Cálculo da carta dinamométrica de fundo para poços direcionais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA – CT

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA – CCET

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE PETRÓLEO - PPGCEP

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

CÁLCULO DA CARTA DINAMOMÉTRICA DE FUNDO PARA

POÇOS DIRECIONAIS

Antônio Pereira de Araújo Júnior

Orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli

Araújo Júnior, Antonio Pereira de.

Cálculo da carta dinamométrica de fundo para poços

direcionais / Antonio Pereira de Araújo Junior. - Natal, 2019. 68 f.: il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo, Natal, RN, 2019. Orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli.

1. Bombeio mecânico Dissertação. 2. Carta de fundo -Dissertação. 3. Poço direcional - -Dissertação. 4. Solução

numérica - Dissertação. I. Maitelli, André Laurindo. II. Título. RN/UF/BCZM CDU 621.68

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Cálculo da Carta Dinamométrica de fundo para poços direcionais

Antônio Pereira de Araújo Júnior

ARAÚJO JÚNIOR, ANTÔNIO PEREIRA - Cálculo da carta dinamométrica de fundo para poços direcionais. Dissertação de Mestrado, UFRN, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo. Área de Concentração: Pesquisa e Desenvolvimento em Ciência e Engenharia de Petróleo. Linha de Pesquisa: Automação na Indústria de Petróleo e Gás Natural, Natal – RN, Brasil.

Orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli

Co-orientadora: Prof.ª Dra. Carla Wilza Souza de Paula Maitelli

RESUMO

Este trabalho propõe uma solução numérica para o cálculo da carta dinamométrica de fundo de poços direcionais equipados com bombeio mecânico. A solução apresentada é baseada em modelo desenvolvido para projeto de sistemas de bombeio mecânico considerando trajetórias tridimensionais. Os resultados apresentados indicam que a incorporação do modelo tridimensional ao algoritmo possibilita o adequado cálculo de cartas de fundo em poços direcionais e verticais. O modelo permite estimar parâmetros produtivos importantes para qualquer sistema de bombeio mecânico, tais como vazão e pressão de admissão da bomba, além de calcular dados significativos para sistemas direcionais, como a carga lateral atuante ao longo da coluna de hastes.

Palavras-Chaves: bombeio mecânico, carta de fundo, poço direcional, solução numérica.

ABSTRACT

This study proposes a numerical solution for the calculation of the pump card of sucker-rod pumping systems on deviated wells. The presented solution is based on a model developed for the design of sucker-rod pumping systems considering dimensional trajectories. The presented results indicate that incorporation of the three-dimensional model to the algorithm allowed the proper calculation of pump cards in deviated and vertical wells. The model makes possible to estimate important production parameters for any sucker rod system, such as flow rate and pump intake pressure, and calculate meaningful data for deviated systems, such as the side force acting along the rod string.

À minha esposa amada, Iracema,

e às minhas filhas queridas,

Fernanda e Letícia (in

memoriam).

AGRADECIMENTOS

À minha esposa Iracema, pelo amor, compreensão e apoio incondicionais, mesmo durante as tormentas que a vida nos reserva.

À Fernanda, por iluminar minha caminhada com sua inocência e carinho. Aos meus orientadores, André e Carla Maitelli, por me guiarem no desenvolvimento da pesquisa, sempre transmitindo a confiança necessária para concluí-la.

Aos meus pais, Ana e Antônio, pela minha vida e dedicação de suas próprias em tornar seus filhos pessoas melhores.

Às minhas irmãs, pelo incentivo à conclusão da pós-graduação.

À Petrobras, pela oportunidade na participação no Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo.

À Rutácio, pela liberação para participação, estímulo e ajuda técnica para alcance dos objetivos do trabalho.

Aos colegas da Unidade de Operações de Exploração e Produção do Rio Grande do Norte e Ceará, UO-RNCE, pela colaboração nos levantamentos de campo.

À Universidade Federal do Rio Grande do Norte, por acolher a pesquisa. À RN Tecnologia, por codificar a técnica no Sistema Supervisório para Automação da Elevação – SISAL, comprovando na prática os resultados encontrados experimentalmente.

SUMÁRIO

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LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1. Perfuração direcional ... 6

Figura 2.2. Máquina movida a vapor ... 7

Figura 2.3. Sistema de bombeio mecânico alternativo ... 8

Figura 2.4. Carta dinamométrica de superfície... 9

Figura 2.5. Cartas dinamométricas de superfície e fundo ... 10

Figura 2.6. Representação da trajetória de um poço direcional... 12

Figura 3.1. Definições dos vetores ortonormais para trechos da trajetória direcional 18 Figura 3.2. Definições dos vetores ortonormais para ponto da trajetória direcional ... 20

Figura 3.3. Balanço de forças sobre elemento infinitesimal da haste... 27

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1. Características dos sistemas de BM analisados (apenas verticais) ... 35 Tabela 4.2. Comparação de curso efetivo e potência hidráulica ... 37 Tabela 4.3. Características mecânicas dos sistemas de BM analisados (verticais e direcionais) ... 39 Tabela 4.4. Dados de curso e frequência de bombeio dos sistemas analisados ... 40 Tabela 4.5. Pressões de admissão da bomba medidas e calculadas para poços verticais ... 40 Tabela 4.6. Comparação dos resultados considerando perfil direcional ou não ... 41

NOMENCLATURA

BM bombeio mecânico CF carta de fundo UB unidade de bombeio

área da secção reta da haste ( ) vetor binormal unitário

coeficiente de amortecimento ( ) cpm ciclos por minutos

diâmetro da haste ( )

módulo de elasticidade longitudinal ( )

carga lateral atuante sobre a haste por unidade de comprimento ( ) carga atuante sobre a haste ( )

força de amortecimento ( )

módulo da aceleração da gravidade (9,80665 )

componente da aceleração da gravidade na direção vertical fatores geométricos ( )

comprimento da coluna de hastes ( ) massa da seção da coluna de hastes ( ) período de um ciclo de bombeio ( ) vetor normal unitário

vetor normal unitário auxiliar

deslocamento volumétrico diária da bomba ( )

!" potência hidráulica (# )

$ posição tridimensional

%_& raio de curvatura do poço ( )

%' raio da seção da haste ( )

%₍ raio interno do tubo de produção ( )

distância axial ao longo da coluna de tubos ( ) )_* curso efetivo do pistão ( )

+ tempo ( )

, vetor tangente unitário

,. componente do vetor tangente unitário na direção leste

/ deslocamento da haste ( )

0' perímetro da seção circular das hastes ( )

1 velocidade de propagação do som na haste ( ) 2 peso da seção da coluna de hastes ( )

1₃

444 velocidade média do fluido no anular haste/tubo ( ) 1_' velocidade longitudinal da coluna de hastes ( ) 5 coordenada na direção norte, a partir da bomba ( ) 6 coordenada na direção leste, a partir da bomba ( ) 7 coordenada vertical, a partir da bomba ( )

8 ângulo de curvatura (% ) 9 amostragem

: viscosidade do fluido ( ; )

< coeficiente de atrito de Coulomb (adimensional) = massa específica da haste ( >)

? inclinação, ângulo entre vetores gravitacional e tangente ao eixo do poço (% ) @ azimute ou direção, ângulo entre projeção horizontal do poço e norte geográfico verdadeiro (% )

Sobrescritos

A elemento seguinte ao nó avaliado B elemento anterior ao nó avaliado

Capítulo 1

Introdução

1. Introdução

Para sistemas de elevação artificial por bombeio mecânico (BM), chama-se de carta dinamométrica o gráfico formado a partir do registro, ao longo de um ciclo de bombeio, da carga atuante sobre a coluna de hastes em função da sua posição. Tal registro pode ser feito na superfície, medindo-se posição e carga na haste polida (carta dinamométrica de superfície), ou no fundo do poço, imediatamente acima da bomba (carta dinamométrica de fundo). A correta interpretação de tais cartas revela informações essenciais a respeito da operação do sistema de BM, tanto dos equipamentos de superfície, tais como a unidade de bombeio (UB) e o motor, como dos equipamentos de subsuperfície, tais como haste e bomba (Costa, 1995).

