Luciana Miranda de Souza
Renormaliza¸
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ao em Percola¸
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ao de
Longo Alcance
Orientador: Bernardo Nunes Borges de Lima
Universidade Federal de Minas Gerais fevereiro de 2008
Luciana Miranda de Souza
Renormaliza¸
c˜
ao em Percola¸
c˜
ao de
Longo Alcance
Disserta¸c˜ao de mestrado apresentada como requisito da obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre pelo Departamento de Matem´atica do Instituto de Ciˆencias Exatas, Uni-versidade Federal de Minas Gerais.
Orientador: Bernardo Nunes Borges de Lima
Universidade Federal de Minas Gerais fevereiro de 2008
Agradecimentos
A Deus.
`
A minha fam´ılia, pelo amor.
Ao meu orientador Bernardo Nunes Borges de Lima, principalmente pela paciˆencia
e constante incentivo.
Aos professores, Gast˜ao de Almeida Braga, Remy de Paiva Sanchis, Sacha Friedli e Vladas Sidoravicius e pela participa¸c˜ao na banca.
Aos meus professores, especialmente ao Sacha Friedli por todas as coisas que me ensinou.
Resumo
Considere o modelo de percola¸c˜ao de longo alcance em Z2 em que, de cada s´ıtio
incidem elos de alcance i para todo i ∈ N, e cada elo de alcance i ´e aberto com probabilidade pi. Se tivermos Σipi = ∞ a probabilidade da origem percolar ´e igual
a um. Mas se fecharmos todos os elos de alcance maior que k, para determinado valor de k ∈ N, ´e poss´ıvel ter percola¸c˜ao com probabilidade estritamente positiva?
Em geral, esta ´e ainda uma quest˜ao em aberto. O principal objetivo dessa
disserta¸c˜ao ´e estudar o artigo “ On the truncated anisotropic long-range percolation on Z2” escrito por V. Sidoravicius, D. Surgailis e M.E. Vares, em que usando uma t´ecnica conhecida como renormaliza¸c˜ao, eles deram uma resposta parcial afirmativa para esta quest˜ao.
Abstract
Consider the long-range percolation model Z2 in which at each vertex there is an
edge between range i for all i ∈ N, and each range edge i is open to the probability pi. If we have Σipi = ∞, the probability of the percolating is equal to one. However,
if we close all range edges greater than k, in the determination of the k ∈ N value, is it possible to have a strictly positive probability of percolation?
The main aim of this work is study the article “ On the truncated anisotropic long-range percolation on Z2” written by Sidoravicius, D. Surgailis and M.E. Vares, who using a technique known as Renormalization, arrived at a partially affirmative answer to this question.
Sum´
ario
Introdu¸c˜ao 1
1 No¸c˜oes B´asicas de Percola¸c˜ao 5
1.1 O Modelo de Percola¸c˜ao de Bernoulli. . . 5 1.2 Percola¸c˜ao anisotr´opica em L2 . . . 9
2 Percola¸c˜ao de Longo Alcance em Gd 15
2.1 O modelo de Percola¸c˜ao de Longo Alcance . . . 15 2.2 A Quest˜ao do Truncamento . . . 16
3 Percola¸c˜ao Anisotr´opica de Longo Alcance em G2 18
3.1 O Teorema . . . 18 3.1.1 Renormaliza¸c˜ao . . . 20
Introdu¸
c˜
ao
O modelo matem´atico de Percola¸c˜ao foi proposto por Broadbent e Hammersley em 1957 [4] com o objetivo de descrever o processo da propaga¸c˜ao de um fluido em meio poroso.
A generalidade deste modelo permite estudar uma variedade de processos com aplica¸c˜oes pr´aticas, desde a recupera¸c˜ao terci´aria de petr´oleo `a propaga¸c˜ao de fogos florestais.
Basicamente, o meio poroso que o modelo de percola¸c˜ao descreve ´e considerado como um meio constitu´ıdo por poros e canais microsc´opicos por onde passa o fluido. Cada canal pode estar aberto ou fechado `a passagem do fluido, dependendo de v´arias caracter´ısticas pr´oprias do meio que poderiam ser resumidas na atribui¸c˜ao de um parˆametro. O modelo matem´atico de percola¸c˜ao proposto nos fins da d´ecada de 50, denominado modelo de percola¸c˜ao de elos independentes de Bernoulli, se trata de uma descri¸c˜ao probabil´ıstica da distribui¸c˜ao de canais abertos e fechados, atrav´es da geometria do reticulado hiperc´ubico d−dimensional, no qual os s´ıtios do reticulado representam os poros e os elos representam os canais. No caso mais simples, cada
elo independentemente dos demais est´a aberto com probabilidade p e fechado com
probabilidade complementar.
A quest˜ao b´asica ´e a ocorrˆencia ou n˜ao de percola¸c˜ao, isto ´e, a existˆencia ou n˜ao de um caminho infinito de elos abertos na rede hiperc´ubica d-dimensional.
Na d´ecada de 60, Harris [9] obteve resultados parciais sobre um valor cr´ıtico do parˆametro p, denominado ponto cr´ıtico e denotado por pc, tal que se p > pc a
probabilidade de percolar ´e positiva e se p < pc a probabilidade de percolar ´e zero.
Mais tarde, em fins da d´ecada de 70, Kesten [11] estabeleceu um valor exato para o ponto cr´ıtico no modelo de percola¸c˜ao de elos bidimensional. Nas d´ecada de 80 e 90, um dos problemas mais elusivos do modelo, a continuidade da fun¸c˜ao probabilidade de percolar, foi estudado por v´arios matem´aticos e em alguns casos ainda ´e um problema em aberto.
De modo geral, os problemas em percola¸c˜ao tˆem a peculiaridade de normalmente serem simples de enunciar e dif´ıceis de solucionar, e v´arios problemas de enunciado simples s˜ao problemas em aberto at´e os dias atuais.
No primeiro cap´ıtulo desse trabalho, introduziremos o modelo de percola¸c˜ao de
elos independentes de Bernoulli, tamb´em conhecido como modelo de percola¸c˜ao
de primeiros vizinhos. Al´em da defini¸c˜ao matem´atica do modelo, enunciaremos alguns dos primeiro resultados em percola¸c˜ao, os quais ser˜ao usados no decorrer do
texto. Dentre estes resultados est˜ao, a existˆencia da transi¸c˜ao de fase no modelo de percola¸c˜ao d-dimensional, provado por Broadbent e Hammersley em [4], que diz que para d > 1, existe pc ∈ (0, 1), tal que se p > pc, teremos a probabilidade de percolar
estritamente positiva e se p < pc a probabilidade de percolar ´e zero; o decaimento
exponencial na fase subcr´ıtica, provado independentemente por Menshikov em [14] e Aizenman e Barsky em [1], usando argumentos diferentes, que diz que se p < pc,
ent˜ao a probabilidade de existir um caminho de elos abertos partindo da origem, que cruza a fronteira de uma caixa de raio n centrada na origem, decai exponencialmente com o aumento de n; e a unicidade do aglomerado infinito, provado por Aizenman, Kesten e Newman em [2] e [3], que nos diz que quando p > pc, existe um ´unico
caminho infinito de elos abertos.
Em seguida, ainda no primeiro cap´ıtulo, definiremos o modelo de percola¸c˜ao de elos independentes, anisotr´opico, bidimensional e faremos uma prova do teorema da continuidade na curva cr´ıtica no caso em que d = 2, sugerida em [7], distinta da prova original deste resultado feita por Kesten em [12].
No segundo cap´ıtulo, definiremos o modelo de percola¸c˜ao de elos de longo alcance, introduzido por Li, Pu e Zhang, em 1983 ([13]), sob o qual enunciaremos a principal quest˜ao proposta nesse texto. Neste novo modelo, teremos que de cada um dos s´ıtios partem elos de comprimentos arbitr´arios.
No modelo de percola¸c˜ao de longo alcance um elo de alcance i est´a aberto com probabilidade pi e se
P
ipi = ∞, pelo teorema de Borel- Cantelli, ´e f´acil ver que a
probabilidade da origem percolar ´e igual a 1. Mas se para um determinado valor
k ∈ N grande o suficiente fecharmos todos os elos de alcance maior que k, ´e poss´ıvel ter percola¸c˜ao com probabilidade estritamente positiva?
Essa ´e a quest˜ao do truncamento em percola¸c˜ao de longo alcance. Mostraremos que no modelo unidimensional, a resposta para esta quest˜ao ´e negativa, ou seja, no
caso em que d = 1 se tivermos P
ipi = ∞ e fecharmos todos os elos de alcance
maiores que k para qualquer k ∈ N, temos que a probabilidade da origem percolar sempre igual a zero.
No caso em que d ≥ 3, foi provado por Friedli e de Lima em [6] que quando P
ipi = ∞, a quest˜ao do truncamento tem sempre resposta afirmativa.
No caso bidimensional, a quest˜ao do truncamento ainda ´e um problema em
aberto.
No ´ultimo cap´ıtulo dessa disserta¸c˜ao, estudaremos o artigo “ On the truncated anisotropic long-range percolation on Z2” de V. Sidoravicius, D. Surgailis e M.E.
Vares (ref [16]), que d´a uma resposta afirmativa para a quest˜ao do truncamento, em um caso particular de decaimento da sequˆencia (pi).
Usando uma t´ecnica conhecida como renormaliza¸c˜ao, V. Sidoravicius, D.
Sur-gailis e M.E. Vares demonstraram se existe um inteiro m0 ∈ N tal que para uma
sequˆencia (pi) tivermos pi ≥ i ln i1 para todo i ≥ m0 ∈ N, ent˜ao a quest˜ao do
trun-camento tem resposta positiva. Atrav´es da renormaliza¸c˜ao, foi constru´ıdo um novo modelo de percola¸c˜ao que se baseia na constru¸c˜ao de caixas unidimensionais, que ser˜ao os s´ıtios da rede renormalizada, de forma que, a existˆencia de um caminho de elos aberto infinito contendo a origem da rede renormalizada, induz a existˆencia
de um caminho infinito de elos aberto contendo a origem da rede original. A van-tagem obtida com a constru¸c˜ao da rede renormalizada ´e que este novo modelo, ´e de primeiros vizinhos e anisotr´opico e em modelos anisotr´opicos bidimensionais temos que a probabilidade da origem percolar ´e cont´ınua na curva cr´ıtica.
Cap´ıtulo 1
No¸
c˜
oes B´
asicas de Percola¸
c˜
ao
Se mergulharmos uma grande pedra porosa em um recipiente cheio de ´agua, qual a probabilidade da ´agua alcan¸car seu centro? Motivados por quest˜oes semelhantes a
essa Broadbent e Hammersley ([4]), em 1957, descreveram o modelo matem´atico de
percola¸c˜ao de elos independentes conhecido como modelo de percola¸c˜ao de Bernoulli. Neste cap´ıtulo definiremos tal modelo e enunciaremos alguns dos primeiros resul-tados dessa teoria, os quais ser˜ao usados no decorrer deste texto. Os livros de Grimmett ([7]) ou de Kesten ([12]) podem ser usados como referˆencia b´asica de percola¸c˜ao e neles podemos encontrar estes e muitos outros resultados.
