx dy   u dx du x dx

dy _{ }

2 2 1 u2 u

dx du

x    



u u



dx du

x 1 2

2

1 _ 2 _

 







  x dx u u du 2 1 2 1 2 0 2

1u2  u  1 2

4 4 2  _



u





2

2

1 2

1u  u u





1 1 1

2

1 2  



 2  



_udu _{u u}du _u

k x

u  

 ln 2 1 1 1 _ k x x y y x

y _    

 ln

1 1

 A x

x y y          exp

1.2.3 Equações Diferenciais Exatas

Embora a equação,

y dx + x dy = 0

seja separável e homogênea, podemos ver que ela é também equivalente à diferencial do produto de x e y; isto é

y dx + x dy = d(xy) = 0.

então sua diferencial total é:

dy

y f dx x f dz

    

 (1)

Agora, se f(x,y) = c, segue-se de (1) que:

dy 0 y f dx x f

     

(2)

Em outras palavras, dada uma família de curvas f(x,y) = c, podemos gerar uma equação diferencial de primeira ordem, calculando a diferencial total.

Exemplo 1: Se x2– 5xy + y3 = c, então por (2)

(2x –5y)dx + (-5x +3y2_{)dy = 0 ou}

2

3y 5x

2x 5y dx

dy

 



 .

Para nossos propósitos, é mais importante inverter o problema, isto é, dada uma equação como

2

3y 5x

2x 5y dx

dy

 



 , (3)

podemos identificar a equação como sendo equivalente a d(x2– 5xy + y3) = 0? Obs: ote que a equação (3) não é separável nem homogênea.

Definição 1.2.3 Equação Exata

Uma equação diferencial

M(x,y)dx + N(x,y)dy

é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f(x,y). Uma equação diferencial da forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata, ou seja, se existir uma função f(x,y) com derivadas parciais contínuas e tais que fx(x,y) = M(x,y) e

Exemplo 2: A equação x2y3 dx + x3y2 dy = 0 é exata, pois: d(

3 1

x3y3) = x2y3 dx + x3y2 dy.

O teorema seguinte é um teste para uma diferencial exata. Teorema Critério para uma Diferencial Exata

Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região R definida a < x < b, c < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente para que

M(x,y)dx + N(x,y)dy

seja uma diferencial exata é

x N y M

    

. (4)

MÉTODO DE SOLUÇÃO

Dada a equação

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (5) Mostre primeiro que

x N y M

    

. Depois suponha que

 

x y M x f

,

  

daí podemos encontrar f integrando M(x,y) com relação a x, considerando y constante.

f(x,y) =



M(x,y)dxg

 

y , (6) em que a função arbitrária g(y) é a constante de integração. Agora, derivando (6) com relação a y e supondo f/y = N(x,y):

  

y

f

_{ }





 

y g dx y x M

y ( , ) ' =N

 

x,y . Assim,

g’(y) = N(x,y) -



 

dx y x M

y ( , ) . (7) Finalmente, integre (7) com relação a y e substitua o resultado em (6). A solução para a equação é f(x,y) = c.

OBS: Poderíamos começar o procedimento acima com a suposição de que N

 

x y y

f

,

  

. Exemplo 3: Resolva a EDO exata: 2xy dx + (x2– _{1) dy = 0.}

Solução: Como M(x,y) = 2xy e N(x,y) = x2– _{1, temos}

x N y M

    

= 2x.

Logo, a equação é exata e, pelo Teorema anterior, existe uma função f(x,y), tal que

  

x f

2xy e 

 

y f

x2– _1. Da primeira dessas equações, obtemos, depois de integrar,

f(x,y) = x2y + g(y).

Derivando a última expressão com relação à y e igualando o resultado a N(x, y), temos

  

y f

x2+ g’(y) = x2– 1. Segue-se que

g’(y) = – 1 e g(y) = - y.

x2y – y = c.

OBS: Observe que a equação poderia também ser resolvida por separação de variáveis.

Exemplo 4: Resolva o problema de valor inicial:

(cosx senx – xy2_{) dx + y.(1 - x}2_{) dy = 0,} y (0) = 2.

Solução: A equação é exata, pois

x N y M

    

= - 2xy. Agora,

  

y f

y.(1 - x2₎

f(x,y) = 2 y2

(1 - x2) + h(x).

  

x f

- xy2+ h’(x) = cosx senx – _xy2_. A última equação implica

h’(x) = cosx.senx

h(x) = cos . 2

1 -dx

cosx.senx  2x



(Método da Substituição)

Logo, 2 y2

(1 - x2) cos2x 2 1

- = c1 ou

y2 (1 – x2) – cos2x = c,

y2 ₍₁ – _x2₎ – _cos2_{x = 3.}

FATORES INTEGRANTES

Algumas vezes, é possível converter uma equação diferencial não exata em uma equação exata multiplicando-a por uma função (x,y) chamada fator de integração. Porém, a equação exata resultante:

 M(x,y) dx +  N(x,y) dy = 0

pode não ser equivalente à original no sentido de que a solução para uma é também a solução para a outra. A multiplicação pode ocasionar perdas ou ganhos de soluções.

