Métodos de Apoio à Decisão

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Métodos de Apoio à Decisão

Problemas de Localização

João Pedro Pedroso

2021/2022

João Pedro Pedroso Métodos de Apoio à Decisão 2021/2022 1 / 29

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Ultimas aulas

Pesquisa em árvore(branch-and-bound)

UB=46¹₂

x= (1,1,¹₂,0)

UB=45¹₃

x= (1,¹₃,1,0)

feasible objective=42

x= (0,1,1,0) x²=1

UB=44³₅

x= (1,0,1,¹₅)

infeasible x= (?,0,1,1)

x⁴=1

feasible objective=39 x= (1,0,1,0)

x4=0 x2

=0 x³=1

UB=46¹₅

x= (1,1,0,²₅)

UB=43 x= (₁₀⁷,¹₅,0,1)

infeasible x= (1,?,0,1)

x1=1

UB=40²₃ bounded x= (0,²₃,0,1) x₁

=0 x⁴

=1

feasible objective=35

x= (1,1,0,0) x₄

=0 x₃

=0

Próximas aulas:

Problemas de localização

Facility Location Problems(FLP)

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Problemas de localização

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Problemas de localização

Problema de otimização clássico para determinar os locaisde fábricas e armazéns

escolher o melhor entre os sites potenciais

sujeito a restrições desatisfação da procura (encomendas) de clientes objetivo: selecionar locais para instalações, de forma aminimizar os custos totais

Estrutura de custos típica:

parte proporcional adistânciasdos pontos de procura às instalações de atendimento

parte relacionada àabertura de instalações As instalações podem ter capacidades limitadas

FLP capacitado FLP não capacitado

Veremos várias formulações e seu desempenho

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Problema de localização capacitado

a procura total que cada instalação pode satisfazer é limitada modelagem:

satisfação da procura restrições de capacidade

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Exemplo

Uma empresa tem 3 locais onde pode instalar os seus armazéns e 5 pontos de procura

Cada localj tem umcusto de ativaçãoanual f_j e.g., custo deleasinganual se a empresa o usar independente do volume que serve

Volume limitado a um máximo anual Mj

Custo de transporte c_ij por unidade servida do localj ao ponto de procurai

Clientei 1 2 3 4 5

Procura anual d_i 80 270 250 160 180

Local j custo c_ij f_j M_j

1 4 5 6 8 10 1000 500

2 6 4 3 5 8 1000 500

3 9 7 4 3 4 1000 500

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Exemplo

500

500 500

80

180 160 250 270 80

150 270

100 80

16080 18080

Clientei 1 2 3 4 5

Procura anual di 80 270 250 160 180

Local j custo cij fj Mj

1 4 5 6 8 10 1000 500

2 6 4 3 5 8 1000 500

3 9 7 4 3 4 1000 500

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Formulação

Clientesi ∈I ={1,2, . . . ,n}

Locais para instalações j ∈J={1,2, . . . ,m}

Variáveis:

x_ij≥0→quantidade enviada da instalaçãoj ao clientei y_j=1 se se abrir instalação no localj,y_j=0 c.c.

minimizar X

j∈J

f_jy_j +X

i∈I

X

j∈J

c_ijx_ij

sujeito a: X

j∈J

xij =di ∀i ∈I

n

X

i=1

x_ij ≤M_jy_j ∀j ∈J xij ≤diyj ∀i ∈I, j ∈J

x_ij ≥0 ∀i ∈I, j ∈J

y_j ∈ {0,1} ∀j ∈J

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Objetivo: minimizar custos de ativação + custos de transporte Primeiras restrições: satisfação de procura de clientes

Segundas restrições: quant. máxima servida por cada local 0 se não for ativado

capacidade das instalações se forem ativadas

Terceiras restrições: majorantes (variable upper bounds) redundantes, mas tornam a relaxação mais justa (tight)

minimizar X

j∈J

fjyj +X

i∈I

X

j∈J

cijxij

sujeito a: X

j∈J

xij =di ∀i ∈I

n

X

i=1

xij ≥0 ∀i ∈I, j ∈J

y_j ∈ {0,1} ∀j ∈J

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Modelo em AMPL

1 set I;

2 set J;

3 param f {J};

4 param c {I, J};

5 param d {I};

6 param M {J};

7

8 var x {I, J} >=0;

9 var y {J} binary;

10

11 subject to

12 Demand {i in I}: sum {j in J} x[i,j] = d[i];

13 Supply {j in J}: sum {i in I} x[i,j] <= M[j] * y[j];

14 Bounds {i in I, j in J}: x[i,j] <= d[i] * y[j];

15

16 minimize cost: sum {j in J} f[j] * y[j] +

17 sum {i in I, j in J} c[i,j] * x[i,j];

(11)

Dados AMPL

1 data;

2 param: J: M f := # defines set "J" and param "M" and "f"

3 1 500 1000

4 2 500 1000

5 3 500 1000 ;

6 param: I: d := # defines set "I" and param "d"

7 1 80

8 2 270

9 3 250

10 4 160

11 5 180;

12 param c (tr) : # (tr) --> transposed

13 1 2 3 4 5 :=

14 1 4 5 6 8 10

15 2 6 4 3 5 8

16 3 9 7 4 3 4 ;

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Formulação para o caso capacitado

