Insper Instituto de Ensino e Pesquisa Programa de Mestrado Profissional em Economia. Fernanda do Valle Kouyoumdjian

Fernanda do Valle Kouyoumdjian

ESTRATÉGIAS DE ALOCAÇÃO VERSUS DIVERSIFICAÇÃO

SIMPLES: ESTUDO COMPARATIVO DO MERCADO DE

AÇÕES BRASILEIRO

São Paulo

2010

Fernanda do Valle Kouyoumdjian

Estratégias de Alocação versus Diversificação Simples: Estudo

Comparativo do Mercado de Ações Brasileiro

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia do Insper Instituto de Ensino e Pesquisa, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia.

Área de concentração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas

Orientador: Prof. Dr. Ricardo Dias de Oliveira Brito – Insper

São Paulo

2010

Kouyoumdjian, Fernanda do Valle

Estratégias de Alocação versus Diversificação Simples: Estudo Comparativo do Mercado de Ações Brasileiro / Fernanda do Valle Kouyoumdjian; orientador Ricardo Dias de Oliveira Brito – São Paulo: Insper, 2010.

50 f.

Dissertação (Mestrado – Programa de Mestrado Profissional em Economia. Área de concentração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas) – Insper Instituto de Ensino e Pesquisa.

1. Decisão de investimento 2. Diversificação 3. Alocação de ativos

FOLHA DE APROVAÇÃO

Fernanda do Valle Kouyoumdjian

Estratégias de Alocação versus Diversificação Simples: Estudo Comparativo do Mercado de Ações Brasileiro

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia do Insper Instituto de Ensino e Pesquisa, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Economia.

Área de concentração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas

Aprovado em: Junho/2010

Banca Examinadora

Prof. Dr. Ricardo Dias de Oliveira Brito Orientador

Instituição: Insper Assinatura: _________________________

Prof. Dr. Antonio Zoratto Sanvicente

Instituição: Insper Assinatura: _________________________

Prof. Dr. Marco Bonomo

DEDICATÓRIA

Perseverança e disciplina. O significado independente destas palavras é necessário em diversas ocasiões, mas a relação de dependência entre elas é fundamental em algumas outras. Não há disciplina sustentável sem perseverança. Não há perseverança de sucesso sem disciplina. Seres humanos são perseverantes enquanto há um sonho, um desejo a ser alcançado. A disciplina para o trivial não supera objetivos maiores. A perseverança em torno de um grande sonho sem a disciplina do método é fadada ao fracasso.

Com os ensinamentos de meu pai, armênio disciplinado e perseverante, continuo perseguindo meus sonhos.

AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador, Prof. Dr. Ricardo Brito de Oliveira Dias, por ter me apresentado o tema e incentivado o estudo.

Ao Insper Instituto de Ensino e Pesquisa e, fundamentalmente, seu corpo docente por ter solidificado as bases de conhecimento requeridas.

Aos colegas de turma que compartilharam comigo uma vivência única e possibilitaram aprendizado através de trocas de experiências.

Agradeço especialmente aos professores Dr. José Antônio Cordeiro, pela reunião sobre estatística bayesiana, e Rogério Monteiro da Costa, pelo auxílio no tratamento das bases de dados.

Aos meus pais, João Aris Kouyoumdjian e Nivia Canile do Valle Kouyoumdjian, por viabilizarem e motivarem a conclusão deste trabalho.

Ao meu irmão, João Aris Valle Kouyoumdjian, que me inspirou a superar obstáculos. Finalmente, à minha família e amigos que apoiaram este projeto.

RESUMO

KOUYOUMDJIAN, Fernanda do Valle. Estratégias de Alocação versus Diversificação Simples: Estudo Comparativo do Mercado de Ações Brasileiro. 2010. 50 f. Dissertação (Mestrado) – Insper Instituto de Ensino e Pesquisa, São Paulo, 2010.

O trabalho objetiva avaliar o desempenho de estratégias de otimização de Markowitz de carteiras de ativos em relação à diversificação simples (1/N) para o mercado de ações brasileiro. Os resultados indicam que nenhuma estratégia de otimização de Markowitz analisada apresenta desempenho superior à diversificação simples em termos dos indicadores de Sharpe e retorno equivalente de certeza. Apesar dos erros de alocação terem sido pequenos em média durante o período observado, erros significativos foram observados em alguns sub-períodos para todas as estratégias consideradas. Conclui-se que a aparente superioridade das estratégias de otimização de Markowitz é neutralizada devido a erros de estimação.

ABSTRACT

KOUYOUMDJIAN, Fernanda do Valle. Asset Allocation versus Naive Diversification: Comparative Study of the Brazilian Stock Markets. 2010. 50 f. Dissertation (Mastership) – Insper Instituto de Ensino e Pesquisa, São Paulo, 2010.

The paper aims to evaluate the performance of portfolios optimization strategies in relation to naive 1/N portfolio for the Brazilian stock markets. The results indicate that no optimization strategy outperforms the naive portfolio in terms of Sharpe ratio and certainty-equivalent return. Although allocation errors were little on average for the observed period, significant errors were found in some sub periods for all strategies being considered. In conclusion, the study indicates that superiority of optimization portfolio strategies is neutralized due to estimation errors.

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Modelos Selecionados ... 19 Tabela 2 – Lista de Ativos de Risco Selecionados ... 26 Tabela 3 – Comparação de Indicadores de Sharpe (mês a mês de janeiro de 2002 a dezembro de 2008) ... 27 Tabela 4 – Comparação de Indicadores de Sharpe com estatística de Jobson e Korkie (1981) – (mês a mês de janeiro de 2002 a dezembro de 2008) ... 29 Tabela 5 – Comparação de Retornos equivalentes de certeza (mês a mês de janeiro de 2002 a dezembro de 2008) ... 31 Tabela 6 – Turnover de Alocações ... 33 Tabela 7 – Indicadores Médios das Estratégias de Otimização de Markowitz ... 39

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ... 1

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 4

3. DESCRIÇÃO DOS MODELOS ... 16

3.1 Igualmente ponderado ... 16

3.2 Abordagem clássica: ignora erros de estimação amostral ... 16

3.3 Abordagem bayesiana para a distribuição preditiva ... 16

3.4 Restrições de momento ... 17

3.4.1 Carteira de mínima variância ... 17

3.4.2 Carteira ponderada pelo valor de mercado das empresas ... 17

3.5 Restrições de venda a descoberto ... 17

3.5.1 Carteira de mínima variância com restrição de venda a descoberto ... 18

3.5.2 Carteira tangente com restrição de venda a descoberto ... 18

4. METODOLOGIA DE COMPARAÇÃO ... 20

4.1 Indicador de Sharpe ... 20

4.2 Retorno equivalente de certeza ... 22

4.3 Turnover ... 23

5. DESCRIÇÃO DA AMOSTRA ... 25

6. ANÁLISE DOS RESULTADOS ... 27

6.1 Indicador de Sharpe ... 27

6.2 Indicador de Sharpe com estatística de Jobson e Korkie (1981) ... 29

6.3 Retorno equivalente de certeza ... 30

6.4 Turnover ... 32

7. CONCLUSÕES ... 34

REFERÊNCIAS ... 35

1.

INTRODUÇÃO

“Não deposite todos os seus ovos em uma única cesta”. Trazido para o contexto de finanças, o antigo ditado popular poderia elucidar a tarefa de operadores de tesouraria de bancos e de fundos que investimento, preocupados em diversificar alocações de maneira a reduzir o risco global de carteiras compostas por ativos de alta volatilidade. A diversificação simples, no entanto, foi aprimorada por Markowitz (1952), que demonstrou que a covariância entre os ativos poderia contribuir para reduzir o risco idiossincrático dos ativos da carteira.

