Solução da 3a Prova de Física IV - FIS de Dezembro de /02 Turma de Engenharia da Computação

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Solução da 3a Prova de Física IV - FIS

02719

07 de Dezembro de 2007 - 2007/02

Turma de Engenharia da Computação

ü Código de inicialização usando o software Mathematica

<< Utilities`Notation`

<< Miscellaneous`Units`

<<Miscellaneous`PhysicalConstants`

Off@General::spellD Off@General::spell1D

(2)

1 a

Questão

Capítulo 38 - Relatividade - Uma sonda não-tripulada "Vega-1" parte da Terra em direção à estrela Vega, que está a 26 anos-luz de distância. Tal nave espacial foi projetada para viajar a uma

velocidade constante tal que a viagem de ida durasse 40 anos (no referencial da sonda), lá chegando, ficaria em órbita no sistema solar de Vega e não voltaria, somente enviando imagens e dados

científicos via sinais de rádio (ondas eletromagnéticas) durante sua vida útil.

a) Qual a velocidade de "Vega-1" ? Quanto tempo terá passado na Terra quando tal sonda chegar na estrela Vega ?

Devido a uma rápida evolução tecnológica, 20 anos depois do envio de "Vega-1" foi decidido enviar uma sonda "irmã" chamada "Vega-2", com velocidade de cruzeiro de 0, 95 c, um quinto da massa de "Vega-1" e novos e melhorados experimentos científicos.

b) Qual o tempo de viagem de "Vega-2" visto na nave e na Terra ? Quem chegará primeiro, "Vega-1" ou "Vega-2" ? Qual a diferença de tempo ?

c) Qual a razão entre as energias usadas para mover "Vega-2" e "Vega-1" ?

Tal questão, de enviar uma nave espacial hoje é pior do que enviar uma mais moderna daqui a algumas décadas, é um argumento conservador para que não nos aventuremos enquanto a tecnologia de propulsão espacial e geração de energia não evoluir o suficiente.

Solução : São dados :

L₀ = 26 anos-luz, Dt₀₁ = 40 anos, v₂ = 0, 95 c,

Symbolize@L0D; Symbolize@∆t01D; Symbolize@∆t1D; Symbolize@∆t02D; Symbolize@∆t2D;

Symbolize@v1D; Symbolize@v2D; Symbolize@γ1D; Symbolize@γ2D;

Os valores para as constantes :

L0= 26 Year ∗ c; ∆t01= 40 Year; v2= 0.95 c;

a) O relógio de bordo da nave mede o tempo próprio, no caso 40 anos. O objetivo é percorrer uma distância de 26 anos-luz em 40 anos, porém deve-se observar que tal distância ficará contraída no referencial da nave :

(3)

L₁ = ÅÅÅÅÅÅÅÅL0 g₁ ,

sendo que g é o fator de Lorentz entre os referenciais inerciais da nave e da Terra. O fator de Lorentz g depende da velocidade v :

g₁ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 ÅÅÅÅÅÅÅ "#######################_{1 -}_Hv

1êcL2

.

Como se quer calcular v, então usaremos a expressão da velocidade usando quantidades medidas no referencial da nave espacial :

v₁ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅL1 Dt₀₁ = L₀ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g₁Dt₀₁ = L₀ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Dt₀₁ $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 -J v₁ ÅÅÅÅÅÅÅ c N 2 . Resolvendo em termos de v, temos :

v₁2 Dt₀₁2 = L₀2- L₀2JÅÅÅÅÅÅÅv1 c N 2 fl v₁2ADt₀₁2+JÅÅÅÅÅÅÅÅL0 c N 2 E = L02 v12 = 1ì AJ Dt₀₁ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ L0 N 2 +JÅÅÅÅÅ1 c N 2 E fl v1 = cì $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 +J c Dt₀₁ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ L0 N 2

Usando Dt0 na "Vega-1" igual a Dt01, L0 sendo a distância até a estrela Vega

e c a velocidade da luz, temos :

v1= cì $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 + i k jjc ∗ ∆t01 L0 y { zz2 13 c _è!!!!!!!!!! 569 v1 = 13 cë è!!!!!!!!!569 > 0.544988 c > 1, 63383 µ 108 mês como velocidade da nave "Vega-1" : %êê N 0.544988 c

