Jose Luis Ramirez Bohorquez
Sensor Hall com geometria octogonal e com
cancelamento do offset, preparado para o estudo do
efeito Piezo-Hall
Hall plate with a octagonal geometry and offset
cancellation, designed for Piezo-Hall effect
measurement
Campinas, 2015
Universidade Estadual de Campinas
Faculdade de Engenharia El´
etrica e de Computa¸c˜
ao
Jose Luis Ramirez Bohorquez
Sensor Hall com geometria octogonal e com
cancelamento do offset, preparado para o estudo do
efeito Piezo-Hall
Orientador: Prof. Dr. Fabiano Fruett
Disserta¸c˜ao de mestrado apresentada `a Faculdade de Engenharia El´etrica e de Computa¸c˜ao como parte dos requisitos exigidos para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Engenharia El´etrica. ´Area de concentra¸c˜ao: Eletrˆonica, Microeletrˆonica e Op-toeletrˆonica.
Orientador: Fabiano Fruett
Este exemplar corresponde `a vers˜ao final da Disserta¸c˜ao defendida pelo aluno Jose Luis Ramirez Bohorquez e orientada pelo Prof. Dr. Fabiano Fruett
Campinas, 2015
Resumo
Os transdutores de efeito Hall s˜ao os sensores magn´eticos mais populares, por´em, a tens˜ao de offset e deriva de suas caracter´ısticas limita o n´umero de aplica¸c˜oes nas quais s˜ao usados. A principal fonte de varia¸c˜ao ´e o estresse mecˆanico remanes-cente na estrutura cristalina, relacionado aos piezo-efeitos presentes em materiais semicondutores, gera tens˜ao de offset e influencia a sensibilidade do dispositivo.
Apresentamos neste trabalho um sensor Hall com oito contatos, fabricado usando uma tecnologia CMOS comercial (XFABc06), que foi projetado para estudar a in-fluˆencia dos diferentes efeitos nas dire¸c˜oes cristalogr´aficas <100> e <110>. Este dispositivo foi projetado para ser usado tanto como placa Hall como elemento piezo-resistivo, j´a pensando em pesquisas futuras e mais detalhadas sobre a correla¸c˜ao entre os efeitos Hall e piezo-resistivo, o denominado efeito piezo-Hall.
Finalmente, modelando o dispositivo como uma ponte resistiva, analisamos as principais t´ecnicas usadas para a redu¸c˜ao de ruido e tens˜ao de offset em sensores Hall. Utilizando este desenvolvimento como base, projetamos um sensor magn´etico com redu¸c˜ao de tens˜ao de offset, onde a t´ecnica de giro de corrente ´e implementada usando a placa Hall octogonal, fontes de corrente e portas de transmiss˜ao anal´ogicas. A placa Hall foi integrada monoliticamente com o circuito eletrˆonico de condicio-namento de sinais. Medidas experimentais evidenciam uma redu¸c˜ao da tens˜ao de offset remanescente de 99%, comparado ao observado na placa Hall octogonal. Palavras-chave: Sensores Integrados, Sensores Magn´eticos, Efeito Hall, Cancela-mento de tens˜ao de offset, Giro de corrente, efeito Piezo-Hall.
Abstract
Hall Effect transducers are the most popular kind of magnetic sensor; however, the offset voltage and drift of their characteristic have limited their usability. The main source of variation is the remaining mechanical stress in the crystalline silicon struc-ture, related to the piezo-effects in the semiconductor materials, it has an important influence in the offset and the sensitivity of the device.
This work introduced an eight terminal Hall plate fabricated using a commercial CMOS process (XFABc06), which was used to study the different effects in the main crystallographic directions, which is suitable to measure the cross side effect between both Hall and piezo-resistive effects, which is called Piezo-Hall effect.
Finally, we analyzed Hall-plate devices as four-terminal resistance bridges to determine the main sources of error and explained how current-spinning technique can be used to effectively reduce offset and noise. Based on this analysis, an improved magnetic sensor was designed using the eight terminal octagonal Hall plate and a chopped-based control circuit. We integrated monolithically the sensor, switches, digital control and bias circuit that are required to implement the current-spinning technique. Experimental results showed a 99% offset reduction compared with the original offset level measured at Hall plate.
Key-words: Integrateed sensor, Magnetic sensor, Hall-effect sensor, Offset cancella-tion, Current-spinning offset reduccancella-tion, Piezo-Hall effect.
Sum´
ario
Pref´acio 1 Motiva¸c˜ao . . . 1 Introdu¸c˜ao . . . 2 Objetivo . . . 3 Organiza¸c˜ao . . . 3I
Desenvolvimento Te´
orico
5
1 Sensores Microeletrˆonicos 6 1.1 Efeitos Transdutores . . . 61.2 Sensores Microeletrˆonicos . . . 8
1.3 Especifica¸c˜oes de sensores . . . 9
2 Magnetismo 10 2.1 Breve resumo hist´orico . . . 10
2.2 Defini¸c˜ao de Campo Magn´etico . . . 11
2.3 Magnetˆometro . . . 12
3 Eletromagnetismo e o Efeito Hall 14 3.1 Os efeitos Galvanom´etricos . . . 15
3.1.1 Efeito Hall . . . 15
3.1.1.1 Efeito Hall em condutores . . . 16
3.1.1.2 Efeito Hall em semicondutores . . . 17
3.1.1.3 Mobilidade Hall . . . 19
3.1.2 Efeito Magneto-resistivo . . . 20
4 O efeito Piezo-resistivo em Sil´ıcio 21 4.1 Efeito Piezo-resistivo . . . 21
4.1.1 Teoria da Elasticidade . . . 22
4.1.2 Desenvolvimento anal´ıtico do efeito piezo-resistivo . . . 23
4.1.3 Efeito piezo-resistivo em dispositivos de quatro terminais . . . 26
4.2 Efeito Piezo-Hall . . . 30
II
Projeto e Desenvolvimento dos Sensores Hall e Circuitos de
condicionamento e polariza¸
c˜
ao
33
5 Sensor tipo placa Hall Octogonal 34
5.1 Geometria da ´area ativa de uma placa Hall Integrada . . . 34
5.2 O Fator Geom´etrico em sensores Hall . . . 35
5.3 Modo de opera¸c˜ao do sensor Hall . . . 37
5.3.1 Resistˆencia de entrada e de sa´ıda . . . 37
5.3.2 Tens˜ao Hall . . . 38
5.3.3 Desvio de zero ou Tens˜ao de offset . . . 38
5.3.4 Ru´ıdo em placas Hall . . . 39
5.3.5 Deriva t´ermica . . . 39
5.4 Tecnologia de Fabrica¸c˜ao CMOS XFAB c06 . . . 41
5.5 Placa Hall com geometria octogonal . . . 43
5.6 Projeto da membrana quadrada . . . 45
5.7 Chip Fabricado . . . 46
6 T´ecnicas para redu¸c˜ao de offset 49 6.1 Dispositivos m´ultiplos com acoplamento ortogonal . . . 49
6.2 Comuta¸c˜ao de contatos-corrente e contatos-sensor . . . 51
6.3 Invers˜ao de corrente . . . 52
6.4 Giro de corrente . . . 53
7 Projeto e realiza¸c˜ao dos circuitos de condicionamento e controle do girador de corrente 55 7.1 Descri¸c˜ao funcional . . . 55
7.2 Descri¸c˜ao da arquitetura e topologia . . . 56
7.2.1 Circuito de condicionamento . . . 56
7.2.2 Sub-blocos . . . 57
7.2.2.1 Fonte de corrente de referˆencia . . . 58
7.2.2.2 Multiplexador de tens˜ao . . . 61
7.2.2.3 Demultiplexador de corrente de polariza¸c˜ao . . . 63
7.2.2.4 L´ogica digital de controle de dire¸c˜ao de corrente . . . 65
7.2.2.5 Amplificador Operacional . . . 66
7.2.2.6 Circuito e polariza¸c˜ao dos contatos-sensor . . . 69
7.3 Integra¸c˜ao e implementa¸c˜ao do circuito de controle do girador de corrente . . . . 72
7.4 Integra¸c˜ao do Chip completo . . . 76
III
Resultados Experimentais
79
8 Aparato para caracteriza¸c˜ao experimental do sistema 80 8.1 Fontes de campo magn´etico . . . 808.1.1 Propriedades magn´eticas dos materiais . . . 80
8.1.2 Geradores de Campo magn´etico . . . 83
8.2 Experimento para a valida¸c˜ao do funcionamento do dispositivo . . . 86
8.2.1 Diagrama de solda e empacotamento da placa Hall octogonal . . . 87
8.2.2 Montagem do experimento . . . 88 xii
8.2.3 Resultados dos Testes de Valida¸c˜ao . . . 88
8.3 Aparelho de caracteriza¸c˜ao do dispositivo sensor placa Hall octogonal . . . 90
8.3.1 Diagrama de solda e empacotamento da placa Hall octogonal diretamente sobre a placa de circuito impresso . . . 90
8.3.2 Suporte mecˆanico para a montagem experimental . . . 91
8.4 Caracteriza¸c˜ao do dispositivo sensor placa Hall com sistema de redu¸c˜ao de offset 93 8.4.1 Diagrama de solda e empacotamento para o sistema sensor com redu¸c˜ao de offset . . . 94
9 Caracteriza¸c˜ao experimental 95 9.1 Resultados da placa Hall com geometria octogonal e conclus˜oes parciais . . . 95
9.1.1 Tens˜ao de offset . . . 95
9.1.2 Sensibilidade da placa Hall . . . 97
9.2 Resultados do sensor com redu¸c˜ao de offset e conclus˜oes parciais . . . 98
9.2.1 Circuito de polariza¸c˜ao e caracter´ısticas est´aticas do dispositivo . . . 100
9.2.2 Tens˜ao de offset . . . 101
9.2.3 Sensibilidade do sistema . . . 103
9.2.4 Compara¸c˜ao entre diferentes sequˆencias de comuta¸c˜ao . . . 104
IV
Conclus˜
oes
107
10 Conclus˜oes e perspectivas 108 10.1 Conclus˜oes . . . 108Bibliografia 111
Para
a
Thatiane,
Por
ser
simplesmente
Inspi-radora.
