03 - Lei de Gauss

Fluxo

Suponha que uma espira quadrada de área A seja exposta a um vento uniforme cuja velocidade é ¯

v . Seja Φ a vazão (volume por unidade de tempo) do ar através da espira. Essa vazão depende da velocidade e o plano da espira. Se ¯v é perpendicular ao plano da espira, vazão Φ é igual a vA.

Se ¯v é paralela ao plano da espira, o ar não passa pela espira e, portanto, Φ é zero. Para um ângulo intermediário θ, a vazão Φ depende da componente de ¯v normal ao plano. Como essa componente é v cosθ, a vazão através da espira é dada por:

Φ=(v cos θ) A

A expressão acima pode ser escrita na forma vetorial. Para isso definimos um vetor área A¯

como um vetor cujo o módulo é igual a uma área e cuja direção é perpendicular ao plano da área. A expressão anterior então pode ser expressa pelo produto vetorial:

Φ=¯v⋅¯A Fluxo de campo elétricos

Supondo um meio contendo um campo elétrico, podemos criar hipoteticamente uma superfície fechada imaginária nesse meio.

Essa superfície imaginária é chamada superfície Gaussiana. Como o campo elétrico é uma grandeza vetorial, podemos calcular o fluxo do campo através da superfície Gaussiana. Para isso dividimos a superfície em pequenos quadrados de área ΔA suficientemente pequenos para que suas curvaturas sejam desprezíveis e os quadrados possam ser considerados planos.

Como o elemento de área é suficientemente pequeno, o campo elétrico pode ser considerado constante em toda área do quadrado.

Cada elemento de área tem um vetor área Δ ¯A associado. Assim, pode-se calcular o fluxo de campo elétrico através desse elemento:

Δ Φ= ¯E⋅Δ ¯A

O fluxo total de campo elétrico é dado pela soma do fluxo em todos os elementos quadrados:

Φ=

∑

somatório em uma integral:

Φ=

∮

A expressão acima define o fluxo de campo elétrico em uma superfície Gaussiana (uma superfície fechada).

Exemplo: Qual o fluxo de campo elétrico na superfície fechada imersa em um campo uniforme, conforme a figura abaixo?

Lei de Gauss

A Lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ de um campo elétrico através de uma superfície fechada (gaussiana) à carga total qenv que é envolvida por essa superfície. Em notação matemática:

εΦ = qenv

A equação acima diz que a qenv é a soma algébrica das cargas situadas dentro de uma superfície

fechada (gaussiana), podendo ela ser positiva, negativa ou nula. É importante salientar que a carga nula no interior da superfície gaussiana não significa ausência de campo elétrico, diz somente que o fluxo total do campo (a soma do campo que entra com o campo que sai da superfície) é zero.

Analisando a superfície S1 na figura acima, vê-se que todas as linhas de campo que atravessam a

superfície estão saindo, fazendo com que o fluxo de campo elétrico total seja positivo, que o sinal da carga no interior de S1.

Na superfície S2 o campo elétrico aponta para dentro em todos os pontos da superfície, fazendo com

que o fluxo total seja negativo, assim como a carga no interior da superfície.

Observando as linhas de campo na superfície S3, percebe-se que todas as linhas que entram em um

ponto, saem em algum outro ponto da superfície. O fluxo de campo elétrico total nessa superfície, portanto, é nulo. Esse resultado é razoável, visto que não há cargas no interior de S3.

Por último, analisando a superfície S4, que engloba todas as outras anteriores, percebe-se que a

carga positiva gera campos elétricos saindo da superfície, enquanto a carga negativa gera campo entrando em S4. O fluxo total do campo elétrico deve ser nulo, visto que a soma das cargas dentro

da superfície é zero.

Se aplicarmos a Lei de Gauss para uma carga puntiforme com carga q, temos:

ε Φ=ε

∮

Se escolhermos uma superfície gaussiana esférica, com o centro na carga, dada a característica radial do campo elétrico, o produto escalar E ∙ dA = EdA. Como na superfície gaussiana o raio é constante, o módulo do campo também o será, portanto:

O resultado da integral, portanto, será a área da esfera. Assim:

εE 4 π r2_{=q logo E=} 1

4 π ε⋅ q r2

Que é a equação de campo elétrico para uma carga puntiforme obtida inicialmente pela Lei de Coulomb.

