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Livro: Introdução à Álgebra Linear
Autores: Abramo Hefez
Cecília de Souza Fernandez
Capítulo 2: Transformação de Matrizes
e Resolução de Sistemas
Sumário
1 Transformação de Matrizes . . . 30
1.1 Transformações Elementares de Matrizes . . . 30
1.2 Forma Escalonada de uma Matriz . . . 32
1.3 Matrizes Elementares e Aplicações . . . 35
O método de eliminação em sistemas de equações lineares consiste em e-fetuar repetidamente transformações elementares sobre um sistema de equa-ções lineares, de modo a ir obtendo sistemas equivalentes, até reduzir o sis-tema original a um sissis-tema de fácil resolução. Neste capítulo, reinterpreta-remos na matriz ampliada associada a um sistema de equações lineares as transformações que se efetuam nos sistemas de equações ao longo do processo de eliminação, explicitando seu caráter algorítmico, ou seja, de procedimento sistemático e efetivo. Esse método é essencialmente devido a Gauss e foi aperfeiçoado por Camille Jordan (França, 1838 - 1922) e, por este motivo, é chamado de eliminação de Gauss-Jordan.
1 Transformação de Matrizes
1.1 Transformações Elementares de Matrizes
Seja A uma matriz m × n. Para cada 1 ≤ i ≤ m, denotemos por Li a
i-ésima linha de A. De nimos as transformações elementares nas linhas da matriz A como se segue:
1) Permutação das linhas Li e Lj, indicada por Li ↔ Lj.
2) Substituição de uma linha Li pela adição desta mesma linha com c
vezes uma outra linha Lj, indicada por Li → Li+ cLj.
3) Multiplicação de uma linha Li por um número real c não nulo, indicada
por Li → cLi.
Por exemplo, vamos efetuar algumas transformações elementares nas li-nhas da matriz 2 1 2 3 2 1 4 0 0 −1 2 3 .
Temos 2 1 2 3 2 1 4 0 0 −1 2 3 −→ L1↔ L3 0 −1 2 3 2 1 4 0 2 1 2 3 , 2 1 2 3 2 1 4 0 0 −1 2 3 −→ L2→12L2 2 1 2 3 1 1/2 2 0 0 −1 2 3 e 2 1 2 3 2 1 4 0 0 −1 2 3 −→ L2→ L2− L1 2 1 2 3 0 0 2 −3 0 −1 2 3 .
Sejam A e B matrizes de ordem m × n. A matriz A é dita ser equivalente por linhas à matriz B se B pode ser obtida de A pela aplicação sucessiva de um número nito de transformações elementares sobre linhas.
Por exemplo, as matrizes 1 0 2 1 −2 3 e 1 0 0 1 0 0 são equivalentes por linhas já que
1 0 2 1 −2 3 −→ L2→ L2− 2L1 1 0 0 1 −2 3 −→ L3→ L3+ 2L1 1 0 0 1 0 3 −→ L3→ L3− 3L2 1 0 0 1 0 0 . Observe que a noção de equivalência de matrizes por linhas corresponde à noção de equivalência de sistemas lineares quando se efetuam as respec-tivas transformações sobre as equações. De fato, a sistemas equivalentes, correspondem matrizes associadas equivalentes, e vice-versa.
Note que se A é equivalente por linhas a uma matriz B, então B é equiva-lente por linhas à matriz A, já que toda transformação elementar sobre linhas é reversível. Mais precisamente, se e representa uma das transformações elementares nas linhas de uma matriz A de ordem m×n, denotando por e(A) a matriz obtida de A aplicando-lhe a transformação e, temos o resultado a seguir.
Proposição 2.1.1. Toda transformação elementar e nas linhas de matri-zes em M(m, n) é reversível, no sentido de que existe uma transformação elementar e0 tal que e0(e(A)) = A e e(e0(A)) = A, para todo A ∈ M(m, n).
Demonstração Se e é uma transformação elementar do tipo Li ↔ Lj, tome
e0 = e. Se e é uma transformação elementar do tipo Li → cLi, tome e0 como
a tranformação Li → 1cLi. Finalmente, se e é uma transformação elementar
do tipo Li → Li + cLj, tome e0 como a tranformação Li → Li− cLj.
Não é difícil o leitor se convencer de que, em cada caso na demonstra-ção anterior, e0 é a única transformação elementar com a propriedade que
e0(e(A)) = A para toda matriz A ∈ M(m, n).
Se A é uma matriz equivalente por linhas a uma matriz B (e, então, B é equivalente por linhas a A), dizemos simplesmente que A e B são matrizes equivalentes.
1.2 Forma Escalonada de uma Matriz
Nesta subseção mostraremos que toda matriz pode ser transformada por meio de uma sequência de transformações elementares sobre linhas numa matriz em uma forma muito especial, a forma escalonada, que será utilizada na próxima seção para resolver sistemas de equações lineares.
Uma matriz m × n será dita estar na forma escalonada se for nula, ou se: 1) o primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é 1;
2) cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero;
3) toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas;
4) se L1, . . . , Lp são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo
da linha Li ocorre na coluna ki, então k1 < k2 < · · · < kp.