Agradecimentos
Agrade¸co principalmente `a Thatiane, pelo apoio incondicional e a inesgot´avel paciˆencia. Ao Prof. Fabiano Fruett, pela orienta¸c˜ao, cr´ıticas e apoio.
Aos colegas do LSM, por serem fonte constante de inspira¸c˜ao.
Ao Centro de Tecnologia da Informa¸c˜ao Renato Archer - CTI, e o Centro de Componentes Semicondutores - CCS da UNICAMP, que emprestaram gentilmente os seus recursos para de-senvolver etapas e processos fundamentais para este projeto.
“N˜ao! Tentar n˜ao. Fa¸ca ou n˜ao fa¸ca. Tentativa n˜ao h´a.”
Mestre Yoda1
1Mestre Jedi, s´abio, personagem da fic¸c˜ao cient´ıfica
Lista de Figuras
1.1 Convers˜ao de energia e sinais de diversos dom´ınios ao el´etrico pelos sensores
eletrˆonicos . . . 7
1.2 Exemplos: a) sensoreamento direto e b) sensoreamento indireto para diferentes est´ımulos f´ısicos. . . 8
2.1 Faixa de detec¸c˜ao de diferentes tecnologias de sensores magn´eticos . . . 12
3.1 Placa Hall Condutora . . . 16
3.2 Efeito Hall em Semicondutores . . . 17
3.3 Coeficiente Hall versus Dopagem em Sil´ıcio . . . 19
3.4 Fator Hall versus Dopagem em Sil´ıcio para 77K e 300K . . . 20
4.1 Elemento infinitesimal com estresse e tens˜ao em todas as dire¸c˜oes. . . 23
4.2 Condutor retangular. . . 24
4.3 Coeficientes de piezo-resistˆencia longitudinal e transversal [10−9Pa−1]: a) Sil´ıcio tipo n e b) Sil´ıcio tipo p. . . 26
4.4 Dispositivo de 4 terminais, sendo que os terminais C1 e C2 representam os contatos-corrente, enquanto S3 e S4 s˜ao os contatos-sensor. . . 27
4.5 a) Circuito el´etrico equivalente para a resistˆencia de sa´ıda; b) Circuito el´etrico equivalente para a resistˆencia de entrada; c) Circuito el´etrico equivalente em Ponte de Wheatstone. . . 27
4.6 Varia¸c˜ao da sensibilidade relativa como fun¸c˜ao do estresse mecˆanico, o denomi-nado efeito piezo-Hall. As graficas correspondem a dispositivos dopados com fosforo, onde A: ND ≈ 1, 81 × 1014cm−3; B:ND ≈ 1, 5 × 1015cm−3; C: ND ≈ 6 × 1015cm−3. . . . . 31
4.7 Coeficientes Piezo-resistivos (π) e Piezo-Hall em semicondutor tipo n. . . 32
5.1 Placas Hall com diferentes topologias . . . 35
5.2 Resultado de um modelo num´erico de uma placa Hall quadrada. Os contatos-corrente est˜ao hachurados. . . 35
5.3 Simula¸c˜ao num´erica de uma placa Hall retangular detalhando a distor¸c˜ao produ-zida pelo efeito de curto-circuito em contatos-corrente e contatos-sensor. A figura ilustra: a) Linhas de fluxo de corrente; b) Equipotenciais de potencial. . . 36
5.4 Representa¸c˜ao esquem´atica da Resistˆencia de entrada e sa´ıda . . . 37 5.5 Densidade de ru´ıdo espectral em dispositivos Hall. . . 39 5.6 Mobilidade de portadores em diferentes temperaturas para v´arios n´ıveis de
Do-pagem de Sil´ıcio tipo n. . . 40 5.7 Densidade de Portadores versus Temperatura para diferentes dopagens em Sil´ıcio 41 5.8 Deriva t´ermica da sensibilidade `a tens˜ao Sv e sensibilidade `a corrente SI . . . 41
5.9 Vista superior e corte transversal de um placa Hall integrada gen´erica. . . 42 5.10 Principais orienta¸c˜oes cristalogr´aficas no plano de uma lˆamina de Si [100] tipo p. 42 5.11 Corte transversal da tecnologia XFABc06. . . 43 5.12 Oito poss´ıveis configura¸c˜oes para polarizar e medir a tens˜ao Hall em uma placa
com oito terminais. . . 44 5.13 Detalhe da geometria do sensor, as medidas est˜ao emµm.. . . 44 5.14 Dimens˜oes em mm da membrana quadrada. . . 46 5.15 Dimens˜oes da marca de alinhamento, dimens˜oes em µm. . . 46 5.16 Foto do sensor fabricado tomada com um microsc´opio ´optico. . . 47 5.17 Leiaute do Chip, incluindo 4 sensores e PADs de alimenta¸c˜ao . . . 47 5.18 Foto do sensor fabricado detalhando a posi¸c˜ao dos sensores e o espa¸co demarcado
para a membrana. . . 48 6.1 Modelo do componente de quatro terminais como uma ponte resistiva. . . 50 6.2 Dispositivos ortogonais, representando um giro de 90° no sentido da corrente do
segundo dispositivo em rela¸c˜ao `a orienta¸c˜ao original. . . 51 6.3 Dispositivos ortogonais ligados em paralelo para cancelar a tens˜ao de offset. . . . 52 6.4 Modelo do componente de quatro terminais com uma ponte resistiva e tens˜ao de
offset entre os contatos sensor. . . 53 6.5 Sequˆencia de comuta¸c˜oes no sentido da corrente para implementar a t´ecnica de
giro de corrente para um dispositivo de oito terminais. . . 54 7.1 Diagrama de Blocos do sistema sensor com eletrˆonica integrada. . . 56 7.2 Esquem´atico da fonte de corrente tipo Widlar. . . 58 7.3 Estrutura de teste da fonte de corrente. . . 59 7.4 Corrente versus Tens˜ao de Sa´ıda para v´arias temperaturas. . . 59 7.5 Corrente versus Temperatura. . . 60 7.6 Corrente versus Tens˜ao de alimenta¸c˜ao. . . 60 7.7 Leiaute da Fonte de Corrente. . . 61 7.8 Esquem´atico e s´ımbolo da porta de transmiss˜ao. . . 62 7.9 Esquem´atico do Multiplexador. . . 62 7.10 Teste de porta de transmiss˜ao usadas no multiplexador anal´ogico. . . 63 7.11 Esquem´atico do multiplexador incluindo o espelho de corrente. . . 64 7.12 Teste das chaves do multiplexador de corrente . . . 64 7.13 Unidade de controle digital. . . 65 7.14 Implementa¸c˜ao F´ısica do Bloco de controle Digital. . . 66 7.15 Esquem´atico do amplificador operacional. . . 66
7.16 Estrutura de teste do amplificador operacional. . . 67 7.17 Diagrama de Bode do amplificador. . . 68 7.18 Leiaute do Amplificador em tecnologia CMOS. . . 69 7.19 Diagrama de blocos ilustrando o funcionamento do amplificador para polariza¸c˜ao
dos contatos sensores. . . 70 7.20 Esquem´atico do circuito usado para ajustar o n´ıvel DC nos contatos-sensor. . . 71 7.21 Leiaute do circuito de polariza¸c˜ao dos contatos sensores. . . 72 7.22 Esquem´atico do circuito de condicionamento e controle de giro de corrente. . . 73 7.23 Foto da implementa¸c˜ao f´ısica do circuito de condicionamento junto ao sensor
fabricado. . . 74 7.24 Blocos e leiaute do circuito de condicionamento e controle do girador de corrente. 75 7.25 Esquem´atico do circuito integrado. . . 76 7.26 Fotografia do Chip fabricado, incluindo os sensores, circuitos de condicionamento
e controle do girador de corrente e PADs. . . 77 8.1 Campo magn´etico versus Campo magnetizante para diferentes tipos de materiais:
a linha em vermelho, esta representado o v´acuo (µ0); a azul ilustra um elemento
paramagn´etico (µp); a verde um diamagn´etico (µd); e a cinza um ferromagn´etico
(µf). . . 81
8.2 Ciclo de magnetiza¸c˜ao de um material ferromagn´etico que apresenta histereses. 82 8.3 Linhas de campo ao redor de um ´ım˜a tipo a) barra e b) tipo ferradura. . . 83 8.4 Linhas de campo magn´etico ao redor de um condutor retil´ıneo . . . 84 8.5 Campo magn´etico no centro de um la¸co condutor. . . 84 8.6 Linhas de campo dentro de um solenoide. . . 85 8.7 Linhas de campo dentro de um toroide . . . 86 8.8 Linhas de campo dentro de um toroide com uma ranhura. . . 86 8.9 Diagrama de Solda (wiremap) do Chip sensor Hall no empacotamento DIP-40 e
foto do dispositivo encapsulado. . . 87 8.10 Diagrama de Pinos do chip sensor Hall no empacotamento DIP-40. . . 88 8.11 Montagem experimental para a caracteriza¸c˜ao do sensor Hall. . . 88 8.12 Diagrama de Solda (wiremap) do CHIP sensor Hall no empacotamento DIP-40. 91 8.13 Modelo 3D da montagem experimental.. . . 92 8.14 Foto do chip sob a placa usada como base na montagem experimental.. . . 92 8.15 Modelo 3D da montagem experimental.. . . 93 8.16 Diagrama de Solda (wiremap) do Chip sensor Hall empacotado diretamente sobre
a placa de circuito impresso e foto do dispositivo encapsulado. . . 94 9.1 Medidas de offset em um dispositivo ao comutar a corrente. . . 95 9.2 Medidas da tens˜ao de offset para oito diferentes dire¸c˜oes em quatro amostras
distintas. . . 96 9.3 Medida da tens˜ao Hall VH versus Campo Magn´etico. . . 97
9.4 Medida de Tens˜ao Hall VH para uma tens˜ao de polariza¸c˜ao vari´avel entre os
contatos-corrente com um campo magn´etico de magnitude B = 200mT. . . 98
9.5 Montagem experimental para a caracteriza¸c˜ao do sensor Hall . . . 99 9.6 Medidas de offset em um dispositivo ao alterar o sentido da corrente. . . 101 9.7 Medidas da tens˜ao de offset para oito diferentes dire¸c˜oes em quatro sensores. . . 102 9.8 Medida da tens˜ao de sa´ıda Vout versus Campo Magn´etico. . . 103
