1. Qual das alternativas apresenta a associação correta? (A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. a) A III – B I – C II – D IV b) A II – B I – C IV – D III c) A II – B III – C I – D IV d) A II – B II – C IV – D I e) A III – BIV – C II – D I 2. O resultado da expressão é a) – 0,5 b) – 0,25 c) 0,75 d) 0,333...
3. Se m = 22. 3a. 52. 73 e n = 23. 35. 53. 7b. 11, e mdc (m,n) = 18.900, então os valores de a e b são, respectivamente,
3 e 1 b) 2 e 3 c) 3 e 2 d) 2 e 2
4. Considere os seguintes conjuntos numéricos: P = {x Z / x é divisor de – 18}, Q = {x Z / x é múltiplo de – 4}, R = {x Z / x é divisor de 16 e x é divisor de – 24}, S = {x Z / x é múltiplo de 6}. Quantos números naturais pertencem ao conjunto T = (P ∩ S) U (R ∩ Q)?
a) 4 b) 2 c) 8 d) 6 e) 10
5. Dois números primos entre si têm por produto 5184. Se o menor deles é a maior potência inteira de 2, menor que 100, então o maior deles é
a) uma potência de 5. b) uma potência de 3. c) múltiplo de 11. d) múltiplo de 7. 9 3 2 20 27 3 8 10 3 27 4 5 12 2 160 5 5 2 180 12 −2−2+ 10% de 7,5− 0,666... 1−1 3
∈
∈
∈
∈
6. Um retângulo tem área T. Se aumentarmos a medida da sua base em 20%, e diminuirmos a medida da sua altura em 20%, obteremos um novo retângulo cuja área é igual a
a) T.
b) 0,96T. c) 1,04T.
d) 1,025T.
7. A raiz da equação é uma fração cuja diferença entre o numerador e o denominador é
a) 35. b) 37. c) 45. d) 47.
8. O maior número inteiro que satisfaz a inequação é a) – 4
b) – 3 c) – 2 d) 3 e) 2
9. Uma pessoa emprega R$25,00 em duas parcelas: a 1a a 3% ao mês e a 2a a 2% ao mês e recebe anualmente R$7,20 de juros simples. O valor da maior parcela empregada, em R$, é
a) 8 b) 10 c) 12 d) 15
10. Seja n Î N* / n < 312. A fração irredutível , escrita na forma decimal, é um (a) a) decimal exato.
b) número inteiro.
c) dízima periódica simples. d) dízima periódica composta. e) inteiro
11. A casa de João tem um quintal retangular de 30 m por 20 m. Se ele usar 30% da área do quintal para fazer uma horta também retangular, de 10 m de comprimento, então a largura desta horta, em m, será a) 18. b) 15. c) 12. d) 11. e) 13.
12. Sobre as raízes da equação x4 – 20x2 + 36 = 0 podemos afirmar: a) formam uma sucessão de 4 números em progressão geométrica. b) formam uma sucessão de 4 números em progressão aritmética. c) duas são complexas conjugadas e duas são reais.
d) nenhuma delas é real. e) são todas racionais.
x− 2x +3x−1 10 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟= 1 6
(
2x− 9)
−1 3 5 2 3 x+1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟−1≥ 1 2(
2x+ 3)
n 31213. Leia as sentenças abaixo.
I) Todo número natural que termina em 3 é divisível por 3. II) Todo número natural divisível por 2 é também divisível por 4.
III) Existem números naturais terminados em 2 que são divisíveis por 4. IV) Todo número natural divisível por 10 é também divisível por 2 e 5. V) Existem números naturais terminados em 4 que são divisíveis por 3. VI) Existem números naturais divisíveis por 6 que não são divisíveis por 2. Está correto o que se afirma em
a) I e II apenas. b) I, II e III apenas. c) III, IV e V apenas. d) I, II, III, IV, V e VI.
e) nenhuma das afirmativas.
14. Um tanque tem três torneiras. A 1ª enche o tanque em 25 horas; a 2ª, em 40 horas; já a 3ª o esvazia em 20 horas. O tanque está com de água. Abrindo-se simultaneamente as três torneiras, ele ficará cheio em
a) 55 h 40 min. b) 53 h 12 min. c) 52 h.
d) 50 h.
e) 52 h 30 min.
15. Para obter-se um total de R$ 22.800,00 ao final de 1 ano e 2 meses, à taxa de 12% ao ano, a juros simples, é necessário que se aplique
R$ 10.000,00 R$ 12.000,00 R$ 15.000,00 R$ 20.000,00 R$ 22.000,00
16. Um imóvel foi comprado e revendido com um lucro de 8% sobre o preço de venda. Sabendo que, se o lucro fosse aumentado de R$700,00, ele teria sido igual a 9% do preço de compra, esse lucro foi de
a) R$ 10.000,00 b) R$ 14.000,00 c) R$ 20.000,00 d) R$ 32.000,00
17. Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F): ( )
( )
( )
( )
( )
A opção que contém a sequência correta é a) V – V – F – F – F b) F – V – F – F – V c) V – F – V – V – F d) V – V – F – F – V e) F – F – V – V – F 1 4 Z+⊂ N Z+≠ N Z − Z−= Z+ * Z+∩ Z−
(
)
∪ N*= N Z − Z+= Z−18. Por 24 operários que trabalhavam 7 horas por dia, foram feitos de um trabalho em 10 dias. Com a dispensa de 4 operários e considerando-se que os restantes trabalham agora 6 horas por dia, nas mesmas condições, o número de dias em que o trabalho será concluído é
a) 18 b) 19 c) 20 d) 21
19. Sendo , e , então o quociente da divisão do m.m.c. pelo m.d.c. dos números A, B e C é a) 36 b) 90 c) 180 d) 450 e) 500
20. Sabendo que 25 kg de linha foram usados para tecer 24 m de um tecido de 6 m de largura. O comprimento do mesmo tecido que se pode fazer com 100 kg de linha e com largura de 9 m, em m, é a) 32 b) 64 c) 144 d) 164 e) 180
21. O valor da expressão é igual a
a) " # b) c) d) e) 1
22. Que expressão podemos acrescentar a cada termo da fração a fim de obtermos ?
a) b) c) d) e) 2 5 A= 23× 32× 5 B = 24× 33 C= 25× 34 144 ÷ 0,6 2,4×10 − 3 4 2−1,5÷ 1+ 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎧ ⎨ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎭⎪ 7 12 −2 3 2 5 x y 5x 4y xy 4 y− 5x xy 5x− 4y 9xy 4 y− 5x 1 4 y− 5x 21xy y− 2x
23. É verdadeira a afirmação: a equação a) admite 4 raízes reais irracionais.
b) admite 4 raízes reais racionais e positivas. c) não admite raízes reais.
d) admite 4 raízes reais inteiras.
e) admite 2 raízes reais irracionais e 2 raízes complexas.
24. A raiz da equação pertence ao intervalo
a) [−3, 4[. b) ]5, 10[.
c) ]6, 9]. d) [0, 8].
25. Os elementos de um conjunto A são tais que 10 deles são múltiplos de 4; 9 são múltiplos de 6; 8 são múltiplos de 12; e 4 são números ímpares. Se A Ì N (N = conjunto dos números naturais), então o número de elementos de A é
a) 31. b) 25. c) 21. d) 15.
26. Seja P o conjunto dos retângulos, Q o conjunto dos quadrados e L o conjunto dos losangos. É correto afirmar que
a) L Ç P = L - P b) L Ç Q = L – Q c) L Ç Q = P d) L Ç P = Q
27. Seja a inequação |x + 4| < 2 em R. Podemos afirmar que o menor valor inteiro que x pode assumir é? a) – 6 b) – 5 c) – 4 d) – 3 e) – 2 28. Se 𝑓(𝑥) = 3𝑥 – 5 e 𝑓[𝑔(𝑥)] = 3𝑥! − 14, o valor de 𝑔(1) é igual a: a) 0 b) 1 c) −2 d) 2 e) – 1 x8−13x4+ 36 = 0 x+ 4 + x − 4 x+ 4 − x − 4 = 2
29. Seja o sistema 34𝑥 − 5 ≤ 0
𝑥 + 3 > 0 A soma dos números inteiros do conjunto solução desse sistema é igual a: a) – 5 b) 3 c) – 2 d) – 3 e) 1
30. Sendo f e g funções de IR em IR, tais que 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 7 e 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 8𝑥 + 55, qual das alternativas abaixo indica o valor de g(4)?
a) 12 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22
31. A função f: N®N definida por é
a) bijetora.
b) somente injetora. c) somente sobrejetora.
d) não injetora e não sobrejetora. e) par 32. Sejam as funções 𝑓(𝑥) = √3𝑥!− 12 e 𝑔(𝑥) = "# #$% , então 𝑔[𝑓(4)] é um número: a) par. b) primo. c) irracional negativo. d) real não positivo. e) irracional positivo.