Desde o pioneiro trabalho de Markowitz (1952), que desenvolveu a “Moderna Teoria de Carteiras”, as estratégias para alocação de ativos proliferaram nos meios acadêmico e profissional. Décadas após o desenvolvimento desta teoria, prevalece certa resistência para implementar carteiras eficientes. Salvo o fato de questionar o valor da gestão ativa, tal resistência pode ser relacionada a barreiras práticas e teóricas. O exercício de otimização período a período gera custos operacionais de rebalanceamento das carteiras. Além disso, há que se considerar que todos os modelos apresentam limitações que podem levar a erros de alocação e desempenho não esperado fora da amostra. Dessa forma, muitos gestores de recursos optam por não utilizar estratégias de otimização de Markowitz, de maneira a evitar os impactos negativos que erros de estimação (da volatilidade de retornos dos ativos) podem trazer à alocação eficiente.

Até que ponto haveria espaço para a utilização de modelos de otimização sabendo-se que erros são frequentes quando da estimação da variância dos retornos? Haveria ganho significativo a ponto de justificar custos de operacionais de rebalanceamentos periódicos? À luz destas dificuldades, a investigação sobre o desempenho superior de estratégias de otimização de Markowitz sobre a diversificação simples parece fazer sentido no contexto de gestores de recursos.

O presente trabalho pretende investigar, através de testes empíricos, se de fato as estratégias de otimização de Markowitz têm apresentado desempenho superior comparativamente à diversificação simples no caso de alocações em ações do mercado brasileiro.

O estudo irá contrastar o desempenho da diversificação simples, ou igualmente ponderada, com outras seis estratégias de alocação através de três critérios de análise. As seis estratégias adotam critérios de otimização, a saber: (1) minimização de variância sujeita a restrição de pesos (somatório igual a 100%) – MIN; (2) minimização de variância sujeita a restrição de pesos e restrição de venda a descoberto – MINSL; (3) minimização de variância

sujeita a alocação em ativos de risco e um ativo livre de risco – TG; (4) minimização de variância sujeita a alocação em ativos de risco e um ativo livre de risco e restrição de venda a descoberto – TGSL; (5) minimização de variância sujeita a alocação em ativos de risco e um ativo livre de risco segundo uma distribuição preditiva de retornos, ao invés da abordagem amostral clássica – estratégia de Bayes-Stein, BS; e (6) ponderação por valor de mercado das empresas, ou seja, atribui-se peso de acordo com o valor dos ativos na economia – estratégia

value weighted VW. As estratégias de alocação estão listadas na tabela 1 e descritas na seção

3.

Além do interesse que o estudo poderia despertar em gestores de recursos que almejam reduzir custos de alocação sem incorrer em prejuízos de desempenho, outra motivação deste trabalho seria provocar a indústria de fundos para o desenvolvimento de carteiras teóricas de ações (índices) igualmente ponderadas. Uma possível evidência de que as estratégias de otimização de Markowitz não são capazes de trazer resultados superiores ao desempenho da diversificação simples justificaria a criação de fundos passivos em um índice igualmente ponderado.

Para comparar desempenhos entre estratégias de alocação, este estudo abordará três critérios de análise, a saber: (1) indicador de Sharpe, (2) retorno equivalente de certeza e (3)

turnover. O primeiro critério, introduzido por Sharpe (1966), estipula uma forma de mensurar

o retorno esperado por unidade de risco. Já o segundo critério, o retorno equivalente de certeza, indica o retorno que um investidor (com certo grau de aversão a risco) está disposto a receber, com certeza, ao invés de correr o risco de ter seu retorno variável de acordo com o desempenho de uma alocação de risco.

A estimação destes indicadores leva em conta, assim como na otimização de alocações, a difícil tarefa de prever retorno e risco de ativos. Assim, não se deve apenas contar com uma base histórica de dados, como também entender a dinâmica dos fatores que influenciam a variação dos retornos.

Por fim, o trabalho também implementa o critério de avaliação de turnover que irá apontar os erros médios de ponderação, ativo a ativo, ao longo de todo o período de análise para cada uma das estratégias de alocação.

Os resultados de testes entre as sete estratégias de alocação, analisadas duas a duas, demonstraram que não há evidências de diferença de desempenho entre elas, tanto para o critério de indicador de Sharpe, quando para o critério do retorno equivalente de certeza. Os resultados dos testes foram unânimes em apontar uma aparente superioridade de desempenho da estratégia de Bayes-Stein (BS) contra as demais. No entanto, os testes não rejeitam a

hipótese nula de que não há diferença significativa (a um nível de significância de 5%) de desempenho entre as estratégias para ambos os critérios.

No caso do turnover, apesar de os resultados apontarem para uma média pequena de rebalanceamentos de carteira ao longo do período analisado para todas as estratégias de alocação, em alguns sub-períodos a média de rebalanceamentos dos ativos foi alta. Este resultado demonstra a instabilidade das estratégias de otimização de Markowitz que podem atribuir pesos inadequados devido a erros de estimação.

Este trabalho está estruturado da seguinte maneira: a próxima seção 2 irá descrever a teoria das estratégias de alocação utilizadas, assim como estudos empíricos já realizados com dados do mercado de ações brasileiro e internacional. Na seção 3 serão descritos os sete modelos de alocação desenvolvidos no estudo. A seção 4 trará a metodologia de análise, ou seja, os critérios de comparação adotados neste trabalho. A seção 5 irá descrever os dados utilizados e as duas seções finais irão trazer os principais resultados da análise comparativa entre as estratégias de alocação (6) e as conclusões finais (7).

2.

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A eficiente otimização de carteiras proposta por Markowitz (1956) pode ser alcançada através de estimações de retornos e da covariância entre os ativos. Os pesos ótimos de cada ativo são obtidos por meio da minimização da variância da carteira restrita às condições de somatório de pesos igual a 100% e ao requerido retorno médio da carteira (µp).

Minimização: ∑ _i i w w ' (1) Restrições: w_i'µ=µ_p (2) w_i'

ι

=1 (3) Onde: i

w = vetor de pesos nos ativos de risco (ações)

∑ = matriz estimada de variância-covariância de retornos dos ativos

µ = vetor de retornos médios estimados dos ativos

p

µ = retorno médio da carteira ι = vetor de uns

Alternando o vetor de média de retorno esperado para os ativos da carteira, é possível obter um conjunto de carteiras ótimas que formam a fronteira eficiente de Markowitz. A fronteira é dita eficiente por conter carteiras de variância mínima, dado um retorno esperado (ou de retorno máximo, dada uma variância esperada).

A carteira de mínima variância, entre todas as carteiras da fronteira eficiente, é obtida a partir da minimização da matriz de variância-covariância dos retornos dos ativos sujeita apenas à restrição (3) acima. A expressão para a carteira de mínima variância é dada como segue:

∑

∑

− − = ₁ 1 min '

ι

ι

ι

w (4)

Onde:

min

w = vetor de pesos nos ativos de risco (ações) para a carteira de mínima variância

∑

−1

= inversa da matriz estimada de variância-covariância de retornos dos ativos ι = vetor de uns

A partir da incorporação de um ativo livre de risco no conjunto de ativos de risco, o problema da minimização (equação 1) acima passa a ter uma nova restrição:

p i i i Rf w w '

µ

+(1− '

ι

) =

µ

(5) Onde: i

w = vetor de pesos nos ativos de risco “i”

i

µ

= vetor de retornos médios estimados dos ativos de risco “i”

Rf =retorno esperado do ativo livre de risco

µp = retorno médio da carteira contendo ativos de risco e um ativo livre de risco

Um resultado particularmente importante é obtido quando de um retorno esperado que contenha apenas ativos de risco. Esta alocação é conhecida como a carteira tangente, já que coincide com uma carteira da fronteira eficiente e é dada por:

∑

∑

− − − − = 1 1 ) ( ' ) ( Rf Rf w i i T

ι

µ

ι

ι

µ

(6) Onde: T

w = vetor de pesos nos ativos de risco (ações) para a carteira tangente

∑

−1

= inversa da matriz estimada de variância-covariância de retornos dos ativos de risco Rf=retorno esperado do ativo livre de risco

ι = vetor de uns

i

Resumidamente, é possível elencar as principais hipóteses deste modelo de otimização como segue: (1) os investidores avaliam uma alocação unicamente pelo retorno médio esperado e pela variância das taxas de retorno no período considerado; (2) quando defrontados diante de duas carteiras de igual risco, os investidores escolheriam sempre a de maior retorno esperado; (3) quando defrontados diante de duas carteiras de igual retorno, os investidores escolheriam sempre o de menor risco; (4) os ativos são infinitamente divisíveis, sendo possível a aquisição de qualquer fração deles; (5) há uma taxa livre de risco; (6) não há custos de transação; (7) não há divergência sobre a distribuição de probabilidades dos retornos dos ativos entre os investidores, havendo apenas um único conjunto de carteiras eficientes.