Embora a carta dinamométrica de superfície seja de simples aquisição, devido à facilidade de instalação dos sensores para medição de carga e posição da haste polida, a análise do funcionamento da bomba necessita do acompanhamento da carga e posição atuantes sobre a bomba. Nesse sentido, Barreto Filho (1993) desenvolveu um algoritmo capaz de calcular a carta de fundo a partir da carta de superfície para poços verticais. Desde então, tal algoritmo tem sido amplamente utilizado na Petrobras, especialmente em sistemas especialistas para monitoramento e avaliação de poços produtores. Todavia, por não considerar os efeitos de atrito causados pelo perfil direcional do poço, o algoritmo gera resultados imprecisos no cálculo da carta de fundo para poços direcionais ou horizontais.

Segundo a Agência Nacional de Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (2013), ANP, aproximadamente 13% de todos os poços já perfurados em ambiente terrestre no Brasil (21.543 poços) não são verticais. Dos poços equipados com bombeio mecânico em operação nos estados do Rio Grande do Norte e Ceará (3.770 poços), aproximadamente 12% não são verticais. Além disso, com o aumento das exigências dos órgãos ambientais para licenciamento de locações para perfuração de novos poços, há uma tendência para aproveitamento de locações já existentes e, consequentemente, do aumento do número de poços direcionais.

1.1 - Objetivo geral

Considerando os fatos acima expostos, o presente trabalho pretende desenvolver um algoritmo para cálculo da carta dinamométrica de fundo a partir da carta de superfície, considerando o perfil direcional do poço. Como todas as informações necessárias para tal operação estão disponíveis nos bancos de dados da Petrobras, uma vez concluído, o novo

algoritmo terá uso imediato nos sistemas especialistas para bombeio mecânico da empresa. Tal técnica permitirá uma melhor avaliação de parâmetros produtivos dos poços, tais como vazão, pressão de fundo e forças de atrito, otimizando recursos e garantindo a correta explotação dos reservatórios.

1.2 - Objetivos específicos

Desenvolver algoritmo para cálculo da carta de fundo em poços verticais, utilizando o método numérico apresentado por Everitt & Jennings (1992) para obtenção da carta de fundo.

Desenvolver técnica para cálculo de características da trajetória direcional do poço. Incorporar ao algoritmo o modelo dinâmico de sistemas de BM alternativo considerando trajetórias tridimensionais, técnica desenvolvida por Costa (1995). Tal modelo dinâmico permitirá a avaliação do desempenho do método de elevação tanto de poços verticais como de poços direcionais.

Validar a técnica desenvolvida com dados coletados nos poços. Para os poços verticais, avaliar as estimativas de pressão de admissão geradas pelo algoritmo com aquelas estimadas a partir da medição do nível de fluido no anular. Para os poços direcionais, verificar se os coeficientes de atrito encontrados são compatíveis com aqueles apresentados em trabalhos anteriores.

1.3 - Divisão do trabalho

No capítulo 2, são abordados os aspectos teóricos associados ao problema do cálculo da carta de fundo em poços direcionais, incluindo referências a trabalhos anteriores.

No capítulo 3, a metodologia utilizada para o cálculo é detalhada. Inicialmente, é apresentada sistemática para cálculo de características e discretização da trajetória direcional do poço. A solução numérica proposta por Everitt & Jennings (1992) é expandida, de forma a permitir o cálculo da carta dinamométrica de poços verticais a qualquer profundidade. Em seguida, o modelo desenvolvido por Costa (1995) para projeto de sistemas de BM é resolvido para cálculo da carta de fundo em poços direcionais, mantendo a possibilidade de replicar a técnica em poços verticais. Além disso, os critérios de estabilidade e amostragem do algoritmo são discutidos, de forma a garantir o cálculo apropriado das cartas de fundo.

No capítulo 4, os resultados da aplicação da técnica proposta são apresentados e discutidos. Os ganhos da utilização de um modelo mais complexo são discutidos.

Por fim, no capítulo 5, as conclusões do trabalho são apresentadas, assim como sugestões de trabalhos futuros.

Capítulo 2

Aspectos teóricos

2. Aspectos teóricos

2.1 - Poços direcionais

Segundo Rocha et al. (2008), a perfuração direcional é uma técnica usada na exploração de petróleo, na qual os poços inclinados permitem que acumulações de petróleo localizadas em coordenadas diferentes daquelas da cabeça do poço, sejam atingidas. Esse fato é de grande interesse para indústria de petróleo, pois permite, por exemplo, que vários poços de desenvolvimento sejam perfurados a partir de uma única locação (em terra) ou plataforma (no mar).

A perfuração direcional pode reduzir custos com instalações submarinas de produção, viabilizar perfuração de poços em áreas de preservação ambiental ou com alta densidade demográfica, ou ainda permitir a perfuração de poços em alvos submarinos com baixa lâmina d’água, como ilustrado na Figura 2.1. Quando os poços direcionais atingem inclinações em relação ao eixo vertical próximos a 90º, são chamados poços horizontais. Por permitir a exposição de grandes trechos do reservatório, esse tipo de poço possibilita maiores vazões de produção, aumento da eficiência de recuperação secundária e produção de formações fechadas ou de óleo pesado. Por outro lado, a produção em poços direcionais pode exigir maiores esforços em métodos de elevação dependentes de coluna de hastes, diminuir eficiência de bombeio ou gerar maiores perdas de carga (maiores comprimentos de tubulação para mesmas profundidades verticais).

a) b)

Figura 2.1. Perfuração direcional

No estado do Rio Grande do Norte, especificamente, a indústria tem encontrado dificuldades na liberação de licenças ambientais. Segunda Lira (2013), as dificuldades se estendem desde o cumprimento à legislação ambiental vigente até a emissão da licença propriamente dita. Assim, o aproveitamento de bases de perfuração (locações ou plataformas) já existentes a partir da perfuração de poços direcionais se configura como oportunidade para antecipação de produção.