33. A função f(x) = 2(x + 1) representa em x uma reta: a) paralela a reta de equação y = 5x + 7
b) concorrente com a reta de equação y = 2x − 9 c) igual a reta de equação y = x + 1
d) que intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, 2) e) que intercepta o eixo das abcissas no ponto (1, 0)
34. O domínio da função f(x) = ln (x² + x + 1) é o conjunto dos números: a) reais positivos
b) negativos c) reais entre -1 e 1 d) reais
e) reais entre 0 e 1
35. O valor da raiz da equação é um número a) inteiro positivo. b) irracional. c) inteiro negativo. d) imaginário puro e) igual a zero. f (n)= n 2, se n é par n+1 2 , se n é ímpar ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ! ! 2x+1+ 2x−1= 40
36. Se 𝑥 Î Z e 𝑓(𝑥) é uma função tal que 𝑓(𝑝 + 𝑞) = 𝑓(𝑝) . 𝑓(𝑞) 𝑒 𝑓(2) = 2, então 𝑓(0) e 𝑓(– 2) são, respectivamente, a) 1 e b) 0 e c) 1 e 0 d) 1 e – 4
37. O ponto de maior ordenada, pertencente ao gráfico da função real definida por , é o par ordenado . Então, " " é igual a
a) −3. b) 3. c) 5. d) e) 1. 38. A equação
a) só tem uma solução.
b) tem duas soluções, tais que seu produto é = – 6. c) tem duas soluções, tais que seu produto é = – 4. d) tem duas soluções, tais que seu produto é igual a 0. e) não possui soluções reais.
39. A fórmula que define a função quadrática, cuja representação gráfica é uma parábola, cuja concavidade é voltada para baixo e que não intercepta o eixo das abscissas, é
a) y = – x2 – 2x – 1 b) y = – 5x + x2 + 7 c) y = 3x – 2x2 – 2 d) y = – 6 – x2 – 5x
40. O gráfico da função , definida por ,
a) determina, com os eixos coordenados, uma região triangular de área A #B. b) intercepta o eixo “x” no ponto de abscissa .
c) intercepta o eixo “y” no ponto de ordenada . d) passa pela origem do sistema cartesiano. e) Passa pelo ponto (1, 0).
41. O conjunto-solução da inequação (0,5)x(x - 2) < (0,25)x - 1,5 é a) {𝑥 𝑹 | 𝑥 < 1}. b) {𝑥 𝑹 | 𝑥 > 3}. c) {𝑥 𝑹 | 1 < 𝑥 < 3}. d) {𝑥 𝑹 | 𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 3}. e) {𝑥 𝑹 | 𝑥 < − 1 𝑜𝑢 𝑥 > − 3}. 1 2 1 2 f x
( )
= 3− x( )
( )
x+1( )
m,n m− n −5 x2+ x − 6 = 0 y= f x( )
13 −1 x4 −1 1 2 y = 0 −3 7 −3 2 Î Î Î Î Î42. O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos e . Se é a função inversa de f, então 𝑓!"(2) é
a) 2 b) 0 c) d)
43. Na figura abaixo, a curva representa o gráfico da função , para . Assim, a soma das áreas das regiões hachuradas é igual a
a) b) c) d)
44. Os valores de x para os quais > são a) < x <
b) < x < c) x < ou x > d) x < ou x >
45. Seja 𝑓: Â ® Â uma função. O conjunto dos pontos de intersecção do gráfico de f com uma reta vertical
a) é não enumerável. b) possui um só elemento.
c) possui exatamente dois elementos. d) possui, pelo menos, dois elementos. e) não é definido. −3,4
( )
( )
3,0 f−1 −3 2 3 2 y= log x x> 0 log 2 log3 log 4 log6 (0,8)4x2−x (0,8)3( x+1) −3 2 1 2 −1 2 3 2 −3 2 1 2 −1 2 3 2y
x
S
1S
21 2 3 4
46. É par a função f: ® Â definida por a) 𝑓(𝑥) = " #! b) 𝑓(𝑥) =" # c) d) e)
47. A parábola de equação 2𝑥² + 𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑐 passa pelo ponto (1,0) e seu vértice é o ponto de coordenadas (3, t). Então t é igual a:
a) 8 b) -4 c) 6 d) -5 e) 1
48. Uma caixa d’água tem a forma de paralelepípedo reto-retângulo, cujas medidas internas são, em m, “x”, “ ” e “2”. O maior volume, em m3, que ela poderá conter é igual a
a) 150 b) 200 c) 220 d) 250
e) 275
49. Sendo 𝑓: 𝑅 → 𝑅 a função definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, então 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + . . . + 𝑓(25) é igual a: a) 725 b) 753 c) 653 d) 1375 e) 400
50. O menor valor inteiro positivo que pertence ao conjunto-solução da inequação é o a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
51. Considere a função f:® definida por . Se e 𝑥& = 𝑎 – 6, então
o valor da função no ponto x0 é dado por a) 2/3 b) 3/2 c) 2 d) 3 e) 1 ℜ* f (x)= x f (x)= x5 f (x)= −x 20− x −3x2+12
(
)
(
x2− 6x + 8)
< 0 f (x)= 2x−1, se x ≤1 0, se 1< x ≤3 x− 2 2x− 5, se x>3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ a=log2102452. Se o logaritmo de um número na base “n” é 4 e na base “ ” é 8, então esse número está no intervalo a) b) c)[101, 200] d) e)
53. Das sentenças abaixo, quantas são verdadeiras de modo que são satisfeitas por qualquer número real “x”? I) II) III) IV) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) nenhuma 54. Se , então vale a) b) c) 64 d)
55. O conjunto solução da inequação , sendo U = Â, é a) {𝑥 Î Â / 𝑥 £ − 1 𝑜𝑢 𝑥 ³ 1}. b) [−1, 1]. c) {0} c) Æ. d) Â. e) {1}. n 2 1, 50 ⎡⎣ ⎤⎦ 51, 100 ⎡⎣ ⎤⎦ 201, 500 ⎡⎣ ⎤⎦ 500,1000 ⎡⎣ ⎤⎦ x− 4
( )
2 = x2−16 8x= 2⋅4x 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x > 1 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x log23 x( )
2+1 = log 23+ log2 x 2+1( )
0,0625(
)
x+2 = 0,25( )
x+16 −3 2 1 32 1 64 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − x2 ≥ 256. A curva da figura representa o gráfico da função . Dos pontos e
saem perpendiculares ao eixo das abscissas, as quais interceptam a curva em D e E, respectivamente. Se a área do trapézio retângulo BCED vale 9, a área do triângulo ABD, onde
vale a) . b) 2. c) . d) 1. e) 0.
57. Todo número real positivo pode ser escrito na forma . Tendo em vista que 8 @ , então o expoente x, tal que 125 = , vale aproximadamente,
a) 1,90. b) 2,10. c) 2,30. d) 2,50. e) 2,90. 58. Seja . O domínio de 𝑓 é a) b) c) d) ℝ∗− {1, −1, −5} e)
59. Na progressão geométrica onde o primeiro termo é m3, o último é e a razão é
, o número de termos é a) 8. b) 9. c) 11. d) 10. e) 12. y= logax, a
( )
> 1 B 3,0( )
C 9,0( )
A 1,0( )
y
x
A B
C
D
E
x
log
y
=
a 1 2 3 2 10x 100,90 10x f x( )
= x+ 5− 12 x+1 x+ 9 x+1− 5 x ! − 0,−1{ }
! − 1,−5{ }
!* ! −m21 ⎛ ⎝⎜ ⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜−m2⎞⎠⎟60. O 78º termo de uma progressão aritmética de razão 3 é igual a 32. O maior termo negativo dessa sequência é a) b) 𝑎$% c) d) e) 61. Sendo as matrizes A = U 12 3 10 4 − 1 2 3 V , B = U1 0 24 1 0 2 3 4
V e a matriz X – 2A + B = 0, a soma dos elementos da 1ª linha da matriz x é:
a) 7 b) 5 c) 4 d) 3 e) 6
62. As medidas dos lados de um triângulo são 𝑥 + 1, 2𝑥, 𝑥² − 5 e estão em progressão aritmética, nesta ordem. O perímetro do triângulo mede:
a) 4 b) 12 c) 8 d) 33 e) 24
63. Dadas as matrizes e , então é igual a: a) W0 0 0 0X b) W2 −3 5 0X c) W−1 7 9 1X d) W−3 1 2 7X e) W−3 −1 7 2 X
64. A soma dos 9 primeiros termos de uma P.A. de razão 2 é nula. Assim, pode-se afirmar que seu sexto termo é igual a
a) 0 b) 2 c) 6 d) 7 e) 4
a
65a
66a
68a
64 S B= 2 1 −1 0 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ A⋅ B − B⋅ A65. Seja = 64. O valor de x que torna verdadeira a igualdade é a) 4. b) 5. c) – 4. d) – 5. 66. A soma é igual a a) b) c) d)
67. Para que o sistema tenha solução diferente da imprópria, o valor de m deve ser
a) 9. b) 0. c) 10. d) 15.
