É o capítulo da Matemática que estuda as diversas maneiras de designar distâncias e propriedades algébricas entre elas.

MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

É o capítulo da Matemática que estuda as diversas maneiras de designar distâncias e propriedades algébricas entre elas.

Total de aulas previstas: 16

OJECTIVOS DE APRENDIZAGEM

No final de módulo o estudante deve ser capaz de:

. Explicar a correspondência existente entre o conjunto R e o eixo numérico ( recta graduada)

. Situar distâncias no eixo real com auxílio de números reais.

. Resolver equações e inequações modulares e fazer a devida interpretação em relação a marcação de distâncias.

Neste capítulo falaremos de:

1. Conceito de número.

1.1. Revisão sobre Conjuntos numéricos.

1.1.1. Conjunto de números naturais (N).

1.1.2. Conjunto de números inteiros relativos.

1.1.3. Conjuntos de números racionais fraccionários (Q).

1.1.4. Conjuntos de números Irracionais ( Irrac).

1.1.5. Conjuntos de números Reais ( R).

2. Noção de módulo de um número.

2.1. Propriedades sobre módulos.

3. Expressões com módulos e suas simplificações.

4. Equações modulares.

5. Inequações modulares.

6. Ficha de exercícios.

1. Conceito de número

Na vida prática encontramos várias situações que precisamos de quantificar por forma a dar carácter ou sentido.

Definição: chama-se número a qualquer designação quantitativa.

Ex1: A Escola Secundária Francisco Manyanga tem um universo de 7349 alunos

Ex2: A carpintaria da escola encontra-se na cave ou a um andar do rés-do-chão (-1º andar)

Ex3: Quase metade do barco fica submersa (

1

 2

) Ex4: A distância entre Beira e Maputo é de 1250 km

1.1. Revisão sobre Conjuntos numéricos

Lembre-se que no estudo à Teoria de Conjuntos, se debruçou em volta dos conjuntos numéricos mas faltou a sua caracterização e surgimento.

1.1.1. Conjunto de números naturais ( N)

IN – conjunto dos números inteiros e positivos (naturais)

Representação: IN=

Caso particular: IN – Conjunto de números naturais incluindo zero

IN=

Operações em IN

As operações em IN são maioritariamente limitadas, visto que só se envolve números inteiros e positivos.

Falaremos das operações tais como: adição, subtracção, multiplicação e divisão.

Adição

A adição em IN é sempre possível tal que pode-se dizer que é fechada sempre que adicionarmos dois elementos ou números em IN o resultado também é de IN

Ex1:

5 ;11 5 11 16;16

 

  

1; 2;3;4;5;...

1 2 3 4 5

0;1; 2;3;4;5;...

1 2 3 4 5

0

Generalizando:

;

; a b a b c c

 

  

Subtracção

A subtracção em IN não é sempre possível porque há casos em que o resultado não pertence a IN, quando há subtracção de um número menor com o número maior.

Ex1:

13 6   7;13  ; 6  ; 7 

Ex2.:

5 9    4;5  ;9  ; 4  

Generalizando

; : ;

a b a b c c

   

Com este pormenor, a subtracção passa a não ser fechada e IN, daí a necessidade de resolver este problema, surge o conjunto de números relativos e inteiros

1.1.2. Conjunto de números inteiros relativos ( ):

– o conjunto de números inteiros relativos, inteiros positivos e negativos.

5 9    4;5  ;9  ; e   4

Obs.: Este conjunto surge para dar respostas às quantidades retiradas, divididas, défices, etc.

Multiplicação:

 a b ;  : . a b  c c ; 

Divisão:

1

2

: 14 7;14; 2; 7 2

: 12 2, 4 5 Q Q

 

 

Generalizando

; : a a b b

 

Este impasse no conjunto gera a necessidade de encontrar um conjunto que resolve o problema obtido, daí o conjunto .

1.1.3. Conjunto de números racionais fraccionários ( )

– Conjunto de números racionais fraccionários: todos números inteiros, fraccionários de dízima finita e infinita periódica.

Números de dízima finita – são aqueles que as casas decimais terminam.

Ex1.:

1

0, 25 4 

Ex2.:

12 5  2, 4

Números de dízima infinita periódica – são aqueles que os casos decimais são repetitivas e não têm fim

Ex1.:

10

3, 333

3 

e escreve-se geralmente 3,(3); onde o período é 1 Ex2.: 5,212121.... e escreve-se geralmente 5,(21); onde o período é de 2

Generalizando

; : a ; 0

a b b

 b  

Neste conjunto houve impasses como no cálculo da diagonal de um quadrado que tinha de lado uma unidade.

