Os Números Reais. Inequações.

(1)

Os Números Reais.

Inequações.

(2)

..os conjuntos que já conheces…



Conjunto dos Números Naturais incluindo o zero:

={ 1, 2,3, …}

-3  



Conjunto dos Números Naturais: N

={ 0,1, 2,3, …}

  

 ₅ ⁰

-3 5 0

(3)

Z ={…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

0  Z

-3  Z  Z



Conjunto dos Números Inteiros Relativos: Z

5  Z  Z

4 8

Subconjuntos de Z ={…, -3, -2, -1}

={1, 2, 3,… }= N

={0,1, 2, 3,… }= N 0 ={…, -3, -2, -1,0}

Inteiros Negativos

Inteiros Positivos = Naturais Inteiros Não Negativos

Inteiros Não Positivos 1

4

(4)

Q = Z  {números fracionários}

-3  



Conjunto dos Números Racionais:

5 

Observação

2,4 

Um número fracionário é um número

não inteiro que pode ser escrito

como a razão de dois números inteiros com b



0

b a

Exemplo



0 ,25 é um número fracionário:



0,(3) é um nº fracionário:

25 1 0, 25

100 4

 

0, (3) 1

 3

1 4

(5)



Conjunto dos Números Racionais: Q

A qualquer número racional corresponde uma dízima finita ou infinita periódica.

5 , 2 0

1  2 , 52

25 63  ₅ _ ₅ _, ₀

1 0,3333... 0, (3)

3  

2 0, 222222... 0, (2)

9  

4 0,121212...0 , (12)

33  

(6)

OUTROS NÚMEROS…

…Os números irracionais



Por volta do ano 600 a. C., Pitágoras e os seus discípulos estudavam as propriedades dos números inteiros, através de construções geométricas.



Até a essa data, os pitagóricos acreditavam que tudo no universo

estava relacionado com os números inteiros, ou então, razões de

números inteiros (que conhecemos hoje, como o conjunto dos

números racionais).

(7)



A sua crença foi abalada quando descobriram que havia segmentos de reta cuja medida não podia ser expressa por um número racional. Por exemplo, a diagonal de um quadrado de lado 1.



A esta nova classe de números, chamamos números irracionais .

1

2 2 2

1 1 x   

2

2  x   2

   x

2

(8)



Um número irracional é todo o número que pode ser representado por dízima infinita não periódica.

Exemplos :  ₂ _ ³ ₅

2 5 1 

 

Número de ouro

=  { números irracionais }

Conjunto dos números Reais ( )

Ao reunir os novos números (irracionais) com o conjunto (racionais) , criou-se um novo conjunto de números:

(9)

Conjuntos Numéricos

= {números naturais} = {1, 2, 3, 4, …}

= {números reais} = U {números irracionais}

= { números inteiros relativos} = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

= {números racionais} = U {números fracionários}

(10)

Números Reais e Dízimas

Exercício: Complete o quadro colocando uma cruz no número que pertence ao conjunto.

4

 3

3

 5

7 12

7

10

5



(11)

Um número racional é aquele que pode ser representado por uma dízima finita ou uma dízima infinita periódica.

Um número irracional é aquele que pode ser representado por uma dízima infinita não periódica.

(12)

Valores Exatos e Valores Aproximados

Exemplo:

O problema da Nita: quantos metros de fita?

A Nita vai fazer um cartaz retangular de 2 m por 1 m e pensa decorar a diagonal, com uma fita prateada.

Calcule o comprimento de fita que a Nita tem que comprar.

5 5

1 4

1 2

2 2

2



















x x x x

5

é o valor exato da medida da fita a comprar

(13)

Nestes problemas de ordem prática não se usam os valores exatos dos números irracionais, mas valores aproximados.

...

236067977 ,

2 5 

Para comprar a fita não são necessárias tantas casas decimais.

 Pensando com duas casas decimais.

24 , 2 5

23 ,

2   (enquadramento às centésimas)

2,23 é o valor aproximado por defeito, com erro inferior a uma

centésima ou a menos de 0,01.