68. O termo geral de uma PA é . A soma de seus 10 primeiros termos é a) 18.
b) 14. c) 5. d) – 6.
69. Os valores de x que tornam verdadeira a igualdade são tais que seu produto
p é elemento do conjunto a) b) c) d) {𝑝 ∈ ℝ/−6 ≤ 𝑝 ≤ 2} e)
70. Dado o sistema linear abaixo com solução {(x, y, z)}, o valor de (𝑥. 𝑦. 𝑧)( é igual a
\ 3𝑥 − 5𝑦 − 2𝑧 = 9 −2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 a) 27 b) – 27 c) 8 d) – 8 2 3 6 4 x 0 − 2 0 − 2 1+ 2 + 22+ 23+ ...+ 2999+ 21000 21000−1 21001−1 21000+1 21001+1 3x+ my = 0 x+ 3y = 0 ⎧ ⎨ ⎩ an= 3n −16 x 0 2 −1 −1 1 3 1 x = −2 p∈! / p > −3
{
}
p∈! / −3 < p ≤ 2{
}
p∈! / p < −6{
}
p∈! / p = 2 ou p = 1{
}
71. Em uma sequência de circunferências, em que a primeira tem raio r = 1, os diâmetros formam uma PA de razão 6. Podemos afirmar que os valores dos raios e dos comprimentos dessas circunferências, respectivamente, formam uma
a) PA de razão 3 e uma PA de razão 6π b) PA de razão 3 e uma PG de razão 3π c) PA de razão 6 e uma PA de razão 6π d) PA de razão 3 e uma PG de razão 6π e) PA de razão 6 e uma PA de razão 3π
72. Sabe-se que a sequência é uma P.A. e a sequência é uma P.G. Nessas condições, é correto afirmar que
a) a razão da P.A. é 2. b) a razão da P.G. é 26.
c) .
d) .
e) 𝑥/𝑦 = 2
73. Um número, seu logaritmo 2 e a base do logaritmo formam, nessa ordem, uma P.A. Esse número é
a)
b)
c)
d)
74. Numa P.G. crescente temos 𝑎% + 𝑎( = 100 e 𝑎! = 14. A soma dos algarismos do quarto termo
dessa sequência é igual a: a) 12
b) 16 c) 18 d) 20 e) 22
75. Informe se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que se afirma abaixo e depois assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
( ) O determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 e que apresenta todos seus elementos iguais a 2 é igual a 0.
( ) Os valores dos determinantes de uma matriz de ordem 2 e de sua transposta são sempre iguais.
( ) Uma matriz quadrada A e uma matriz quadrada B obtida pela troca de duas linhas ou duas colunas de A apresentam determinantes iguais.
( ) O determinante de uma matriz identidade de ordem 3 é igual a 0. a) V – F – F – V b) F – F – V – V c) F – V – V – F d) V – V – F – F e) V – V – V – F x ; y ; 10
(
)
1 y; 2 ; 3x+ 4 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x+ y = 0 x⋅ y = −16 9− 17 2 9+ 17 2 −1+ 17 2 −1− 17 276. Em um triângulo, os três ângulos estão em progressão aritmética e o maior ângulo é o dobro do menor. Então o menor angulo mede:
a) 10° b) 20° c) 30° d) 15° e) 40°
77. Quanto devemos adicionar a cada um dos números 𝑘 + 3, 𝑘, 𝑘 − 2 para que, nesta ordem, formem uma Progressão Geométrica?
a) 6 − 𝑘 b) 6 + 𝑘 c) 1 − 6𝑘 d) 1 + 6𝑘 e) 𝑘 78. O valor de sen , n N, é a) -1 b) 0 c) " # d) 1 e) − 12
79. O elemento da matriz solução da equação matricial é
a) 0 b) – 2
c) 3 d) 1 e) – 1
80. Para que valor de “K” o sistema não possui solução?
a) – 3 b) – 6 c) 6 d) 3 e) 12 π 2, π 22,..., π 2n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Î X3,2 3⋅ X + 1 1 2 4 6 8 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥= 10 4 2 16 0 8 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ x− y = 1 y+ 3z = 1 2x+ Kz = 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪
81. O par , solução da equação matricial é a) b) !±√5, −2( c) d) e) (1, 1)
82. O sistema , nas incógnitas x e y, admite uma única solução se, e somente se,
a) b) c) 𝑚 = −1 d) e) 83. O é igual ao a) b) c) d) −𝑠𝑒𝑛!"# e)
84. Qual é a imagem da função y = 2 + %
!.cos(3𝑥 + 1)? a) [3/2, 5/2] b) [1/2, 5/2] c) [−3/2, 5/2] d) [1/2, 3/2] e) [−1/2, 3/2] x, y
( )
x −4 x2 y ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅⎛ x 2y 1 ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = x313+ y2 2x8− 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 6,± 3(
)
± 1 2,−5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ −7 3, 4 5 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 3x− 2y = −4 x+ 4y = −6 2x− 3y = m ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ m≠ −1 m= 0 m= 2 m= −2 sen122π 9 sen5π 9 sen4π 9 −cos5π 9 −senπ 9TRIGONOMETRIA
85. A expressão trigonométrica é igual a: a) 1 para todo número real “x”.
b) –1 para todo número real “x”.
c) 2𝑐𝑜𝑠!𝑥 − 1, para todo número real “x”.
d) para alguns números reais de “x”. e) 0, para todo número real
86. No ciclo trigonométrico:
I - o arco rad pertence ao 2° quadrante. II - o arco 1510° pertence ao 3° quadrante.
III - o arco pertence ao 4° quadrante. A(s) assertiva(s) correta(s) é(são):
a) II. b) I e II c) I e III. d) II e III. e) I, II e III.
87. Se q é um ângulo tal que e o dobro do seu seno é igual ao triplo do quadrado da sua tangente, então o valor do seu cosseno é
a)
b)
c) d)
88. Uma das raízes da equação é, sendo ,
a) 𝑡𝑔𝑎 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑎. b) 𝑡𝑔𝑎 – 𝑐𝑜𝑠𝑎. c) 𝑡𝑔𝑎 + 𝑠𝑒𝑛𝑎. d) 𝑡𝑔𝑎 – 𝑠𝑒𝑐𝑎.
89. Sendo , calculando , obtemos
a) 1 b) c) 3 d) e) 0 cos2x− sen2x 4 3 11π 4 −13π 3 rad ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 0<θ<π 2 3 3 3 2 2 2 2 3 x2− (2tg a)x −1= 0 a≠ −π 2+ kπ, k∈Z
a− b = 30o y= sen a + cosb
(
)
2+ senb − cosa(
)
2 23 2+ 3
90. A expressão é idêntica à (ao) a) tg2x.
b) sen2x.
c) cotg2x. d) cos2x.
91. A solução da inequação , no intervalo , é dada por “x” real, tal que a) )0 < 𝑥 <&' 𝑜𝑢 (&' < 𝑥 < 2𝜋/
b)
c)
d)
e)
92. O conjunto-solução da inequação , para , é
a)
b)
c)
d)
e)
93. Se , então a expressão 𝑡𝑔 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 é equivalente a a) 2𝑠𝑒𝑛𝑥. b) 2𝑠𝑒𝑐𝑥. c) 2𝑐𝑜𝑠𝑥. d) 2𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥. e) 2𝑡𝑔𝑥. 1+ cot g2x 1+ tg2x 1 2< cos x < 1 0≤ x ≤2π 0< x ≤ π 3 ou 5π 3 ≤ x < 2π ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 0< x < π 3 ou 5π 3 ≤ x < 2π ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 0< x ≤ π 3 ou 5π 3 < x < 2π ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ π 2< x ≤ π3 ou 5π 3 < x < 2π ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ 1 4≤ senx.cos x ≤ 2 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 0≤ x ≤π x∈R / π 12≤ x ≤ π6 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ x∈R /12π ≤ x ≤5π 3 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ x∈R /512π ≤ x ≤5π 6 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ x∈R / π 12≤ x ≤ 5π 12 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ x∈R / x ≥π
{
}
0< x <π 2 x 2 x 294. O resto da divisão do polinômio 𝑃(𝑥) = 3𝑥) – 3𝑥! + 1 por 𝐺(𝑥) = 3𝑥 – 1 é um número: a) negativo b) menor que 1 c) natural d) maior que 1 e) igual a 1
95. Sendo "i" a unidade imaginária, o resultado de é
a) . b) . c)
−
!" #−
"$% # . d) . e) 1 + i.96. Para que o polinômio 3𝑥! + 𝑝𝑥 + 𝑞 seja divisível por 𝑥 !+ 3𝑥 + 5, p e q devem ser,