2.2 - Bombeio mecânico

O bombeio mecânico alternativo, ou simplesmente bombeio mecânico (BM), é o método de elevação artificial mais utilizado no mundo em número de poços (Takács, 2003). O início do BM como método de elevação artificial de petróleo se confunde com o início da própria indústria de petróleo, no século XIX. Naqueles tempos, os poços eram perfurados com brocas fixadas à extremidade de cabos de aço, que eram elevados e abaixados por vigas de madeira (“cavalos-de-pau”). Muitas vezes, o mecanismo era acionado por máquinas a vapor. Um exemplo é apresentado na Figura 2.2. Uma vez concluído o período de surgência dos poços, uma bomba alternativa era descida na extremidade de uma coluna de hastes e acionada pelo mesmo mecanismo de superfície que perfurou o poço.

Figura 2.2. Máquina movida a vapor

(Fonte: Wikimedia Commons. Basic diagram of a walking beam engine, junho 2012. Disponível em http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Walking_beam_engine.jpg. Acesso

Takács (2003) sugere a divisão do BM em três partes principais: a unidade de bombeio (UB), a coluna de hastes e a bomba alternativa, conforme a Figura 2.3. A UB, instalada na superfície, transforma o movimento rotativo de alta velocidade de um motor (geralmente elétrico) em movimento alternativo de baixa velocidade. A coluna de hastes, normalmente metálica, transmite o movimento alternativo gerado pela UB à bomba. Por fim, a bomba alternativa, instalada no fundo do poço na extremidade de uma coluna de tubos, transmite a energia mecânica ao fluido na forma de pressão, viabilizando seu escoamento até a superfície.

Figura 2.3. Sistema de bombeio mecânico alternativo (Fonte: Costa, 1995)

2.3 - Acompanhamento operacional de poços com BM

Segundo Takács (2003), a análise do desempenho operacional de poços equipados com BM compreende, basicamente, a avaliação da produtividade do poço e a interpretação de cartas dinamométricas coletadas na haste polida. A produtividade do poço pode ser obtida a partir da realização de testes de produção e medições (ou cálculo) da pressão (em fluxo ou

estática) no fundo dos poços. Tais informações são úteis para avaliação do comportamento do reservatório e do desempenho hidráulico (vazões e pressões envolvidas) do sistema de elevação.

A carta dinamométrica, por sua vez, é a ferramenta mais importante para análise de um sistema de BM. Comumente medida na haste polida, trata-se do registro da carga em função da posição da haste. A Figura 2.4 apresenta um exemplo de carta dinamométrica. A interpretação do formato da carta dinamométrica permite a avaliação do desempenho dos equipamentos de superfície e subsuperfície, assim como a identificação de situações anormais de funcionamento, tais como prisão do pistão ou ruptura da coluna de hastes.

Figura 2.4. Carta dinamométrica de superfície

Quando medida na superfície (na haste polida), a carta dinamométrica será, segundo Barreto Filho (1993), a composição da dinâmica da bomba de fundo com o “ruído” adicionado durante a transmissão da carga ao longo das hastes de bombeio. Tal “ruído” é função, dentre diversos fatores, da profundidade e do regime de bombeio (curso e frequência da haste polida). Assim, quanto maior o “ruído”, maior a dificuldade para avaliação do formato da carta dinamométrica.

De acordo com Takács (2003), devido às muitas interações entre os parâmetros que influenciem no formato e ao grande número de problemas possíveis no sistema de bombeio, infinitos padrões de cartas dinamométrica de superfície podem existir, tornando a análise delas “mais uma arte do que uma ciência exata”.

2.4 - Cartas dinamométricas de fundo

Uma alternativa à complexa análise das cartas dinamométricas de superfície é o uso de cartas dinamométricas tomadas imediatamente acima da bomba, chamadas de cartas dinamométricas de fundo. Por refletir diretamente as condições operacionais da bomba, as cartas de fundo permitem a rápida identificação de mau funcionamento ou necessidade de redimensionamento do sistema de bombeio. A Figura 2.5 apresenta um exemplo de carta dinamométrica de superfície e sua respectiva carta de fundo.

Apesar de a medição direta ser possível (embora dispendiosa e intrusiva), as cartas de fundo são geralmente calculadas a partir da carta dinamométrica de superfície. O cálculo da carta de fundo é realizado pela solução da equação da onda amortecida, que descreve o comportamento das hastes de bombeio. A primeira formulação para a equação da onda

unidimensional (para poços verticais) no BM foi feita por Gibbs (1963), e tem o formato da Equação (1), onde / corresponde ao deslocamento da haste, à distância axial ao longo da coluna de haste, + ao tempo, ao coeficiente de amortecimento, e 1 à velocidade de propagação do som na haste. 1 é calculada pela Equação (2), onde e = correspondem, respectivamente, ao módulo de elasticidade longitudinal e à massa específica da haste.

(1)

(2)

Na Equação (1), o coeficiente de amortecimento precisa ser determinado. Gibbs (1963) sugeriu, inicialmente, o uso de um coeficiente de amortecimento adimensional, calibrado a partir de medições de campo. Everitt & Jennings (1992), por sua vez, apresentou um cálculo iterativo que, a partir da vazão e nível dinâmico do poço, encontra o valor apropriado para o coeficiente. Já Costa (1995) optou por adaptar um modelo sugerido por Lea (1991) para o cálculo de (função das características do fluido e da geometria de hastes e tubos), conferindo maior estabilidade numérica à solução.

Há diversas soluções publicadas para a equação da onda unidimensional. A maior parte delas segue duas abordagens: soluções analíticas ou soluções numéricas. As soluções analíticas usam a técnica de separação de variáveis. Os sinais de carga e posição da haste polida são expressos como séries de Fourier para, assim, permitir o cálculo da carga e deslocamento da bomba no fundo do poço. Para implementação em ambiente computacional, requer o truncamento das séries. A abordagem analítica foi usada por Gibbs (1967) e Barreto Filho (1993). Já as soluções numéricas aproximam as equações diferenciais por métodos numéricos. Uma das técnicas utilizadas é o Método das Diferenças Finitas. Segundo Cunha (1993), o método substitui as derivadas por aproximações obtidas a partir da série de Taylor. Assim, os termos diferenciais da equação da onda podem ser substituídos, por exemplo, por:

• Fórmula avançada de primeiro grau da primeira derivada

(3)

• Fórmula atrasada de segundo grau da primeira derivada

(4)

• Fórmula centrada de terceiro grau da derivada segunda

( )

( )

( )

t t s u c t t s u s t s u v ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ , ₂, , 2 2 2 2

ρ

E v=

( )

(

)

( )

t t s u t t s u t t s u ∆ − ∆ + = ∂ ∂ , , ,

( )

( )

(

)

(

)

s t s s u t s s u t s u s t s u ∆ ∆ − + ∆ − − = ∂ ∂ 2 , 2 , 4 , 3 ,

(5)

A abordagem numérica foi utilizada por Gibbs (1963) para projeto de sistemas de BM, e por Everitt & Jennings (1992), para cálculo de cartas de fundo.

2.5 - Carta de fundo para poços direcionais

Para os poços direcionais, a distribuição dos esforços da coluna de hastes é mais complexa que aquela observada em poços verticais. Devido ao atrito haste-tubo, a carga e o deslocamento ao longo das hastes de bombeio são significativamente alterados, dificultando o projeto e a análise do sistema de bombeio.