A Lei de Gauss pode ser usada para demonstrar um teorema importante: “Se uma carga excedente é introduzida em um condutor, a carga se concentra na superfície do condutor, o interior continua neutro”.

Adicionalmente, essa lei permite também determinar a distribuição dessas cargas excedentes sobre a superfície do condutor. Se o condutor é esférico, a distribuição superficial das cargas é uniforme. Caso o condutor não seja esférico, a densidade de cargas será maior em regiões com menor raio de curvatura.

As demonstrações de tais propriedades ficam como exercício para os alunos.

Como o interior de um condutor não possui carga excedente, o campo elétrico no interior do condutor carregado também deve ser nulo. Na parte externa da superfície condutiva, entretanto, haverá campo elétrico, basta usar a Lei de Gauss, escolhendo uma superfície gaussiana maior que envolva o condutor.

Se for escolhida uma gaussiana com a mesma forma do condutor, mas infinitesimalmente maior, é possível demonstrar que as linhas de campo elétrico na superfície do condutor é sempre perpendicular a essa superfície, independente de sua forma volumétrica.

Usando a Lei de Gauss

Utilizando a Lei de Gauss, muitas vezes é mais simples determinar determinadas equações escolhendo uma gaussiana apropriada que usando cálculo diferencial (como nos exemplos anteriores).

Como exemplo, determinaremos o campo elétrico produzido por um fio longo carregado com distribuição uniforme de cargas λ [C/m], a uma distância R do fio.

Pela simetria do problema, escolhemos como superfície gaussiana um cilindro cujo eixo coincide com o fio carregado. Dessa forma, a distância entre o fio e a superfície lateral do cilindro será constante.

O fluxo de campo elétrico que atravessa o cilindro o fará somente na superfície lateral, visto que pela geometria do problema, não haverá campo elétrico na mesma direção do eixo do cilindro, ou

seja, perpendicular às bases da gaussiana. Assim, o fluxo de campo elétrico total na superfície gaussiana é:

Φ = E A cos θ = E (2πrh) cos 0 = E 2πrh

Como a carga envolvida pela gaussiana é λh, temos, de acordo com a lei de Gauss: ε Φ = qenv = λh

ε E 2πrh = λh

E= λ

2 π ε r [N/C]

que é a expressão do campo elétrico gerado por uma linha infinita de carga a um ponto distante r da linha.

Outro exemplo é achar a expressão do campo elétrico gerado por uma placa infinita carregada com densidade superficial de cargas σ [C/m2_{]. Pela geometria do problema, escolhemos como superfície}

gaussiana um cilindro cujo eixo é perpendicular ao plano da placa.

Como o campo elétrico gerado pela placa é sempre perpendicular ao seu plano, não haverá fluxo de campo elétrico na superfície lateral do cilindro, somente em suas bases. Logo, o fluxo total de campo elétrico será:

onde A é a área de uma das bases. Aplicando a lei de Gauss: ε (EA + EA ) = σ A E = σ / 2ε [N/C]

que foi a mesma expressão obtida usando a expressão do campo elétrico a partir da Lei de Coulomb e cálculo integral. Repare, novamente, que o campo elétrico não depende da distância do ponto onde o campo é calculado e a placa carregada.

Se tivermos duas placas paralelas carregadas com mesma densidade superficial de cargas σ, mas de sinais contrários, teremos:

Usando o mesmo raciocínio anterior, podemos calcular o campo elétrico em qualquer ponto entre as duas placas. Nesse caso, teremos a soma vetorial do campo elétrico produzido por cada uma das placas, que foi deduzido anteriormente. Consequentemente:

E = σ / ε [N/C]

o qual sua direção é sempre perpendicular às placas e com sentido da carga positiva para a carga negativa.