Apesar do referido modelo teórico para otimização de carteiras já ter se tornado um clássico para a literatura de finanças, gestores de recursos ainda apresentam resistências para utilizar esta ferramenta na gestão ativa de investimentos em ações. Para entender tal resistência, algumas críticas ao modelo de Markowitz (1956) serão abordadas na seqüência conforme apontou Michaud (1989).

Michaud (1989) argumenta que o modelo clássico de otimização de carteiras pode gerar alocações sem significado do ponto de vista econômico, ou seja, alocações sem valor de investimento. Este caráter não intuitivo de alocações seria gerado ou ampliado na presença de "maximização de erro estimado". Michaud (1989) sugere que quando o erro da estimativa de retorno dos ativos for exagerado, o erro de estimação acarretará em alocações indevidas. Quanto maior (menor) a estimativa de retorno de um ativo, ceteris paribus, maior (menor) o peso atribuído a este ativo no modelo. Assim, um erro de estimação seria maximizado quando da atribuição de um peso alto (baixo) para o ativo na carteira. Analogamente, quanto menor (maior) a estimativa de variância do ativo e correlação negativa (positiva) com outros ativos,

ceteris paribus, maior (menor) o peso atribuído a este ativo na carteira. Outro problema

comum atribuído à ferramenta clássica de otimização de carteiras é a estimação dos parâmetros: vetor de retornos médios dos ativos e matriz de variância-covariância entre os ativos. Comumente são utilizados os parâmetros amostrais históricos, que nem sempre são estimativas apropriadas por ignorar qualquer outra distribuição possível para os retornos dos ativos além da normal (gaussiana).

Quando há insuficiência de dados amostrais, principalmente, a otimização da carteira pode ser altamente instável, ou seja, pequenas mudanças nos parâmetros assumidos são capazes de gerar grandes alterações dos pesos ótimos. Este fenômeno ocorre quando da inversão da matriz de variância-covariância estimada.

Uma das abordagens mais conhecidas para aprimorar a estimação dos parâmetros quando da otimização da carteira é a abordagem Bayesiana. Este método estima o vetor de retornos dos ativos “R” integrando uma função de probabilidade de retornos “f (R|µ, ∑)”, condicionada a um vetor de retornos médios “µ” e uma matriz de variância-covariância “∑”, em relação à restrição subjetiva “p(µ, ∑)”. A seguir, será explorada uma técnica Bayesiana utilizada neste estudo, a saber: a abordagem de shrinkage estimator.

Os estimadores para média de retornos do tipo “shrinkage” foram primeiramente utilizados por Stein (1955), que sugere que os parâmetros amostrais deveriam ser reduzidos para refletir uma média de retornos global. A idéia surgiu a partir do questionamento sobre a estimação de alocações com base em parâmetros de dados históricos (vetor de retornos médios e matriz de variância-covariância) e o possível impacto que uma alocação indevida poderia trazer no sentido de aumentar uma função de perda, como desenvolve Jorion (1986).

Jorion (1986) argumenta que a maximização de utilidade esperada do retorno de uma carteira, “z”, depende da distribuição das futuras observações dos retornos dos ativos que compõem a carteira, “r”, que, por sua vez, são condicionados aos parâmetros “θ” desconhecidos. Assim, a maximização dessa função de utilidade dos retornos esperados equivale à maximização da utilidade do retorno da carteira “z”.

=

∫

y y q E [E [U(z) ]] U(z)[p(zy)]dz max _{θ θ} θ (7) Onde: r q z= ' z = retorno da carteira

q = pesos atribuídos a cada ativo da carteira

r = vetor de retornos futuros, não observados, dos ativos que compõem a carteira

θ = parâmetros desconhecidos da distribuição de “r”

y = vetor de retornos observados dos ativos que compõem a carteira

^

θ

= parâmetros de y

E = esperança

O problema acima tem solução bayesiana, já que os pesos ótimos dos ativos da carteira são definidos com base em uma função de densidade de retorno preditiva de “z” que depende das observações “y” e de informações “I ” sobre os parâmetros de “y”: “₀

^

θ

”.

∫

= θ

θ

θ

θ

p y I d z p y z p( | ) ( | ) ( | , ₀) (8)

O termo p(

θ

y,I₀)é a posterior do modelo dadas certas informações de “y” e a prior informativa sobre os parâmetros de “y”,p(

θ

I0).

p(

θ

y,I₀)÷ f(y

θ

)p(

θ

I₀)

(9)

Efron e Morris (1976) mostraram que o estimador de máxima verossimilhança para o retorno futuro dos ativos, a média de “y”, seria inadmissível relativamente à função de perda quadrática do tipo: ∑ − − = ^ −1 ^ ^ )) ( ( ))' ( ( )) ( , ( y y y L

µ

µ

µ

µ

µ

µ

(10) Onde:

µ= retornos de ativos distribuídos conforme uma normal )

(

^

y

µ = estimador de máxima verossimilhança para os retornos dos ativos (média) ∑−1

= inversa da matriz de variância-covariância dos retornos dos ativos

A inadmissibilidade, segundo Stein (1955) advém da existência de regra de decisão superior, ou seja, haveria um estimador distinto do estimador de máxima verossimilhança (média) capaz de reduzir a função de perda (equação 10) acima. Para repetidas observações, Stein (1955) demonstrou que o estimador de James-Stein, µJS

ˆ , para os retornos dos ativos seria mais apropriado por trazer menor risco (função de perda inferior) do que o estimador de máxima verossimilhança. ˆ0 ˆ ˆ ) ˆ 1 ( ˆ

φ

µ

φ

µ

µ

t t t JS t = − + (11)

_       − Σ − − = ₋ ) ˆ ˆ ( ˆ )´ ˆ ˆ ( / ) 2 ( , 1 min ˆ 0 1 0 t t t t t T N

µ

µ

µ

µ

φ

(12) Onde: JS

µˆ = estimador de James-Stein para os retornos dos ativos

t

µ

ˆ = estimador de máxima verossimilhança para os retornos dos ativos (média)

0

ˆ

µ

= estimador para os retornos dos ativos que reflete uma média global, menor do que a observada pelo estimador de máxima verossimilhança

1 ˆ

0<

φ

_t < = parâmetro

t

Σˆ _{= matriz de variância-covariância dos retornos amostrais} N = número de ativos arriscados na carteira

T = janela amostral

Em seu trabalho, Jorion (1986) confere interpretação bayesiana para o resultado de estimador do tipo shrinkage demonstrado por Stein (1955). A partir de uma prior para os

retornos esperados dos ativos “µ”, do tipo:     − ∑ − − ÷ − ) )( ( )' ( 2 1 exp ) , (µη λ µ η λ 1 µ η p (13)

Na fórmula 13 acima o vetor de média global “η” e o indicador de precisão “λ” são supostos como conhecidos, porém são retirados de uma amostra. Neste caso, fica simples a demonstração de inadmissibilidade do estimador de máxima verossimilhança para os retornos esperados dos ativos quando o indicador “λ” for igual a zero. O estimador de máxima verossimilhança corresponderia a uma prior difusa e imprópria para a regra de Bayes.