De acordo com Costa (1995), os primeiros estudos para modelar o comportamento do sistema de bombeio mecânico em poços direcionais foram baseados na premissa que a trajetória do poço estaria contida num plano. Em seu trabalho, entretanto, ele desenvolveu um modelo matemático para projeto de sistemas de bombeio mecânico para qualquer trajetória. Deste modelo é possível projetar sistemas para casos particulares, como poços verticais ou direcionais sem restrição de trajetória. Costa (1995) sugeriu ainda a parametrização da trajetória do poço no espaço tridimensional (5,6,7) pelo comprimento do arco ( ), como apresentado na Figura 2.6.

Figura 2.6. Representação da trajetória de um poço direcional (Fonte: Costa, 1995)

( )

(

)

( )

(

)

2 2 2 , , 2 , , s t s s u t s u t s s u s t s u ∆ ∆ − + − ∆ + = ∂ ∂

Para cada ponto da coluna de hastes, identificado por sua posição na coluna de tubos, foram definidos três vetores ortonormais, a saber:

• ,C D: vetor tangente unitário • C D: vetor normal unitário • C D: vetor binormal unitário.

Assim, a equação da onda, considerando o perfil direcional do poço e o coeficiente de amortecimento proposto por Costa (1995), tem o formato a seguir:

(6)

Na Equação (6), corresponde ao vetor aceleração gravitacional, < ao coeficiente de atrito de Coulomb, 1_' à velocidade longitudinal da coluna de hastes, %_& ao raio de curvatura do poço, : à viscosidade do fluido, 0 ao perímetro da seção circular da haste, à área da secção reta da haste e 1444 à velocidade média do fluido no anular haste/tubo. ₃ e são fatores geométricos, funções dos raios da coluna de produção e da coluna de hastes, definidos, respectivamente, pelas Equações (7) e (8). Nessas Equações, %₍ representa raio interno do tubo de produção e %_' o raio da seção da haste.

(7)

(8)

Do modelo desenvolvido por Costa (1995), é possível ainda estimar – carga lateral atuante sobre a coluna de haste por unidade de comprimento:

(

)

(

)

(

−

)

+

(

−

)

− + − = 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 ln ln 2 2 r t t r r t r r t t r r r t r r r r r r r r r r r r r r K

(

)

(

)

(

)

(

−

)

+

(

−

)

− + − − + − = 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 ln ln ln 2 ln r t t r r t t r r r t t r r r t t r r t r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r K

( )

[

( )

]

( )

( )

(

r f

)

c r r v K v K A U s u s r v s N g s B g v v s T g s u v t u 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 − + ∂ ∂ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ∂ ∂ ⋅ = ∂ ∂ ρ η µ

(9)

( )

[

( )

]

( )

( )

2 2 2 , ∂ ∂ + ⋅ + ⋅ ⋅ = s u s r v s N g s B g A t s f c l ρ

Capítulo 3

3. Modelagem do problema

Devido à complexidade do cálculo da carta de fundo em poços direcionais, definimos marcos intermediários para a execução do trabalho. São eles:

• Escolha da ferramenta computacional • Representação da trajetória do poço

• Cálculo da carta de fundo para poços verticais

• Incorporação do modelo tridimensional ao cálculo da carta de fundo

3.1 - Escolha da ferramenta computacional

A simulação de carga e deslocamento, durante um ciclo de bombeio (função do tempo) e ao longo da coluna de hastes (função da posição), exige a manipulação de grandes matrizes de dados. Assim, a linguagem de programação a ser usada deveria prover bibliotecas para tratamento de vetores e matrizes. Devido não haver grandes exigências de desempenho computacional (ao menos durante o estudo da técnica), a linguagem a ser utilizada também precisaria ser de alto nível. Por fim, a existência de bibliotecas para geração de gráficos, inclusive tridimensionais, facilitaria a análise dos resultados.

Assim, optamos pela utilização da linguagem de programação Scilab. Além dos requisitos enumerados, o software é gratuito, permitindo a reprodução dos algoritmos apresentados na dissertação sem a necessidade de desembolso financeiro.

3.2 - Representação da trajetória do poço

Segundo Rocha (2008), a trajetória seguida por um poço direcional é calculada através de métodos que envolvem hipóteses relacionadas ao traçado do caminho esperado entre duas estações, isto é, os pontos onde são feitos os registros direcionais. Para cada estação, são registradas a inclinação e a direção numa dada profundidade medida. A quantidade de estações e qualidade das informações registradas depende de diversos fatores técnicos (por exemplo, temperatura, inclinação máxima da ferramenta ou interferência magnética gerada por outros poços ou pela composição das rochas perfuradas) e econômicos (por exemplo, um número maior de estações exige maior tempo de sonda).

A determinação da carta de fundo em poços direcionais necessita do cálculo de várias informações definidas ao longo da trajetória direcional do poço, tais como: posição tridimensional (5,6,7), vetores ortonormais ,C D, C D e C D, centro e raio de curvatura.

Uma vez que a discretização da profundidade medida usada na determinação pode não ser comum àquela verificada no registro das estações, a inclinação e a direção também precisam ser calculadas.

Neste trabalho, optamos por descrever a trajetória tridimensional do poço a partir da caracterização dos trechos compreendidos entre estações consecutivas. Utilizamos a hipótese do Mínimo Raio de Curvatura, onde a trajetória entre as estações corresponde a uma curva suave sobre a superfície de uma esfera. Tal hipótese é a mais usada na indústria de petróleo (Rocha, 2008). Nessa abordagem, qualquer ponto da trajetória poderá ter suas informações calculadas a partir dos dados das estações vizinhas a ele. Para cada trecho, são calculados: vetor tangente do início do trecho; vetor binormal; ângulo, centro e raio de curvatura; e coordenadas tridimensionais do próximo ponto. Uma vez caracterizado o trecho, as informações de um ponto em particular poderão ser determinadas. As informações relativas ao ponto necessárias para o cálculo da carta de fundo são: posição tridimensional, inclinação, direção, vetores ortonormais e raio de curvatura.

3.2.1 - Vetor tangente unitário da estação

Para uma estação conhecida da trajetória, com profundidade medida , inclinação ?C D e direção @C D, o vetor tangente ,C D pode ser calculado pela Equação (10).

(10)

3.2.2 - Ângulo e raio de curvatura

Sejam E e E A F estações consecutivas, e ,C _GD e ,C GH D vetores tangentes unitários

calculados nas estações E e E A F. O ângulo de curvatura 8_G e o raio de curvatura %_&G, apresentados na Figura 3.1, podem ser calculados pelas Equações (11) e (12), respectivamente. (11) (12)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

⋅ ⋅ = s s s s s s T φ ψ φ ψ φ cos sen sen cos sen

( ) ( )

(

1

)

acos ⋅ ₊ = _{i i} i T s T s γ i i i c s s r i _γ − = +1

Figura 3.1. Definições dos vetores ortonormais para trechos da trajetória direcional

Se duas estações consecutivas possuírem inclinação e direção comuns (seção slant), teremos ,C GD I ,C GH D, 8G I J e %_&G K L.

3.2.3 - Vetor binormal unitário

Para um trecho com mudança de inclinação ou azimute, onde ,C _GD M ,C _GH D, denomina-se vetor binormal C _GD o vetor ortogonal ao plano (ambos apresentados na Figura 3.1) que contém a trajetória compreendida entre os pontos E e E A F. Sendo ortogonal a ,C _GD e ,C GH D, é calculado como o produto vetorial destes:

(13)

Para trechos slant, o cálculo desta informação não é necessário.

