Plano de Pesquisa Título: Controle da Turbulência em Plasmas

Plano de Pesquisa

Título: Controle da Turbulência em Plasmas

Supervisor: Iberê Luiz Caldas

Instituição: Instituto de Física, Universidade de São Paulo

(Bolsista de produtividade do CNPq, nível 1B)

I­ Introdução

Para o sucesso das experiências de confinamento magnético de plasmas é necessário superar algumas limitações, como a inesperada perda de partículas que saem do plasma confinado e se dirigem para a parede do tokamak. Muitas experiências realizadas recentemente confirmaram que esse transporte anômalo depende das configurações dos campos elétrico e magnético na borda do plasma.

Neste projeto o bolsista de pós-doutoramento investigará os efeitos dessas configurações sobre o transporte caótico de partículas no plasma. Nessa investigação o plasma confinado será descrito por uma formulação hamiltoniana. O campo elétrico de equilíbrio será alterado pela modificação do seu perfil radial na borda do plasma, conforme experiências já em desenvolvimento em alguns tokamaks. O campo magnético será alterado por correntes elétricas externas ressonantes, como as criadas por um limitador magnético ou um diversor.

Investigaremos a turbulência, em um plasma confinado magnéticamente, causada pela excitacão de ondas de deriva na borda do plasma. Nessa investigação o bolsista de pós-doutoramento aplicará teorias básicas sobre o caos hamiltoniano e a turbulência. A teoria desenvolvida será utilizada para a interpretação de experiências realizadas em tokamaks e em helimaks. Para isso analisaremos também as características experimentais da turbulência eletrostática observadas nessas máquinas, em particular no tokamak TCABR da Universidade de São Paulo e o Texas Helimak da Universidade do Texas (Austin). Além disso, o bolsista examinará o controle da turbulência observada por perturbações periódicas elétricas e magnéticas e pelo aumento do potencial elétrico do plasma.

II­ Transporte em Sistemas Hamiltonianos 

  O confinamento magnético de plasmas em tokamaks tem sido investigado para verificar a possibilidade de se construir reatores de fusão termonuclear controlada para gerar energia elétrica. A   máquina   mais   promissora   para   isso   é   o   tokamak   [1].   Essa   linha   de   pesquisa   recebeu, recentemente, um grande impulso com o inicio da construção do tokamak ITER em Cadarache, França, por um consórcio de países.   Para o sucesso da experiência com o ITER é necessário superar algumas dificuldades que limitam o confinamento do plasma em tokamaks. Para isso é necessário investigar, entre outras questões, o transporte anômalo de partículas que saem do plasma confinado e se dirigem para a parede do tokamak [2, 3].

  Muitas   experiências   realizadas   recentemente   confirmaram   que   esse   transporte   anômalo depende das configurações dos campos elétrico e magnético na borda do plasma e ocorre devido às trajetórias caóticas das partículas [2, 4].