Jorion (1986) aponta que a escolha de uma carteira eficiente deveria considerar a função de distribuição de retornos preditiva ao invés da histórica amostral. Com isso, o autor demonstra que a partir da prior (equação 13) acima, a função de probabilidade para a distribuição preditiva dos retornos dos ativos populacionais “r” condicionada à distribuição amostral de retornos “y”, ao parâmetro de variância-covariância populacional “∑” e ao

indicador “λ” (p(ry,∑,

λ

)) é uma distribuição multivariada normal com média expressa conforme segue abaixo (equação 14).

min ˆ ˆ ˆ ) ˆ 1 ( ˆbs _{t t t t} t

φ

µ

φ

µ

µ

= − + (14) ) ˆ ˆ ( )' ˆ ˆ ( ) 2 ( 2 ˆ min 1 min t t t t t t M N N µ µ µ µ φ − Σ − + + + = ₋ (15) Onde: bs t

µˆ : estimador de Bayes-Stein para os retornos dos ativos

min

ˆ_t

µ : estimador de mínima variância para a média dos retornos Parâmetro: 0<

φ

ˆ_t <1

Matriz de variância-covariância estimada: ( ˆ )( ˆ )'

2 1 ˆ 1 s t t M t s s t t R R N M − − ∑ −µ −µ = Σ + − =

Vetor de retornos médios da carteira de mínima variância: min min

ˆ ' ˆ ˆ t µ_t w_t

µ =

N = número de ativos com risco na carteira M = janela de estimação

Jorion (1986) propõe utilizar a média de retornos estimada para a carteira de mínima variância como a média global. A diferença entre a abordagem bayesiana de shrinkage estimators e a abordagem de estimadores estatísticos clássica para determinar os pesos ótimos

de uma carteira está relacionada à suposição, no primeiro caso, de existência de uma média de retornos da carteira global. Esta média seria mais conservadora do que a média verdadeira (não observada), uma vez que é ponderada também pela média de retornos de uma carteira de mínima variância (µˆmin).

Alguns anos à frente, Black e Litterman (1992) desenvolveram um modelo que permitiu aos gestores de recursos incorporarem suas visões de mercado à base histórica de dados de retorno dos ativos, conferindo à alocação eficiente de Markowitz maior precisão a partir da inclusão de informações recentes. O modelo de Black e Litterman (1992) parte de estatísticas baseadas no históricos dos retornos dos ativos, denominadas pelos autores de “baseline forecast”, e, com as expectativas particulares dos gestores de recursos sobre estes

valores, passa a incorporar ao modelo tais previsões. Dessa forma, uma alocação simples em um ativo de risco (S) e um ativo livre de risco (B) deveria considerar uma distribuição distinta da distribuição histórica dos ativos, que seria dada de acordo com Black e Litterman (1992) pelas equações de atualização a) e b), como segue:

a) ₂ 2 ) ( [ ( ), ( )]} {[ ) ( ) ( D S B B R E B B R E R E Cov D R E P R E

σ

σ

− + = b) ₂ 2 ) ( } )] ( ), ( [ { ) ( ) ( D S R E S B S S R E R E Cov D R E P R E

σ

σ

− + = Onde: ) (R P

E _B = expectativa futura de retorno do ativo livre de risco dadas as probabilidades

“P” atribuídas aos retornos dos ativos segundo expectativas do gestor de recursos )

(R P

E _S = expectativa futura de retorno do ativo de risco dadas as probabilidades “P”

atribuídas aos retornos dos ativos segundo expectativas do gestor de recursos )

(R_B

E = expectativa de retorno do ativo livre de risco segundo distribuição histórica

ou “baseline forecast” )

(R_S

E = expectativa de retorno do ativo de risco segundo distribuição histórica ou

“baseline forecast”

D= diferença entre o retorno do “baseline forecast” e as expectativas do gestor de

recursos 2 D

σ

= variância de D )] ( ), ( [E RB E RS

Cov = covariância entre as expectativas do “baseline forecast” para os

retornos do ativo de risco e livre de risco

2 ) ( BR E

σ = variância da expectativa de retorno do “baseline forecast” para o ativo livre de

risco

2 ) ( SR E

σ = variância da expectativa de retorno do “baseline forecast” para o ativo de risco

Poucos estudos empíricos abordaram desempenho de estratégias de otimização de Markowitz utilizando dados do mercado acionário brasileiro. Merecem destaque os estudos de Bruni e Famá (1999) e Figueiredo et al (2000).

O estudo de Bruni e Famá (1999) implementa a estratégia de otimização de proposta por Markowitz (1952) para verificar se a diversificação proposta pela estratégia ex-ante

realmente permitiria desempenhos superiores ex-post. Os autores seguiram a estratégia de otimização de Markowitz abaixo:

Maximização: ∑ ∑ ∑ = = = n i n j i j ij n i i i w w w r 1 1 1 cov (16) Restrições: 1 '

ι

= i w (17)

0

≥

i

w

(18) Onde: i

w = peso alocado no ativo “i”

i

r = retorno observado do ativo “i”

ij

cov = covariância entre os ativos “i” e “j”

ι

= vetor de uns ∑ = n i i i w r 1 = retorno da carteira ∑ ∑ = = n i n j i j ij w w 1 1

cov = desvio-padrão da carteira

Através do subconjunto amostral dos retornos mensais das 20 ações mais líquidas da Bolsa de Valores de São Paulo tomadas no período entre julho de 1993 e julho de 1998, os autores compararam os desempenhos das quatro carteiras como segue:

(1) Carteira igualmente ponderada: cada ativo tem peso igual a 5% ao longo de todo o período analisado.

(2) Carteira ponderada conforme estratégia a de otimização acima com janela amostral curta: 12 meses.

(3) Carteira ponderada conforme estratégia a de otimização acima com janela amostral média: 24 meses.

(4) Carteira ponderada conforme estratégia a de otimização acima com janela amostral longa: 36 meses.

As janelas de estimação foram atualizadas período a período (janelas móveis) tendo início entre julho de 1993 e junho de 1996. O estudo listou os retornos obtidos das quatro estratégias de alocação acima entre julho de 1996 e julho de 1998.

Os resultados indicaram desempenho acumulado no período inferior das estratégias de otimização de Markowitz com janelas mais longas (3 e 4) com relação ao resultado acumulado da diversificação simples (1). O desempenho acumulado no mesmo período da estratégia com otimização e janela amostral curta (2) foi superior ao de todas das estratégias observadas.

O estudo evidencia que a eficácia da estratégia de otimização de Markowitz empregada depende do prazo da janela amostral considerada. Análises mais completas incluindo comparação entre outras estratégias de otimização de Markowitz e período amostral distinto (não abordados no trabalho) poderiam complementar estudos deste tipo para o mercado de ações brasileiro.

Já o trabalho de Figueiredo et al (2000) compara os desempenhos obtidos a partir da otimização de Markowitz (1952) com janela amostral de 12 meses composta de duas maneiras: (a) retornos mensais observados nos últimos 12 meses e (b) retornos mensais obtidos a partir da regressão abaixo.

it M i it it a bxR e R = + + (19) Onde: = it

R retorno do ativo “i” no período “t” =

it

a constante da regressão

it i

b =coeficiente angular da regressão =

M

R retorno do índice de mercado =

it

e resíduo do modelo com média igual a zero, variância constante e não correlacionados com os retornos de mercado, com o tempo e com os retornos de outros ativos

O modelo (a) composto por janela amostral dados observados é identificado como modelo de “Markowitz”. Já o modelo (b) composto por retornos obtidos através da regressão é denominado modelo de “Índice Único”, pois assume que os retornos entre os

ativos não estão correlacionados entre si, mas sim com um índice único representado pelo retorno do índice de mercado.

O estudo utiliza dados relativos as 10 principais ações do índice Bovespa no ano de 1999 (75,7% do índice). A janela amostral tem início entre janeiro e dezembro de 1998 e é atualizada a cada nova informação (janela móvel).