( )

si =T

( )

si ×T

( )

si+1

3.2.4 - Centro da curvatura

Seja C D um vetor normal unitário auxiliar, que aponta para centro de curvatura da trajetória, conforme visto na Figura 3.1. Estando contido no plano N, o vetor na estação E é perpendicular a ,C _GD e C GD e pode ser calculado pela Equação (14).

(14)

Sendo $C _GD a posição na trajetória tridimensional para a profundidade medida _G, o centro da curvatura OC _GD pode ser calculado por:

(15)

3.2.5 - Posição da estação seguinte

De forma análoga a C D, C D é definido na estação E A F, é perpendicular a ,C _GH D e C _GD e pode ser calculado pela Equação (16).

(16)

Conhecido o centro e raio da curvatura, assim como C D, a coordenada da estação seguinte $C _GH D pode ser calculada por:

(17)

3.3 - Caracterização do ponto na trajetória direcional

O cálculo das propriedades de cada um dos trechos da trajetória direcional, compreendido entre duas estações consecutivas E e E A F, permite que as características de um ponto qualquer da trajetória sejam computadas. As características do ponto, com profundidade

( )

si B

( )

si T

( )

si N'₁ = ×

( )

si R si rc N

( )

si C i '1 ) ( + ⋅ =

( )

( )

(

1

)

2 ' si =B si ×T si+ N

( )

si C

( )

si rc N

( )

si R i 2 1 = − ⋅ ' +

medida , necessárias para cálculo da carta de fundo são: ângulo de curvatura, posição tridimensional, vetores ortonormais, inclinação e direção. As características estão representadas na Figura 3.2.

Figura 3.2. Definições dos vetores ortonormais para ponto da trajetória direcional

3.3.1 - Ângulo de curvatura

Assumindo a hipótese do Mínimo Raio de Curvatura, para _G P Q _GH , o ângulo de curvatura 8C D é diretamente proporcional ao ângulo de curvatura do trecho, 8_G, e à razão entre os comprimentos dos arcos $G$ e $G$GH . O comprimento do arco $G$ é dado por B

G, e o comprimento do arco $G$GH é GH B G. O ângulo de curvatura pode ser representado,

então, pela Equação (18).

(18)

( )

i i i i s s s s s − − = +1 γ γ

21

3.3.2 - Posição tridimensional

A posição $C D, tridimensional, será encontrada pela solução de um sistema de três equações, que exploram propriedades geométricas do trecho da trajetória no qual o ponto encontra-se compreendido. A primeira propriedade avaliada indica que o vetor $O_R é ortogonal a _G e, consequentemente, o produto interno entre eles é nulo. A expressão resultante é apresentada na Equação (19).

(19)

A segunda propriedade analisada é a que o vetor $_RO_R forma ângulo 8C D com $O_R. Usando a função produto escalar e considerando que $ROR e $OR têm comprimento %&_S,

chegamos à expressão da Equação (20).

(20)

A última propriedade utilizada é a que vetor $OR forma ângulo 8G B 8C D com $RH OR.

De forma análoga à propriedade anterior, efetuamos o produto interno dos vetores e, uma vez que $_RH O_R também tem comprimento %_&S, chegamos à Equação (21).

(21)

Como o primeiro termo das Equações (19), (20) e (21) são dependentes de $, podemos representá-las em notação matricial, como apresentado na Equação (22).

(

)

i i i i i C B R B C R B ⋅ = ⋅ = − ⋅ 0

(

) (

)

_{( )}

(

R C

)

R

(

R C

)

C r

( )

s r C R C R s C R C R C R C R ci i i i i i c i i i i i i i i i i γ γ cos cos 2 ⋅ + ⋅ − = ⋅ − = − = − = − ⋅ − − ⋅ −

(

) (

)

_[

_{( )}

_]

(

R C

)

R

(

R C

)

C r

[

( )

s

]

r C R C R s C R C R C R C R i ci i i i i i c i i i i i i i i i i i γ γ γ γ − ⋅ + ⋅ − = ⋅ − = − = − − = − ⋅ − − ⋅ − + + + + + cos cos 2 1 1 1 1 1

(

)

(

−

)

⋅ + ⋅

( )

⋅ = ⋅ − R C C r s C B R C R B ci i i i i i i i i

γ

cos 2

(22)

Multiplicando ambos os termos pela inversa da matriz que multiplica $, encontramos a expressão para o cálculo da posição, expressa pela Equação (23).

(23)

3.3.3 - Vetores ortonormais

Os vetores ortonormais definidos num ponto da trajetória são encontrados a partir das informações calculadas para o trecho da trajetória onde o ponto se encontra. Assim, apresentaremos o procedimento para cálculo dos vetores unitários normal, tangente e binormal.

Caso o ponto não se encontre num trecho slant, o vetor binormal unitário do ponto é semelhante ao vetor binormal do trecho da trajetória, ou seja, C D I C _GD. Conforme apresentado na Figura 3.2, o vetor normal unitário C D é definido na mesma direção do vetor que une os pontos $ e O_G, mas com módulo 1. A expressão para cálculo de C D é apresentada na Equação (24).

(24)

O vetor tangente unitário ,C D é perpendicular a C D e C D, sendo calculado como o produto vetorial destes. A expressão para cálculo do vetor é apresentada na Equação (25).

(25)

Caso o ponto esteja compreendido num trecho slant, o vetor tangente unitário do ponto é semelhante ao das estações vizinhas, ou seja, seja, ,C D I ,C _GD. O vetor C D, não

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

−

)

⋅ + ⋅

[

−

( )

]

⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − − = + − + R C C r s s r C C R C B C R C R B s R i ci i i i ci i i i i i i i i i i γ γ γ cos cos 2 1 2 1 1

( )

i i RC RC s N =

( )

s N

( )

s B

( )

s T = ×

havendo curvatura, é arbitrado pela Equação (26). Nela, ,_-C D I TF J JU ; ,C D e ,.C D I

TJ F JU ; ,C D correspondem às projeções norte e leste, respectivamente, do vetor tangente unitário.

(26)

O vetor binormal unitário C D, nesta condição, sendo perpendicular a ,C D e C D, é calculado a partir do produto vetorial deles. A expressão para cálculo do vetor é apresentada na Equação (28).

(27)

3.3.4 - Inclinação e direção

Conforme indicado na Equação (10), o vetor ,C D é função da inclinação e direção. Como o terceiro termo de ,C D depende apenas da inclinação ?C D, podemos encontrar seu valor a partir da Equação (28).

(28)

Encontrado o valor da inclinação, a direção @C D pode ser calculada a partir da Equação (29). A expressão é encontrada a partir do primeiro termo de ,C D.

(29)

Caso o trecho da trajetória seja vertical, para o qual a inclinação em relação ao eixo vertical é nula e VW?C D I J, não é possível calcular a direção. Entretanto, nesse caso particular, não faz sentido definir @C D e, para efeito de notação, assumiremos como nulo.

