NotasdeAulaProfValério

(1)

GEOMETRIA PLANA

E DESENHO GEOM´

ETRICO

L

UIZ

F

ELIPE

A

RAUJO

M

OD

Universidade Federal do ABC - UFABC, Brasil

V

AL´ERIO

R

AMOS

B

ATISTA

(2)

Resumo

A Geometria proporciona uma visão privilegiada na solu¸cão de problemas práticos e teóricos, além de descobertas motivantes. Apesar de ser uma teoria já encerrada no século XIX, seu dom´ınio é essencial para o desenvolvimento de outras áreas, como F´ısica e Engenharia.

Fixou-se como objetivo o estudo de resultados notáveis como “a circunferência de nove pontos”, “a reta de Euler”, “o teorema de Papus” e “o teorema de Pascal”. Estes formam uma cole¸cão de exemplos cujos enunciados são tão intrigantes que muito impelem a vontade de conhecer todos os passos de suas demonstra¸cões.

Os resultados, como tratam-se de teoremas antigos e já conhecidos, concentram-se muito mais no aprendizado e dom´ınio da Axiom´atica envolvida, além da Intui¸cão Geométrica, que deselvolveu-se por dedica¸cão ao estudo desta teoria. Ressalta-se que as demonstra¸cões obtidas s˜ao mais rigorosas do que as encontradas nas literaturas clássicas de Geometria Plana. Esta é a parte original do trabalho.

Conclui-se que a Geometria Plana é uma ciência viva, que seu exerc´ıcio propor-ciona uma evolu¸cão de pensamento, e que posteriormente aplicado em outras áreas apresenta solu¸cões elegantes e práticas.

(3)

Sum´

ario

Parte I - Introdu¸cão à Axiomática 01 Parte II - Geometria dos Segmentos 07 Parte III - Congruência de Figuras 12 Parte IV - Ângulos 13 Parte V - Triângulos 15 Parte VI - Perpendiculares 19 Parte VII - Paralelas 21 Parte VIII - Semelhan¸ca 25 Parte IX - Circunferências 28 Parte X - Teoremas Notáveis 30

(4)

Parte I

Introdu¸

c˜

ao `

a Axiom´

atica

Axiom´atica

Um conjunto de afirma¸c˜oes consideradas verdades, sem justificativa. Tais afirma¸c˜oes utilizam conceitos primitivos: ponto, segmento, pertencer, conjunto, elemento.

Conven¸c˜oes

Pontos serão representados por letras maiúsculas e retas por letras minúsculas. Os segmentos serão da forma P1P2, P1 e P2 pontos distintos. Qualquer segmento é

um conjunto de pontos.

Axioma 0. ∃ A, B com A 6= B.

Axioma 1. AB = CD ⇔ {A, B} = {C, D}. Axioma 2. {A, B} ⊂ AB.

Axioma 3. ∀ AB, ∃ C /∈ {A, B} tal que C ∈ AB

Defini¸c˜ao 1. Do Axioma 3, C é ponto interno de AB, ou C está entre A e B. Nota¸cão: A − C − B.

Proposi¸c˜ao 1. A 6= B ⇒ o conjunto C := {X; X = A, A − X − B, X = B}

coincide com AB.

Dem: Direto de A2, A3 e Def 1.

Proposi¸c˜ao 2. AB = BA.

(5)

Dem: Como {A, B} = {B, A}, do Axioma 1 temos AB = BA.

Corol´ario 1. A − X − B ⇔ B − X − A.

Dem: Temos X ∈ C \ {A, B}. Agora, Prop 2 ⇒ AB = BA, Prop 1 ⇒ C = AB = BA ⇒ X ∈ BA \ {A, B}, e da Def 1 ⇒ B − X − A. A rec´ıproca ´e an´aloga se trocarmos A e B. Axioma 4. A − C − B ⇒ A /∈ CB. Axioma 5. A − C − B ⇒ AC ⊂ AB. Axioma 6. ∀ C, A − C − B ⇒ AB ⊂ AC ∪ CB. Axioma 7. A − B − C e A − B − D ⇒ A − C − D, A − D − C ou C = D. Axioma 8. A − B − C e D − A − B ⇒ D − A − C.

Axioma 9. A 6= B ⇒ ∃ C tal que A − B − C.

Defini¸c˜ao 2.←→AB := {X; X − A − B, X = A, A − X − B, X = B, ou A − B − X} ´e chamada reta ←→AB .

Axioma 10. ∀ reta r, ∃ P /∈ r.

Lema 1. K − L − M ⇒ ←→KL = ←→LM = KM .←→ Proposi¸c˜ao 3. ∀ P, Q ∈ r, P 6= Q ⇒ r = ←→P Q .

Dem: ∃ A, B ∈ r, A 6= B ⇒ r = ←→AB . Usamos o Cor 1 e os Axiomas 5 a 8 para mostrar que, não importando a posi¸cão de P e Q em rela¸cão a A e B, teremos Y, Z distintos tais que {Y, Z} ⊂ {A, B, P, Q} ⊂ Y Z. Agora usamos novamente o Cor 1

(6)

e os Axiomas 5,6 para garantir as hip´oteses do Lema 1, que implica ←→P Q = ←→Y Z e ←→

AB = ←→Y Z . .· _{r =} ←→_{P Q .}

Corol´ario 2. r 6= s ⇒ ♯(r ∩ s) ≤ 1.

Dem: Se ∃ P, Q ∈ (r ∩ s) com P 6= Q, pela Prop 3 temos r = ←→P Q = s_{ւ. Ent˜ao}⌣

vale a tese.

Proposi¸c˜ao 4. ∃ r, s, t tais que r ∩ s ∩ t = ∅.

Dem: Tome r qualquer, logo ∃ A, B tais que r = ←→AB . Pelo A10, ∃ P /∈ r. Definindo s = ←→AP e t = ←→BP , se tiv´essemos ♯(s ∩ t) ≥ 2, o Cor 2 implicaria s = t com A, B ∈ s, t, donde ←→AB = s = t. Mas r = ←→AB . .· P ∈ rւ. Logo s ∩ r = {P } ⇒⌣

r ∩ s ∩ t = ∅.

Defini¸c˜ao 3. A, B, C colineares ⇔ ∃ r tal que r ⊃ {A, B, C}.

Defini¸cão 4. Dados A, B, C não colineares, definimos o triângulo △ABC :=

AB ∪ BC ∪ CA.

Defini¸c˜ao 5. Dados A, B, C n˜ao colineares, o plano Π(ABC) ´e o conjunto S ←→XY tal que X, Y ∈ △ABC.

Axioma de Pasch. Dado △ABC, ∀ D, E, F ⊂ Π(ABC) tais que ∃△DEF e ∀ r tal que ♯(r ∩ (DE \ {D, E})) = 1, tem-se r ∩ (DF ∪ EF ) 6= ∅.

Proposi¸c˜ao 5. Sejam D, E, F ∈ Π(ABC) tal que ∃ △DEF . Ent˜ao Π(DEF ) =

Π(ABC).

Dem: Spg temos D 6∈ {A, B, C}, D, A, C ncol, e tmb D, A, B ncol. Tome r = ←→

XY ⊂ Π(ABC) com X, Y ∈ △ABC e D ∈ r. Se D, B, C col, ent˜ao spg {X, Y } = {B, C}, e do Axioma de Pasch segue-se facilmente que Π(ABC) = Π(ADC). Se

(7)

D, B, C ncol, então {X, Y } 6⊂ {A, B, C}, donde spg X ∈ AB \ {A, B}. Usando o Axioma de Pasch, segue-se que Π(ABC) = Π(AXC) = Π(Y XC). Nos casos Y − X − D ou Y − D − X, este último é igual a Π(Y DC) = Π(ADC). No caso D − Y − X, Π(Y XC) = Π(DXC) = Π(DY C) = Π(DAC). Assim procedendo, teremos Π(ADC) = Π(ADE) = (DEF ).

Proposi¸c˜ao 6. Se ♯(r ∩ Π(ABC)) ≥ 2, ent˜ao r ⊂ Π(ABC).

Dem: Sejam D 6= E com {D, E} ⊃ (r ∩ Π(ABC)). Agora A, B, C não colineares, e sem perda de generalidade A /∈ r. Logo D, E e A não são colineares. Então, ∃ Π(DEA) = Π(ABC) pela Prop 5. Mas a reta r está contida no plano Π(DEA), pois r = ←→DE e ←→DE ⊂S ←→XY , X, Y ∈ △(DEA), donde r ⊂ Π(DEA) por defini¸cão. Então r ⊂ Π(ABC).

OBS: O Axioma de Pasch não vale na Geometria Espacial. Ao adotá-lo, reduzi-mos o espa¸co a um único plano Π, o que faremos daqui em diante. Na Geometria Espacial, é preciso fazer uma “troca”. Por exemplo, axiomatizar a Proposi¸cão I.5, o que torna demonstrável a Afirma¸cão de Pasch quando restrita a retas e triângulos de um mesmo plano (vide Teorema V.1).

Defini¸cão 6. Sejam r, A, B com {A, B} ∩ r = ∅. Caso AB ∩ r = ∅, diremos que A, B estão do mesmo lado de r e denotaremos mlr. Sen˜ao, diremos que estão de lados opostos a r e denotaremos lor.

Axioma da Separa¸c˜ao (AS). ∀ r e ∀ {A, B, C} ∩ r = ∅ temos: i) A, B mlr e B, C mlr ⇒ A, C mlr.

ii) A, B lor e B, C lor ⇒ A, C mlr.

Proposi¸c˜ao 7. Seja r e {A, B, C} ∩ r = ∅. A, B mlr e A, C lor ⇒ B, C lor. Dem: Se B, C mlr, como A, B mlr, do AS(i) concluir´ıamos que A, C mlr_{ւ. Logo}⌣

(8)

Teorema 1. Dada r tem-se Π \ r = A ˙∪B, A, B s˜ao convexos e n˜ao vazios.

