Os Números Reais.
Inequações.
..os conjuntos que já conheces…
Conjunto dos Números Naturais incluindo o zero:
={ 1, 2,3, …}
-3
Conjunto dos Números Naturais: N
={ 0,1, 2,3, …}
5 0
-3 5 0
Z ={…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
0 Z
-3 Z Z
Conjunto dos Números Inteiros Relativos: Z
5 Z Z
4 8
Subconjuntos de Z ={…, -3, -2, -1}
={1, 2, 3,… }= N
={0,1, 2, 3,… }= N 0 ={…, -3, -2, -1,0}
Inteiros Negativos
Inteiros Positivos = Naturais Inteiros Não Negativos
Inteiros Não Positivos 1
4
Q = Z {números fracionários}
-3
Conjunto dos Números Racionais:
5
Observação
2,4
Um número fracionário é um número
não inteiro que pode ser escritocomo a razão de dois números inteiros com b
0
b a
Exemplo
0 ,25 é um número fracionário:
0,(3) é um nº fracionário:
25 1 0, 25
100 4
0, (3) 1
3
1 4
Conjunto dos Números Racionais: Q
A qualquer número racional corresponde uma dízima finita ou infinita periódica.
5 , 2 0
1 2 , 52
25
63 5 5 , 0
1 0,3333... 0, (3)
3
2 0, 222222... 0, (2)
9
4 0,121212...0 , (12)
33
OUTROS NÚMEROS…
…Os números irracionais
Por volta do ano 600 a. C., Pitágoras e os seus discípulos estudavam as propriedades dos números inteiros, através de construções geométricas.
Até a essa data, os pitagóricos acreditavam que tudo no universo
estava relacionado com os números inteiros, ou então, razões de
números inteiros (que conhecemos hoje, como o conjunto dos
números racionais).
A sua crença foi abalada quando descobriram que havia segmentos de reta cuja medida não podia ser expressa por um número racional. Por exemplo, a diagonal de um quadrado de lado 1.
A esta nova classe de números, chamamos números irracionais .
1
1
2 2 2
1 1 x
2
2
x 2
x
2
Um número irracional é todo o número que pode ser representado por dízima infinita não periódica.
Exemplos : 2 3 5
2 5 1
Número de ouro
= { números irracionais }
Conjunto dos números Reais ( )
Ao reunir os novos números (irracionais) com o conjunto (racionais) , criou-se um novo conjunto de números:
Conjuntos Numéricos
= {números naturais} = {1, 2, 3, 4, …}
= {números reais} = U {números irracionais}
= { números inteiros relativos} = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
= {números racionais} = U {números fracionários}
Números Reais e Dízimas
Exercício: Complete o quadro colocando uma cruz no número que pertence ao conjunto.
4
3
3
5
7 12
7
10
5
Um número racional é aquele que pode ser representado por uma dízima finita ou uma dízima infinita periódica.
Um número irracional é aquele que pode ser representado por uma dízima infinita não periódica.
Valores Exatos e Valores Aproximados
Exemplo:
O problema da Nita: quantos metros de fita?
A Nita vai fazer um cartaz retangular de 2 m por 1 m e pensa decorar a diagonal, com uma fita prateada.
Calcule o comprimento de fita que a Nita tem que comprar.
5 5
1 4
1 2
2 2
2 2
2
x x x x
5
é o valor exato da medida da fita a comprar
Nestes problemas de ordem prática não se usam os valores exatos dos números irracionais, mas valores aproximados.
...
236067977 ,
2 5
Para comprar a fita não são necessárias tantas casas decimais.
Pensando com duas casas decimais.
24 , 2 5
23 ,
2 (enquadramento às centésimas)
2,23 é o valor aproximado por defeito, com erro inferior a uma
centésima ou a menos de 0,01.
2,24 é o valor aproximado por excesso a menos de 0,01.
No contexto do problema 2,23 m de fita não chega. Assim, a Nita
deve comprar 2,24 m.
Podemos pensar noutros enquadramentos:
enquadramento às milésimas;
237 ,
2 5
236 ,
2
enquadramento às décimas;
3 , 2 5
2 ,
2
Em cada situação é preciso ponderar qual é a aproximação mais
conveniente.
Comparar Números Reais
1ª Situação
Comparar 155 com 2,0947 74
155 =2,0(945) 74
155 <2,0947 74
Então:
2ª Situação
Se os
números
estão escritos sob a forma dea (a 0)
5 8 porque 5 8
22 23
b)22 23
porque
22 23
c)
1 1
d)2 5
porque
8 7 5 7 8 5
porque
Exemplo:
1 1 2 5
a)
Se os números estão escritos sob a forma de uma fracção
7 5
Comparar com
15 12
m.m.c. (15,12) = ? 15 =3 5
12 =2 3 3 5
2 2
2m.m.c. (15,12) = x x m.m.c. (15,12) =60
7 = 7 ×4 28 15 15×4 60 5 = 5×5 25 12 12×5 60
28 25 60 60
7 > 5 15 12
3ª Situação
Exercícios: Pág. 141 Explora Pág. 142
T.P.C: Caderno de atividades
Pág.62, 63 e 64 até ex. 6 (inclusivé)
Reta Real
0 -1 -2
-3 -4
-5 -6
-7 1 2 3 4 5 6 7
A
-3 Lê-seA abcissa do ponto A é -3
A
Vamos representar os pontos:
B 2 C 2
Exercício:
Hipotenusa (a)
Cateto (c)
Cateto (b) a 2 b 2 c 2
B 2
2 2 b 2 c 2
2 2
2 1 1 2 1 1
0 1
1
2
2
2 2 2
a b c
D 3
3 2 b 2 c 2
3 2 2 2 1 2
3 2 1
0 1
2
1
3
Todo o número real corresponde a um ponto na reta
orientada.