( )

s =acos

(

[

0 0 1

]

⋅T

( )

s

)

φ

( )

(

[

]

( )

)

( )

s s T s φ ψ sen 0 0 1 acos ⋅ =

( )

[

]

( )

[

−

]

+

(

)

= = contrário caso , 1 / 0 1 0 para , 0 1 0 2 y y x y x T T T T s T s N

( )

s T

( )

s N

( )

s B = ×

3.4 - Geração da carta de fundo para poços verticais

A incorporação da trajetória tridimensional do poço à equação da onda, de acordo com o modelo proposto por Costa (1995), tornou a equação não linear. Embora existam abordagens analíticas para solução de sistemas diferenciais não lineares, elas envolvem técnicas não necessariamente aplicáveis ao modelo em questão, podendo até mesmo ser impossível alcançá-la. Desta forma, optamos por desenvolver o cálculo da carta de fundo para poços direcionais usando soluções numéricas para a equação da onda.

O trabalho foi iniciado pelo cálculo da carta de fundo para poços verticais. O desenvolvimento do algoritmo permitiu uma maior familiarização com as soluções numéricas e a possibilidade de comparação dos resultados com técnicas já existentes para cálculo de cartas de fundo. Para essa etapa, o trabalho de Everitt & Jennings (1992) foi tomado como referência. Além de usar solução numérica para a equação da onda, ele permite a análise de poços com coluna de hastes combinada (seções com características diferentes, seja de diâmetro, material ou discretização).

3.4.1 - Deslocamento

Multiplicando a Equação (1) por = , tem-se a possibilidade da modelagem de hastes com características variáveis de material e diâmetro. A nova equação será:

(30)

Os termos diferenciais em relação ao tempo são calculados por:

(31)

(32)

Nas Equações (31) e (32), surgiram os termos /C + A X+D e /C + B X+D. Considerando que as cartas dinamométricas são registradas ao longo de um ciclo de bombeio, + estará dentro do intervalo TJ T, onde corresponde ao período. Assim, não seria possível

( )

( )

( )

t t s u A c t t s u A s t s u EA ∂ ∂ ⋅ ⋅ + ∂ ∂ ⋅ = ∂ ∂ ⋅ , ₂, , 2 2 2 ρ ρ

( )

(

)

( )

t t s u t t s u t t s u ∆ − ∆ + = ∂ ∂ , , ,

( )

(

)

( )

(

)

2 2 2 , , 2 , , t t t s u t s u t t s u t t s u ∆ ∆ − + − ∆ + = ∂ ∂

obter o termo /C + A X+D para o último registro C+ I B X+), nem tampouco /C + B X+D para o primeiro (+ I J).

Para contornar o problema, Everitt & Jennings (1992) assume que a carta dinamométrica é coletada após a estabilização do sistema de BM e, portanto, trata-se de sinal periódico, com /C +D I /C + A D. Assim, para + I B X+, teríamos /C D I /C JD. De forma análoga, para + I J, teríamos /C BX+D I /C B X+D.

O termo ; Y /C +D YZ será calculado por:

(33)

Os termos diferenciais serão substituídos por:

(34)

(35)

Nas equações (34) e (35), X H e X se referem aos comprimentos das seções acima e abaixo, respectivamente, do ponto onde os termos diferenciais estão sendo calculados. Adicionalmente, X444 corresponde à média entre X H e X , ou seja:

(36)

Substituindo os termos das equações (34) e (35) na equação (33), teremos:

(37)

Substituindo a Equação (37) na equação (30), e reagrupando o segundo termo, teremos que:

(38)

( )

( )

(

)

s s t s s u s t s u EA s t s u ∆ ∂ ∆ − ∂ − ∂ ∂ ⋅ = ∂ ∂ ⋅ , , , EA ₂ 2

( )

(

)

( )

+ + ∆ − ∆ + = ∂ ∂ s t s u t s s u s t s u , , ,

(

)

( )

(

)

− − ∆ ∆ − − = ∂ ∆ − ∂ s t s s u t s u s t s s u , , , 2 − + ∆ + ∆ = ∆s s s

( )

(

)

( )

( )

(

)

s t s s u t s u s EA s t s u t s s u s EA s t s u EA ∆ ∆ − − ∆ − ∆ − ∆ + ∆ = ∂ ∂ ⋅ − − + + , , , , , 2 2

(

)

( )

( )

(

)

( )

∂

( )

∂ = ∆ ∆ − − ∆ − ∆ − ∆ + ∆ − − + + t s u t s u s t s s u t s u s EA s t s u t s s u s EA , , , , , , 2 ρ

Considerando o referencial para baixo, adotado por Everitt & Jennings (1992), e que a condição de contorno (carta dinamométrica de superfície) está definida para I J, buscamos a solução para /C A X H +D. Assim, teremos:

(39)

Na Equação (39), temos que o deslocamento da haste no próximo nó de simulação, /C A X H _{+D, depende de /C +D e /C B X +D. Assim, as condições de contorno /CJ +D e}

/CX +D precisam ser conhecidas para que os demais deslocamentos possam ser calculados. O deslocamento da haste polida, /CJ +D, é conhecido a partir da carta dinamométrica de superfície, dado de entrada para o cálculo da carta de fundo. Já o deslocamento /CX +D pode ser calculado pela Lei de Hooke:

(40)

Substituindo , carga atuante sobre a haste, por CJ +D, carga sobre a haste polida, e expandindo o termo Y/C +D YZ na equação (40), teremos que:

(41)

Por fim, o deslocamento /CX +D poderá ser calculado por:

(42)

3.4.2 - Carga axial

Uma vez concluída a modelagem do deslocamento, passamos à modelagem da carga atuante ao longo da coluna de hastes. Em seu trabalho, Everitt & Jennings (1992) se limitou a

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ ⋅ + ∆ ∆ − − ∆ ∆ ∆ + + = ∆ + − − + + t t s u c t t s u A s t s s u t s u s EA s EA s t s u t s s u , , , , , , 2 2 ρ

( )

( )

s t s u EA t s F ∂ ∂ ⋅ = , ,

( )

[

u

(

s t

)

u

( )

t

]

s EA t F 0, ∆ , − 0, ∆ =

(

)

( )

( )

EA s t F t u t s u ∆ , = 0, + 0, ⋅∆

apresentar a carga atuante sobre a bomba. Ele o fez a partir da expansão da lei de Hooke, apresentada na Equação (40), usando a fórmula atrasada de segundo grau da primeira derivada:

(43)

Tal abordagem assume que as seções da coluna de hastes imediatamente acima da bomba possuem massa específica, diâmetro e módulo de elasticidade longitudinal iguais. Além disso, uma vez que o deslocamento foi calculado ao longo de toda a coluna de hastes, seria desejável a possibilidade do cálculo da carga atuante ao longo da coluna. Tal cálculo permitiria, por exemplo, a avaliação do desempenho da haste a qualquer profundidade – não apenas na extremidade.

Para o cálculo da carga atuante ao longo da coluna de hastes, recorremos à segunda lei de Newton, aplicando-a sobre o balanço de forças ilustrado na Figura 3.3 (onde corresponde ao comprimento da coluna de hastes e ao seu diâmetro). Essa abordagem é semelhante àquela proposta por Gibbs (1963).