Por exemplo, a matriz
0 1 2 0 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
está na forma escalonada, pois todas as condições da de nição anterior são satisfeitas, mas as matrizes
1 0 0 0 0 1 −2 0 0 0 1 0 e 0 3 1 1 0 −1 0 0 0
não estão na forma escalonada, pois a primeira não satisfaz a condição 2, enquanto a segunda não satisfaz a condição 1 (observe que ela também não satisfaz a condição 4).
Cabe aqui uma observação acerca da terminologia que utilizamos. Usu-almente, na literatura, o termo forma escalonada de uma matriz refere-se a uma forma menos especial do que a nossa, a qual vários autores chamam de forma escalonada reduzida. A nossa justi cativa para o uso dessa ter-minologia é que não há razão para adjetivarmos a forma escalonada, pois utilizaremos apenas uma dessas noções.
O resultado que apresentaremos a seguir nos garantirá que toda matriz é equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada. O interesse desse resultado reside no fato que ao reduzir a matriz ampliada associada a um dado sistema de equações lineares à forma escalonada, encontramos um outro sistema equivalente ao sistema dado que se encontra em sua expressão mais simples. Quando aplicado aos sistemas de equações lineares, este resultado é chamado de processo de eliminação de Gauss-Jordan.
Vejamos agora um algoritmo que reduz por linhas uma matriz dada não nula qualquer a uma matriz na forma escalonada. O termo reduzir por linhas signi ca transformar uma matriz usando as transformações elementares sobre linhas. Este processo é também chamado de escalonamento de matrizes. Passo 1. Seja k1 a primeira coluna da matriz dada com algum elemento não
nulo. Troque as linhas entre si de modo que esse elemento não nulo apareça na primeira linha, isto é, de modo que na nova matriz a1k1 6= 0.
Passo 2. Para cada i > 1, realize a transformação Li → Li−
aik1
a1k1
L1.
Repita os Passos 1 e 2 na matriz assim obtida, ignorando a primeira linha. Novamente, repita os Passos 1 e 2 nessa nova matriz, ignorando as duas primeiras linhas etc., até alcançar a última linha não nula.
Passo 3. Se L1, . . . , Lp são as linhas não nulas da matriz obtida após
termi-nar o processo acima e se ki é a coluna na qual aparece o primeiro elemento
não nulo aiki da linha Li, aplique as transformações
Li →
1 aiki
Li para todo 1 ≤ i ≤ p.
Passo 4. Realize na matriz obtida até então as transformações L` → L`− a`kiLi, ` = 1, . . . , i − 1,
para i = 2. Depois para i = 3, e assim por diante, até i = p. Dessa forma, obteremos uma matriz na forma escalonada que é equivalente por linhas à matriz dada.
Estabelecemos assim o seguinte resultado:
Teorema 2.1.2. Toda matriz é equivalente a uma matriz na forma escalo-nada.
Por exemplo, a matriz 1 2 −3 0 0 0 4 2 0 0 0 1/2
é transformada numa matriz na forma escalonada com a seguinte sequência de transformações sobre suas linhas:
1 2 −3 0 0 0 4 2 0 0 0 1/2 −→ L2→ 14L2 1 2 −3 0 0 0 1 1/2 0 0 0 1/2 −→ L3→ 2L3 1 2 −3 0 0 0 1 1/2 0 0 0 1 −→ L1→ L1+ 3L2 1 2 0 3/2 0 0 1 1/2 0 0 0 1 −→ L1→ L1−32L3 L2→ L2−12L3 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 .
Pelo algoritmo acima, deduzimos que qualquer matriz é equivalente a pelo menos uma matriz na forma escalonada. Como em cada passo do algoritmo temos certa margem de escolhas de transformações elementares sobre as li-nhas da matriz, não há aparentemente nenhum motivo para poder a rmar que a forma escalonada de uma dada matriz seja única. Fato é que, não importando qual a sequência de transformações elementares que efetuemos nas linhas de uma dada matriz, no nal do processo chegamos a uma mesma matriz na forma escalonada que é equivalente à matriz dada. Este resultado será provado na última seção do capítulo
1.3 Matrizes Elementares e Aplicações
Uma matriz elementar de ordem n é uma matriz quadrada de ordem n obtida da matriz identidade In a parir da aplicação de uma transformação
elementar, isto é, trata-se de uma matriz da forma E = e(In),
onde e é uma transformação elementar. Por exemplo, a matriz identidade é uma matriz elementar e as matrizes
e(I2) = " 0 1 1 0 # , onde e: L1 ↔ L2,
e e(I3) = 1 1 0 0 1 0 0 0 1 , onde e: L1 → L1+ L2,
são matrizes elementares de ordem 2 e de ordem 3, respectivamente.
Sejam A ∈ M(m, n) e e uma transformação elementar. O próximo re-sultado, cuja demonstração ca como exercício para o leitor (veja Problema 1.3), nos diz que a matriz e(A) pode ser obtida como o produto da matriz elementar e(Im) pela matriz A. Por exemplo, consideremos
A = 1 2 0 1 2 1 .
Se e1: L1 ↔ L2, e2: L1 → 2L1 e e3: L1 → L1+ 2L2, uma rápida veri cação
nos mostra que e1(A) = e1(I3)A, e2(A) = e2(I3)A e e3(A) = e3(I3)A.