A um ponto na reta orientada corresponde um número real.
Conclusão:
Exercícios: Tarefa 6 pág. 143 Pág. 145
T.P.C: Pág. 166 ex. 1 ao 4 Caderno de atividades
Pág. 64 ex. 7 ao 10 (inclusivé)
Intervalos de Números Reais
Se numa equação substituirmos o símbolo = por um dos símbolos
> , < , , obtemos uma inequação.
Como representar, em extensão e em compreensão, o conjunto
dos números naturais maiores que 1 e menores que 5?
2, 3, 4
Representação em extensão (estão indicados todos osseus elementos);
xIN :1 x 5
Representação em compreensão Quantos números reais há maiores que -1 e menores que ? 1 2
Infinitos, logo não é possível representar este conjunto em extensão.
2 1 1
: x
IR
x Representação em compreensão
2 , 1
1 Representação em intervalo
X Y
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
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Representação geométrica:
Nota: Os parêntesis retos voltados para fora indicam intervalo aberto, o que significa que -1 e não pertencem a este conjunto.
1
2
Representações do conjunto de números reais maiores ou iguais a -1 e menores ou iguais a .
2 1
2 1 1
: x
IR x
2 , 1 1
X Y
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
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Representação em compreensão
Representação em intervalo Representação geométrica:
Nota: Os parêntesis retos voltados para dentro indicam intervalo fechado, o que significa que -1 e pertencem a este conjunto.
1 2
Representações do conjunto de números reais maiores que -1 e menores ou iguais a . 1
2
2 1 1
: x
IR
x Representação em compreensão
X Y
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
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Representação geométrica:
2 , 1
1 Representação em intervalo
Nota: O -1 não pertence ao intervalo mas pertence.
2 1
Representação do conjunto de todos os números reais maiores que -1,5.
xIR:x 1,5
Representação em compreensãoX Y
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
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Representação geométrica:
Representação em intervalo
Representação do conjunto de todos os números reais menores ou iguais que 2.
X Y
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
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xIR: x 2
Representação em compreensão Representação geométrica:Representação em intervalo
TPC: Exercício 1 da FT Nº9
Questões 5 e 6 páginas 83 e 85
Interseção e Reunião de Intervalos
No mesmo eixo estão representados o intervalo a vermelho e o intervalo a verde.
X Y
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
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representa o intervalo constituído pelos números comuns aos intervalos A e B.
representa o intervalo constituído pelos números que pertencem pelo menos a um dos intervalos.
Intersecção Reunião
Exercícios:
Exercícios 1,2 e 3 pág. 86;
Exercícios 4,5 e 6 pág. 87.
Questão 7 pág. 86;
Exercício 16.2 e 16.3 pág. 99;
Exercícios 2 e 3 pág. 104.
T.P.C:
Inequações do 1º Grau
Num triângulo isósceles o lado diferente mede 5 cm.
Qual será a medida de cada um dos outros
lados
, de modo que o perímetro seja superior a 11 cm?5 cm
Resolução:
x
Medida dos lados desconhecidos2x+5
Expressão que representa o perímetroComo o perímetro tem de ser maior que 11, escreve-se:
2x+5 >11
Uma desigualdade deste tipo chama-se Inequação.
Uma Inequação é uma desigualdade onde surgem uma ou mais variáveis.
A inequação
2x+5 >11
é do 1º grau com uma incógnita.
Tal como nas equações, temos:
O 1º membro é constituído por dois termos:
2x
e5
.O 2º membro é constituído por um termo:
11
.2 é solução da inequação?
2 não é solução da inequação F
3 é solução da inequação?
F
3 não é solução da inequação
Resolução de Inequações do 1º grau a uma Incógnita
Resolver uma inequação é determinar todos os valores numéricos que a transformam numa desigualdade verdadeira. Estes valores são as soluções da inequação.
Método de Resolução
1. Se numa inequação passarmos qualquer termo de um membro para o outro, trocando-lhe o sinal, obtemos uma inequação equivalente à dada. Logo,
2. Se numa inequação multiplicarmos (ou dividirmos) os dois membros pelo mesmo número positivo obtemos uma inequação equivalente à dada.
Logo,
O conjunto solução é
3. Se numa inequação multiplicarmos (ou dividirmos) os dois membros pelo
mesmo número negativo substituindo
<
por>
(ou>
por<
; por ou por ) obtemos uma inequação equivalente à dada.Exemplo:
Conjunção e Disjunção de Inequações
Conjunção V Disjunção
1. Para determinarmos o conjunto-solução da conjunção de duas inequações, resolvemos cada uma delas e depois fazemos a interseção dos respetivos conjuntos-solução.
Exercício: Resolva as condições.
2. Para determinarmos o conjunto-solução da disjunção de duas inequações, resolvemos cada uma delas e depois fazemos a reunião dos respetivos conjuntos-solução.
a)
b) V
Exemplo1: A figura representa um retângulo. Sabe-se que a área é inferior a 24 m2 e que o perímetro é superior a 18 m.
Entre que valores pode variar
x
?(x-2) m
3 m
Problemas e Inequações
Exemplo: Determine x sabendo que o perímetro do retângulo é menor que 50 cm.
(3x+1) cm
(2x) cm
Exemplo 2: Para que valores de x a expressão toma valores:
a) positivos.
b) não positivos.
c) pertencentes ao intervalo .
d) pertencentes ao intervalo .
2 1
3
x