1.1
O Modelo de Percola¸
c˜
ao de Bernoulli.
Damos o nome de rede hiperc´ubica d-dimensional, ao grafo Ld= (Zd, Ed) a onde
Zd= {(x1, x2, . . . , xd) ∈ Rd; xi ∈ Z e i ∈ {1, . . . , d}} ´e o conjunto dos v´ertices (ou
s´ıtios) e Ed= {hx, yi ∈ Zd×Zd: kx − yk = 1}, o conjunto dos elos do grafo, com
kx − yk = |x1− y1| + |x2− y2| + . . . + |xd− yd|.
A cada elo atribuiremos aleatoriamente o estado aberto ou fechado e, para isso, definimos a fam´ılia de vari´aveis aleat´orias χ = {χ(e); e ∈ Ed} independentes identi-camente distribu´ıdas (i.i.d.), com distribui¸c˜ao comum de Bernoulli com parˆametro p ∈ [0, 1]. Dizemos que o elo e ´e aberto se χ(e) = 1 e fechado se χ(e) = 0.
O espa¸co de probabilidade que descreve o modelo ´e (Ωd, A, Pp), onde Ωd =
{0, 1}Ed ´e o espa¸co amostral constitu´ıdo por todas as configura¸c˜oes ω de elos em
Ld; a σ- ´algebra A ´e a gerada pelos eventos cil´ındricos, ou seja, a gerada pelos even-tos que dependem de um n´umero finito de elos e a medida de probabilidade Pp ´e a
probabilidade produto dada por Pp = Q
e∈Ed
µe com
µe(χ(e) = 1) = 1 − µe(χ(e) = 0) = p
onde µe ´e a medida de Bernoulli.
O modelo descrito acima ´e denominado modelo de percola¸c˜ao de Bernoulli e ´e tamb´em conhecido como modelo de percola¸c˜ao de primeiros vizinhos.
Um caminho de comprimento n, conectando x a y, ´e uma sequˆencia que alterna s´ıtios e elos, γ = hx1, e1, x2, e2, ..., xn, en, xn+1i, com xi ∈ Zd e ej = hxj, xj+1i ∈ Ed,
onde i ∈ {1, 2, ..., n + 1} e j ∈ {1, 2, ..., n}, tal que x = x1 e y = xn+1. Dizemos que
um caminho ´e um circuito se x1 = xn+1.
Dada uma configura¸c˜ao ω ∈ Ωd, um caminho ´e dito aberto em ω se todos os seus
elos forem abertos nesta configura¸c˜ao, e se existir um caminho aberto ligando dois s´ıtios, diremos que estes est˜ao conectados em ω. Como podemos perceber, a conecti-vidade ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia e a classe de equivalˆencia em que se divide os
s´ıtios chamamos de aglomerados. O evento {ω ∈ Ω; x est´a conectado a y em ω}
ser´a denotado por {x ↔ y}.
Indicamos por Cx(ω) = {y ∈ Zd; x ↔ y em ω} o aglomerado do s´ıtio x na
configura¸c˜ao ω, e por |Cx| a sua cardinalidade, vari´avel aleat´oria que assume valores
em N∪∞. Especificamente, queremos saber se em uma configura¸c˜ao ω dada, existem aglomerados infinitos. Dizemos ent˜ao, que o s´ıtio x percola, se a probabilidade de existir um aglomerado infinito contendo x ´e positiva, ou seja, o s´ıtio x percola se
Pp({ω ∈ Ωd; |Cx(ω)| = ∞}) > 0.
Em grafos com invariˆancia translacional, como Ld, as vari´aveis aleat´orias |C x|
tˆem a mesma distribui¸c˜ao para todo x ∈ Zd; portanto iremos nos concentrar no
aglomerado da origem que a partir de agora ser´a denotado por C. Definimos a fun¸c˜ao θ(p) : [0, 1] → [0, 1], dada por
θ(p) = Pp({ω ∈ Ωd; |C| = ∞}),
que por simplicidade de nota¸c˜ao escreveremos θ(p) = Pp(|C| = ∞).
Definida desta forma, o fato de θ(p) > 0 ´e equivalente ao fato de existir um s´ıtio x ∈ Zd que percola, isto ´e:
θ(p) > 0 ⇔ Pp( S x∈Zd |Cx| = ∞) = 1 Com efeito, se θ(p) > 0 Pp( S x∈Zd |Cx| = ∞) ≥ Pp(|C| = ∞) > 0.
Como a ocorrˆencia do evento {ω ∈ Ωd; S x∈Zd
|Cx| = ∞} n˜ao depende dos estados
de qualquer quantidade finita de elos, pela lei 0 − 1 de Kolmogorov, Pp( S
x∈Zd
|Cx| = ∞) = 1.
Para a rec´ıproca, temos que se θ(p) = 0, ent˜ao como as vari´aveis aleat´orias |Cx|
tem a mesma distribui¸c˜ao para todo x ∈Z2, P
p(|Cx| = ∞) = 0 para todo x ∈ Z2; portanto Pp( S x∈Zd |Cx| = ∞) ≤ P x∈ZdPp(|Cx| = ∞) = 0,
o que implica Pp( S x∈Zd |Cx| = ∞) = 0. Assim, se Pp( S x∈Zd |Cx| = ∞) = 1 teremos θ(p) > 0.
Uma pergunta pertinente seria se o evento {|C| = ∞} = {0 ↔ ∞} ´e mensur´avel, pois a σ-´algebra A ´e gerada pelos eventos cil´ındricos e esse evento n˜ao depende de um n´umero finito de elos. A resposta para essa quest˜ao segue do fato de que o evento {0 ↔ ∞} pode ser escrito como interse¸c˜ao de eventos cil´ındricos. Basta considerarmos An = {0 ↔ ∂Λn}, onde Λn = {x ∈Zd; kxk ≤ n} ´e o hipercubo de
aresta n e ∂Λn denota sua fronteira. Notamos que {0 ↔ ∞} =
T
n
An, ou seja, ´e
interse¸c˜ao enumer´avel de eventos cil´ındricos e, portanto pertence a A.
Definido o modelo, enunciaremos agora alguns resultados sobre o comportamento da fun¸c˜ao θ(p) que ser˜ao usados no decorrer do texto. Em alguns casos, faremos
a demonstra¸c˜ao, as outras podem ser encontradas em [7] e [12] como mencionado
acima e tamb´em na referˆencia [5], em l´ıngua portuguesa. Lema 1.1.1. θ(p)´e n˜ao decrescente em p
Demonstra¸c˜ao. Considere a fam´ılia de vari´aveis aleat´orias {ζ(e); e ∈Ed} i.i.d. com distribui¸c˜ao uniforme no intervalo [0, 1], no espa¸co de probabilidade ([0, 1]Ed, F , P),
onde F denota a σ- ´algebra gerada pelos eventos cil´ındricos e P = Q
e∈Ed
˜ µe com
˜
µe(ζ(e) ≤ p) = 1 − ˜µe(ζ(e) > p) = p
onde ˜µe a medida de Lebesgue em [0, 1].
Dizemos que o elo e est´a p-aberto se ζ(e) ≤ p e p-fechado caso contr´ario.
Seja Cp o aglomerado da origem de elos p-abertos. Notamos que
P(|Cp| = ∞) = Pp(|C| = ∞) = θ(p)
e que se p1 < p2, Cp1 ⊂ Cp2, pois dada uma configura¸c˜ao ˜ω em [0, 1]E d
, um elo p1-aberto em ˜ω ´e p2-aberto em ˜ω. Como isso,
θ(p1) = P(|Cp1| = ∞) ≤ P(|Cp2| = ∞) = θ(p2)
como quer´ıamos mostrar.
Por este resultado, podemos definir pc = sup{p ∈ (0, 1]; θ(p) = 0}, denominado
ponto cr´ıtico. Cabe salientar, que o ponto cr´ıtico depende tamb´em da dimens˜ao
em que estamos trabalhando. Intuitivamente, se estamos em uma dimens˜ao maior,
teremos mais elos partindo de cada s´ıtio, e portanto uma maior probabilidade de
percolar, ou seja, o ponto cr´ıtico n˜ao cresce com o aumento de d. Quando for
importante ressaltar a dimens˜ao, escreveremos pc(d) ao inv´es de pc.
´
E f´acil ver que no modelo unidimensional, θ(p) > 0 se, e somente se p = 1. De fato, dada uma configura¸c˜ao ω ∈ Ω1, se considerarmos C+(ω) = {x ∈ Z; 0 ↔
x em ω e x > 0} e C−(ω) = {x ∈ Z; 0 ↔ x em ω e x < 0} os aglomerados em ω `a
esquerda e `a direita da origem respectivamente, teremos Pp(|C+(ω)| ≥ k) = Pp(|C−(ω)| ≥ k) = pk
que para todo p < 1, converge para 0 quando k → ∞. Assim, n˜ao h´a aglomerados infinitos quase certamente sempre que p < 1, pois, neste caso θ(p) = 0; logo, pc(1) =
1.
Iremos nos restringir ao caso em que d ≥ 2. O teorema seguinte, provado por
Broadbent e Hammersley em [4], cuja prova pode tamb´em ser encontrada em [7] e
[5] estabelece a existˆencia de transi¸c˜ao de fase no modelo de percola¸c˜ao em Ld.
Teorema 1.1.2. Seja Ld = (Zd, Ed), d ≥ 2. Ent˜ao existe um valor cr´ıtico do parˆametro p no intervalo (0, 1), pc(d), tal que
θ(p) = 0 se p < pc(d) > 0 se p > pc(d)
Chamamos de subcr´ıtica e supercr´ıtica, as fases nas quais p < pc e p > pc,
respectivamente. Al´em dessas, temos a fase cr´ıtica quando p = pc. ´E resultado
conhecido que θ(p) ´e cont´ınua exceto, possivelmente em pc. A continuidade dessa
fun¸c˜ao no ponto cr´ıtico ´e um dos problemas mais estudados em percola¸c˜ao, e para dimens˜oes 2 < d < 19 ainda ´e um problema em aberto. Harris na d´ecada de 60 (ref.[9]) mostrou que se d = 2 ent˜ao θ(12) = 0 e portanto no grafo bidimensional,
pc ≥ 12. Finalmente em 1980, Kesten (ref. [11]) demonstrou a continuidade de
θ(p) no ponto cr´ıtico em duas dimens˜oes, mostrando que pc ≤ 12. Enunciaremos
dois resultados importantes referentes `as duas primeiras fases, que foram usados por Kesten na prova da continuidade de θ(p) em L2.
Para o primeiro, consideramos novamente o hipercubo d-dimensional Λn = {x ∈Zd;
kxk ≤ n} e o evento An= {0 ↔ ∂Λn}.