Clientesi ∈I ={1,2, . . . ,n}

Locais para instalações j ∈J={1,2, . . . ,m}

Variáveis:

x_ij≥0→quantidade enviada da instalaçãoj ao clientei y_j=1 se se abrir instalação no localj,y_j=0 c.c.

minimizar X

j∈J

f_jy_j +X

i∈I

X

j∈J

c_ijx_ij

sujeito a: X

j∈J

xij =di ∀i ∈I

n

X

i=1

x_ij ≥0 ∀i ∈I, j ∈J

y_j ∈ {0,1} ∀j ∈J

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Formulações fortes e fracas

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Formulações fortes e fracas

Consideremos o casosem capacidades

qualquer quantidade pode ser servida de qualquer instalação problema de localização sem capacidades

Uma forma de modelar: arbitrar M muito elevadoem X

i∈I

xij ≤Mjyj ∀j ∈J

Se removermos as restrições redundantes x_ij ≤d_iy_j, ∀i ∈I,j ∈J

problema fica difícil de resolver em especial quandoM aumenta bigM pitfall

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Big M

X

i∈I

x_ij ≤M_jy_j ∀j ∈J

Ideia: modelar "se não ativarmos instalação, não podemos transportar nada de lá"

Parametro M representa um valorsuficientemente grande restrição deve ser limitante seyj =0

não deve ser limitante no caso contrário

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Exemplo (livro "W. Wayne")

Because of excessive pollution on the Momiss River, the state of Momiss is going to build pollution control stations. Three sites (1, 2, and 3) are under consideration. Momiss is interested in controlling the pollution levels of two pollutants (1 and 2). The state legislature requires that at least 80,000 tons of pollutant 1 and at least 50,000 tons of pollutant 2 be removed from the river.

The relevant data for this problem are shown below. Formulate an integer optimization problem to minimize the cost of meeting the state legislature’s goals.

Cost of Cost of Amount removed (ton) Site building treating per ton of water

station ($) 1 ton water ($) Pollutant 1 Pollutant 2

1 100000 20 0.40 0.30

2 60000 30 0.25 0.20

3 40000 40 0.20 0.25

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(18)

Big M

X

i∈I

x_ij ≤M_jy_j ∀j ∈J

Ideia: modelar "se não ativarmos instalação, não podemos transportar nada de lá"

Parametro M representa um valorsuficientemente grande restrição deve ser limitante seyj =0

não deve ser limitante no caso contrário No entanto:

na prática, valores deM muito elevado perturbam o modelo

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Modeling tip

BigM deve ser definido comoo menor valor possível Sempre que possível, é melhor não usarBig M

Se for necessário o seu uso, escolher menor valor possível, por forma a que formulação se mantenha correta

i.e., a restrição não seja limitante parayj =1

Usar números grandes, comoM =9999999, é impensável, exceto para instâncias muito pequenas

(20)

Exercício

Ajustar o modelo anterior para usar o menor valor possívelpara M

(21)

Observações

Para o problema de localização não capacitado:

formulação correta: definirM=montante total encomendado No entanto, é possívelmelhorar a formulação:

adicionandoxij≤diyj

que formulação devemos usar?

a resposta depende do caso particular

em geralformulações mais fortessão recomendadas forte/fraca→definida em termos darelaxação linear

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Definição: formulações fortes e fracas

Para um mesmo problema: duas formulações Ae B Relaxação linear:

excluir restrições de integralidade

Sejam asregiões admissíveis correspondentesP_A e P_B Se P_A ⊂P_B → formulação Aé mais fortedo que B

B émais fracado que A

Intuitivamente, seP_A é mais justa do queP_B, o majorante/minorante dado pela relaxação linear fica mais próximo do ótimo do problema inteiro

(23)

Formulações diferentes

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Formulação ideal

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Caso de estudo: problema de localização

Considere as formulações:

A→com restriçõesxij≤diyj

B →usando apenasPn

i=1xij≤ Pn i=1di

yj

Aé mais forte do que B Como verificamos:

P_A,P_B →regiões admissíveis deAeB restrições deB obtêm-se adicionando as deA isso implica quePA⊆PB

(26)

Observações

Para mostrarmos que formulação é mais forte:

P_A ⊂P_B, ou

verificar que a solução da relaxação linear deBnão está incluída emP_A

"É sempre preferível usar uma formulação mais forte?"

não há uma resposta teórica

parte da arte de modelação matemática

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Perceção dos efeitos de uma formulação mais forte

Geralmente, formulação mais forte têm mais restrições e variáveis exemplo anterior:

formulação forte: nmrestrições fraca: apenasnrestrições

Tempo para resolver a relaxação linear:

depende do número de restrições e variáveis

provavelmente, mais longo para a formulação mais forte Trade-offentre

tempos mais curtos para solução das relazações, em formulações fracas maior número de nós na árvore de pesquisa (branch-and-bound) Guideline: como o tamanho da árvore de enumeração aumenta muito rapidamente quando a escala do problema aumenta, mesmo com mais variáveis e restrições as formulações mais fortessão geralmente preferíveis

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Exercício

Usando branch-and-bound, resolva o problema de remoção de poluentes com

M =9999999

o menor valor válido para M_i,i =1,2,3

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Próxima aula:

mais modelos para localização sem capacidades