Teorema 2.1.3. Seja e uma transformação elementar sobre matrizes de M(m, n). Considere a matriz elementar E = e(Im). Então
e(A) = EA, para todo A ∈ M(m, n). Como consequência do Teorema 2.1.3, temos
Corolário 2.1.4. Sejam A e B em M(m, n). Então, A é equivalente a B se, e somente se, existem matrizes elementares E1, . . . , Es de ordem m tais
que
Es· · · E2 E1 A = B.
Demonstração Por de nição, A é equivalente a B quando existem trans-formações elementares e1, . . . , es tais que
es(. . . (e2(e1(A))) . . . ) = B.
Mas, pelo teorema anterior, a igualdade acima equivale a Es· · · E2 E1 A = B,
onde Ei = ei(Im), para cada 1 ≤ i ≤ s.
Corolário 2.1.5. Toda matriz elementar é invertível e sua inversa também é uma matriz elementar.
Demonstração Seja E uma matriz elementar. Seja e a transformação elementar tal que E = e(I). Se e0 é a transformação elementar inversa de e e
se E0 = e0(I), pelo Teorema 2.1.3 temos
I = e0(e(I)) = e0(E) = e0(I)E = E0E e
I = e(e0(I)) = e(E0) = e(I)E0 = E E0. Logo, E é invertível e E−1 = E0.
Pelo Corolário 2.1.5 sabemos como inverter uma matriz elementar. Por exemplo, se considerarmos as matrizes
A = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 e B = 1 2 0 0 1 0 0 0 1 ,
podemos concluir que A e B são invertíveis, já que A e B são matrizes elementares. De fato, A = e1(I3) com e1: L1 ↔ L2 e B = e2(I3) com
e2: L1 → L1+ 2L2. Pelo Corolário 2.1.5, A−1 = e01(I3), onde e01 é a
trans-formação elementar inversa de e1 e B−1 = e02(I3), onde e02 é a transformação
elementar inversa de e2. Mais precisamente,
A−1 = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 e B −1 = 1 −2 0 0 1 0 0 0 1 .
A seguir, apresentamos o resultado central desta seção que caracteriza as matrizes invertíveis.
Teorema 2.1.6. Para uma matriz quadrada A de ordem n, são equivalentes as seguintes a rmações:
(ii) Se B é uma matriz na forma escalonada equivalente a A, então B = In;
(iii) A é uma matriz elementar ou um produto de matrizes elementares. Demonstração Vamos começar provando a implicação (i) ⇒ (ii). Com efeito, como B é equivalente a A, pelo Corolário 2.1.4, existem matrizes elementares E1, E2, . . . , Es tais que
Es· · · E2 E1 A = B.
Como, pelo Corolário 2.1.5, cada Ei é invertível e A, por hipótese, é
inver-tível, temos que B é invertível (cf. Proposição 1.2.4). Por outro lado, pelo Problema 1.7, temos que B = In.
A implicação (ii) ⇒ (iii) é evidente, já que A = E−1
1 E
−1 2 · · · E
−1
s B, onde
B = In e cada Ei−1 é uma matriz elementar (cf. Corolário 2.1.5).
A implicação (iii) ⇒ (i) é evidente, pois matrizes elementares são invertíveis e produtos de matrizes invertíveis são invertíveis (cf. Proposição 1.2.4). Observe, como decorrência do resultado acima, que uma matriz quadrada invertível é equivalente a uma única matriz na forma escalonada (a matriz identidade), cando estabelecida, neste caso, a unicidade da forma escalo-nada.
Finalizamos esta seção apresentando um método para inversão de matri-zes por meio de transformações elementares.
Proposição 2.1.7. Sejam A uma matriz invertível e e1, . . . , es uma
sequên-cia de transformações elementares tais que es(. . . (e2(e1(A))) . . . ) = I, onde
I é a matriz identidade. Então essa mesma sequência de transformações elementares aplicada a I produz A−1; isto é, e
s(. . . (e2(e1(I))) . . . ) = A−1.
Demonstração Para cada 1 ≤ i ≤ s, seja Ei a matriz elementar
corres-pondente à transformação ei. Então
Es· · · E2 E1 A = I .
Assim,
donde
Es· · · E2 E1 I = A−1.
Para ilustrarmos o uso do Teorema 2.1.6 e da Proposição 2.1.7, conside-remos a matriz A = 1 0 2 2 −1 3 4 1 8 .
Se aplicarmos uma sequência de transformações elementares em A até obter-mos uma matriz B na forma escalonada, pelo Teorema 2.1.6, A é invertível se, e somente se, B = I3. Se B = I3, pela Proposição 2.1.7, essa mesma
sequência de transformações elementares aplicada a I3 resultará em A−1.
