Aula 16 Sistemas de medida e Geometria plana. Prof. Arthur Lima. Matemática Financeira e Raciocínio Lógico p/ Auditor de Controle Externo TCM RJ.

Aula 16 – Sistemas de medida e Geometria plana

Matemática Financeira e Raciocínio Lógico p/

Auditor de Controle Externo TCM RJ.

Sumário

SISTEMAS DE MEDIDA E GEOMETRIA PLANA ... 3

SISTEMADEMEDIDAS ... 3

Medidas de comprimento ... 3

Medidas de área ... 5

Medidas de volume ... 6

Medidas de tempo ... 8

Medidas de massa ... 10

ÂNGULOS ... 12

POLÍGONOS ...17

Retângulo... 21

Quadrado ... 23

Trapézio ... 25

Losango ... 27

Paralelogramo ... 28

Triângulo ... 29

Círculo ...37

POSIÇÕESRELATIVASENTREFIGURASPLANAS ... 41

Reta secante e tangente ... 41

Circunferências concêntricas ... 42

Figuras inscritas e circunscritas ... 43

QUESTÕES COMENTADAS PELO PROFESSOR ... 48

LISTA DE QUESTÕES DA AULA ... 113

GABARITO ...143

RESUMO DIRECIONADO ... 144

Sistemas de medida e Geometria plana

Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima.

É com muita alegria que inicio mais essa aula.

Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro:

Geometria plana: distâncias e ângulos, polígonos, circunferência, perímetro e área. Semelhança e relações métricas no triângulo retângulo. Medidas de comprimento área, volume, massa e tempo.

Plano cartesiano: sistema de coordenadas, distância. Unidades de medida.

Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:

SISTEMA DE MEDIDAS

Uma unidade de medida é uma quantidade de uma grandeza física que é usada como um “padrão” para a medida de outras quantidades da mesma grandeza. Por exemplo, o “metro” é uma quantidade específica da grandeza física “comprimento”, sendo utilizado para medir o comprimento de outros corpos. Para cada grandeza física, o Sistema Internacional de Unidades define uma unidade padrão de medida.

Para efetuar os cálculos com medidas de comprimento, área, volume, massa e tempo, você precisa conhecer:

- qual a unidade padrão de medida daquela grandeza no Sistema Internacional de Unidades;

- quais os principais múltiplos e submúltiplos da unidade padrão de medida;

- como converter uma medida de um múltiplo para outro.

Medidas de comprimento

A unidade padrão de medida de comprimento é o metro, representado pela letra m. Um metro é dividido em 10 decímetros, que por sua vez é dividido em 10 centímetros, que por sua vez é dividido em 10 milímetros.

Assim, podemos dizer que 1 metro é dividido em 100centímetros (10x10), ou em 1000milímetros. Por outro

lado, podemos dizer que 1 decímetro é igual a 1

10 metro (0,1 metro), 1 centímetro é igual a 1

100 metro (0,01 metro), e 1 milímetro é equivalente a 0,001 metro.

Por sua vez, 10 metros equivalem a 1 decâmetro. 10 decâmetros equivalem a 1 hectômetro, e 10 hectômetros equivalem a 1 quilômetro. Veja isso na tabela abaixo:

Milímetro (mm)

Centímetro (cm)

Decímetro (dm)

Metro (m) ^Decâmetro

(dam)

Hectômetro (hm)

Quilômetro (km)

1000mm 100cm 10dm 1m ^{0,1dam 0,01hm 0,001km}

Portanto, se tivermos o valor de um comprimento em qualquer dessas unidades, vejamos como obtê-lo em outra unidade. Pela tabela acima, repare que para “andar” para a direita, basta dividir o número por 10 (por ex.: 10dm/10 = 1m). E, para “andar” para a esquerda, basta multiplicar por 10 (por ex.: 0,001km x 10 = 0,01hm).

Guarde isso:

Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros na unidade hectômetros. Veja que precisamos andar 4

“casas” para a direita (passando por dm, m, dam e chegando em hm). Portanto, precisamos dividir por 10 quatro vezes em sequência: 15cm / 10 = 1,5dm

1,5dm / 10 = 0,15m 0,15m / 10 = 0,015dam 0,015dam / 10 = 0,0015hm

Portanto, 15 centímetros equivalem a míseros 0,0015 hectômetros. Da mesma forma, se quiséssemos escrever 15 hectômetros em centímetros, precisaríamos andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaríamos multiplicar o número 15 por 10 quatro vezes seguidas, obtendo a quantia de 150000cm.

Vamos resolver um exercício?

FAURGS – TJ/RS – 2017) Considere um mapa, cuja escala é 1/20.000. Com uma régua colocada nesse mapa, obteve-se a medida 10cm entre as cidades A e B. Portanto, o deslocamento em linha reta, em quilômetros, entre as cidades A e B é de:

(A) 0,02

Multiplicar por 10

Dividir por

10

(B) 0,2 (C) 2 (D) 20 (E) 200

RESOLUÇÃO:

Como a escala é de 1 para 20.000, isto significa que as medidas no “mundo real” são 20.000 vezes maior que no mapa. Como medimos 10cm no mapa, no mundo real teremos:

10 x 20.000 = 200.000cm

A resposta deve ser dada em quilômetros. Portanto, devemos caminhar para a direita na tabela de conversões, dividindo por 10 para chegar em dm, por 10 novamente para chegar em m, por 10 novamente para chegar em dam, por 10 novamente para chegar em hm, e mais uma vez por 10 para chegar em km. Isto é,

200.000cm = 20.000 dm = 2.000 m = 200 dam = 20hm = 2km Resposta: C

Medidas de área

A unidade padrão de medida de área é o metro quadrado, representado pelo símbolo m². Veja a tabela de conversão do metro quadrado em seus múltiplos e submúltiplos:

Milímetro quadrado (mm²)

Centímetro quadrado (cm²)

Decímetro quadrado (dm²)

Metro quadrado (m²)

Decâmetro quadrado

(dam²)

Hectômetro quadrado (hm²)

Quilômetro quadrado (km²)

1.000.000mm² 10.000cm² 100dm² 1m^{2 0,01dam2 0,0001hm2 0,000001km2}

Repare que agora, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 100, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 100, para garantir que obtenhamos a conversão correta. Isto é:

Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros quadrados na unidade hectômetros quadrados.

Precisamos andar 4 “casas” para a direita (passando por dm², m², dam² e chegando em hm²). Portanto, precisamos dividir por 100 quatro vezes em sequência:

Multiplicar por 100

Dividir por

100

15cm² / 100 = 0,15dm² 0,15 dm² / 100 = 0,0015m² 0,0015m² / 100 = 0,000015dam² 0,000015dam² / 100 = 0,00000015hm²

Portanto, 15 centímetros quadrados equivalem a apenas 0,00000015 hectômetros quadrados. Da mesma forma, se quiséssemos escrever 15 hectômetros quadrados em centímetros quadrados, precisaríamos andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaríamos multiplicar o número 15 por 100 quatro vezes seguidas, o que equivale a escrever o número 15 seguido de 8 zeros (4 x 2), obtendo a quantia de 1500000000cm².

Veja essa questão:

VUNESP – CÂMARA SJC– 2018) Um terreno tem 0,50 quilômetro quadrado de área. Em metros quadrados, a área desse terreno corresponde a

(A) 5000000.

(B) 500000.

(C) 50000.

(D) 5000.

(E) 500.