(4)

ê. c → SpeedOfLight 1.63383 × 108Meter

Second

O tempo que terá passado na Terra é a distância até Vega (26 anos-luz) divid-ido pela velocidade da nave "Vega-1", calculada acima :

Dt₁ = ÅÅÅÅÅÅÅÅL0 v₁ ,

ou, substituindo a expressão de v₁ temos o resultado em termos dos dados do enunciado, onde se vê que o tempo relativístico (Dt1) é sempre maior que o

tempo próprio da nave "Vega-1" (Dt0=Dt01) :

Dt₁ = ÅÅÅÅÅÅÅÅL0 c $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 +J c Dt₀₁ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ L0 N 2 = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Dt₀₁2₊J_{ÅÅÅÅÅÅÅÅ}L0 c N 2 ,

Ou seja, na Terra terá passado 2 è!!!!!!!!!569 anos ou aprox. 47, 7074 anos :

∆t1= $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%∆t012+J L0 c N 2 êê PowerExpand 2 è!!!!!!!!!!569 Year %êê N 47.7074 Year

b) No referencial da Terra, a distância é L0 = 26anos-luz, logo o intervalo de

tempo medido na Terra para a ida de "Vega-2", Dt₂, é simplesmente : Dt₂ = ÅÅÅÅÅÅÅÅL0

v₂ ,

onde v₂ = 0, 95 c é a velocidade de "Vega-2". Numericamente, Dt₂ _{> 27, 3684 anos :} ∆t2= L0 v2 27.3684 Year

(5)

O relógio de bordo da nave "Vega-2" mede o tempo próprio Dt0, que deve ser

calculado. A distância de 26 anos-luz ficará contraída no referencial da nave "Vega-2" :

L2 =

L₀ ÅÅÅÅÅÅÅÅ

g ,

Como se quer calcular Dt0, então usaremos a expressão da velocidade usando

quantidades medidas no referencial da nave espacial :

v2 = L₂ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Dt₀₂ fl Dt02 = L₂ ÅÅÅÅÅÅÅÅ v2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅL0 g₂v2 fl Dt₀₂ = ÅÅÅÅÅÅÅÅL0 v2 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 -JÅÅÅÅÅÅÅv2 c N 2 .

numericamente, Dt₀₂ _{> 8, 54579 anos é o tempo de viagem da nave "Vega-2"} no referencial da mesma : ∆t02= L0 v2 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 −Jv2 c N 2 8.54579 Year

Quem chegará primeiro ? "Vega-2" foi lançada 20 anos depois de "Vega-1", no referencial da Terra, então temos :

∆t2+ 20 Year < ∆t1êê N

47.3684 Year < 47.7074 Year

Logo "Vega-2" chegará primeiro que "Vega-1". A diferença de tempo é pequena, 0, 339021 anos _{> 123, 743 dias :}

∆t1−H∆t2+ 20 YearL êê N

0.339021 Year

Convert@%, DayD 123.743 Day

(6)

ü Análise gráfica do tempo próprio Dt0¥ v (Material Opcional)

Vemos abaixo que o intervalo de tempo próprio (medido no referencial iner-cial que antes se acelerou para atingir a velocidade v) é sempre menor que o intervalo de tempo medido no referencial inercial externo (que sempre se manteve sem aceleração, i.e., inercial). Quando v Ø c temos que a razão entre intervalo de tempo próprio e intervalo de tempo tende a 0, Dt₀ê Dt Ø 0. Mas somente objetos sem massa podem atingir a velocidade da luz c, como as ondas eletromagnéticas (ou fótons) e outros portadores de campos (grávitons, etc).

