Lista3deEq.Diferenciais

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LISTA 3 DE EXERCÍCIOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Prof. Rodrigo Neves

1) Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.

. y’’ – y’ – 14y = 0

. y’’ – y’ – 8y = 0

. y’’ – y = 0

. y’’ – y’ =

. y’’ – y’ + y =

06_{. y’’ –} _{y’ + y =}

. y’’ – y’ + y = . y’’ – y’ + y =

. y’’- _{y’ + y =}

. y’’ – y’ + y =

. y’’– y’ + y = . y’’ + y =

. y’’ =

2) Determinar a solução particular de cada uma das seguintes equações diferenciais sujeitas às condições dadas.

. y’’ – y’ = ; y = e y’ =

. y’’ –y’ – y = ; y = e y’ =

. y’’ – y’ + y = ; y = e y’ = . y’’ – y’ + y = ; y = e y’ = . y’’ + y = ; y = e y’ = . y’’ – y’ + y = ; y = e y’ =

Respostas 1 e 2:

1. y = C1 e7x + C2 e-2x 2. y = C1 e4x + C2 e-2x

3. y = C1 ex + C2 e-x 4. y = C1 + C2 e3x

5. y = C1 e3x/2 + C2 e5x 6. y = C1 e2x + C2 ex/3

7. y = C1 e2x + C2 xe2x 8. y = C1 e2x cosx + C2 e2x senx

9. y = C1 ex/2 + C2 x.ex/2 10. y = C1 e2x cos3x + C2 e2x sen3x

11. y = C1e5x + C2 xe5x 12. y = C1 cos3x + C2 sen3x

13. y = C1 + C2 .x 14. y = 2 + e4x

15. y = e2x_{+ e}-x _{16. y = -5e}5x_{+ 9e}3x

17. y = 2e3x_–_2xe3x _{18. y = 2cos5x}

(2)

2

3) Re_{solva as seguintes EDO’s lineares de ª ordem com coeficientes constantes,} fornecendo a solução geral explicitamente na forma real

a) y2 y8y0

b) y4y0

c) y4y0

d) 25y20y4y0

e) y__2ay__a2y_0

para a real

4) Determine a forma de uma solução particular por coeficientes a determinar:

. y’’ – y’ + y = x3_e-x_–_7e-x

02. y’’ + y = x.cosx

03. y’’ – y’ + y = x2–_{5sen2x + 7xe}7x

5) Encontre a solução geral das seguintes equações: 04. _{y’’ + y’ –} 2y = 2x2_–_{3x + 6}

05. y’’ –y’ + y = sen x

06. y’’ – y’ – 3y = 4x –5 + 6xe2x

07. y’’+ y = x + senx; y  = e y’ ) = 2.

Respostas 4 e 5:

01. yP(x) = (Ax3 + Bx2 + Cx + D).e-x.

02. yP(x) = (Ax + B).cosx + (Cx + D).senx

03. yP(x) = (Ax2 + Bx + C) + Dcos2x + Esen2x + (Fx2 + Gx).e7x

04. y(x) =     x 9.

2 5 x e

. C e

.

C 2 6.x 2 6.x 2

      



05. y(x) =  x

2 3 sen . e . C x 2

3 cos . e .

C x2 x2 .cos3x.

73 6 x 3 sen . 73 16



06. y(x) = C1e3x + C2 .e-x    9 23 x 3

4 2x

e . 3 4 x 2 _ 

_ _

07. y(x) = 9.cosx + 7senx + 4x _– 5xcosx.

(3)

3 . y’’ + y’ = senx

. y’’ –y’ – 2y = 4x

. y’’ – y’ + y = x

04. y’’ – y = x2

. y’’ + y = ex_{- 2} . y’’ – y’ - 4y = 6ex

. y’’ + y = + sen x . y’’ + y’ + y = x + senx

. y’’– y’ - 3y = x2_{+ e}-2x . y’’ - y’ - 3y = ex

. y’’ + y = cosec x

7) Determinar a solução particular de cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições dadas.

. y’’ + y = e2x_{; y} _{= e y’} _{= .} . y’’ + y = ex_{; y} _{= e y’} _{= .}

. y’’ + y’ = senx; y = e y’ = . . y’’ – 4y = 2 _– _{x; y} _{= e y’} _{= .}

Respostas 6 e 7:

01. y(x) = C1 + C2 e-x– senx cosx

2 1



02. y(x) = C1e2x + C2 e-x– 2x + 1.

03. y(x)=

125 2 25

x e .C

Ce5x_ 5x_ _ _.

04. y(x) = C1ex + C2 e-x– x2 - 2.

05. y(x)=

2 1 5 e x 2 Csen x

2 cos . C

x  

 .

06. y(x) = C1e4x + C2 e-x– ex.

07. y(x)= sen3x

8 1 5 senx . C x cos .

C    .

08. y(x)=      

27 2 x 9 1 e . Cx e

.

C 3x 3x

. cos 50

3 sen . 25

2

x

x

09. y(x)=

5 e 27 14 9

x 4 3 x e . C e . C

x 2 2

x x

3 _ 

   

(4)

4

10. y(x) = C1e3x + C2 e-x– ex

4 1

.

11. y(x)= sen3x.lnsen3x

36 1 x 3 cos x 12

1 x 3 sen . C x 3 cos .

C    .

12. y(x) = -2.cosx _– 4. senx + 2.e2x_.

13. y(x)= sen .

2 5 cos 2 1 2 1

x x

ex 

14. y(x)= cos .

2 1 sen 2 1 2

1

1 ex x x

15. y(x) = -

2 1

2 1 ₂

  x

e + 2x + e2x.

8) Ache a solução geral das EDO’s abaixo utilizando o método dos coeficientes indeterminados.

a) y2y ytet 4

b) t

 

-t t

e t e t t

e y y

y3 2  21sen2 3 cos 4

c) y3y2t4 t2e3t sen3t

d)

  

   



 __

t e

t t

y

y _t

se 0 se