respectivamente, a) −9 e -15 b) 9 e 15 c) −12 e −45 d) 12 e 45 e) 10 e – 9
97. Se o resto da divisão de por é 15, então o valor de é a) 1
b) 2 c) 3 d) 5 e) 6
98. Sobre a equação (x + 5)3.(x − 2)5.(x + 6)2 = 0 , são feitas as seguintes afirmações.
I) x = 2 é raiz com multiplicidade 5. II) É uma equação polinomial de grau 5. III) O conjunto solução é igual a S = {– 2, 5, 6} É correto o que se afirma em
a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e II, apenas. d) II e III, apenas. e) todas as afirmativas. 3+ 2i
(
)
(
6− 4i)
−1+ 3i −1− 3i −13− 39i 13 5 + 39 i 5 P x( )
= x3+ mx2+ nx + 5 x− 2 2m+ nNÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS
99. A divisão do polinômio P(x) por "x − a" fornece o quociente 𝑞(𝑥) = 𝑥( + 𝑥!+ 𝑥 + 1 e resto 1.
Sabendo que 𝑃(0) = – 15, o valor de a é a) – 16
b) – 13 c) 13 d) 16
100. Sendo i a unidade imaginária, a potência de é igual a a) 64
b) c) 64𝑖 d) e) – 32
101. A igualdade ocorre quando A e B são, respectivamente, a) e
b) −1 e 1 c) 1 e d) 1 e 1 e) 0 e 1
102. Dentro do conjunto dos números complexos, a equação tem como soluções a) e .
b) e . c) e . d) e .
103. Ao dividir o polinômio "–5x2 – 3x + 2" por um polinômio "Q", Ana obteve "–5" por quociente e
"12x + 7" por resto. O polinômio Q é igual a a) x2 + 3x – 2.
b) x2 – 3x – 1.
c) x2 – 3x + 1.
d) x2 + 3x + 1.
e) x + 1.
104. Sendo um número complexo, seu conjugado vale
a) b) c) d) e) 1 – i 1− i
( )
2 − 1+ i( )
2 ⎡ ⎣⎢ ⎤⎦⎥ 3 −64 −64 i 2 x2−1≡ A x+1+ B x−1 −1 −1 −1 x4− x2− 2 = 0 ±2 ±i ± 2 ±i ±1 i 2 ±1 ±i 1+ i i 1− i i −1+ i i 1+ i i 1+ i105. Seja Z um número complexo, cujo módulo é 2 e cujo argumento é . A forma algébrica do conjugado de Z é a) 1 − √3𝑖 b) √3 − 𝑖 c) √3 + 𝑖 d) 1 + √3𝑖 e) 1 + 𝑖.
106. Seja o complexo Z = – 2 + 2i e . Assim, n é um número a) natural.
b) inteiro negativo. c) irracional. d) decimal. e) imaginário.
107. Seja a igualdade . A soma dos coeficientes de P(x) é igual a a) – 20
b) – 12 c) – 22 d) – 18 e) – 16
108. Uma das raízes da equação é . Pode-se afirmar que: a) as outras raízes são números imaginários puros.
b) as outras raízes são – 3 e – 2. c) só uma das outras raízes é real. d) as outras raízes estão entre – 2 e 0. e) o produto das raízes é 6.
109. Um quadrado ABCD está inscrito num círculo com centro na origem do plano de Gauss. O vértice “A” é imagem do complexo . Os afixos dos outros três vértices são os complexos:
a) .
b) −4 + 3𝑖; −3 − 4𝑖; 4 − 3𝑖.
c) .
d) .
e) 𝑖, − 𝑖, 1 + 𝑖.
110. A equação tem como raízes a, b e c. Então, o valor da expressão é a) 100 b) 250 c) – 200 d) – 400 e) 500 π 3 Z−8= 2n P(x) 2x+ 3= P(x) − 2x 2+ 8x +10 2x3+ x2− 7x − 6 = 0 x 1= 2 3+ 4i −3+ 4i; − 3− 4i; 3− 4i −4 + 3i; − 3− 4i; 3− 4i −3+ 4i; − 3− 4i; 4 − 3i x3−10x2− 2x + 20 = 0 a2bc+ ab2c+ abc2
111. O módulo de , para a e b reais, é a) a² + b² b) 2 c) 1 d) a² – b² e) 0
112. A média aritmética, a moda e a mediana do conjunto de valores 6; 1; 7; 3; 8; 7; 2; 10 são, respectivamente, a) b) c) d) e) 7 7 7
113. Se n é um número natural tal que 4.𝐶*,( = 𝐶*$%,(, então √𝑛(− 2 é igual a:
a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9
114. Em uma cidade existem 30 farmácias. Se a cada noite 6 ficam de plantão, quantos grupos diferentes de farmácias pode-se formar para um plantão em uma determinada noite?
a) 593.775 b) 545.125 c) 485.238 d) 490.276 e) 36.244
115. O número de anagramas formados com as letras da palavra ROMA de modo que não apareçam vogais ou consoantes juntas é igual a
4!
b) 4 c) 8 d) 2 e) 1
116. Com os dígitos 1, 2, 3, 6 e 0, podemos formar x números de 4 algarismos distintos. Então, x é igual a: a) 160 b) 96 c) 180 d) 108 e) 120 a+ bi a− bi 5 6,5 6,5 5,5 7 7 5,5 6,5 7 5,5 7 6,5
117. Num batalhão estão de plantão 3 sargentos e 7 soldados. O número de equipes de 5 pessoas que podemos formar contendo exatamente 1 sargento é igual a:
a) 105 b) 125 c) 150 d) 250 e) 240
118. Sejam: , e a função . O número de funções injetoras
definidas em f é igual a a) 10 b) 15 c) 60 d) 75 119. No desenvolvimento de , o coeficiente de m6 é a) 45 b) 120 c) 210 d) 245
120. Marcelo deseja comprar 4 camisas e 3 calças todas de modelos diferentes. Ao entrar em uma loja verificou que havia 6 modelos de camisas e 4 modelos de calça. De quantas maneiras Marcelo poderá efetuar a compra?
a) 48 b) 60 c) 72 d) 56 e) 80
121. No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos, a probabilidade de obter soma diferente de 11 é, aproximadamente, a) 5,5% b) 94,4% c) 83,4% d) 16,6% e) 20%
122. As atuais placas de automóveis possuem três letras do alfabeto latino (incluindo K, W, Y) e quatro algarismos. O número de placas que não repetem nem letras e nem algarismos é
a) b) c) d) A= 1, 2, 3
{
}
B= a, e, i, o, u{
}
f : A→ B m3− 1 m ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 10 26!10! 23! 6! 263⋅104 26! 10! 26!10! 4! 3!123. No emplacamento de automóveis da cidade paulista X, são usadas duas letras do alfabeto seguidas de quatro algarismos. O número de placas, começadas pela letra "A", seguida de vogal, inclusive "A", e de quatro algarismos distintos, sendo dois (2) o último algarismo, é
a) 2.520. b) 720. c) 160. d) 3.600. e) 1800.
124. Uma lanchonete dispõe-se de 6 variedades coberturas para sorvete. De quantas maneiras é possível de se escolher até 3 coberturas?
a) 32 b) 35 c) 38 d) 42 e) 48 125. No sistema tem-se a) n = 13 e p = 3 b) n = 2 e p = 12 c) n = 3 e p = 10 d) n = 2 e p = 13 e) n = 13 e p = 2
126. O número de anagramas da palavra ALAMEDA que não apresenta as 4 vogais juntas é a) 96
b) 744 c) 816 d) 840
127. Dadas as retas perpendiculares de equações 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, a afirmativa correta é: a) a = m b) a = – m c) a = 1/m d) a.m = – 1 e) a.m = 1
128. Uma mesa é formada por um suporte de metal e uma tampa de vidro em formato circular de raio igual a 50cm. Sabe-se que a tampa de vidro tem um terço do peso do suporte e que cada metro quadrado do vidro pesa 5kg. Sendo assim, qual o peso total dessa mesa?
a) 12,3kg b) 14,2kg c) 15,7kg d) 16,3kg e) 17,0kg Cn, p= 78 An, p= 156 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪
129. Num triângulo ABC, o lado maior mede 10 cm; o lado menor mede 3 cm; e o ângulo que eles formam mede 45º. O volume do sólido gerado pela rotação de 360º desse triângulo em torno do lado maior, em cm3, é
a) . b) .
c) . d) 15p.