Dessa forma, podemos dizer que um fóton de luz que foi emitido por uma estrela a 1 bilhão de anos atrás (a uma distância de 1 bilhão de anos-luz) e chegou até nós na Terra, gastou um intervalo de tempo próprio igual Dt0 a 0

(7)

Clear@vφD; PlotA"#######################1 −HvvL2,8vv, 0, 1<,

TextStyle →8FontSize → 12<, AxesLabel → 8"vêc", "∆t0ê∆t"<,

PlotStyle →8Thickness@0.006D, RGBColor@0, 0, 1D<, PlotRange → AllE;

0.2 0.4 0.6 0.8 1 vêc 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ∆t0ê∆t

c) A razão das energias cinéticas relativísticas de cada é : K₂ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ K₁ = H g₂- 1L m₂c2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hg1- 1L m1c2 = HÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2- 1L m1ê 5 Hg1- 1L m1 = HÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2- 1L 5 Hg₁- 1L ,

Calculemos cada g o mais exatamente possível em termos dos dados do enun-ciado : g₁ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 ÅÅÅÅÅÅÅ "#######################_{1 -}_Hv 1êcL2 , com v1 = cì$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 +J c Dt₀₁ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ L0 N 2 g₁ = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 +JÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅc Dt01 L₀ N 2 ì$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 +JÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅc Dt01 L₀ N 2 - 1 = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 +JÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅL0 c Dt₀₁ N 2

(8)

g₂ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 ÅÅÅÅÅÅÅ "#######################_{1 -}_Hv 2êcL2 , com v₁ = 0, 95 c Os valores de g são g₁ = è!!!!!!!!!569 ë 20 > 1, 19269 e g₂ _{> 3, 20256 :} γ1= $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 + i k jj L0 c ∗ ∆t01 y { zz2 è!!!!!!!!!!₅₆₉ 20 %êê N 1.19269 γ2= i k jjjjj jj1ì $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 −J v2 c N 2y { zzzzz zz 3.20256

Logo a razão das energias usadas para mover "Vega-2" e "Vega-1" é aprox. 2, 28617, i.e., "Vega-2" tem consume mais do que o dobro de energia de "Ve-ga-1" apesar de ter 1ê 5 da massa de "Vega-1" (isso é pouca da velocidade de "Vega-2" ser bem superior).

γ2− 1

5 Hγ1− 1L

2.28617

ü Análise gráfica do energia cinética K ¥ v (Material Opcional)

Quando v Ø c vemos que a energia cinética diverge (i.e., tende a infinito), logo é impossível acelerar um objeto massivo (com massa não-nula) até a velocidade da luz c, pois isso exigiria uma energia cinética infinita.

Mas é sim possível obter velocidades muito próximas da velocidade da luz, o que é meramente uma questão tecnológica. Aqui vemos a energia cinética para uma nave espacial de 50 toneladas, em termos da velocidade v (em ter-mos de c, que é uma barreira, i.e., assíntota vertical) :

(9)

Clear@vφD; PlotAEvaluateAi k jjjjjj 1 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 −HcvL2 − 1y { zzzzzz∗m∗c2ê. 9m → 50 ∗ 103 , c −> SpeedOfLight Meterê Second=E, 8cv, 0, 0.9999999<, TextStyle → 8FontSize → 12<, AxesLabel → 8"vêc", "K"<,

PlotStyle →8Thickness@0.006D, RGBColor@0, 0, 1D<, PlotRange → 80, 6 ∗ 1022<E;

0.2 0.4 0.6 0.8 1 vêc 1 × 1022 2 × 1022 3 × 1022 4 × 1022 5 × 1022 6 × 1022 K

2 a

Questão

Capítulo 38 - Relatividade, Problema 45P - Em uma colisão de alta energia entre uma partícula dos raios cósmicos e uma partícula da parte superior da atmosfera terrestre, 120 km acima do nível do mar, é criado um píon. O píon possui uma energia total de E de 1, 35 µ 105 MeV e está viajando verticalmente para baixo. No referencial de repouso do píon, o píon decai 35, 0 ns após ser criado. Em que altitude acima do nível do mar, do ponto de vista de um observador terrestre, ocorre este

decaimento ? A energia de repouso do píon é 139, 6 MeV.