Dem: ∃ A /∈ r por A10. Tome P ∈ r e B tal que A − P − B pelo A9. Como AB ∩ r = {P } 6= ∅ temos, pela Def 6, A, B lor. Seja A := {X; X, A mlr} e B := {Y ; Y, B mlr}, A ∈ A e B ∈ B. ´E claro que A ∪ B ⊂ (Π \ r). Se ∃ C ∈ A ∩ B ⇒ A, C mlr e B, C mlr, mas pelo AS, A, B mlrւ. Logo, A ∩ B = ∅. Seja D ∈ (Π \ r). Se D, A⌣ mlr ⇒ D ∈ A. Sen˜ao, temos D, A lor. Como A, B lor, por AS, D, B mlr ⇒ D ∈ B. Logo, vale a tese.

Defini¸c˜ao 7. De acordo com o Teo 1, S(r, A) := A, Sop_{(r, A) := B, S := S ∪ r e}

Sop:= Sop_{∪ r.}

O seguinte lema será usado somente na demonstra¸cão do Corolário VIII.3, mas resolvemos apresentá-lo aqui por razões de contextualidade.

Lema 2. A, B, C n˜ao colineares, A − L − B, B − M − C e C − N − A ⇒ L, M, N n˜ao colineares.

Dem: Se tivéssemos L = M , então ←→BL = BM =←→ ←→AB = ←→BC , então A, B, C são colineares _{ւ. Logo, ∃ r =}⌣ ←→_{LM . Temos A /}_{∈ r, senão r =} ←→_{AL =} ←→_{AB =} ←→_{BM =}

←→

BC _{ւ. Analogamente, B, C /}⌣ _{∈ r. Agora, AB ∩ r ⊃ {L} e BC ∩ r ⊃ {M } ⇒ A, B}

lor e B, C lor. Pelo AS, A, C mlr e pela Def 6, AC ∩ r = ∅ ⇒ N /∈ r.

O teorema a seguir poderia ter sido apresentado logo após o Lema 1. Deixamos para introduz´ı-lo aqui, pois é a partir deste ponto que ele se torna útil.

Teorema 2. A − B − C, A − C − D ⇒ B − C − D e A − B − D.

Dem: Do Ex 1, B ∈ AC ⊂ AD = AC ∪ CD, com AC ∩ CD = {C}. Logo, B /∈ CD, mas B ∈ ←→CD = ←→AC (←→CD = ←→AC pelo Lema 1). Então B − C − D ou C − D − B. Desta última, como A−C −D tem-se A−C −B pelo A8 que é uma contradi¸cão pelo

(9)

A4, pois B ∈ AC. Logo, B − C − D. Agora, B ∈ AD e B /∈ {A, D} . .· _{A − B − D.}

Defini¸c˜ao 8. −→AB := AB ∪ {X; A − B − X} semi-reta com origem A (que passa

por B). Obs.: −→AB ∩ −→BA = AB e −→AB ∪−→BA = ←→AB .

Defini¸c˜ao 9. ←−AB := {A} ∪ {X; X − A − B} semi-reta com origem A (oposta

a B). Obs.: ←−AB ∩−→BA = {A}.

Teorema 3 (Teorema da Separa¸c˜ao das Retas). Se A ∈ (BC \ {B, C}) ⊂ r,

ent˜ao r = −→AB ∪ −→AC .

Dem: ∀ P ∈ −→AB , ´e claro que P ∈ ←→AB . Pelo A3, ∃ D tal que B − D − A. Da Prop 3 temos r = ←→DA = ←→AB . .· P ∈ r. Analogamente r = ←→AC , donde −→_{AB ∪} −→_{AC ⊂ r.}

Suponha que ∃ Q ∈ (r \ (−→AB ∪ −→AC )). Ent˜ao Q − A − B e Q − A − C e, pelo A7, Q − C − B, Q − B − C ou B = C (B 6= C, pois ∃ BC). Como vale C − A − B, se tivermos C − B − Q do Teo 2 segue que A − B − Q_{ւ. Como vale B − A − C, se}⌣

tivermos B − C − Q do Teo 2 segue que A − C − Q_{ւ . .}⌣ · −→AB ∪ −→AC ⊃ r.

Proposi¸c˜ao 8. Se A − B − C, ent˜ao −→BA ∩−→BC = {B} e −→AB = −→AC .

Teorema 4. Seja r 6⊃ →s com origem O ∈ r. Ent˜ao ∀ P ∈ (→s \ r) ⇒ →s = −→

OP ⊂ (S(r, P ) ∪ {O}) ⊂ S(r, P ).

Dem: →s = OX , X /−→ ∈ r. Se P ∈ (→s \ r), temos O − P − X, O − X − P ou X = P . Para todos os casos →s = −→OX = −→OP pela Prop 8. Temos que O ∈ r e P ∈ S(r, P ) ⇒ O, P ∈ (S(r, P ) ∪ {O}) ⇒ −→OP ⊂ (S(r, P ) ∪ {O}) ⊂ S(r, P ).

Defini¸c˜ao 10. Dado →s = −→AB , definimos →s op:= ←−AB ou ←s .

(10)

Parte II

Geometria dos Segmentos

Congruˆencia

Usaremos “congruência de segmentos” como conceito primitivo. Diferente de outras literaturas, quando não se tratar de segmentos, a “congruência” terá uma

defini¸c˜ao.

Axioma Fundamental da Congruência (AFC).∀ A 6= B e ∀→s , digamos com origem O, existe e é único C ∈ →s tal que AB ≡ OC.

Axioma da Transitividade da Congruˆencia (ATC). AB ≡ CD ≡ EF ⇒ AB ≡ EF .

Axioma da Extensão da Congruência (AEC). A − B − C e D − E − F com AB ≡ DE e BC ≡ EF , então AC ≡ DF .

Axioma da Reflex˜ao da Congruˆencia (ARC). ∀ A 6= B ⇒ AB ≡ BA. OBS: 2ARC + ATC ⇒ AB ≡ AB.

Teorema 1.

I) AB ≡ CD ⇔ CD ≡ AB.

II) AB ≡ CD e AB ≡ EF ⇒ CD ≡ EF .

Dem:

(⇒ em I) Tomemos CD. Em −→AB , ∃ ! X tal que CD ≡ AX pelo AFC. Temos, por hip´otese, que AB ≡ CD e conclu´ımos que CD ≡ AX. Do ATC, obt´em-se AB ≡ AX, e pelo AFC temos X = B.

(11)

II) Pelo item (I), AB ≡ CD ⇒ CD ≡ AB. Da hip´otese, AB ≡ EF . Ent˜ao CD ≡ EF pelo ATC.

Teorema 2. A − B − C e R ∈ −→P Q tais que AB ≡ P Q e AC ≡ P R. Ent˜ao

P − Q − R e BC ≡ QR.

Dem: Considere BC e tome o único S ∈ ←−QP tal que BC ≡ QS pelo AFC. Por defini¸cão de ←−QP temos P − Q − S. Pelo AEC, vale AC ≡ P S. Mas vimos que R ∈ −→P Q é o único tal que AC ≡ P R, donde R = S. Como P − Q − S, então P − Q − R.

Teorema 3. Sejam C ∈ −→AB \ {A, B} e R ∈ −→P Q com AB ≡ P Q e AC ≡ P R.

Ent˜ao BC ≡ QR.

Dem: Podemos ter A − B − C ou A − C − B. O 1o

¯ caso vem direto do Teo 2. Para

o 2o¯ basta trocar B ↔ C, R ↔ Q e aplicar novamente o Teo 2.

Corol´ario 1. A − B − C e P R ≡ AC. Ent˜ao ∃ Q ∈ P R com AB ≡ P Q e

BC ≡ QR.

Dem: Sabemos que ∃ ! Q ∈ −→P R com AB ≡ P Q. Junto com as hipóteses deste corolário, estamos nas hipóteses do Teo 2 . .· _{P − Q − R e BC ≡ QR.}

Defini¸c˜ao 1. AB ≻ CD (ou CD ≺ AB) se ∃ P ∈ AB \ {B} com AP ≡ CD. Caso saiba-se que AB ≻ CD ou AB ≡ CD, denota-se AB CD (ou CD AB). Obs.: ´e claro que AB AB.

Teorema 4. Se AB CD EF ⇒ AB EF .

Dem: ∃ P ∈ EF com CD ≡ EP , e tamb´em ∃ Q ∈ CD com AB ≡ CQ.

Caso C −Q−D, pelo AFC ∃ ! R ∈ −→EP tal que AB ≡ ER. Pelo Teo 1, CQ ≡ ER e agora, estando nas condi¸c˜oes do Teo 2, temos E − R − P . Logo, ∃ R ∈ EP ⊂ EF ,

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R 6= F pois P ∈ EF (pelo A4), com AB ≡ ER. Por defini¸c˜ao, AB ≺ EP .

Caso Q = D, AB ≡ CD ≡ EP implica AB ≡ EP pelo ATC, onde P ∈ EF . Disso temos AB EF .

Obs.: se um dos dois da hip´otese for ≺, teremos AB ≺ EF .

Teorema 5. ∀ AB, CD vale AB CD ou CD AB.

Dem: ∃ X ∈ −→CD com AB ≡ CX pelo AFC. Temos C − X − D, X = D ou C − D − X. Caso C − D − X, CX ≺ CD ⇒ AB ≺ CD pelo Teo 4. Caso X = D, ent˜ao AB ≡ CD. Caso C − D − X, pela Def 1 temos CD ≺ CX ⇒ AB ≻ CD.

Obs.: pelo Teo 5, dois segmentos quaisquer s˜ao sempre compar´aveis.

Teorema 6. AB CD AB ⇒ AB ≡ CD.