Teorema 1.1.3 (Decaimento Exponencial). Seja L2 = (Z2, E2). Ent˜ao, se p < p c,
existe ρ(p) > 0 tal que
Pp(An) ≤ e−nρ(p) para todo n ∈ N.
Este teorema foi provado independentemente por Menshikov em [14] e Aizenman e Barsky em [1], usando argumentos diferentes. ´E intuitivo que na fase subcr´ıtica a probabilidade de An tenda a zero quando n → ∞ , o que ´e relevante neste resultado
´e que esse decaimento ´e exponencial.
O segundo resultado, referente `a fase supercr´ıtica, foi provado por Aizenman, Kesten e Newman em [2] e [3].
Antes de enuncia-lo, definiremos η : Ωd→ N ∪ ∞, vari´avel aleat´oria que conta o
n´umero de aglomerados infinitos em uma configura¸c˜ao de Ωd.
A vari´avel aleat´oria η ´e invariante por transla¸c˜ao, pois se transladarmos uma con-figura¸c˜ao de Ωd, o n´umero de aglomerados infinitos nela existente n˜ao ser´a alterado;
al´em disso, as transla¸c˜oes s˜ao erg´odicas pois as medidas Pp s˜ao medidas produto.
Pela ergodicidade das transla¸c˜oes toda vari´avel aleat´oria invariante transla¸c˜ao, ´e constante quase certamente. Portanto, temos que η ´e constante quase certamente. Teorema 1.1.4 (Unicidade do Aglomerado Infinito). Para qualquer p ∈ [0, 1],
O teorema acima, nos diz que em Ld se existir um aglomerado infinito, ele ´e ´
unico quase certamente, ou seja, exclui os casos η ≥ 2.
Na pr´oxima se¸c˜ao, provaremos a continuidade de θ(p) em pc no caso
bidimen-sional, em um outro modelo de percola¸c˜ao, do qual o modelo acima descrito ´e um caso particular.
1.2
Percola¸
c˜
ao anisotr´
opica em L
2No modelo de percola¸c˜ao anisotr´opica em L2 os elos verticais e horizontais estar˜ao
abertos com probabilidades distintas.
Para definir o modelo anisotr´opico, consideramos o mesmo grafo usado no
mo-delo isotr´opico bidimensional, L2= (Z2, E2) e como na se¸c˜ao 1.1, a cada elo e ∈
E2 atribu´ımos o estado aberto ou fechado usando a fam´ılia de vari´aveis aleat´orias χ = {χ(e); e ∈ Ed} i.i.d. com distribui¸c˜ao comum de Bernoulli com parˆametro
~
p. Por´em agora consideraremos o par ordenado ~p = (ph, pv) ∈ [0, 1]2 e declaramos
cada elo horizontal aberto com probabilidade ph e fechado com probabilidade 1 − ph,
independentemente de todos os outros elos do grafo, assim como, cada elo vertical ´e aberto com probabilidade pv e fechado com probabilidade 1 − pv.
No espa¸co de probabilidade (Ω2, A, P~p), o espa¸co amostral Ω2 = {0, 1}E
2
´ e o espa¸co de todas as configura¸c˜oes de elos em L2; a σ - ´algebra A, gerada pelos
eventos cil´ındricos e a medida de probabilidade ´e Pp~ =Qe∈E2µe com
µe(χ(e) = 1) = 1 − µe(χ(e) = 0) =
ph se e ´e horizontal
pv se e ´e vertical
onde µe ´e a medida de Bernoulli com parˆametro ~p.
A Probabilidade de percolar neste caso ´e dada por: θ(~p) = P~p({ω ∈ Ω2; |C| = ∞}).
No Lema 1.1.1, mostramos que θ(p) ´e n˜ao-decrescente. Analogamente, podemos estender este resultado ao modelo anisotr´opico, para concluir que a fun¸c˜ao θ(ph, pv)
´e n˜ao decrescente em cada uma das vari´aveis, ph e pv.
Lema 1.2.1. θ(ph, pv) ´e n˜ao decrescente em ph e em pv.
Demonstra¸c˜ao. Sejam {ζ(ev); ev ∈ Ede ev´e vertical} uma fam´ılia de vari´aveis aleat´orias
i.i.d. com distribui¸c˜ao comum de Bernoulli com parˆametro pv ∈ [0, 1] e {ζ(eh); eh ∈
Ede eh ´e horizontal} uma fam´ılia de vari´aveis aleat´orias i.i.d. com distribui¸c˜ao
uni-forme no intervalo [0, 1], no espa¸co de probabilidade ([0, 1]E2, F , P), onde F denota
a σ- ´algebra gerada pelos eventos cil´ındricos e P = Q
e∈E2 ˜ µe com ˜ µev(ζ(ev) = 1) = 1 − ˜µev(ζ(ev) = 0) = pv e ˜ µeh(ζ(eh) ≤ ph) = 1 − ˜µeh(ζ(eh) > ph) = ph.
em que ˜µeh a medida de Lebesgue em [0, 1] e ˜µev a medida de Bernoulli com
parˆametro pv ∈ [0, 1].
Dizemos que o elo eh est´a ph-aberto se ζ(eh) ≤ ph e ph-fechado caso contr´ario
enquanto os elos verticais ser˜ao como antes; abertos com probabilidade pv e fechados
com probabilidade complementar.
Seja C~p o aglomerado da origem que tem os elos horizontais ph-abertos e elos
verticais abertos com probabilidade pv onde ~p = (ph, pv) .
Considere ~p = (ph, pv) e ~q = (qh, pv) ambos em [0, 1]2 tais que ph ≤ qh.
Notamos que
P(|Cp~| = ∞) = P~p(|C| = ∞) = θ(~p)
e que se ph ≤ qh, C(ph,pv) ⊂ C(qh,pv), pois dada uma configura¸c˜ao ˜ω em [0, 1]
Ed,
um elo horizontal ph-aberto em ˜ω ´e qh-aberto em ˜ω. Como isso,
θ(ph, pv) = P(|C(ph,pv)| = ∞) ≤ P(|C(qh,pv)| = ∞) = θ(qh, pv)
ou seja, θ(ph, pv) ´e n˜ao decrescente na primeira vari´avel ph.
Analogamente mostramos a monotonicidade na segunda vari´avel.
O teorema a seguir, que trata da continuidade no ponto cr´ıtico da fun¸c˜ao proba-bilidade de percolar, no modelo anisotr´opico, foi originalmente provado por Kesten
em [12] usando um argumento distinto do que ser´a feito abaixo. Faremos uma
adapta¸c˜ao da prova feita por ele para o caso isotr´opico, sugerida em [7].
Teorema 1.2.2. Seja L2 = (Z2, E2) e suponha que ~p = (ph, pv) ∈ [0, 1)2 . Ent˜ao,
θ(~p) = 0 se ph+ pv ≤ 1 > 0 se ph+ pv > 1
Demonstra¸c˜ao. Consideremos a rede bidimensional dual de L2, dada por L2
∗= (Z2∗,E2∗), onde Z2 ∗= Z2+( 1 2, 1 2) e E 2 ∗= {hx, yi ∈ Z2∗×Z2∗: k x − y k= 1}.
Dizemos que um elo ˜e ∈ E2
∗ est´a aberto com probabilidade pj onde j ∈ {h, v},
se o elo perpendicular a ele na rede original estiver aberto com a mesma probabi-lidade. Assim, um elo horizontal ˜eh ∈ E2∗ ´e aberto com probabilidade pv e fechado
com probabilidade 1 − pv; e um elo vertical ˜ev ∈ E2∗ ´e aberto com probabilidade ph
e fechado com probabilidade 1 − ph.
Observe que para cada configura¸c˜ao ω ∈ Ω temos uma ´unica configura¸c˜ao in-duzida por ω no grafo dual. Ou seja, temos uma bije¸c˜ao entre as configura¸c˜oes de L2com as do seu dual.
Como ilustrado na figura 1.2.1., a existˆencia de um aglomerado da origem finito em L2 induz a existˆencia de um circuito de elos fechados no dual que cont´em a
origem em seu interior. N˜ao faremos a demonstra¸c˜ao deste fato geom´etrico, que apesar de ser bem intuitivo, tem uma prova longa e que foge do escopo deste texto (ver referencia [12]).
Rede Dual
L2 L2∗
figura 1.2.1
Primeiramente, considere o caso ph+ pv= 1 e suponha por absurdo que θ(~p) > 0.
Seja D(n) = {(x1, x2) ∈ Z2× Z2; |x1| + |x2−12| ≤ n +12} a caixa em L2 (ilustrada
na figura 1.2.2), a qual denominamos diamante. Denotamos por Di(n) o conjunto
dos s´ıtios que est˜ao em D(n) ∩ {i-´esimo quadrante de Z2}, com i ∈ {1, 2, 3, 4}.
Diamante
D1(n)
D2(n)
D3(n) D4(n)
figura 1.2.2
Indicamos por D∗(n) = {(x1, x2) ∈ Z2∗× Z∗2; |x1+ 12| + |x2| ≤ n + 12} o dual de
D(n) e por Di∗(n) o conjunto dos s´ıtios de D∗(n) ∩ {i-´esimo quadrante de Z2
∗}, onde
i ∈ {1, 2, 3, 4}.
Ai(n) = {ω ∈ Ω2; ∃ um caminho de elos abertos em ω conectando ∂Di(n) a ∞},
onde ∂Di(n) = ∂D(n) ∩ {i-´esimo quadrante de Z2} denota a fronteira de Di(n) e
Bi(n) = {ω ∈ Ω2; ∃ um caminho de elos fechados na configura¸c˜ao dual de ω
conectando a ∂Di∗(n) a ∞}.
Como ph+ pv = 1 temos
P~p(χ(˜ev) = 0) = 1 − ph = pv e P~p(χ(˜eh) = 0) = 1 − pv = ph.
Ent˜ao, se ph + pv= 1 a existˆencia de um caminho infinito de elos fechados na
rede dual e a existˆencia de um caminho infinito de elos abertos em L2 s˜ao eventos
com a mesma probabilidade.
Como a caixa que escolhemos para definir os eventos acima ´e o diamante, temos que P~p(Bj(n)) = P~p(Ai(n)) para todo i, j ∈ {1, 2, 3, 4}.
Notamos que P~p( 4 S i=1 Ai(n)) → 1 quando n → ∞
pois estamos supondo que θ(~p) > 0.
Al´em disso, como os eventos Ai(n) s˜ao crescentes, pela desigualdade FKG (veja
[5] ou [7]), 1 − P~p( 4 S i=1 Ai(n)) = P~p( 4 T i=1 Ac i(n)) ≥ [1 − Pp~(A1(n))]4 ou seja, P~p(A1(n)) ≥ 1 − [1 − P~p( 4 S i=1 Ai(n))] 1 4 → 1 quando n → ∞
Desta forma podemos escolher N tal que P~p(A1(N )) ≥
7 8.
Como P~p(Ai(n)) = P~p(Bi(n)) para todo i ∈ {1, 2, 3, 4} e para todo n ∈ N,
P~p(Bi(n)) → 1 quando n → ∞.