Solução : São dados :

(10)

Symbolize@h0D; Symbolize@∆t0D; Symbolize@EtD; Symbolize@E0D;

Symbolize@vh0D; Symbolize@v∆t0D; Symbolize@vEtD; Symbolize@vE0D;

vh0= 120 ∗ 103 Meter; vEt= 1.35 ∗ 105MeV; v∆t0= 35.0 ∗ 10−9 Second; vE0= 139.6 MeV;

A altitude em que ocorre o decaimento pode ser obtida calculando a distância vertical d percorrida pelo píon no referencial da Terra :

d = v Dt ,

onde v é a velocidade do píon e Dt a duração da vida dele antes de decair, medida no referencial da Terra. Logo é necessário obter a velocidade v e o intervalo Dt. Esse último é dado pela dilatação temporal em relação ao inter-valo de tempo próprio Dt₀ :

Dt = g Dt₀,

sendo que g é o fator de Lorentz entre os referenciais inerciais do píon e da Terra, e Dt0 é dado. Logo basta obter g e v para calcular d, mas como g e v

são dependentes entre si :

g = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 "#####################_{1 -}_{Hv êcL}2

,

basta calcular um deles, por exemplo g, para obter o outro.

A energia total relativística Et, bem como a energia de repouso E0 = m c2,

foram dadas. Como sabemos que :

E_t = g m c2 = g E₀,

então g é diretamente obtido e igual a aprox. 967, 049, um valor bem relativís-tico (p 1) :

(11)

vγ = vEt vE0

967.049

tal que o intervalo Dt no referencial da Terra é aprox. 33.846, 7 ns, ou seja muito maior que o intervalo de tempo próprio Dt₀ = 35, 0 ns :

∆t == γ ∗ ∆t0ê. 8γ → vγ, ∆t0→ v∆t0<

∆t == 0.0000338467 Second

Para obter v em termos de g, usamos a equação acima para g :

solv = SolveAγ == $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 1 −Hv ê cL2 , vE 99v → −c è!!!!!!!!!!!!!!!!!−1 + γ2 γ =, 9v → c è!!!!!!!!!!!!!!!!!−1 + γ2 γ ==

Vemos que v é muito próximo de c, a velocidade da luz.

NumberForm@solv@@2DD ê. γ → vγ, 15D 8v → 0.999999465345262 c<

ü Análise gráfica da velocidade em termos de fator de Lorentz, v ¥ g (Material Opcional)

A velocidade v se aproxima rapidamente da velocidade da luz c quando g cresce, mas depois temos uma assíntota tal que v tende a c somente quando g Ø ¶ :

(12)

Clear@vφD; PlotA−1 + γ

γ ,8γ, 1, 50<, TextStyle → 8FontSize → 12<,

AxesLabel →8"γ", "vêc"<, PlotStyle → 8Thickness@0.006D, RGBColor@0, 0, 1D<, PlotRange → All, Epilog →8Dashing@80.01, 0.01<D, Line@880., 1<, 81000., 1<<D<E;

10 20 30 40 50 γ 0.2 0.4 0.6 0.8 1 vêc

Usando tal resultado e a dilatação temporal na equação para d :

d == v ∗ ∆tê. 8∆t → γ ∗ ∆t0, solv@@2, 1DD<

d == c è!!!!!!!!!!!!!!!!!−1 + γ2 _∆t 0

O que em termos de Et e E0 fica :

%ê. γ → Et E0 d == c$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%−1 + Et2 E02 ∆t0 %ê. γ → Et E0 d == c$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%−1 + Et2 E₀2 ∆t0

(13)

Ou seja, a distância d em termos dos dados fornecidos é : d = c Dt0 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%J E_t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ E0 N 2 - 1 , e numericamente, d _{> 10.147 m :} %ê. 8c → SpeedOfLight, Et→ vEt, E0→ vE0, ∆t0→ v∆t0< d == 10147. Meter

Finalmente, a altura pedida é h = h₀- d, ou simplesmente :

h = h₀- c Dt₀ $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%JÅÅÅÅÅÅÅÅÅEt E₀ N 2 - 1 . ou seja, h > 109, 853 km : vh0− %@@2DD 109853. Meter

3 a

Questão

Capítulo 39 - Fótons e Ondas de Matéria, Problema 64P, extendido - A resolução de um microscópio depende do comprimento de onda usado; o menor objeto que pode ser resolvido tem dimensões da ordem do comprimento de onda. Suponha que estejamos interessados em "observar" o interior de um átomo. Como um átomo tem um diâmetro da ordem de 10 pm.

a) Se um microscópio eletrônico for usado para este fim, qual deverá ser, no mínimo, a energia dos elétrons ?

b) Se um microscópio óptico for usado, qual deverá ser, no mínimo, a energia dos fótons ? c) Qual dos dois microscópios parece ser mais prático ? Por quê ?