Dem: Se n˜ao vale a tese, temos CD ≺ AB ou AB ≺ CD. No primeiro caso, com a hip´otese AB ≺ CD, temos AB ≺ AB pelo Teo 4 _{ւ. No segundo caso, com a}⌣

hip´otese CD ≺ AB, temos novamente AB ≺ AB pelo Teo 4 _{ւ. Ent˜ao vale a tese.}⌣

Lei Tricô. ∀ AB, CD as situa¸cões AB ≺ CD, AB ≡ CD e CD ≺ AB são ex-clusivas duas a duas.

Dem: Pelo Teo 4, AB CD ≺ AB ⇒ AB ≺ AB _{ւ, AB ≺ CD AB ⇒ AB ≺}⌣

AB _{ւ, e AB ≺ CD ≺ AB ⇒ AB ≺ AB}⌣ _ւ.⌣

Defini¸cão 2. Dados ∀ AB, CD, caso exista E − Q − F com AB ≡ EQ e CD ≡ QF , diremos que EF é a soma de AB e CD. Nota¸cão: EF ≡ AB + CD.

Teorema 7. EF ≡ AB + CD ≡ GH ⇒ EF ≡ GH.

(13)

e CD ≡ RH. Do Teo 1, temos EQ ≡ GR e QF ≡ RH. Pelo AEC, temos, final-mente, EF ≡ GH.

Teorema 8. Sejam AB ≡ P Q e CD ≡ RS. Ent˜ao AB + CD ≡ P Q + RS.

Dem: Tome →s qualquer com origem O e nela o ´unico X tal que AB ≡ OX e ´

unico Y ∈ XO com CD ≡ XY . Logo O − X − Y , com OY ≡ AB + CD pela←− Def 2. Tamb´em, seja ´unico Z ∈ →s com P Q ≡ OZ. Do Teo 1 e ATC temos OX ≡ OZ ⇒ X = Z.

Seja o ´unico W ∈ XO com RS ≡ W X. Logo O − X − W , com OW ≡ P Q + RS←− pela Def 2. Do Teo 1, XY ≡ RS ≡ XW , donde Y = W . Ou seja, OY ≡ AB + CD e OW ≡ P Q + RS. Mas OW = OY . .· _{AB + CD ≡ P Q + RS.}

Obs.: da demonstra¸cão do Teo 8, vimos que sempre existe a soma de dois segmen-tos quaisquer e, da demonstra¸cão do Teo 7, que ela é única (a menos de congruência). Teorema 9 (1a

¯ Lei do Cancelamento). AB + CD ≡ AB + P Q ⇒ CD ≡ P Q.

Dem: Da demonstra¸cão do Teo 8, temos O − X − Y com OX ≡ AB e XY ≡ CD. Também temos O − X − W com OX ≡ AB e XW ≡ P Q. Porém OY ≡ OW com Y e W pegos em XO . .←− · Y = W . Então XY ≡ CD e XY ≡ P Q. Do Teo 1,

CD ≡ P Q.

Teorema 10 (2a

¯ Lei do Cancelamento). ∀ AB, CD e EF , AB + CD ≺

AB + EF ⇒ CD ≺ EF .

Dem: Da demonstra¸cão do Teo 8, temos O − X − Y e O − X − W com OX ≡ AB, XY ≡ CD e XW ≡ EF , donde OY ≺ OW por hipótese. Então ∃ Z ∈ OW \ {W } com OY ≡ OZ. Agora, Y ∈ OX e Z ∈−→ OW com−→ OX =−→ OW pelo Teo I.4. Isto é,−→ Y, Z ∈ −→OX ⇒ Y = Z. Então O − Y − W e O − X − Y ⇒ XY ≺ XW pelo Teo I.2 . .· CD ≺ EF .

(14)

Teorema 11. ∀ AB, CD vale AB ≺ CD ⇔ ∃ EF com CD ≡ AB + EF .

Dem: (⇒) ∃ P ∈ CD \ {C, D} tal que AB ≡ CP . Da demonstra¸c˜ao do Teo 8, temos CD ≡ CP + P D ≡ AB + P D. Basta tomar E = P e F = D.

(⇐) Tome !X ∈ ←−BA com EF ≡ BX. Então AX ≡ AB + EF pela Def 2, e da hipótese junto com Teo 7 temos CD ≡ AX ≻ AB, este último pela Def 1. Da Obs do Teo 4 segue-se a tese.

Defini¸c˜ao 3. ∀ EF dado pelo Teo 11, este chama-se diferen¸ca de AB com CD. Nota¸c˜ao: CD \ AB.

Teorema 12. Dados AB, CD e XY , temos: (I) AB CD ⇔ (AB \ XY )  (CD \ XY ). (II) (AB + CD) \ AB ≡ (CD + AB) \ AB ≡ CD.

Defini¸cão 4. Dados P Q e →s com origem O, tome: o único A ∈ →s com P Q ≡ OA, o único B ∈ ←−AO com P Q ≡ AB, o único C ∈ ←−BO com P Q ≡ BC, e assim por diante. Simbolizamos O por “0 · P Q”, OA por “1 · P Q”, OB por “2 · P Q”, OC por “3 · P Q”, e assim por diante, formando o conjunto N = {0, 1, 2, 3, . . .}.

Teorema 13. ∀ AB, CD, n, m ∈ N∗

temos: (I) mAB + nAB ≡ (n + m)AB. (II)

nAB + nCD ≡ n(AB + CD). (III) n(mAB) ≡ (nm)AB.

Axioma de Arquimedes. ∀→s com origem O e ∀ P, Q ∈ →s \ {O}, ∃ n ∈ N tal que Q ∈ nOP .

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Parte III

Congruˆ

encia de Figuras

Congruˆencia

Como mencionamos na Parte II, “congruência” terá uma defini¸cão que apre-sentaremos logo a seguir.

Proposi¸c˜ao 1. ∀ AB, CD, se AB ≡ CD ent˜ao ∃ T : AB → CD bijetora tal que ∀ X, Y ∈ AB ⇒ XY ≡ T (X)T (Y ).

Defini¸c˜ao 1. No plano Π, ∀ F ⊂ Π ´e dita figura geom´etrica.

Defini¸c˜ao 2. Diz-se que F e G com ♯ F ≥ 2, ♯ G ≥ 2 s˜ao congruentes se ∃ T : F → G sobrejetora e convexa tal que ∀ A, B ∈ F tem-se AB ≡ T (A)T (B). Nota¸c˜ao: F ≡ G.

Obs.: dizer que T é convexa significa T (AB) é segmento, ∀ AB. Mesmo sem esta hipótese, Def 2 ⇒ T injetora.

Teorema 1. F, G e H figuras planas. Ent˜ao: (I) F ≡ F;

(II) F ≡ G ⇒ G ≡ F; (III) F ≡ G ≡ H ⇒ F ≡ H.

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Parte IV

ˆ

Angulos

Uma Observa¸c˜ao Importante

Notemos que, neste curso, ângulos, triângulos, pol´ıgonos, etc., são pensados como “unidimensionais”, isto é “sem preenchimento”. Esta idéia não é unânime entre as literaturas.

Defini¸c˜ao 1. Dadas −→AB e −→AC com A, B e C n˜ao-colineares definimos B bAC := −→

AB ∪ −→AC . Dizemos que A é o vértice de B bAC = C bAB e −→AB e −→AC os lados. Defini¸c˜ao 2. Caso B − A − C, diz-se ângulo raso, mas não denotamos por B bAC. Defini¸cão 3. Dado B bAC, definimos Int(B bAC) := S(←→AB , C)∩ S(←→AC , B). Nota¸cão: J e J = J ∪ B bAC.

Defini¸c˜ao 4. Dado B bAC, definimos Ext(B bAC) := Sop₍←→_{AB , C) ∩ S}op₍←→_{AC , B).}

Nota¸c˜ao: E e E = E ∪ B bAC.

Proposi¸cão 1. Π \ B bAC = J ˙∪ E com J convexo e E não convexo, mas conexo. Além disso, se P ∈ J e Q ∈ E, então ♯(P Q ∩ B bAC) = 1.

Axioma da Transversalidade (AT). Sejam △ABC e △A′

B′

C′

com XY ≡ X′_Y′_,

∀ X, Y ∈ {A, B, C}. Se B −C −D e B′_−C′_−D′

com CD ≡ C′_D′_{, ent˜ao AD ≡ A}′_D′_.

Teorema 1. Nas hip´oteses do AT, se E ∈ −→BC \ {B, C} e E ∈ B−→′C′\ {B′

, C′_{} com}

BE ≡ B′_E′_{, ent˜}_{ao AE ≡ A}′_E′_.

Teorema 2. Seja T : B bAC → E bA′F fun¸cão de congruência. Então ∃ B′

∈ A−→′

(17)

∃ C′

∈ A−→′F tal que XY ≡ X′_Y′_{, ∀ X, Y ∈ {A, B, C}.}

Obs.: T convexa ⇒ T (A) = A′

, e spg T |−→

AB :

−→

AB → A−→′E ´e congruˆencia. Teorema 3. Sejam B bAC e E bA′F tais que ∃ B′

∈ A−→′

E e ∃ C′ ∈ A−→′

F com XY ≡ X′_Y′_{, ∀ X, Y ∈ {A, B, C}. Ent˜}_{ao B b}_{AC = B}′_b

AC′ = E bAF .

Defini¸cão 5. Dado B bAC, o ângulo −→AB ∪ ←−AC é seu suplementar e o ←−AB ∪←−AC é seu oposto pelo vértice (opv).

Axioma da Transferˆencia de ˆAngulos (ATA). Dado B bAC e ←→DE com Π \ ←→

DE = A ˙∪ B, ∃ !→s ⊂ A ∪ {D} tal que D é origem de →s e →s ∪DE = B b−→ AC. Defini¸cão 6. B bAC ≺ E bDF (ou E bDF ≻ B bAC) se ∃ G ∈ Int(E bDF ) com E bDG ≡ B bAC. Também podemos escrever se vale ≺ ou ≡, e similarmente .