Figura 3.3. Balanço de forças sobre elemento infinitesimal da haste

A equação resultante do balanço de forças é:

(44)

(

,

)

( )

, 2

( )

₂, t t s u m F W t s F t s s F _d ∂ ∂ ⋅ = − + − ∆ +

( )

[

u

( )

s t u

(

s s t

)

u

(

s s t

)

]

s EA t s F 3 , 4 , 2 , 2 , − −∆ + − ∆ ∆ =

Na Equação (44), 2 e correspondem, respectivamente, ao peso e à massa da seção da haste. A força de amortecimento, , atuando no sentido oposto ao movimento das hastes, corresponde à fricção das hastes com o fluido e coluna de produção. Ela foi definida por Gibbs (1963) como sendo:

(45)

Na formulação proposta por Gibbs (1963), o coeficiente de amortecimento é determinado por uma correlação empírica função da velocidade média da haste polida. Costa (1995), por sua vez, adaptou modelo desenvolvido por outros autores de forma a incorporar parâmetros que influenciam as forças contrárias ao movimento das hastes. Alguns destes parâmetros são: diâmetro do pistão, tubos e hastes, viscosidade e velocidade média do fluido produzido. Este último modelo será apresentado no capítulo seguinte.

Substituindo a equação (45) na equação (44) e definindo o peso da seção como 2 I , teremos que:

(46)

3.5 - Geração da carta de fundo para poços direcionais

O cálculo da carta de fundo para poços direcionais, desenvolvido neste trabalho, é baseado no modelo desenvolvido por Costa (1995), representado pela Equação (6). Vale ressaltar que a técnica também pode ser aplicada em poços verticais, caso particular de trajetória com inclinação constante e vertical. A condição de contorno utilizada para o cálculo da carta de fundo do poço direcional é a carta dinamométrica de superfície, ou seja, carga e posição na haste polida. Desta forma, o modelo precisa ser resolvido de forma a permitir o cálculo da carga e deslocamento ao longo de toda a coluna de hastes. Considerando o referencial para cima, utilizado por Costa (1995), a condição de contorno está definida para

( )

t t s u c m F_d ∂ ∂ ⋅ ⋅ = ,

(

,

)

( )

,

( )

, 2

( )

₂, t t s u m t t s u c m g m t s F t s s F ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ ⋅ ⋅ + ⋅ − = ∆ +

(

)

( )

( )

( )

− ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ⋅ + = ∆ + g t t s u t t s u c m t s F t s s F 2 2 , , , ,

I . Dispomos, assim, de /C +D e C +D, e precisamos definir soluções para /C B X +D, e C B X +D.

3.5.1 - Deslocamento

Em busca da solução da equação da onda para /C B X +D, isolamos o termo em questão a partir da Equação (37):

(47)

A Equação (47) depende de Y /C +D YZ , que deve ser resolvido. Tomando a Equação (6) como referência, substituímos 1 pela Equação (2) e isolamos o termo que é função Y /C +D YZ , chegando assim à Equação (48).

(48)

De forma semelhante ao algoritmo desenvolvido para o cálculo da carta de fundo de poços verticais, multiplicando os termos da Equação (48) por = possibilitamos a análise de poços com coluna de hastes combinadas, assim como encontramos a expressão necessária para solução de /C B X +D.

(49)

Entretanto, a Equação (49) ainda depende de Y/C +D Y[Z . Usando a Lei de Hooke, apresentada na Equação (40), e substituindo 1 pela Equação (2), podemos resolver o termo diferencial usando a Equação (50).

(

)

( )

(

)

( )

( )

∂ ∂ ⋅ − ∆ − ∆ + ∆ ∆ ∆ − = ∆ − + + − − 2 2 , , , , , s t s u EA s t s u t s s u s EA s EA s t s u t s s u

( )

[

( )

]

( )

( )

(

_r fk

)

rk r rk c r r v K v K A U s u s r v s N g s B g v v s T g t u s u E 2 1 2 2 2 2 2 2 2 − − ∂ ∂ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ ρ η µ ρ

( )

[

( )

]

( )

( )

(

−

)

− ∂ ∂ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ∂ ∂ ⋅ = ∂ ∂ ⋅ fk r rk r rk c r r v K v K A U s u s r v s N g s B g v v s T g t u A s u EA 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ρ η µ ρ

(50)

Assim, a expressão final para cálculo do deslocamento da haste do nó imediatamente abaixo é apresentada na Equação (51).

(51)

3.5.2 - Carga axial

Derivando a Lei de Hooke em função da distância axial e assumindo que as grandezas e são constantes ao longo de uma seção da coluna de hastes, encontramos uma expressão para a variação da carga axial atuante ao longo desta seção. A variação é expressa pela Equação (52).

(52)

Substituindo o segundo termo da Equação (52) pela Equação (49), e expandido o primeiro termo por diferenças finitas, chegamos à Equação (53).

(53)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

s r A t s F s t s u s r v s t s u EA s r A s t s u s r v c c c c ⋅ = ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ⋅ = ∂ ∂ ρ ρ , , , 1 , 2 2

(

)

( )

(

)

( )

( )

( )

[

]

( )

( )

( )

(

−

)

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ∂ ∂ ⋅ − ∆ − ∆ + ∆ ∆ ∆ − = ∆ − + + − − f r rk r rk c r r v K v K A U s r A t s F s N g s B g v v s T g t u A s t s u t s s u s EA s EA s t s u t s s u 2 1 2 2 2 2 , , , , , ρ η ρ µ ρ

( )

( )

2 2 , , s t s u EA s t s F ∂ ∂ = ∂ ∂

( )

(

)

( )

[

( )

]

( )

( )

(

−

)

− ∂ ∂ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ∂ ∂ ⋅ = ∆ ∆ − − fk r rk r rk c r r v K v K A U s u s r v s N g s B g v v s T g t u A s t s s F t s F 2 1 2 2 2 2 2 , , ρ η µ ρ

Isolando o termo C B X +D, substituindo o termo dependente de Y /C +D Y[Z pela Equação (50) e sabendo que I = X , encontramos a expressão para cálculo da carga atuante no nó imediatamente abaixo do nó atual, apresentada na Equação (54).

(54)

3.5.3 - Carga lateral

Substituindo o termo derivativo da Equação (9) pela Equação (50), chegamos à expressão utilizada neste trabalho para cálculo de – carga lateral por unidade de comprimento:

(55)

3.6 - Amostragem e estabilidade numérica

Segundo Cunha (1993), o erro na aproximação para as equações diferenciais ordinárias pelo método das diferenças finitas é função do passo (X ou X+) escolhido. Tal função pode ser linear ou quadrática, a depender da fórmula usada. Assim, quanto menor o passo escolhido, menor o erro da aproximação. Por outro lado, a escolha de passos pequenos de discretização (seja do tempo ou do espaço) conduzirá a malhas de simulação maiores, aumentando a carga de processamento necessária para o cálculo da carta de fundo. A depender da forma escolhida para representação dos números reais, passos muito pequenos de discretização podem ainda introduzir erros de arredondamento. Tais erros podem se propagar pelo algoritmo e gerar erros de maior ordem no resultado.

Nesse sentido, Shafer & Jennings (1987) realizou diversas análises de sensibilidade sobre as soluções da equação da onda para cálculo da carta de fundo. As análises foram conduzidas tanto para soluções numéricas quanto analíticas, e seus resultados foram comparados.