Pelo Teorema de Pitágoras teremos:

1

²

  1

²

d

²

2

d 

– este número é de dízima infinita não periódica e ao conjunto de números com estas características deu-se o nome de números irracionais (Irrac.)

1.1.4. Conjunto de números Irracionais ( Irrac.)

Irrac. – conjunto de números de dízima infinita não periódica, ou conjunto de números ou conjunto de todos radicais imperfeitos.

Irrac.

^  ^{...  3;  2; 2; 3...} 

1.1.5. Conjunto de números reais ( ):

Com o surgimento dos números irracionais a recta real ficou totalmente preenchida, facto que a chamassem de recta sólida ou densa. Assim, foram chamados ao todo de números reais porque reflectem a realidade, como mostram os exemplos acima.

– conjunto de todos números já estudados (

  Irrac

).

Existem também impasses em operações neste conjunto, facto que culminou com o aparecimento do conjunto para responder casos impossíveis em (raízes de índice par de números negativos).

– conjunto de números complexos (a estudar na faculdade).

Este aparece para resolver problemas que o conjunto tem, como por exemplo a determinação de raízes de índices pares de números negativos. É habitual dizer-se que estas operações não existem mas é correcto dizer que não é possível em .

Descobriram também que é comum encontrar pontos equidistantes da origem do sistema Cartesiano Ortogonal. E para definir distâncias iguais a vários sentidos ou melhor, em sentidos opostos, introduziu-se módulo ou valor absoluto de números que significa (distância), afinal, a distância é sempre positiva, portanto, o módulo é sempre positivo

1

1 1

1

?

Ora vejamos:

Ex1.:

2 2 ; 2 2

   

, a distância da origem do Sistema Cartesiano Ortogonal até 2 é igual a da origem até ao número (-2). Em suma os números simétricos encontram-se a mesma distância (equidistantes) da origem do Sistema Cartesiano Ortogonal. Veja os exemplos que se seguem:

3 3; 3 3

    102 102 102 102

 

 

Em suma, algebricamente, escreva-se:

0

; 0

x sex x x sex

 

     

2. Noção de módulo de um número

Módulo de um número desconhecido x é o próprio x se ele for positivo e (-x) se ele for negativo. O sinal negativo na segunda parte da definição é um factor de correcção para que o módulo de um número tratando-se de distâncias, seja sempre positivo. Algebricamente escreve-se:

; 0

; 0

x sex x x sex

 

    

2.1. Propriedades sobre Módulos

1.

0

; 0

x sex x x sex

 

     

2.

x

²

 x

²

 x

²

3.

x

²

 x

4.

x    y x y

5.

x    y x y

6.

x y .  x y .

Condição

Definição propriamente dita

7.

x x y  y

8.

x       a x a x a

9.

x       a x a x a

10.

x       a x a x a

11.

; 1

_{1 2}

; 2 :

a x x a x a sol

a x b sol sol sol

b x x b x b sol

       

 

     

     

 

 

Atenção: Estas propriedades devem ser usadas para resolver e em separado equações e inequações e, usadas para resolver inequações duplas.

Quando for o caso das expressões só se efectua as simplificações

Lembre-se: Sobre expressões só se pode fazer transformações idênticas.

Sobre as equações e inequações pode haver a resolução, isto é, a extracção de situação.

3. Expressões com módulos e sua simplificação

A simplificação de expressões modulares consiste em associar parcelas da mesma natureza ou ainda expressões idênticas, expressões do mesmo nome. Há que ter cuidado com aplicação da fórmula da definição. Importa salientar que a definição comporta dois ramos fundamentais, há que ter cuidado com o sinal negativo que só precede o que está dentro do módulo e no ramo onde a condição é menor. Se a expressão modular tiver acompanhante há que ter cuidado porque o acompanhante não é colocado nas condições ele termina nas definições propriamente ditas.