Os resultados indicam a superioridade dos modelos “Markowitz” e do “Índice Único” quando comparados ao desempenho do índice de mercado Ibovespa durante os meses de janeiro a dezembro do ano de 1999. O modelo de “Markowitz” apresenta ligeira superioridade com relação ao modelo de “Índice Único”.

Os trabalhos de Bruni e Famá (1999) e Figueiredo et al (2000) trazem evidências favoráveis à otimização de carteiras a partir de dados do mercado de ações no Brasil. Contudo, em Bruni e Famá (1999) a superioridade da estratégia de otimização de Markowitz sob a diversificação simples pode ser questionada quando da utilização de janelas amostrais mais longas. Além disso, o estudo traz análises em um período curto - 24 meses. Já em Figueiredo et al (2000), a diversificação simples não é levada em consideração para a análise de desempenho dos modelos.

Isto posto, não parece fácil argumentar a favor ou contra a diversificação simples quando se trata do mercado de ações brasileiro. A exemplo da literatura internacional, que mostra evidências favoráveis à diversificação simples em detrimento de estratégias de otimização de Markowitz (DeMiguel et al (2009)), este estudo procura cobrir esta lacuna na literatura de finanças brasileira.

O trabalho de DeMiguel et al (2009) pode ser considerado o mais recente estudo para avaliação de estratégia de alocação de ativos de risco na literatura internacional. Através de retornos mensais de sete bases de dados distintas (preferencialmente de índices mercado de ações dos Estados Unidos, além de um índice de países), os autores investigam diferenças de desempenho de 14 estratégias de alocação em relação à diversificação simples. A comparação conta com três critérios de análise: indicador de Sharpe fora da amostra, retorno equivalente de certeza fora da amostra e rebalanceamento de carteira (volume negociado) para cada estratégia. A principal contribuição do trabalho é mostrar que, entre os 14 modelos de otimização, nenhum pode ser considerado superior à diversificação simples quando da avaliação dos três critérios apresentados. Apesar de já constatada em estudos anteriores (Bloomfield et al (1977) e Jorion (1991)), a conclusão a favor da diversificação simples é valorizada a partir do trabalho de DeMiguel et al (2009) que a valida mesmo após inclusão

de estratégias de otimização de Markowitz mais complexas (e recentes) amparadas em sete bases de dados distintas e comparadas a partir de três critérios de análise.

Para exemplificar algumas estratégias de otimização de Markowitz complexas utilizadas no estudo dos autores, temos as seguintes:

(1) “Bayes-Stein Shrinkage Portfolio”: estratégia conservadora que estima retornos preditivos com atribuição de pesos para os retornos da carteira de mínima variância, conforme apresentado acima (equações 14 e 15).

(2) “Data-and-Model”: abordagem na qual o retorno alvo “

µ

ˆ_tmin” (equação 14), neste caso representado pelo modelo de mínima variância – MIN, depende da crença prévia (prior) do investidor em um modelo particular de apreçamento de ativos e o parâmetro “

φ

ˆ_t” da mesma equação é determinado pela variabilidade da prior em relação às informações dos dados.

(3) “Shortsale-constrained portfolios”: restrições de venda a descoberto são impostas a estratégias simples. Entre elas: carteira de mínima variância (MIN - equação 4) e carteira tangente (TG - equação 6).

DeMiguel et al (2009) também apresenta uma expressão analítica para identificar o tamanho da janela de estimação amostral necessário para que a estratégia de alocação considerada apresente desempenho superior, em termos de retorno equivalente de certeza, ao da diversificação simples. Com dados do mercado de ações dos Estados Unidos, os autores concluem que para uma carteira composta por 25 ativos o tamanho ideal da janela de estimação seria de 3.000 meses. Já para uma carteira composta por 50 ativos, este número supera o total de 6.000 meses.

Os autores concluem que, apesar do progresso recente no desenvolvimento de estratégias de alocação, técnicas para estimação de retornos esperados devem ser aprimoradas. Além disso, dada a simplicidade e baixo custo de implementação da diversificação simples, este deveria ser utilizado com o indicador (benchmark) natural para avaliação de estratégias mais sofisticadas.

3.

DESCRIÇÃO DOS MODELOS

Esta seção irá contemplar a descrição de todas as estratégias de alocação propostas para o trabalho. A implementação de cada estratégia será realizada a partir de um subconjunto do conjunto universo de ativos. Trata-se de uma simplificação prática para análise de desempenho das estratégias. O subconjunto amostral utilizado será descrito adiante na seção 5.

3.1

IGUALMENTE PONDERADO

O modelo igualmente ponderado atribui peso equivalente a “wew = 1/N” para cada um dos “N” ativos que constituem a carteira. Esta estratégia equivale à diversificação simples, não há otimização envolvida e os dados amostrais são ignorados.

3.2

ABORDAGEM CLÁSSICA: IGNORA ERROS DE ESTIMAÇÃO

AMOSTRAL

A abordagem clássica remete ao trabalho da moderna teoria de alocações proposta por Markowitz (1952) no qual o investidor seleciona os ativos da carteira de forma a obter o maior retorno possível incorrendo no menor risco. A construção desta carteira é dada pela minimização de uma função quadrática (equação 1) sujeita a restrições lineares (equações 2 e 3).

É sabido que a otimização proposta por Markowitz (1952) resulta em um conjunto de carteiras eficientes. Para esta análise empírica será considerada a carteira (da fronteira eficiente) tangente (equação 6) à reta de alocação de capital. A carteira tangente contém apenas ativos de risco.

Esta estratégia é implementada com base no conjunto de retornos da janela amostral (84 meses) equivalente à metade de todo o conjunto de dados (168 meses). A matriz de variância-covariância entre os retornos dos ativos é estimada com base na janela amostral. À medida que os períodos avançam, as informações novas atualizam a base de estimação (janela amostral). Esta técnica é denominada rolling sample: a cada novo dado observado atualiza-se a janela de estimação incorporando a informação mais recente e descartando o dado mais antigo.

3.3

ABORDAGEM BAYESIANA PARA A DISTRIBUIÇÃO PREDITIVA

Neste caso, as carteiras foram construídas de acordo com a abordagem bayesiana conferida ao shrinkage estimator de James e Stein (1961) para a média dos retornos dos

ativos. A partir do importante resultado o obtido por James e Stein (1961), que demonstrou a superioridade do estimador shrinkage para a média dos retornos quando da minimização de uma função de perda quadrática (variância), Jorion (1986) propôs uma interpretação bayesiana para o estimador, conforme apresentado na seção anterior.

Assim, a janela amostral foi construída com base na distribuição de retornos preditivos encontrada. Posteriormente, a partir da janela amostral foram estimados os pesos ótimos desta carteira conforme a abordagem clássica descrita no subitem (3.2) acima. Novamente, considerou-se apenas a carteira de mercado da fronteira, ou seja, a carteira composta apenas por ativos de risco.

3.4

RESTRIÇÕES DE MOMENTO

Algumas restrições para os momentos amostrais podem ser impostas em estratégias de alocação de ativos. Neste estudo serão consideradas duas formas de restrição de momento, a saber: mínima variância e ponderação por valor de mercado.

3.4.1 CARTEIRA DE MÍNIMA VARIÂNCIA

Esta estratégia pondera os ativos de risco de maneira a minimizar a variância dos seus retornos. A implementação desta estratégia leva em consideração apenas a matriz de variância-covariância dos retornos obtida através da janela amostral. A minimização quadrática (equação 1) neste caso tem apenas uma restrição, qual seja a de que o somatório dos pesos dos ativos seja igual a 100% (equação 3).

3.4.2 CARTEIRA PONDERADA PELO VALOR DE MERCADO DAS EMPRESAS

Outra abordagem importante é aquele que pondera os ativos da carteira com base no valor destes ativos no mercado. Assim, a estratégia value weighted atribui peso às ações das companhias de acordo com seu valor de mercado.