Lei Tricˆo. Dados α := B bAC e β := E bDF , ent˜ao α ≺ β ou α ≡ β ou α ≻ β.

Defini¸c˜ao 7. Dados α = B bAC e β = E bDF , caso ∃ γ = L bKM com G ∈ Int(γ) e L bKG ≡ α, M bKG ≡ β, ent˜ao dizemos que γ ≡ α + β.

Defini¸c˜ao 8. Dados α ≺ β, dizemos que γ ≡ β \ α se γ ≡ F bDG.

Resultado 1. Dado β ≡ E bDF com Π \←→DE = A ˙∪ B, se F ∈ A e G ∈ (Extβ ∩ A),

ent˜ao (−→DF \ {D}) ⊂ Int(E bDG).

(18)

Parte V

Triˆ

angulos

Casos de Congruˆecia

Nesta parte, apresentaremos os casos de congruˆencia de triˆangulos.

Defini¸c˜ao 1. Dado △ABC dizemos que AB, BC e AC são arestas ou lados e A, B e C s˜ao vértices. Também definimos Int(△ABC) :=TS(←→XY , Z) onde X, Y, Z ∈ {A, B, C}, △ABC := (△ABC) ∪ Int(△ABC) e Ext(△ABC) := Π \ △ABC. Dize-mos que X bY Z s˜ao ângulos internos e XY ∪−→ ←−XZ ângulos externos.

Obs.: Int(△ABC) 6= ∅.

Dem: Tome ∀ G ∈ BC \ {B, C}. Assim, B − G − C, isto ´e, G ∈◦BC ⊂ S(←→AB , C) pelo Teo I.4 e, analogamente, G ∈ CB \ {C} ⊂ S(←→AC , B), donde segue-se que G ∈ Int(BAC) e, pelo Res IV.2, BC ∩ −→AG = {R}, R = G. Novamente pelo Teo I.4, (−→AG \ {A}) ⊂ S(←→AB , G) = S(←→AB , C) e, da demonstra¸c˜ao do Teo I.1, temos (−→AG \ {A}) ⊂ S(←→AC , G) = S(←→AC , B) ⇒ (−→AG \ {A}) ⊂ Int(BAC). Como G ∈ ←→BC , pelo Teo I.4 temos GA \ {G} ⊂ S(←→BC , A) ⇒ (AG \ {A, G}) = (−→AG \ {A}) ∩ (GA \ {G}) ⊂ Int(△ABC) . .· S

B−G−C

◦

AG◦ ⊂ Int(△ABC). OBS: Na página 3, vimos o Axioma de Pasch, que permitiu demonstrar a unicidade do plano por quaisquer três de seus pontos não-colineares. Hilbert tentou provar o Axioma, porém usando “plano” e “reta” como conceitos primitivos (que Pasch define), além de postular vários resultados da Parte I, que são demonstráveis por Pasch. Mesmo assim, apresentamos o “resultado” a seguir, com as devidas ressalvas. Vide também a OBS da página 4.

(19)

♯(r ∩ AC) ou ♯(r ∩ BC) ´e 1.

Dem: Se C ∈ r, então é claro que C ∈ (r ∩ AC) e C ∈ (r ∩ BC). Se houvesse E 6= C com E ∈ (r ∩ AC), então r = ←→EC = ←→AC . Como A, B e C não são colineares, ←→

AC ∩ ←→AB = {A} . .· ←→_AC _{∩ (AB \ {A, B}) = {D} ⇒ {A, D} ⊂} ←→_AC _∩ ←→_AB _⇒

D = Aւ Se C /⌣ ∈ r, ent˜ao C, A mlr. Neste caso, como A, B lor ⇒ B, C lor, teremos ♯(BC ∩ r) = 1. Sen˜ao C, A lor . .· _{♯(AC ∩ r) = 1.}

Teorema 2 (LLL). Dados △ABC e △A′_B′_C′_{com XY ≡ X}′_Y′_{, ∀ X, Y ∈ {A, B, C},}

ent˜ao △ABC ≡ △A′

B′

C′

.

Dem: Como AB ≡ A′_B′_{, podemos estabelecer uma fun¸c˜ao de congruˆencia T} 1 :

AB → A′_B′ _{da seguinte forma: T}

1(A) = A′, T1(B) = B′ e ∀ X ∈ (AB \ {A, B})

o ´unico T1(X) = X′ ∈

−→

A′B′ com AX ≡ A′_X′_{. ´}_{E claro que A}′

− X′

− B′

, sen˜ao A′_X′ _A′_B′_{≡ AB ≻ AX ≡ A}′_X′_{ւ pelo Teo II.4.}⌣

Tamb´em, se A − X − Y − B, temos A′

− X′

− Y′

− B′

por racioc´ınio an´alogo (usando o Teo II.4), e AB ≡ AX + XY + Y B ≡ A′_B′ _{≡ A}′_X′_{+ X}′_Y′ _{+ Y}′_B′ _⇒

XY ≡ X′_Y′_{= T}

1(X)T1(Y ).

Analogamente definimos T2 : BC → B′C′ e T3 : AC → A′C′. Agora, defina

T : △ABC :→ △A′

B′

C′

da seguinte forma: para cada Z ∈ △ABC, T (Z) = Ti(Z)

para algum i = 1, 2, 3.

Tome Z, W ∈ △ABC, pontos distintos. Caso Z, W estejam na mesma aresta, ent˜ao ZW ≡ T (Z)T (W ), sen˜ao, sem perda de generalidade Z ∈ AB e W ∈ AC, A /∈ {Z, W }, Z′

= T (Z) e W′

= T (W ). Ent˜ao, do Teo IV.3, segue-se que temos F : B bAC → B′cA′C′ tal que F(A) = A′

, donde ZW ≡ F(Z)F(W ). Mas AZ ≡ F(A)F(Z) e AZ ≡ A′_Z′ _{⇒ A}′_{F(Z) ≡ A}′_Z′_{, com Z}′

, F(Z) ∈ −→AC , donde Z′

= F(Z) = T (Z). Analogamente para W . .· T é fun¸cão de congruência.

Defini¸c˜ao 2. Em um △ABC, AB e BC s˜ao adjuntos ao B bAC e AC ´e oposto

ao B bAC.

Teorema 3 (LAL). Dados △ABC e △A′

B′

C′

com A bBC ≡ A′Bb′C′

(20)

X ∈ {A, C}, ent˜ao △ABC ≡ △A′

B′

C′

.

Teorema 4 (ALA). Dados △ABC e △A′

B′

C′

com A bBC ≡ A′Bb′C′

e AB ≡ A′_B′_,

ent˜ao △ABC ≡ △A′

B′

C′

.

Dem: Tome o ´unico D ∈ B′_C′ _{tal que BC ≡ B}′_{D. Ent˜ao △ABC ≡ △A}′

B′

D pelo LAL. Assim, C bAB ≡ DcA′B′ e, da hip´otese, C bAB ≡ C′cA′B′, donde DcA′B′ ≡ C′cA′B′, pelo Teo IV.4. Mas B−→′C′\ {B} = B−→′D′\ {B} ⊂ S(A←→′

B′

, C′

) pelo Teo IV.1. . .· _C′_{, D ml}←→_{AB e, pelo AT,} _A−→′_C′ _≡ _A−→′_D′_{. Mas} _A−→′_C′ _∩ _B−→′_C′ _{= {D} ⇒ D = C}′_.

Teorema 5 (TAE). Dados △ABC, temos −→AB ∪ ←−AC =: α ≻ A bBC e α ≻ A bCB. Proposi¸c˜ao 1. ∀ △ABC, ∃ A bBC + B bAC.

Dem: Tome B′

∈ ←−AB , donde B′AC ´e ˆb angulo externo ao △ABC e, pelo TAE, α ≻ A bBC. Logo, ∃ G ∈ Intα tal que C bAG ≡ A bBC.

Agora, G ∈ Int α = S(←→AC , B) ∩ S(←→AB , C) . .· _{G, B}′ _ml←→_{AC e B, B}′ _lo←→_AC _⇒

G, B lo←→AC ⇒ G ∈ ExtB bAC. Do Res IV.1, temos (−→AC \ {C}) ⊂ IntB bAG ⇒ C ∈ IntB bAG . .· _{∃ B b}_{AC + C b}_{AG ≡ B b}_{AC + A b}_BC.

Defini¸cão 3. △ABC é isósceles se AB ≡ BC e, neste caso, AC é a base.

Teorema 6. Dados ∀ AC, ∃ B 6∈ ←→AC tal que △ABC ´e is´osceles com base AC.

Teorema 7. Dado △ABC isósceles com base AC, então B bAC ≡ B bCA. Teorema 8. Dado △ABC com AC ≻ BC, então A bBC ≻ B bAC.

Teorema 9. Dado △ABC com A bBC ≻ B bAC, ent˜ao AC ≻ BC.

(21)

Teorema 11. Dado AB, ∃ ! X ∈ ←→AB tal que AX ≡ XB.

Defini¸c˜ao 4. AB o ´unico M ∈ AB tal que AM ≡ M B ´e chamado de ponto

m´edio de AB.

Defini¸cão 5. Dado △ABC com M ponto médio de AB dizemos que CM é a

mediana relativa a C.

Teorema 12. Dado △ABC e C′

∈ S(←→AB , C) tal que AC ≡ AC′ _{e BC ≡ BC}′_,

ent˜ao C = C′

.

Defini¸cão 6. Um ângulo A bBC é reto se A bBC ≡ supl(A bBC). Teorema 13. Existem ângulos retos.

Corol´ario 1. Se A bBC ≡ D bEF e D bEF é reto, então A bBC é reto. Defini¸cão 7. Um △ABC é reto se algum de seus ângulos for reto.