Exemplos de consolidação

1. Simplifique as seguintes expressões

a)

7; 7

7 7; 7

x sex

x x sex

  

        

veja neste exercício que tudo está dentro do módulo ou seja, nada está fora do módulo o que favorece bastante a aplicação da definição. A expressão x+7 vai totalmente ao primeiro ramo sem nenhuma mudança e toda sem restrição para sua condição com o sinal maior ou igual a zero. No segundo ramo vemos que a

expressão está precedida de um sinal negativo para justificar o segundo ramo e totalmente atingido por não possuir acompanhante, veja também que o sinal negativo não se transporta à condição e nunca será possível fazê-lo.

b)

2 3; 2 0 5 ; 2

2 3

2 3; 2 0 1; 2

x se x x sex

x x se x x sex

     

 

             

Nesta alínea, a expressão 2-x dentro do módulo tem acompanhante que é o número 3 que está fora do módulo. O tratamento das definições é diferente. Veja que o número 3 acompanha as particularidades das definições efectuadas na alínea anterior mas não vai às condições e estas têm como base a partícula que está dentro do módulo 2-x. No segundo ramo nota-se que o sinal negativo não afecta o número três e como sempre não se transporta à condição. Espera-se que esta ilustração teórica o ajude a resolver todos exercícios.

c)

3 ; 3 0 2 6; 3

3 3

3 3; 3 0 0; 3

x x x sex x sex

x x

x x sex sex

       

 

                

d)

5 10 2; 5 10 0 4 8; 5 10

5 10 2

10 5 2; 5 10 10 6 12; 5 10

4 8; 2

6 12; 2

x x se x x se x

x x

x x x se x x se x

x sex

x sex

      

 

                

 

      

e)

2 ; 2 0 2 0

1; 2

2 2

2 1; 2

2 ; 2 3 0

2

x sex x

sex

x x

x sex

x se x

x

      

 

          

    

 



f)

10 15 11; 3

5(2 3) 11; 2 3 0 2

5 2 3 11

5(2 3) 11; 2 3 0 3

10 15 11;

2 10 4; 3

2 10 26; 3

2

x sex

x se x

x x se x

x sex

x sex

x sex

    

    

 

                



   

  

   



EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1. Simplifique as expressões modulares abaixo:

a)

3 x  5

b)

2 x   6 x

c)

3 5  x   6 x

d)

5 x 5

x

 

e)

x

²

 16

f)

4 1 1 x x





g)

3

3 x x





^h)

2

4 5

x  x 

i)

2

2 1

1

x x

x

 



^j)

2 2

4 4

4

x x

x

 



^k)

3

1

x 

l)

1 2 8

x x





m)

3 x    9 3 x

n)

3 x   5 2 x  3

2. Indique a condição que falta para que as igualdades abaixo sejam verdadeiras:

a)

3 x  15  15 3  x

b)

^{2 x     8 x}  ^{3 x  8} 

^c)

^{6 x    1 11 12 6  x}

d) ₂

2 1

4 2

x

x x

 

 

^{e) 2}

3 1

6 9

x

x x

  

 

^f)

5 10  x  2 x  12 x  5

g)

1 1

2 2

x x

    x

h)

x  2 x    3 x 3

.

3. Indique a definição correspondente:

a)

1

6 2 ;

x   se x   3

b)

12 3  x  ; se x  4

c)

2

3 2 4 ;

x     x se x  3

d)

3    x 11 2 x  ; se x  3

e)

^{3 6 ;}  ^{2; 2} 

2

x se x

x

   



f)

2

8 16

; 4

4

x x

x se x

   



TESTE DE AFERIÇÃO

1. Uma expressão diz-se modular se:

A. Tiver o símbolo de módulo.

B. O módulo estiver sobre pelo menos uma variável.

C. Após a simplificação surge o símbolo de módulo.

D. Somente tiver toda combinação sobre módulo.

2. A expressão

 ^{5  27} 

²é igual a:

A. -4 B. -2 C.

5  27

D.

27  5

3. A distância entre as abcissas -4,8 e -1,3 é:

A. -6,1 B. 6,1 C. 3,5 D. -3,5

4. Escrevendo a expressão

6 2x 

sem o símbolo de módulo teremos:

A.

6 2 ; 3

2 6; 3

x se x x se x

 

   



^B.

6 2 ; 3

2 6; 3

x se x x se x

 

   



C.

6 2 ; 3

6 2 ; 3

x se x x se x

 

   



^D.

6 2 ; 3

2 6; 3

x se x x se x

 

   



5. Aplicando a definição sobre a expressão

x   1 5 x

teremos:

A.

