Aula 12 - Variáveis aleatórias discretas e distribuiçõoes de probabilidade

PROBABILIDADE E

ESTATÍSTICA

PROFESSOR: Heleno Pontes Bezerra Neto

Eng. Civil, M.Sc.

[email protected]

Maceió-AL 2014.2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS CENTRO DE TECNOLOGIA

SUMÁRIO DA AULA

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

PROBABILIDADE

Objetivos do aprendizado

• Determinar probabilidades a partir de funções de probabilidade

• Determinar probabilidades a partir de funções de distribuição cumulativa. • Calcular média e variância para variáveis discretas.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Exemplo

 Um sistema de comunicação de voz contem 48 linhas externas. Em um certo tempo, o sistema é observado e algumas das linhas estão sendo usadas. Seja a v.a. X o número de linhas uso. X pode assumir valores inteiros de 0 até 48. Quando o sistema o sistema for observado, se 10 linhas estiverem em uso, então x=10.

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Exemplo

 Em um processo de fabricação de um semicondutor, duas pastilhas de um lote são testadas. Cada pastilha é classificada como passa ou falha. Suponha que a probabilidade de uma pastilha passar no teste seja 0.8 e que as pastilhas sejam independentes. O espaço amostral para o experimento e as possibilidades associadas são mostradas na tabela abaixo:

 Por causa da independência, a probabilidade de a primeira pastilha passar no teste e da segunda falhar é:

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

A distribuição de probabilidades de uma variável 𝑋 é uma descrição das probabilidades associadas com os valores possíveis de 𝑋. Em alguns casos, é conveniente expressar a probabilidade em termos de uma fórmula.

EXEMPLO:

Há uma chance de que um bit transmitido através de um canal de transmissão digital seja transmitido com erro. Seja 𝑋 o número de bits com erro nos próximos 4 bits transmitidos. Os valores possíveis para 𝑋 são {0,1,2,3,4}. Suponha as seguintes probabilidades: 𝑃 𝑋 = 0 = 0.6561 𝑃 𝑋 = 1 = 0.2916 𝑃 𝑋 = 2 = 0.0486 𝑃 𝑋 = 3 = 0.0036 𝑃 𝑋 = 4 = 0.0001

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE

Para uma variável aleatória 𝑋, com valores possíveis 𝑥₁, … , 𝑥_𝑛, a função de probabilidade é uma função tal que:

1) 𝑓 𝑥

≥ 0

2) 𝑓 𝑥

= 1

3)𝑓 𝑥

= 𝑃(𝑋 = 𝑥

)

EXEMPLO:

Seja a variável aleatória 𝑋 o número de pastilhas de semicondutores que necessitam ser analisadas, de modo a detectar uma grande partícula de contaminação. Seja 0,01 a probabilidade de uma pastilha conter uma grande partícula e que as pastilhas sejam independentes. Determine a distribuição de probabilidade de X.

Seja p uma pastilha em que uma grande partícula está presente e a uma pastilha em que essa partícula esteja ausente.

O espaço amostral do experimento é infinito. Isto é:

𝑆 = {𝑝, 𝑎𝑝, 𝑎𝑎𝑝, 𝑎𝑎𝑎𝑝, 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝, … }

EXEMPLO:

𝑆 = {𝑝, 𝑎𝑝, 𝑎𝑎𝑝, 𝑎𝑎𝑎𝑝, 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝, … } Considere alguns poucos casos especiais:

Uma fórmula geral é:

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

𝑃 𝑋 = 2 = 𝑃 𝑎𝑝 = 0,99(0,01) = 0,0099 𝑃(𝑋 = 1) = 𝑃(𝑝) = 0,01

𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑃 𝑎𝑎 … 𝑎𝑝 = 0.99𝑥−1(0.01), para 𝑥 = 1,2,3, …

𝑥 − 1 𝑎′𝑠 Descrever as probabilidades

associadas com 𝑋 em termos da fórmula torna-se mais simples.

FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO CUMULATIVA

A função de distribuição acumulada ou cumulativa de uma variável discreta 𝑋 é denotada por 𝐹(𝑋):

Onde 𝐹(𝑥) satisfaz as seguintes propriedades:

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑓(𝑥

)

FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO CUMULATIVA

EXEMPLO:

Retomando o exemplo de bits com erros. Se estivermos interessados na probabilidade de encontrar 3 ou menos bits com erro, essa questão pode ser expressa como:

Há uma chance de que um bit transmitido através de um canal de transmissão digital seja transmitido com erro. Seja 𝑋 o número de bits com erro nos próximos 4 bits transmitidos. Os valores possíveis para 𝑋 são {0,1,2,3,4} . Suponha as seguintes probabilidades: 𝑃 𝑋 = 0 = 0.6561 𝑃 𝑋 = 1 = 0.2916 𝑃 𝑋 = 2 = 0.0486 𝑃 𝑋 = 3 = 0.0036 𝑃 𝑋 = 4 = 0.0001

Distribuição de probabilidades para bits com erros

𝑃(𝑋 ≤ 3) 𝑃 𝑋 ≤ 3 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 𝑃 𝑋 ≤ 3 = 0.6561 + 0.2916 + 0.0486 + 0.0036 = 0.9999

FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO CUMULATIVA

EXEMPLO:

Essa abordagem pode também ser utilizada para calcular 𝑃(𝑋 = 3):

Há uma chance de que um bit transmitido através de um canal de transmissão digital seja transmitido com erro. Seja 𝑋 o número de bits com erro nos próximos 4 bits transmitidos. Os valores possíveis para 𝑋 são {0,1,2,3,4} . Suponha as seguintes probabilidades: 𝑃 𝑋 = 0 = 0.6561 𝑃 𝑋 = 1 = 0.2916 𝑃 𝑋 = 2 = 0.0486 𝑃 𝑋 = 3 = 0.0036 𝑃 𝑋 = 4 = 0.0001

Distribuição de probabilidades para bits com erros

𝑃 𝑋 = 3 = 𝑃 𝑋 ≤ 3 − 𝑃 𝑋 ≤ 2

FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO CUMULATIVA

EXEMPLO:

Determine a função de probabilidade de 𝑋 , a partir da seguinte função de distribuição cumulativa: 𝐹 𝑥 = 0 𝑥 < −2 0.2 −2 ≤ 𝑥 < 0 0.7 1 0 ≤ 𝑥 < 22 ≤ 𝑥 𝑓 −2 = 0.2 − 0 = 0.2 𝑓 0 = 0.7 − 0.2 = 0.5 𝑓 2 = 1.0 − 0.7 = 0.3

EXEMPLO:

Suponha que uma produção diária de 850 peças fabricadas contenha 50 delas que não obedecem aos requerimentos do consumidor. Duas peças são selecionadas ao acaso, sem reposição, da batelada. Seja a variável aleatória X o número de peças não-conformes a amostra. Qual é a função de distribuição cumulativa de X?

MÉDIA E VARIÂNCIA:

VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

 MÉDIA OU VALOR ESPERADO (𝝁 OU 𝑬(𝑿))

𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑥

) ( )

) (

)

( )

) (

)

( )

) (

)

( )

i

E a

a

ii

E bX

bE X

iii

E X

a

E X

a

iv E a bX

a bE X













 

MÉDIA E VARIÂNCIA:

VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

 MÉDIA OU VALOR ESPERADO (𝝁 OU 𝑬(𝑿))

𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑥  VARIÂNCIA (𝝈𝟐 OU 𝑽(𝑿)) 𝜎2 = 𝑉 𝑋 = 𝐸(𝑋 − 𝜇 )2= (𝑥 − 𝜇)2 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥) 𝜎2 = 𝑉 𝑋 = 𝑥2 ∙ 𝑓 𝑥 − 𝜇2 𝑥  DESVIO PADRÃO (𝝈) 𝜎 = 𝜎2

• Uma distribuição de probabilidades pode ser vista como um carregamento com a média igual ao ponto de equilíbrio.