(

)

( )

( )

[

( )

]

( )

( )

( )

(

−

)

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ∂ ∂ ⋅ − = ∆ − fk r rk r rk c r r v K v K A U s r A t s F s N g s B g v v s T g t u m t s F t s s F 2 1 2 2 2 2 , , , ρ η ρ µ

( )

[

( )

]

( )

( )

( )

2 2 _, , ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = s r A t s F s N g s B g A t s f c l ρ ρ

Quanto à amostragem temporal para cálculo da carta de fundo, ele indicou que a carta dinamométrica deve possuir no mínimo 50 pontos igualmente espaçados no tempo. Tal orientação não chega a ser problemática, uma vez que os equipamentos atualmente utilizados para coleta de cartas dinamométricas de superfície costumam coletar cartas com 150 a 200 pontos de carga e posição.

Já quanto à amostragem espacial, Everitt & Jennings (1992) relata que a solução numérica proposta é estável se a condição expressa na Equação (56) for satisfeita.

(56)

Mesmo para sistemas de BM funcionando a altas frequências (20 cpm, por exemplo), os 50 pontos orientados por Shafer & Jennings (1987) gerariam períodos de amostragens de:

(57)

Considerando hastes metálicas, teremos 1 \ ]^F_` . Substituindo na Equação (56), teremos que o passo para discretização espacial da coluna de hastes será:

X P ]F_` ; J` X P aFJ

Shafer & Jennings (1987) também analisou a sensibilidade da carta de fundo à discretização espacial da coluna de hastes. Ele concluiu que passos (X D entre 152 e 229 m (50 a 75% do máximo permitido) levariam a resultados satisfatórios.

Neste trabalho, optamos por trabalhar com 10% do máximo permitido. A diminuição do passo de simulação trouxe mais exatidão ao cálculo sem comprometer o desempenho computacional. Caso a seção seja muito pequena (uso de hastes de peso, por exemplo), garantimos a existência de pelo menos três passos de simulação.

t v s≤ ⋅∆ ∆ ms s t Hz f s t 60 ) ( 50 60 20 1 ) ( 1 ) ( = ∆ ⋅ = = ∆

Assim, concluímos os aspectos necessários para o desenvolvimento do modelo matemático para cálculo da carta de fundo dos poços direcionais. A estrutura do programa construído para teste do trabalho é apresentado no Anexo D – Fluxograma do algoritmo desenvolvido. A técnica pode então ser submetida aos dados experimentais de campo e seus resultados avaliados.

Capítulo 4

4. Resultados e discussões

A avaliação do desempenho das técnicas propostas neste trabalho foi feita em duas fases. Inicialmente, verificamos o algoritmo para cálculo da carta de fundo apenas para poços verticais. Nessa etapa, a avaliação se deu a partir da comparação com a técnica desenvolvida por Barreto Filho (1993), que segue a abordagem analítica. Na segunda fase, analisamos o algoritmo para cálculo da carta de fundo em poços direcionais. Seu desempenho foi testado tanto em poços direcionais como verticais. Além disso, os ganhos pela incorporação do modelo desenvolvido por Costa (1995) são mensurados e criticados.

4.1 - Carta de fundo para poços verticais

Para avaliação do desempenho do cálculo da carta de fundo proposto, foram analisados diversos poços verticais no estado do Rio Grande do Norte equipados com bombeio mecânico. Conforme dados da Tabela 4.1, os sistemas de BM escolhidos possuem características diversas de profundidade, curso, frequência de bombeio, composição de coluna de hastes e diâmetros de coluna de hastes, coluna de produção e bomba de fundo. Tal diversidade permitiu uma melhor avaliação da técnica desenvolvida.

Tabela 4.1. Características dos sistemas de BM analisados (apenas verticais)

P o ço P ro fu n d id a d e (m ) C u rs o (p o l) F re q u ên ci a d e b o m b ei o (c p m ) D iâ m et ro d a b o m b a (p o l) D iâ m et ro d a c o lu n a d e p ro d u çã o (p o l) Coluna de hastes Seção 1 Seção 2 (se houver) Seção 3 (se houver) D iâ m et ro ( p o l) C o m p ri m en to (m ) D iâ m et ro ( p o l) C o m p ri m en to (m ) D iâ m et ro ( p o l) C o m p ri m en to (m ) 1 725 146 8,1 2 ¾ 3 ½ ¾ 716 2 996 67 11,2 2 ¼ 2 457 ¾ 533 3 1196 122 10,6 2 ¼ 2 8 ¾ 1189 4 682 53 11,4 1 ¾ 3 ½ ¾ 678 5 1598 107 11,3 2 ¼ 2 617 ¾ 975

6 235 56 10,5 2 ¾ 3 ½ 232 7 184 56 9,8 2 ¾ 3 ½ 175 8 165 64 6,9 2 ¾ 3 ½ 1 152 9 208 56 15,8 2 ¾ 3 ½ 198 10 172 34 9,8 2 ¾ 3 ½ 184 11 398 17 5,6 1 ¾ 2 236 152 12 1621 52 9,9 1 ¾ 2 ¾ 1608 13 843 73 13 1 ¾ 2 ¾ 831 14 1277 59 10,5 2 ¼ 2 ¾ 1265 15 1173 100 7,3 2 ¼ 2 ¾ 1181 16 1243 63 10,7 2 ¼ 2 8 ¾ 1227 17 850 63 16 2 ¼ 2 ¾ 495 351 18 1198 31 11,3 1 ¾ 2 ¾ 556 640 19 499 107 10,2 2 ¾ 3 ½ 495 20 1802 88 6,4 1 ¾ 2 655 ¾ 1135 21 1850 67 12,4 1 ¾ 2 693 ¾ 1151 22 1275 63 7,3 2 ¼ 2 541 ¾ 693 1 ¾ 8 23 1339 49 6,6 1 ¾ 2 489 ¾ 838

Uma vez definidos os sistemas a serem avaliados, cartas dinamométricas de superfície foram coletadas para cada um dos poços. Para cada carta dinamométrica de superfície, calculamos sua respectiva carta dinamométrica de fundo. Na sequência, a qualidade da carta de fundo gerada pela técnica proposta foi comparada com aquela apresentada por Barreto Filho (1993) em três aspectos: curso efetivo do pistão, potência demandada pela carta de fundo e formato da carta.

A avaliação do curso efetivo do pistão é importante na análise do deslocamento volumétrico da bomba, e consequentemente, da vazão do poço. Segundo Takács (2003), a vazão da bomba operando ininterruptamente ao longo de um dia pode ser calculada pela Equação (58), que depende diretamente do curso efetivo do pistão.

(58)

A potência hidráulica demandada pela bomba, por sua vez, é o ponto de partida de qualquer discussão a respeito da eficiência de elevação. A comparação das potências demandadas na superfície e no fundo define a perda de energia sofrida ao longo da coluna de hastes, relacionada ao atrito da haste com o fluido e a parede da coluna de produção. Segundo Takács (2003), a potência hidráulica pode ser calculada a partir da área da carta. Entretanto, a área da carta de fundo, calculada a partir da Equação (59), possui dimensão de trabalho.

CPM S d PD p 2 1131 =