Solução :

São dados (ou via tabelas) :

(14)

Symbolize@meD; Symbolize@KfD;

Symbolize@vmeD; Symbolize@vKeD; Symbolize@vKfD;

vd = 10 ∗ 10−12 Meter; vme= 9.11 ∗ 10−31 Kilogram;

a) O comprimento de onda l deve ser da ordem da dimensão d = 10 pm, i.e., l = 10 pm. Logo para um microscópio eletrônico (que usa elétrons), o compri-mento de onda de de Broglie deve ser tal l. A energia cinética relativística Ke

dos elétrons é obtida via a energia relativística total E_e e a energia relativís-tica de repouso E0 :

Ee = Ke+ E0 = Ke+ mec2 .

Tal energia E_e está relacionada com o comprimento de onda de de Broglie l via o momento linear p :

p = ÅÅÅÅÅh l ,

sendo que a relação relativística entre Ee e p é dada por :

Ee2 = Hp cL2+ Hmec2L 2

. Logo, podemos escrever K em termos de l :

Ke = E_e- m_ec2 = "##################################Hp cL2₊ Hm ec2L2 - mec2 = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%J h c ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ l N 2 + Hm_ec2L2 _{- m} ec2.

Substituindo numericamente as constantes e dados do problema, temos Ke > 2, 37525 µ 10-15 J > 14, 8252 KeV :

(15)

vKe= i k jjjjj jj$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%i_kjjh cλ y { zz2+ Hmec2L2 − mec2êê. 8h → PlanckConstant,

c → SpeedOfLight, me→ vme, λ → vd, Joule → Kilogram ∗ Meter2ê Second2< êê

PowerExpand y { zzzzz

zz ê. Kilogram ∗ Meter2ê Second2−> Joule 2.37525 × 10−15Joule

vKe= Convert@vKe, ElectronVoltD

14825.1 ElectronVolt

b) Para microscópio óptico, o comprimento de onda l da onda eletromag-nética deve ser da ordem da dimensão d = 10 pm, i.e., l = 10 pm. A energia cinética relativística K_f dos fótons é igual à energia relativística total E_f pois os fótons têm massa nula (logo a energia relativística de repouso E0 é nula) :

E_f = K_f + E₀ = K_f + 0 J = K_f ,

Tal energia Ef está relacionada com o comprimento de onda via a frequência

f = vêl = cêl :

E_f = h f = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅh c l ,

pois a velocidade v das ondas eletromagéticas (e dos fótons) é a velocidade da luz c. Portanto a energia cinética relativística Kf é simplesmente :

K_f = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅh c l .

O que numericamente resulta em Kf > 1, 98645 µ 10-14 J > 123, 984 KeV :

vKf= h c λ êê. 8h → PlanckConstant, c → SpeedOfLight, λ → vd< 1.98645 × 10−14Joule vKf= Convert@vKf, ElectronVoltD 123984. ElectronVolt

(16)

c) O microscópio eletrônico gasta aproximadamente 12 % da energia do microscópio óptico : vKe vKf 0.119573

logo o microscópio eletrônico é mais prático por gastar menos energia para ter a mesma capacidade de resolução.

ü Análise gráfica da energia gasta com os dois microscópios em função do comprimento de onda, K ¥ l (Material Opcional)

Exibindo o gráfico das energias gastas com o microscópio eletrônico, K_e (linha azul), e o microscópio óptico, Kf (linha vermelha), em função do

com-primento de onda l, observa-se que tais energias crescem rapidamente quando l Ø 0 pm, com comportamento aproximadamente hiperbólico e exata-mente hiperbólico, respectivaexata-mente.