Resolução:

Queremos partir de km² e caminhar para a esquerda em nossa tabela, ou seja, devemos ir multiplicando por 100. Veja que temos que fazer isso 3 vezes, indo para hm², depois dam² e, por fim, m². Portanto, se o terreno tem 0,5 km², para m², devemos multiplicar por 100 x 100 x 100 = 100.000. Logo:

Área = 0,5 x 100.000 = 50.000 m² Resposta: C

Medidas de volume

Já a unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico, representado pelo símbolo m³. Veja a tabela de conversão do metro cúbico em seus múltiplos e submúltiplos:

Milímetro cúbico (mm³)

Centímetro cúbico (cm³)

Decímetro cúbico (dm³)

Metro cúbico (m³)

Decâmetro cúbico (dam³)

Hectômetro cúbico (hm³)

Quilômetro cúbico (km³)

1000000000mm³ 1000000cm³ 1000dm³ 1m^{3 0,001dam3 0,000001hm3} 0,000000001km³

Repare que agora, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 1000, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 1000, para obter a conversão correta.

Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros cúbicos na unidade hectômetros cúbicos. Precisamos andar 4 “casas” para a direita (passando por dm³, m³, dam³ e chegando em hm³). Portanto, precisamos dividir por 1000 quatro vezes em sequência:

15cm³ / 1000 = 0,015dm³ 0,015dm³ / 1000 = 0,000015m³ 0,000015m³ / 1000 = 0,000000015dam³ 0,000000015dam³ / 1000 = 0,000000000015hm³

Portanto, 15 centímetros cúbicos equivalem a apenas 0,000000000015 hectômetros cúbicos. Da mesma forma, se quiséssemos escrever 15 hectômetros cúbicos em centímetros cúbicos, precisaríamos andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaríamos multiplicar o número 15 por 1000 quatro vezes seguidas, o que equivale a escrever o número 15 seguido de 12 zeros (4 x 3), obtendo a quantia de 15.000.000.000.000cm³ (quinze trilhões de centímetros cúbicos).

Para finalizar o estudo de unidades de volume, é importante você conhecer outra unidade muito utilizada:

o litro. Sabendo que 1 litro é igual a 1dm³ (decímetro cúbico), você consegue descobrir outros valores facilmente. Veja que, como 1000dm³ = 1 m³, podemos dizer que 1000 litros = 1m³.

MEMORIZE:

1m

³

= 1.000 litros 1dm

³

= 1 litro

Veja comigo uma questão sobre unidades de volume:

FCC – SABESP – 2018) A vazão é uma grandeza metrológica utilizada para enumerar a quantidade de fluido que passa em um sistema. A vazão volumétrica é definida como sendo a quantidade, em volume, que escoa por meio de uma seção em um intervalo de tempo determinado. É representado pela letra Q, ou por Qv, e expressa pela seguinte equação:

Qv = v/t Onde:

v = volume

Multiplicar por 1000

Dividir por

1000

t = tempo

As unidades de vazão volumétricas comumente mais utilizadas são: m³/s, m³/h, L/h e L/min. A Conversão de L/h para m³/h das vazões 5 L/h e 30 L/h são, respectivamente, em m³/h,

a) 0,0005 e 0,3 b) 0,0005 e 0,003 c) 0,005 e 0,03 d) 0,05 e 0,3 e) 0,5 e 3,0 RESOLUÇÃO:

Sabendo que 1m³ = 1000 L, temos:

1 m³ --- 1000 L V1 m³ --- 5 L

1 x 5 = V1 x 1000 V1 = 5 / 1000 = 0,005 m³

Portanto, 5 L/h correspondem a 0,005 m³/h. Só temos isso na alternativa C, que é o gabarito.

Veja ainda que:

1 m³ --- 1000 L V2 m³ --- 30 L

1 x 30 = V2 x 1000 V2 = 30 / 1000 = 0,03 m³ Assim, 30 L/h correspondem a 0,03m³/h.

Resposta: C

Medidas de tempo

A unidade padrão de medida de tempo é o segundo, representado pelo símbolo s. Aqui não trabalharemos da mesma forma que as demais unidades de medida, pois normalmente não contamos o tempo em múltiplos de 10. De qualquer forma, é importante você conhecer o milissegundo (ms): 1 segundo corresponde a 1000ms.

As principais unidades de tempo que utilizamos, além do segundo, são o minuto, a hora e o dia. Veja-os na tabela abaixo:

Milissegundo (ms)

Segundo (s)

Minuto (min)

Hora (h) Dia

1.000ms = 1s 1s 1 min = 60s 1 h = 60 min 1 dia = 24 h

Note que 1 hora equivale a 3600 segundos (60 x 60). E 1 dia corresponde a 1440 minutos (24 x 60). Para exercitar-nos, vamos escrever 2 horas na unidade segundos. Para isso, podemos utilizar algumas regras de três:

1 hora --- 60 minutos 2 horas --- X minutos

1 2 60

120 minutos X

X

 = 

= Continuando, temos:

1 minuto --- 60 segundos 120 minutos--- Y segundos

1 120 60 7200segundos Y

Y

 = 

=

Veja comigo essa questão:

VUNESP – CBPM/SP – 2018) Um programa analisa a segurança do sistema de dados de um computador em intervalos de tempo constantes. A seguir, são apresentados os horários em que o programa analisou o referido sistema:

14h00m05s; 14h00m23s; 14h00m41s; 14h00m59s; ...

Considerando a primeira análise às 14h00m05s, o número de vezes que o sistema foi analisado até as 15h00m00s foi

(A) 198.

(B) 199.

(C) 200.

(D) 201.

RESOLUÇÃO:

Veja que o intervalo de uma análise para a outra é de 18 segundos. Das 14h00m05s até às 15h passam-se 59m5s. Em segundos, corresponde a: 59 x 60 + 55 = 3595s. Vejamos quantos períodos de 18 segundos temos neste intervalo de tempo:

3595 ÷ 18 = 199 e resto 13

Logo, além da 1ª análise (às 14h00m05s), temos tempo para mais 199 análises completas, totalizando 200 análises.

Resposta: C

Medidas de massa

A unidade padrão de medida de massa é o grama (e não o quilograma!), representado pelo símbolo g.

Veja a tabela de conversão do grama em seus múltiplos e submúltiplos:

Miligrama (mg)

Centigrama (cg)

Decigrama (dg)

Grama (g) Decagrama (dag)

Hectograma (hg)

Quilograma (kg)

1.000mg 100cg 10dg 1g 0,1dag 0,01hg 0,001kg

Assim como no caso das medidas de comprimento, ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 10, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 10, para obter a conversão correta:

Sabendo disso, observe que 15 centigramas corresponderão a 0,0015 hectogramas (basta dividir por 10 quatro vezes seguidas). Da mesma forma, 15 hectogramas corresponderão a 150.000 centigramas (multiplique por 10 quatro vezes seguidas, ou coloque 4 zeros após o 15).

Você já deve ter ouvido falar na tonelada métrica, ou simplesmente tonelada (ton). Uma tonelada equivale a 1.000 quilogramas. Portanto, para obter o valor de 1 tonelada em gramas, basta multiplicar 1.000 por 10 três vezes seguidas (de kg para hg, de hg para dag, e de dag para g), chegando a 1.000.000 gramas.

Trabalhe comigo a questão abaixo:

FGV – BANESTES – 2018) 1 cm³ de gesso tem 1,4 g de massa. A massa de 1 m³ de gesso é:

a) 1,4 kg;

b) 14 kg;

c) 140 kg;

d) 1400 kg;

e) 14000 kg.