6 1; 1

5 1; 1

x se x x se x

 

   



^B.

6 1; 1

6 5 1; 1

5 x se x x se x

  

 

   



C.

6 1; 1

6 1; 1

x se x x se x

 

   



^D.

6 1; 0

5 1; 0

x se x x se x

 

   



6. Simplificando a expressão



²

^{10 25} 

5

x x

x

 



^teremos:

A.

x  5

B

.1

C

. 1; 1

1; 1

se x se x

 

  



^D

. 1 ; 5

1 ; 5

se x se x

  

  



7. A condição para que a igualdade

3 x      6 x 2 8 4 x

seja verdadeira é:

8. A definição correspondente para que a igualdade na condição dada,

2 1 1

; 3;

3 2

x x se x

x

        

  

seja verdadeira é:

A.

1 2 3

x x





^B.

1 2 3 x x



 

^C.

2 1 3 x x





^D.

2 1 3 x x

 



4. Equações modulares

Para resolver qualquer equação modular há que escolher dentre as propriedades indicadas na página 5 que facilitem encontrar o resultado rapidamente. É preciso ter cuidado com o empregue da disjunção inclusiva, aliás, neste caso de resolução de equações modulares sé se emprega a disjunção inclusiva.

Definição: chama-se equação modular à semelhança de outras equações a toda igualdade em que a variável aparece sobre símbolo de módulo.

Ex1.:

7 1

2 3 4 2 4 2 3 4 2 7 2 1

2 2

.: 1 7 ; 2 2

x x x x x x x x

sol

                  

  

 

 

Mera explicação do sucedido: veja que a equação acima foi resolvida usando o caminho mais curto, uma das propriedades,

x       a x a x a

Resolução geométrica da equação:

2 3 4 3 2

x      x 2

-2 -1 0 1 2 3 4 5

2 unidades 2 unidades

solução solução

* Leitura : A partir do número

3

2

na recta real podemos marcar 2 unidades de

duas maneiras: para a esquerda que termina em

1 2

  

 

 

e para a direita que termina em

7

2

   

 

Ex2.:

 

3 5 3 5 3 5 8 2 .: 2;8

x               x x x x sol 

ou pode-se resolver aplicando a propriedade

x

²

 x

²

 x

²

         

 

2 2 2 2 2 2

3 5 3 5 3 5 0 3 5 3 5 0 8 2 0

8 0 2 0 8 2 .: 2;8

x x x x x x x

x x x x sol

                   

           

Ex3.:

5 3 5 3 5 3

2 2 2

2 6 10 2 6 10

3 4 16

4 16

3

x x x

x x x

x x x x

x x

x x

            

       

     

   

De:

     x 3 0 x 3

 ^{;3 ;}  ^{. : 4}

x   sol x   3

Mera explicação do sucedido: quando tivermos na equação uma variável que não esteja sobre o módulo obrigatoriamente temos que determinar o domínio de existência para confirmar se os resultados obtidos na resolução da equação são

x

0 3

soluções. Neste caso concreto, nota-se que dos resultados obtidos só um é solução.

Ex4.:

 

2 2 2 2 2

4 3 4 3 4 3 4 3 0 4 3 0

2 7 2 7 1 3 . : 2 7; 2 7;1;3

x x x x x x x x x x

x x x sol

                 

         

Veja que nesta equação modular foi possível resolvê-la não só pelos conhecimentos agora adquiridos mas também conhecimentos de equações quadráticas.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1. Resolva as seguintes equações aplicando o método geométrico:

a)

x   1 3

b)

x   2 4

c)

2 x   4 6

d)

3 x   3 6

e)

2 x   1 5

2. Resolva as equações aplicando a definição:

a)

3 x   1 5

b)

4 x     5 x 3

c)

4 2  x  6

d)

3 x   3 12

e)

2 x    1 5 x

f)

5 x    3 2 x

g)

8 x    1 6

h)

4 x  12   x

i)

2 x   5 0

j)

2 1

3 5 x x

 



^k)

1 2

3 1

x x

x

  



^l)

2

5 4

x    x

m)

x

²

 5 x   4 0

n)

x

²

 4 x   4 2 x  1

o)

6 3

2 x x

 

3. Nos exercícios abaixo, resolva aplicando a propriedade:

a)

x   3 2

b)

3 x   2 4

c)

x   4 6

d)

3 x    1 2

e)

2 x   5 7

4. Determine o valor do parâmetro m para que a equação

mx   1 7

tenha como solução

3

2 ; 2

  

 

 

^.