Obs.: Se A bBC ´e reto, pelo TAE, B bCA ≺ A bBC e B bAC ≺ A bBC. Portanto, os outros ˆ

angulos s˜ao agudos, isto ´e, menores que o ˆangulo reto.

Defini¸c˜ao 8. Um △ABC é obtusângulo se tem algum ângulo interno obtuso, isto é, maior que o ˆangulo reto, e é acutângulo se todos os ˆangulos internos são agudos. Defini¸cão 9. Seja o △ABC com A bBC reto. Então BC é a hipotenusa e AC e AB s˜ao os catetos.

Teorema 14 (LAA). Sejam △ABC e △A′

B′

C′

com B bAC ≡ B′cA′C′, A bBC ≡ A′Bc′C′ e BC ≡ B′_C′_{. Ent˜}_{ao △ABC ≡ △A}′

B′

C′

.

Teorema 15 (ArLL). Sejam △ABC e △A′

B′

C′

com B bAC e B′cA′C′ retos, AB ≡

A′_B′ _{e BC ≡ B}′_C′_{. Ent˜}_{ao △ABC ≡ △A}′

B′

C′

(22)

Parte VI

Perpendiculares

Observa¸c˜ao

Este cap´ıtulo será o último em que o Postulado das Paralelas é totalmente dis-pensável.

Defini¸c˜ao 1. Dados r e s com r ∩ s = {P }, diremos r ⊥ s se A bP B ´e reto, onde A ∈ r \ {P } e B ∈ s \ {P }.

Teorema 1 (TEUP). Sejam r e X, ent˜ao ∃ s tal que X ∈ s ⊥ r.

Defini¸cão 2. Seja M ponto médio de AB e !s ⊥ ←→AB com M ∈ s. Então s é chamada mediatriz.

Teorema 2. Dados AB e s sua mediatriz, ent˜ao s = {X; AX ≡ BX}.

Defini¸cão 3. Seja A bBC e G ∈ Int(A bBC) tal que A bBG ≡ G bBC. Então −→BG é bissetriz de A bBC.

Teorema 3. Dado A bBC, ∃ !→s ⊂ Int(A bBC) com origem B tal que →s ´e

bis-setriz de A bBC.

Defini¸cão 4. Dados △ABC e P ∈ BC tal que −→AP é bissetriz de B bAC, então AP é segmento bissetriz em rela¸cão a A. Nota¸cão: bA.

Teorema 4. Dado △ABC, então bA ∩ bB = bB ∩ bC = bA ∩ bC = {I}. Além disso, se a, b e c são as retas perpendiculares do TEUP para X = I e r = ←→BC , ←→AC

e ←→AB , respectivamente, ent˜ao x ∩ ←→Y Z = {X′

(23)

{a, b, c, A, B, C} e tab´em IX′ _{≡ IY}′_{, ∀ X, Y ∈ {A, B, C}.}

Corol´ario 1. Se ←→IX ⊥ ←→BC , X ∈ ←→BC e I ´e incentro do △ABC, ent˜ao B−X −C.

Defini¸cão 5. Dados r, A /∈ r tomando única s do TEUP com A ∈ s ⊥ r e {H} = s ∩ r, diz-se que H é a proje¸cão de A em r. Se B ∈ r \ {H} diz-se que

BH ´e a proje¸c˜ao de AB em r.

Teorema 5. Sejam r, A, B, H como na Defini¸c˜ao 5 e C ∈ r \ {B, H}. Ent˜ao

AH ≺ AB e BH CH ⇒ AB AC.

Defini¸c˜ao 6. Sejam r, A e H dados pela Defini¸cão 5. Então AH é a distância de A a r. Nota¸cão: d(A, r).

Defini¸cão 7. Dado △ABC, tomando r = ←→BC e H na Defini¸cão 5, AH é a

(24)

Parte VII

Paralelas

Pontos Not´aveis ´

E importante notarmos que apenas o Incentro, obtido no cap´ıtulo anterior, in-depende do Postulado das Paralelas. Todos os demais, Baricentro, Ortocentro, etc., depender˜ao at´e do Axioma da Continuidade e do Princ´ıpio de Arquimedes, a serem introduzidos neste cap´ıtulo.

Defini¸c˜ao 1. Sejam r e s retas. Dizemos que r ´e paralela a s caso r ∩ s = ∅ e denotamos r//s.

Defini¸cão 2. Sejam r, s e t tais que t ∩ r = {A} e t ∩ s = {B}, com A 6= B. Então α, σ s˜ao alternos externos, bem como β, γ. Também α′

, σ′

s˜ao alternos

inter-nos, bem como β′

, γ′

. Dizemos que t é transversal a r e s. Teorema 1. Temos α′ ≡ σ′ ⇔ β′ ≡ γ′ e, neste caso, r//s. Teorema 2. Na Defini¸cão 2, se α ≡ σ′ ou β′ ≡ supl(σ′ ), então r//s.

Teorema 3. Seja r e B /∈ r, ent˜ao ∃ s//r com B ∈ s.

Axioma das Paralelas (AP). Dada r e P /∈ r, ∃ ! s//r com P ∈ s. Teorema 4. Se r, s e t estão como na Defini¸cão 2 e r//s, então α′

≡ σ′

(⇔

β′ _{≡ γ}′ _{⇔ α ≡ σ}′

).

(25)

Teorema 6. Dado o △ABC, ∃ D − C − E com A, B ml←→DE tal que D bCA ≡ C bAB

e E bCB ≡ C bBA.

Teorema 7. Dados △ABC, X ∈ −→CA e Y ∈ −→CB com CA ≡ CB e CX ≡ CY ,

ent˜ao ←→AB //←→XY .

Teorema 8. Sejam as retas r, s, u e v tais que r//s, r ⊥ u, s ⊥ v e u 6= v.

Ent˜ao u//v.

Defini¸cão 3. Sejam A, B, C e D pontos não colineares três a três. Então AB ∪ BC ∪ CD ∪ DA é um quadrilátero se D ∈ Int(A bBC). Mais ainda, será

quadrilátero convexo quando D, B lo←→AC . Os pontos A, B, C e D são os vértices, AB e CD s˜ao lados opostos, AB e BC são lados adjacentes e AC e BD são

diago-nais. Nota¸c˜ao: ABCD.

Obs.: Iremos trabalhar somente com quadril´ateros convexos. Teorema 9. ∃ M = (AC \ {A, C}) ∩ (BD \ {B, D}).

Corol´ario 1. A, B ml←→CD e C, D ml←→AB .

Defini¸c˜ao 4. ABCD ´e paralelogramo se ←→AB //←→CD e ←→BC //←→DA .

Teorema 10. Se ABCD ´e paralelogramo, ent˜ao A bBC ≡ A bDC, B bAD ≡ B bCD, AB ≡ CD e BC ≡ DA.

Defini¸c˜ao 5. ABCD paralelogramo é retângulo se A bBC é reto (e, pelos Teo 4 e 10, todos os ângulos s˜ao retos), é losango se AB ≡ BC (e, pelo Teo 10, todos os lados s˜ao congruentes) e é quadrado se for ambos.

Teorema 11. Se r//s, A, B ∈ r e S ∈ s, ent˜ao d(A, s) ≡ d(B, s) ≡ d(S, r).

(26)

Defini¸c˜ao 7. Um feixe de paralelas ´e um conjunto de retas paralelas duas a duas, ←→

AiA′i (i = 1, 2, . . . , n). Dizemos que t ´e transversal ao feixe se ♯(t ∩ r) = 1 para

qualquer reta r do feixe.

Teorema 12. Na Defini¸c˜ao 7, considere t′

6= t transversal ao feixe. Ent˜ao AiAj ≡

AkAl se, e somente se, A′iA ′ j ≡ A ′ kA ′ l.

Corol´ario 2. Sejam △ABC, n ∈ N, n ≥ 2, e Ai ∈ AC com A0 = C, An = A e

AiAi+1≡ Ai+1Ai+2(i = 0, 1, . . . , n−2). Caso Ai∈ ri//

←→ AB (i = 1, . . . , n−1), ent˜ao ri∩ BC = {A′i} com A ′ 0 = C, A′n= B e A′iA ′ i+1 ≡ A ′ i+1A ′ i+2 (i = 0, 1, . . . , n − 2).

Teorema 13. Dado n ∈ N, n ≥ 2, e BC, temos que ∃ Ai∈ BC com n A′iA ′ i+1 ≡ BC (i = 0, 1, . . . , n − 1), A′ 0= C e A ′ n= B.

Teorema 14. Seja △ABC com Ai ∈ AC e A′i ∈ BC como em Teo 13 e na

primeira hip´otese de Cor 2. Ent˜ao A←→iA′i//

←→

AjA′j, ∀ i 6= j.

Dem: Por Pasch conclu´ımos que Ai ∈ ri//

←→ AB . Teremos ri∩ BC = {Bi} de modo que n BiBi+1 ≡ BC ≡ A′iA ′ i+1 com B0 = C = A ′ 0 = A0. Como Bi, Ai ∈ −→ CB , pelo AFC A′

1 = B1 e novamente pelo AFC A′2 = B2, e assim sucessivamente. Portanto

ri = ←→ AiBi = ←→ AiA′i// ←→

AB e segue-se a tese pelo Teo 5.

Teorema 15. Tome Ai, A′i = Bi como na demonstra¸c˜ao de Teo 14 e obtenha

B′

i = Ci∈ AB por retas si//

←→

AC , Bi∈ si e {B_i′} = si∩ AB. Ent˜ao n AiBi≡ i AB,

∀ i.

Daqui em diante, escreveremos também XY ≡ p_q ZW sempre que q XY ≡ p ZW . Axioma da Continuidade (AC). ∀ A0A1 e para toda seqüência de d´ıgitos d1,

d2, . . . n˜ao todos nulos, S∀n A0A(0,d1d2...dn) ´e um segmento.

