Eletromagnetismo II. 18 a Aula. Professor Alvaro Vannucci

Eletromagnetismo II

18

a

_Aula

• Camada Delgada (

condutora

): ≠ fase:

• Coeficientes Fresnel:

• Supondo

• De forma que, para Incidência Normal :

Vimos, na última aula:

(

)

2

d

p iq

c

ω

β

=

+

12 23 12 23 1 i i

r

r e

r

r r e

β β

+

=

+

2 12 23 12 23 1

;

i i

t t e

t

r r e

β β

=

+

* * i ₂ i ₂

T

t t

e

e

β β

α

α

−

2d q c

T

e

ω

α

−

(

q

=

n

*

)

2d

T

α

e

− δ profundidade de atenuação espessura da lâmina

⇒

• Em particular, se o

meio 1 for ar

:

* 1 4 n d

T

e

π λ α −

(válido para lâminas condutoras e

incidência normal. sendo n₁ = ar)

• Quanto à

Refletância

, vimos que:

* * * * 12 12 12 23 23 12 23 23 * * * * * 12 23 12 23 12 12 23 4 23 4 * / / * 1 d i i i i q c dq c

r r

r r e

r r e

r r e

R

r r

r r e

r r e

r r r r e

ω ω β β β β − − − −

+

+

+

=

=

+

+

+

• Em particular, para

meios Não-Condutores

:

*

0

n

= =

q

⇒

2 2 12 23 12 23 2 2 12 23 12 23 1 2 2

cos

cos

pelicula dieletrica

r

r

r r

R

r r

r r

β

β

+

+

=

+

+

• Vejamos agora como uma onda

EM

propaga-se em um

meio dielétrico

(ar, por exemplo)

delimitado por 2

superfícies condutoras

.

• Guias de ondas para micro-ondas são uma aplicação importante deste problema.

• Para simplificar cálculos, vamos supor meio de

propagação ≡

vácuo

(ar) e condutividade do metal como sendo

infinita

.

Guias de Onda

f : 1 GHz a 100 GHz λ λλ λ : 1 m a 1 mm   

σ

= ∞

0 Ri

σ

ε

ε ω

⇒

₌

₌

_∞

2 R

n

ε

⇒

₌

₌

_∞

• Sendo 2 1 2 2 1 2 12

cos

cos

cos

cos

i i

n

n

n

n

r

θ

θ

θ

θ

⊥

−

=

+

= n
2 2 n
1 2 2 1 2 2 cos cos cos cos 1 i i n n n n

θ

θ

θ

θ

  ₋     ₊ =  



1 2 2 1 2 2 12//

cos

cos

cos

cos

i i

n

n

n

n

r

θ

θ

θ

θ

−

=

+

resultados válidos, como vemos, para qualquer ângulo de incidência!.

= (

igualmente

) = -1

=0       

• Assim, substituindo nas equações referentes aos Coeficientes de Fresnel 2(após colocar ñ₂ em evidência):

n

=

∞

• E veja que esta aproximação é razoável, já que para a

prata, por exemplo, R ~ 0,9996 (para

λ

= 3cm).

• Vamos então pegar duas placas paralelas, perfeitamente condutoras, em vácuo, muito grandes (

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

_{) e separadas de}

a

_.

• Notando que as direções

x

e

z

são fisicamente indistinguíveis, nenhuma generalidade se perderá caso consideremos situado no plano

yz

(é sempre possível “girar” os eixos para que isso ocorra).

K



K θ

y

z

x

a

ii) do 2o _{tipo: (igualmente)}

i) do 1o _tipo,

• Após refletir em

0’

, torna-se onda do tipo anterior.

• De forma que a propagação (entre os dois planos condutores paralelos) pode ser expressa em termos das exponenciais:

(

.

)

:

i K r t

e

−ω  

(

cos ˆ_y sin ˆ_z

) (

. ˆ_x ˆ_y ˆ_z

)

i K e K e xe ye ze t

e

θ θ ω  _{+ + + −}   

₌

_e

i K (ycosθ +zsinθ )−ωt ( cos sin ) i K y z t

e

 − θ+ θ −ω  K ' K

K



θ θ 0

y

z

θ i= θr 0’

x

a (1º tipo) • Então, uma onda propagando-se com

vetor de onda após refletir em

0

, segue em direção a

0’

com formando ângulo com eixo

θ

y

negativo.