5. Qual deve ser o valor de k+12 para que a equação

^{3 x }  ^{k  1}  ^{ 14}

^tenha

como solução

16 3 ; 4

  

 

 

^.

6. Determine os valores de a e b para que

2x a   b

tenha como solução

 ^{ 2;3} 

^.

7. Indique o valor que o k deve tomar para que a equação

3 x   1 2 k  1

tenha solução impossível.

8. Determine os valores que se encontram a 3 unidades do número -7.

TESTE DE AFERIÇÃO

1. Chama-se equação modular a qualquer igualdade:

A. Com membros positivos. B. Com coeficientes positivos.

C. Com pelo menos uma incógnita. D. Com incógnita sobre módulo.

2. A solução da equação

3 x   2 4

é:

A.

x    3 x 1

B.

x    2 x 1

C.

2 3 2

x     x

D.

2 3 2

x      x

3. O valore de x para o qual a equação

2 x  12 x  4

tem sentido é:

A.

2 2

7 5

x    x

B.



C.

2

x  7

D.

2 x  5

4. A equação

3 x     2 x 1 0

tem como solução:

A.



B.

1 3

4 2

x    x

C.

1

x  4

D.

3 x  2

5. Os valores que o k pode tomar para que a equação

3 x    2 4 k

não tenha solução são:

A.

^{x  }  ^{; 4} 

B.

^{x   }  ^{; 4} 

C.

^{x  }  ^{; 4} 

D.

^{x }  ^{4; } 

6. A solução de equação

x

²

 6 x   9 2 x  1

é:

A.

4

2; 3

  

 

 

B.

  ^{ 2}

C.

4 3

   

 

D.

 

7. O valor de k para que a

 ^{k  2}  ^{x   1 14}

tenha como solução

13 15 4 ; 4

  

 

 

^é:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. A solução da equação

x

²

 4 x   6 3

em é:

A.

  ^0;3

B.

  ^1;3

C.

  ³

D.



Fim

5. Inequações Modulares

Chama-se inequação modular a qualquer desigualdade em que a variável figura sobre o símbolo de módulo.

Para resolver qualquer equação modular recorre-se às propriedades acima aplicadas em equações a diferença encontra-se na extracção de soluções.

Ora vejamos:

Ex1.:

2 3 x  

1. Pelo método da definição

2 3 2 3 5 1

x x x x

           

Veja que neste caso a preferência foi necessariamente a definição mas observou-se a no segundo ramo a inversão da desigualdade e o negativo no segundo membro como a lei manda. Encontram-se imediatamente, por simplicidade da inequação as desigualdades reduzidas. Para extracção de solução basta representá-los na recta real. Veja abaixo:

Porque o conector de ligação é “ou”, simbolicamente (



) a solução total ou final é obtida pela reunião das soluções parciais.

A observância destes pequenos detalhes é fundamental para que a solução seja verdadeira.

x

-1 0 5

Sol.: ^{x    }  ^{; 1}   ^{5; } 

2. Pela propriedade

   

     

2 2 2 2

2 3 2 3 2 3 0

2 3 2 3 0 5 1 0

x x x

x x x x

        

         

3. Pelo método geométrico:

2 3 x  

 A solução desta inequação é o conjunto de números que se encontram depois de três unidades de número dois.

Ilustração geométrica

Então: sol.:

^{x    }  ^{; 1}   ^{5; } 

Ex2.:

1 4

1 4 1 4 5 3

x

x x x x

 

            X

X-5

X+1

P

-1 5

— — +

+

— +

—

+ +

-1 0 2 5

3 unidades 3 unidades

x Sol.2 Sol.1

x

-3 0 5

Sol.: Sol f sol . :

₁

 sol

₂

Sol.: ^x  ^{ 3;5} 

Sol.: ^{X    }  ^{; 1}   ^{5; } 

Lembre-se que quando se trata de inequações há que ter cuidado com o tipo de desigualdade, visto que quando for maior (>) ou maior ou igual (≥), usa-se a reunião para chegar a solução final, e quando for menor (<) ou menor ou igual (≤), usa-se a intersecção para chegar à solução final.