9.9 Dire¸c˜oes de corrente em dispositivo de oito terminais. . . 104
Lista de Tabelas
2.1 Unidades Magn´eticas . . . 12 4.1 Simplifica¸c˜ao dos coeficientes piezo-resistivos de primeira ordem. . . 25 4.2 Coeficientes piezo-resistivos de primeira ordem [10−9Pa−1]. . . 25 5.1 Dire¸c˜ao da corrente entre os diferentes contatos-corrente da placa octogonal . . 45 7.1 Resumo de resultados das simula¸c˜oes da fonte de corrente. . . 61 7.2 Resultados para a porta de transmiss˜ao anal´ogica projetada. . . 63 7.3 Resultado do demutiplexador, incluindo os espelhos de corrente . . . 65 7.4 Tabela verdade do bloco digital. . . 65 7.5 Resumo dos resultados de simula¸c˜ao do amplificador. . . 69 7.6 Resultados da simula¸c˜ao do circuito de polariza¸c˜ao dos contatos-sensor. . . 71 7.7 Descri¸c˜ao de Sinais de entrada e sa´ıda do bloco de condicionamento. . . 72 7.8 Descri¸c˜ao dos sinais de entrada e sa´ıda. . . 77 8.1 Permeabilidade magn´etica para alguns materiais. . . 82 8.2 Medi¸c˜ao da Resistˆencia de entrada para 3 amostras. . . 89 8.3 Resultados da tens˜ao de offset no empacotamento DIP. . . 89 8.4 Resultados da caracteriza¸c˜ao do sensor. . . 90 9.1 Resultados da tens˜ao de offset no dispositivo empacotado diretamente na PCB. 96 9.2 Resultados da caracteriza¸c˜ao dos circuitos el´etricos do sensor. . . 100 9.3 Tens˜ao em Volts para cada contato segundo o valor da entrada Sel . . . 101 9.4 Resultados da tens˜ao de offset no dispositivo sensor magn´etico . . . 102 9.5 Tens˜ao de offset residual para sequˆencias diferentes. . . 105
Lista de S´ımbolos
F (x) Fun¸c˜ao da vari´avel x
C(x, y) Correla¸c˜ao entre as vari´aveis x e y
Φ Fluxo Magn´etico
− →
B Campo Magn´etico
− →
H Campo Magnetizante
−→
M Magnetiza¸c˜ao
µ Permeabilidade Magn´etica
µ0 Permeabilidade Magn´etica do v´acuo
µr Permeabilidade Magn´etica relativa ao v´acuo
U For¸ca Magnetomotiva
− →
E Campo El´etrico
Q Carga el´etrica
q Carga el´etrica fundamental
n Densidade de portadores negativos - el´etrons p Densidade de portadores positivos - lacunas ni Portadores intr´ınsecos
ρ Densidade de caga el´etrica −
→v Velocidade
− →
J Densidade de corrente el´etrica
I Corrente el´etrica
Constante diel´etrica
0 Constante diel´etrica do v´acuo
FL For¸ca de Lorentz A Area´ w Largura l Comprimento t Espessura C1 & C2 Contatos-corrente S1 & S2 Contatos-sensor VH Tens˜ao Hall RH Coeficiente Hall rH Fator Hall
µn & µp Mobilidade de el´etrons e lacunas
b Rela¸c˜ao entre mobilidades de el´etrons e lacunas µn/µp
µH Mobilidade Hall
Fn For¸ca mecˆanica Normal
Ft For¸ca mecˆanica Tangencial
σ Estresse mecˆanico Normal
τ Estresse mecˆanico Tangencial
σkl Matriz de tensores de estresse mecˆanico
Y M´odulo de Young
G M´odulo de Rigidez
Cji Matriz de coeficientes de elasticidade
Sij Matriz de coeficientes independentes da elasticidade
πijkl Matriz de coeficientes piezo-resistivos de primeira ordem
π11 Coeficiente piezo-resistivo longitudinal
π12 Coeficiente piezo-resistivo transverso
π44 Coeficiente piezo-resistivo cisalhamento
υ Coeficiente de Poisson
Deforma¸c˜ao nominal do material γ Deforma¸c˜ao transversal do material ρ0 Resistividade el´etrica nominal
R Resistˆencia el´etrica GH Fator geom´etrico
P11 Coeficiente piezo-Hall longitudinal
P12 Coeficiente piezo-Hall transverso
Vout Tens˜ao de sa´ıda
Vof f Tens˜ao de desvio de zero ou tens˜ao de offset
Rin Resistˆencia de entrada
Rout Resistˆencia de sa´ıda
SI Sensibilidade Hall relativa a corrente de polariza¸c˜ao
Sv Sensibilidade Hall a tens˜ao de polariza¸c˜ao
Pref´
acio
Motiva¸
c˜
ao
Acompanhando a ind´ustria de semicondutores, a tecnologia de manufatura e integra¸c˜ao de sensores tamb´em vem evoluindo rapidamente, almejando obter dispositivos mais confi´aveis, pre-cisos e inteligentes. Estos sensores microeletrˆonicos integrados ganharam destaque nas ´ultimas d´ecadas, sendo fundamentais para a evolu¸c˜ao do mercado automotivo, o controle industrial, a eletrˆonica de consumo e dispositivos m´oveis [1]. Segundo a reportagem da INTECHO CON-SULTING [1], o crescimento do mercado mundial n˜ao militar de sensores entre 2006 e 2011 foi de 7.9% anual, com uma previs˜ao de crescimento de 9.1% at´e 2016, n´umero muito superior a qualquer outro setor da ind´ustria de semicondutores.
Os sensores de campo magn´etico possuem posi¸c˜ao de destaque no mercado, tendo apresen-tado em 2010 uma demanda de 3.67 bilh˜oes de unidades e uma estimativa de vendas superior a 7.1 bilh˜oes para 2016, o que representa um crescimento anual de 10.3%, segundo o estudo publicado por MarketResearch.com [2].
O principal consumidor de sensores magn´eticos ´e o mercado automotivo, representando 40% da demanda mundial, mas esta posi¸c˜ao pode ser alterada em breve, j´a que os avan¸cos na precis˜ao destes dispositivos vem promovendo um aumento significativo do uso em outras ´areas, como jogos de v´ıdeo e tecnologias m´oveis [2, 3].
Os mesmos estudos publicados pela MarketResearch.com indicam que os sensores de efeito Hall tˆem uma fatia do mercado superior a 70%, sendo o tipo de sensor magn´etico mais vendido e popular. Apesar de sua posi¸c˜ao destacada, os sensores Hall possuem limita¸c˜oes que podem vir a prejudicar sua aplica¸c˜ao: o desvio de zero (ou tens˜ao de offset ) e a deriva de suas caracter´ısticas, o que limita as aplica¸c˜oes a campos onde a varia¸c˜ao da intensidade magn´etica seja relativamente grande. A maior parte destes problemas est˜ao associados ao estresse mecˆanico que ´e induzido no semicondutor cristalino, refletindo nas caracter´ısticas dos dispositivos devido ao efeito piezo-resistivo.
O estudo dos sensores tipo Hall possibilitar´a encontrar metodologias para reduzir significa-tivamente o erro na sa´ıda e a sensibilidade ao estresse mecˆanico, permitindo a fabrica¸c˜ao de componentes mais precisos, exatos e sens´ıveis.
Introdu¸c˜ao 2
Assim como existe influˆencia do efeito piezo-resistivo no sensor de efeito Hall, h´a tamb´em uma influˆencia do efeito Hall sobre sensores baseados no efeito piezo-resistivo, j´a que ambos os efeitos s˜ao dependentes da mesma caracter´ıstica f´ısica, a mobilidade de portadores. O denominado efeito piezo-Hall [4] relaciona ambos os efeitos piezo-resistivo e Hall, sendo, portanto, um campo f´ertil para a realiza¸c˜ao de estudos e pesquisa cient´ıfica.
Introdu¸
c˜
ao
´
E bem conhecida a existˆencia do efeito Hall e o efeito piezo-resistivo nos semicondutores monocristalinos, assim como o uso de ambos os fenˆomenos para projetar e fabricar diferentes tipos de sensores.
Geralmente, os sensores Hall s˜ao constru´ıdos sobre sil´ıcio dopado tipo n, a fim de aprovei-tar a maior mobilidade dos portadores neste material. J´a os sensores de press˜ao, que fazem uso do efeito piezo-resistivo no sil´ıcio, s˜ao fabricados em sil´ıcio dopado tipo p, aproveitando o maior coeficiente piezo-resistivo. Exclu´ıda a diferen¸ca de fabrica¸c˜ao, ambos os sensores possuem geometrias similares.
As caracter´ısticas dos sensores tipo Hall, especialmente a sensibilidade e o desvio de zero, s˜ao dependentes do estresse mecˆanico. Portanto, ao aparecer um estresse mecˆanico em um sensor magn´etico aparece tamb´em um erro na medida observada na sa´ıda [4]. O principal problema ´e que o estresse mecˆanico ´e inevit´avel, pois ´e induzido durante a fabrica¸c˜ao e o empacotamento, variando aleatoriamente entre os dispositivos.
Com o objetivo de melhorar os sensores tipo Hall e diminuir as dificuldades elucidadas acima, ´
e preciso entender o comportamento destes dispositivos. Estamos propondo neste trabalho um sensor de oito terminais, diferente do tradicional Hall de 4 terminais, que permita medir as principais dire¸c˜oes cristalinas encontradas na superf´ıcie das lˆaminas usadas em tecnologias CMOS atuais (<100> e <110>).
Para reduzir a dependˆencia do offset no sensor Hall, aplicamos uma metodologia de cance-lamento do desvio de zero inspirada nas t´ecnicas de multiplexa¸c˜ao de corrente e cancelamento dinˆamico por quadratura. Basicamente, o sentido da corrente dentro do dispositivo ´e comutado, permitindo integrar a tens˜ao de sa´ıda em diferentes dire¸c˜oes, reduzindo assim o erro residual na sa´ıda.