Multiplicar por 10

Dividir por

10

RESOLUÇÃO:

Podemos transformar 1m³ para cm³, pois só colocando na mesma unidade é que conseguiremos fazer a nossa comparação. Para isso, devemos partir da unidade m³ e multiplicar por 1000, chegando a dm³, e então multiplicar por 1000 novamente, chegando em cm³. Ou seja,

1m³ = 1 x 1000 x 1000 cm³ = 1.000.000 cm³ Como 1cm³ corresponde a 1,4g, temos:

1cm³ --- 1,4g 1.000.000 cm³ --- N g

1 x N = 1.000.000 x 1,4 N = 1.400.000 g

Para transformar de gramas para kg, basta dividir o valor em gramas por 10, chegando em dag, por 10 novamente, chegando em hg, e por 10 novamente, chegando em kg. Veja:

1.400.000 g = 140.000 dag = 14.000 hg = 1.400 kg Resposta: D

Para fechar, faça mais esta questão de fixação inédita:

Exercício de fixação – Unidades) Efetue as conversões de unidades solicitadas:

a) 5litros para m³ b) 10dam em cm c) 40hm² em km² d) 2 dias em minutos e) 36 horas em dias

f) 150 milissegundos em segundos g) 20 cm³ em m³

h) 15dag em hg Respostas:

a) 5 litros = 5dm³ = (5/1000) m³ = 0,005m³ b) 10dam = 100m = 1.000dm = 10.000cm c) 40hm² = (40/100) km² = 0,40km²

d) 2 dias = 2 x 24 horas = 48 x 60 minutos = 2880minutos

e) 36 horas = (36 / 24) dias = 1,5dias f) 150ms = (150 / 1000)s = 0,150s

g) 20cm³ = (20/1000) dm³ = (0,020 / 1000) cm³ = 0,000020 cm³ h) 15dag = (15/10) hg = 1,5hg

ÂNGULOS

Ângulo é a medida de uma abertura delimitada por duas semi-retas. Veja na figura abaixo o ângulo A, que é a abertura delimitada pelas duas semi-retas desenhadas:

O ponto desenhado acima no encontro entre as duas semi-retas é denominado Vértice do ângulo.

Um ângulo é medido de acordo com a sua abertura. Dizemos que uma abertura completa (isto é, uma volta completa), como a vista na figura abaixo, mede 360 graus (360º):

Assim, aberturas inferiores a uma volta completa medirão valores entre 0 e 360 graus. Veja um exemplo:

A

A

30

^o

O ângulo da figura acima mede 30 graus, que equivale a 1/12 de 360 graus. Portanto, a soma de 12 ângulos iguais a este equivale a uma volta completa (360º). É importante você conhecer alguns ângulos muito comuns.

Como 360^o representam uma volta completa, 180^o representam meia-volta, como você pode ver abaixo:

Por sua vez, 90^o representa metade de meia-volta, isto é, ¼ de volta. Este ângulo é conhecido como ângulo reto, e tem uma representação bem característica:

Além do ângulo reto (90^o), os ângulos podem ser classificados em:

- Ângulos agudos: são aqueles ângulos inferiores à 90^o. Ex.: 30^o, 45^o, 60^o. - Ângulos obtusos: são aqueles ângulos superiores à 90^o. Ex.: 100^o, 120^o, 140^o.

* os ângulos de 0 e 180^o são denominados de ângulos rasos.

Outra classificação de ângulos que você precisa conhecer é:

- Ângulos congruentes: 2 ângulos são congruentes se possuem a mesma medida - Ângulos complementares: 2 ângulos são complementares se a sua soma é 90^o - Ângulos suplementares: 2 ângulos são suplementares se a sua soma é 180^o

Um ângulo pode ser dividido em duas partes iguais pela semi-reta denominada Bissetriz:

180

^o

Quando duas retas se cruzam, formam-se ângulos interessantes, que você também deve conhecer:

Note, na figura acima, que o vértice dos ângulos A, B, C e D é o mesmo (simbolizado pelo ponto). Os ângulos A e C são denominados ângulos opostos pelo vértice, e tem o mesmo valor. Da mesma forma, os ângulos B e D tem o mesmo valor, pois também são opostos pelo vértice:

A = C B = D

A soma dos ângulos A e B é de 180^o (ou seja, são suplementares), assim como a soma dos ângulos B e C, C e D, e D e A.

Da mesma forma, quando uma reta transversal (simbolizada por “r” na figura abaixo) cruza duas retas paralelas (“x” e “y”), formam-se ângulos interessantes:

A/2 A/2

C A

B

D

Note que os ângulos A e C são iguais (pois são opostos pelo vértice), assim como B = D, E = G e F = H.

Observe ainda que A + B = 180^o (isto é, são suplementares). O mesmo ocorre com B+C, C+D, E+F etc.

Os ângulos A e E possuem a mesma medida, sendo chamados de ângulos correspondentes. Veja que o mesmo ocorre entre C e G, B e F, D e H.

Os ângulos A e H somam 180^o (são suplementares), sendo chamados de ângulos colaterais externos (estão do mesmo lado da reta r, e externamente às retas x e y). O mesmo ocorre entre B e G.

D+E = 180^o também, assim como C+F. Estes são chamados de ângulos colaterais internos (estão do mesmo lado da reta r, e internamente às retas x e y).

E+F e D+C também são suplementares (somam 180^o), sendo chamados de ângulos alternos internos (estão em lados alternados da reta r, e internamente às retas x e y).

Por fim, A+B e G+H somam também 180^o e são chamados ângulos alternos externos.

Veja comigo essa questão:

IDECAN – COREN/MA – 2013) No triângulo a seguir, o lado KL é paralelo ao segmento DE.

A soma dos valores dos ângulos “x” e “a” é A) 170°.

B) 180°.

C) 185°.

A C

E G

B D

H F

r

x

y

D) 190°.

E) 195°.

RESOLUÇÃO:

Como os segmentos KL e DE são paralelos, então:

Assim, veja que podemos posicionar o mesmo ângulo “a” na posição em vermelho, pois temos ângulos correspondentes. Note ainda que, ao fazer isso,

a + 115 = 180 a = 65º

Também podemos colocar o ângulo de 55º na posição em vermelho, pois novamente temos ângulos correspondentes. Perceba que:

x + 55 = 180 x = 125º

Logo, x + a = 190º.

Resposta: D

Uma outra unidade de medida de ângulos é chamada de “radianos”. Dizemos que 180^o correspondem a



(“pi”) radianos. Com esta informação em mãos, conseguimos converter qualquer outro ângulo de graus para radianos, ou vice-versa, utilizando uma regra de três simples. Exemplificando, vamos converter 30^o para radianos:

180^o ---



radianos 30^o--- X radianos Efetuando a multiplicação cruzada, temos:

180 30

30 3

180 18 radianos 6

X X X



 



 = 

 

= =

=

Da mesma forma, você verá que 360^o =2 radianos .

POLÍGONOS

Chamamos de Polígono qualquer figura geométrica fechada formada por uma série de segmentos de reta. Veja abaixo um exemplo de polígono:

Note que uma figura como esta abaixo, apesar de formada por uma série de segmentos de reta, não é um polígono, pois não é fechada:

Um polígono qualquer possui os seguintes elementos:

- lados: são os segmentos de reta que formam o polígono (a figura abaixo, um pentágono, possui 5 segmentos de reta, isto é, 5 lados).

- vértices: são os pontos de junção de dois segmentos de reta consecutivos. Estão marcados com letras maiúsculas na figura abaixo.

- diagonais: são os segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos, isto é, não devemos considerar que os lados do polígono são também diagonais. Na figura abaixo, estão pontilhados:

Além disso, ainda temos:

- ângulos internos: são os ângulos formados nos vértices, entre dois lados consecutivos, na região interna ao polígono. Veja-os no triângulo abaixo:

- ângulos externos: são os ângulos formados nos vértices, entre um lado e o prolongamento do outro lado, na região externa ao polígono. Veja um exemplo de ângulo externo:

É bom você saber que:

- o número de lados de um polígono é sempre igual ao número de vértices. Veja que o triângulo possui 3 lados e 3 vértices, bem como o pentágono possui 5 lados e 5 vértices (o mesmo acontecendo com aquele polígono de 5 lados que fizemos no início deste tópico).

- se um polígono possui n vértices (ou lados), então o número de diagonais é dado pela fórmula abaixo:

( 3) 2 n n

D  −

=

A

B

D C

E

Exemplificando, veja que o triângulo (n = 3) não tem nenhuma diagonal, e o pentágono (n = 5) possui 5 diagonais.

- a soma do ângulo interno e do ângulo externo de um mesmo vértice é igual a 180º;

- a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é:

( 2) 180

^o

S = −  n

Usando a fórmula acima, você pode ver que no triângulo (n = 3) a soma dos ângulos internos é 180º, e nos quadriláteros (polígonos de 4 lados) esta soma é 360º.

Veja uma questão onde trabalhamos com as fórmulas do número de diagonais e da soma dos ângulos internos:

CONSULPLAN – SEDUC/PA – 2018) A soma dos ângulos internos de um polígono regular que tem 20 diagonais é

a) 495 b) 720 c) 990 d) 1080 RESOLUÇÃO:

A fórmula das diagonais de um polígono nos permite descobrir o número de lados do polígono da questão. Veja:

( 3) 2 n n

D  −

=

20 = ^{𝑛2−3𝑛}₂ 20 x 2 = n² - 3n n² - 3n – 40 = 0

𝑛 =−(−3) ± √(−3)²− 4.1. (−40) 2.1

𝑛 =3 ± √9 + 160 2 𝑛 =3 ± 13

2

Como “n” é o número de diagonais, só faz sentido pegarmos o resultado positivo da expressão acima, que é:

𝑛 =3 + 13 2 =16

2 = 8 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠

Aplicando a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono, temos:

( 2) 180

^o

S = −  n

S = (8 – 2) x 180 S = 1080 Resposta: D

Os polígonos podem ser classificados em côncavos ou convexos. Abaixo temos, da esquerda para a direita, um polígono convexo e outro côncavo, ambos com 5 lados:

Veja que o polígono convexo possui todos os ângulos internos inferiores a 180º. Já o polígono côncavo possui pelo menos um ângulo interno maior que 180º (marquei-o na figura). Em outras palavras, o polígono côncavo possui uma ponta “para dentro”, o que não ocorre nos polígonos convexos.

Chamamos de polígono regular aquele que possui todos os lados iguais e todos os ângulos internos iguais (isto é, congruentes). O polígono abaixo é chamado de Hexágono regular. Ele possui 6 lados iguais e 6 ângulos internos também iguais:

Em um polígono regular como este, é fácil calcular o valor de um ângulo interno. Basta lembrar que a soma dos ângulos internos é

S = −  ( n 2) 180

^o. Como neste caso n = 6, então S = 720º. Como temos 6 ângulos internos iguais, basta dividir 720º por 6 e veremos que cada ângulo interno mede 120º. Além disso, é fácil calcular o valor de cada ângulo externo. Como a soma do ângulo interno com o ângulo externo é 180º, então cada ângulo externo deve medir 60º.

Finalizando essa parte introdutória, é válido você conhecer os nomes dos principais polígonos, bem como o número de lados de cada um deles:

Nº de lados Nome Nº de lados Nome

3 Triângulo 9 Eneágono

4 Quadrilátero 10 Decágono

5 Pentágono 11 Undecágono

6 Hexágono 12 Dodecágono

7 Heptágono ... ...

8 Octógono 20 Icoságono

Agora vamos conhecer as principais figuras geométricas que podem cair em sua prova. Veremos também como calcular a área das mesmas. A área de uma figura nada mais é que o espaço na superfície por ela ocupado.

Quanto ao perímetro, basta você saber o conceito: trata-se da soma dos comprimentos dos lados da figura. Faremos uma ressalva quando estivermos trabalhando com as circunferências.

Retângulo

Chamamos de paralelogramo qualquer quadrilátero (polígono de 4 lados) que possua os lados opostos paralelos*. O retângulo é um paralelogramo especial, onde, além dos lados opostos serem paralelos, todos os ângulos internos são iguais a 90º, isto é, são ângulos retos (de onde vem o nome retângulo). Chamamos o lado maior de base, e o lado menor de altura. Veja-o abaixo:

*Obs.: você lembra que dois segmentos de reta são paralelos quando nunca se cruzam, isto é, seguem lado a lado “até o infinito”?

A área do retângulo é dada pela multiplicação de sua base (b) pela sua altura (h), conforme a fórmula abaixo:

A = b x h

Num retângulo com 10 centímetros de lado e 3 centímetros de altura, a área será:

10 3 30 2

A= cm cm= cm

b

b

h h

Note que, assim como multiplicamos o número 10 pelo 3, multiplicamos a unidade de comprimento “cm”

pela unidade de comprimento “cm”, chegando à cm² (centímetros quadrados), que neste caso é a unidade de área. Se a base e altura estiverem em unidades de comprimento diferentes, será preciso colocá-las na mesma unidade de medida antes de efetuar o cálculo da área.

Trabalhe comigo essa questão sobre retângulos:

VUNESP – PM/SP – 2018) Uma praça retangular, cujas medidas em metros, estão indicadas na figura, tem 160 m de perímetro.

Sabendo que 70% da área dessa praça estão recobertos de grama, então, a área não recoberta com grama tem (A) 450 m².

(B) 500 m². (C) 400 m². (D) 350 m². (E) 550 m². RESOLUÇÃO:

Foi dado o perímetro dessa praça, que corresponde à soma de todos os lados. Logo:

2x + 2(x + 20) = 160 2x + 2x + 40 = 160

4x = 120 x = 30 m A área, portanto, será:

Área = 30 x (30 + 20) Área = 30 x 50 = 1500 m²

Como 70% está recoberta por grama, 100 – 70 = 30% não é recoberta. Logo:

Área não recoberta = 0,3 x 1500 = 450 m²

Quadrado

Trata-se de um retângulo onde a base e a altura tem o mesmo comprimento, isto é, todos os lados do quadrado tem o mesmo comprimento, que chamaremos de L. Veja:

A área também será dada pela multiplicação da base pela altura (b x h). Como ambas medem L, teremos L x L, ou seja:

A=L2

Veja essa questão sobre a área do quadrado:

CESPE – IFF – 2018) Os lados de um terreno quadrado medem 100 m. Houve erro na escrituração, e ele foi registrado como se o comprimento do lado medisse 10% a menos que a medida correta. Nessa situação, deixou-se de registrar uma área do terreno igual a

a) 20 m² b) 100 m² c) 1.000 m² d) 1.900 m² e) 2.000 m² RESOLUÇÃO:

A área de um quadrado é L². Inicialmente os lados do quadrado deveriam medir L = 100 m, portanto a área seria A = 100² = 10000 m². Porém, L foi registrado com 10% a menos, ou seja, 100 – 10% x 100 = 90 m. Logo, a área passou a ser 90² = 8100 m².

Então, a área que deixou de ser registrada foi de: 10000 – 8100 = 1900 m².

Resposta: D

É importante gravar também que um quadrado de lado L possui duas diagonais que medem L 2 cada uma. Veja-as pontilhadas na figura abaixo:

L

L

L L

Veja essa questão sobre a diagonal do quadrado:

IDECAN – UFPB – 2016) Qual deve ser o valor de x para que o polígono apresentado seja um quadrado?

a) 1 cm.

b) 2 cm c) √2 cm d) 2√2 cm RESOLUÇÃO:

Queremos que a figura do enunciado seja um quadrado, com os quatro lados medindo 2cm. Em um quadrado, sabemos que:

Diagonal = lado . 2

Note que a diagonal desta figura mede x + x = 2x. E o lado mede 2. Colocando isto na fórmula acima:

2x = 2 . 2 x = 2 Resposta: C

Outra informação relevante sobre o quadrado: dado um perímetro “P”, o quadrado é o quadrilátero que apresenta a maior área.

Trapézio

Trata-se de outro polígono com 4 lados, sendo 2 deles paralelos entre si, e chamados de base maior (B) e base menor (b). Identifique-os na figura abaixo:

Para calcular a área de um trapézio, é preciso saber também a sua altura (h), que é a distância entre a base menor e a base maior. Veja-a pontilhada na figura abaixo:

Conhecendo b, B e h, podemos calcular a área do trapézio através da fórmula abaixo:

( )

2 b B h

A + 

=

Vamos calcular a área do trapézio deste trapézio (m representa a unidade de comprimento metro):

Veja que b = 3m, B = 4m e h = 2m. Utilizando a fórmula, temos:

( 3 4 ) 2 14

2

2 2 7

A +  m

= = =

B b

B b h

4m

3m

2m

Vamos enfrentar um exercício juntos:

FCC – SABESP – 2017) Um terreno tem a forma de um trapézio. Os lados não paralelos têm a mesma medida.

A base maior desse trapézio mede 12 m, a base menor mede 6 m e a altura mede 4 m. A área e o perímetro desse terreno são, respectivamente, iguais a

a) 32 m² e 28 m.

b) 36 m² e 28 m.

c) 36 m² e 24 m.

d) 32 m² e 24 m.

e) 36 m² e 26 m.

RESOLUÇÃO:

Foram dadas B = 12 m, b = 6 m e H = 4m. Vamos chamar os lados não paralelos de “L”. Veja como fica esse trapézio:

Para descobrir o valor de L, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo lado L com a altura e o trecho de 3m. Veja:

L² = 4² + 3² L² = 16 + 9

L² = 25 L = 5 m

O perímetro do trapézio é dado pela soma de seus quatro lados. Logo:

L + L + 6 + 12 = 5 + 5 + 18 = 28 m A área é dada por:

( )

2 b B h

A + 

=

A = (6 + 12).4/2 = 18.2 = 36 m² Resposta: A

Losango

Trata-se de um polígono com 4 lados de mesmo comprimento. Veja abaixo:

O quadrado é um caso particular de losango, onde todos os ângulos internos são iguais a 90º.

Para calcular a área de um losango, precisamos conhecer as suas duas diagonais: maior (D) e menor (d).

Veja-as na figura a seguir:

Assim, a área do losango é dada pela fórmula abaixo:

2 A= D d

Veja comigo essa questão:

IDECAN – PREF. SANTO ANTÔNIO DE PÁDUA/RJ – 2013) A figura a seguir é composta por losangos cujas diagonais medem 6 cm e 4 cm. A área da figura mede

A) 48 cm². B) 50 cm². C) 52 cm². D) 60 cm².

L L

L L

L L

L L

D

d

E) 64 cm². RESOLUÇÃO:

Sendo D e d as diagonais de um losango, sua área é dada por:

Área = D x d / 2 = 6 x 4 / 2 = 12cm²

Como ao todo temos 5 losangos, a área total é:

5 x 12 = 60cm² Resposta: D

Paralelogramo

Como já disse acima, o paralelogramo é um quadrilátero com os lados opostos paralelos entre si. Esses lados opostos possuem o mesmo tamanho. Veja um exemplo:

A área do paralelogramo também é dada pela multiplicação da base pela altura:

A = b x h

Repare que a altura não é igual ao lado menor (ela só será igual no retângulo, que é um caso especial de paralelogramo). Ela é o tamanho do segmento que une os dois lados opostos (b), sendo perpendicular* a eles.

*Obs.: aqui vale a pena lembrar que dois segmentos de reta são perpendiculares quando se cruzam formando ângulos de 90º.

Veja comigo esse exercício:

CESPE – FUB – 2015)

( ) Considere que, na figura III, estejam representados um losango e um trapézio (da esquerda para a direita);

logo, é correto afirmar que essas duas figuras geométricas são paralelogramos.

b

b

h

RESOLUÇÃO:

De acordo com o que vimos, apenas o losango é um paralelogramo (lados opostos paralelos). O trapézio possui apenas um lado paralelo a outro e não é paralelogramo. Item errado.

Resposta: E

Triângulo

Trata-se de uma figura geométrica com 3 lados. Veja-a abaixo:

Para calcular a área do triângulo, é preciso conhecer a sua altura (h):

O lado “b”, em relação ao qual a altura foi dada, é chamado de base. Assim, calcula-se a área do triângulo utilizando a seguinte fórmula:

2 b h

A 

=

Temos mais algumas considerações a fazer em relação ao triângulo. Primeiramente, lembre-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^o:

a c

b

a c

b

h

Assim, A + B + C = 180^o.

Existem os seguintes tipos de triângulos:

- Triângulo equilátero: é o triângulo que tem todos os lados iguais. Consequentemente, ele terá todos os ângulos internos iguais:

Como A + A + A = 180º, então A = 60º. Isto é, o triângulo equilátero possui três ângulos internos iguais a 60 graus.

Outra particularidade do triângulo equilátero é que temos a seguinte fórmula para calcular a sua altura:

3 2

h = a

, onde “a” é a medida do lado

Veja onde se localiza a altura h na figura abaixo:

a b

c

B C

A

a a

a

A

A

A

a

a

a

h

Ainda, saiba que existe uma outra fórmula para calcular a área do triângulo equilátero usando apenas o valor da medida dos lados (a):

2

3

4 A = a

Veja comigo essa questão:

IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) Em um triângulo equilátero de lado igual a 4 cm, a medida de sua altura é igual a:

a) 2 cm b) √12 cm c) 8 cm d) 16 cm e) 10 cm RESOLUÇÃO:

Sabemos que a altura de um triângulo equilátero com arestas medindo “a” é igual a:

ℎ =𝑎√3 2

Sendo a = 4, temos:

ℎ = 4√3

2 = 2√3 = √4.3 = √12 Resposta: B

- Triângulo isósceles: é o triângulo que tem dois lados iguais. Consequentemente, os 2 ângulos internos da base são iguais (simbolizados na figura pela letra A):

- Triângulo escaleno: é o triângulo que possui os três lados com medidas diferentes, tendo também os três ângulos internos distintos entre si:

Você precisa conhecer um tipo particular de triângulo, que é aquele que possui um ângulo de 90º, isto é, um ângulo reto. Este é o triângulo retângulo. Veja-o no desenho abaixo:

O ângulo marcado com um ponto é o ângulo reto (90º). Oposto a ele temos o lado “c” do triângulo, que

a a

c

A C

A

a c

b

C B

A

a c

b

B

A

O Teorema de Pitágoras nos dá uma relação entre a hipotenusa e os catetos, dizendo que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa:

2 2 2

a +b =c

Existem dois triângulos retângulos muito “manjados” e frequentes em prova. Trata-se do triângulo com catetos 3 e 4, e hipotenusa 5 (veja que 5² = 3² + 4²) e do triângulo com catetos 5 e 12, e hipotenusa 13 (veja que 13² = 5² + 12²). Chamamos esses triângulos de 3-4-5 e 5-12-13.

Portanto, se você tem um triângulo retângulo com catetos 5 e 12, nem é preciso usar Pitágoras: você já sabe que a hipotenusa mede 13. Da mesma forma, se um triângulo retângulo tiver catetos medindo 10 e 24 (o dobro de 5 e 12, respectivamente), a hipotenusa medirá 26 (o dobro de 13).

Veja comigo essa questão:

VUNESP – TJ/SP – 2017) A figura seguinte, cujas dimensões estão indicadas em metros, mostra as regiões R1 e R2, ambas com formato de triângulos retângulos, situadas em uma praça e destinadas a atividades de recreação infantil para faixas etárias distintas.

Se a área de R1 é 54 m², então o perímetro de R2 é, em metros, igual a (A) 48.

(B) 36.

(C) 42.

(D) 54.

(E) 40.

RESOLUÇÃO:

A área do triângulo R1 é:

Área R1 = base . altura / 2 54 = x . 9 / 2

54 . 2 = 9x

108 = 9x x = 108 / 9

x = 12

Assim, x+4 = 12+4 = 16. No triângulo retângulo R2, um cateto mede 12 e o outro 16. A hipotenusa pode ser encontrada pelo teorema de Pitágoras:

H² = 12² + 16² H² = 144 + 256

H² = 400 H = 20 O perímetro é:

Perímetro R2 = 12 + 16 + 20 = 48

Veja que não era preciso usar o teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa. Bastava perceber que o triângulo R2 é um múltiplo do triângulo 3-4-5, bastando multiplicar data medida por 4 para obter 12-16-20.

Resposta: A

Para finalizar, vejamos o que é conhecido como “semelhança de triângulos”. Triângulos semelhantes são aqueles que possuem os mesmos ângulos internos (A, B e C). Podem ser de qualquer tipo: retângulos ou não;

equiláteros, isósceles ou escalenos. Se temos 2 triângulos semelhantes, podemos afirmar que os seus lados são proporcionais. Veja os dois triângulos abaixo:

Esses triângulos são semelhantes se os ângulos internos forem iguais, isto é, se A = D, B = E e C = F. Se isso ocorrer, podemos montar proporções entre os lados correspondentes dos dois triângulos. Veja:

a b c d = e = f

a

b

c d

e f

C A

B

F D

E

O lado “a” do primeiro triângulo pode também ser chamado de BC, pois os ângulos B e C estão nas extremidades do lado “a”. Da mesma forma, o lado “d” do segundo triângulo pode ser chamado de EF. Portanto, a proporção acima também pode ser escrita na forma abaixo:

BC AC AB EF = DF =DE Veja uma questão sobre semelhança de triângulos:

IDECAN – COREN/MA – 2013) Observe os triângulos abaixo.

Esses dois triângulos são semelhantes. Sendo assim, a soma dos valores de x e y é A) 32.

B) 34.

C) 36.

D) 38.

E) 40.

RESOLUÇÃO:

Se os triângulos são semelhantes, seus lados são proporcionais:

Portanto,

30 / 20 = x / 12 x = 18cm

30 / 20 = 24 / y y = 16cm Portanto, x + y = 34cm.

Resposta: B

Antes de passar para a próxima figura geométrica, vamos conhecer algumas relações métricas presentes no triângulo retângulo:

Observe no triângulo acima que h é a altura do triângulo ABC, e que o lado a foi dividido em duas partes (m e n) pela altura h. Neste triângulo, acima, você deve saber as seguintes fórmulas, que podem auxiliar na resolução de algum exercício:

‘

2 2 2

h m n b m a c n a b c a h

= 

= 

= 

 = 

Não vou demonstrar essas fórmulas aqui para não estender a aula demasiadamente. Entretanto, todas essas fórmulas podem ser obtidas através da comparação de 2 triângulos semelhantes: ACH e ABH.

Para finalizar o estudo de triângulos, é bom voce saber a condição de existência de um triângulo. Se um triângulo tem lados de comprimento A, B e C, o comprimento do lado maior deve ser inferior à soma dos lados menores. Ex.: se alguém nos perguntasse se existe um triângulo com lados 5cm, 10cm e 22cm, diríamos que não, pois 22cm é maior que 5cm + 15cm.

Voltaremos a falar de triângulos retângulos no estudo da Trigonometria, mais adiante.

a

c

b h

n

m B

A

C H

Círculo

Em um círculo (ou circunferência), todos os pontos se encontram à mesma distância do centro. Essa distância é chamada de raio, e na figura abaixo está simbolizada pela letra r:

A área de uma circunferência é dada pela fórmula abaixo:

A=  r2

Nesta fórmula, a letra



(“pi”) representa um número irracional que é, aproximadamente, igual a 3,14.

Exemplificando, vamos calcular a área de um círculo com 10 centímetros de raio:

2 2 2

(10 ) 100

A r

A cm

A cm







= 

= 

= 

Substituindo



por 3,14, temos:

2 2

3,14 100 314

A cm

A cm

= 

=

Já o perímetro de uma circunferência, isto é, o comprimento da circunferência, é dado por:

2 P=  



r

Portanto, vamos calcular o perímetro daquela circunferência com 10cm de raio:

2

2 (3,14) (10 ) 6,28 10

62,8

P r

P cm

P cm

P cm



=  

=  

= 

=

r

Vamos aplicar a fórmula do comprimento da circunferência em uma questão?

FCC – SEC/BA – 2018) Atenção: Considere as informações e a figura abaixo para responder à questão.

O estudo do mecanismo de transmissão de movimento em uma bicicleta pode ser significativo para a aprendizagem de conteúdos matemáticos relacionados com proporcionalidade e circunferência.

Esquema de uma Bicicleta

Dados:

A coroa tem 42 dentes, a catraca tem 24 dentes e o diâmetro da roda traseira é igual a 40 cm.

Na bicicleta indicada, 100 giros completos da catraca fazem com que a bicicleta se desloque, sobre uma pista retilínea, aproximadamente

a) 12,56 km.

b) 2,512 km.

c) 251,2 m.

d) 125,6 m.

e) 1,256 km.

RESPOSTA:

O diâmetro da roda traseira é de 40 cm. Logo, o raio é r = 20 cm = 0,2m.

Um giro completo dessa roda corresponde ao perímetro da circunferência. Portanto:

Giro = 2 x π x r = 2 x 3,14 x 0,2 ≈ 1,256 m

Quando a roda dá um giro completo, a catraca (que é ligada a ela) também dá. Logo, em 100 giros da catraca essa bicicleta irá deslocar: 100 x 1,256 = 125,6 m.

Resposta: D

O diâmetro (D) de uma circunferência é um segmento de reta que liga um lado ao outro da circunferência, passando pelo centro. Veja que o diâmetro mede o dobro do raio:

As fórmulas da área e do comprimento da circunferência podem ser escritas em função do diâmetro, ao invés do raio. Como r = D/2, temos:

2

4 A =   D

P= 



D

Imagine dois pontos quaisquer de uma circunferência, como A e B da figura abaixo. Veja que liguei-os ao centro da circunferência através dos segmentos de reta pontilhados, formando um ângulo entre estes segmentos:

Repare que delimitamos uma certa região do círculo, compreendida entre as linhas pontilhadas. Uma região como esta é chamada de setor circular. Veja que destaquei o ângulo ACB (que simbolizei com a letra minúscula “a”). Ele é o ângulo central deste setor circular. Com base neste ângulo, conseguimos determinar a área do setor circular e o comprimento do segmento de círculo compreendido entre os pontos A e B. Para isso, vamos dizer que o raio deste círculo é “r”.

Sabemos que o ângulo central de uma volta completa no círculo é 360º. E também sabemos a área desta volta completa, que é a própria área do círculo(r²). A proporção abaixo nos permite calcular a área do setor circular, em função do ângulo central “a”:

360º --- r²

a --- Área do setor circular

r D

A

B C

a

Portanto:

Área do setor circular 2

360^o a r

= 

Assim, se temos um setor circular com ângulo central igual a 180º, a área deste setor será:

2

180

2

Área do setor circular

360 2

o o

r  r



=  =

Isto é, a área do setor circular com ângulo central igual a 180º é exatamente a metade da área do círculo inteiro.

De forma análoga, sabemos que o comprimento da circunferência inteira é 2



r. Portanto, o comprimento do segmento circular entre os pontos A e B, cujo ângulo central é “a”, é obtido pela proporção abaixo:

360º --- 2



r

a --- Comprimento do setor circular Logo,

Comprimento do setor circular 2 360^o

a r

= 

Portanto, se a = 90º, então o comprimento do setor circular será igual a 2

r

, que é exatamente um quarto do comprimento total da circunferência.

Veja comigo essa questão:

FCC – METRO/SP – 2015) A partir do centro de uma torta circular retira-se uma fatia (setor circular) que corresponde à 35% do total da torta. A fatia retirada é um setor circular de ângulo central igual a

a) 70°

b) 63°

c) 145°

d) 234°

e) 126°

RESOLUÇÃO:

Temos um setor circular que corresponde a 35% do total da torta circular. Veja:

Sabendo que 100% representa a torta inteira, vamos aplicar uma regra de três:

100% --- 360 graus 35% --- x graus

100.x = 360.35 x = 12600/100 = 126 graus Resposta: E

Sobre circunferências, saiba ainda que denominamos Corda o segmento de reta qualquer ligando dois pontos da circunferência. O segmento AB da figura abaixo é um exemplo de corda:

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE FIGURAS PLANAS

Reta secante e tangente

Quando temos uma reta e um círculo, pode ser que esta reta passe pelo círculo dividindo-o em duas partes, e definindo uma corda. Trata-se de uma reta secante. Podemos ainda ter uma reta que passa por um círculo tocando-o em um único ponto. Neste caso, temos uma reta tangente ao círculo. Veja uma reta secante e outra tangente no desenho abaixo:

A

B

Note que a reta tangente forma ângulos de 90º com o raio R da circunferência no ponto de encontro:

Umareta que não toca nem cruza a circunferência é denominada reta externa à circunferência.

Circunferências concêntricas

Dizemos que duas circunferências são concêntricas quando compartilham o mesmo ponto central. Veja isso na figura abaixo:

A

B

C secante

tangente

tangente C

90

^o

90

^o

C

Figuras inscritas e circunscritas

Observe a figura abaixo:

Note que este é o maior quadrado que podemos ter dentro deste círculo, afinal ele toca as bordas do círculo. Neste caso, dizemos que o quadrado está inscrito no círculo. Também podemos dizer que o círculo está circunscrito ao quadrado, uma vez que este é o menor círculo capaz de envolver completamente o quadrado.

Assim, dizemos que um polígono está inscrito em outro quando encontra-se completamente na região interna deste outro polígono, com os seus vértices tocando no polígono que o circunscreve. Quando temos polígonos inscritos/circunscritos, é fácil encontrar alguma relação entre as dimensões dos dois. Repare que neste caso, o diâmetro do círculo é exatamente igual à diagonal do quadrado:

Portanto, se soubermos que o diâmetro do círculo é igual a D, podemos calcular o valor do lado L do quadrado. A diagonal do quadrado forma, junto de outros dois lados, um triângulo retângulo:

L

L D

Neste triângulo retângulo (marcado em vermelho), podemos usar o teorema de Pitágoras para dizer que:

D² = L² + L² 2 D=L

Podemos dizer que 2 é, aproximadamente, igual a 1,41. Portanto, se soubermos que o diâmetro do círculo é D = 14,1cm, então o lado do quadrado será igual a 14,1 / 1,41 = 10cm.

Veja comigo essas questões:

ESAF – AUDITOR ISS/RJ – 2010) Um quadrado de lado unitário está inscrito em um círculo que, por sua vez, está inscrito em outro quadrado de lado L. Determine o valor mais próximo de L.

a) 1,732 b) 1,414 c) 2 d) 1,5 e) 1,667 RESOLUÇÃO:

Temos a seguinte disposição:

Observe que a diagonal do quadrado menor é igual ao diâmetro do círculo. Esta diagonal mede 1 2, uma vez que cada lado do quadrado menor mede 1. Por sua vez, veja que o diâmetro do círculo é igual à medida do lado do quadrado maior:

Portanto, o lado L do quadrado maior mede 2 (aproximadamente 1,414).

Resposta: B

ESAF – AUDITOR ISS/RJ – 2010) Um quadrado possui um círculo circunscrito e um círculo inscrito. Qual a razão entre a área do círculo cincurscrito e a área do círculo inscrito?

a) 2 b) 2 2 c) 2 d) 4 e) 1

RESOLUÇÃO:

Temos a seguinte disposição:

Seja R o raio do círculo maior. Veja que o diâmetro do círculo maior (2R) é igual à diagonal do quadrado:

Sendo L o lado do quadrado, sabemos que sua diagonal é:

2 2 L = R

Portanto,

2 2

2 L = R = R

Repare ainda que o lado do quadrado é igual ao diâmetro do círculo menor:

Assim, sendo 2r o diâmetro do círculo menor, então:

2

2 2

2 2 r L r R r R

=

=

=

A razão entre a área do círculo cincurscrito e a área do círculo inscrito é:

2 2

razão R r



= 

2 2

2 2 razão R

R

= 

 

 

2 2.2 4 razão R

= R 2 razão= Resposta: C

Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui?

Questões comentadas pelo professor

1.

FCC – SABESP – 2018)

A vazão é uma grandeza metrológica utilizada para enumerar a quantidade de fluido que passa em um sistema.

A vazão volumétrica é definida como sendo a quantidade, em volume, que escoa por meio de uma seção em um intervalo de tempo determinado. É representado pela letra Q, ou por Qv, e expressa pela seguinte equação:

Qv = v/t Onde:

v = volume t = tempo

As unidades de vazão volumétricas comumente mais utilizadas são: m³/s, m³/h, L/h e L/min. A Conversão de L/h para m³/h das vazões 5 L/h e 30 L/h são, respectivamente, em m³/h,

a) 0,0005 e 0,3 b) 0,0005 e 0,003 c) 0,005 e 0,03 d) 0,05 e 0,3 e) 0,5 e 3,0 RESOLUÇÃO:

Sabendo que 1m³ = 1000 L, temos:

1 m³ --- 1000 L V1 m³ --- 5 L V1 = 5/1000 = 0,005 m³ V2 = 30/1000 = 0,03 m³ Logo, as vazões são 0,005 m³/h e 0,03m³/h.

Resposta: C

2.

FGV – BANESTES – 2018)

1 cm³ de gesso tem 1,4 g de massa. A massa de 1 m³ de gesso é:

a) 1,4 kg;

b) 14 kg;

c) 140 kg;

e) 14000 kg.

RESOLUÇÃO:

Sabendo que 1 m³ = 10⁶cm³ e 1 cm³ = 1,4 g, temos que 1 m³ = 10⁶ x 1,4 g. Outra relação é 10³ g = 1 Kg. Logo:

1 m³ = 10⁶ x 1,4 g = 10³ x 1,4 x 10³ g = 1,4 x 10³ Kg = 1400 Kg Resposta: D

3.