Agora veja as inequações duplas:

Ex1.:

1

2

2 2 3 6

3 9 9 3

2 3 6 2 3 6 2 3 6 ; . : ;

2 2 2 2

1 5 5 1

2 3 2 2 3 2 2 3 2 ; . : ; ;

2 2 2 2

x

x x x x x sol x

x x x x x sol x

  

                  

  

  

    

                         

    



9 5 1 3

Solf.: sol1 sol : x2 2; 2 2 2;

   

      

Veja que para resolver as inequações duplas há que considerar a relação de duas a duas de acordo com as posições das desigualdades.

Neste caso concreto a expressão intermédia

2 x  3

é maior que 6 e menor que 2 e em separado resolvem-se as inequações específicas e depois a intersecção das soluções específicas para a solução final.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1. Resolva as seguintes inequações aplicando o método geométrico:

a)

x   1 2

b)

x   3 4

c)

2 x   6 8

d)

3 x   6 9

e)

2 x   1 5

2. Resolva as equações aplicando a definição:

a)

3 x   1 5

b)

4 x     5 x 3

c)

4 2  x  6

d)

3 x   3 12

e)

2 x    1 5 x

f)

5 x    3 2 x

g)

8 x   1 6

h)

4 x  12   x

i)

2 x   5 0

j)

2 1

3 5 x x

 



^k)

1 2

3 1

x x

x

  



^l)

2

5 4

x    x

m)

x

²

 5 x   4 0

n)

x

²

 4 x   4 2 x  1

o)

6 3

2 x x

 

3. Nos exercícios abaixo, resolva aplicando a propriedade:

a)

x   2 3

b)

2 x   3 4

c)

x   4 6

d)

3 x    1 2

e)

2 x   5 7

4. Resolva as seguintes inequações duplas:

a)

3  4 x   1 9

b)

0   6 3 x  12

c)

3  5 x  10  15

TESTE DE AFERIÇÃO

1. Chama-se inequação modular a qualquer desigualdade em que:

A. Com membros positivos. B. Com coeficientes positivos.

C. Com pelo menos uma incógnita. D. Com incógnita sobre módulo.

2. A solução da inequação

3 x   1 4

é:

A.

 ^{; 1}  ^{5 ;}

3

 

       

^B.

 ^{; 1}  ^{5 ;}

3

 

       

^C.

 ^{; 1}  ^{5 ;}

3

 

       

^D.

 ^{  ; 1} 

3. Seria solução da inequação

6 x   2 5

:

A.

1 7

; ;

2 6

       

   

   

^B.

1 7 ; 2 6

  

 

 

C.

1 7 2 6 ;

  

 

 

D.

1 7 2 6 ;

  

 

 

4. A inequação dupla

2  3 x   1 8

tem como solução:

A.

^{7 ; 1}   ^1;3

3

    

 

 

B.

^{7 ; 1}   ^1;3

3

    

 

 

^C.

7 ;3 3

  

 

 

D.

 

Fim

Ficha de exercícios

Tema: O número Real e o seu módulo

1. Indique o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:

a)

1

  4

b)

33, 2 

₀^

c)

  3

^

d)

2

₀

9

 



e)

0 

f)

453 

₀^

g)

 1,34 

^₀

h)

1 8 

i)



^₀



^₀

j) ^₀

 

l) ^

 

^

m) ^



^

 

n) ^



^

 

2. Complete com os sinais

    ; ; ; ;

de modo a obter proposições verdadeiras a)

3 _____

^₀

b) ^₀

_____

c) ^₀

_____

^

d)

 2, 56 _____

^

e)

4 _____

3





f)

_____

g) ^₀

_____

^

h) ^₀

_____

^

i)

0 _____

3. Represente no eixo número os números seguintes:

a) -2 b)

1

 3

c)

5 4

d) 0,5

e)

4 3

f)

3

g)

10

h)

6  2

i)

1  7

j) 1,33 k) 2,111...

l)

1 1 2

4. Complete com os símbolos

   ; ; ;

de modo a obter proposições verdadeiras a)

^1_______  ^{ 2;15} 

b)

^{ 2 _______}  ^{  ; 2} 

c)

 0, 75 _______   ;0,89 

d)

 _______ 3,13; 7  

e)

   2; 1 _______ 0;    

f)

  2;5 _______    2;5 

5. Represente os seguintes conjuntos na forma de intervalos

a)

1

: 4

A x    X   5  

 

b)

^{B }  ^{x  : X   0, 76} 

c)