130. A reta 3𝑥 – 2𝑦 – 5 = 0 é perpendicular à reta a) 2𝑥 – 3𝑦 = 5.
b) 4𝑥 + 6𝑦 = 1. c) 3𝑥 + 2𝑦 = 0. d) 6𝑥 – 4𝑦 = 10.
131. Cada equação a seguir representa uma reta do plano cartesiano. Associe cada uma dessas equações ao coeficiente angular da reta que a mesma representa.
( 1 ) – 𝑥 + 2𝑦 – 2 = 0 ( ) 1/2 ( 2 ) 4𝑥 + 8𝑦 – 9 = 0 ( ) – 2 ( 3 ) – 10𝑥 + 5𝑦 – 3 = 0 ( ) 2 ( 4 ) 6𝑥 + 3𝑦 – 5 = 0 ( ) – 1/2
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. a) 1 – 3 – 4 – 2
b) 3 – 4 – 2 – 1 c) 4 – 2 – 1 – 3 d) 1 – 4 – 3 – 2 e) 2 – 4 – 1 – 3
132. A geratriz de um cone de revolução mede 6 cm e o ângulo da geratriz com a altura do cone é de 30º. O volume desse cone, em cm3, é
a)
b) c) d)
e)
133. Seja o triângulo PMN de lados , e . Unindo-se os pontos médios de seus três lados obtemos o triângulo ABC. A área, em cm2, do triângulo ABC é
a) 4 b) 6 c) 12 d) 20 e) 22 AC BC 3 2π 2 3 2π 5π 2 9π 3π 3 9π 3 27π 3 6π PM= 6 cm MN = 8 cm PN= 10 cm
134. Em um triângulo ABC, o lado AB mede cm e o ângulo , oposto ao lado AB, mede 60º. O raio da circunferência que circunscreve o triângulo, em cm, mede
a) 6 b) 12 c) d) e)
135. Seja V o volume de um cubo de aresta "a". Constrói-se um prisma quadrangular de volume V’ e de vértices nos pontos médios das arestas das bases do cubo. O volume V’ desse prisma é igual a a) . b) V. c) . d) . e) 2V.
136. Qual é, aproximadamente, a medida do arco transcrito por um automóvel que percorreu 233,5m em uma pista circular cujo raio mede 187,5m? (Use 𝜋 = 3,14)
a) 72º b) 66º c) 78º d) 58º e) 60º
137. Qual a razão entre o volume e a altura de um tronco de pirâmide cujas bases são quadrados de lados 2m e 5m? a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) 17
138. O maior valor inteiro de 𝑘 para que a equação represente uma circunferência é a) 14 b) 13 c) 12 d) 10 e) 8 6 3 Cˆ 6 3 3 6 6 V 2 V 3 V 4 x2+ y2+ 4x − 6y + k = 0
139. Se o apótema de um tetraedro regular mede cm, então, a altura desse tetraedro, em cm, é a) b) c) d) e)
140. Uma corda é determinada pela reta sobre a circunferência . A área da menor região determinada por essa corda e o círculo é:
a)
b) c)
d)
141. A equação geral da reta de coeficiente angular e de coeficiente linear − é a) 𝑥 + 𝑦 – 4 = 0.
b) 3𝑥 – 𝑦 – 2 = 0. c) 3𝑥 – 𝑦 – 4 = 0. d) 3 𝑥 – 𝑦 – 2 = 0.
142. A equação da circunferência, em que os pontos e são extremos de um diâmetro, é a) . b) . c) . d) . e)
143. Se forem indicados por m, n, e p os três lados de um triângulo e por , e , respectivamente, os ângulos opostos a esses lados, então sendo conhecidos os lados m e n e o ângulo , qual das fórmulas abaixo poderá ser utilizada para calcular o valor do lado p ?
a) b) c) d) e) 5 3 5 3 10 2 10 6 3 10 3 3 6 x− y = 0
( )
x− 22+ y + 2( )
2= 16 4π − 8 4π −16 4π − 2 4π − 4 3 2 2 2 2 2 2 2 M( )
−3,2 N 5,4( )
x2+ y2− 5 = 0 x2+ y2−17 = 0 x2+ y2− 2x − 6y − 7 = 0 x2+ y2− 2x − 6y − 5 = 0 x2+ y2− 2x − 6y −12 = 0 ˆ M Nˆ ˆP Nˆ m2= n2+ p2− 2np ⋅cos ˆM n2= m2+ p2+ 2mp ⋅cos ˆ(
M+ ˆP)
p2= m2+ n2− 2mn⋅cos ˆP p2= m2+ n2− 2mn⋅cos ˆ(
M+ ˆN)
p2= m2+ n2+ 2mn⋅cos ˆ(
M− ˆN)
144. O ponto M é o ponto de intersecção das diagonais e de um quadrilátero ABCD. Sendo , , e as coordenadas dos vértices do quadrilátero, as coordenadas do ponto M são
a)
b)
c)
d)
145. Um tanque cilíndrico com água tem raio da base R. Mergulha-se nesse tanque uma esfera de aço e o nível da água sobe . O raio da esfera é
a) b) c) d) e) R
146. Um triângulo escaleno está inscrito num semicírculo de 10 cm de diâmetro, que é o maior lado do triângulo. Se as medidas dos lados menores do triângulo são tais que uma é o dobro da outra, então a diferença entre as áreas do semicírculo e do triângulo, em cm2, é
a)
b) c) d)
147. Um barril, cuja forma é a de um cilindro reto, está repleto de vinho. Este vinho deve ser distribuído em copos cilíndricos de altura igual a 1/8 da altura do barril, e de diâmetro da base igual a 1/5 do diâmetro da base do barril. A quantidade de copos necessária para distribuir todo o vinho é a) 400 b) 300 c) 200 d) 100 AC BD A 0,0
( )
B 3,0( )
C 4,2( )
D 0,5( )
15 13, 30 13 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 180 13 , 90 13 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 30 13, 15 13 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 30 7 , 15 7 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 9 16R 3 4R 9 16R 3 5R R 2 25π− 40 2 25π− 30 2 25π− 20 2 25π− 50 2148. As retas de equações 𝑦 = 2𝑥 – 𝑏 e 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑 se interceptam perpendicularmente no ponto (8, 2). Qual o valor do produto b.c.d?
a) – 42 b) – 63 c) – 36 d) – 27 e) – 30
149. Coloque V ou F conforme as afirmações sejam verdadeiras ou falsas: ( ) Dois ângulos adjacentes são suplementares.
( ) Dois ângulos que têm o mesmo complemento são congruentes. ( ) Dois ângulos suplementares são adjacentes.
( ) Um triângulo obtusângulo pode ser isósceles. ( ) Um triângulo retângulo é escaleno.
Assinale a sequência correta. a) F – V – F – V – V
b) F – V – V – V – F c) F – V – F – V – F d) F – F – V – V – F
150. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso), considerando a geometria de posição espacial e plana. ( ) A condição é necessário para que as retas r e s sejam paralelas distintas.
( ) Duas retas que formam um ângulo reto são necessariamente perpendiculares. ( ) Se duas retas têm um único ponto em comum, então elas são concorrentes. ( ) A condição é suficiente para que as retas r e s sejam reversas. A sequência correta é:
a) V – V – V – V b) V – F – V – F c) F – V – F – V d) F – F – F – F
151. Dadas a reta de equação e a circunferência de equação . A área do triângulo determinado pelo centro da circunferência e os pontos de intersecção entre a reta e ela, em unidades de área, é igual a
a) b) 3 c)
d) 6
152. A figura abaixo é a planificação de um poliedro convexo . O volume desse poliedro, em unidades de volume, é
r∩ s =ϕ r∩ s =ϕ y= 3 x 3 x 2+ y2− 4x = 0 3 3 3 A≡ B ≡ C ≡ D ; E ≡ F
(
)
a)
b) c)
d)
153. Observando a figura, podemos afirmar que a medida da mediana AM é
a) b) c) d) e) 3
154. A base de um prisma regular é um hexágono inscrito num círculo de raio R. Se o prisma é equivalente ao cubo, cuja base está inscrita no mesmo círculo, então a altura do prisma hexagonal, em cm, é a) 2R b) c) d) e) 425 2 425 3 850 3 850 2 2 2 3 2 2 3 3 3 2R 6 3 4R 6 3 4R 6 9 R 6 2
A
B
C
D
E
F
O
13
13
1
3
13
13
A(2,6)
B(4,2)
C(6,4)
M
155. A geratriz de um cone de revolução forma com o eixo do cone um ângulo de 45°. A área lateral, em dm2, desse cone, sabendo-se que a área de sua secção meridiana é 18 dm2, é
a)
b) c) d)
e) 18
156. Se um cilindro reto está circunscrito a uma esfera de raio “R”, então a razão entre a área da superfície esférica e a área total do cilindro é
a) 1 b) c) d) e) 2
157. Dois pontos sobre a reta distam 4 unidades da reta . A distância, em unidades, entre as abscissas dos pontos é
a) 10 b) 2 c) 6 d) 4 e) 1
158. Seja P(3, 1) o ponto médio do segmento AB, onde A é intersecção da reta (t) com a reta (r) 3𝑥 − 𝑦 = 0 e B, a intersecção de (t) com a reta (s) 𝑥 + 5𝑦 = 0. O coeficiente angular de (t) é a) negativo.
b) par positivo.
c) 5, pois (t) é perpendicular à (s).
d) nulo, isto é, a reta é do tipo y = k, k = constante. e) um cubo perfeito positivo.