Seja FN = A2(N ) ∩ A4(N ) ∩ B1(N ) ∩ B3(N ), o evento ilustrado na figura 1.2.3,
Evento Fn B3(N ) A4(N ) A2(N ) B1(N ) figura 1.2.3 Neste caso, P~p(FNc) = Pp~(Ac2(N ) ∪ A c 4(N ) ∪ B c 1(N ) ∪ B c 3(N )) ≤ Pp~(Ac2(N )) + P~p(Ac4(N )) + P~p(B1c(N )) + Pp~(B3c(N )) ≤ 1 2 o que implica P~p(FN) = Pp~(A2(N ) ∩ A4(N ) ∩ B1(N ) ∩ B3(N )) ≥ 1 2.
Por outro lado, suponha que FN ocorra. Pelo Teorema 1.1.4, se existe um
aglo-merado infinito em uma configura¸c˜ao ω, ele ´e ´unico quase certamente (q.c.). Assim, o aglomerado infinito que garante a ocorrˆencia do evento A2(N ), est´a conectado
ao aglomerado infinito de A4(N ). Como os caminhos que garantem a ocorrˆencia
de B1(N ) e de B3(N ) s˜ao fechados, a conex˜ao entre o aglomerado infinito da rede
original, se d´a no interior do diamante D(N ). Isto implica que os aglomerados
infinitos fechados de B1(N ) e B3(N ) n˜ao est˜ao conectados.
Temos portanto dois aglomerados infinitos fechados no dual; mas como a pro-babilidade existir um aglomerado fechado infinito em L2∗ ´e igual a probabilidade
fechados infinitos no dual ´e um evento que ocorre com probabilidade zero. Portanto P~p(FN) = 0 o que contradiz P~p(FN) ≥ 12, implicando que a hip´otese θ(~p) > 0 ´e falsa.
Logo, se ph+ pv = 1 teremos θ(~p) = 0.
Pelo Lema 1.2.1, θ(ph, pv) ´e n˜ao decrescente em cada uma das vari´aveis, ph e pv.
Usaremos este fato para mostrar que se ph+ pv> 1, ent˜ao θ(~p) > 0.
Seja ~p = (p1, p2) ∈ [0, 1)2 tal que p1+ p2 > 1. Tomando
~r = (r1, r2) = ~ p p1+ p2 = p1 p1 + p2 , p2 p1+ p2 temos que r1+ r2 = 1.
Suponha por absurdo que para tal ~p, θ(~p) = 0. Ent˜ao se considerarmos ~r como descrito acima, pela monotonicidade de θ(~p), conclu´ımos que ~r ´e subcr´ıtico.
Pelo decaimento exponencial na fase subcr´ıtica, P~r(0 ↔ ∂D(n)) ≤ e−nρ(~r),
onde ρ(~r) > 0.
Sejam R(n) = {ω ∈ Ω; ∃ um caminho aberto em ω no interior de D(n) conectando algum s´ıtio de ∂D2(n) `a algum s´ıtio de ∂D4(n) } e
L(n) = {ω ∈ Ω; ∃ um caminho fechado no dual de ω no interior de D∗(n)
conectando algum s´ıtio de ∂D∗1(n) a algum s´ıtio de ∂D∗3(n)}. Notamos que R(n) ∪ L(n) = Ω e R(n) ∩ L(n) = ∅. Portanto
1 = P~r(R(n) ∪ L(n)) = P~r(R(n)) + P~r(L(n)).
Como rh+ rv = 1, P~r(R(n)) = P~r(L(n)).
Por outro lado, considere D(x, n) = x + D(n) o diamante centrado em x ∈ ∂D2(n); ent˜ao
R(n) ⊂ [
x∈∂D2(n)
{x ↔ ∂D(x, n)}.
Logo, como na fronteira de D(x, n) existem 4n s´ıtios, P~r(R(n)) ≤ 4ne−nρ(~r) → 0
quando n → ∞. Como P~r(R(n)) = P~r(L(n)) temos tamb´em que P~r(L(n)) → 0 se
n → ∞.
Mas isso contradiz o fato de P~r(R(n)) + P~r(L(n)) = 1 para todo n. Logo se
p1+ p2 > 1 temos que θ(~p) > 0.
No modelo anisotr´opico, se considerarmos o caso ph = pv teremos o modelo
isotr´opico em L2 descrito na se¸c˜ao 1.1. Assim, pelo Teorema 1.2.2 acima, podemos observar que se ph = pv = p teremos
θ(~p) = 0 se p ≤
1 2
> 0 se p > 12
o que mostra que pc= 12 no caso isotr´opico bidimensional; como consequˆencia, temos
Cap´ıtulo 2
Percola¸
c˜
ao de Longo Alcance em
G
d
O modelo de percola¸c˜ao de longo alcance foi introduzido por Li, Pu e Zhang, em 1983 ([13]). No modelo de primeiros vizinhos em Ldvimos que de cada s´ıtio incidem 2d elos, todos de comprimento um, enquanto no modelo de longo alcance de cada s´ıtio incidem elos de comprimentos arbitr´arios.
Newman e Schulman em 1986 (ref. [15]) mostraram que, no modelo unidimen-sional, se a sequˆencia de probabilidades pi de um elo de alcance i est´a aberto ´e tal
que pi = ci−spara c, s ∈ N e para todo i ∈ N, (ou se cada pi´e limitado inferiormente
por probabilidades que possuem este decaimento) e se a probabilidade dos primeiros vizinhos estarem abertos, p1, ´e grande o suficiente, ent˜ao no processo de percola¸c˜ao
unidimensional, a probabilidade da origem percolar ´e estritamente positiva.
Neste cap´ıtulo trataremos do modelo de percola¸c˜ao de longo alcance e enuncia-remos a quest˜ao do truncamento.
2.1
O modelo de Percola¸
c˜
ao de Longo Alcance
No grafo do modelo de percola¸c˜ao de longo alcance, Gd = (Zd, ¯Ed), o conjunto dos elos ´e ¯Ed= {hx, yi ⊂ Zd× Zd: x 6= y}.
Dada uma sequˆencia de parˆametros (pi) ∈ (0, 1], a cada elo e ∈ ¯Ed atribu´ımos o estado aberto ou fechado, considerando novamente uma fam´ılia de vari´aveis aleat´orias χ = {χ(e); e ∈ ¯Ed} i.i.d. com distribui¸c˜ao comum de Bernoulli.
Trabalharemos no espa¸co de probabilidade (Ω, A, ¯P ), onde Ω = {0, 1}E¯d ; a
σ-´
algebra A ´e a gerada pelos eventos cil´ındricos e dada a sequˆencia (pi) a medida de
probabilidade ¯P ´e a medida produto ¯P = Q
e∈Ed
¯
µe, onde ¯µe ´e a medida de Bernoulli
dada por
¯
Neste modelo, caminhos e aglomerados s˜ao definidos de forma equivalente a defini¸c˜ao dada para o modelo de primeiros vizinhos.
2.2
A Quest˜
ao do Truncamento
Nesta se¸c˜ao apresentaremos a quest˜ao do truncamento, pergunta para a qual estudaremos uma resposta parcial apresentada no enunciado do principal resultado deste texto.
Considere a sequˆencia (pi), onde pi ∈ [0, 1) para todo i ∈ N. Dado um inteiro
k > 0, a sequˆencia truncada em k, (p(i,k))i ´e dada por:
p(i,k)=
pi com i ≤ k
0 caso contr´ario
Usando a sequˆencia truncada em k, definimos um novo espa¸co de probabilidade, (Ω, A, Pk) onde Ω e A s˜ao os mesmos apresentados na se¸c˜ao 2.1, e Pk = Q
e∈E2
µk,e,
onde a medida de Bernoulli µk,e ´e dada por
µk,e(χ(e) = 1) = 1 − µk,e(χ(e) = 0) = p(i,k), onde i = kek
O modelo acima ´e chamado de modelo de percola¸c˜ao de longo alcance truncado em k.
No modelo de percola¸c˜ao de longo alcance no grafo Gd = (Zd, ¯
Ed), descrito na se¸c˜ao 2.1, se d > 1 sempre que P
ipi = ∞, a probabilidade da origem percolar ´e
um; de fato, se considerarmos os eventos
Hi = {ω ∈ Ω; o elo e = h(0, 0), (i, 0)i ; i ∈ Z ´e aberto em ω},
podemos observar que Hi s˜ao independentes para todo i ∈ N e
P
iP (H¯ i) =
P
ipi = ∞.
Logo, pelo Lema de Borel Cantelli (ver ref. [10], p´ag 200), ¯P (lim sup Hi) = 1 e
isso quer dizer que Hi ocorre para infinitos i’s com probabilidade um, o que implica
que ¯P (|C| = ∞) = 1.
Assim, ´e natural perguntarmos se existe um inteiro k > 0 grande o suficiente tal que, se fecharmos todos os elos de alcance maior que k, ainda teremos que a probabilidade da origem percolar ´e positiva ? Precisamente queremos saber se dada uma sequˆencia (pi) tal que
P
ipi = ∞, ou seja se ¯P (|C| = ∞) = 1, existe k > 0
suficientemente grande, tal que Pk(|C| = ∞) > 0? Essa ´e a quest˜ao do truncamento
em percola¸c˜ao de longo alcance.
Podemos ver que no caso unidimensional a resposta ´e negativa sempre que pi < 1
para todo i ∈ N.
De fato, seja G1 = (Z, ¯E1) o grafo do modelo de percola¸c˜ao de longo alcance unidimensional. Suponha que cada elo e = hx, yi ∈ ¯E1est´a aberto com probabilidade 0 ≤ pi < 1 onde i = kek = |x − y|, e quePipi = ∞.
Truncando em k, teremos p(i,k)= 0 para todo i > k.
Considere o evento
A0 = {ω ∈ Ω; hx, yi ´e fechado em ω, ∀ (x, y) ∈ (−k, 0] × [1, k] e |x − y| ≤ k},
ou seja, em uma configura¸c˜ao ω ∈ A0 todos os elos que cruzam o intervalo [0, 1] e
tˆem alcance menor ou igual k est˜ao fechados em ω.
Seja q = supi{p(i,k)} < 1. O n´umero de elos dos quais o evento A0 depende, dado
que o maior elo tem alcance k ´e: k + (k − 1) + (k − 2) + ... + 1 = k(k+1)2 . Logo, Pk(A0) ≥ (1 − q)
k(k+1) 2 > 0.
Considere agora os eventos
Al = {ω ∈ Ω; hx, yi ´e fechado em ω, ∀ (x, y) ∈ (l − k, l] × [l + 1, l + k] e kx − yk ≤ k},
onde l ´e da forma nk com n ∈ Z. Observe que a ocorrˆencia do evento Al, implica
que todos os elos que cruzam o intervalo [l, l + 1] e tˆem alcance menor ou igual a k est˜ao fechados em ω.
Os eventos Al s˜ao independentes para todo l ∈ kZ, pois dependem de conjuntos
disjuntos de elos e como Pk(Al) = Pk(A0) > 0, temos quePlPk(Al) = ∞.