Exemplo 1: Se a equação diferencial,

2y dx + x dy = 0 (Não é uma equação exata)

for multiplicada pelo fator integrante (x,y) = x, a equação resultante

2xy dx + x2 _{dy = 0 (Equação exata)}

é exata, ou seja, x x N y M

2      

.

Pode ser difícil encontrar um fator integrante. No entanto, existem duas classes de equações diferenciais cujos fatores integrantes podem ser encontrados de maneira rotineira - aquelas que possuem fatores integrantes que são funções que dependem apenas de x ou apenas de y. O Teorema a seguir, que enunciaremos sem demonstração, fornece um roteiro para encontrar esses dois tipos especiais de fatores integrantes.

Teorema Fatores Integrantes

Considere a equação diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. 1. Se

y) N(x,

1

é uma função só de x, então eh(x)dx é um fator integrante. 2. Se

y) M(x,

1

[ Nx(x,y) - My(x,y)] = k(y)

é uma função só de y, então ek(y)dy é um fator integrante.

Exemplo 2: Encontre a solução geral da equação diferencial (y2– _{x) dx + 2y dy = 0.} Solução: A equação dada não é exata, pois My(x,y) = 2y e Nx(x,y) = 0. Entretanto, como

y) N(x,

1

[My(x,y) – Nx(x,y)] = y 2

1

[2y – 0] = 1 = x0 = h(x)

temos que eh(x)dx= e1dx exé um fator integrante. Multiplicando a equação dada por ex, obtemos a equação diferencial exata.

(y2ex– x ex) dx + 2yex dy = 0 cuja solução é obtida da seguinte maneira:

f(x,y) =



N(x,y)dy



2yexdyy2ex g(x)

f ’(x,y) = y2ex g'(x)= y2ex– x ex

) (

' _x

g = – x ex (integração por partes)

Logo, g(x) = – x ex _{+ e}x _{, o que implica na solução geral y}2_ex – _{x e}x _{+ e}x _{= c.}

OBS: Um outro fator integrante é:

y)

y.N(x,

-y)

x.M(x,

1

)

,

(

x

y





(*)

Exemplo 3: Resolva y’ = x

y xy2 

.

Solução: Escrevendo a equação sob forma diferencial, temos

x y xy 

 2

dx dy

(xy2– y)dx – xdy = 0

y.(xy – 1)dx – x.(1)dy = 0 (multiplicando por – 1)

y.(1 - xy)dx + x.(1)dy = 0 (1)

De acordo com (*), temos:

(x,y) =







y.1-xy

 

-y.x.(1)



x.

1

=

yx -x -x.y

1

2 2_y

=

2 2

x

-1

y =

2

) (x

1

y



Multiplicando (1) por (x,y), obtemos:

2

) (x

1

y

 .[y.(1 - xy)dx + x.(1)dy] = 0,

ou seja,





0 1

1

2

2  



que é exata. Aplicando o método de resolução de equação exata, chegamos à solução y = -1/(x.lncx)

1.2.4 Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem

Definimos a forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n como,

 

 

 

a

 

x y g(x)

dx d a dx

d a

dx d x

a _{1 0}

1 -n

1 -n 1 -n n n

n     

y x y

x y

 .

Lembre-se de que linearidade significa que todos os coeficientes são funções de x somente e que y e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência. Agora, quando n = 1, obtemos uma equação linear de primeira ordem.

Definição 1.2.4 Equação Linear

Uma equação diferencial da forma

 

a

 

x y g(x) dx

d

a₁ x y  ₀  é chamada de equação linear.

Dividindo pelo coeficiente a1(x), obtemos uma forma mais útil de uma equação linear:

 

. ( )

dy

P x y Q x

dx  . (1) Caso, Q x

 

0 é dita homogênea. Iremos trabalhar com os dois casos: linear homogênea e não homogênea.

Procuramos uma solução para (1) em um intervalo I no qual as funções P(x) e Q(x) são contínuas. Na discussão a seguir, supomos que (1) possui uma solução.Usando diferenciais, podemos escrever a equação (1) como:

dy + [P(x).y - Q(x)]dx = 0 (2)

(x)dy + (x)[P(x).y - Q(x)]dx = 0 (3)

é uma equação diferencial exata. Pelo Teorema (Critério para uma Diferencial Exata), o lado esquerdo da equação (3) é uma diferencial exata se

x

 

(x)dy = y

 

(x)[P(x).y - Q(x)]dx (4)

ou

P(x) dx

dμ _ .

Esta é uma equação separável em que podemos determinar (x). Temos

P(x)dx d _

 

ln 



P(x)dx (5) assim



 P(x)dx

) (x e

 . (6)

Assim a função (x) definida em (6) é um fator de integração para a equação linear. Note que não precisamos usar uma constante de integração em (5), pois (3) não se altera se a multiplicarmos por uma constante. Ainda, (x)  0 para todo x em I, e é contínua e diferenciável.