Neste estudo, o rebalanceamento das carteiras value weighted é anual, de acordo com o valor das companhias no primeiro mês de cada ano.

3.5

RESTRIÇÕES DE VENDA A DESCOBERTO

A otimização de carteiras resulta, na maioria das vezes, em pesos menores do que zero para determinados ativos, o que implica na venda a descoberto dos mesmos. No entanto, a venda a descoberto na prática acarreta em custos de aluguel. Alem disso, por vezes não é possível executar venda a descoberto, seja por falta de oferta, seja pela governança dos

bancos ou gestores de recursos. Dessa forma, o estudo também considera alocações que fazem a imposição de que não pode haver venda a descoberto de ativos.

3.5.1 CARTEIRA DE MÍNIMA VARIÂNCIA COM RESTRIÇÃO DE VENDA A

DESCOBERTO

A carteira de mínima variância com restrição de venda a descoberto é obtida por meio da minimização de variância (equação 1) sujeita a uma restrição adicional (além da restrição imposta pela equação 3), qual seja a inequação abaixo.

0 ≥ i w (20) Onde: i

w = peso atribuído ao ativo “i”

3.5.2 CARTEIRA TANGENTE COM RESTRIÇÃO DE VENDA A DESCOBERTO

A carteira tangente com restrição de venda a descoberto é obtida por meio da minimização da variância dos retornos (equação 1) sujeita às restrições (equações 3 e 5 além da restrição adicional expressa pela equação 20).

A tabela 1 a seguir lista o conjunto de estratégias escolhidas para o estudo e indica as abreviações utilizadas.

Tabela 1: Modelos Selecionados # Modelo Abreviação Igualmente ponderado 0. 1/N EW

Abordagem Clássica: ignora erros de estimação amostral

1. Carteira tangente com estimação baseada em amostra TG

Abordagem Bayesiana para distribuição preditiva

2.

Carteira tangente com estimação baseada em uma distribuição

preditiva BS

Restrições de Momento

3. Carteira de mínima variância MIN

4. Carteira ponderada pelo valor de mercado das empresas VW

Restrições de Venda a Descoberto

5. Carteira de mínima variância com restrição de venda a descoberto MINSL

6. Carteira tangente com restrição de venda a descoberto TGSL

A tabela 1 lista os diversos modelos de alocação de ativos considerados neste trabalho. A última coluna da tabela retorna as abreviações utilizadas para identificar cada estratégia.

4.

METODOLOGIA DE COMPARAÇÃO

A análise comparativa de desempenho entre as estratégias de alocação será realizada de três formas, a saber: indicadores de Sharpe, retorno equivalente de certeza e turnover de alocação. A seguir, a descrição de cada método comparativo.

4.1

INDICADOR DE SHARPE

Para comparar o desempenho de cada estratégia de alocação “k” de ativos é possível avaliar as diferenças entre indicadores de Sharpe estimados “SRk

^

” fora da amostra. O indicador é calculado como o excesso de retorno da carteira “

µ

k

^

” (acima de um ativo livre de risco) sob o desvio padrão estimado da carteira “

σ

k

^ ”. k k k SR σ µ ^ ^ ^ = (21)

Diferenças de desempenho entre estratégias de alocação comparadas duas a duas, serão investigadas através de testes de hipótese. A estatística do teste será calculada para determinar, dado um nível de significância, se a hipótese nula de que a diferença entre indicadores da Sharpe é igual a zero pode ser rejeitada.

0 : ^ ^ 0 SR_k−SR_h = H (22) Onde: k SR ^

= série de indicadores de Sharpe estimados fora da amostra para a estratégia “k”

h

SR

^

= série de indicadores de Sharpe estimados fora da amostra para a estratégia “h”

Para comparar diferenças entre os indicadores de Sharpe, serão calculadas as estatísticas: (a) t de Student e (b) zJK de Jobson e Korkie (1981) para comparação de indicadores de Sharpe:

(a) SRh SRk SRh SRk t − − =

σ

µ

µ

^ ^ ^ ) ( (23) Onde: SRk ^

µ = média dos indicadores de Sharpe da carteira “k”

SRh

^

µ = média dos indicadores de Sharpe da carteira “h”

SRh SRk−

σ

^

= desvio-padrão da diferença entre os indicadores de Sharpe das carteiras “k” e “h”

(b) ^ ^ ^ ^ ^ ^ ϑ µ σ µ σk h h k JK z = − (24) Onde: k ^

σ

= desvio padrão da carteira “k”

h

^

σ

= desvio padrão da carteira “h”

k

^

µ

= excesso de retorno estimado da carteira “k” acima de um retorno livre de risco

h

^

µ

= excesso de retorno estimado da carteira “h” acima de um retorno livre de risco

_σ

^ ,h

k =

correlação entre os retornos das carteiras “k” e “h”

) 2 1 2 1 2 2 ( 1 ^ 2 , ^ ^ ^ ^ ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ , ^ ^ ^ 2 ^ 2

σ

σ

σ

µ

µ

σ

µ

σ

µ

σ

σ

σ

σ

σ

ϑ

kh h k k h k h h k h k h k h k M T− − + + − =

O nível de significância utilizado para testar a hipótese (22) será 0,23%, equivalente a 5% dividido pelo número de comparações, conforme a correção de Bonferroni para comparações múltiplas. As sete estratégias de alocação comparadas duas a duas resultam em 21 comparações.

É importante ressaltar que a acurácia dos indicadores de Sharpe está intimamente relacionada com as propriedades estatísticas dos seus estimadores (expectativa de retorno

acima de um retorno livre de risco e desvio padrão dos retornos), como descreve Lo (2002). Quanto maior o desvio padrão dos retornos das estratégias, mais difícil será a avaliação do indicador de Sharpe. Além disso, Lo (2002) mostra que a correlação serial dos retornos pode alterar significativamente o indicador de Sharpe do período (estimado a partir de um subperíodo). Quando há correlação serial positiva (negativa) de retornos mensais, o indicador de Sharpe anualizado (obtido a partir da multiplicação do indicador mensal por

12

) ficará sobre estimado (subestimado).

Geralmente assume-se a hipótese de que a série de retornos das estratégias é independentemente e identicamente distribuída, o que significa que a probabilidade de distribuição dos retornos da amostra é igual à dos retornos reais não observados.

Lo (2002) sugere que a hipótese de retornos independentemente e identicamente distribuídos seja utilizada apenas quando o desvio padrão dos indicadores de Sharpe estimados é baixo e diminui muito pouco quando se aumenta o tamanho da amostra. Esta condição é observada quando a amostra tem mais do que 60 observações e o indicador de Sharpe é pequeno. Como se observa na tabela 7 do anexo 1, os indicadores de Sharpe médios observados para as estratégias variam entre -0,047 e 0,267, valores considerados baixos por Lo (2002). Além disso, as 80 observações contribuem para reduzir o desvio padrão dos indicadores de Sharpe conforme a regra sugerida pelo autor.

Finalmente, como não são estimados indicadores de Sharpe de período baseados em sub-períodos (indicador anualizado com base em indicador mensal, por exemplo), desconsidera-se a análise de correlação serial entre os retornos.

4.2

RETORNO EQUIVALENTE DE CERTEZA

Outra maneira utilizada para comparar o desempenho de estratégias de alocação é através do cálculo do retorno equivalente de certeza, retorno livre de risco preferido pelo investidor contra determinada estratégia de alocação com risco. Para cada estratégia de alocação “k”, o retorno equivalente de certeza estimado “CEQk

^

” fora da amostra será:

2 ^ ^ ^

2

k k k

CEQ

=

µ

−

λ

σ

(25)

Os testes serão conduzidos para o caso em que o coeficiente de aversão a risco do investidor “

λ

” é igual a 1. Este caso indica que o investidor é neutro ao risco, ou seja, é

indiferente entre ganhar um retorno com certeza ou participar de uma loteria com o mesmo

payoff.