Pelo Lema de Borel-Cantelli (ver referˆencia [10], p´ag. 200), temos Pk(lim sup Al) =
1 ou seja, o evento Al ocorre para infinitos valores de l, o que impossibilita a
ocorrˆencia de um aglomerado infinito.
Assim temos que Pk(|C| = ∞) = 0 no caso unidimensional.
Para o caso d ≥ 3 quando P
ipi = ∞, a quest˜ao do truncamento tem sempre
resposta afirmativa, como mostrado por Friedli e de Lima em [6].
No modelo bidimensional, a quest˜ao do truncamento ainda ´e um problema em
aberto. Existem resultados para alguns casos especiais e dentre eles gostar´ıamos de destacar o trabalho “ On the truncated anisotropic long-range percolation on Z2” de
V. Sidoravicius, D. Surgailis e M.E. Vares (ref [16]) que ser´a estudado no pr´oximo cap´ıtulo.
Cap´ıtulo 3
Percola¸
c˜
ao Anisotr´
opica de Longo
Alcance em G
2
No artigo “On the truncated anisotropic long-range percolation on Z2”, de
Sido-ravicius, Surgailis e Vares (ref. [16]), ´e dada uma resposta afirmativa parcial `a quest˜ao do truncamento no modelo bidimensional. Neste cap´ıtulo estudaremos tal artigo, que ´e o principal resultado dessa disserta¸c˜ao.
No trabalho de Sidoravicius, Surgailis e Vares ´e constru´ıdo um modelo de per-cola¸c˜ao de longo alcance em um subgrafo de G2, no qual os elos horizontais s˜ao de longo alcance e os que tˆem alcance i est˜ao abertos com probabilidade pi, enquanto
os elos verticais s˜ao de alcance um e est˜ao abertos com probabilidade pv = ε.
Assim, dado pv = ε se Pipi = ∞ para um decaimento espec´ıfico da sequˆencia
(pi), eles mostraram que existe 0 < K ∈ N tal que no modelo truncado em K,
PK(|C| = ∞) > 0.
Isto nos d´a uma resposta afirmativa parcial para a quest˜ao do truncamento no caso bidimensional.
3.1
O Teorema
Iremos trabalhar no grafo eG2= (Z2, e
E2) onde o conjunto dos elos eE2 ´e formado
por elos verticais de alcance um e por elos horizontais de longo alcance.
For-malmente, o conjunto dos elos eE2 = Ev ∪ Eh, sendo os elos verticais dados por
Ev = {h(x1, x2), (y1, y2)i ∈ Z2 × Z2; x1 = y1 e |x2 − y2| = 1} e os horizontais por
Eh = {h(x1, x2), (y1, y2)i ∈ Z2 × Z2; x2 = y2 e x1 6= y1}.
Novamente consideraremos a fam´ılia de vari´aveis aleat´orias χ = {χ(e); e ∈ eE2}
i.i.d. com distribui¸c˜ao comum de Bernoulli, e diremos que o elo e est´a aberto se χ(e) = 1 e fechado se χ(e) = 0.
Declaramos cada elo vertical aberto com probabilidade pv = ε > 0 e fechado com
com probabilidade 1 − pi, onde i = |x1 − y1| ≥ 1, ou seja, a probabilidade dos elos
horizontais estarem abertos depender´a dos seus respectivos alcances.
No espa¸co (Ω, A), onde Ω = {0, 1}E˜2 definimos a medida produto P = Q
e∈E2
µe,
onde µe ´e a medida de Bernoulli em {0,1} dada por
µe(χ(e) = 1) = 1 − µe(χ(e) = 0) =
ε se e ´e vertical
pi se e ´e horizontal e i = kek.
Um caminho em eG2 com n passos ´e uma sequˆencia que alterna s´ıtios e elos,
π = hx1, e1, x2, e2, ..., xn+1i onde ej = hxj, xj+1i e j ∈ {1, 2, ..., n}, com n + 1 v´ertices
e n elos.
Dado d > 0 o caminho π = hx1, e1, x2, e2, ..., xn+1i ´e dito d-admiss´ıvel se max{kejk; 1 ≤
j ≤ n} ≤ d, ou seja, se o maior elo de π tem comprimento menor ou igual a d. Para evitar casos em que a probabilidade de percolar ´e trivialmente positiva, faremos uma considera¸c˜ao. Assumiremos que pi ≤ 1 − ε para todo i ∈ N, pois caso
contr´ario, se para algum i0 ∈ N tivermos pi0 > 1 − ε, basta considerar o aglomerado
formado apenas por elos horizontais de alcance i0 e por elos de Ev, que neste caso
como pi0+ ε > 1, pelo teorema 1.2.2, temos que a probabilidade da origem percolar
´e positiva.
Lembrando que
Pk =Qe∈E2µk,e com µk,e(χ(e) = 1) = 1 − µk,e(χ(e) = 0) = p(i,k), se i = kek,
voltamos `a quest˜ao do truncamento proposta no cap´ıtulo anterior, ou seja, seP
ipi =
∞, isto ´e, se P (|C| = ∞) = 1, por menor que seja a probabilidade de um elo vertical estar aberto, ´e poss´ıvel encontrar um inteiro K tal que, se truncarmos em K teremos Pk(|C| = ∞) > 0?
O teorema seguinte da uma resposta afirmativa a essa quest˜ao para um caso
espec´ıfico de decaimento de sequˆencia (pi).
Teorema 3.1.1. Considere o grafo eG2= (Z2, e
E2). Se existe um inteiro m0 ≥ 2 tal
que pi ≥ i ln i1 para todo i ≥ m0, ent˜ao dado ε = pv > 0 existe K = K(ε, pi), tal que
PK(|C| = ∞) > 0.
Observe que como pi ≥ i ln i1 , temos Pipi ≥ Pi i ln i1 = ∞. Assim, podemos
notar que esse teorema trata exatamente da quest˜ao do truncamento mencionada
acima, para um caso espec´ıfico de decaimento da sequˆencia (pi). Para demonstra-lo
usaremos uma t´ecnica conhecida como renormaliza¸c˜ao; construiremos caixas unidi-mensionais, que ser˜ao os s´ıtios da rede renormalizada, de forma que, a existˆencia de um aglomerado aberto infinito contendo a origem da rede renormalizada, induzir´a a existˆencia de um aglomerado aberto infinito contendo a origem da rede original. O que ganharemos com a constru¸c˜ao da rede renormalizada ´e que este novo modelo, ser´a de primeiros vizinhos e anisotr´opico, podendo assim ser usado o teorema 1.2.1, para concluirmos que a probabilidade de existir um aglomerado aberto infinito con-tendo a origem na rede renormalizada ´e positiva, o que implicar´a a percola¸c˜ao da origem do modelo original.
3.1.1 Renormaliza¸c˜ao
Dado um s´ıtio x = (x1, x2) ∈ Z2, damos o nome de s´ıtio da rede renormalizada
ao conjunto
Sxk = {(y, x2) ∈ Z2; y ∈ [(2x1− 1)2k[ln k], (2x1+ 1)2k[ln k]]},
onde k ´e um inteiro par, e para q ∈ R, [q] denota o maior inteiro menor ou igual a q.
Denotamos por Rk(Z2) = S
x∈Z2
Sxk o conjunto dos s´ıtios da rede renormalizada e observamos que fixado k, a cada s´ıtio x ∈ Z2 temos relacionado um ´unico s´ıtio
da rede renormalizada Sk
x, estabelecendo assim um isomorfismo entre os conjuntos
Rk(Z2) e Z2.
Pela defini¸c˜ao de Sk
x, notamos que na interse¸c˜ao entre dois s´ıtios na rede
renor-malizada, existe no m´aximo um s´ıtio de Z2.
Dizemos que os s´ıtios da rede renormalizada Sk
x e Syks˜ao adjacentes se kx−yk = 1.
S´ıtios da Rede Renormalizada Adjacentes
Sx+ek 1 Sxk (4x1k[ln k], x2) (4x1k[ln k] + 4k[ln k], x2) z }| { z }| { figura 3.1.1
De agora em diante se z = (x1, x2) ∈ Z2, para denotar os s´ıtios (x1 ± 1, x2) e
(x1, x2±1) usaremos z ±e1 e z ±e2respectivamente, isto ´e consideraremos e1 = (1, 0)
e e2 = (0, 1).
Dado z ∈ Z2 e σ = ±1, considere o seguinte evento:
Jσ
k(z) = {ω ∈ Ω; existe um elo aberto em ω, de longo alcance, conectando z a
algum s´ıtio do conjunto {z + 3σe1, z + 4σe1, ..., z + kσe1}}
A ocorrˆencia do evento Jkσ(z) implica que existe pelo menos um elo horizontal aberto com alcance menor ou igual a k, conectando o s´ıtio z ∈ Z2 a algum s´ıtio do conjunto {z + 3σe1, z + 4σe1, ..., z + kσe1}. Se o evento Jkσ(z) ocorrer, tomamos
n = min{m; hz, z + mσe1i ´e aberto e m ∈ {3, 4, ..., k}} e se e = hz, z + nσe1i ´e o
menor dentre os elos abertos que garantem a ocorrˆencia de Jσ
k(z), denotamos o seu
Assim, definimos o mapa aleat´orio ψσk : Zd→ Zd ψσk(z) = ω
σ(z), se Jσ
k(z) ocorre,
z, caso contr´ario. e escrevemos ψkσ,n(z) para a n-´esima itera¸c˜ao de ψσ
k(z) ou seja, ψkσ,n(z) = ψkσ◦ ψσ k ◦ ... ◦ ψ σ k(z) | {z } n vezes .
Usaremos ψkσ,n para descrever um algoritmo dinˆamico da constru¸c˜ao do aglome-rado aberto da rede renormalizada.
Considere as subcaixas de Sk
x que ser˜ao usadas na defini¸c˜ao das conex˜oes
verti-cais e horizontais entre os s´ıtios da rede renormalizada.
Rx = {(y1, x2) ∈ Z2; y1 ∈ [(4x1− 1)k[ln k], (4x1+ 1)k[ln k]]}.
R+
x = {(y1, x2) ∈ Z2; y1 ∈ [4x1k[ln k], (4x1+ 1)k[ln k]]}.
R−x = {(y1, x2) ∈ Z2; y1 ∈ [(4x1+ 1)k[ln k], 4x1k[ln k]]}.
Qx = {(y1, x2) ∈ Z2; y1 ∈ [(4x1− 12)k[ln k], (4x1+ 12)k[ln k]]}.
Note que todas as subcaixas est˜ao centradas em (4x1k[ln k], x2) e que Qx ⊂ Rx =
R−x ∪ R+ x Subcaixas de Sxk z }| { z }| { z }| { figura 3.1.2 Sk x Rx Qx 2k[ln k] k[ln k] k 2[ln k]
Na defini¸c˜ao das subcaixas de Sxk omitimos o ´ındice k para simplificar a nota¸c˜ao. De agora em diante omitiremos este ´ındice tamb´em, quando nos referirmos `as caixas Sxk.