  A configuração do campo elétrico na borda influencia o transporte anômalo de partículas na borda   do   plasma,   por   modificar   as   ondas   eletrostáticas   turbulentas   de   freqüências   baixas, conhecidas   como   ondas   de   deriva   [2].   Conforme   observado   em   vários   tokamaks,   essas   ondas determinam o movimento caótico das partículas do plasma e, conseqüentemente, o transporte radial delas para fora do plasma [1].    Por outro lado, a configuração do campo magnético total na borda do plasma, resultante do campo de equilíbrio mais as oscilações naturais ou provocadas por correntes elétricas externas, influencia de forma significativa a interação entre o plasma e a parede interna do vaso toroidal do tokamak [5, 6]. Umas das principais conseqüências dessa configuração é o acúmulo de colisões de partículas em alguns locais dessa parede interna, aquecendo o vaso e liberando íons pesados que contaminam o plasma e degradam o confinamento. Isso ocorre pela existência de linhas de força caóticas do campo magnético na borda, que conduzem as partículas para a parede. A concentração dessas linhas na parede causa a concentração de partículas observada.    Neste projeto, o bolsista investigará os efeitos das configurações dos campos elétrico e magnético, na borda do plasma confinado em tokamaks, sobre o transporte de partículas nessa região. O campo elétrico de equilíbrio será alterado pela modificação da sua amplitude e do seu perfil radial na borda do plasma, conforme experiências já em desenvolvimento [7]. O campo magnético será alterado pela indução do crescimento das oscilações magnéticas na borda do plasma pela alteração dos parâmetros de confinamento, conforme está sendo investigado nas descargas do tipo conhecido como modo H [8].   Além disso, será investigada a origem da turbulência das ondas de deriva. Em particular, será examinado o surgimento de ondas caóticas espaciais e temporais decorrentes do acoplamento das ondas dominantes [9, 10]. Como aplicação à análise proposta, serão analisadas os dados das experiências sobre o controle de turbulência no tokamak TCABR do IF da USP e no Texas Helimak da Universidade do Texas (Austin).  Transporte caótico de partículas Várias evidências experimentais e modelos teóricos indicam que o transporte é determinado pela   deriva   (devido   aos   campos   elétrico   e   magnético   do   equilíbrio)   dos   centros   de   guias   das partículas que seguem o campo magnético [2]. Para interpretar teoricamente o efeito das oscilações eletrostáticas  sobre o transporte, o movimento caótico das partículas  ionizadas do plasma será descrito com um formalismo hamiltoniano [2, 5].

  Com   a   hamiltoniana   usada   descrevemos   o   movimento   dos   centros   de   guias   dos   íons confinados em tokamaks, sob o efeito das ondas eletrostáticas de deriva [2]. Essa hamiltoniana é do tipo quase­integrável, ou seja, ela é uma soma de uma hamiltoniana integrável, que descreve o movimento dos centros de guia dos íons sob a ação dos campos elétrico e magnético de equilíbrio, e de uma perturbação que descreve o movimento causado por ondas eletrostáticas de deriva, que foram medidas nas experiências citadas anteriormente. No modelo considerado, o plasma possui um campo magnético uniforme na direção na direção toroidal.   Com essa hamiltoniana, foi iniciada uma análise da dinâmica das trajetórias dos centros de guia no espaço de fase do sistema perturbado. Para isso, integramos as equações de Hamilton numericamente para obter os mapas de Poincaré em uma seção poloidal (em um ângulo toroidal fixo).

  Consideraremos   inicialmente   o   caso   integrável   em   que   o   movimento   dos   centros   é perturbado por apenas uma onda de deriva, para depois   estudar a perturbação causada por duas

ondas de deriva e também um conjunto de várias ondas. Assim, identificaremos o mecanismo do surgimento do caos, no espaço de fase do sistema, a partir da quebra das separatrizes da grade de ilhas criadas pela ressonância dominante perturbada pelas demais ressonâncias. Com isso estaremos analisando o surgimento de regiões caóticas confinadas e a transição para o caos global que leva ao transporte anômalo na direção radial [2]. Também analisaremos como essa instabilidade dinâmica, induzida pelas bifurcações, depende das amplitudes e das freqüências das oscilações de deriva.   A   seguir,   serão   consideradas   as   freqüências,   números   de   onda   e   amplitude   das   ondas correspondentes   às   observadas   em   experiências   realizadas   no   tokamak   TCABR   [7,   8].   Essas medidas sobre a turbulência na borda desses tokamaks estão disponíveis e serão consideradas neste trabalho. Assim, a turbulência considerada será descrita como uma superposição de ondas de deriva, caracterizadas   como   uma   superposição   de   modos   poloidais   e   toroidais.   Serão   considerados equilíbrio com potenciais elétricos monotônicos e não monotônicos.  A seguir será analisado a alteração no transporte pelo campo magnético da corrente de plasma. Também será investigada a formação de barreiras localizadas em superfíes não twists. Transporte de linhas de um campo magnético caótico  Como usual, o equilíbrio magnetohidrodinâmico (mhd) será descrito pelas soluções, F, da equação de Grad­Shafranov [5]. Nós usaremos coordenadas toroidais polares (rt, qt, j), para as quais

as   funções   de   fluxo   F   =   F   (rt),   i.   e.,   as   soluções   dessas   equações   podem   ser   escritas   como

dependentes   apenas   da   coordenada   radial   desse   sistema   de   coordenadas   [11].   Essas   soluções analíticas aproximadas podem ser obtidas para perfis realistas como os observados nas descargas de tokamaks com os modos L e H. A partir de F podemos obter o campo magnético B (B = grad F) e as linhas desse campo (integrando a equação Bxdl = 0). 