159. A razão entre os volumes de dois cones equiláteros de alturas h e 2h é a) 1/2
b) 1/4 c) 1/6 d) 1/8 e) 1
160. Sejam r e s retas paralelas. A medida do ângulo a, na figura abaixo, é
a) 115° b) 125° c) 135° d) 145° e) 150º 18π 2 9π 2 18π 18π
( )
2+1 1 2 2 3 4 5 y= 2 4x− 3y + 2 = 0a
a – y
y
40
O50
Or
s
GABARITO 1 C 41 D 81 B 121 B 2 B 42 B 82 C 122 A 3 A 43 A 83 D 123 A 4 C 44 D 84 A 124 D 5 B 45 B 85 C 125 E 6 B 46 A 86 C 126 B 7 D 47 A 87 B 127 D 8 A 48 B 88 D 128 C 9 D 49 A 89 C 129 D 10 D 50 D 90 C 130 B 11 A 51 A 91 A 131 D 12 B 52 D 92 D 132 C 13 C 53 A 93 D 133 B 14 D 54 D 94 B 134 A 15 C 55 A 95 C 135 A 16 C 56 D 96 B 136 A 17 C 57 B 97 A 137 C 18 D 58 D 98 A 138 C 19 C 59 D 99 D 139 C 20 B 60 B 100 C 140 A 21 A 61 A 101 B 141 D 22 A 62 E 102 B 142 C 23 A 63 C 103 D 143 B 24 D 64 B 104 C 144 C 25 D 65 B 105 D 145 A 26 D 66 B 106 B 146 A 27 B 67 A 107 A 147 C 28 C 68 C 108 D 148 A 29 C 69 D 109 B 149 C 30 D 70 D 110 C 150 B 31 C 71 A 111 C 151 A 32 A 72 B 112 D 152 B 33 D 73 A 113 B 153 A 34 D 74 D 114 A 154 D 35 A 75 D 115 C 155 A 36 B 76 E 116 B 156 C 37 A 77 A 117 A 157 A 38 C 78 B 118 C 158 A 39 C 79 A 119 C 159 D 40 A 80 C 120 B 160 C
1. Opção C Simplificando (A) Simplificando (B) Simplificando (C) Simplificando (I) Simplificando (II) Simplificando (III) Simplificando (IV)
Sendo assim: A e II, B e III, C e I e D e IV. 2. Opção B 9 3 2 20 = 9 3 2 20. 20 20 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =9 3. 202.20 =9 3. 4.540 =9 3. 2 540 =9 1520 8 10. 10 10 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 8 1010 =4 105 12 2 = 4.3 2 = 2 3 2 = 3 27 3 = 9.3 3 = 3 3 3 = 3 3 27 4 5 = 3 9.3 4 5 . 5 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =3.3 3. 54.5 =9 1520 160 5 = 16.10 5 = 4 10 5 180 12 = 36.5 12 = 6 5 12 = 5 2 −2−2+ 10% de 7,5− 0,666... 1−1 3 = − 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 + 10 10 0.7,5− 6 9 3−1 3 =− 1 4+ 0,75− 2 3 2 3 = −1 4+ 75 100 − 2 3 2 3 =− 1 4+ 3 4− 2 3 2 3 = 2 4− 2 3 2 3 = 1 2− 2 3 2 3 = 3− 4 6 2 3 =− 1 6 2 3 = −1 6. 3 2 = − 1 4
3. Opção A
Lembrando que o mdc entre 2 números é o produto dos fatores primos comuns com os menores expoentes.
Assim o menor expoente do fator 7 deve ser (mesmo fator do mdc) e do fator primo 3 tem de ser o expoente 3, sendo a = 3 e b = 1.
4. Opção C O conjunto P será . O conjunto R será . e . 5. Opção B
A potência de 2 menor que 100 é , logo vamos dizer que a e b são os 2 números primos,
então a = 64, logo . Assim o maior deles é 81 que é uma potência de 3. 6.
Opção B
Vamos considerar retângulo de dimensões a e b.
Utilizando a ideia de fator multiplicativo teremos:
e
Assim
Sendo a área inicial teremos 18900= 189.100 = 3.63.102= 3.9.7. 2.5
( )
2= 33.7.22.52= 22.33.52.7 P= −18,−9,−6,−3,−2,−1,1,2,3,6,9,18{
}
R= −8,−4,−2,−1,1,2,4,8{
}
P∩ S = −18,−6,6,18{
}
R∩ Q = −8,−4,4,8{
}
P∩ S(
)
∪ R ∩ Q(
)
= −18,−8,−6,−4,4,6,8,18{
}
26= 64 b=5184 64 = 81 a 1+ 20 100 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟= a(1+ 0,2) = 1,2a b 1− 20 100 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟= b(1− 0,2) = 0,8b S0= a.b = T SF= 1,2a.0,8b ⇒ SF = 0,96ab = 0,96T7. Opção D 8. Opção A
O maior valor inteiro é −4. 9.
Opção D
Vamos considerar parcelas x e (25 – x), assim
Assim teremos R$ 10,00 e R$ 15,00. 10.
Opção D
, como o denominador contém os fatores 2, 3 e 13 então a fração resultará numa dízima periódica composta.
11. Opção A x− 2x +3x−1 10 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟= 1 6
(
2x− 9)
−1 3 5⇒ x − 20x+ 3x −1 10 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟= 2x− 9(
)
6 − 8 5⇒ 10x− (23x −1) 10 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟= 5 2x(
− 9)
− 6.8 30 ⇒ −13x +1= 10x− 45− 48 3 ⇒ −39x + 3 = 10x − 93⇒ −49x = −96 ⇒ x =96 49⇒ 96 − 49 = 47 2 3 x+1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟−1≥ 1 2(
2x+ 3)
⇒ x+1 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟−1≥ 2x+ 3(
)
2 ⇒ x+1− 3 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟≥ 2x+ 3(
)
2 ⇒ x− 2 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟≥ 2x+ 3(
)
2 ⇒ 2 x − 2( )
≥ 3 2x + 3(
)
⇒ 2x − 4 ≥ 6x + 9 ⇒ −4x ≥ 13⇒ x ≤ −13 4 j1= x.3.12 100 e j2= (25− x).2.12 100 ⇒ j1+ j2= 7,2 ⇒ 36x 100+ 600− 24x 100 = 7,2 ⇒ 600+12x = 7,2.100 ⇒12x = 720 − 600 ⇒ x = 10 n 312⇒ 312 = 2 3.3.13 10.x= 30 10 0.30 .2 0 ⇒10x = 180 ⇒ x = 18 m12. Opção B é uma PA de . 13. Opção C I. Falsa
Para ser divisível por 3 a soma dos algarismos deve resultar em número divisível por 3. Por exemplo 13 termina em 3 mas não é divisível por 3.
II. Falsa
O contrário é verdadeiro, todo número divisível por 4 é também divisível por 2, pois 4 é múltiplo de 2.
Por exemplo 10 é divisível por 2 mas não por 4. III. Verdadeira
Por exemplo o número 12. IV. Verdadeira
Como 10 é o produto dos números 2 e 5 então todo número divisível por 10 também será divisível por 2 ou por 5.
V. Verdadeira Por exemplo 24. VI. Falsa
Como o número 6 é divisível por 2 todo o número que for divisível por 6 também será consequentemente divisível por 2.