Multiplicando a equação (1) por (6), obtemos:

P(x)dx

e e P

 

x y e Q(x)

dx

dy _ P(x)dx _ P(x)dx



. P(x)dx



 ( ). P(x)dx dx

d

e x Q e

y (integrando ambos os lados)

C dx e

x Q e

Assim sendo a solução geral é dada por



Q x e dx C



e

y P(x)dx



( ). P(x)dx  . (7)

Método de resolução para linear homogênea: - Colocar a Edo linear na forma padrão (1);

- Identificar P(x) e então encontrar o fator integrante eP x dx  ;

- Multiplique a forma padrão pelo fator integrante. O lado esquerdo resultante é automaticamente a derivada do produto do fator integrante por y;

   

_{ }

P x dx P x dx d

e y e f x

dx

  _ 

 

 

- Integre ambos os lados desta última equação.

Ex1: Resolvendo a ED de primeira ordem homogênea dy 3y 0 dx 

ln 3

3

3 0 3

3 3

ln 3 y x c

x

dy dy

y y Separando

dx dx

dy dy

dx Integrando dx

y y

y x c e e onde

y ce



     

   

    







usando o fator

integrante

 3 ₃

3 3 3

3

3 3

3 0 0

0

dx _x

x x x

x

x x

e e Multiplicando a ED

dy d

e e y e y

dx dx

d

Integrando e y dx e y c y ce

 _

  





 _{ }

 

   _{ }

  

 

  





Teorema Solução de uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem não homogênea

Um fator integrante para a equação diferencial linear de primeira ordem y’ + P(x).y = Q(x) é (x)eP(x)dx. A solução da equação diferencial é



Q x e dx C



e

Exemplo: Encontre a solução geral de dy 3y 6 dx  .

  3

3 3 3 3 3

3 3

3 3

3

.int

3 6 6

6 2

: 2

P x dx _x

x x x x x

x x

x x

x

F egrante e e Multilplicando a ED

dy d

e e y e e y e

dx dx

d

Integrando e y e dx

e y e c

Solução y ce



    

 

 



  

 

   _{ }

  

 

  

  





Exemplo Encontre a solução geral de 4y x6ex dx

dy

x   .

Solução Escreva a equação como

x 5_e

x y 4 dx

dy_{ }

x (dividindo por x) (8)

Como P(x) = -4/x, o fator integrante é    

dx x 4 -P(x)dx

)

(x e e

 = e-4 lnx = x –4.

Aqui, usamos a identidade básica blogbN = N, N > 0. Agora, multiplicamos (8) por este termo

x –4. 4 y x. 4x5ex x

4 x. dx

dy_  _ 

x –4. 4x. 5y xex dx

dy_  _{ (9)}

e obtemos

 

_x. 4_{.y xe}x

dx

d  _{ . (10)}

Segue-se da integração por partes que

x –4y = xex– ex + c ou

EQUAÇÕES DE BERNOULLI

A equação diferencial

 

_{x.y Q(x).y}n

P dx

dy _{ }

(1)

em que n é um número real qualquer, é chamada de equação de Bernoulli. Para n = 0 e n = 1, a equação (1) é linear em y. Agora, se y  0, (1) pode ser escrita como

 

x .y Q(x) P

dx d

y-n y  1-n  . (2)

Se fizermos w = y1 – n_{, n}  _{0, n}  _{1, temos}





dx dy y n 1 dx

dw _{ } n _.

Com essa substituição, (2) transforma-se na equação linear

 

x .w (1 n).Q(x) n).P

(1 dx

dw_{   }

. (3)

Resolvendo (3) e depois fazendo y1 – n = w, obtemos uma solução para (1), ou seja,



n

Q

x

e

dx

C



e

y

n











 

 (1-n).P(x)dx (1-n).P(x)dx 1

).

(

).

1

(

.

Exemplo Resolva 1 y xy2. x

dx

dy_{ }

Solução

Em (1), identificamos P(x) = 1/x, Q(x) = x e n = 2. Logo, a mudança de variável w = y1-2 = y –1 e

dx dy dx

dw _{ 2}

x. w x 1 dx

dw_{ }

(*)

O fator de integração para essa equação linear é ln 1

1

 



 



x e

e x

dx

x _.

Multiplicando ambos os lados de (*) pelo seu fator integrante x –1, obtemos:

x w

x 1 dx

dw 1 1

1  

 _{x  x}

x

ou

1 w dx

dw 2

1 _  _

 _x

x

assim

 

. 1

dx

d _x1_{w  .}

Integrando essa última forma, obtemos:

x -1 w = - x + c ou w = - x2 + cx.

Referências Básicas

BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 8. ed. LTC, 2006.

KREYSZIG, E., Matemática Superior, Vol. I e II, LTC Editora. ZILL, D.G., Equações Diferenciais, Vol.I e II, Ed. Makron, 2001.

Referências Complementares

BUTKOV, E., Física Matemática, LTC Editora, 1988.

CHURCHILL, R.V., Fourier Series and Boundary Value Problems, 2a. ed., Ed. McGraw-Hill, 1963. DAVIS, H.F., Fourier Series and Orthogonal Functions, Dover, 1963.

GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo.5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997.V.4.

HILL, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. Thomson Learning. KAPLAN, W. Cálculo Avançado. Edgard Blucher, 1972. v. 2.