Existe ainda uma varia¸c˜ao na sensibilidade do sensor causada pela deforma¸c˜ao mecˆanica. Esta rela¸c˜ao entre os efeitos piezo-resistivos e o efeito Hall ´e denominada efeito piezo-Hall [4], e se fundamenta na influˆencia do estresse mecˆanico na mobilidade de portadores em um semicondutor cristalino. As estruturas estudadas neste trabalho foram projetadas de forma que possam ser submetidas simultaneamente `a deforma¸c˜ao mecˆanica e a um campo magn´etico, abrindo a possibilidade de se realizar medi¸c˜oes e encontrar uma rela¸c˜ao entre os efeitos Hall e piezo-resistivos, possibilitando o estudo mais detalhado sobre a conex˜ao entre ambos.
Introdu¸c˜ao 3
Objetivos
Projetar estruturas que permitam realizar medi¸c˜oes e caracterizar um dispositivo sensor de campo magn´etico, tipo placa Hall, nas principais dire¸c˜oes cristalogr´aficas da superf´ıcie de uma placa de sil´ıcio monocristalino de um processo de fabrica¸c˜ao CMOS comercial (XFAB c06). Ap´os a carateriza¸c˜ao da estrutura, projetar um sistema que permita reduzir o erro de offset, a varia¸c˜ao de sensibilidade e o ru´ıdo.
Objetivos detalhados
• Fabricar uma Placa Hall com geometria octogonal que permita fazer medi¸c˜oes nas princi-pais dire¸c˜oes cristalogr´aficas (<100> e <110>).
• Caracterizar o dispositivo, com especial aten¸c˜ao `a sensibilidade e ao offset nas diferentes dire¸c˜oes.
• Projetar um circuito de controle de corrente que permita controlar a dire¸c˜ao da corrente e da tens˜ao Hall medida, podendo assim comutar os terminais de entrada e sa´ıda do dispo-sitivo, criando um m´etodo de redu¸c˜ao de offset baseado na t´ecnica de “current sppining” e multiplexa¸c˜ao por quadratura.
• Integrar monoliticamente o sensor projetado com o circuito de redu¸c˜ao de offset.
Organiza¸
c˜
ao
Esta Disserta¸c˜ao est´a organizada em trˆes partes, subdivididas em Introdu¸c˜ao, nove cap´ıtulos, Conclus˜oes e apˆendices, sendo que:
Introdu¸c˜ao: Onde descrevemos a motiva¸c˜ao, objetivos e aplica¸c˜oes deste trabalho, assim como a organiza¸c˜ao da tese.
Primeira Parte: Desenvolvimento Te´orico
Cap´ıtulo 1: Apresentamos uma introdu¸c˜ao sobre o tema de sensores voltado para a ´area de microeletrˆonica.
Cap´ıtulo 2: Apresentamos um breve hist´orico sobre o campo magn´etico e os padr˜oes de medida associados a esta grandeza f´ısica. Assim como uma introdu¸c˜ao sobre os dispositivos usados para detectar e medir campos magn´eticos, os sensores magn´eticos.
Cap´ıtulo 3: Neste cap´ıtulo, resumimos os conceitos b´asicos do eletromagnetismo, incluindo a for¸ca de Lorentz e as equa¸c˜oes de Maxell. Atrav´es destes conceitos, introduzimos o efeito Hall, al´em do desenvolvimento anal´ıtico das equa¸c˜oes que definem este fenˆomeno em materiais met´alicos e semicondutores.
Cap´ıtulo 4: Explicamos o efeito piezo-resistivo atrav´es da mecˆanica de materiais, a teoria da elasticidade (Lei de Hooke) e a f´ısica do estado s´olido, relacionando a deforma¸c˜ao mecˆanica com a mudan¸ca na resistˆencia el´etrica. Inclu´ımos uma revis˜ao sobre o efeito piezo-resistivo para o sil´ıcio monocristalino, englobando o coeficientes piezo-resistivos, e como ´e aproveitado este efeito para projetar sensores. Apontamos as semelhan¸cas que existem na geometria das placas
Introdu¸c˜ao 4
Hall e o sensores de quatro terminais baseados no efeito piezo-resistivo, al´em da existˆencia de sensibilidade cruzada entre o efeito Hall e a resistividade, que se denomina efeito piezo-Hall.
Segunda Parte: Projeto de Sensores e Circuitos
Cap´ıtulo 5: Neste cap´ıtulo, introduzimos alguns conceitos importantes para o projeto ade-quado de sensores tipo placa Hall, como o posicionamento dos contatos, a geometria do com-ponente e a tecnologia de fabrica¸c˜ao. Na sequˆencia discutimos sobre os modos de opera¸c˜ao e aplica¸c˜ao dos sensores tipo placa Hall, incluindo as principais limita¸c˜oes destes componen-tes (por exemplo, ru´ıdo e tens˜ao de offset ). Finalmente apresentamos o projeto da placa Hall octogonal e mostramos o dispositivo fabricado.
Cap´ıtulo 6: Analisamos as principais fontes de tens˜ao de offset e as principais t´ecnicas desenvolvidas para reduzir o desvio de zero. Explicamos a t´ecnica de giro de corrente em dispositivos de quatro terminais, e como adaptamos esta metodologia para um dispositivo de 8 terminais.
Cap´ıtulo 7: Apresentamos um completo sum´ario dos circuitos integrados junto ao sensor octogonal, para implementar um sistema de redu¸c˜ao de tens˜ao de offset e condicionamento de sinal de sa´ıda.
Terceira Parte: Resultados Experimentais
Cap´ıtulo 8: Neste cap´ıtulo, apresentamos as estruturas usadas para caracterizar experi-mentalmente os dispositivos sensores fabricados. Detalhamos os procedimentos utilizados para empacotar os componentes, controlar a fonte de campo magn´etico, projetar as estruturas de sus-tenta¸c˜ao mecˆanica e conectar os instrumentos para montagem do experimento e as montagens experimentais para medir a resposta do sensor.
Cap´ıtulo 9: Apresentamos os resultados da caracteriza¸c˜ao da placa Hall octogonal e do sensor magn´etico com redu¸c˜ao de offset. Estimamos as caracter´ısticas relevantes dos dispositivos, incluindo: sensibilidade m´edia e tens˜ao de offset residual.
Quarta Parte: Conclus˜oes
Cap´ıtulo 10: Cont´em os comentarios finais e poss´ıveis trabalhos que podem ser derivados deste projeto.
Parte I
Desenvolvimento Te´
orico
Cap´ıtulo
1
Sensores Microeletrˆ
onicos
Sensores s˜ao dispositivos que respondem a um est´ımulo f´ısico ou qu´ımico de forma facilmente mensur´avel e interpret´avel pelo observador. Sensores projetados para humanos vˆem acompa-nhados de um indicador que permite a sua f´acil leitura, por exemplo, um barˆometro de merc´urio permite relacionar a press˜ao atmosf´erica com a altura de uma coluna de merc´urio ou um termˆ o-metro de merc´urio, que permite mensurar a temperatura observando a dilata¸c˜ao do material. Em ambos os casos, uma escala ´e colada ao tubo de merc´urio e serve como indicador visual ao leitor.
Com a r´apida ado¸c˜ao de aparelhos el´etricos e a dissemina¸c˜ao de m´etodos de controle e instrumenta¸c˜ao eletrˆonicos na sociedade e na ind´ustria, se tornam cada vez mais pr´aticos e populares os sensores que entregam um sinal el´etrico como sa´ıda, isto ´e, transformam o est´ımulo em um potencial ou uma corrente el´etrica, como ´e retratado na Figura 1.1 [5]. Estes dispositivos se denominam transdutores, pois convertem um tipo de energia em outra [5].
Na atualidade, os transdutores substituem a grande maioria de sensores convencionais, uma vez que resultam mais baratos, confi´aveis e precisos, podendo ser integrados em um componente ´
unico junto aos circuitos de polariza¸c˜ao, condicionamento e processamento de sinal.
Estes dispositivos s˜ao blocos fundamentais para o controle e automa¸c˜ao, permitindo a me-di¸c˜ao de m´ultiplas vari´aveis e a implementa¸c˜ao de sistemas de controle autom´aticos, em tempo real e em malha fechada.
A importˆancia dos transdutores e o seu potencial comercial tem impulsionado a pesquisa e o desenvolvimento de sensores cada vez mais vers´ateis, confi´aveis e inteligentes.
1.1
Efeitos Transdutores
O sensoriamento se fundamenta na capacidade de gerar uma rea¸c˜ao mensur´avel a um deter-minado est´ımulo f´ısico ou qu´ımico. Neste contexto, um efeito transdutor define a capacidade de um dispositivo transformar um tipo de energia em uma sa´ıda que pode ser medida. A trans-du¸c˜ao ´e modelada matematicamente usando a chamada fun¸c˜ao de transferˆencia, fun¸c˜ao que descreve a rela¸c˜ao entre os est´ımulos de entrada e o sinal de sa´ıda [6], como ´e ilustrado na Equa¸c˜ao 1.1. Esta fun¸c˜ao pode ser uma equa¸c˜ao n˜ao linear, ou ainda uma equa¸c˜ao diferencial, contanto que represente adequadamente o comportamento do dispositivo sensor.