As-sim, vamos formar a matriz em blocos A | I3
e vamos reduzir esta matriz 3 × 6 a uma matriz na forma escalonada. De fato,
A | I3 = 1 0 2 | 1 0 0 2 −1 3 | 0 1 0 4 1 8 | 0 0 1 −→ L2→ L2− 2L1 L3→ L3− 4L1 1 0 2 | 1 0 0 0 −1 −1 | −2 1 0 0 1 0 | −4 0 1 −→ L2→ −L2 1 0 2 | 1 0 0 0 1 1 | 2 −1 0 0 1 0 | −4 0 1 −→ L3→ L3− L2 1 0 2 | 1 0 0 0 1 1 | 2 −1 0 0 0 −1 | −6 1 1 −→ L3→ −L3 1 0 2 | 1 0 0 0 1 1 | 2 −1 0 0 0 1 | 6 −1 −1 −→ L1→ L1− 2L3 L2→ L2− L3 1 0 0 | −11 2 2 0 1 0 | −4 0 1 0 0 1 | 6 −1 −1 . Como obtemos uma matriz na forma I3 | C
, temos que A é invertível e C = A−1. Assim, A−1 = −11 2 2 −4 0 1 6 −1 −1 .
Consideremos agora a matriz A = 1 0 1 0 2 1 3 0 3 .
Ao reduzirmos a matriz em blocos A | I3
a uma matriz na forma esca-lonada, obtemos a matriz B | C, onde B =
1 0 1 0 1 1/2 0 0 0 e, portanto, diferente de I3. Logo, A não é invertível por ser equivalente a uma matriz
com uma linha nula (cf. Problema 1.7). Problemas 1.1* Seja A = " 2 1 −1 3 # .
(a) Obtenha a forma escalonada de A. (b) A é invertível? Justi que.
(c) Se A for invertível, escreva a matriz A−1 como um produto de matrizes
elementares.
1.2 Determine a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas: (a) A = " 12 7 5 3 # ; (b) B = −2 3 −1 1 −3 1 −1 2 −1 ; (c) C = −2 −1 0 2 3 1 −2 −2 −4 −1 2 3 3 1 −1 −2 . 1.3 Demonstre o Teorema 2.1.3.
1.4 Determine a forma escalonada das matrizes: (a) A = 0 1 3 −2 2 1 −4 3 2 3 2 −1 ; (b) B = 1 2 −1 2 1 2 4 1 −2 3 3 6 2 −6 5 ; (c) C = 1 3 −1 2 0 11 −5 3 2 −5 3 1 4 1 1 5 .
1.5 Uma certa sequência de transformações elementares aplicadas a uma matriz A produz uma matriz B. A mesma sequência aplicada a AB produzirá que matriz? Justi que sua resposta.
1.6 Descreva todas as possíveis matrizes 2×2 que estão na forma escalonada. 1.7 Seja A uma matriz quadrada na forma escalonada. Mostre que são equivalentes as seguintes asserções:
(a) A matriz A não tem linhas nulas. (b) A é a matriz identidade.
(c) A é invertível.
Sugestão Use o Problema 2.13(c), do Capítulo 1.
1.8* Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem.
(a) Mostre que, se AB = I, então A é invertível e A−1 = B. Assim AB = I
se, e somente se, BA = I.
(b) Mostre que AB é invertível se, e somente se A e B são invertíveis. Por de nição, uma matriz quadrada A é invertível quando existe uma matriz quadrada B tal que AB = I e BA = I. No entanto, pelo problema acima, no contexto das matrizes quadradas, basta encontrar B tal que AB = I ou tal que BA = I para que A seja invertível. Ou seja, se uma das duas igualdades é satisfeita, então a outra é automaticamente satisfeita.
1.9 Sejam E1, E2 e E3 as matrizes elementares de ordem n obtidas da
onde j 6= i, respectivamente. Mostre que Et
1 = E1, E2t = E 0
2 e E3t = E3,
onde E0
2 é a matriz elementar obtida da identidade mediante a
transforma-ção Lj → Lj + kLi.
2 Resolução de Sistemas Lineares
Finalmente, nesta seção, poremos em funcionamento a maquinária desen-volvida com as matrizes para a resolução de sistemas de equações lineares, culminando com o Teorema do Posto. Trata-se de um resultado central dessa teoria que descreve a resolubidade dos sistemas de equações lineares gerais. Este teorema é também conhecido no Ensino Médio como Teorema de Rouché-Capelli, em homenagem aos matemáticos Eugène Rouché (França, 18321919) e Alfredo Capelli (Itália, 18551910).
Quanto a suas soluções, um sistema linear se classi ca como impossí-vel, ou possível e determinado, ou possível e indeterminado. Um sistema linear é chamado impossível, quando não tem solução, possível e determi-nado, quando tem uma única solução e possível e indetermidetermi-nado, quando tem mais de uma solução. .
Já foi observado anteriormente que um sistema linear homogêneo com n incógnitas é sempre possível, pois admite como solução a n-upla (0, 0, . . . , 0),
chamada solução trivial. Qualquer outra solução, se existir, é dita solução não trivial do sistema.
Dado um sistema linear AX = B, o sistema linear AX = 0 é chamado de sistema linear homogêneo associado. A relação fundamental entre um sistema linear e seu sistema linear homogêneo associado é apresentada na proposição a seguir.
Proposição 2.2.1. Seja AX = B um sistema linear. Suponhamos que X1
seja uma solução do sistema AX = B e que Sh seja o conjunto solução do
sistema linear homogêneo associado AX = 0. Então
S = {X1+ Z ; Z ∈ Sh} (1)
é o conjunto solução do sistema AX = B.