Obs.: Do AC vem que tal segmento ´e A0X, X ∈

−→

(27)

0, d1d2. . . dn. . . o fator de propor¸c˜ao. Portanto A0X ≡ (0, d1d2. . . dn. . .)A0A1.

Princ´ıpio de Arquimedes (PA). Dados AB e CD, existe n tal que nAB ≻ CD. Obs.: Em certas literaturas, utiliza-se um “Postulado de Régua” em substitui¸cão aos AC e PA, mas preferimos evitar isso, pois toma os reais como “aux´ılio” à Geometria, o que empobrece a teoria. Os reais possuem sua própria axiomática (de Peano), ou mesmo podem ser constru´ıdos sem ela, puramente através da Geometria. Por isso, não faz sentido tomar o caminho do “Postulado de Régua”.

(28)

Parte VIII

Semelhan¸

ca

Observa¸c˜ao

Este cap´ıtulo é o último dedicado às ferramentas de que precisamos para demons-trar os Teoremas Notáveis.

Defini¸c˜ao 1. △ABC ∼ △A′

B′

C′

caso XY ≡ ρ X′_Y′_{, ∀ X, Y ∈ {A, B, C}.}

Teorema 1 (AA). △ABC ∼ △A′

B′

C′

se, e somente se, A bBC = A′Bc′C′ e

B bCA = B′c

C′

A′

.

Dem: (⇒) Sem perda de generalidade, A′

= A e B′ ∈ −→AB . Caso B′ = B temos △ABC ≡ △A′ B′ C′

por LLL, sen˜ao, sem perda de generalidade, A − B′

− B. Tome D ∈ −→AC tal que AD_AC = AB_AC′ = ρ (o AC nos garante que sempre poderemos tomar esse D). Temos A − D − C. Se ρ = 0, d1d2. . . dn, ent˜ao

←→

B′D //←→BC , pelo Teo VII.14. Pelo Teo VII.15, temos B_BC′D = ρ donde △ABC ≡ △A′

B′

C′

pelo LLL. Agora, sem perda de generalidade, D = C′

e, portanto, vale a tese pelo Teo VII.4. Ou, se ρ = 0, d1d2. . . dn. . . a tese sai pelo AC.

(⇐) Do Teo VII.6 temos que B bAC ≡ B′cA′C′. Portanto, sem perda de generali-dade, A′ = A, B′ _∈ −→ AB e C′ _∈ −→ AC . Se B′ = B segue-se que C′ = C (e vice-versa) e, por ALA, △ABC ≡ △A′

B′

C′

. Sen˜ao, sem perda de generalidade, A − B′

− B e, do Teo VII.2, B←→′C′//←→BC . Assim, pelo Cor VII.2 e Teo VII.15, segue-se a tese caso ρ = 0, d1d2. . . dn. Caso ρ = 0, d1d2. . . dn. . . a tese sai pelo AC.

Obs.: Se AB ≡ ρ CD e A′_B′_{≡ ρ C}′_D′_{, então} AB A′_B′ = CD C′_D′, pois sendo CD ≡ x C ′_D′ então AB ≡ ρ x C′_D′ _{≡ ρ x} 1 ρ A ′_B′ _{= x A}′_B′_{. Vale se ρ = 0, d} 1d2. . . dn, senão segue pelo AC.

(29)

Teorema 2 (Giovanni-Ceva). Sejam P , Q e R pontos sobre ←→BC , ←→AC e ←→AB ,

respectivamente, do △ABC. Caso P /∈ {B, C}, Q /∈ {A, C} e R /∈ {A, B}, ent˜ao ←→

AP ∩←→BQ = ←→BQ ∩←→CR = ←→CR ∩←→AP = {T } se, e somente se, BP P C·

CQ QA·

AR

RB = 1.

Dem: (⇒) Supondo que {T } = −→AP ∩ −→BQ = −→BQ ∩ −→CR = −→CR ∩ −→AP , tome ! r//←→BC com A ∈ r. Ocorre que −→BQ ∩ r = {B′_{} e} −→

CR ∩ r = {C′_{}. Observe que}

△BP T ∼ △B′

AT , pois B bT P ≡ B′T A (opostos pelo v´ertice) e T bb BP ≡ T cB′A (pelo Teo VII.4) - caso AA. Assim, BP

P T = AB′ AT e, analogamente, P T P C = AT AC′. Portanto, BP P C = AB′

AC′. Observe, agora, que △BCQ ∼ △B

′

AQ, pois B bQC ≡ B′QA (opos-b tos pelo v´ertice) e C bBQ ≡ AcB′

Q (pelo Teo VII.4) - caso AA. Assim, CQ

QA =

BC AB′.

Analogamente, △C′

RA ∼ △CRB, e, ent˜ao, _RBAR = AC_BC′. Das igualdades temos

BP P C · CQ QA · AR RB = AB′ AC′ · BC AB′ · AC′ BC = 1.

(⇐) Suponha que temos P ∈ ←→BC e P /∈ {B, C} tal que verifique-se a igualdade

BP P C ·

CQ CA ·

AR

AB = 1. Observe que n˜ao ´e suficiente para garantir a rec´ıproca. Na

verdade ´e preciso acrescentar que o n´umero de casos V1 − P to − V2 tem que ser

´ımpar. Temos que ∃ {T } = −→BQ ∩−→CR , teremos que ∃ {P′

} = −→AC ∩←→BC . Podemos ter P, P′ _∈ ←−

BC , ou P, P′ _{∈ (BC \ {B, C}), ou P, P}′ _∈ −→

BC . Pelo que provamos na ida, vlae BP′ P′_C · CQ QA · AR RB = 1. Ent˜ao vale BP P C = BP′ P′_C.

Caso P, P′ _{∈ (BC\{B, C}): some 1 aos dois lados de}BP

P C = BP′ P′C, donde BP+P C P C = BP′_+P′_C P′_C . Portanto BC P C = BC P′_C e segue-se que P C ≡ P ′_{C e, ent˜ao, P = P}′ . Caso P, P′ _∈ ←− BC (P, P′ _∈ −→

BC ´e an´alogo): troque o sinal dos dois lados de

BP P C = BP′ P′_C e some 1, donde CP −BP P C = CP′−BP′ P′_C . Portanto BC P C = BC P′_C e segue-se que P C ≡ P′_{C e, então, P = P}′ . Corolário 1. ∃ ! G baricentro, com propor¸cão 1 : 2.

Dem: Sejam P, Q e R pontos médios dos lados BC, AC e AB, respectivamente, do △ABC. Temos que o número de casos V1−P to−V2é´ımpar, ∃

−→

BQ ∩−→CR = {T } (pelo Res IV.2) e ∃−→AT ∩←→BC = {P′_{} (pois T ∈ Int(△ABC)). Pela rec´ıproca do Teo 2,}

temos que ∃ G = T . Pela demonstra¸c˜ao da ida do Teo 2, temos △BP T ∼ △B′

AT . Como AQ ≡ QC, A bQB′ ≡ C bQB (opv) e Q bBC ≡ QcB′A, segue-se por LAA que △BCQ ≡ △B′ AQ e, ent˜ao, AB′ _{≡ BC = 2 BP . Portanto,} P T AT = 1 2.

(30)

Corol´ario 2. ∃ ! H ortocentro (encontro das alturas).

Dem: Vale P = B ⇔ R = B, donde H = B. Se B − P − C e B − R − A, então {T } = −→AP ∩ −→CR ⊂ Int(△ABC) e, como △AP B ∼ △CRB por AA, temos AB_BP = BC_BR. Como ambos B bAC e B bCA são menores que o ângulo reto, então Q = projrB, onde r =

←→

AC , ´e tal que A − Q − C pelo TAE. Do racioc´ınio anterior vale AC_CP = BC_CQ e AB_AQ = AC_AR, donde BP_{P C}CQ_QAAR_RB = AB_BCBC_ACAC_AB = 1. Portanto ∃ H = T do Teo 2. Se P − B − C, ent˜ao A − B − R pelo TAE. Novamente △AP B ∼ △CRB por AA, donde AB

BP =

BC

BR. Novamente A − Q − C e valem as propor¸c˜oes AC

CP =

BC CQ

e AB_AQ = AC_AR. Portanto vale a tese.

Corol´ario 3. ∃ ! O circuncentro (encontro das mediatrizes).

Dem: Sejam P, Q e R pontos médios dos lados BC, AC e AB, respectivamente, do △ABC. Do Lema I.2, ∃ △P QR. Pelo Cor 2, ∃ ! H ortocentro do △P QR. Temos que ←→P H , ←→QH e ←→RH são mediatrizes de BC, AC e AB, respectivamente, pois o perpendicularismo das mediatizes vale para ←→RQ //←→BC , ←→P R //←→AC e ←→P Q //←→AB pelo Teo VII.14. Então O = H.

(31)

Parte IX

Circunferˆ

encias

Observa¸c˜ao

Não será usado o Axioma da Continuidade nem o Axioma das Paralelas até a OBS 1.

Defini¸c˜ao 1. Dados O e A 6= O, define-se C := {X; OX ≡ OA} circunferˆencia

de centro O e raio congruente a OA. Se X, Y ∈ C com X 6= Y , então XY é corda. Define-se também int(C) := {O} ∪ {P ; OP ≺ OA}, int(C) := int(C) ∪ C e

ext(C) := Π \ int(C). Se XY é corda com X − O − Y , então diz-se que XY é um diâmetro.

Teorema 1. Se O ∈ r, ent˜ao ♯(r ∩ C) = 2.

Lema 1. Sejam A, B ∈ C, A /∈ ←→OB . Ent˜ao ∃ ! C ∈ Sop₍←→_{OB , A) ∩ C tal que}

C bOB ≡ B bOA.

Proposi¸c˜ao 1. Sejam C = C′

, C com centro O e raio congruente a OA. Ent˜ao

C′

tem centro O e raio congruente a OA.

Teorema 2. Se A, B, C ∈ C, todos distintos, ent˜ao ∃ △ABC.