Cap´ıtulo 1. Sensores Microeletrˆonicos 7
Figura 1.1: Convers˜ao de energia e sinais de diversos dom´ınios ao el´etrico pelos sensores eletrˆ o-nicos
out = F (in1, in2,· · · , inn) (1.1)
´
E importante observar que a fun¸c˜ao de transferˆencia relaciona diversas entradas, portanto a sa´ıda t´ıpica de um sensor depende de m´ultiplos est´ımulos diferentes. Caso a resposta a estes est´ımulos n˜ao esteja correlacionada entre si, podemos reescrever a fun¸c˜ao de transferˆencia como a superposi¸c˜ao das fun¸c˜oes correspondentes a cada entrada, como ilustrado na Equa¸c˜ao 1.2. Entretanto, caso exista alguma correla¸c˜ao, ´e necess´ario incluir os termos correlacionados dentro da fun¸c˜ao de transferˆencia, como ´e explicitado na Equa¸c˜ao 1.3. Esta correla¸c˜ao ´e conhecida como sensibilidade cruzada e relaciona o quanto a sensibilidade a uma entrada em particular ´e suscet´ıvel `a presen¸ca de outro est´ımulo.
out = F (in1) + F2(in2) + · · · Fn(inn) (1.2)
out = F (in1) + F2(in2) + · · · F (inn) + C(in1, in2) + · · · C(in1, inn) (1.3)
Seria ideal que os sensores respondessem a apenas uma ´unica entrada, por´em esta condi¸c˜ao almejada dificilmente ´e encontrada, sendo necess´ario para o projeto adequado de um disposi-tivo transdutor maximizar os efeitos do est´ımulo desejado, enquanto se minimiza ou suprime a
Cap´ıtulo 1. Sensores Microeletrˆonicos 8
influˆencia de outras poss´ıveis vari´aveis.
Resulta desej´avel, ainda que n˜ao seja obrigat´orio, que o sensor tenha uma resposta linear ao est´ımulo a ser medido, j´a que simplifica o processamento e o condicionamento da sa´ıda. ´E comum, portanto, linearizar a fun¸c˜ao de transferˆencia em torno do ponto de opera¸c˜ao, a fim de facilitar a an´alise e a caracteriza¸c˜ao do dispositivo.
Como o presente trabalho se concentra em sensores magn´eticos tipo placa Hall, torna-se des-necess´ario aprofundar o desenvolvimento de fun¸c˜oes de transferˆencia mais complexas, portanto utilizaremos sensores modelados como sistemas lineares e invariantes no tempo.
1.2
Sensores Microeletrˆ
onicos
Os semicondutores s˜ao materiais especialmente ´uteis para a fabrica¸c˜ao de sensores, pois suas caracter´ısticas, como por exemplo a mobilidade e a tens˜ao de jun¸c˜ao, apresentam uma forte dependˆencia `as vari´aveis f´ısicas como temperatura, estresse mecˆanico e luz [7, 8, 5, 9], efeitos j´a amplamente estudados em microeletrˆonica e fundamentais para o projeto de transdutores. Os semicondutores apresentam outra caracter´ıstica, a tecnologia necess´aria para a fabrica¸c˜ao j´a foi maturada pela ind´ustria da microeletrˆonica.
Uma ampla variedade de est´ımulos f´ısicos podem ser medidos diretamente com transdutores. Esta t´ecnica ´e denominada Sensoreamento Direto, por relacionar diretamente a sa´ıda com a entrada. Outras magnitudes f´ısicas n˜ao podem ser medidas diretamente ou resulta ser mais pr´atico realizar uma medi¸c˜ao indireta. Nestes casos, o processo consiste em coletar informa¸c˜ao de uma outra magnitude f´ısica relacionada e processar os dados para obter a medida desejada. Esta metodologia ´e conhecida como Sensoreamento Indireto.
Os sensores de campo magn´etico s˜ao bastante usados para fazer sensoreamento indireto de outras magnitudes f´ısicas, vez que ´e poss´ıvel detectar varia¸c˜oes na posi¸c˜ao, na velocidade e na corrente el´etrica medindo o campo magn´etico associado a um objeto em movimento ou a um condutor el´etrico, sem precisar estar em contato ou interferir com o sistema que esta sendo observado, como ilustrado na Figura 1.2.
Figura 1.2: Exemplos: a) sensoreamento direto e b) sensoreamento indireto para diferentes est´ımulos f´ısicos.
Cap´ıtulo 1. Sensores Microeletrˆonicos 9
1.3
Especifica¸
c˜
oes de sensores
Os crit´erios de sele¸c˜ao que determinam o uso de sensores s˜ao definidos pelas suas especifica-¸c˜oes e quase todas est˜ao relacionadas com a fun¸c˜ao de transferˆencia do sensor.
Definimos a seguir algumas especifica¸c˜oes dos sensores que ser˜ao citadas ao longo deste trabalho [6]:
• Sensibilidade: A taxa de varia¸c˜ao no sinal de sa´ıda em rela¸c˜ao a varia¸c˜ao do sinal de entrada. A sensibilidade pode ser total, finita ou infinitesimal.
• Faixa de entrada (Span ou Full Scale Input): Definido pela faixa de sinal ou est´ımulo de entrada percept´ıvel pelo sensor. Tamb´em chamada de Span range ou Dynamic range. • Fundo de escala (Full Scale Output): Definido pela diferen¸ca alg´ebrica do m´aximo e do
m´ınimo valor ´util do sinal de sa´ıda em resposta ao m´aximo e ao m´ınimo est´ımulo aplicado. • Desvio de zero (Offset): O sinal de sa´ıda do sensor quando o sinal de entrada ´e nulo. • Histerese: A tendˆencia de um sistema de conservar um n´ıvel de sinal na sa´ıda mesmo
na ausˆencia do est´ımulo de entrada que o gerou.
• N˜ao-linearidade: M´aximo desvio medido no sinal de sa´ıda em rela¸c˜ao a uma fun¸c˜ao linear ideal.
• Resolu¸c˜ao: Refere-se ao menor incremento do sinal de entrada detect´avel na sa´ıda. Pode ser expresso como uma porcentagem em rela¸c˜ao ao Faixa de Entrada.
• Precis˜ao: Caracter´ıstica de um instrumento de medi¸c˜ao determinado atrav´es de um processo estat´ıstico de medi¸c˜oes revelado pelo desvio padr˜ao entre as diversas medidas obtidas de uma grandeza sobre mesmas condi¸c˜oes. A precis˜ao n˜ao relaciona as medidas obtidas com a medida real.
• Exatid˜ao: Desvio m´aximo entre os valores do sinal de sa´ıda e o valor ideal de uma grandeza f´ısica aplicada a sua entrada. A exatid˜ao n˜ao considera a repeti¸c˜ao das leituras, mas seu exato valor. Pode ser representada em porcentagem em rela¸c˜ao ao fundo de escala. • Deriva t´ermica: Desvio sistem´atico das caracter´ısticas do dispositivo geradas pela
Cap´ıtulo
2
Magnetismo
Apresentamos um resumo hist´orico sobre o Magnetismo, incluindo a tecnologia desenvolvida para detectar campos magn´eticos e os ˆambito de aplica¸c˜ao dos sensores magn´eticos. Em seguida, introduzimos os principais conceitos relacionados ao magnetismo, definindo os campos magn´ e-ticos e for¸cas como campos vetoriais. Conclu´ımos o cap´ıtulo apresentando os magnetˆometros como elementos de sensoreamento magn´etico e comparando os sensores baseados no efeito Hall com as outras tecnologias dispon´ıveis no mercado.
2.1
Breve resumo hist´
orico
Os primeiros registros sobre observa¸c˜oes de fenˆomenos magn´eticos datam do s´eculo VI a.C., quando Tales de Mileto descreveu pequenas pedras, encontradas na prov´ıncia grega conhecida como Magn´esia, que tinham a capacidade de atrair objetos de ferro [9]. Os chineses foram os primeiros a encontrar aplica¸c˜oes pr´aticas para o magnetismo, desenvolvendo ´ım˜as e uma esp´ecie de colher magn´etica usada como b´ussola. O interesse pelo estudo e aplica¸c˜oes do magnetismo -especialmente o geomagnetismo - ganhou relevˆancia apenas em 1600 quando o Inglˆes William Gilbert publicou o livro “De Magnete” [10].
Durante os s´eculos XVII e XVIII os fenˆomenos el´etricos e magn´eticos eram considerados eventos f´ısicos diferentes e n˜ao correlacionados, at´e que avan¸cos no s´eculo XIX e os estudos de not´aveis cientistas como Faraday, Ampere, Gauss, Tesla, Weber e Maxwell formalizaram o conhecimento sobre o eletromagnetismo, mat´eria de fundamental importˆancia no desenvolvi-mento de componentes modernos, como geradores, motores, eletro´ım˜as e sensores magn´eticos (magnetˆometros). Foi o pr´oprio Gauss quem desenvolveu o primeiro magnetˆometro e criou uma unidade para a densidade de fluxo magn´etico, ainda usada no sistema CGS.
O ano de 1879 contemplou mais uma importante descoberta: Edwin Hall descobriu que quando um campo magn´etico ´e aplicado sobre uma placa retangular induz uma diferen¸ca de tens˜ao proporcional `a magnitude do campo, dando o nome de efeito Hall a este fenˆomeno. O efeito Hall ´e um dos princ´ıpios usados na constru¸c˜ao de dispositivos que detectam e quantificam campos magn´eticos, permitindo criar transdutores que relacionam diretamente a magnitude magn´etica com uma tens˜ao el´etrica.
A detec¸c˜ao de campos magn´eticos tem sido fundamental para o desenvolvimento da nave-10
Cap´ıtulo 2. Magnetismo 11
ga¸c˜ao e da minera¸c˜ao, orientando os exploradores e identificando grandes dep´ositos de mine-rais. Entretanto, foram apenas nas ´ultimas d´ecadas que o campo de aplica¸c˜ao dos sensores magn´eticos aumentou significativamente. Na denominada era da informa¸c˜ao os dispositivos de armazenamento de dados passaram a ser constru´ıdos com materiais magn´eticos, levando os magnetˆometros a uma posi¸c˜ao de destaque.
Os sensores magn´eticos tˆem ampliado cada vez mais o seu campo de atua¸c˜ao e este cresci-mento deve-se ao fato de que podem ser usados para medir indiretamente outras magnitudes f´ısicas, como posi¸c˜ao e fluxo el´etrico (corrente). A medi¸c˜ao indireta faz dos sensores magn´ eti-cos dispositivos extremadamente flex´ıveis, alavancando o desenvolvimento e respondendo pela maior parte das vendas e aplica¸c˜oes deste tipo de dispositivos [2].