Para avaliar se duas estratégias de alocação possuem CEQ estatisticamente diferentes, será avaliada a estatística de teste (expressa pela equação 27) para a diferença entre CEQ de estratégias “k” e “h” distintas. 0 : ^ ^ 0 CEQk −CEQh = H (26) CEQh CEQk CEQh CEQk t − − =

σ

µ

µ

^ ^ ^ ) ( (27) Onde: k CEQ ^

= retorno equivalente de certeza para a carteira “k”

i

CEQ

^

= retorno equivalente de certeza para a carteira “h”

O nível de significância utilizado para testar a hipótese (26) será, conforme nos testes para diferenças entre indicadores de Sharpe (acima), igual de 0,23%.

4.3

TURNOVER

O terceiro método utilizado para comparação das estratégias de alocação de ativos dimensiona o volume médio transacionado a cada período de maneira a seguir a estratégia adotada. ) ( 1 , , ^ 1 1 ^ 1 , , + − = = + − − =

∑∑

k jt M T t N j t j k w w M T Turnover (28)

A média de turnover é calculada sob os “T-M” períodos de realocação e contempla os

“N” ativos contidos nas carteiras. Na fórmula acima, “

^ 1 , ,jt+ k w

” indica o peso ótimo estimado (segundo a estratégia “k” e para o ativo “j”) para o período “t+1”. Já o parâmetro “wk,j,t+

^

” indica o peso ótimo definido anteriormente, para a janela amostral de um período atrás.

Assim, temos que o módulo da diferença de pesos após e antes do novo balanceamento da carteira será igual ao turnover (expresso como porcentagem de riqueza alocada) para dada estratégia, ativo e período. A fórmula acima expressa a média dos turnovers entre períodos e ativos para cada estratégia.

5.

DESCRIÇÃO DA AMOSTRA

O trabalho foi desenvolvido a partir de uma amostra de retornos mensais de empresas listadas na Bolsa de Valores de São Paulo (BM&F Bovespa) no período entre janeiro de 1995 a dezembro de 2008. Somente as ações de empresas que foram negociadas em pelo menos um dos cinco primeiros dias úteis de cada mês foram consideradas para o conjunto amostral. É importante lembrar que para que a ação faça parte da amostra, deve ter havido negociação segundo o critério acima também no último mês de 1994, assim foi possível apurar o retorno mensal das ações no primeiro mês de 1995.

Para a construção das carteiras tangente com distribuição baseada em amostra (TG), tangente com distribuição preditiva (BS) e tangente com restrição de venda a descoberto (TGSL), também foram utilizados dados de retorno livre de risco, estimado através das taxas de retorno mensais do índice de depósito interfinanceiro (DI).

Os preços dos ativos de risco foram obtidos através do sistema de informações da Economática e os indicadores de depósito interfinanceiro foram retirados do CETIP S.A. – Balcão Organizado de Ativos e Derivativos.

A tabela 2 a seguir lista as ações das empresas selecionadas para compor as carteiras de cada estratégia.

Tabela 2: Lista de Ativos de Risco Selecionados

# Dados e Fonte N T M Período Total

0. Trinta e três ações de companhias abertas listadas na Bolsa de Valores de São Paulo (BM&F Bovespa).

33 168 84 01/1995 - 12/2008

# Empresas Selecionadas Abreviação

1. CIA DE BEBIDAS DAS AMERICAS-PREF AMBV4

2. ARACRUZ CELULOSE SA-PREF B ARCZ6

3. BRASKEM SA-PREF A BRKM5

4. BRASIL TELECOM SA-PREFERENCE BRTO4

5. CIA ENERGÉTICA DE SÃO PAULO CESP3

6. CIA ENERGÉTICA DE SP-PREF A CESP5

7. CENTRAIS ELETRIC STA CAT-PRB CLSC6

8. CIA ENERGÉTICA DE MINAS GER CMIG3

9. CIA ENERGÉTICA MINAS GER-PRF CMIG4

10. CIA PARANAENSE DE ENERGIA CPLE3

11. SOUZA CRUZ SA CRUZ3

12. CIA SIDERURGICA NACIONAL SA CSNA3

13. DURATEX SA-PREF DURA4

14. CENTRAIS ELÉTRICAS BRASILIER ELET3

15. CENTRAIS ELÉTRICAS BRAS-PR B ELET6

16. FERTILIZANTES FOSFATADOS SA FOSTERTIL - PN FFTL4

17. FORJAS TAURUS SA-PREF FJTA4

18. GERDAU SA-PREF GGBR4

19. METALURGICA GERDAU SA-PREF GOAU4

20. INEPAR SA INDÚSTRIA E C-PREF INEP4

21. KLABIN SA-PREF KLBN4

22. LIGHT SA LIGT3

23. PETROBRAS - PETRÓLEO BRAS PETR3

24. PETROBRAS - PETRÓLEO BRAS-PR PETR4

25. RANDON PARTICIPAÇÕES SA-PREF RAPT4

26. SADIA SA-PREF SDIA4

27. TELECOMUNICAÇÕES DE SÃO PAOL TLPP3

28. TELECOMUNICAÇÕES DE SÃO-PREF TLPP4

29. UNIÃO INDS PETROQUÍMICA-PR B UNIP6

30. USINAS SIDER MINAS GER-PF A USIM5

31. VALE SA VALE3

32. VALE SA-PREF A VALE5

33. VOTORANTIM CELULOSE PAP-PREF VCPA4

A tabela 2 lista os N ativos de risco que foram negociadas em ao menos um dos cinco primeiros dias úteis de cada mês durante todo o período T (em meses) analisado. A janela amostral é representada por M (em meses). As N ações das empresas listadas na Bolsa de Valores de São Paulo que se enquadraram no critério de liquidez acima são numeradas de 1 a 33.

6.

ANÁLISE DOS RESULTADOS

Na seção 3 foram descritos três métodos para comparar eficiência de alocações de ativos. Nesta seção, as três técnicas serão explorados para investigar possíveis diferenças entre a diversificação simples e as demais estratégias aqui consideradas. Além disso, uma análise entre as estratégias, duas a duas, será também apresentada.

6.1

INDICADOR DE SHARPE

A tabela 3 apresenta os resultados dos testes de hipótese (22) para diferenças entre indicadores de Sharpe das estratégias consideradas. A estatística de teste é dada pela equação (23).

As diferenças foram apuradas entre os indicadores de Sharpe de cada estratégia “k” identificada na primeira coluna e os mesmos indicadores para cada estratégia “h” identificada na primeira linha.

Tabela 3: Comparação de Indicadores de Sharpe (mês a mês de janeiro de 2002 a dezembro de 2008)

"h" EW Coeficiente 0,000 0,005 -0,210 -0,111 0,021 -0,074 -0,270 (t-Stat) - (-0,107) (-1,039) (-0,812) (0,159) (-1,058) (-1,363) VW Coeficiente 0,000 -0,225 -0,126 0,006 -0,089 -0,285 (t-Stat) - (-1,058) (-0,892) (0,038) (-1,085) (-1,365) TG Coeficiente 0,000 0,099 0,231 0,136 -0,060 (t-Stat) - (0,509) (1,097) (0,478) (-0,656) MIN Coeficiente 0,000 0,132 0,037 -0,159 (t-Stat) - (0,735) (0,361) (-0,809) TGSL Coeficiente 0,000 -0,094 -0,291 (t-Stat) - (-0,655) (-1,440) MINSL Coeficiente 0,000 -0,196 (t-Stat) - (-1,028) BS Coeficiente 0,000 (t-Stat)

-A tabela 3 apresenta os resultados do teste de hipótese (22) , com (21) . Para cada teste de hipótese, são indicados o coeficiente e a estatística do teste (23) - .

O teste de hipótese entre indicadores de Sharpe das estratégias EW e VW considera séries de 156 meses, dado que estas estratégias não requerem janelas de estimação. As demais comparações são realizadas com séries de 84 meses.