K



'

K



• Agora, como já discutido anteriormente, a onda

EM

que se propaga pode ser entendida como tendo “

2 polarizações

possíveis

”, relativas às componentes perpendicular e paralela de (em relação ao plano de incidência).

E



ao plano de incidência : modo

TE

( é // ao eixo x):

E



_⊥

E

1o₎

• Vamos analisar o modo

TE

;

o outro fica como exercício.

      K ' K K θ θ 0

y

z

0’

x

a 2o₎ //

E



ao plano de incidência : modo

TM

• Na região entre as 2 placas condutoras, em um ponto

P

qualquer, vou ter ondas tanto do tipo 1 quanto do tipo 2, superpondo-se:

(

)

(

)

{

0 0

}

cos sin _' cos sin

ˆ

_x i K y z t i K y z t

e

E

E e

θ θ ω

E e

θ θ ω      + −   − + − 

=

+



• Agora, tanto numa interface como na outra (

y =

0,

y =

a

) temos que

E

_1t

= E

_2t;

sendo que

E

_2t

=

0 (pois

σ

_{= ∞}

_{). Então:}

sin sin 0 0 1 ' //

0

Kz i t Kz i t i i

E

=

E e

θ

e

− ω

+

E e

θ

e

− ω

=

(

)

(

sin

)

0 0 '

0

z i t iK

E

E

e

θ ω−

⇒

₊

₌

E

₀

=

−

E

₀' i) para y = 0:

• Portanto:

E



=

e E e

ˆ

_{x 0}

(

iKycosθ

−

e

−iKycosθ

)

e

i

(

Kzsinθ ω− t

)

⇒

⇒

( )

1

• Agora, como ⇒ para uma dada onda com freqüência

ω

ω

ω

ω

_{, o ângulo} θθθθ _{é fixo (para um dado modo}

m

_).

/

K

=

n

ω

c

como

0 0

'

cos sin cos sin

0

iKa iKz i t iKa iKz i t

E e

θ + θ ω−

+

E e

− θ+ θ ω−

=

⇒

' 0 0

E

= −

E

(

cos cos

)

0

iKa iKa

e

θ

−

e

− θ

=

⇒

e

iξ

−

e

−iξ

=

0

ii) para y = a: • Então:

cos

ξ

⇒

₊

_i

_sin

_ξ

₋

_cos

_ξ

₊

_i

_sin

_ξ

₌

₀

⇒

_sin

_ξ

₌

_sin

₍

_Ka

_cos

_θ

₎

₌

₀

cos

Ka

m

ξ

θ

π

∴

=

=

; m = 0,1,2,.... (esta é a condição para haver _{propagação no Modo TE! )}

⇒

⇒

(

)

0

sin cos cos

0

a iKz i t iK iKa

E e

θ ω−

e

θ

−

e

− θ

=

⇒

(2)

• Para um θθθθ ⇒ da eq. (1)

vemos que o termo é que rege a propagação da onda (é o que varia no espaço e tempo).

( sin )

i Kz t

e

θ−ω

• Mas, notando que

sin

sin

sin

Kz

t

K

z

t

K

ω

θ ω

θ

θ





−

=

_

−

_





componente de na

direção de z. vf da onda que se

move na direção de +z. Lembrar, em 1D (vácuo) ( ) iK x t i Kx t _K

e

e

ω ω   −   − _{ }

=

n K c ω   =     fase K c n v ω = = ∴ sin f v c

ω

ω

θ

=

!!

sin

f

c

v

c

θ

⇒

₌

_>

• Ou seja, no

vácuo

(n = 1):

Discutiremos esta aparente contradição logo mais.

( )

(

)

( )

{

cos cos sin

}

0 ˆ_x iKy iKy i Kz t P E = e E e θ − e− θ e θ−ω  |||  |||  K

• Vamos antes escrever o campo em termos dos compri-mentos de ondas relacionados com as componentes

y

e

z

do vetor

E



K



2

:

sin

2

:

cos

C z g y

eixo z K

K

eixo y K

K

π

θ

λ

π

θ

λ

      

=

=

=

=

2

K

K

π

λ

=



=

• Sendo

2

sin

2

cos

:

C g

K

K

ou seja

π

λ

θ

π

λ

θ





=



=









0

2

K

π

λ

=

; que vou escrever em termos do comprimento de onda da onda no espaço livre:

(vácuo, sem fronteira)