2.2
Defini¸
c˜
ao de Campo Magn´
etico
Dois s´ımbolos s˜ao usados para representar o vetor de campo no magnetismo,−→H para o campo magnetizante (intensidade de campo magn´etico) e −→B para campo magn´etico. Historicamente, o campo −→H foi descrito primeiro, entretanto, ´e considerado um campo derivado, enquanto−→B ´e considerado a quantidade fundamental [9, 8]. Os campos−→H e −→B est˜ao relacionados da seguinte forma : − → H = − → B µ − −→ M , (2.1)
sendo que−M ´→ e a magnetiza¸c˜ao do material e µ a permeabilidade magn´etica.
A unidade que representa o campo magn´etico no SI ´e o Tesla [T], sendo o Gauss [G] o equivalente em sistema CGS [9]. Um Tesla ´e equivalente a:
1T = 10000G = 1V s m−2 .
O fluxo de campo magn´etico Φ ´e definido como a quantidade de campo magn´etico que incide em certa ´area, geralmente calculado como:
Φ = ˆ
− →
B •−dA .→ (2.2)
Weber [W b] ´e a unidade do SI para fluxo magn´etico, e Maxwell [M x] a equivalente em sistema CGS [9]. Um Weber equivale a um campo magn´etico com intensidade de 1T atravessando um ´
area de um metro quadrado: 1Wb = 1Vs = 1Tm2.
Cap´ıtulo 2. Magnetismo 12
Tabela 2.1: Unidades Magn´eticas
Grandeza S´ımbolo CGS SI
Fluxo Magn´etico Φ Maxwell [Mx] Weber [Wb]
Densidade Campo Magn´etico −→B Gauss [G] Tesla [T]
Campo Magnetizante −→H Oersted [Oe] [A/m]
Magnetiza¸c˜ao −M→ Oersted [Oe] [A/m]
Permeabilidade Magn´etica µ adimensional adimensional
2.3
Magnetˆ
ometro
O magnetˆometro, ou sensor magn´etico, ´e o elemento usado para medir a intensidade ou dire¸c˜ao do campo magn´etico. A Figura 2.1 relaciona algumas das tecnologias atuais de sensores magn´eticos com o faixa de campo detect´avel [11].
Figura 2.1: Faixa de detec¸c˜ao de diferentes tecnologias de sensores magn´eticos
Dentre as tecnologias de sensores listadas na Figura 2.1, destacamos os dispositivos sensores baseados no efeito Hall, por serem facilmente integr´aveis com a tecnologia de semicondutores, o que os tornam baratos e populares. Os sensores de efeito Hall se sobressaem, pois mesmo que o faixa de detec¸c˜ao seja menor do que outras tecnologias, dominam o mercado de sensores magn´eticos, representando mais do 70% das vendas a n´ıvel mundial [2].
A fabrica¸c˜ao de sensores baseados no efeito Hall pode ser feita com os m´etodos e materiais usados no processo de fabrica¸c˜ao de componentes microeletrˆonicos, base para a manufatura de circuitos integrados, o que permite ainda que seja integrado com circuitos complementares para polarizar, controlar e processar o sinal de sa´ıda. Diferentemente do que ocorre, por exemplo, com os elementos magneto-resistivos, que requerem a deposi¸c˜ao de filmes finos de materiais com carater´ısticas especiais (comumente Permalloy).
Cap´ıtulo 2. Magnetismo 13
Apesar de todas as facilidades apresentadas pelos sensores de efeito Hall, ainda persistem a limita¸c˜ao de sensibilidade e de precis˜ao, o que restringe as possibilidades de aplica¸c˜ao deste dispositivo. A fim de suprir tais deficiˆencias, pesquisas sobre tecnologias que melhorem as caracter´ısticas do sensor ou diminuam as fontes de erro s˜ao de grande importˆancia na atualidade.
Cap´ıtulo
3
Eletromagnetismo e o Efeito Hall
A eletricidade e o magnetismo eram considerados campos diferentes da f´ısica at´e o s´eculo XIX, quando foram publicados diversos trabalhos que demostravam uma forte correla¸c˜ao entre fenˆomenos magn´eticos e el´etricos. Posteriormente, estes estudos foram unificados por James Clerk Maxwell, que publicou as chamadas equa¸c˜oes de Maxwell (representa¸c˜oes da lei de Gauss, lei de Gauss do magnetismo, lei da indu¸c˜ao de Faraday e lei de Amp`ere-Maxwell), que somadas `
a For¸ca de Lorentz comp˜oem a teoria do eletromagnetismo cl´assico [9].
A compreens˜ao sobre o eletromagnetismo cl´assico ´e de vital importˆancia tanto para o projeto de sensores de efeito Hall como para as estruturas de teste e caracteriza¸c˜ao que s˜ao apresentadas neste trabalho. Por isso, apresentaremos em seguida uma breve revis˜ao desta teoria.
Definindo o campo el´etrico como −→E , o campo magn´etico como −→B , a carga como Q, a densidade de carga como ρ, a densidade de corrente como −→J , a velocidade da caga como −
→v , constante diel´etrica e a permeabilidade magn´etica no v´acuo como
0 e µ0, respetivamente,
podemos resumir as principais leis do eletromagnetismo cl´assico como:
A Lei de Gauss relaciona o fluxo de campo com a carga contida dentro de um volume definido. Portanto, o campo el´etrico que atravessa uma superf´ıcie fechada est´a relacionado `a carga el´etrica contida nesta superf´ıcie, o que ´e representado pela equa¸c˜ao:
∇ •−→E = ρ 0
(3.1) Os campos magn´eticos, diferente dos el´etricos, n˜ao tˆem in´ıcio ou fim em cargas diferentes, sendo assim, todas as linhas do campo magn´etico s˜ao fechadas. Por conseguinte, ao construir qualquer superf´ıcie fechada, a quantidade de fluxo que entra e sai ser´a idˆentica, fazendo com que o fluxo total seja igual a zero e a carga magn´etica total contida nesta superf´ıcie tamb´em seja igual a zero [9]. A lei de Gauss para o magnetismo ´e representada pela seguinte equa¸c˜ao diferencial:
∇ •−→B = 0 (3.2)
A Lei de Amp`ere-Maxwell permite estabelecer a densidade do campo magn´etico gerado por um fluxo el´etrico [9]. Esta lei ´e bastante ´util para determinar o campo magn´etico gerado por
Cap´ıtulo 3. Eletromagnetismo e o Efeito Hall 15
uma corrente em um fio, em um solenoide ou em um toroide. Representa-se a lei pela seguinte equa¸c˜ao diferencial: ∇ ×−→B = µ0 − → J + µ00 ∂−→E ∂t (3.3)
A Lei de Faraday-Neumann-Lenz, tamb´em conhecida como lei da Indu¸c˜ao Magn´etica, descreve a produ¸c˜ao de uma corrente el´etrica devido ao efeito de um campo magn´etico vari´avel no tempo [9]. ´E representada pela equa¸c˜ao diferencial:
∇ ×−→E = −∂ − →
B
∂t (3.4)
A for¸ca de Lorentz se configura como a soma de dois vetores: a for¸ca magn´etica sobre uma carga em movimento e a for¸ca el´etrica resultado de um campo el´etrico [9]. Portanto, ´e necess´ario que a part´ıcula tenha carga el´etrica n˜ao nula e exista tanto um campo el´etrico como um magn´etico. A For¸ca de Lorentz ´e descrita pelo produto vetorial:
−→ FL = Q(
− →
E + −→v ×−→B ) (3.5)
Sendo assim, a for¸ca ´e sempre proporcional `a carga el´etrica, paralela `a dire¸c˜ao do campo el´etrico e perpendicular tanto `a velocidade da part´ıcula como ao campo magn´etico.
O eletromagnetismo explica dois efeitos que ser˜ao fundamentais para o estudo dos sensores magn´eticos integrados, o Efeito Magneto-resistivo e o Efeito Hall.
3.1
Os efeitos Galvanom´
etricos
Os efeitos galvanom´etricos s˜ao as manifesta¸c˜oes do transporte de carga el´etrica em presen¸ca de um campo magn´etico. Dentro destes efeitos podemos destacar tanto o efeito Hall como o efeito Magneto-resistivo. Usando a dire¸c˜ao do campo el´etrico como referˆencia, o efeito Hall pode ser definido como o efeito galvanom´etrico isot´ermico transversal, enquanto o magneto-resistivo corresponde ao isot´ermico longitudinal [4].
3.1.1
Efeito Hall
Em 1879, o f´ısico Edwin Hall realizava experimentos com placas de condutores e analisava a influˆencia dos campos magn´eticos sobre as cargas el´etricas em movimento. Como resultado destas experiˆencias, documentou o efeito que foi batizado com seu nome.
Hall esperava que a for¸ca induzida pelo campo magn´etico sobre as cargas gerasse um deslo-camento da corrente e, por conseguinte, um aumento da resistˆencia do condutor. No entanto, o pesquisador chegou a um resultado distinto do esperado, pois n˜ao encontrou varia¸c˜ao sig-nificativa da resistˆencia ou modifica¸c˜ao no caminho da corrente. Hall explicou este resultado observando que cargas eram acumuladas nas paredes do condutor, estas cargas geravam um campo el´etrico perpendicular `a dire¸c˜ao da corrente, gerando uma for¸ca el´etrica de magnitude igual, por´em contr´aria `a for¸ca magn´etica. Em resumo, a for¸ca de Lorentz (Equa¸c˜ao 3.5) tem
Cap´ıtulo 3. Eletromagnetismo e o Efeito Hall 16
valor total igual a zero. O resultado do campo el´etrico ´e um potencial el´etrico mensur´avel, conhecido como tens˜ao Hall, que ´e proporcional `a corrente el´etrica e ao campo magn´etico [9]. 3.1.1.1 Efeito Hall em condutores
Nos experimentos conduzidos por Hall fora utilizada uma placa met´alica, uma lˆamina re-tangular de largura w, comprimento l e espessura t, como ilustrado na Figura 3.1. Os contatos C1 e C2 s˜ao os contatos-corrente, por onde flui a corrente el´etrica, enquanto os S1 e S2 s˜ao contatos-sensor, usados para detectar e medir o potencial el´etrico que aparece sobre a placa.
Figura 3.1: Placa Hall Condutora
Sendo que: VH ´e a tens˜ao Hall; I ´e a corrente; q ´e o valor da carga fundamental; n ´e a
densidade de portadores; e Vs ´e o potencial el´etrico entre os contatos-corrente;
Usando a equa¸c˜ao de for¸ca de Lorentz descrita anteriormente na Equa¸c˜ao 3.5, tem-se que: − → F = 0 = nq(−→EH + −→v × − → B )
Como os vetores −→v e−→B s˜ao perpendiculares, e o produto vetorial fica na mesma dire¸c˜ao do campo el´etrico −→EH, podemos reescrever a equa¸c˜ao em fun¸c˜ao das suas magnitudes v, B e EH
como:
nqEH = −nqvB
Multiplicando pela ´area transversal, A = wt, temos que: nqwtEH = −nqvBwt
E, como a corrente el´etrica ´e fluxo vezes ´area ( I = J A = nqvwt), podemos simplificar a express˜ao como:
Cap´ıtulo 3. Eletromagnetismo e o Efeito Hall 17
Assim, podemos escrever a magnitude do potencial Hall como: |VH| =
IB
nqt (3.6)
O coeficiente Hall RH ´e uma figura de m´erito ´util para representar a sensibilidade do material
ao campo magn´etico. A Equa¸c˜ao 3.7 representa a rela¸c˜ao de proporcionalidade do potencial Hall e do produto do campo magn´etico com o fluxo de corrente, o que permite identificar se a corrente el´etrica ´e composta por portadores positivos ou negativos, assim como a mobilidade deles dentro do material.
RH =
EH
JyB
(3.7)
3.1.1.2 Efeito Hall em semicondutores
Diferente dos metais, onde as cargas s˜ao totalizadas pelos el´etrons, em semicondutores temos dois tipos de portadores, os el´etrons com carga negativa, e as lacunas com carga positiva. A Figura 3.2 apresenta uma placa Hall com geometria idˆentica a da apresentada na Figura 3.1, mas agora considerando a an´alise sobre os dois tipos de carga.
Figura 3.2: Efeito Hall em Semicondutores
Observe que com duas cargas de naturezas diferentes teremos duas velocidades m´edias tam-b´em distintas, as quais podem ser descritas como:
− →v p = µp −→ Ey− µp −→ EH − →v n = −µn −→ Ey− µn −→ EH
Sendo que µne µp s˜ao as mobilidades de el´etrons e lacunas no material, enquanto Ey
repre-senta o campo el´etrico entre os contatos-corrente da placa. Surge um campo el´etrico produto da carga acumulada pelo efeito Hall, conhecido como campo Hall EH [4],
Cap´ıtulo 3. Eletromagnetismo e o Efeito Hall 18
O fluxo Jx tem que ser igual a zero, j´a que n˜ao existe fluxo de corrente entre os
contatos-sensor da placa, portanto:
pµpEH = nµnEH
Enquanto, o fluxo el´etrico Jy no material na dire¸c˜ao y ser´a dividido em fluxo de el´etrons e
lacunas como: − → Jp = qpµp −→ Ey & − → Jn= −qnµn −→ Ey Jy = −→ |Jp| + | − → Jn| (3.8)
Sendo que q, n e p correspondem a carga el´etrica fundamental, o n´umero de portadores negativos (el´etrons) e positivos (lacunas) respectivamente.
Considerando que −→Jy,
− →
B , e −→EH s˜ao vetores ortogonais, podemos reescrever a equa¸c˜ao 3.5
que descreve a for¸ca de Lorentz em forma escalar como: Fp = qEH − qµpEyB ,
−Fn= qEH + qµnEyB .
Usando as equa¸c˜oes anteriormente descritas, temos o campo el´etrico Hall como:
EH = BJy pµ2p− nµ2n q (pµp+ nµn)2 , EH = EyB (pµp+ nµn) pµ2p − nµ2n (pµp+ nµn)2 , (3.9)
e substituindo Jy = twI e VH = VwH, temos que:
VH =
IBz pµ2p − nµ2n
tq (pµp+ nµn)2
. (3.10)
Podemos reescrever o coeficiente Hall como:
RH =
pµ2
p− nµ2n
q (pµp+ nµn)2
, (3.11)
sendo a rela¸c˜ao entre mobilidades de el´etrons e lacunas b = µn
µp, RH podemos reescrever:
RH =
p − nb2
q (p + nb)2 .
Supondo uma rela¸c˜ao entre as mobilidades de el´etrons e lacunas igual a b ≈ 2, 5 para o sil´ıcio [12, 7], ´e poss´ıvel esbo¸car a varia¸c˜ao do coeficiente Hall de acordo com a concentra¸c˜ao de dopantes tipo n e os portadores intr´ınsecos ni, ilustrado na Figura 3.3(reimpressa de [4]).
Cap´ıtulo 3. Eletromagnetismo e o Efeito Hall 19
Figura 3.3: Coeficiente Hall versus Dopagem em Sil´ıcio
Os valores m´aximos do coeficiente Hall se encontram quando o n´ıvel de dopante tipo n ´e 1.14 vezes a dopagem intr´ınseca, entretanto, sensores com este n´ıvel de dopagem s˜ao invi´aveis, por ser industrialmente impratic´avel atingir tal precis˜ao na dopagem.
Em semicondutores extr´ınsecos, onde a quantidade de dopantes s˜ao algumas ordens de gran-deza superior ao n´umero de portadores intr´ınseco ni, o coeficiente Hall da equa¸c˜ao 3.11 pode
ser simplificado da seguinte forma: RHn = −
1
qn para sil´ıcio tipo n e RHp =
1
qp para tipo p
O coeficiente Hall ´e ´util para determinar a dopagem de uma amostra de semicondutor. Podemos tamb´em reescrever o campo el´etrico Hall apresentado na Equa¸c˜ao 3.9 como:
EHn = −ExBzµn para silicio tipo n e EHp = ExBzµp para tipo p
Observamos, portanto, que o efeito Hall em semicondutores depende da mobilidade dos portadores na amostra. Sendo assim, s˜ao preferidos materiais tipo n para a fabrica¸c˜ao de sensores magn´eticos, por apresentarem a mobilidade dos el´etrons maior que a mobilidade das lacunas.
3.1.1.3 Mobilidade Hall
A mobilidade de portadores em certos materiais ´e afetada pela presen¸ca de campo magn´etico, mudando a velocidade m´edia e a probabilidade de colis˜ao com a rede cristalina.
Para campos magn´eticos de baixa intensidade, como os utilizados para este trabalho, pode-mos relacionar a mobilidade de portadores no material extr´ınseco µ e a mobilidade de portadores na presen¸ca de um campo magn´etico µH, utilizando uma constante de proporcionalidade,
de-nominada fator Hall rH. Podemos escrever esta rela¸c˜ao como:
µH = rHµ (3.12)
O fator Hall depende da dopagem do material e da temperatura de opera¸c˜ao [13], como pode ser observado na Figura 3.4, que apresenta os valores do fator Hall como fun¸c˜ao da concentra¸c˜ao
Cap´ıtulo 3. Eletromagnetismo e o Efeito Hall 20
de dopantes no sil´ıcio tipo n, para duas temperaturas distintas.
Figura 3.4: Fator Hall versus Dopagem em Sil´ıcio para 77K e 300K
3.1.2
Efeito Magneto-resistivo
Chama-se de efeito magneto-resistivo as altera¸c˜oes da resistˆencia el´etrica causadas por um campo magn´etico, este efeito foi descoberto por Lord Kelvin em 1853. O experimento de Lord Kelvin era muito similar ao desenvolvido anos mais tarde por Hall, com a diferen¸ca que a placa utilizada por Kelvin n˜ao era um material condutor comum, e sim um elemento ferromagn´etico. Hoje em dia, existem dois tipos b´asicos de sensores que utilizam o efeito Magneto-resistivo, ambos podem ser integrados aos dispositivos semicondutores:
• Os primeiros s˜ao baseados nas observa¸c˜oes de Lord Kelvin e usam a tecnologia de fil-mes finos para depositar uma camada de material ferromagn´etico, comumente Permalloy (NiFE), sendo que a resistividade do material varia em fun¸c˜ao da intensidade do campo magn´etico.
• Os segundos dependem da geometria do dispositivo, onde ´e poss´ıvel mudar o caminho seguido pela corrente, aumentando assim a resistˆencia. Baseiam-se na For¸ca de Lorentz, mesmo princ´ıpio dos sensores Hall, para desviar o caminho da corrente el´etrica. Esta deflex˜ao ´e maior em materiais com uma alta mobilidade, um exemplo deste tipo de com-ponentes ´e o disco de Corbino.
Por n˜ao serem dispositivos Hall e, portanto, estarem al´em do escopo deste trabalho, n˜ao ser´a aprofundado o estudo sobre dispositivos Magneto-resistivos.
Cap´ıtulo
4
O efeito Piezo-resistivo em Sil´ıcio
Os piezo-efeitos relacionam a influˆencia da a¸c˜ao mecˆanica na mudan¸ca das propriedades do material. Materiais que apresentam alguns destes efeitos resultam ideais para projetar sensores sens´ıveis a est´ımulos como deforma¸c˜ao, press˜ao e for¸ca mecˆanica.
O sil´ıcio apresenta boas propriedades el´etricas, qu´ımicas e mecˆanicas, o que tem levado o sil´ıcio a ser o principal material usado na fabrica¸c˜ao de circuitos integrados. Tamb´em apresenta v´arios piezo-efeitos, incluindo: piezo-jun¸c˜ao, piezo-resistˆencia , piezo-MOS, piezo-tunelamento e piezo-Hall [4]. Raz˜oes que explicam porque desde a d´ecada 60 o sil´ıcio tem sido explorado para a produ¸c˜ao de transdutores, acompanhando e aproveitando os desenvolvimentos em microelec-trˆonica [5, 14, 15, 16, 17, 18].
Neste trabalho, focaremos principalmente no efeito piezo-resistivo, que ´e a varia¸c˜ao da resis-tividade em fun¸c˜ao do estresse mecˆanico, e a rela¸c˜ao deste com os sensores de efeito Hall.