TGSL MINSL BS EW VW TG MIN "k" 0 : ^ ^ 0 SRk−SRh= H SRh SRk S Rh S Rk t − − = σ µ µ ^ ^ ^ ) ( k k k SR µ σ ^ ^ ^ =

Os resultados indicam que não há evidências de que a diferença entre os indicadores da Sharpe seja diferente de zero a um nível de significância de 5%. Considerando a correção de Bonferroni, igualmente não se rejeita a hipótese (22) ao nível de significância de 0,23%. Assim, não é possível afirmar que existe desempenho superior de uma estratégia em detrimento de outra. Entre todas as comparações, a média dos desvios entre indicadores de Sharpe ficou próxima de zero e dos desvios-padrões menores do que um.

Comparando as diferenças entre a estratégia equally weighted (EW) e as demais, é possível notar diferenças negativas entre os indicadores de Sharpe da primeira contra os indicadores de Sharpe das carteiras: tangente (TG), mínima variância (MIN), mínima variância com restrição de venda a descoberto (MINSL) e a abordagem clássica com estimação de Bayes-Stein (BS). Apesar das diferenças negativas sugerirem uma possível superioridade de desempenho destas estratégias sobre a estratégia equally weighted (EW), a aparente superioridade não é mantida quando da comparação destas estratégias com as demais, exceto para a estratégia de Bayes-Stein (BS).

A análise de desempenho superior da estratégia de carteira tangente (TG), por exemplo, revela que o desempenho do indicador de Sharpe fora da amostra desta carteira é inferior ao do mesmo indicador para a estratégia de Bayes-Stein (BS). Com relação ao desempenho superior do indicador de Sharpe da estratégia de mínima variância (MIN), temos que esta avaliação positiva é anulada quando da comparação dos indicadores de Sharpe fora da amostra desta estratégia com o de outras, como a estratégia tangente (TG) e a de Bayes-Stein (BS). Já na avaliação de desempenho da estratégia de mínima variância com restrição de venda a descoberto (MINSL), seu desempenho superior é violado quando da comparação com as estratégias: tangente (TG), mínima variância (MIN) e Bayes-Stein (BS). A superioridade dos indicadores de Sharpe para as estratégias TG, TGSL e BS já era esperada dada a própria maximização do indicador de Sharpe quando da estimação dos pesos dos ativos que compõe cada estratégia (equação 6). Contudo, esta superioridade é observada para as estratégias que não adicionam restrição de venda a descoberto: TG e BS.

No teste, nota-se aparente superioridade da estratégia de Bayes-Stein (BS) sob as demais, já que esta apresenta variação positiva na diferença de indicadores de Sharpe na comparação com qualquer outra estratégia de otimização de Markowitz. No entanto, os testes de hipótese não revelam indícios de que um indicador é ser superior a outro a um nível de significância de 5% (ou 0,23% com correção de Bonferroni).

Conforme apresentado na tabela 7, anexo 1, outras medidas de desempenho, além do indicador de Sharpe, devem ser analisadas para confirmar esta aparente superioridade, já que o cálculo da estratégia BS pressupõe a maximização do indicador de Sharpe.

6.2

INDICADOR DE SHARPE COM ESTATÍSTICA DE JOBSON E

KORKIE (1981)

A tabela 4 apresenta os resultados dos testes de hipótese (22) para diferenças entre indicadores de Sharpe das estratégias consideradas (analisadas duas a duas). A estatística de teste é dada pela equação (24).

Os resultados confirmam a evidência apresentada na tabela 3, ou seja, não é possível identificar diferenças significativas entre os indicadores de Sharpe fora da amostra das estratégias a um nível de significância de 5% (ou 0,23% com correção de Bonferroni). Neste caso a hipótese nula (22) é testada com a estatística apresentada na equação (24). Comparativamente aos resultados apresentados na tabela 3, as diferenças médias entre as

"h" EW Coeficiente 0,000 0,000 0,049 -0,001 0,001 0,000 -0,044 (zjk-Stat) - (0,000) (0,588) (0,000) (0,000) (0,000) (-1,183) VW Coeficiente 0,000 0,040 -0,001 0,001 -0,001 -0,047 (zjk-Stat) - (0,447) (0,000) (0,000) (0,000) (-1,036) TG Coeficiente 0,000 -0,044 -0,005 -0,043 -0,233 (zjk-Stat) - (-0,578) (-0,027) (-0,596) (-0,086) MIN Coeficiente 0,000 0,003 0,000 -0,024 (zjk-Stat) - (0,000) (0,000) (-0,669) TGSL Coeficiente 0,000 0,003 -0,081 (zjk-Stat) - (0,000) (-0,772) MINSL Coeficiente 0,000 -0,027 (zjk-Stat) - (-1,490) BS Coeficiente 0,000 (zjk-Stat)

-Tabela 4: Comparação de Indicadores de Sharpe com estatística de Jobson e Korkie (1981) - (mês a mês de janeiro de 2002 a dezembro de 2008)

A tabela 4 apresenta os resultados do teste de hipótese (22) , com (21) . Para cada teste de hipótese, são indicados o coeficiente e a estatística do teste (24) (estatística de Jobson e Korkie (1981) para comparação entre indicadores de Sharpe).

O teste de hipótese entre indicadores de Sharpe das estratégias EW e VW considera séries de 156 meses, dado que estas estratégias não requerem janelas de estimação. As demais comparações são realizadas com séries de 84 meses.

BS EW VW TG MIN TGSL MINSL "k" 0 : ^ ^ 0 − = h k SR SR H ^ ^ ^ ^ ^ ^ ϑ µ σ µ σ       ₋ = k h h k JK z k k k SR µ σ ^ ^ ^ =

estratégias duas a duas ficaram ainda mais próximas de zero. Já os desvios padrões das diferenças entre indicadores observados foram, em 90,47% das comparações, menores do que 1.

A partir da análise dos resultados da estatística de teste (24), temos que a aparente superioridade das estratégias TG, MIN, MINSL e BS, sobre a estratégia equally weighted (EW), apontada pelo sinal negativo das diferenças, deixa de valer neste caso para as estratégias TG, MIN e MINSL (dado que a média das diferenças dos dois últimos casos é praticamente zero). É curioso observar que, apesar de não se rejeitar a hipótese (22), os resultados do teste com base na estatística de Jobson e Korkie (1981) evidenciam, novamente, aparente desempenho superior da estratégia de Bayes-Stein (BS) em detrimento das demais. Esta análise é verificada a partir dos sinais negativos observados quando das diferenças entre indicadores de Sharpe das estratégias em estudo contra a estratégia de BS e dos valores absolutos maiores conferidos à estatística “zJK”.

Novamente, cabe ressaltar que outras medidas de desempenho, além do indicador de Sharpe, devem ser analisadas para confirmar esta aparente superioridade (tabela 7, anexo 1). Ao comparar estes resultados com os obtidos por DeMiguel et al (2009), observa-se grande proximidade, dado que os indicadores de Sharpe das estratégias analisadas não são superiores fora da amostra, de maneira consistente (para todas as bases de dados analisadas), aos obtidos quando da diversificação simples. Contudo, é importante notar que, enquanto há suspeita de que a estratégia BS domine EW neste estudo, DeMiguel et al (2009) indica que esta suspeita deveria ser atribuída às estratégias MIN, MINSL e TGSL. Em pelo menos uma das sete bases de dados consideradas por DeMiguel et al (2009), nestes três casos, a diferença entre os indicadores de Sharpe de MIN, MINSL e TGSL com os observados de EW foi positiva e significativa (com nível de significância de 5%).

6.3

RETORNO EQUIVALENTE DE CERTEZA

A tabela 5 apresenta os resultados dos testes de hipótese (26) para diferenças entre os retornos equivalentes de certeza das estratégias consideradas (analisadas duas a duas). A estatística de teste é dada pela equação (27).