14. Opção D
Vamos calcular a vazão das torneiras (volume que enche por unidade de tempo). , considerando que tem uma vazão negativa, pois esvazia. Como já temos 1/4 do tanque cheio temos que encher somente 3/4 do tanque. Supondo após um tempo t.
x4– 20x2+ 36 = 0 ⇒ x2= y ⇒ y2– 20 y+ 36 = 0 ⇒ y=−(−20) ± (−20)2− 4.1.36 2.1 ⇒ y=20± 400 −144 2 = 20± 256 2 = 20±16 2 ⇒ y = 36 2 = 18 ou y = 4 2= 2 ⇒ x2= 18 ⇒ x = ±3 2 ou x2= 2 ⇒ x = ± 2 S= −3 2,− 2, 2,3 2
{
}
a1= −3 2 e r = 2 2 v1= V 25; v2= V 40 e v3= V 20 t3 v1.t+ v2.t− v3.t=3V 4 ⇒ V 25t+ V 40t− V 20t= 3V 4 ⇒ t 25+ t 40− t 20= 3 4⇒ 8t 200 + 5t 200− 10t 200 = 150 200 ⇒ 3t = 150 ⇒ t = 50h15. Opção C
12% ao ano é o mesmo 1% amo mês .
16. Opção C Como daí Assim 17. Opção C
Vamos utilizar alguns elementos dos conjuntos para ficar mais fácil a assimilação. Verdadeira
Falsa
O item acima responde essa afirmativa. Verdadeira Verdadeira Falsa 12% 12m ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟= 1% a.m M= j + c =c.i.t 100+ c = c i.t 100+1 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 22800= c 1.14 100+1 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟⇒ 228 00 = 114c 100 ⇒ c = 20000 Preço de compra: x Preço de venda: v Lucro: v− x = 8 100 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟v⇒ v − x = 0,08v ⇒ 0,92v = x Lucro aumentado: v− x + 700 = 9 100 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟x⇒ 0,08v + 700 = 0,09x 0,92v= x ⇒ v = x 0,92 0,08v+ 700 = 0,09x ⇒ 0,08 x 0,92 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ + 700 = 0,09x ⇒0,02x0,23 − 0,09x = −700 ⇒ 2x 23− 9x 100= −700 x (2300) ⇒ 200x − 9.23x = −700.2300 ⇒ 200x− 207x = −700.2300 ⇒ −7 x = −700 .2300 ⇒ x = 100.2300 = 230000 0,92v= x ⇒ v =230000 0,92 = 250000 ⇒ Lucro: v− x = 250000 − 230000 = 20000 Z+= 0,1,2,3,...
{
}
= ! ⇒ Z+ = ! ⇒ Z+⊂ ! e ! ⊂ Z+! Z = ...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...{
}
e Z− = ...,−3,−2,−1,0{
}
⇒ Z+− Z− = ...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...{
}
− ...,−3,−2,−1,0{
}
= 1,2,3,...{
}
= Z+ * Z+∩ Z−(
)
= 0,1,2,3,...{
}
∩ ...,−3,−2,−1,0{
}
= 0{ }
Z+∩ Z−(
)
∪ !*= 0{ }
∪ 1,2,3,...{
}
= ! Z − Z+= ...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...{
}
− 0,1,2,3,...{
}
= ...,−3,−2,−1{
}
= Z− *18. Opção D
19. Opção C
O m.m.c é o produto de todos os fatores primos com os maiores expoentes.
O m.d.c é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.
Assim 20. Opção B 21. Opção A 22. Opção A
Operários Serviço h/d dias 24 2 5 7 10 20 3 5 6 x 10 x = 20 24. 2 5 3 5 .6 7⇒ 10 x = 20 24. 2 5. 5 3. 6 7 ⇒ x = 21 dias mmc A, B,C
(
)
= 25.34.5 mdc A, B,C(
)
= 23.32 mmc mdc = 25.34.5 23.32 = 2 2.32.5= 4.9.5 = 180 25.x.9= 100 .24 .6 ⇒ x = 4.8.2 = 64 144÷ 0,6 2,4×10 − 3 4 2−1,5 ÷ 1+ 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎧ ⎨ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎭⎪= 12÷ 6 10 24 − 3 4 2− 3 2÷ 3 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎧ ⎨ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎭⎪= 12 3 5 24− 3 4{ }
2−1 = 12 .5 3 24 − 3 4= 20 24 − 3 4= 5 6− 3 4= 10− 9 12 = 1 12 x+ a y+ a= 5x4 y⇒ 5xy + 5xa = 4xy + 4ya ⇒ 5xa − 4ya = −xy ⇒ a(5x − 4y) = −xy ⇒
a= −xy 5x− 4y=
xy
23. Opção A
, de raízes irracionais e , de raízes irracionais. Logo como o polinômio é de grau deve apresentar 8 raízes complexas, 4 delas: e são reais, logo as 4 restantes são complexas, daí admite 4 raízes reais irracionais. 24.
Opção D
25.
Opção D
Nomeando o conjunto de múltiplos de 4 de M(4), o conjunto de múltiplos de 6 de M(6), o de múltiplos de 12 de M(12) e o de números ímpares de I teremos: n(M(4)) = 10; n(M(6)) = 9; n(M(12)) = 8 e n(I) = 4.
Todo número múltiplo de 12 também é múltiplo ao mesmo tempo de 4 e de 6, assim M(4) ∩ M(6) = M(12), assim
Como os múltiplos de 4, 6 ou 12 são todos pares então o conjunto de números ímpares é disjunto com todos esses nomeados anteriormente, assim
.
26. Opção D
Retângulo – Quadrilátero que possui os 4 ângulos retos (iguais). Losango – Quadrilátero que possui os 4 lados congruentes (iguais).
Quadrado – Quadrilátero que possui os 4 ângulos retos e os 4 lados congruentes. Logo tem as propriedades do retângulo e do losango ao mesmo tempo, assim L Ç P = Q.
27. Opção B
O menor valor entre – 6 e – 2 é o – 5. 28. Opção C x8−13x4+ 36 = 0 ⇒ y = x4⇒ y2−13y + 36 = 0 ⇒ S = 13 e P = 36 ⇒ y= 9 ou y = 4 ⇒ x4= 9 ⇒ x = ± 94 = ± 3 x4= 4 ⇒ x = ± 44 = ± 2 ± 2 ± 3 x+ 4 + x − 4 x+ 4 − x − 4= 2 ⇒ x + 4 + x − 4 = 2 x + 4 − 2 x − 4 ⇒ 3 x − 4 = x + 4 ⇒ 3 x− 4
(
)
2 =(
x+ 4)
2⇒ 9(x − 4) = x + 4 ⇒ 9x − 36 = x + 4 ⇒ 8x = 40 ⇒ x = 5 n M (4)(
∪ M(6))
= n M(4)(
)
+ n M(6)(
)
− n M(4) ∩ M(6)(
)
como n M (4)(
∪ M(6))
= n M(12)(
)
= 8 ⇒ n M(4) ∩ M(6)(
)
= 10 + 9 − 8 = 11⇒ n M (4)(
∪ M(6))
= 11 n( A)= n M(4) ∪ M(6)(
)
+ n(I) = 11+ 4 = 15 x+ 4 < 2 ⇒ −2 < x + 4 < 2 ⇒ −2 − 4 < x < 2 − 4 ⇒ −6 < x < −2 f (x)= 3x − 5 e f g(x)( )
= 3x2−14 ⇒ f g(x)( )
= 3g(x) − 5 = 3x2−14 ⇒ 3g(x)= 3x2− 9 ⇒ g(x) = 3x2− 9 3 = x 2− 3⇒ g(1) = 12− 3 = −229. Opção C 30. Opção D 31. Opção C
A função não é injetora mas é sobrejetora (todos os naturais do contradomínio serão utilizados) 32. Opção A 33. Opção D 4x≤ 5 x> −3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⇒ x≤5 4 x> −3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ f (x)= 4x + 7 ⇒ f (g(x)) = 8x + 55 ⇒ 4.g(x) + 7 = 8x + 55 ⇒ 4.g(x)= 8x + 48 ⇒ g(x) = 2x +12 ⇒ g(4) = 2.4 +12 = 20 f (0)= 0, f (2) = 1, f (4) = 2,... f (1)= 1, f (3) = 2, f (5) = 3,... f (1)= f (2), f (3) = f (4),..., f (2k −1) = f (2k), para k ∈ !* f (4)= 3.42−12 = 3.16 −12 = 36 = 6 g( f (4))= 7x x+1⇒ g(6) = 7 .6 6+1 = 6 Raízes: 2(x+1) = 0 ⇒ x = −1 Intersecção com OY! "##: f (0)= 2(0 +1) = 2
34. Opção D 35. Opção A 36. Opção B 37. Opção A
que é uma parábola de a < 0, logo tem um ponto máximo
. Daí . E assim m = 1 e n = 4 m – n = 1 – 4 = −3. f (x)= ln x
(
2+ x +1)
⇒ Dom f = x 2+ x +1> 0 ⇒ Encontrando as raízes de x2+ x +1⇒ x = −1± 12− 4.1.1 2.1 = − 1± −3 2 ⇒x2+ x +1 não possui raízes reais ⇒ x > 0 ∀ x ∈R
22x+1+ 22x−1= 40 ⇒ 22x.2+ 22x.2−1− 40 = 0 ⇒ 2. 2
( )
x 2+ 2 x( )
2 2 − 40 = 0 ⇒ 2x( )
= y ⇒ 2y2+ y2 2 − 40 = 0 ⇒ 5 y2 2 = 40 ⇒ y 2= 16 ⇒ y = ±4 ⇒ 2x( )
= 4 ⇒ x = 2 ou 2( )
x = −4 ⇒ ∃ x ∈R ⇒ S = 2{ }
f (2)= 2 ⇒ f (0 + 2) = 2 ⇒ f (0 + 2) = f (0). f (2) ⇒ f (0).2 = 2 ⇒ f (0) = 1 f (0)= 1⇒ f (2 − 2) = 1⇒ f (2 − 2) = f (2). f (−2) ⇒ f (−2).2 = 1⇒ f (−2) =1 2 f x( )
= 3− x( )
( )
x+1 = −x2+ 2x + 3 yv= − Δ 4a yv= − Δ4a= − b2− 4ac 4a = − 22− 4.(−1).3 4.(−1) = 16 4 = 4 xv= − b 2a= − 2 2(−1)= 1 ⇒38. Opção C
39. Opção C
Para que não intercepte o eixo das abscissas teremos . a) y = – x2 – 2x – 1, então a = – 1, b = – 2 e c = – 1.