• (a) e (b) ilustram médias iguais, porém (a) possui maior variância.

MÉDIA E VARIÂNCIA:

VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

• As distribuições de probabilidades ilustradas em (a) e em (b) diferem, muito embora elas tenham médias e variâncias iguais.

EXEMPLO

EXEMPLO:

O número de mensagens enviadas por hora, através de uma rede de computadores, tem a seguinte distribuição:

Determine a média e o desvio padrão do número de mensagens enviadas por hora.

𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥)

𝑥

𝜎2 = 𝑉 𝑋 = 𝑥2 ∙ 𝑓 𝑥 − 𝜇2

EXEMPLO

O espaço amostral de um experimento aleatório é {a, b, c, d, e, f} e cada resultado é igualmente provável. Uma variável aleatória é definida como segue:

Exemplo: Resultado a b c d e f x 0 0 1,5 1,5 2 3 Resposta: f(0) = P(X=0) = 1/6 + 1/6 = 1/3 f(1,5) = P(X=1,5) = 1/6 + 1/6 = 1/3 f(2) = P(X=2) = 1/6 f(3) = P(X=3) = 1/6

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

Exemplo:

P(X = 0) = 0,6561

P(X = 1) = 0,2916

P(X = 2) = 0,0486

P(X = 3) = 0,0036

P(X = 4) = 0,0001

DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DISCRETA

Uma variável aleatória 𝑋 tem uma distribuição uniforme discreta se cada um dos 𝑛 valores em sua faixa, isto é 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛, tiver igual probabilidade. Ou seja,

𝑓 𝑥

=

Variável aleatória mais simples, que assume somente um número finito de valores possíveis, cada um com igual probabilidade.

𝜇 = 𝐸 𝑋 =

𝑏 + 𝑎

2

𝜎

=

(𝑏 − 𝑎 + 1)

−1

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DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DISCRETA

EXEMPLO:

Como em um exemplo anterior, seja a v.a. 𝑋 o número das 48 linhas telefônicas que estão em uso durante um certo tempo. Considere que 𝑋 seja uma variável aleatória discreta uniforme, com uma faixa de 0 a 48.

Assim,

𝐸 𝑋 = (48 + 0)

2 = 24

𝜎 = (48 − 0 + 1)2−1

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Um experimento aleatório consiste em 𝑛 tentativas de Bernouli, de modo que: (1) As tentativas sejam independentes

(2) Cada tentativa resulte em somente dois resultados possíveis, designados como “sucesso” e “falha”

(3) A probabilidade de um sucesso em cada tentativa, denotada por 𝑝, permanece constante

A variável aleatória 𝑋, que é igual ao número de tentativas que resultam em um

sucesso, é uma variável aleatória binomial com parâmetros 0 < 𝑝 < 1 e 𝑛 = 1,2, … A função de probabilidade de 𝑋 é:

𝑓 𝑥 = 𝑛_{𝑥 𝑝}𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 𝑥 = 0, 1, … , 𝑛

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (com reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.

X: {0, 1, 2, 3}

O experimento envolve 3 eventos independentes. Para cada evento:

P(vermelha) = 5/7 P(azul) = 2/7

= p (probabilidade de sucesso)

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (com reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.

f (x) = ? X: {0, 1, 2, 3} p = 5/7 q = 2/7 n = 3 ( 0) P X   2 2 2 7 7 7  3 2 8 7 343        q q q ( 1) P X   5 2 2 7 7 7  p q q 3! 1!2! 2 5 2 60 3 7 7 343           ( 2) P X   5 5 2 7 7 7  p p q 3! 2!1! 2 5 2 150 3 7 7 343              ( 3) P X   5 5 5 7 7 7  3 5 125 7 343        p p p x n x p q  ! !( )! n x n  x ( ) n x n x f x p q x        

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

 DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA

 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL NEGATIVA  DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA  DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

PROBABILIDADE

PRÓXIMA AULA

Referências: