Introdu¸c˜ao `a Probabilidade e Estat´ıstica I

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Introdu¸c˜ ao ` a Probabilidade e Estat´ıstica I

Tabelas de Frequˆencias e Gr´aficos

Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A

Email: patriota@ime.usp.br Site: www.ime.usp.br/∼patriota

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Tabela de dados Brutos

A tabela de dados brutos nos traz toda a informa¸c˜ao dispon´ıvel sobre os objetos de interesse.

Por´em, como podemos perceber na Tabela 2.1 de Bussab e

Morettin o excesso de informa¸c˜ao pode tornar extremamente dif´ıcil extrair conclus˜oes desta tabela.

Portanto, se faz necess´ario sumarizar esta tabela para que a informa¸c˜ao seja mais compreens´ıvel.

Uma forma das formas de sumarizar os dados qualitativos de uma tabela de dados brutos é através de frequências e propor¸cões.

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Tabela 2.1

Fonte: Bussab, W.O. e Morettin, P.A. (2012). Estat´ıstica B´asica.

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Frequˆ encias para vari´ aveis Qualitativas

Tabela de frequˆencias para vari´aveis Qualitativas

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Frequˆ encias

Frequência absoluta(frequência): número de casos favoráveis ao evento. Será denotado porn_i, a frequência do valor i e porn a frequência total.

Frequência relativa(propor¸cão): número de casos favoráveis ao evento dividido pela frequência totalf_i =n_i/n. Frequência relativa também será chamada de propor¸cão.

Porcentagem: ´e a frequˆencia relativa multiplicada por 100%.

Observe que as frequências absolutas e relativas condensam efetivamente a informa¸cão apenas em variáveis qualitativas e quantitativas discretas.

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Tabelas de frequˆ encias

Criamos uma tabela para uma vari´avel escolhida em que:

I as linhas referem-se aos valores que esta vari´avel pode tomar;

I as colunas referem-se a frequˆencias (absoluta, relativa, porcentagem)

Suponha que a vari´avel de interesse pode assumirk categorias.

Variável Frequência Propor¸cão Porcentagem

C1 n1 f1 f1100%

C2 n₂ f₂ f₂100%

... ... ... ...

Ck nk fk fk100%

Total n 1 100

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Tabelas 2.2 e Tabela 2.3

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Representa¸c˜ ao gr´ afica de vari´ aveis qualitativas

Utilizaremos dois gráficos para representar a tabela de frequências para variáveis qualitativas: gráficos de barras e gráficos em setores (ou tipo pizza).

Os gráficos de barras são feitos colocando uma barra vertical em cima de cada categoria que a variável pode assumir representando frequências ou propor¸cões

Os gráficos de pizza são c´ırculos de raio arbitrário em que cada peda¸co é proporcional a sua frequência relativa.

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Figura 2.2

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Figura 2.3

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Exerc´ıcios

I Considere o conjunto de dados (classe social):

{B;B;C;B;C;C;A;B;A;B;C;B;B}.

Encontre as frequências e propor¸cões. Fa¸ca os gráficos.

I Considere o conjunto de dados (status fumante):

{S;N;S;S;N;N;S;N;N;N;S;N;S}.

Comente os resultados.

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Exerc´ıcios

I Considere o conjunto de dados (n´umero de irm˜aos):

{1; 2; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 1}.

I Considere o conjunto de dados (tempo de uso do telefone da empresa, em horas):

{1,1; 1,0; 2,1; 2,3; 2,0; 2,4; 2,5; 2,2; 2,8; 3,1; 3,0; 3,1; 4}.

Comente os resultados.

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Frequˆ encias para vari´ aveis Quantitativas

Tabela de frequˆencias para vari´aveis Quantitativas

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Tabela de frequˆ encias para vari´ aveis discretas

Em variáveis discretas é usual observar várias ocorrências de um mesmo valor. Nestes casos as tabelas de frequências para variáveis qualitativas também podem ser aplicadas.

Além das frequência (ni) e propor¸cão (fi) podemos também utilizar a frequência acumulada.

Frequência acumulada: É a soma das frequências até o ponto especificado. Este conceito faz sentido para variáveis qualitativas ordinais e quantitativas em geral. Será denotada pornâc_i a frequência acumulada até o valori.

Propor¸cão acumulada: É a soma das propor¸cões até o ponto especificado. Este conceito faz sentido para variáveis qualitativas ordinais e quantitativas em geral. Será denotada porf_iâc a frequência acumulada até o valori.

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Exemplo de tabela para uma vari´ avel discreta

dados de Magalh˜aes e Lima.

Idade n_i f_i n^ac_i f_i^ac

17 9 0,18 9 0,18

18 22 0,44 31 0,62

19 7 0,14 38 0,76

20 4 0,08 42 0,84

21 3 0,06 45 0,90

22 0 0,00 45 0,90

23 2 0,04 47 0,94

24 1 0,02 48 0,96

25 2 0,04 50 1,00

Total n= 50

Observe que 62% = 0,62×100% dos alunos tem idade at´e 18 anos.

Quantos por cento dos alunos tem idade at´e 20 anos?

Quantos por cento dos alunos tem idade at´e 22 anos?

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Tabela de frequˆ encias para vari´ aveis cont´ınuas

Como já dito anteriormente, dificilmente observaremos frequências em uma variável cont´ınua.

Considere o conjunto de dados (tempo de uso do telefone da empresa, em horas, por semana):

{1,1; 1,0; 2,1; 2,3; 2,0; 2,4; 2,5; 2,2; 2,8; 3,1; 3,0; 3,1; 4}.

Contudo, é poss´ıvel categorizá-la em intervalo de classes para que existam repeti¸cões dentro de cada classe.

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Intervalos de classe

O primeiro passo consiste em ordenar os dados e definir o n´umero de classes que queremos criar, digamosk. Depois, encontrar o valor m´ınimo (m) e m´aximo (M) e calcular

δ = (M −m)/k.

Aj-ésima classe é definida por todos os valores que estão entre m+ (j −1)δ e m+jδ.

Denotaremos aj-´esima classe pela nota¸c˜ao

“m+ (j−1)δ|−−m+jδ”

e a ´ultima classe por “m+ (k−1)δ|−−|m+kδ”.

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Exemplo de Intervalos de Classe

{1,1; 1,0; 2,1; 2,3; 2,0; 2,4; 2,5; 2,2; 2,8; 3,1; 3,0; 3,1; 4}.

Crie os intervalos de classe usando k=3.

Note quem= 1 e M = 4, ent˜ao δ= (4−1)/3 = 1.

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Continua¸c˜ ao

Criamos ent˜ao uma tabela de frequˆencias:

P. M´edio Freq Prop Feq Ac Prop Ac.

IC s_i n_i f_i n^ac_i f_i^ac

1|−−2 1,5 2 0,15 2 0,15

2|−−3 2,5 7 0,54 9 0,69

3|−−|4 3,5 4 0,31 13 1

Total 13

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Tabela 2.6

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Continua¸c˜ ao

Pode-se ainda criar tabelas de distribui¸c˜ao de frequˆencia com amplitudes diferentes para os intervalos de classe. Ou seja, se temosk classes, poderemos formar intervalos com amplitudes δ₁, δ₂, . . . , δ_k.

{1,1; 1,0; 2,1; 2,3; 2,0; 2,4; 2,5; 2,2; 2,8; 3,1; 3,0; 3,1; 4}.

Crie os intervalos de classe usando k=3 com as seguintes amplitudes δ₁ = 1,2,δ₂ = 0,6,δ₃= 1,2 .

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Continua¸c˜ ao

P. M´edio Freq Prop

IC s_i n_i f_i

1,0|−−2,2 1,6 4 0,31

2,2|−−2,8 2,5 4 0,31

2,8|−−|4,0 3,4 5 0,38

Total 13

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Histogramas

Podemos criar gráficos utlizando as tabelas de distribui¸cão de frequências para variáveis cont´ınuas.

Para isso criamos mais uma coluna na tabela de distribui¸cões de frequência chamada densidade de frequência:

di = fi

δ_i

O Histograma é o gráfico de barras obtido inserindo os intervalos de classes no eixo das abscissas e as densidades de frequências no eixo das ordenadas.

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Histograma

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Exemplos

Tabela 1:

P. M´edio Freq Prop Dens. freq

IC s_i n_i f_i d_i

1|−−2 1,5 2 0,15 0,15

2|−−3 2,5 7 0,54 0,54

3|−−|4 3,5 4 0,31 0,31

Total 13

Tabela 2:

P. M´edio Freq Prop Dens. freq

IC s_i n_i f_i d_i

1,0|−−2,2 1,6 4 0,31 0,26

2,2|−−2,8 2,5 4 0,31 0,52

2,8|−−|4,0 3,4 5 0,38 0,32

Total 13

Fazer histogramas. Existe perda de informa¸c˜ao?

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Ramo-e-folhas

Sal´arios

4,00 8,12 11,06 16,22 4,56 8,46 11,59 16,61 5,25 8,74 12,00 17,26 5,73 8,95 12,79 18,75 6,26 9,13 13,23 19,40 6,66 9,35 13,60 23,30 6,86 9,77 13,85

7,39 9,80 14,69 7,59 10,53 14,71 7,44 10,76 15,99