Demonstração Para demonstrarmos (1), usaremos algumas propriedades já vistas da adição e da multiplicação por escalar de matrizes.
De fato, se X2 ∈ S, podemos escrever X2 = X1+ Z com Z ∈ Sh. Como
X1 é uma solução particular de AX = B e Z ∈ Sh, segue que AX1 = B e
AZ = 0. Logo,
AX2 = A(X1+ Z) = AX1+ AZ = B + 0 = B,
mostrando que X2 é uma solução do sistema AX = B.
Por outro lado, tomemos uma solução X2 do sistema AX = B e
de na-mos Z = X2− X1. Temos, então, que
AZ = A(X2− X1) = AX2− AX1 = B − B = 0;
logo Z = X2− X1 ∈ Sh. Portanto, X2 = X1+ Z ∈ S.
Observamos que o resultado acima é apenas de interesse teórico, pois não nos ajuda a obter o conjunto solução de um sistema linear. Um método bem e caz para se resolver um sistema linear é o método do escalonamento. Este consiste em se tomar a matriz ampliada de um sistema linear e aplicar uma sequência de transformações elementares a esta matriz, de modo a obtermos
uma matriz equivalente que seja a matriz ampliada de um sistema linear fácil de se resolver.
Exemplo 1. Resolvamos o sistema linear x + y − 2z + 3w = 4 2x + 3y + 3z − w = 3 5x + 7y + 4z + w = 5 . (2) Observemos que 1 1 −2 3 | 4 2 3 3 −1 | 3 5 7 4 1 | 5 −→ L2→ L2− 2L1 L3→ L3− 5L1 1 1 −2 3 | 4 0 1 7 −7 | −5 0 2 14 −14 | −15 −→ L3→ L3− 2L2 1 1 −2 3 | 4 0 1 7 −7 | −5 0 0 0 0 | −5 , (3) sendo que esta última matriz é a matriz ampliada do sistema linear
x + y − 2z + 3w = 4 y + 7z − 7w = −5 0x + 0y + 0z + 0w = −5 . (4)
Note que o sistema (4) é impossível. A pergunta que fazemos é: qual a relação do sistema (4) com o originalmente proposto? A resposta é que eles têm o mesmo conjunto solução, já que (2) e (4) têm matrizes ampliadas equivalentes. Mais precisamente, temos o resultado a seguir.
Proposição 2.2.2. Dois sistemas lineares com matrizes ampliadas equiva-lentes têm o mesmo conjunto solução.
Demonstração É só lembrar que efetuar transformações elementares sobre as linhas da matriz ampliada do sistema, equivale a efetuar transformações elementares no sistema de equações, obtendo um sistema equivalente.
A matriz ampliada do sistema linear (2) poderia ter sido reduzida por linhas a uma matriz na forma escalonada. Porém, a equação
0x + 0y + 0z + 0w = −5
obtida da última linha da matriz nal em (3) já garante, pela Proposição 2.2.2, que o sistema (2) é impossível. De fato, dado um sistema linear nas in-cógnitas x1, x2, . . . , xn, se após uma sequência de transformações elementares
ocorrer uma equação da forma
0x1+ 0x2+ · · · + 0xn= b, com b 6= 0,
então o sistema é impossível; ou seja, não tem solução.
Quando aplicarmos a Proposição 2.2.2 a um sistema homogêneo não é ne-cessário tomar a matriz ampliada, basta considerar a matriz dos coe cientes do sistema.
Exemplo 2. Determinemos o conjunto solução do sistema linear homogêneo x + 2y + 3z − 5w = 0 2x + 4y + z + 2w = 0 x + 3y + 4z = 0 3x + 5y + 8z − 10w = 0.
Ora, basta considerarmos a matriz dos coe cientes do sistema. Assim,
1 2 3 −5 2 4 1 2 1 3 4 0 3 5 8 −10 −→ L2→ L2− 2L1 L3→ L3− L1 L4→ L4− 3L1 1 2 3 −5 0 0 −5 12 0 1 1 5 0 −1 −1 5 −→ L4→ L4+ L3 1 2 3 −5 0 0 −5 12 0 1 1 5 0 0 0 10 ,
sendo esta última matriz, a matriz dos coe cientes do sistema linear homo-gêneo x + 2y + 3z − 5w = 0 −5z + 12w = 0 y + z + 5w = 0 10w = 0,
que admite apenas a solução (0, 0, 0, 0). Assim, o conjunto solução do sistema originalmente dado é S = {(0, 0, 0, 0)}.
Para apresentarmos o resultado central deste capítulo, necessitaremos de alguns resultados que estabeleceremos a seguir.
Lema 2.2.3. Seja dada uma matriz A = [A0 | A00]na forma escalonada, onde
A0 é uma matriz m × (n − 1) e A00 é uma matriz m × 1. Sejam k1, . . . , kp as
posições das colunas de A onde ocorrem os primeiros elementos não nulos das linhas não nulas L1, . . . , Lp, respectivamente. O sistema A0X = A00 admite
solução se, e somente se, kp 6= n.