No entanto, o gráfico abaixo não permite facilmente observar como se com-porta a razão Keê Kf. 9ConvertAi k jjjjj jj$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%i_kjjh cλ y { zz2+ Hmec2L2 − mec2êê. 8h → PlanckConstant, c → SpeedOfLight, me→ vme,

λ → cλ ∗ 10−12_{Meter, Joule → Kilogram ∗ Meter}2ê Second2< êê Simplify êê PowerExpandy

{ zzzzz zz ê. Kilogram ∗ Meter2ê Second2_{−> Joule, ElectronVolt}E, ConvertA

h c λ êê. 8h → PlanckConstant, c → SpeedOfLight, me→ vme, λ → cλ ∗ 10 −12_Meter_<, ElectronVoltE= 96.24151 × 1018i k jjjj−8.18766×10−14₊ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3.94597 × 10−26+ 6.70378 × 10−27cλ2 cλ y { zzzz ElectronVolt, 1.23984 × 106ElectronVolt cλ =

(17)

PlotAEvaluateA%

103_ElectronVoltE, 8cλ, 0, 200<,

TextStyle →8FontSize → 12<, AxesLabel → 8"λHpmL", "KHKeVL"<, PlotStyle →

88Thickness@0.006D, RGBColor@0, 0, 1D<, 8Thickness@0.006D, RGBColor@1, 0, 0D<<,

PlotRange →80, 500<, Epilog → 8Dashing@80.01, 0.01<D, Line@8810., 0.<, 810., 500.<<D<E;

50 100 150 200 100 200 300 400 500 KHKeVL

Analisando a razão K_eê K_f, vemos que o microscópio eletrônico sempre gasta menos energia que o óptico, e para grandes comprimentos de onda essa diferença é cada vez maior, e para l Ø 0 pm as energias se igualam.

O microscópio óptico é mais fácil de construir, porém quando l fica muito pequeno ele consome muita energia, quando então a economia de energia do microscópio eletrônico compensa a maior complexidade de construção do mesmo.

(18)

%%@@2DD 5.03412 × 1012_cλi k jjjj−8.18766×10−14₊ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3.94597 × 10−26+ 6.70378 × 10−27cλ2 cλ y { zzzz

Plot@%, 8cλ, 0, 200<, TextStyle → 8FontSize → 12<, AxesLabel → 8"λHpmL", "KeêKf"<,

PlotStyle →8Thickness@0.006D, RGBColor@0, 0, 1D<, PlotRange → All, Epilog →8Dashing@80.01, 0.01<D, Line@8810., 0.<, 810., 500.<<D<D;

50 100 150 200 0.2 0.4 0.6 0.8 1 KeêKf

(19)

4 a

Questão

Capítulo 40 - Mais Ondas de Matéria, Problema 35E, extendido - Quais são : a) a energia,

b) o módulo do momento (linear),

c) a frequência (com a classificação da mesma em termos de raios-X, gama, etc) e o comprimento de onda

do fóton emitido quando um átomo de hidrogênio sofre uma transição de um estado com n = 3 para um estado com n = 1 ? E se a transição for gradual, de estado com n = 3 para n = 2 e depois n = 2 para n = 1 ? Quais são os nomes das séries de transição para cada caso ?

Solução : São dados : n_i = 3, n_f = 1.

Symbolize@meD; Symbolize@ε0D;

Symbolize@vEf31D; Symbolize@vEf32D; Symbolize@vEf21D;

Symbolize@vpf31D; Symbolize@vpf32D; Symbolize@vpf21D;

a) A energia de um estado do átomo de hidrogênio com nível n é dada por : En = -m_ee4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 He₀ hL2 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅ n2 ,

logo a diferença de energia entre os estados E₃ e E₁ é : DE = E₃- E₁ = - mee 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 He0 hL2 JÅÅÅÅÅÅÅÅ1 32 -1 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 12 N = mee4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 He0 hL2 , e é liberada na forma de um fóton com a mesma energia, Ef > 1, 93767 µ 10-18 J > 12, 094 eV :