⇒ da figura: K ' K

K



θ θ 0

y

z

θ i= θr 0’

x

_a

• Então: 0 0

sin

cos

g c

λ

λ

θ

λ

λ

θ









=

=







2 2 0 0 2 2 2 2

sin

cos

1

C g

λ

λ

θ

θ

λ

λ

⇒

₊

₌

₊

₌

2 2 2 0

1

1

1

C g

λ

+

λ

=

λ

∴

(÷ tudo porλ₀2 )

• Vou escrever eq. (1) _{em termos destas grandezas.}

(

)

(

)

{

. 01

}

sin cos cos

ˆ

res i Kz t iKy iKy x E =

e

E e θ − e− θ e θ ω−

• Da eq. (1) : cos cos i i iKy iKy

e

e

ξ ξ θ θ − ≡ ≡ −







₋











    novamente

i) O termo = cosξ +isinξ − cosξ +isinξ

2

2 sin

c K Ky

i

π λ





=

_

_





(

)

(

)

{

. 01

}

sin cos cos

ˆ

res i Kz t iKy iKy x E =

e

E e θ −e− θ e θ ω− • Temos que:

=

2

2 sin

c

i

y

λ

π





=

_

_





(

sin

)

i Kz t

e

θ −ω

ii) Quanto ao termo

0 g i Kz t

e

ω λ λ         −

=

2 g i z t

e

π

_ω

λ

        −

=

(

2 /π λ0

)

(

2

)

cos C K π λ θ =

=

• Substituindo na eq. (1), anterior: 0 2

2

ˆ

_x

sin

g c z i t

y

E

e E

e

π _ω λ

π

λ

        −





=

_

_







(4) cos K a θ = mπ

• Por outro lado, da eq. (2):

2 c a m

λ

= ; m = 0,1,2,... (número inteiro)

(

2iE01

)

≡

⇒ ⇒ (5) 0 2π λ ⇒ 0 a λ c m λ = π

• Agora, para m=1: λ_c=2a é uma constante; e também: 0 2 n K c ω π λ = = ⇒ se ω decresce, λ₀ cresce.

• E se λ₀ cresce e λ_c é uma constante

(para um dado m) ⇒ da equação (3): 2 2 02

1 1 1 g c λ λ λ     + =      

observa-se que haverá λ₀ limite, a partir do qual precisaria ter valores negativos (para que a igualdade continue valendo).

2 1

/

λ

_g 2 2 0 2 2 0 1 1 c c λ λ λ λ   = ⇒ =    

• Neste caso, o coeficiente de z, no expoente da equação (4) torna-se real (λ_g imaginário) e o campo passa a decair

exponencialmente (e não mais oscila).

0 2 2 ˆ sin c g x z i t y e E E e π _ω λ π λ         −   = _{ }    0 c

λ

=

λ

• Este valor limite _{corresponde a}

2 c a m λ   =    

0 c

2

a

λ

=

λ

=

• Para m=1, este valor limite será: • Ou seja, se

λ

₀

>

2a

2 /

c a m

a

λ

= =

⇒

⇒ onda EM (Modo TE) será

amortecida em relação à direção

z

∴ ∴ ∴

∴ não se propaga!

• Agora, se m=2 ⇒ da equação (5): o

compri-mento de onda mais longo possível para haver propagação da onda será aa.

• A razão da escolha do índice ‘c’, de ‘corte’, agora fica evidente. • Ou seja, λ_{c≡ comprimento de onda mais longo que onda pode} ter para propagar-se em um determinado modo (valor de m).

2 c a m λ   =    

• Quanto à velocidade obtida anteriormente, ela

sempre excede a velocidade da luz, e pode inclusive tornar-se ∞∞∞∞ quando θ =0°(ou seja,

λ

₀=

λ

_c)

sin f c v θ =

(pois, como vimos, )

\ 0 \ 0 cos c λ θ λ =

• Esta velocidade, “dita de fase” ≡ velocidade de um ponto, ao longo do eixo z, que permanece com a fase da onda constante.

K y=0 z z y=a y θ frentes de onda

• Falaremos mais sobre isto na póxima aula.

• Deve-se notar que a aparente contradição com Relatividade não é real, já que a energia da onda, como já veremos,

propaga-se na direção do eixo z com velocidade menor que a da luz.

• Esta velocidade é denominada “Velocidade de Grupo”, e os sinais EM são transmitidos segundo suas velocidades “de grupo”, e não de “fase”.