A seguir, definiremos alguns eventos que ser˜ao usados para definir as conex˜oes entre os s´ıtios da rede renormalizada.
Primeiramente, para as conex˜oes verticais entre s´ıtios adjacentes da rede renor-malizada, consideremos os seguintes eventos:
Dados σ = ±1 e υ = ±1, sejam Aσ
k(z)= Jkσ(z) ∩ Jkσ(ψσk(z)) ∩ ... ∩ Jkσ(ψ
σ,[(ln k)12] k (z))
Bkσ,υ(z) = {ω ∈ Ω; um dos elos verticais dentre os {hz, z + υe2i,
hψσ
k(z), ψkσ(z) + υe2i, ..., hψ
σ,[(ln k)12]
k (z), ψ
σ,[(ln k)12]
k (z) + υe2i} ´e aberto
em ω}
e Vkσ,υ(z) = Aσ
k(z) ∩ B σ,υ
k (z) para todo σ = ±1 e υ = ±1 (veja a figura 3.1.3).
Evento Vkσ,υ(z) z }| { | {z } figura 3.1.3 Sx+e2 Sx z vσ,υk (z)
Observe que a ocorrˆencia do evento Aσ
k(z) implica que existe um caminho aberto
k-admiss´ıvel horizontal com exatamente [(ln k)12] passos, conectando o s´ıtio z a um
s´ıtio do conjunto {ψσ,[(ln k) 1 2] k (z) + 3σe1, ψ σ,[(ln k)12] k (z) + 4σe1, ..., ψ σ,[(ln k)12] k (z) + kσe1} e
a ocorrˆencia do evento Vkσ,υ(z) indica que a cada caminho k-admiss´ıvel decorrente da ocorrˆencia de Aσ
k(z) existe um elo vertical aberto conectando algum s´ıtio do conjunto
{z, ψσ k(z), ψ
σ,2
k (z), ..., ψ
σ,[(ln k)12]
k (z)} a um s´ıtio da caixa imediatamente acima (ou
abaixo dependendo de υ) de Sx, ou seja, se o evento Vkσ,υ(z) ocorre, existe um
caminho aberto k-admiss´ıvel, conectando z a algum s´ıtio de Sx+υe2. Neste caso,
in-dicamos por vkσ,υ(z) = ψσ,jk +υe2 ∈ Sx+υe2, com j = min{i tais que, hψ
σ,i k (z), ψ
σ,i k (z)+
υe2i ´e aberto, 0 ≤ i ≤ [(ln k)
1
2] }, onde estamos considerando ψσ,0
Para as conex˜oes horizontais entre os s´ıtios adjacentes da rede renormalizada, considere os eventos a seguir:
Sejam x ∈ Zd e z ∈ R x,
Dσ
k(z) = {ω ∈ Ω; hz, z + 2σe1i ´e aberto em ω} ∩ Jkσ(z + 2σe1) ∩ Jkσ(ψkσ(z + 2σe1))∩
. . . ∩ Jkσ(ψkσ,[ln k](z + 2σe1)),
Fσ
k,x(z) = {ω ∈ Ω; na configura¸c˜ao ω ∃ uma conex˜ao aberta entre um dos s´ıtios
de {z, z + 2σe1, ψkσ(z + 2σe1), . . . , ψ σ,[ln k]
k (z + 2σe1)} e a subcaixa Qx+σe1}
e finalmente, Hσ k,x(z) = Dσk(z) ∩ Fk,xσ (z) (veja a figura 3.1.4). Evento Hk,xσ (z) figura 3.1.4 z }| { z }| { Sx+e1 Sx 5, 5k[ln k] z hσ k,x(z)
A ocorrˆencia do evento Dσ
k(z) implica que o elo hz, z + 2σe1i ´e aberto e que existe
um caminho aberto com ([ln k] + 1) passos, contendo hz, z + 2σe1i, que conecta
o s´ıtio z a um outro s´ıtio de Sx. J´a a ocorrˆencia do evento Fk,xσ (z) implica que
existe pelo menos um elo aberto de longo alcance que conecta um s´ıtio do conjunto {z, z + 2σe1, ψkσ(z + 2σe1), . . . , ψ
σ,[ln k]
k (z + 2σe1)} a um s´ıtio pertencente `a subcaixa
Qx+σe1. Por isso, o fato do evento H
σ
k,x(z) ocorrer garante a existˆencia de um
caminho aberto, [6k ln k]-admiss´ıvel, ligando o s´ıtio o z ∈ Rx a um s´ıtio pertencente
a Qx+σe1.
No conjunto dos s´ıtios que garantem a ocorrˆencia do evento Hσ
k,x(z),
defini-mos hσ
k,x(z) como o menor v´ertice em Qx+σe1 (para uma ordem fixada) para o
qual existe uma conex˜ao aberta entre um s´ıtio do conjunto {z, z + 2σe1, ψσk(z +
2σe1), ..., ψ σ,[ln k]
k (z + 2σe1)}⊂ Sx e a subcaixa Qx+σe1.
Agora iremos estimar as probabilidades dos eventos definidos acima.
Inicialmente vamos supor que pi ≥ i ln i1 para todo i ≥ 2 = m0. Posteriormente
P (Jkσ(z)) = 1 − k Y i=3 (1 − pi) ≥ 1 − k Y i=3 1 − 1 i ln i . P (Vkσ,υ(z)) = P (Aσ k(z)) · P (B σ,υ k (z)|A σ k(z)) = P (Jkσ(z))[(ln k) 1 2] · (1 − (1 − ε)[(ln k)12] ) ≥1 − k Y i=3 1 − 1 i ln i [(ln k) 1 2] (1 − (1 − ε)[(ln k) 1 2]) := p v(k, ε). Se z ∈ Rx, σ = ±1, P (Hk,xσ (z)) = P (Dσk(z)) · P (Fk,xσ (z)|Dkσ(z)) ≥ 1 2 ln 2 1− k Y i=3 1− 1 i ln i [ln k] 1− 1− 1 6k[ln k] ln(6k[ln k] k[ln k]2 := ph(k, ε).
Na ´ultima desigualdade, o expoente k[ln k]2segue da quantidade de s´ıtios existen-tes no conjunto {z, z +2σe1, ψσk(z +2σe1), ..., ψ
σ,[ln k]
k (z +2σe1)} e na subcaixa Qx+σe1.
Al´em disso, para haver conex˜ao entre os s´ıtios {z, z+2σe1, ψσk(z+2σe1), ..., ψ σ,[ln k] k (z+
2σe1)} e a subcaixa Qx+σe1, os elos utilizados devem ter alcance no m´aximo 6k[ln k].
Demonstra¸c˜ao do Teorema 3.1.1. Considere k natural par, grande o suficiente tal que
k[(ln k)12] + 2 < k
2[ln k].
Primeiramente assumiremos m0 = 2.
Inicialmente, para motivar a constru¸c˜ao dinˆamica do aglomerado aberto infinito contendo a origem da rede renormalizada, definiremos uma constru¸c˜ao dinˆamica para o aglomerado aberto infinito da origem no modelo de primeiros vizinhos em L2 = {Z2, E2} (definido na se¸c˜ao 1.1).
Como Z2 ´e enumer´avel, escolhemos uma ordem total qualquer entre os v´ertices
de Z2 indicada por “ ≺ ” e esta ordem induz uma ordem total entre os s´ıtios
renormalizados em Rk(Z2); isto ´e, Sxk ≺ Syk se x ≺ y.
Para a constru¸c˜ao dinˆamica do aglomerado da origem de primeiros vizinhos em L2, procederemos iterativamente como segue:
Dada um configura¸c˜ao ω ∈ Ω, come¸camos pela origem de Z2, que denominamos
por gera¸c˜ao zero e denotamos por Γ0(ω). Verificamos se cada um dos elos que
incidem de Γ0(ω) = {0} est˜ao abertos ou fechados em ω. A primeira gera¸c˜ao Γ1(ω) =
{x ∈ Z2; o elo h0, xi ´e aberto em ω} ´e o conjunto formado pelos v´ertices finais de
cada um dos elos abertos que incidem da origem. Indutivamente, utilizamos o mesmo processo para a constru¸c˜ao das gera¸c˜oes seguintes.
Supondo que temos a n-´esima gera¸c˜ao Γn(ω) = {x ∈ Z2− n−1
S
i=0
Γi(ω); o elo hy, xi
´e aberto e y ∈ Γn−1(ω)}. Visitamos cada s´ıtio de Γn(ω) na ordem pr´e estabelecida,
e verificamos se cada um dos elos que deles incidem est˜ao abertos ou fechados. Se de um s´ıtio x ∈ Γn(ω), al´em do elo aberto e = hy, xi com y ∈ Γn−1(ω), s´o incidem
elos fechados, partimos para o pr´oximo s´ıtio at´e chegar em um s´ıtio x0 ∈ Γn do qual
incide pelo menos um elo aberto diferente do elo e0 = hy0, x0i com y0 ∈ Γ
n−1(ω).
Neste caso, se o elo hx0, vi for aberto e v /∈
n
S
i=0
Γi(ω) teremos v ∈ Γn+1(ω).
Agora retomamos o processo inicial de longo alcance e procedemos de forma semelhante `a constru¸c˜ao dinˆamica acima, considerando neste caso cada s´ıtio da rede renormalizada como sendo um s´ıtio em Z2. Na constru¸c˜ao do aglomerado da origem
da rede renormalizada, quando partirmos de um s´ıtio Sx ∈ Rk(Z2), verificamos se
os s´ıtios da rede renormalizada vizinhos a ele pertencem ao aglomerado seguindo a ordem norte, sul, leste, oeste.
Dada uma configura¸c˜ao ω ∈ Ω, denotamos por Γk
0 a gera¸c˜ao zero na rede
renor-malizada, ou seja, Γk
0 = {S0} (omitiremos ω nesta nota¸c˜ao). Como em cada caixa
Sx existem 4k[ln k] + 1 s´ıtios de Z2, usaremos o ´ındice k em Γk0 para indicar que
estamos nos referindo `a rede renormalizada.
1a Gera¸c˜ao: Para a constru¸c˜ao da primeira gera¸c˜ao, considere o s´ıtio da rede renormalizada S0 ∈ Γk0.
1. Seja z0 = (0, 0), checamos a ocorrˆencia do evento Vk1,1(z0). Se o evento
Vk1,1(z0) ocorre, ou seja, se existe um caminho aberto k-admiss´ıvel ligando z0 `a
ze2 = v
1,1
k (z0) ∈ Q0+e2 dizemos que a conex˜ao da rede renormalizada hS0, S0+e2i ´e
aberta. Caso contr´ario a conex˜ao hS0, S0+e2i ´e fechada.
2. Em seguida, verificamos se Vk−1,−1(z0) ocorre. Como no caso anterior, se
ocorrer, dizemos que a conex˜ao entre os s´ıtios da rede renormalizada S0 e S0−e2,
hS0, S0−e2i, ´e aberta e denotamos z−e2 = v
−1,−1
k (z0) ∈ Q0−e2.