Demonstração Observe que como A está na forma escalonada, a matriz A0 também está na forma escalonada.
Se kp = n, então a p-ésima linha da matriz A é (0 0 · · · 0 1). Assim,
o sistema A0X = A00 tem uma equação da forma 0x
1+ · · · + 0xn−1 = 1, que
não tem solução.
Se kp 6= n, temos que p ≤ kp < n. Assim, se os ai's são as entradas de
A00, temos que ap+1 = · · · = am = 0. Se denotarmos por Ai a i-ésima coluna
da matriz A, temos que
A0k 1 = Ak1 = 1 0 ... 0 ... 0 , A0k 2 = Ak2 = 0 1 ... 0 ... 0 , . . . , A0k p = Akp = 0 0 ... 1 ... 0 ,
onde cada matriz acima tem as últimas m − r entradas nulas. O sistema A0X = A00 se escreve, em blocos, da seguinte forma:
a = [A1 | A2 | . . . | An−1]X = A1x1+ A2x2+ · · · + An−1xn−1.
Para achar uma solução do sistema basta tomar xki = ai e xj = 0, se j 6= ki,
A seguir, daremos a prova da unicidade da forma escalonada de uma matriz.
Teorema 2.2.4. (Unicidade da forma escalonada) Existe uma única matriz na forma escalonada equivalente por linhas a uma dada matriz. Demonstração Basta mostrar que dadas duas matrizes A e B na forma escalonada e equivalentes por linhas, então A = B (justi que). O resultado será provado por indução sobre o número n de colunas da matriz. Para n = 1, as únicas matrizes na forma escalonada são
0 0 ... 0 e 1 0 ... 0 .
Como qualquer transformação aplicada às linhas da primeira matriz não a altera, as duas matrizes acima não são equivalentes, daí decorre a unicidade, nesse caso.
Admitamos o resultado verdadeiro para matrizes com n−1 colunas, onde n ≥ 2. Sejam A e B duas matrizes m × n, ambas na forma escalonada e equivalentes. Escrevamos A = [A0 | A00] e B = [B0 | B00], onde A0 e B0 são os
blocos formados com as n − 1 colunas de A e de B, e A00 e B00 são as últimas
colunas de A e de B, respectivamente. É imediato veri car pela de nição que A0 e B0 estão na forma escalonada; e que A0 é equivalente a B0, pois as
mesmas operações elementares que transformam A em B, transformam A0
em B0. Portanto, pela hipótese de indução, temos que A0 = B0. Estamos
então reduzidos a duas matrizes A = [A0 | A00] e B = [A0 | B00] na forma
escalonada e equivalentes. Vamos desdobrar a nossa análise em dois casos. Caso 1) A matriz A é tal que kp = n. Assim, a matriz A0 tem as primeiras
p − 1 linhas não nulas e a p-ésima linha nula e as entradas ai de A00 são
tais que ai = 0, se i 6= p e ap = 1. Pelo Lema 2.2.3, o sistema A0X = A00
não tem solução. Como as matrizes A = [A0 | A00] e B = [A0 | B00] são
são também equivalentes, o que implica que o segundo sistema também não admite solução. Aplicando novamente o Lema 2.2.3 ao sistema A0X = B00,
temos que bp = 1 e bi = 0, se i 6= p, o que nos diz que A00= B00.
Caso 2) A matriz A é tal que kp 6= n. Pelo Lema 2.2.3 tem-se que o sistema
A0X = A00 tem uma solução X0. Como os sistemas são equivalentes, temos
que X0 é solução do sistema A0X = B00, logo A00= A0X0 = B00.
A demonstração do Teorema 2.2.4, acima, foi inspirada em [1], o qual recomendamos para estudos mais avançados de Álgebra Linear.
Seja A uma matriz de ordem m × n. Pelo Teorema 2.2.4, A é equivalente a uma única matriz ˜A, de ordem m×n, na forma escalonada. Dizemos que ˜A é a forma escalonada de A. Portanto, faz sentido de nir o posto p da matriz A como o número de linhas não nulas de sua forma escalonada ˜A.
Por exemplo, se A = 1 2 1 0 −1 0 3 5 1 −2 1 1 , sua forma escalonada é a matriz
˜ A = 1 0 0 −7/8 0 1 0 −1/4 0 0 1 11/8 .
Portanto, o posto p de A é igual a 3, pois o número de linhas não nulas de ˜
A é 3.
Para matrizes quadradas temos o seguinte resultado:
Corolário 2.2.5. Uma matriz quadrada de ordem n é invertível se, e so-mente se, ela tem posto n.
Demonstração Se a matriz é invertível, então pelo Teorema 2.1.6, sua forma escalonada é In, logo tem posto n.
Reciprocamente, seja dada uma matriz quadrada de ordem n e seja ˜Asua forma escalonada. Se A tem posto n, então ˜A não tem linhas nulas, logo,
pelo Problema 1.7, ˜A = In. Pelo Corolário 2.1.4, temos que
A = Es. . . E1A = E˜ s. . . E1,
onde E1, . . . , Es são matrizes elementares, logo invertíveis (cf. Corolário
2.1.5). Daí decorre que A é invertível por ser produto de matrizes inver-tíveis (cf. Proposição 1.2.4(ii)). Observe que o Lema 2.2.3 pode ser reinterpretado com a noção de posto do seguinte modo:
Um sistema de equações lineares AX = B admite solução se, e somente se, o posto da matriz aumentada [A | B] do sistema tiver posto igual ao da matriz A do sistema.