(20)

vEf31=

9 Hε0 hL2

êê. 8me−> ElectronMass, e → ElectronCharge,

ε0−> VacuumPermittivity, h → PlanckConstant, Joule →HKilogram ∗ Meter2ê Second2L,

Ampere −> Coulombê Second, Volt → Joule ê Coulomb< ê. Kilogram ∗ Meter2ê Second2−> Joule 1.93766 × 10−18Joule Convert@%, ElectronVoltD 12.0939 ElectronVolt Entre os estados E3 e E2 : DE = E₃- E₂ = - mee 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 He0 hL2 JÅÅÅÅÅÅÅÅ1 32 -1 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 22 N = 5 m_ee4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 288 He0 hL2 , e é liberada na forma de um fóton com a mesma energia, Ef > 3, 0276 µ 10-19 J > 1, 88968 eV : vEf32= 5 mee4 288 Hε0 hL2 êê. 8me−> ElectronMass, e → ElectronCharge,

Ampere −> Coulombê Second, Volt → Joule ê Coulomb< ê. Kilogram ∗ Meter2ê Second2_{−> Joule}

3.0276 × 10−19Joule Convert@%, ElectronVoltD 1.88968 ElectronVolt Entre os estados E₂ e E₁ : DE = E₂- E₁ = - mee 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 He0 hL2 JÅÅÅÅÅÅÅÅ1 22 -1 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 12 N = 3 mee4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 32 He0 hL2 , e é liberada na forma de um fóton com a mesma energia, E_f _{> 1, 63491 µ 10}-18_{J > 10, 2043 eV :} vEf21= 3 mee4 32 Hε0 hL2 êê. 8me−> ElectronMass, e → ElectronCharge,

Ampere −> Coulombê Second, Volt → Joule ê Coulomb< ê. Kilogram ∗ Meter2ê Second2_{−> Joule}

(21)

Convert@%, ElectronVoltD 10.2043 ElectronVolt

b) O momento linear p desse fóton em termos da energia relativística total Ef

é simples de calcular, visto que a massa de repouso do fóton é nula : E_f2 = Hp_f cL2+ HE₀L2 = Hp_f cL2, portanto : pf = Ef ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ c ,

o que numericamente resulta em p31 > 6, 46336 µ 10-27 kg mês :

vpf31=

vEf31

c ê. 8c → SpeedOfLight, Joule → HKilogram ∗ Meter

2_{ê Second}2_L< 6.46335 × 10−27Kilogram Meter Second em p₃₂ _{> 1, 0099 µ 10}-27 kg mês : vpf32= vEf32

2ê Second2L< 1.0099 × 10−27Kilogram Meter Second e em p21 > 5, 45346 µ 10-27 kg mê s : vpf21= vEf21

2_{ê Second}2_L<

5.45345 × 10−27Kilogram Meter

Second

c) O comprimento de onda l está relacionado com o momento linear p via a relação de de Broglie :

l = ÅÅÅÅÅÅh p , e a frequência f é simplesmente :

(22)

f = ÅÅÅÅÅ l ,

o que resulta em l31 > 102, 518 nm e f > 2, 9243 µ 1015 Hz, que está na

faixa do ultravioleta. Pertence à série de Lyman :

h

vpf31

êê. 8h → PlanckConstant, Joule → HKilogram ∗ Meter2ê Second2_L<

1.02518 × 10−7Meter c % ê. c → SpeedOfLight 2.9243 × 1015 Second

l₃₂ _{> 656, 112 nm e f > 4, 56922 µ 10}14_{Hz, está na faixa do vermelho e}

pertence à série de Balmer :

h

vpf32

êê. 8h → PlanckConstant, Joule → HKilogram ∗ Meter2ê Second2_L<

l₂₁ _{> 121, 502 nm e f > 2, 46738 µ 10}15_{Hz, que está na faixa do}

ultravio-leta e pertence à série de Lyman :

h

vpf21

êê. 8h → PlanckConstant, Joule → HKilogram ∗ Meter2_{ê Second}2_L<