Se Vk−1,−1(z0) n˜ao ocorrer a conex˜ao hS0, S0−e2i ´e fechada.
Observe que a ocorrˆencia de Vk1,1(z0) (respectivamente de V −1,−1
k (z0)) implica que
existe um caminho aberto k-admiss´ıvel, com no m´aximo [(ln k)12] + 1 elos, sendo
que os [(ln k)12] s˜ao os elos horizontais decorrentes do evento Aσ
k(z0), conectando o
s´ıtio z0 `a algum s´ıtio z ∈ S0+e2 (respectivamente z ∈ S0−e2). Al´em disso, como
k[(ln k)12] < k
2[ln k], o s´ıtio v
−1,−1
k (z0) pertence necessariamente `a subcaixa Q0+e2
(z−e2 ∈ Q0−e2).
Conex˜oes Verticais Entre S´ıtios da Rede Renormalizada figura 3.1.5 z−e2 ze2 }S0+e 2 }S0 }S0−e2 Vk1,1(z0) Vk−1,−1(z0) z0
3. Prosseguindo, definimos a conex˜ao da rede renormalizada entre o s´ıtio S0 e o
s´ıtio adjacente S0+e1.
Dizemos que a conex˜ao da rede renormalizada hS0, S0+e1i ´e aberta se o evento
Hk,z1 0(˜z) ocorre, onde ˜z = ψ1,[(ln k)
1 2] k (z0).
Podemos notar que Hk,z1 0(˜z) ´e condicionalmente independente de Vk−1,−1(z) e de Vk1,1(z), pois estes ´ultimos, ao contr´ario do evento H1
k,z0(˜z), n˜ao dependem do elo
h˜z, ˜z + 2e1i nem de todos os elos do conjunto {h˜z + 2σe1, ψkσ(˜z + 2σe1)i, hψkσ(˜z +
2σe1), ψσ,2k (˜z + 2σe1)i, ..., hψ
σ,[ln k]−1
k (˜z + 2σe1), ψ σ,[ln k]
k (˜z + 2σe1)i} que est˜ao a direita
de ˜z. Se H1
k,z0(˜z) ocorrer, teremos a existˆencia de um caminho 6k[ln k]-admiss´ıvel
partindo de ˜z at´e um s´ıtio pertencente `a subcaixa Q0+e1. Neste caso definimos
ze1 = h
1
k,z0(˜z) ∈ Q0+e1.
Se Hk,z1 0(˜z) n˜ao ocorre, dizemos que a conex˜ao hS0, S0+e1i ´e fechada.
4. Finalmente, de modo similar ao item 3., checamos se o evento H1 k,z0(ψ
−1,[ln12(k)] k (z0))
ocorre ou n˜ao. Se ocorrer, declaramos a conex˜ao entre os s´ıtios da rede renormalizada hS0, S0−e1i aberta, e neste caso, definimos o v´ertice ze1 = h
−1 k,z0(ψ 1,[ln12k] k (z0)) ∈ Q0−e1. Se o eventoHk,z1 0(ψ−1,[ln 1 2(k)]
k (z0)) n˜ao ocorre a conex˜ao hS0, S0−e1i ´e fechada.
Conex˜oes Horizontais Entre S´ıtios da Rede Renormalizada
figura 3.1.6 | {z } | {z } S0+e1 S0 z0 z˜ ze1 H1 k,z0(˜z)
Os s´ıtios da rede renormalizada do conjunto {S0±ei} onde i ∈ {1, 2} que est˜ao
conectados a S0 constituem a primeira gera¸c˜ao da rede renormalizada que
denota-mos por Γk1.
2a Gera¸c˜ao: Para cada s´ıtio da rede renormalizada S
x ∈ Γk1 repetimos o
proce-dimento dinˆamico usado na constru¸c˜ao de Γk
1, usando em cada tempo zx ao inv´es
de z0, com x ∈ {−e2, −e1, e1, e2}. Verificamos as conex˜oes entre os s´ıtios da rede
renormalizada de Γk
1 e os seus primeiros vizinhos, na ordem “ ≺ ” estabelecida
ante-riormente; e para cada Sx ∈ Γk1 verificaremos se conex˜ao hSx, Syi aberta seguindo a
ordem norte, sul, leste, oeste. Como na constru¸c˜ao da primeira gera¸c˜ao, os s´ıtios da rede renormalizada finais de cada conex˜ao aberta formar˜ao a segunda gera¸c˜ao Γk
2,
e para os y ∈Z2 tais que a conex˜ao hSx, Syi ´e aberta, definimos zy como o s´ıtio de
Sy ∈ Γk2 mais pr´oximo da origem, que possui um elo incidente o qual garante que a
conex˜ao entre Sx e Sy seja aberta.
De agora em diante possivelmente teremos o seguinte problema: antes da cons-tru¸c˜ao da terceira gera¸c˜ao na rede renormalizada, podemos ter em uma caixa da segunda gera¸c˜ao Γk
2, dois s´ıtios de Z2 que foram adicionados ao aglomerado por
conex˜oes distintas; por exemplo, podemos ter em uma caixa Sx um sitio zx1 obtido
de uma conex˜ao na rede renormalizada a oeste de Sx e o outro, zx2 obtido de uma
conex˜ao na rede renormalizada ao sul desta caixa, como ilustrado na figura 3.1.7. Neste caso, quando formos construir a terceira gera¸c˜ao Γk
3, vamos primeiramente
considerar o s´ıtio zx1, mais pr´oximo da origem (o menor segundo a ordem “ ≺ ” pr´
e-estabelecida). Se este estiver conectado a algum s´ıtio de Γk
3 n˜ao examinaremos as
conex˜oes partindo de zx2. Mas se por zx1 as conex˜oes hSx, Sx+eii forem fechadas para
todo i ∈ {1, 2}, ent˜ao verificaremos se partindo do s´ıtio zx2 as conex˜oes hSx, Sx+eii
s˜ao abertas ou fechadas, para cada i ∈ {1, 2}.
Segunda Gera¸c˜ao z }| { figura 3.1.7 Sx zx2 zx1
Nas gera¸c˜oes Γkn seguintes, antes da constru¸c˜ao da gera¸c˜ao Γkn+1, podemos ter at´e trˆes s´ıtios do aglomerado da origem de Z2 dentro de um mesmo s´ıtio da rede renormalizada. Neste caso, procedemos de forma an´aloga `a descrita acima, exami-nando cada um dos trˆes s´ıtios da rede original, se necess´ario, na ordem “ ≺ ”.
(n+1)a Gera¸c˜ao: Suponha que a n-´esima gera¸c˜ao Γk
n esteja constru´ıda. Seja Fn
o hist´orico da constru¸c˜ao dinˆamica que completou a n-´esima gera¸c˜ao, isto ´e, Fn ´e
a σ-´algebra que cont´em toda informa¸c˜ao necess´aria para a constru¸c˜ao de todas as n-gera¸c˜oes.
Na constru¸c˜ao da (n+1)-´esima gera¸c˜ao s´o iremos checar a conex˜ao hSx, Syi, se
Sx ∈ Γkn e Sy ∈/ n S i=0 Γk i. Se Sy ∈ n S i=0 Γk
i temos que o s´ıtio da rede renormalizada Sy j´a
foi adicionado ao aglomerado da origem de S0, e portanto partiremos para o pr´oximo
s´ıtio da rede renormalizada at´e chegar o momento de verificar uma conex˜ao hSx, Syi
onde se Sx ∈ Γkn e Sy ∈/ n S i=0 Γk i.
Denotemos por Ghx,yi o hist´orico do processo at´e momento de verificar a conex˜ao
hSx, Syi, ou seja, a σ-´algebra Ghx,yi cont´em Fn junto com toda a informa¸c˜ao obtida
na constru¸c˜ao da (n+1)-´esima gera¸c˜ao da rede renormalizada, at´e chegar o momento de checar a conex˜ao hSx, Syi.
Nesta constru¸c˜ao, queremos garantir dois pontos cruciais para que tenhamos um modelo de percola¸c˜ao anisotr´opica de primeiros vizinhos na rede renormalizada:
I. Se o s´ıtio da rede renormalizada Sx ∈ Γkn+1 implica que existe um caminho
aberto 6k[ln k]-admiss´ıvel conectando a origem a algum ponto zx ∈ Rx.
II. Se Sx ∈ Γkn e formos analisar a conex˜ao hSx, Sx±eii, com i = {1, 2}, ent˜ao,
P (hSx, Sx±e2i ´e aberto |Ghx,x±e2i) ≥ pv(k, ε) (3.1)
P (hSx, Sx±e1i ´e aberto |Ghx,x±e1i) ≥ ph(k, ε) (3.2)
No item I., o fato dos caminhos serem 6k[ln k]-admiss´ıveis, segue da constru¸c˜ao de Γk
n e da defini¸c˜ao do evento Hk,xσ (z). J´a o fato de zx ∈ Rx, ser´a justificado quando
definirmos as conex˜oes abertas entre os s´ıtios da rede renormalizada de Γk
ne os s´ıtios
Conex˜oes verticais entre os s´ıtios da rede renormalizada.
1. Se Sx ∈ Γkn vamos determinar quando a conex˜ao hSx, Sx+e2i ´e aberta.
Dividi-remos em dois subcasos:
1.a) Se zx ∈ R−x ∪ Qx a conex˜ao na rede renormalizada hSx, Sx+e2i ´e aberta se e
somente se, Vk1,1(zx) ocorre.
Neste caso, definimos zx+e2 = v
1,1
k (zx) ∈ Rx+e2.
Caso contr´ario, a conex˜ao hSx, Sx+e2i ´e fechada.
1.b) Se zx ∈ Rx+\ Qx a conex˜ao na rede renormalizada hSx, Sx+e2i ´e aberta se e
somente se, Vk−1,1(zx) ocorre.
Ent˜ao, definimos zx+e2 = v
−1,1
k (zx) ∈ Rx+e2.
Se o evento Vk−1,1(zx) n˜ao ocorrer, a conex˜ao hSx, Sx+e2i ´e fechada.
Para justificar o item I. (neste caso), observamos que se zx ∈ Rx, pela defini¸c˜ao
dos eventos Vk1,1(zx) e V −1,1
k (zx) conclu´ımos que zx+e2 ∈ Rx+e2. Mas por outro lado,
zx ∈ Rx para todo x ∈ Z2, pois quando constru´ımos a primeira gera¸c˜ao, garantimos
que ze2 ∈ R0+e2, e consequentemente, temos que em qualquer gera¸c˜ao, todos os s´ıtios
da rede original obtidos por conex˜oes da rede renormalizada verticais vindas do sul pertencem `a subcaixa Rx+e2.