De fato, o que mostramos foi que o sistema possui solução se, e somente se, a última linha não nula da forma escalonada da matriz ampliada do sistema não for da forma (0 0 . . . 0 1).
Isto é parte do Teorema de Rouché-Capelli, resultado central deste capí-tulo e que apresentamos na íntegra a seguir.
Teorema 2.2.6. (Teorema do Posto) Consideremos um sistema linear com m equações e n incógnitas AX = B. Sejam pAB o posto da matriz
ampliada do sistema e pA o posto da matriz dos coe cientes do sistema.
Então
(i) O sistema é possível se, e somente se, pAB = pA.
(ii) O sistema é possível e determinado se pAB = pA= n.
(iii) O sistema é possível e indeterminado se pAB = pA < n. Neste caso,
n − pA é o número de incógnitas livres do sistema, ou seja, incógnitas
que podem assumir qualquer valor real.
Demonstração Seja AX = B um sistema linear com n incógnitas. Seja C = [A | B] a matriz ampliada do sistema e seja ˜C = [ ˜A | ˜B] a forma escalonada de C. Denotaremos ˜A = [˜aij] e ˜B = [˜bi].
Claramente ˜A é a forma escalonada de A e como ˜A é um bloco de ˜C, temos que
pA= pA˜ < pC˜ = pAB ou pA= pA˜ = pC˜ = pAB.
Vamos considerar os dois casos anteriores separadamente. Caso 1. Se pA < pAB, então ˜C tem uma linha do tipo
(0 · · · 0 0 1).
Portanto, o sistema ˜AX = ˜B é impossível e, então, pela Proposição 2.2.2, AX = B é impossível.
Caso 2. Se pA = pAB, então ˜C e ˜A têm o mesmo número de linhas não
nulas.
Dividiremos este caso em dois subcasos. Subcaso 2.1. pAB = pA= n.
Sendo ˜A uma matriz com n colunas, com pA˜ = pA = n, e estando ˜A na
forma escalonada, ela é uma matriz em blocos da forma
˜ A = " In 0 # .
Como pA= pAB = n, segue que ˜B é tal que bn+1 = · · · = bm = 0.
Portanto, ˜AX = ˜B é possível e determinado com a única solução x1 =
˜b1, . . . , xn = ˜bn. Consequentemente, AX = B também é determinado com mesma solução.
Subcaso 2.2. pA= pAB < n.
Ponhamos p = pA = pAB. Neste caso, ˜A (assim como ˜C) tem p linhas
não nulas L1, . . . , Lp, tais que o primeiro elemento não nulo de Li está na
Temos então que a equação ˜AX = ˜B se escreve como xk1 + ˜a1k1+1xk1+1+ · · · + ˜a1nxn xk2 + ˜a2k2+1xk2+1+ · · · + ˜a2nxn ... xkp+ ˜apkp+1xkp+1+ · · · + ˜apnxn 0 ... 0 = ˜b 1 ˜b 2 ... ˜bp 0 ... 0 .
A igualdade matricial acima, juntamente com o fato da matriz ˜A estar na forma escalonada, nos fornece o sistema de equações
xk1 = − P j>k1˜a1jxj + ˜b1, onde ˜a1ki = 0, se i > 1, xk2 = − P j>k2˜a2jxj + ˜b2, onde ˜a2ki = 0, se i > 2, . . . xkp−1 = − P j>kp−1˜ap−1,jxj + ˜bp−1, onde ˜ap−1,ki = 0, se i = kp, xkp = − P j>kp˜apjxj + ˜bp.
Isto mostra que podemos escolher arbitrariamente valores para as incó-gnitas no conjunto
{x1, . . . , xn} \ {xk1, . . . , xkp} (5)
e com esses determinar valores para xk1, . . . , xkp.
Como o conjunto em (5) tem n − p elementos, o sistema ˜AX = ˜B tem n − p incógnitas livres e, consequentemente, o mesmo ocorre para o sistema
AX = B.
Particularizando o Teorema do Posto para os sistemas homogêneos, ob-temos o corolário a seguir.
Corolário 2.2.7. Seja dado um sistema linear homogêneo com m equações e n incógnitas AX = 0.
(i) Se A tem posto n, então o sistema possui apenas a solução nula. Em particular, isto ocorre quando m = n e A é invertível.
(ii) Se A tem posto p < n, então o sistema possui in nitas soluções. Em particular, isto sempre ocorre quando m < n.
A seguir, daremos um exemplo da aplicação do Teorema do Posto. Exemplo 3. Com o auxílio do Teorema do Posto, resolvamos o sistema linear x + 2y − 2z + 3w = 2 2x + 4y − 3z + 4w = 5 5x + 10y − 8z + 11w = 12 . Ora, 1 2 −2 3 | 2 2 4 −3 4 | 5 5 10 −8 11 | 12 −→ L2→ L2− 2L1 L3→ L3− 5L1 1 2 −2 3 | 2 0 0 1 −2 | 1 0 0 2 −4 | 2 −→ L1→ L1+ 2L2 L3→ L3− 2L2 1 2 0 −1 | 4 0 0 1 −2 | 1 0 0 0 0 | 0 .