Teorema 3. Sejam C 6= C′

, ent˜ao ♯(C ∩ C′

) 2.

Defini¸c˜ao 2. Dados r e C diz-se disjuntos, tangentes e secantes conforme ♯(r ∩ C) = 0, 1, 2. Para C 6= C′

diz-se disjuntos, tangentes e secantes conforme ♯(C ∩ C′

) = 0, 1, 2. Nota¸c˜ao para tangentes: r ⊥ C e C ⊥ C′

(32)

Teorema 4. Dados r e C temos r ⊥ C se, e somente se, r ⊥ ←→OA , onde {A} ⊂ r∩C.

Neste caso, r \ {A} ⊂ ext(C).

OBS 1. Note que não falamos do triângulo equilátero, pois precisamos de: Axioma das Duas Circunferências (A2C). Sejam C e C′

de centros O 6= O′

com A ∈ int(C′_{), B ∈ ext(C}′_{) e {A, B} ⊂ C. Ent˜ao C ∩ C}′ _{= ∅.}

Defini¸c˜ao 3. Dados A, B ∈ C de centro O, se ∃ A bOB, ent˜ao AB := C ∩ int(A b⌢ OB) como arco menor e C \AB arco maior. Se A − O − B, escolha S semi-plano de⌢ ←→AB ,

⌢

AB = S ∩ C ´e arco de meia circunferˆencia.

Teorema 5. Dado AB e C ∈ C \⌢ AB , C /⌢ ∈ {A, B}, ent˜ao AB = 2A b⌢ CB. Dado D ∈ AB , ent˜⌢ ao C \AB = 2A b⌢ DB.

Teorema 6. Se AB é arco de meia circunferência e C ∈ C, C /⌢ ∈ {A, B}, então A bCB é reto.

(33)

Parte X

Teoremas Not´

aveis

Observa¸c˜ao

Uma vez estabelecidas as ferramentas necess´arias, podemos demonstrar os Teo-remas Not´aveis.

Figura 1: Circunferˆencia de Nove Pontos.

Teorema 1 - A Circunferˆencia de Nove Pontos. A circunferˆencia que passa

pelos pés das perpendiculares baixadas dos vértices de qualquer triângulo sobre os lados opostos a eles, passa também pelos pontos médios dos lados, assim como pelos pontos médios dos segmentos que ligam os vértices ao ortocentro. Ela é chamada “Circunferência de Nove Pontos”.

Dem:

Tome o △ABC e os pontos m´edios M , N e P relativos aos lados AB, BC e AC, respectivamente. Sejam Ha, Hb e Hc os p´es das perpendiculares baixadas dos

v´ertices A, B e C, respectivamente.

I) Suponhamos que ∃ AH, BH, CH, onde H é o ortocentro do Cor VIII.2. Por Giovanni-Ceva (Teo VIII.2) e Cor VIII.2, conclui-se que A, B e H não são colineares, senão ter´ıamos AH←→a∩

←→ BHb =

←→

AH ∩←→BH uma reta, mas AH←→a∩

←→ BHb =

(34)

{H}. Ent˜ao ∃ △ABH.

Sejam Da, Db e Dc os pontos m´edios dos segmentos AH, BH e CH,

respectiva-mente. Segue-se dos Teo VII.7 e Teo VII.14 que M Db//AH.

Pelas mesmas raz˜oes, ∃ △ACH e AH//P Dc, donde temos M Db//P Dc e Db6= Dc,

sen˜ao B, H e C s˜ao colineares ւ. Agora,⌣ ←→M P //←→BC //D←→bDc, devido ao △BCH.

Assim, pelo Teo VII.14 temos que ←→M P //D←→bDc.

Como BC//DbDc//M P e BC ⊥ AH, pelo Teo VII.4, temos que DbDc ⊥ AH e

M P ⊥ AH. Assim, como j´a vimos que M Db//AH//P Dc, ent˜ao M cDbDc e P cDcDb

são retos. Lembrando que ←→M P //D←→bDc, segue-se que DbDcM P é retângulo.

Da mesma maneira, mostramos que DcDaM N e DaDbN P s˜ao retˆangulos. Em

cada retângulo constru´ıdo, as diagonais são congruentes entre si por LAL. Além disso, todas as diagonais são congruentes entre si duas a duas e interseccionam-se sempre em um único ponto, que é ponto médio das diagonais por LAA.

Com isso mostramos que M , N , P , Da, Db e Dc est˜ao na circunferˆencia de

diˆametro M Dc, que chamaremos de C. Falta mostrar que Ha, Hb, Hc ∈ C.

Considere o △DbHbP , caso ele exista. Ent˜ao temos a circunferˆencia C′e Db, Hb, P

∈ C′

. Pelo Teo IX.5, DbP é diâmetro de C′, então C′ = C, donde segue-se que Hb∈ C.

Caso este triângulo não exista, então △ABC é isósceles de base AC e temos Hb= P .

Como P ∈ C, logo Hb ∈ C.

De modo análogo provamos que HaHc ∈ C. Portanto C é a “Circunferência de

Nove Pontos”.

II) Quando não existirem um dos segmentos AH, BH, CH teremos um triângulo retângulo. Sem perda de generalidade, A bBC é reto, donde Ha= B e Hc= B. Pois,

como ←→AB ⊥ ←→BC , Ha ∈

←→

BC e Hc ∈

←→

AB , e se Ha 6= B existiria o △ABHa com

dois ˆangulos retos contradizendo o AP; ent˜ao Ha= B. Analogamente Hc = B.

Como o ortocentro ´e ´unico pelo Cor VIII.2, temos H = B, pois AH←→a ∩

←→ CHc =

←→

AB ∩ ←→CB = {B}. Como AHa = AB e CHc = CB, segue-se que M = Da e

N = Dc, e podemos dizer que Db = B.

Agora, M P DbDc é retângulo, por razões já justificadas. Assim temos que a

circunferˆencia C centrada em M Dc∩P Db cont´em oito dos nove pontos do enunciado,

(35)

O caso Hb = P ´e trivial, pois P ∈ C. Caso Hb 6= P (´e claro que Hb ∈ {A, C},/

senão △ABC teria mais de um ângulo reto contradizendo o AP), temos que A bP B e A bP C não são retos. Sem perda de generalidade, A bP B é um ângulo agudo.

Seja {R} = P B ∩ M N , onde R é o centro de C, e tome Q ∈ −→P A tal que △QRP seja isósceles com base QP (essa constru¸cão é poss´ıvel pelo AFC e por LAL). Observe que Q ∈ C, pois RQ é raio de C.

Sejam α := R bN Q e β := Q bBR, temos que: R bQN = α, pois △N QR é isósceles; B bQR = β, pois △BQR é isósceles; N bQP = α, pois M N //←→ ←→AC e ←→N Q é uma transversal. Então R bP Q = 2α.

Considere o △BP Q, temos que B bQP +Q bBP +B bP Q = (B bQR+R bQN +N bQP )+ (Q bBR) + (R bP Q) = (β + 2α) + (β) + (2α) = 2β + 4α = 180◦ _{pelo AP, donde β + 2α =}

90◦

. Como B bQP = β + 2α, B bQP é reto. Então Q = Hb e, conseqüentemente

Hb ∈ C. Note que Q ∈ AP .

Figura 2: Reta de Euler.

Teorema 2 - A Reta de Euler. O circuncentro, o baricentro e o ortocentro

de um triângulo são colineares. Além disso, o baricentro divide o segmento cujas extremidades são o circuncentro e o ortocentro na razão de 1 : 2. A reta que contém esses três pontos notáveis do triângulo é chamada “Reta de Euler”.

Dem:

Tome o △ABC onde: M é o ponto médio de AB, N é ponto médio de BC, P é ponto médio de AC, Ha é o pé da perpendicular baixada do vértice A, H é seu

(36)

Pela demonstra¸c˜ao do Cor VIII.3, segue-se que o ortocentro H′

do △M N P coincide com O.

Como o quadrilátero AM N P é paralelogramo (M N //←→ ←→AC = ←→AP ), AN ∩M P = {Q} e ←→N Q é uma mediana do △M N P que coincide com a mediana ←→AN do △ABC (←→N Q = ←→AN ). De modo análogo provamos que as duas outras medianas do △M N P coincidem com as duas outras medianas do △ABC, donde temos que G = G′

onde G′

´e o baricentro do △M N P .

I) Vamos supor que △ABC não seja isósceles. Então temos que Ha 6= N , sem

perda de generalidade Ha∈

−→

N B . Da demonstr¸c˜ao da existˆencia do ortocentro (Cor VIII.2) segue-se que H ∈ AH−→a. Agora, como Ha∈

−→

N B , H, Ha, B ml

←→

AN . Sendo Hno p´e da perpendicular baixada do v´ertice N do △M N P , analogamente O, Hn, P

ml←→AN . Mas N ∈ Int(B bAC) = Int(B bAP ), então B, P lo←→AN ; logo, H, O lo←→AN . Divida AN em três partes iguais: X, Y ∈ AN tais que AX ≡ XY ≡ Y N (A − X − Y − N ). Observe que Y = G por causa da razão 1 : 2 do Cor VIII.1. Temos que N bAH ≡ A bN O, pois ←→AN é transversal às paralelas ←→AH e ←→N O , e sabemos também que AH = 2N O. Considere △AHY e △N OY . Passe por X uma paralela a ←→AH que encontra HY seu ponto médio Z. Temos XY ≡ Y N , Y bXZ ≡ Y bN O e XZ ≡ N O, então X bY Z ≡ N bY O por LAL, donde Z, Y, O são colineares. Portanto HO ∩ AN = {Y }, donde H, G e O são colineares e determinam a “Reta de Euler”.