4.1
Efeito Piezo-resistivo
O efeito piezo-resistivo descreve como a resistividade de um material ´e influenciada pelo estresse mecˆanico [19, 20, 17]. Este efeito foi documentado inicialmente por Lord Kelvin em 1856, quando o f´ısico percebeu que a resistˆencia de uma placa met´alica muda ao se aplicar uma carga mecˆanica. Em 1954, Smith documentou que o efeito piezo-resistivo ´e muito maior em semicondutores cristalinos [21, 22], chegando a ser duas ordens de grandeza superior compa-rado com condutores met´alicos, observando que mobilidade de portadores em semicondutores ´e influenciada pela deforma¸c˜ao da rede cristalina.
Este piezo-efeito tem sido a t´ecnica de transdu¸c˜ao mecˆanica mais utilizada em sensores de press˜ao de sil´ıcio [6]. A maioria destes sensores consistem em resistores difundidos na forma de uma ponte de Wheatstone, sobre uma membrana que permite concentrar a deforma¸c˜ao mecˆanica [23, 24, 25, 26]. Sensores baseados no efeito piezo-resistivo apresentam boa sensibilidade e linearidade, por outro lado, apresentam um alto consumo de potˆencia est´atica e ocupam grande ´
area, sendo muito sens´ıveis ao descasamento entre os componentes[20, 26]. Para minimizar o descasamento, uma nova topologia baseada em piezo-resistores de 4-terminais, similares a uma cruz grega, vem sendo empregada no projeto de sensores de press˜ao [27, 26]. Curiosamente, geometria similar a usada na placa Hall.
Cap´ıtulo 4. O efeito Piezo-resistivo em Sil´ıcio 22
4.1.1
Teoria da Elasticidade
A teoria da elasticidade explica a deforma¸c˜ao n˜ao permanente de um material submetido `
a a¸c˜ao de for¸cas. Este comportamento ´e chamado de resposta el´astica do material, na qual o estresse gera uma deforma¸c˜ao na vizinhan¸ca de onde ´e aplicado [17].
Definamos estresse mecˆanico como a for¸ca total aplicada sobre uma superf´ıcie de ´area A. Como a For¸ca ´e um vetor, podemos dividir os componentes da for¸ca em normal `a superf´ıcie, ou Fn, e tangencial `a superf´ıcie, ou Ft, assim podemos dividir os estresses como estresse normal e
tangencial como:
lim
A→0
Fn
A = σ & A→0lim
Ft
A = τ (4.1)
Sendo que σ representa o estresse normal `a superf´ıcie, e τ o estresse tangencial, tamb´em conhecida como tens˜ao de cisalhamento.
Introduzida no s´eculo XVII por Robert Hooke, a lei de Hooke relaciona linearmente o estresse aplicado com a deforma¸c˜ao do material. Podendo ser escrita como:
σ = Y (4.2)
τ = Gγ (4.3)
Sendo que e γ correspondem respectivamente `as deforma¸c˜oes normais e tangenciais `a superf´ıcie, Y ´e conhecido como m´odulo de Young e G como m´odulo de rigidez. Ambos os m´odulos podem ser relacionados com o coeficiente de Poisson υ como:
Y = 2G(1 + υ) (4.4)
Um material tridimensional ter´a estresse normal e tangencial em todas as dimens˜oes, como ilustrado na Figura 4.1, sendo assim, teremos trˆes componentes de estresse normal e trˆes de cisalhamento. Para estender as an´alises a um elemento tridimensional, reescreveremos o estresse de forma vetorial como:
σij = σx σy σz τxy τxz τyz
Agora podemos generalizar a lei de Hooke em forma matricial como: σij = Cijij
Sendo que Cji ´e a matriz de coeficientes de elasticidade, equivalentes ao m´odulo de Young e
ao m´odulo de rigidez.
A deforma¸c˜ao tamb´em pode ser representada em fun¸c˜ao do estresse, como a inversa da matriz Cij, a matriz de coeficientes independentes da elasticidade Sij.
Cap´ıtulo 4. O efeito Piezo-resistivo em Sil´ıcio 23
Figura 4.1: Elemento infinitesimal com estresse e tens˜ao em todas as dire¸c˜oes.
ij = Sijσij
Podemos reescrever os coeficientes Sij em fun¸c˜ao do m´odulo de Young Y , os m´odulos de
rigidez G e os coeficientes de Poisson υ para cada uma das dire¸c˜oes como [17, 26, 28]: x y z γxy γxz γyz = 1 Yx − υxy Yy − υxz Yz 0 0 0 −υxy Ex 1 Ey − υyz Yz 0 0 0 −υxz Yx − υyz Yy 1 Yz 0 0 0 0 0 0 2G1 yz 0 0 0 0 0 0 2G1 xz 0 0 0 0 0 0 1 2Gxy σx σy σz τxy τxz τyz (4.5)
Muitos materiais monocristalinos, incluindo o sil´ıcio usado em microeletrˆonica, apresentam coeficientes de Poisson, m´odulos de elasticidade e rigidez diferentes em cada dire¸c˜ao cristalogr´ a-ficas, sendo assim caracterizados como materiais com um comportamento anisotr´opico.
4.1.2
Desenvolvimento anal´ıtico do efeito piezo-resistivo
Para explicar o efeito piezo-resistivo consideremos um condutor retangular de comprimento l, largura w e espessura t (portanto ´area transversal wt), como mostrado na Figura 4.2, sendo que o material tem uma resistividade el´etrica ρ0.
Podemos escrever a resistˆencia el´etrica entre os contatos 1 e 2 como: R = ρ0
l wt
Sendo que a resistividade ρ0 pode ser representada como:
ρ0 =
1 (nµn+ pµp)q
Cap´ıtulo 4. O efeito Piezo-resistivo em Sil´ıcio 24
Figura 4.2: Condutor retangular. Assim, podemos escrever a varia¸c˜ao relativa da resistˆencia como:
∆R R = ∆ρ0 ρ0 + ∆l l − ∆w w − ∆t t
J´a definido a deforma¸c˜ao do material como = ∆l/l e o coeficiente de Poisson, podemos
reescrever a equa¸c˜ao anterior como: ∆R
R =
∆ρ0
ρ0
+ (1 + 2υ) (4.7)
Podemos agora definir o Fator Gauge FG, que ´e a rela¸c˜ao entre a varia¸c˜ao da resistˆencia
el´etrica e a deforma¸c˜ao, como: FG =
∆R/R
=
∆ρ0/ρ0
+ (1 + 2υ) (4.8)
Para elementos met´alicos, a varia¸c˜ao da resistividade ρ0 ´e desprez´ıvel [14], logo o Fator FG
pode ser escrito como
FG =
∆R/R
= (1 + 2υ) (4.9)
O m´odulo de Poisson est´a restrito a valores entre 0, 2 e 0, 4, portanto a varia¸c˜ao da resistˆencia ´
e limitada a uma pequena varia¸c˜ao geom´etrica.
J´a para elementos semicondutores, a resistividade ρ0 muda significativamente com a
defor-ma¸c˜ao do material, sendo dezenas de vezes maior esta varia¸c˜ao do que o m´odulo de Poisson. Desta forma, o fator FG para semicondutores pode ser aproximado como:
FG=
∆R/R
=
∆ρ0/ρ0
(4.10)
Assim como a deforma¸c˜ao do material cristalino ´e anisotr´opica, analogamente, o efeito piezo-resistivo resulta ser anisotr´opico. A varia¸c˜ao relativa da resistividade do sil´ıcio monocristalino ser´a diferente em cada dire¸c˜ao, podendo ser calculada atrav´es dos coeficientes piezo-resistivos e do estresse mecˆanico aplicado a ele. Estes coeficientes piezo-resistivos descrevem a mudan¸ca da resistividade relativa com rela¸c˜ao `a dire¸c˜ao cristalogr´afica pelo estresse induzido, como segue:
Cap´ıtulo 4. O efeito Piezo-resistivo em Sil´ıcio 25
∆ρij
ρ0
= πijklσkl+ πijklmnσklσmn (4.11)
Na equa¸c˜ao, σkl e σmn s˜ao as matrizes de tensores de estresse de primeira e segunda ordem,
πijkl e πijklmn s˜ao as matrizes de coeficientes piezo-resistivos de primeira e segunda ordem,
respectivamente. Dado que para n´ıveis de estresse de at´e 200 MPa, os coeficientes de segunda ordem podem ser desconsiderados [29] a equa¸c˜ao 4.11 pode ser simplificada a:
∆ρij
ρ0
= πijklσkl (4.12)
A estrutura cristalogr´afica do sil´ıcio possui planos de simetria, fato que permite que os coe-ficientes piezo-resistivos de primeira ordem (CP RP ) da equa¸c˜ao 4.12 possam ser simplificados, como resumido na Tabela 4.1.
Tabela 4.1: Simplifica¸c˜ao dos coeficientes piezo-resistivos de primeira ordem. CPRP [πijkl]
π1111 = π1111 = π2222 = π11
π1122 = π2211 = π2233 = π1133 = π3311 = π3322 = π12
π4444 = π5555 = π6666 = π44
Sendo que a Matriz de coeficientes πijkl ´e simplificada como:
πijkl = π11 π12 π12 0 0 0 π12 π11 π12 0 0 0 π12 π12 π11 0 0 0 0 0 0 π44 0 0 0 0 0 0 π44 0 0 0 0 0 0 π44 (4.13)
Obtemos esta matriz usando apenas trˆes coeficientes fundamentais de piezo-resistˆencia: π11´e
o chamado coeficiente longitudinal, π12 ´e o coeficiente transversal e π44 ´e o coeficiente de
cisalhamento. A Tabela 4.2 apresenta os valores destas constantes medidas por Smith [21] e Matsuda [29] no sil´ıcio tipo p e tipo n, na dire¸c˜ao [100] sobre o plano (100). Apesar dos valores dos coeficientes serem dependentes da temperatura e da concentra¸c˜ao de dopantes - fato j´a estudado sistematicamente [30] - para a finalidades deste trabalho, consideramos os coeficientes peizo-resistivos como constantes.
Tabela 4.2: Coeficientes piezo-resistivos de primeira ordem [10−9Pa−1].
Tipo-p Tipo-n
CPRP [πijkl] Smith Matsuda Smith Matsuda
π11 7 -0,6 -102 -77
π12 -1 0.1 53 39