  Essas   soluções   analíticas   descrevem   superfícies   toroidais   concêntricas   e   com   secções circulares, em termos dessas coordenadas usadas. Portanto, as intersecções dessas superfícies, numa secção poloidal, são círculos concêntricos.   A seguir vamos considerar as linhas do campo magnético  perturbadas por ressonâncias devidas aos modos toroidais e poloidais [12­ 14]. Para perfis monotônicos do fator de segurança, essas perturbações criam cadeias de ilhas magnéticas parcialmente destruídas e regiões caóticas entre essas cadeias [14]. Para perfis não monotônicos, são criadas cadeias de ilhas dimerizadas, com a formação de uma barreira que dificulta o transporte das linhas caóticas na região dessas ilhas. Serão   estudados   os   processos   de   dimerização   e   bifurcação   que   ocorrem   com   a   variação   da amplitude da perturbação. Faremos também uma comparação do transporte das linhas de campo para equilíbrios com perfis da transformada rotacional monotônicos e não monotônicos [15­ 17]. Atenção especial será dedicada à distribuição  das linhas de campo na parede do tokamak. As propriedades   estudadas   serão   associadas   às   variedades     dos   pontos   fixos   dos   mapas   e   o correspondente caos heteroclínico. As perturbações consideradas serão as criadas por um limitador  magnético [12] ou um diversor [18]. Ambos têm sido usados para controlar as flutuações do campo magnético na borda do plasma. Transporte em mapas caóticos  Conforme um parâmetro de um sistema é variado podem ocorrer bifurcações ­ alterações topológicas abruptas, como a perda de estabilidade de um ponto fixo. Uma dessas alterações é a transição para o caos global (em oposição ao caos de separatriz presente apenas em estreitas faixas no espaço de fases). A determinação do transporte, que pode ser fortemente afetado pela transição para o caos global, em modelos de tokamak em regime de cisalhamento reverso (reversed shear) tem recebido considerável atenção (e.g., [28]). É, portanto, de grande interesse a aplicação de um método preciso para a determinação do valor crítico da perturbação para a transição para o caos global. Um método que apresenta grande precisão, e que tem sido extensivamente aplicado no mapa

padrão não­monotônico (SNM) [29], é o de Greene. Tal método não é facilmente aplicado em mapeamentos mais complexos, mas verifica­se que versões generalizadas do SNM constituem boas aproximações locais de modelos para tokamaks mais sofisticados [30], e o estudo de transição para o caos global nessas versões generalizadas permanece inédito. Modelos mais realistas para a dinâmica de linhas de campo em tokamaks podem lançar mão de um número maior de dimensões para descrever de forma acurada as linhas de campo [31]. Em mapas conservativos com mais de duas dimensões (e sistemas contínuos com seis ou mais) as superfícies KAM não podem isolar camadas caóticas que existam ao longo de separatrizes, ao contrário do que ocorre em mapas bidimensionais. Deste modo todas as regiões caóticas devem estar conectadas, havendo difusão entre elas ­ a chamada de difusão de Arnold. O estudo desses sistemas constitui uma linha linha de pesquisa pouco explorada, devido às dificuldades numéricas e teóricas,   cuja   investigação   pode   render   importantes   resultados.   A   caracterização   do   transporte nesses sistemas é de especial interesse do ponto de vista de fundamentos, e os possíveis efeitos da difusão de Arnold em modelos de confinamento de plasma são ainda desconhecidos. A estabilidade de feixes de partículas, descritos por sistemas análogos aos considerados nessa seção, será também investigada, em particular  a dinâmica caótica desses sistemas.

III­ Transporte em Plasmas Turbulentos

Estruturas na turbulência eletrostática da borda do plasma em tokamaks 

O   transporte   turbulento   é   a   principal   causa   do   transporte   anômalo   de   partículas   na turbulência em plasmas confinados magneticamente [32]. Atualmente, há evidências da existência de características universais nessa turbulência [33, 34, 35 36], com a presença de estruturas que contribuem de maneira significativa para o transporte observado [37, 35]. Por outro lado, embora tenha fundamental importância no confinamento, ainda não há consenso teórico sobre a causa e a natureza dessas estruturas [38, 39, 40, 41].   Neste tópico, iremos investigar as estruturas presentes na turbulência eletrostática de borda de plasmas confinados magneticamente. Para isso, analisaremos dados experimentais do tokamak TCABR, localizado em nosso instituto, e do Texas Helimak, da Universidade do Texas (Austin, EUA). As estruturas identificadas nos dados experimentais serão comparadas com as previsões obtidas com o uso de modelos para descrever a origem dessa turbulência [2, 10]. A pesquisa a ser desenvolvida neste tópico possui grande interligação com as pesquisas teóricas sobre turbulência e caos a serem desenvolvidas no presente projeto e estende a pesquisa desenvolvida anteriormente, incorporando dados experimentais sobre os novos regimes de operação do TCABR [7] e de um outro tipo de dispositivo de confinamento magnético, que é o stellarator.   Os  dados serão  analisados  por métodos   espectrais  lineares   e não­lineares,  por  meio  da caracterização estatística de suas distribuições e de seus eventos extremos e com o uso métodos comumente empregados em análises de sistemas caóticos. Estas análises serão empregadas para diversos regimes de operação (determinados a partir dos parâmetros de equilíbrio) das máquinas, bem como para estabelecer o efeito de perturbações aplicadas ao plasma (como a polarização de borda com o uso de eletrodos ou a injeção de ondas de alfvén). Além disso, com o uso de medições em diferentes posições radiais é possível obter perfis radiais.

  As   análises   espectrais   lineares   dos   dados   experimentais   permitem   caracterizar   as distribuições   espectrais,   as   relações   de   dispersão   experimentais   e   diferenciar   as   contribuições espectrais para o transporte turbulento de partículas. As análises espectrais não­lineares permitem identificar acoplamentos entre diferentes componentes espectrais, que compõe a base de algumas previsões   sobre   a   origem   das   estruturas   na   turbulência.   Estes   resultados   são,   portanto,   de fundamental importância para caracterizar a turbulência e definir os parâmetros a serem utilizados

nas simulações.

  Os   eventos   extremos   (bursts  ou   avalóides)   contribuem   de   maneira   significativa   para   o transporte  e  influenciam  de   maneira  significativa  as  pdfs  das  flutuações   turbulentas.   Assim,   a caracterização   estatística   destas   flutuações   permite   determinar,   globalmente,   a   influência   dos eventos   extremos   no   sinal   analisado.   A   forma   típica   destes   eventos,   determinada   por   análise condicional   [34,   35],   pode   então   ser   utilizada   para   comparar   posições   radiais   distintas,   para diferenciar regimes de operação, ou ainda para avaliar o efeito de perturbações sobre as estruturas. Além disso, os eventos extremos determinados nos sinais experimentais podem ser comparados com aqueles obtidos nas simulações [10].   A caracterização da dinâmica da turbulência pode ser aprimorada com o uso de ferramentas de diagnóstico numérico comumente empregadas na análise de sistemas caóticos. Em especial, quantificadores baseados nos gráficos de recorrência, ou recurrence quantification analysis, RQA, têm se mostrado adequados para a análise de dados de flutuações turbulentas de plasmas [42]. Iremos caracterizar a dinâmica dos sinais experimentais por RQA e compará­la com as das séries obtidas com os modelos.   Outro indicador emprestado das análises de sistemas caóticos que tem se mostrado útil para caracterizar   acoplamentos   e   modulações   entre   sinais   experimentais   é   o   parâmetro   de   ordem, recentemente adaptado em nosso grupo para fornecer informação espectral sobre o acoplamento [43]. Com este indicador modificado foi possível estudar a modulação da turbulência eletrostática pela magnética devido às instabilidades MHD. O TCABR é particularmente interessante para a realização deste tipo de estudo porque neste tokamak os espectros das oscilações magnéticas e eletrostáticas apresentam grande sobreposição [43, 8, 44], ao contrário do que se observa na grande maioria dos tokamaks.

IV ­  Equipe de Execução do Projeto 

Bolsistas

Mestrado (orientador: I. L. Caldas) 1. Transporte Caótico em Tokamaks. Rafael Oliveira Suigh. Bolsista da CAPES. IFUSP. Início em  março de 2008. 

2.  Turbulência   e   Transporte   em   Plasmas   Confinados   Magneticamente.   Júlio   Cesar   David   da Fonseca. IFUSP. Bolsista do CNPq. A partir de agosto de 2009.  Doutoramento (orientador: I. L. Caldas) 1­ Controle da Turbulência em Plasmas. Dennis Louzano Toufen (docente do Instituto Federal de Educação, antigo Centro Paula Souza, Guarulhos). IFUSP. A partir de agosto de 2009. Orientador. 2­ Transporte em Plasmas com Cizalhamento Caótico. Wilson Luiz da Costa Façanha. IFUSP. A partir de agosto de 2009. Orientador. Bolsa do CNPq. 3­ Transporte em Sistemas Caóticos em Sistemas Hamiltonianos Não Twists. Celso Vieira Abud. A partir de março de 2010. Orientador. Bolsa da CAPES. Bolsistas de Pós­ Doutoramento (supervisor: I. L. Caldas) 1­ A Interação de Três Ondas e a Turbulência na Borda de Plasmas Confinados Magneticamente.

José Danilo Szezech. Bolsa da FAPESP, a partir de abril de 2008. 2­ Transporte de Impurezas em Plasmas. Adriane Schelin. Bolsa da FAPESP, a partir de junho de 2010. 

Colaboradores

Brasil

São Paulo

Universidade de São Paulo

Dr. Camilo Rodrigues Neto (EACH-USP).

ITA/CTA

Dra. Marisa Roberto (CTA/ITA).

Paraná

Dr. Ricardo Luiz Viana (Universidade Federal do Paraná). Dr. Sergio Roberto Lopes (Universidade Federal do Paraná

Exterior

University of Texas, Austin, EUA

Prof. Philip J. Morrison. Prof. Kentle Gentle. Prof. Wendell Horton. 

Universidade de Provence, Marselha, França

Prof. Sadruddin Benkhada. Dra. Magali Muraglia

Dr. Zwinglio Guimarães de Oliveira Filho

Universität Potsdam, Alemanha

Prof. Jürgen Kurths.

Reinrich-Heine-Universität Düsseldorf, Alemanha

V-

Recursos de Projetos de Pesquisa (sob minha coordenação)

1.CNPq, Projeto Universal sobre Controle de Oscilações, Processo 470601/2007-8, R$ 39.600,00: 01/2007 a 12/2009. Novo Projeto Universal solicitado em 2010.

2.CAPES/PROCAD, Sistemas Dinâmicos Não Lineares, Projeto 0055050. R$ 250.000,00: 01/2006 a 10/2010. Solicitada prorrogação até 10/2011.

3.FAPESP, Projeto Temático em Dinâmica Não-Linear, Processo 07/54000-0, R$ 364.595,70 e US$ 22.390,00. 12/11/07 a 30/11/11.

4.Convênio FAPESP/CNRS. Intercâmbio. Processo 07/54000-0. R$ 39.421,20. 08/2009 a 07/2012.

VI-

Orçamento

Da verba solicitada, R$ 18.000,00 serão gastos para comprar uma estação de trabalho e uma impressora para o bolsista no primeiro ano da bolsa. O restante da verba será utilizada em diárias e passagens para intercâmbio científico. 1º ano  Material permanente: estação de trabalho e impressora: R$ 18.000,00

(Sistema Operacional Red Hat Enterprise Linux WS v5.3 para sistema EM64T 64bit

Processador Intel® Xeon® Quad Core E5506 (2.13GHz, 4MB L3, 4.8GT/S) Memória de 12GB DDR3 RDIMM 1333MHz, ECC (3 DIMMs)

Disco Rígido de 1.5TB SATA 3Gb/s, 7200RPM com 16MB DataBurst Cache™ Disco Rígido de 300GB SATA, 10K RPM com 16MB DataBurst Cache™ Placa gráfica NVIDIA® Quadro® FX 1800, 768MB

Unidade de DVD-ROM 16X

Monitor Dell LCD 20" 2007FP, UltraSharp™, com ajuste de altura VGA/DVI

Placa de Processamento Computacional NVIDIA TESLA C1060)

2º ano

Custeio: R$ 15.000,00

  2   passagens   aéreas   e   diárias   para   estágio   na   Universidade   do   Texas   em   Austin   (EUA)   e participação em conferência nos EUA.  3º ano Custeio: R$ 15.000,00 2 passagens aéreas e diárias para estágio na Universidade de Provence em Marselha (França) e participação em conferência na Europa. 4º ano Custeio: R$ 12.000,00

2   passagens   aéreas   e     diárias   para   estágio   na   Universidade   do   Texas   em   Austin   (EUA)   e participação em conferência nos EUA. 

Em se tratando de uma trabalho teórico e de análise de dados experimentais, o bolsista utilizará a infraestrutura do Instituto de Física da USP, necessária ao seu trabalho, como a disponível na biblioteca do IF, no sistema de comunicação e Internet, na sala de controle do Laboratório de Física de Plasmas, na sala de computação do Grupo de Controle de Oscilações (sob a coordenação do supervisor). A verba solicitada para material permanente, conforme especificado no orçamento apresentado nesta proposta, será utilizada para, no primeiro ano da bolsa, comprar uma estação de trabalho para o bolsista.

VIII­Referências

[1] R. Hazeltine, S. C. Prager, Physics Today, July (2002) 30. [2] W. Horton, Rev. Mod. Phys. 71 (1999) 735. [3] P. W. Terry, Rev. Mod. Phys. 72 (2000) 109. [4] A. H. Boozer, Rev. Modern Phys. 76 (2004) 1071 [5] P. J. Morrison, Rev. Mod. Phys. 70 (1998) 467. [6] I. L. Caldas, R. L. Viana, M. S. T. Araujo, A. Vannucci, E. C. Silva, K. Ullmann, M. V. A. P. Heller, Braz. J. Phys. 32 (2002) 980. [7] I.C. Nascimento, Y.K. Kuznetsov, J.H.F. Severo, A.M.M. Fonseca, A. Elfimov, V. Bellintani, M. Machida, M.V.A.P. Heller, R.M.O. Galvão, E.K. Sanada, J.I. Elizondo, Nuclear Fusion 45 (2005) 796.

[8]     I.C. Nascimento,   Yu.K. Kuznetsov,   Z.O. Guimarães­Filho,   I.El. Chamaa­Neto,   O. Usuriaga, A.M.M. Fonseca,   R.M.O. Galvão,   I.L. Caldas,   J.H.F. Severo,   I.B. Semenov,   M.V.P. Heller, V. Bellintani,   J.I. Elizondo,   E. Sanada,  Suppression   and   excitation   of   MHD   activity   with

electrically polarized electrode at the TCABR tokamak plasma edge, submetido à Nuclear Fusion. [9] J. D.Szezech,  S. R.Lopes, R. L.Viana, Phys. Letts. A 335 (2005) 294. [10] A.M. Batista, I.L. Caldas, S.R. Lopes, R.L. Viana, W. Horton, P.J. Morrison, Phys. Plasmas 13 (2006) 052511 [11] M. Y. Kucinski, I. L. Caldas, L. H. A. Monteiro, V. Okano, J. Plasma Phys. 44 (1990) 303. [12] E. C. Silva, I. L. Caldas, R. L. Viana, IEEE Trans. Plasma Science 29 (2001) 617. [13] E. C. Silva, I. L. Caldas, R. L. Viana, Phys. Plasmas 8 (2001) 2855. [14] G. Corso, G. Oda, I. L. Caldas, Chaos, Solitons, and Fractals 8 (1997) 1891. [15] F. M. Levinton et al., Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 4417. [16] E. J. Strait et al., Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 4421. [17] P. J. Morrison, Phys. Plasmas 7 (2000) 2279.

[18] A. Punjabi, H. Ali, A. Boozer, Phys. Plasmas 4 (1997) 337. [19] X. Leoncini, Phys. Rev. E 65 046216 (2002). G. M. Zaslavsky, Chaos, Physics Report, 371 (2002) 461. [20] A. J. Lichtenberg, M.A. Lieberman, Regular and Chaotic Motion, Springer (1995).   [25] M. V. A. P. Heller, Z. A. Brasilio, I. L. Caldas, J. Stockel, J. Petrzilka, Physics Plasmas 6 (1999) 846. [26] A. A Ferreira, M. V. A. P. Heller, I. L. Caldas, Phys. Plasmas 7 (2000) 3567 [27] A. A Ferreira, M. V. A. P. Heller, I. L. Caldas, E. A. Lerche, L. F. Ruchko, L. A. Baccalá, Plasma Physics and Controlled Fusion 46 (2004) 669. [28] W. Horton, H.B. Park, J.M. Kwon, D. Strozzi, P.J. Morrison, and D.I. Choi,  Phys. Plasmas  5 (1998) 3910. [29] K. Fuchss et al., Chaos 6 (2006) 033120.  [30] J.S.E. Portela, I. L. Caldas, R. L. Viana, P. J. Morrison, Int. J. Bifurcation Chaos 17 (2007) 1589. [31] H. Wobig and D. Pfirsch,  Plasma Phys. Control. Fusion 43 (2001) 695. [32] J. Wootton, B.A. Carreras, H. Matsumoto, K. McGuire, W.A. Peebles, Ch.P. Ritz, P.W. Terry, S.J. Zweben, Phys. Fluids 2 (1990) 2879. [33] O.E. Garcia et al., Phys. of Plasmas 12 (2005) 062309. [34] G.Y. Antar et al., Phys. Rev. Letters 87 (2001) 65001; [35] G.Y. Antar, G. Counsell, Y. Yu, B. Labombard, P. Devynck, Phys. of Plasmas 10 (2003) 419; [36] B.Ph. van Milligen et al., Phys. of Plasmas 12 (2005) 052507. [37] P. Beyer et al., Phys. Rev. Letters 85 (2000) 4892. [38] Y. Sarazin et al., J. Nuclear Materials 313 (2003) 796. [39] J.D. Callen, Phys. Rev. Letters 94 (2005) 055002. [40] C. Alejaldre et al., Plasma Phys. Control. Fusion 41 (1999) B109;  [41] C. Hidalgo et al., Nucl. Fusion 45 (2005) S266.

[42]  Z. O. Guimarães Filho, I. L. Caldas, R. L. Viana, J. Kurths, I. C. Nascimento, Y. Kuznetsov,

Recurrence Quantification Analysis of Electrostatic Turbulence in Fusion Plasmas, Physics

Let-ters A, 372, 1088-1095 (2008).

[43] Z. O. Guimarães-Filho, I. L. Caldas, R. L. Viana, M. V. A. P. Heller, I. C. Nascimento, Y. Kuznetsov, R. Bengtson, Electrostatic Turbulence Driven by High MHD Activity in TCABR

Toka-mak, Physcis of Plasmas 15, 062501 (2008).

[44] M.V.P. Heller, I.L. Caldas, A.A. Ferreira, E.A.O. Seattone, A. Vannucci, Tokamak turbulence

at the scrape­off layer in TCABR with an ergodic magnetic limiter, Journal of Plasma Physics 73,