Para o item II. lembramos que segundo a ordem pr´e-estabelecida, sempre come-¸camos checar se os s´ıtios da rede renormalizada pertencem ao aglomerado da rede renormalizada pela dire¸c˜ao norte. Assim, se vamos verificar a conex˜ao hSx, Sx+e2i
´e porque o s´ıtio zx ∈ Sx foi adicionado ao aglomerado da origem da rede original
por um elo que n˜ao veio do norte, portanto, Ghx,x+e2i ´e independente de todos os
elos horizontais inteiramente contidos em Sx e de todos os elos verticais hu, u + e2i
onde u ∈ Sx, implicando que para qualquer z ∈ Rx e σ = ±1 o evento Vkσ,1(zx) ´e
independente de qualquer evento B ∈ Ghx,x+e2i; portanto,
P (Vkσ,1(zx)|Ghx,x+e2i) = P (V
σ,1
k (z)) q.c. em {z = zx}, (3.1a)
com {z = zx} denotando o evento {ω ∈ Ω; z = zx}, onde zx ´e um s´ıtio que foi
adicionado ao aglomerado da origem atrav´es de uma conex˜ao aberta da rede renor-malizada.
De agora em diante, sempre que nos referirmos a elos a direita do s´ıtio x = (x1, x2)
estaremos falando do conjunto de elos {h(y1, y2), (z1, z2)i; y1 ≥ x1, y2 = x2, z1 >
x1 e z2 = x2} e elos a esquerda do s´ıtio x se trata dos elos pertencentes ao conjunto
{h(y1, y2), (z1, z2)i; y1 ≤ x1, y2 = x2, z1 < x1 e z2 = x2}. Observamos que os
con-juntos de elos a direita e a esquerda do s´ıtio x s˜ao conjuntos disjuntos.
2. Se Sx ∈ Γkn, determinaremos quando a conex˜ao da rede renormalizada hSx, Sx−e2i
2.a) Se zx ∈ Rx+∪ Qx a conex˜ao hSx, Sx−e2i ´e aberta se, e somente se, V
−1,−1 k (zx)
ocorre.
Neste caso, definimos zx−e2 = v
−1,−1
k (zx) ∈ Rx−e2.
Se o evento Vk−1,−1(zx) n˜ao ocorre, a conex˜ao hSx, Sx−e2i ´e fechada.
2.b) Se zx ∈ Rx−\ Qx a conex˜ao na rede renormalizada hSx, Sx−e2i ´e aberta se e
somente se, Vk+1,−1(zx) ocorre e caso contr´ario a conex˜ao hSx, Sx−e2i ´e fechada.
Se a conex˜ao for aberta, definimos zx−e2 = v
1,−1
k (zx) ∈ Rx−e2.
Definidas dessa forma, com justificativas an´alogas `as do item 1, garantimos que zx−e2 ∈ Rx−e2, sempre que o s´ıtio zx−e2 for adicionado ao aglomerado da rede original
por uma conex˜ao vertical da rede renormalizada ao norte.
Por outro lado, neste passo n˜ao temos a garantia de que a conex˜ao da rede
renormalizada hSx, Sx−e2i seja independente de Ghx,x−e2i, pois fatalmente podemos
ter elos abertos do aglomerado da origem da rede original dentro da caixa Sx que
foram adicionados ao aglomerado quando verificamos a conex˜ao hSx, Sx+e2i.
Mesmo assim, ainda temos que
P (Vk−1,−1(zx)|Ghx,x−e2i) = P (V −1,−1 k (z)) q.c. em {z = zx} se z ∈ R+x ∪ Qx (3.2a) P (Vk1,−1(zx)|Ghx,x−e2i) = P (V 1,−1 k (z)) q.c. em {z = zx} se z ∈ R−x \ Qx, (3.2b)
Para justificar as igualdades (3.2a) e (3.2b), come¸caremos supondo que z ∈ Rx \ Qx. Neste caso a ocorrˆencia do evento {z = zx} implica que o s´ıtio Sx foi
adicionado ao aglomerado da rede renormalizada pela conex˜ao vertical hSx+e2, Sxi.
Assim n˜ao precisamos verificar a conex˜ao da rede renormalizada ao norte de Sx e
quando checamos a conex˜ao hSx, Sx−e2i vemos que esta depende apenas dos elos
con-tidos inteiramente em Sx e dos elos verticais hu, u − e2i tais que u ∈ Sx, garantindo
que os eventos Vk1,−1(zx) e V −1,−1
k (zx) s˜ao ambos independentes de Ghx,x−e2i e
por-tanto temos (3.2a) no caso em que z ∈ R+x \ Qx e (3.2b).
Se z ∈ Qx o argumento ´e mais delicado pois zx pode ter sido adicionado ao
aglomerado da rede original tanto pela conex˜ao na rede renormalizada vertical ao
norte de Sx, quanto por uma conex˜ao horizontal da rede renormalizada. Se zx
foi adicionado ao aglomerado da rede original atrav´es da conex˜ao da rede renor-malizada hSx+e2, Sxi, pelo argumento acima garantimos que as igualdades (3.2a) e
(3.2b) s˜ao verdadeiras. Mas se zx foi adicionado pela conex˜ao da rede renormalizada
hSx−e1, Sxi (ou hSx+e1, Sxi), ter´ıamos, antes de verificar a conex˜ao hSx, Sx−e2i, que
verificar a conex˜ao hSx, Sx+e2i e esta usa elos horizontais contidos inteiramente em
Sx. Por outro lado, se zx ∈ Qx para que a conex˜ao ao norte seja aberta, o evento
Vk1,1(zx) deve ocorrer e dessa forma os elos horizontais que garantem a ocorrˆencia
de Vk−1,−1(zx) est˜ao sempre a esquerda de zx, implicando que os eventos V 1,1 k (zx) e
Vk−1,−1(zx) dependem de conjuntos disjunto de elos. Assim, se z ∈ Qx a igualdade
(3.2a) ´e verdadeira.
Logo por (3.1a), (3.2a) e (3.2b) e pelo fato de que P (Vkσ,υ(z)) ≥ pv(k, ε) para
todo z ∈ Z2 e para cada σ = ±1 e ν = ±1 temos que,
P (hSx, Sx±e2i ´e aberto |Ghx,x±e2i) ≥ pv(k, ε).
ou seja, a desigualdade (3.1) ´e verdadeira.
Conex˜oes horizontais entre os s´ıtios da rede renormalizada:
3. Se Sx ∈ Γkn, determinaremos quando a conex˜ao da rede renormalizada hSx, Sx+e1i
´e aberta.
3.a) Se zx ∈ R+x \ Qx a conex˜ao da rede renormalizada hSx, Sx+e1i ´e aberta se e
somente se, Hk,x+1(zx) ocorre e caso contr´ario a conex˜ao hSx, Sx+e1i ´e fechada.
Se for aberta, definimos zx+e1 = h
+1
k,x(zx) ∈ Qx+e1.
3.b) Se zx ∈ R−x∪ Qxent˜ao a conex˜ao da rede renormalizada hSx, Sx+e1i ´e aberta
se e somente se, Hk,x+1(ψ1,[(ln k)
1 2]
k (zx)) ocorre e assim temos zx+e1 = h
+1 k,x(ψ 1,[(ln k)12] k (zx)) ∈ Qx+e1. Se o evento Hk,x+1(ψ1,[(ln k) 1 2]
k (zx)) n˜ao ocorrer a conex˜ao ´e fechada.
Com base nestas defini¸c˜oes, temos as seguintes desigualdades:
P (Hk,x1 (zx)|Ghx,x+e1i) ≥ ph(k, ε) q.c. em {zx = z} se z ∈ R + x \ Qx e (3.3a) P (Hk,x1 (ψ1,[(ln k) 1 2] k (zx))|Ghx,x+e1i) ≥ ph(k, ε) q.c. em {zx = z} se z ∈ R − x ∪ Qx (3.3b)
A desigualdade (3.3a) ´e garantida pelo fato de que se vamos verificar a conex˜ao da rede renormalizada ao leste, ´e porque as conex˜oes ao norte e ao sul de Sx, j´a
foram examinadas. Assim, pela defini¸c˜ao da conex˜ao horizontal hSx, Sx+e1i, vemos
que esta depende apenas de elos a direita de zx enquanto as conex˜oes da rede
renor-malizada verticais dependem dos elos a esquerda de zx. Logo, as conex˜oes hSx, Sx±e2i
e hSx, Sx+e1i, quando zx ∈ R
+
x \ Qx, dependem de conjuntos disjuntos de elos.
Em 3.b), definimos estrategicamente a conex˜ao da rede renormalizada horizontal no caso em que zx ∈ Rx−∪ Qx, usando o s´ıtio ψ
1,[(ln k)12]
k (zx). Dessa forma garantimos
hSx, Sx±e2i, e como no caso 3.a) evitamos que as conex˜oes da rede renormalizada
verticais e a horizontal a direita na rede renormalizada dependam de elos comuns. Com este argumento, fica claro que qualquer evento B ∈ Ghx,x+e1i´e independente
dos elos usados na defini¸c˜ao da conex˜ao da rede renormalizada horizontal ao leste. Pela defini¸c˜ao de ph(k, ε) dada na p´ag 24, temos que as desigualdades (3.3a) e (3.3b)
s˜ao verdadeiras.
Usando as desigualdades (3.3a) e (3.3b), conclu´ımos que P (hSx, Sx+e1i ´e aberto |Ghx,x+e1i) ≥ ph(k, ε)
4. Finalmente, se Sx ∈ Γknestudaremos a conex˜ao da rede renormalizada hSx, Sx−e1i.
4.a) Se zx ∈ R−x \ Qx a conex˜ao da rede renormalizada hSx, Sx−e1i ´e aberta se e
somente se, Hk,x−1(zx) ocorre e assim, definimos zx−e1 = h
−1
k,x(zx) ∈ Qx−e1.
Caso contr´ario, a conex˜ao hSx, Sx−e1i ´e fechada.
4.b) Se zx∈ R+x ∪ Qx a conex˜ao da rede renormalizada hSx, Sx−e1i ´e aberta, se e
somente se Hk,x−1(ψ1,[(ln k)
1 2]
k (zx)) ocorre.
Neste caso, definimos zx−e1 = h
−1 k,x(ψ −1,[(ln k)12] k (zx)) ∈ Qx−e1. Se o evento Hk,x−1(ψ1,[(ln k) 1 2]
k (zx)) n˜ao ocorre, a conex˜ao hSx, Sx−e1i ´e fechada.
Com justificativas an´alogas `as usadas no caso 3, obtemos
P (Hk,x−1(zx)|Ghx,x−e1i) ≥ ph(k, ε) q.c. em {zx = z} se z ∈ R − x\Qx (3.4a) P (Hk,x1 (ψ1,[(ln k) 1 2] k (zx))|Ghx,x−e1i) ≥ ph(k, ε) q.c. em {zx = z} se z ∈ R + x ∪ Qx (3.4b)
e por estas desigualdades temos
P (hSx, Sx−e1i ´e aberto |Ghx,x−e1i) ≥ ph(k, ε).
Assim as desigualdades (3.3a), (3.3b), (3.4a) e (3.4b), implicam que P (hSx, Sx±e1i ´e aberto |Ghx,±e1i) ≥ ph(k, ε),