b) y = – 5x + x2 + 7, então a = 1, b = – 5 e c = 7.
Como a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima. c) y = 3x – 2x2 – 2, então a = – 2, b = 3 e c = – 2. d) y = – 6 – x2 – 5x, então a = – 1, b = – 5 e c = – 6. 40. Opção A
Construindo seu gráfico, onde a reta corta o eixo y no ponto e o eixo x na raiz .
. | x |2+ x − 6 = 0 ⇒ x = y ⇒ y2+ y + 6 = 0 ⇒ S = −1 e P = −6 ⇒ y= −3 ou y = 2 ⇒ x = 2 ⇒ x = ± ou x = −3⇒ ∃ x ∈R ⇒ (−2).2 = −4 Δ < 0 Δ = (−2)2− 4.(−1).(−1) = 4 − 4 = 0 Δ = (3)2− 4.(−2).(−2) = 9 −16 = −7 Δ = (−5)2− 4.(−1).(−6) = 25− 24 = 1 1 −1 x 3 4 −1 1 2 y 1 3 1 −1 4 2 = 0 ⇒ 1.4.y+ (−1).(−1).1+ x.3.2 − (−1).3.y −1.(−1).2 − x.4.1= 0 ⇒ 4 y+1+ 6x + 3y + 2 − 4x = 0 ⇒ 7 y + 2x + 3 = 0 ⇒ y = −2 7x− 3 7 −3 7 − 3 2 SΔ= −3 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟. − 3 7 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 = 9 28
41. Opção D Assim x < 1 ou x > 3. Nota: 42. Opção B
Como nos pede a função inversa podemos no par ordenado trocar x e y e daí encontrar a regra da função que passa por (4, −3) e (0, 3).
.
43. Opção A
Teremos os 2 retângulos MNPQ e PRST de áreas S1 e S2.
Teremos . 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x2−2x < 1 4 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x−1,5 ⇒ 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x2−2x < 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟ x−1,5 ⇒ 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x2−2x < 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2x−3 ⇒ x2− 2x > 2x − 3⇒ x2− 4x + 3 > 0 ⇒ S = 4 e P = 3⇒ Raízes x = 1 ou x = 3 ax< ak, quando 0< a < 1⇒ x > k
f−1(x)= ax + b, onde b é coeficiente linear intersecção com OY
(
! "##)
E a=3− (−3) 0− 4 = − 6 4= − 3 2⇒ f −1(x)= −3 2x+ 3⇒ f −1(2)= − 3 2. 2+ 3 = 0
44. Opção D 45. Opção B
Possui só um elemento pois se não houvesse nenhum ponto quer dizer que algum elemento do domínio não teria sido relacionado, dessa forma não sendo uma função. Se houvesse mais de um ponto de interseção teríamos um mesmo elemento do domínio tendo 2 ou mais imagens distintas, também não caracterizando uma função.
46. Opção A
Será par a função que 𝑓(− 𝑥) = 𝑓(𝑥)
a) , logo é par. b) , logo é ímpar. c) , logo é ímpar. d , logo é ímpar e) , logo é ímpar S1= MQ.MN = 1.(log3− log2) S1= QR.TP = 1.(log4 − log3) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪
⇒ S1+ S2= log3 − log2 + log4 − log3 ⇒
S1+ S2= log22− log2 = 2log2 − log2 = log2
(0,8)4x2−x> (0,8)3(x+1)⇒ (0,8)4x2−x> (0,8)3x+3⇒ como a base é menor que 1⇒ 4x2− x < 3x + 3⇒ 4x2− 4x − 3 < 0 ⇒ Calculando as raízes teremos ⇒
x=−(−4) ± (−4)2− 4.4.(−3) 2.4 = 4± 16 + 48 8 = 4± 64 8 = 4± 8 8 ⇒ x= 3 2 ou x= − 1 2 x< −1 2 ou x> 3 2 f (x)= 1 x2 ⇒ f (−x) = 1 −x
( )
2 ⇒ f (−x) = 1 x2 ⇒ f (−x) = f (x) f (x)=1 x⇒ f (−x) = 1 −x⇒ f (−x) = − 1 x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟⇒ f (−x) = − f (x) f (x)= x ⇒ f (−x) = −x ⇒ f (−x) = − f (x) f (x)= x5⇒ f (−x) = −x( )
5⇒ f (−x) = −x5⇒ f (−x) = − f (x) f (x)= −x ⇒ f (−x) = − −x( )
⇒ f (−x) = x ⇒ f (−x) = − f (x)47. Opção A 48. Opção B 49. Opção A 50. Opção D
Vamos estudar o sinal das 2 funções e posteriormente fazer uso do quadro de sinais. I) II) 2x2+ y = bx + c ⇒ (1,0) ∈parábola ⇒ 2.12+ 0 = b.1+ c ⇒ b + c = 2 y= −2x2+ bx + c ⇒ x v= − b 2.(−2)⇒ b 4= 3⇒ b = 12 ⇒ c = −10 y= −2x2+12x −10 ⇒ t = −2.32+12.3−10 = −18 + 36 −10 = 8 V = x(20 − x).2 = −2x2+ 40x ⇒V MAX= − Δ4a= − 402− 4.(−2).0 4.(−2) = 200 f (x)= 2x + 3⇒ f (1) = 5, f (2) = 7, f (3) = 9, ... , f (n) = 3+ 2n
Forma uma PA de razão 2 e primeiro termo 5, assim f (25)= 5+ 24.2 = 53
f (1)+ f (2) + f (3) + ...+ f (25) =
(
f (1)+ f (25))
.252 =
(5+ 53).25
2 = 29.25 = 725 Nota: Lembre que a soma dos n primeiros termos de uma PA é Sn=
(
a1+ an)
.n2 −3x2+12
(
)
I ! "# #$ x 2− 6x + 8(
)
II ! "# #$< 0 ⇒ Raízes de I ⇒ −3x 2+12 = 0 ⇒ x2= 4 ⇒ x = ±2 Raízes de II⇒ x =−(−6) ± (−6)2− 4.1.8 2.1 = 6± 36 − 32 2 = 6± 2 2 ⇒ x = 2 ou x = 4ou seja, o menor valor inteiro positivo é 5. 51. Opção A . Daí como 4 > 3 . 52. Opção D Daí 53. Opção A I) FALSA II) FALSA III) FALSA IV) 54. Opção D Daí Assim x< −2 ou x > 4 a= log21024⇒ 2 a= 1024 ⇒ 2a= 210⇒ a = 10 x0= a − 6 ⇒ x0= 10 − 6 = 4 ⇒ f (4) = 4− 2 2.4− 5= 2 3 lognx= 4 logn 2 x= 8 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇒ n4= x n 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 8 = x ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ n4 = n8 28 ⇒1= n4 28 ⇒ n = 2 8 4 = 22= 4 x= n4⇒ x = 44= 2