2,24 é o valor aproximado por excesso a menos de 0,01.

No contexto do problema 2,23 m de fita não chega. Assim, a Nita

deve comprar 2,24 m.

(14)

Podemos pensar noutros enquadramentos:

 enquadramento às milésimas;

237 ,

2 5

236 ,

2  

 enquadramento às décimas;

3 , 2 5

2 ,

2  

Em cada situação é preciso ponderar qual é a aproximação mais

conveniente.

(15)

Comparar Números Reais

1ª Situação

Comparar 155 com 2,0947 74

155 =2,0(945) 74

155 <2,0947 74

Então:

(16)

2ª Situação

Se os

números

estão escritos sob a forma de

a (a 0) 

5  8 ^porque _{5 8} 

22  23

b)

22 23 

porque

 22   23

c)

1 1

d)

2  5

porque

8 7 5 7  8 5 

porque

Exemplo:

1 1 2 5 

a)

(17)

Se os números estão escritos sob a forma de uma fracção

7 5

Comparar com

15 12

m.m.c. (15,12) = ? 15 =3 5 

12 =2 3 3 5

2

 2

2

m.m.c. (15,12) = ^x ^x m.m.c. (15,12) =60

7 = 7 ×4 28 15 15×4 60  5 = 5×5 25 12 12×5 60 

28 25 60 60 

7 > 5 15 12

3ª Situação

(18)

Exercícios: Pág. 141 Explora Pág. 142

T.P.C: Caderno de atividades

Pág.62, 63 e 64 até ex. 6 (inclusivé)

(19)

Reta Real

0 -1 -2

-3 -4

-5 -6

-7 1 2 3 4 5 6 7

A

^-3 ^Lê-se

A abcissa do ponto A é -3

A

Vamos representar os pontos:

B 2 C  2

Exercício:

(20)

Hipotenusa (a)

Cateto (c)

Cateto (b) a ²  b ²  c ²

B 2

  ² ² ^ ^b ² ^ ^c ²

2 2

2 1   1 2 1 1  

0 1

1

2

(21)

2 2 2

a  b  c

D 3

  ³ ² ^ ^b ² ^ ^c ²

    ³ ² ^ ² ² ^ ¹ ²

3   2 1

0 1

2

1

3

(22)

 Todo o número real corresponde a um ponto na reta

orientada.

 A um ponto na reta orientada corresponde um número real.

Conclusão:

(23)

Exercícios: Tarefa 6 pág. 143 Pág. 145

T.P.C: Pág. 166 ex. 1 ao 4 Caderno de atividades

Pág. 64 ex. 7 ao 10 (inclusivé)

(24)

Intervalos de Números Reais

Se numa equação substituirmos o símbolo = por um dos símbolos

> , < , , obtemos uma inequação.

^ ^

 Como representar, em extensão e em compreensão, o conjunto

dos números naturais maiores que 1 e menores que 5?



²^, ³^, ⁴



Representação em extensão (estão indicados todos os

seus elementos);



^x^^IN ^:¹^ ^x ^ ⁵



Representação em compreensão

(25)

 Quantos números reais há maiores que -1 e menores que ? 1 2

Infinitos, logo não é possível representar este conjunto em extensão.







     2 1 1

: x

IR

x Representação em compreensão





2 , 1

1 Representação em intervalo

X Y

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

Created with a trial version of Advanced Grapher - http:/ / www.alentum.com/ agrapher/

Representação geométrica:

Nota: Os parêntesis retos voltados para fora indicam intervalo aberto, o que significa que -1 e não pertencem a este conjunto.

1

2

(26)

 Representações do conjunto de números reais maiores ou iguais a -1 e menores ou iguais a .

2 1







     2 1 1

: x

IR x





2 , 1 1

X Y

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

Representação em intervalo Representação geométrica:

Nota: Os parêntesis retos voltados para dentro indicam intervalo fechado, o que significa que -1 e pertencem a este conjunto.

1 2

(27)

 Representações do conjunto de números reais maiores que -1 e menores ou iguais a . 1

2







     2 1 1

: x

IR

x Representação em compreensão

X Y

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0





2 , 1

1 Representação em intervalo

Nota: O -1 não pertence ao intervalo mas pertence.