VUNESP – Pref. de São José dos Campos – 2018)

Um reservatório d’água está com 280 000 litros de água, o que corresponde a quatro quintos de sua capacidade total. Nesse instante, esse reservatório passa a receber água na razão de 1,25 metro cúbico por minuto, e, ao mesmo tempo, a alimentar outro reservatório, na razão de 0,85 metro cúbico de água por minuto, até atingir a capacidade total do primeiro reservatório. Nesse processo, o tempo decorrido foi de

(A) 55 minutos.

(B) 1 hora e 35 minutos.

(C) 2 horas e 15 minutos.

(D) 2 horas e 55 minutos.

(E) 3 horas e 35 minutos.

RESOLUÇÃO:

Como 280.000 litros corresponde a 4/5 do total, podemos calcular a quantidade restante para encher o reservatório, que deve corresponder a 1/5 do total. Isto é:

280.000 litros --- 4/5 N litros --- 1/5

280.000 = 4N

N = 70.000 litros

Portanto, precisamos de 70.000 litros, ou 70 metros cúbicos, para terminar de encher o reservatório. A cada minuto entra 1,25 m³ e sai 0,85m³ do reservatório, o que deixa um saldo de 1,25 – 0,85 = 0,40m³ no

reservatório. Em outras palavras, a cada minuto conseguimos encher 0,40 metros cúbicos do reservatório. Para encher 70:

1 minuto --- 0,40 m³ T minutos --- 70 m³

1.70 = T.0,40 T = 70 / 0,40 T = 700 / 4 T = 175 minutos T = 120 minutos + 55 minutos

T = 2 horas + 55 minutos Resposta: D

4.

VUNESP – CBPM/SP – 2018)

Um programa analisa a segurança do sistema de dados de um computador em intervalos de tempo constantes.

A seguir, são apresentados os horários em que o programa analisou o referido sistema:

14h00m05s; 14h00m23s; 14h00m41s; 14h00m59s; ...

Considerando a primeira análise às 14h00m05s, o número de vezes que o sistema foi analisado até as 15h00m00s foi

(A) 198.

(B) 199.

(C) 200.

(D) 201.

RESOLUÇÃO:

Veja que o intervalo de uma análise para a outra é de 18 segundos. Das 14h00m05s até às 15h passam-se 59m5s.

Em segundos, corresponde a: 59 x 60 + 55 = 3595s. Vejamos quantas analises são feitas até completar esse tempo:

3595 ÷ 18 = 199 e resto 13

Logo, o sistema foi analisado 199 vezes de forma completa e estará na 200ª análise.

Resposta: C

5.

VUNESP – CÂMARA SJC– 2018)

Um terreno tem 0,50 quilômetro quadrado de área. Em metros quadrados, a área desse terreno corresponde a (A) 5000000.

(B) 500000.

(C) 50000.

(D) 5000.

(E) 500.

RESOLUÇÃO:

A tabela de transformações de unidades ao quadrado é dada por:

Se o terreno tem 0,5 km², para m², devemos multiplicar por 100 x 100 x 100 = 100.000. Logo:

Área = 0,5 x 100.000 = 50.000 m² Resposta: C

6.

FCC – TRT24 – 2017)

Uma avenida que possui 7 km de extensão teve o seu limite máximo de velocidade alterado de 50 km/h para 60 km/h. Levando-se em consideração apenas a extensão da avenida e veículos trafegando nas velocidades máximas permitidas, com a alteração do limite máximo permitido de velocidade, o tempo para percorrer a extensão total da avenida diminuiu em

(A) 1 minuto e 24 segundos.

(B) 2 minutos e 45 segundos.

(C) 1 minuto e 8 segundos.

(D) 1 minuto e 40 segundos.

(E) 2 minutos e 40 segundos.

RESOLUÇÃO:

Com a velocidade de 50km/h, ou seja, 50 quilômetros percorridos em 1 hora, temos:

50 km —————– 1 hora 7 km —————— T horas

50 x T = 7 x 1 T = 7/50 horas Com a velocidade de 60km/h, temos:

60km ————— 1 hora 7 km ————— T horas

60 x T = 7 x 1 T = 7/60 horas A diferença de tempo é:

7/50 – 7/60 = 42/300 – 35/300 =

7/300 horas

Como 1 hora corresponde a 60 minutos, então 7/300 hora correspondem a:

1 hora --- 60 minutos 7/300 --- t minutos

t = (7/300) x 60 t =7/5 minutos t = 5/5 + 2/5 minutos t = 1 minuto + 2/5 minuto Passando 2/5 para segundos, temos:

1 minuto --- 60 segundos 2/5 minutos --- X X = 2/5 x 60 segundos

X = 2 x 12 segundos X = 24 segundos Portanto, 1 minuto e 24 segundos.

Resposta: A

7.

VUNESP – PM/SP – 2017)

A tabela mostra o tempo de cada uma das 4 viagens feitas por um ônibus em certo dia.

Se o tempo total gasto nas 4 viagens juntas foi de 5 horas e 25 minutos, então o tempo gasto na 4ª viagem foi de

(A) 1 hora e 25 minutos.

(B) 1 hora e 20 minutos.

(C) 1 hora e 15 minutos.

(D) 1 hora e 30 minutos.

(E) 1 hora e 10 minutos.

RESOLUÇÃO:

Para fazermos os cálculos corretos, o ideal é transformarmos todos os tempos para minutos.

Lembrando que 1 hora corresponde a 60 minutos, temos:

1ª viagem: 60 + 20 = 80 minutos 2ª viagem: 60 + 15 = 75 minutos 3ª viagem: 60 + 20 = 80 minutos

Total: 5x60 + 25 = 325 minutos

Assim,

80 + 75 + 80 + 4ª viagem = 325 4ª viagem = 325 – 80 – 75 – 80

4ª viagem = 90 minutos 4ª viagem = 60 minutos + 30 minutos

4ª viagem = 1 hora + 30 minutos Resposta: D

8.

VUNESP – TCE/SP – 2017)

Em uma pizzaria, 6 pessoas comeram pizza durante 2 horas e meia. Cada uma delas comeu 3 fatias a cada 15 minutos. O tempo mínimo necessário para que 9 pessoas, cada uma delas comendo 5 fatias a cada 20 minutos, igualem o número de fatias de pizza que as primeiras 6 pessoas haviam comido é de

(A) 1 hora e 30 minutos.

(B) 1 hora e 20 minutos.

(C) 1 hora e 10 minutos.

(D) 45 minutos.

(E) 1 hora e 25 minutos.

RESOLUÇÃO:

Veja que 2h30min correspondem a 150 minutos, ou seja, 10 grupos de 15 minutos. Como a cada 15 minutos uma pessoa come 3 fatias, em 150 minutos essa pessoa come 3×10 = 30 fatias. Como são 6 pessoas, ao todo temos 6×30 = 180 fatias.

No segundo grupo, como são 9 pessoas, cada uma vai comer 180 / 9 = 20 fatias. Como cada pessoa leva 20 minutos para comer 5 fatias, precisaremos de 20/5 = 4 grupos de 5 fatias, ou seja, 20×4 = 80 minutos = 1h 20 minutos.

Resposta: B

9.

FAURGS – TJ/RS – 2017)

Considere um mapa, cuja escla é 1/20.000. Com uma régua colocada nesse mapa, obteve-se a medida 10cm entre as cidades A e B. Portanto, o deslocamento em linha reta, em quilômetros, entre as cidades A e B é de:

(A) 0,02 (B) 0,2 (C) 2 (D) 20 (E) 200

RESOLUÇÃO:

Como a escala é de 1 para 20.000, isto significa que as medidas no “mundo real” são 20.000 vezes maior que no mapa. Como medimos 10cm no mapa, no mundo real teremos:

10 x 20.000 = 200.000cm = 20.000dm = 2.000m = 2km Resposta: C