II) Caso o triângulo seja isósceles com base BC, A, G, H são colineares, pois ←→

AHa =

←→

AN . Por ALA, temos que a bissetriz de B bAC coincide com a mediana −→

AN e a altura AH−→a do △ABC, donde A bN C ≡ supl(A bN C). Por defini¸c˜ao, ambos

são retos. Logo a bissetriz tem que passar por um diâmetro da circunferência deter-minada por A, B e C. Conseqüentemente, pelo seu centro O. Portanto H, G e O são colineares.

III) Caso o triângulo seja eqüilatero por LAL e defini¸cão de ângulo reto temos que H = G = O. Assim, não podemos definir a reta de Euler.

(37)

Para finalizar, em qualquer dos casos G ´e baricentro comum dos △ABC e △M N P . Al´em disso, H′

= O e HG ≡ 2H′_{G, donde HG ≡ 2OG.}

Apresentaremos agora o Teorema de Papus. Para isso, a forma mais elegante de demonstra¸cão encontra-se na Geometria Projetiva, que podemos utilizar devido à introdu¸cão dos números reais feita na Parte VII. Detalhes sobre a Geometria Pro-jetiva, e seus termos, podem ser vistos em [3]. Expliquemos o teorema de Papus no plano Euclidiano.

Figura 3: Reta de Papus.

Observe a Figura 3. Sejam r e s duas retas quaisquer. Escolhemos seis pontos distintos, trˆes sobre a primeira reta, digamos, U , V e W , e trˆes sobre a outra, U′

, V′

e W′

. Considere os pontos {A} = V W←→′ ∩ V←→′W , {B} = U W←→′ ∩ U←→′W e {C} = ←→U V′ _∩ ←→

U′

V .

O teorema de Papus afirma que A, B e C s˜ao colineares.

Transportaremos o teorema de Papus da Geometria Euclidiana para uma lin-guagem projetiva utilizando a identifica¸c˜ao afim. Dados os pontos projetivos distin-tos u e v, denotamos a reta projetiva que cont´em u e v por ηuv= u × v.

Teorema 3 - A Reta de Papus. Sejam u, v, w, u′

, v′

e w′

seis pontos pro-jetivos distintos, dos quais os três primeiros estão sobre uma reta rη e os três

´

ultimos fora desta reta e sobre uma outra reta rν. Ent˜ao os pontos de interse¸c˜ao

a = rηvw′ ∩ rηv′w, b = rηuw′ ∩ rηu′w e c = rηuv′ ∩ rηu′v, s˜ao pontos colineares. A reta

(38)

Dem: ´

E claro que o teorema torna-se trivial quando dois dos três pontos a, b e c coincidem. Então vamos supô-los distintos.

Assim, as hip´oteses implicam que u, v′

, w e b são não colineares três a três. De fato, se v′

, w e b fossem colineares, ent˜ao u′

, w, b seriam colineares. Mas w 6= b, sen˜ao u′

, w′

∈ rηւ. Assim, w, b ∈ r⌣ ν, donde w′= a = b. O caso u, v′ e b ´e an´alogo. Agora,

se u, w e b fossem colineares, ent˜ao b ∈ rη, donde u′ ou w′ ∈ rηւ. Finalmente, se⌣

u, v′

e w fossem colineares, v′

∈ rηւ.⌣

Sendo assim, a menos de uma colinea¸c˜ao, podemos supor que u = (1 : 0 : 0), v′

= (0 : 1 : 0), w = (0 : 0 : 1) e b = (1 : 1 : 1) pela Prop 11.2.1 de [?].

Afirma¸c˜ao 1: Sendo v colinear com u e w, podemos escolher v = (β : 0 : 1) com β 6= 0.

Sen˜ao vejamos. Como u = (1, 0, 0) e w = (0, 0, 1) pertencem ao plano Γe2 e v

é colinear com u e w e são distintos, então qualquer representante de v é da forma v = (s, 0, t), com s, t 6= 0. Logo, podemos tomar v = t(s

t, 0, 1). O vetor ( s t, 0, 1)

também será um representante de v. Fa¸camos β = s_t. Afirma¸cão 2: Sendo u′

colinear com w e b, podemos escolher u′

= (1, 1, α′

) com α′

6= 0. Seja u′

= (s, t, r) um representate de u. Pelo crit´erio de colinearidade temos t − s = det[w, b, u′

] = 0. Logo, s = t. Devemos ter s 6= 0, caso contr´ario u′

= (0 : 0 : α′

) = w, uma contradi¸cão pois os pontos considerados são distintos por hipótese. Conclu´ımos que u = (s, s, r) = s(1, 1,r

s). Fa¸camos α ′

= r s.

Afirma¸c˜ao 3: Sendo w′

colinear com u e b, podemos escolher w′

= (γ′

, 1, 1) com γ′

6= 0. A demonstra¸cão é semelhante à demonstra¸cão da afirma¸cão anterior. Os pontos u′

, v′

e w′

est˜ao sobre a reta projetiva rν, portanto, pelo crit´erio de

colinearidade temos a seguinte rela¸c˜ao entre os coeficientes α′

e γ′

,

0 = det[u′, v′, w′] = 1 − α′γ′. (1) Calculemos agora os pontos de interse¸c˜ao das retas projetivas. Sabendo que b = (1 : 1 : 1), precisamos calcular a = ηvw′× η_v′_w, c = η_uv′ × η_u′_v.

Levando em conta as representa¸c˜oes obtemos ηvw′ = v × w′ = (−1, −β + γ′, β),

ηv′_w = v′× w = (1, 0, 0), ηuv′ = u × v′ = (0, 0, 1) e η_u′_v = u′× v = (1, α′β − 1, −β).

Finalmente, calculando os pontos das interse¸c˜oes, a = (0, β, β − γ′

) e c = (−α′

(39)

1, 1, 0), verifiquemos que os pontos a, b, c s˜ao colineares pois det[a, b, c] = β −α′ βγ′ = β(1 − α′ γ′ ) = 0 por (1).

Finalmente, encerramos este trabalho com a apresenta¸cão do Teorema de Desar-gues. Considere o plano contendo o triângulo com vértices u, v e w. Vamos assumir que posicionado em O exista um ponto de luz e que o triângulo seja opaco.

Figura 4: Reta de Desargues.

O primeiro projeta uma sombra sobre um outro plano determinando um segundo triângulo cujos vértices são u′

, v′

e w′

. O Teorema de Desargues afirma que os lados correspondentes do triângulo e de sua sombra concorrem na reta interse¸cão dos dois planos. Com isto, fica descrita uma propriedade básica da perspectiva, ao estabe-lecer uma técnica fundamental para desenhos, onde a realidade visual é registrada graficamente sobre uma superf´ıcie plana. Transcrevamos todos estes fatos f´ısicos num teorema com linguagem projetiva.

Teorema 4 - A Reta de Desargues. Seja △ = {u, v, w} um conjunto de trˆes

pontos projetivos distintos e n˜ao colineares e seja △′

= {u′

, v′

, w′_{} outro conjunto}

de trˆes pontos projetivos distintos e n˜ao colineares tais que △ ∩ △′

= ∅ e que p = rηuu′ ∩ rηvv′ ∩ rηww′ (p corresponde a O descrito acima). Ent˜ao os pontos projetivos

a, b e c s˜ao colineares, em que a = rηvw∩ rηv′w′, b = rηuw∩ rηu′w′ e c = rηuv∩ rηu′v′.

A reta projetiva assim definida ´e chamada “Reta de Desargues”.

Dem:

Assuma que os pontos projetivos u′

, v′

, w′

(40)

caso contrário é trivial). A menos de uma colinea¸cão (Prop 11.2.1 de [?]), podemos simplificar os cálculos assumindo que u′

= e1, v′= e2, w′ = e3 e p = (1 : 1 : 1).

Afirma¸c˜ao 1: Existem n´umeros reais α, β e γ diferentes de zero tais que os pontos u, v e w podem ser representados por u = (1 + α, 1, 1), v = (1, 1 + β, 1) e w = (1, 1, 1 + γ).

Demonstraremos apenas a existência de α, as outras igualdades têm demons-tra¸cões semelhantes. Os pontos p, u′

e u s˜ao colineares e distintos em RP2, impli-cando que todos pertencem a um mesmo plano perfurado em R3 e dois deles, diga-mos, p e u′ _s˜_{ao linearmente independentes. Logo, u = sp + tu}′_{, para algum s, t 6= 0.}

Como u = sp + tu′

= s(p +_stu′

), fa¸camos α = t_s.

Afirma¸cão 2: Os pontos projetivos η_vw, η_uw e η_uv são η_uv = (−β : −α : α + β + αβ), η_uw = (γ : −α − γ − αγ : α), ηvw= (β + γ + βγ : −γ : −β). Por exemplo η_uv= det      i 1 + α 1 j 1 1 + β k 1 1     = (−β, −α, α + β + αβ). Os outros são obtidos similarmente.

Afirma¸cão 3: Os pontos projetivos a, b e c podem ser representados por a = (0, −β, γ), b = (α, 0, −γ) e c = (−α, β, 0). Por exemplo, c = ηuv× ηu′_v′ = det      i −β 0 j −α 0 k α + β + αβ 1     = (−α, β, 0). Finalizando, o cálculo det[a, b, c] =      0 α −α −β 0 β γ −γ 0     = β(−αγ) + γαβ = 0 mostra que os três pontos são colineares.

(41)

Referˆ

encias

[1] Batista, V. R. - “Geometria Plana e Desenho Geom´etrico - Notas de Aula. UFABC, (2008).

[2] Rezende, E. e Queiroz, M.L. - “Geometria Euclidiana Plana e Constru¸c˜oes Geom´etricas, Editora Unicamp: Campinas, (2000).

[3] Barros, A. e Andrade, P - “Introdu¸c˜ao `a Geometria Projetiva”, XIII Escola

de Geometria Diferencial, cap 11, DM-UFC (2004).

[4] Fernandez, D. L. - “Elementos de Geometria. Apostila, (2001).