2 1

(28)

 Representação do conjunto de todos os números reais maiores que -1,5.



xIR:x  1,5



X Y

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

Representação em intervalo

(29)

 Representação do conjunto de todos os números reais menores ou iguais que 2.

X Y

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0



^x^^IR^: ^x ^ ²



Representação em compreensão Representação geométrica:

Representação em intervalo

(30)

TPC: Exercício 1 da FT Nº9

Questões 5 e 6 páginas 83 e 85

(31)

Interseção e Reunião de Intervalos

No mesmo eixo estão representados o intervalo a vermelho e o intervalo a verde.

X Y

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

 representa o intervalo constituído pelos números comuns aos intervalos A e B.

 representa o intervalo constituído pelos números que pertencem pelo menos a um dos intervalos.

Intersecção Reunião

(32)

Exercícios:

Exercícios 1,2 e 3 pág. 86;

Exercícios 4,5 e 6 pág. 87.

Questão 7 pág. 86;

Exercício 16.2 e 16.3 pág. 99;

Exercícios 2 e 3 pág. 104.

T.P.C:

(33)

Inequações do 1º Grau

Num triângulo isósceles o lado diferente mede 5 cm.

Qual será a medida de cada um dos outros

lados

, de modo que o perímetro seja superior a 11 cm?

5 cm

Resolução:

x

Medida dos lados desconhecidos

2x+5

Expressão que representa o perímetro

Como o perímetro tem de ser maior que 11, escreve-se:

2x+5 >11

Uma desigualdade deste tipo chama-se Inequação.

(34)

Uma Inequação é uma desigualdade onde surgem uma ou mais variáveis.

A inequação

2x+5 >11

é do 1º grau com uma incógnita

.

Tal como nas equações, temos:

O 1º membro é constituído por dois termos:

2x

^e

5

^.

O 2º membro é constituído por um termo:

11

^.

(35)

2 é solução da inequação?

2 não é solução da inequação F

3 é solução da inequação?

F

3 não é solução da inequação

(36)

Resolução de Inequações do 1º grau a uma Incógnita

Resolver uma inequação é determinar todos os valores numéricos que a transformam numa desigualdade verdadeira. Estes valores são as soluções da inequação.

Método de Resolução

1. Se numa inequação passarmos qualquer termo de um membro para o outro, trocando-lhe o sinal, obtemos uma inequação equivalente à dada. _Logo,

(37)

2. Se numa inequação multiplicarmos (ou dividirmos) os dois membros pelo mesmo número positivo obtemos uma inequação equivalente à dada.

Logo,

O conjunto solução é

3. Se numa inequação multiplicarmos (ou dividirmos) os dois membros pelo

mesmo número negativo substituindo

<

^por

>

^(ou

>

^por

<

; por ou por ) obtemos uma inequação equivalente à dada.

Exemplo:

(38)

Conjunção e Disjunção de Inequações

Conjunção V Disjunção

1. Para determinarmos o conjunto-solução da conjunção de duas inequações, resolvemos cada uma delas e depois fazemos a interseção dos respetivos conjuntos-solução.

Exercício: Resolva as condições.

2. Para determinarmos o conjunto-solução da disjunção de duas inequações, resolvemos cada uma delas e depois fazemos a reunião dos respetivos conjuntos-solução.

a)

b) V

(39)

Exemplo1: A figura representa um retângulo. Sabe-se que a área é inferior a 24 m² e que o perímetro é superior a 18 m.

Entre que valores pode variar

x

^?

(x-2) m

3 m

Problemas e Inequações

(40)

Exemplo: Determine x sabendo que o perímetro do retângulo é menor que 50 cm.

(3x+1) cm

(2x) cm

(41)

Exemplo 2: Para que valores de x a expressão toma valores:

a) positivos.

b) não positivos.

c) pertencentes ao intervalo .

d) pertencentes ao intervalo .

 

2 1

3

 x



^^1,5



^3,^

Os Números Reais. Inequações.