^{C }  ^{x  : 19    x 0} 

d)

^{D }  ^{x  : x      4 x 3} 

e)

1

: 3 17

E    x  4   x  

 

6. Indique o valor lógico das seguintes proposições:

a) A subtracção é sempre possível no conjunto b) A divisão nem sempre é possível no conjunto c)

   0 

^0

d)

\ 

^₀

e)

 ( \ ) 

f)



g)

^{2 }   ^2;5

h)

x

²

 x

i)

  ^{2;3 }   ^2;3

j)

^{3, 001 }   ^{3; 4}

k)

^{2 }   ^{1; 2}

7. Calcule:

a)

   5 8

b)

   3 5

c)

  3 5

d)

  3 5

e)

25   25

f)

   3 72  3

8. Escreva as expressões equivalentes aos seguintes módulos a)

a

²

b)

 a

²

c)

x  2

, se

x  2

d)

x  2

, se

x  2

e)

1 4x 

, se

1 x  4

f)

2 x  5

; se

5

x  2

Módulo de um número Real Alvarino Varela

9. Tomando em conta que

x

²

 x

, calcule a)

25b

²

b)

36 p q r

^{2 4 2}

c)

a

²

 2 ab b 

²

d)

p

²

 6 pq  9 q

²

10. Indique as condições necessárias para verificar as seguintes igualdades:

a)

2

2 B x

x

 



b)

A     x 3 ( x 3)

c)

2 2

( 1) 2 1 C x

x x

 

 

11. Indique as condições necessárias para verificar as igualdades:

a)

x    2 x 2

b)

x    3 x 3

c)

2 x    5 5 2 x

d)

1 3  x  3 x  1

12. Resolva a)

x   1 2

b)

3 2  x  5

c)

  2 5 x  8

d)

3 x     2 x 3 0

Módulo de um número Real Alvarino Varela 13. Resolva

a)

x   5 7

b)

3 1 4

x  

c)

6 2  x  3

d)

3   x 0

14. Resolva as inequações

a)

x   3 4

b)

2 x   5 19

c)

2 x   3 4

d)

4 5

2 x  

15. Resolva as seguintes inequações duplas:

a)

1    x 1 2,5

b)

     2 x 6 1

16. Resolva

a)

3 5

2    x 2 3

b)

7 1

2 3 4 2

    x

Módulo de um número Real Alvarino Varela Soluções da ficha

1. a) V b) F c) V d) F e) V f) V g) F h) V i) V j) F l) V m) v

2.

0 0 0

0 0

) 3 ) ) ) 2,56 ) 4 )

3

) ) ) 0

a Q b Q Q c Q Q d Q e Q f Z Q

g Z Q h Q Z i Z

     

   

       

  

3.

       

       

)1 2;15 ) 2 ; 2 ) 0, 75 ;0.89 ) 3,13;7

) 2; 1 0; ) 2;5 2;5

a b c d

e f

         

      

4.

   

21 13

) ; ) ; 0, 76 ) 19;0 ) ) ; 17

5 4

a A   ^    ^   b B    c C   d D   e E  ^   ^  

5. a) F b) v c) v d) F e) V f) F g) F h) V i) F j) V K) V

6.

) 5 8 13 ) 3 5 8 ) 3 5 8 ) 3 5 2 ) 25 25 0

) 3 72 3 72

a b c d e

f

                

     

Módulo de um número Real Alvarino Varela Teste

1. simplifique:

a)

3

3 A x

x

 



2. Indique o valor lógico da seguinte expressão proposicionais:

a)

x  y   x y b ) x

²

 x

3. Indique a distância do ponto de abcissa -2 até -11.

4. Indique a condição para a igualdade:

a)

3 x    6 6 3 x

5. Resolva a equação modular:

) 4 8 16 ) 2 1

a x   b x   x

6. Resolva em R a seguinte inequação dupla:

2  2 x   6 8

Fim

Módulo de um número Real Alvarino Varela Soluções do teste

1.

3 ; 3

1; 3

3 3

3 1; 3

3 ; 3

3 x se x

se x

x x

A x x se x

x se x

  

 

   

           

 



2. a) V b) v

3.

      11 2 9 9

a distância é de 9 unidades.

4.

3 x    6 6 3 ; x se x  2

5.

⁾  ^2;6  ^{) 1 ;1}

a  b   3  

 

6.

 ^{    7; 4}   ^2;1 

Fim