Como pAB = pA = 2 < 4 = n, onde n é o número de incógnitas do sistema,
o sistema linear é possível e indeterminado. Existem então duas incógnitas livres, digamos y e w, às quais podemos atribuir quaisquer valores reais a e b, respectivamente. Assim, temos y = a e w = b. Substituindo w = b na segunda equação obtemos z = 1 + 2b. Pondo y = a, z = 1 + 2b e w = b na primeira equação, segue-se que x = 4 − 2a + b. Portanto, as soluções do sistema são os elementos do conjunto
{(4 − 2a + b, a, 1 + 2b, b) ; a, b ∈ R}.
Observamos que, pelo Teorema do Posto, o número de incógnitas livres está bem determinado. Porém, as incógnitas livres podem ser escolhidas com alguma liberdade. No exemplo anterior, escolhemos y e w como incógnitas livres, mas, poderíamos ter escolhido x e t como incógnitas livres.
Problemas
2.1* Resolva o sistema linear homogêneo y + 3z − 2t = 0 2x + y − 4z + 3t = 0 2x + 3y + 2z − t = 0 −4x − 3y + 5z − 4t = 0 .
2.2* Que condições devem ser impostas a m, n e p para que o sistema linear x + 2y − 3z = m 2x + 6y − 11z = n x − 2y + 7z = p tenha solução?
2.3 Determine X tal que AX − B = C, onde
A = " 1 3 1 4 # , B = " 2 2 −1 3 0 1 # e C = " 8 4 3 10 8 2 # . 2.4 Resolva o sistema linear
1 2 1 3 1 −2 4 −3 −1 2 4 2 x y z = 2 1 3 4 . 2.5 Dadas as matrizes A = 1 2 1 0 −1 0 3 5 1 −2 1 1 , B1 = 2 1 0 e B2 = 1 2 1 , resolva:
(a) os sistemas AX = B1 e AX = B2;
(b) o sistema AX = 3B1−B2, utilizando soluções particulares já encontradas
no item (a).
2.6 Dada uma matriz A de ordem m × n, raciocine com a forma escalonada para mostrar que:
(a) a equação AC = I pode ser resolvida ⇔ o sistema linear AX = B tem solução para qualquer B ⇔ posto de A é m;
(b) a equação CA = I pode ser resolvida ⇔ o sistema linear AX = 0 tem solução única ⇔ posto de A é n.
2.7 Na matriz A de ordem 5 × 5 temos a seguinte relação entre as linhas: L1+ L2− 2L4+ 3L5 = 0.
Encontre uma matriz C, de posto 3, tal que CA tenha linhas L1, L4, 0.
2.8 Como devem ser escolhidos os coe cientes a, b e c para que o sistema ax + by − 3z = −3 −2x − by + cz = −1 ax + 3y − cz = −3 tenha a solução x = 1, y = −1 e z = 2?
2.9 Determine os valores de k ∈ R para que os sistemas abaixo
(a) x + y + kz = 2 3x + 4y + 2z = k 2x + 3y − z = 1 , (b) kx + y + z = 1 x + ky + z = 1 x + y + kz = 1 , (c) x + kz = 0 y = 0 kx + z = 0 tenham:
(i) solução única; (ii) nenhuma solução; (iii) mais de uma solução.
2.10 Que condições devem ser impostas a a, b e c para que o sistema abaixo nas incógnitas x, y e z tenha solução?
x + 2y − 3z = a 2x + 6y − 11z = b x − 2y + 7z = c .
2.11 Determine os valores de a, de modo que o seguinte sistema nas incógni-tas x, y e z tenha: (a) nenhuma solução, (b) mais de uma solução, (c) uma única solução: x + y − z = 1 2x + 3y + az = 3 x + ay + 3z = 2 .
2.12 Considere o sistema linear 2 × 2 nas incógnitas x e y: ax + by = e cx + dy = f. Mostre que: (a) se a c 6= b
d, isto é, se ad − bc 6= 0, então o sistema tem solução única x = de − bf ad − bc e y = af − ce ad − bc; (b) se a c = b d 6= e
f, então o sistema não tem solução; (c) se a
c = b d =
e
f, então o sistema tem mais de uma solução.
2.13 Suponha que, num sistema linear homogêneo, os coe cientes de uma das incógnitas são todos iguais a zero. Mostre que o sistema tem solução não nula.
2.14 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Prove que as seguintes a rmações são equivalentes:
(a) A é invertível;
(b) O sistema linear homogêneo AX = 0 só admite a solução trivial;
(c) Para toda matriz B de ordem n × 1, o sistema linear AX = B é possível e determinado.
Bibliogra a
[1] H. P. Bueno, Álgebra Linear, um segundo curso, Coleção Textos Univer-sitários, SBM, 2006.
[2] P. Halmos, Teoria Ingênua dos Conjuntos, Editora Ciência Moderna, 2001.
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Matemática Universitária, IMPA, 2010.
