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FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES
COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA
NOTAS DE AULA
DISCIPLINA
2 Estamos apresentando um roteiro de estudos com teoria e exercícios para os alunos da Graduação em Matemática das Faculdades Integradas Campo-Grandenses na disciplina Tópicos de Matemática do Ensino Fundamental.
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CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
O conjunto dos números Naturais é definido por N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. É um conjunto infinito.
N* = N - {0} = {1,2,3,4, ... }.
O conjunto dos números naturais é infinito.
Propriedades:
1 – Todo número natural n possui um sucessor. O Sucessor de n é n+1. Exemplo: Sucessor de 32 = 32 + 1 = 33.
2 – Propriedade da tricotomia: Dados dois números naturais m e n ocorrerá uma e somente uma das condições:
m = n : m igual a n (igualdade)
m > n : m maior do que n (desigualdade) m < n : m menor do que n (desigualdade).
Nota: Às vezes teremos que recorrer aos símbolos ou os quais possuem a seguinte leitura:
a b : a maior do que b ou a = b. Pode-se ler, também, a maior ou igual a b. a b : a menor do que b ou a = b. Pode-se ler, também, a menor ou igual a b. Assim, por exemplo, x 3 significa que x poderá assumir em N os valores 3,2,1 ou 0.
Já x < 3, x poderá assumir em N os valores 2, 1 ou 0.
OPERAÇÕES EM N
1- Adiçãoa + b = a mais b.
Propriedades:
Dados os números naturais a, b, c, em N, são válidas as seguintes propriedades:
1.1 – Fechamento: a soma de dois números naturais é sempre um número natural. Diz-se então que o conjunto N dos números naturais é fechado em relação à adição.
1.2 – Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c 1.3 – Comutativa: a + b = b + a
4 1.5 – Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se somarmos um mesmo número natural a ambos os membros, ou seja, se a > b então a + c > b + c.
2- Subtração.
Observa-se que a subtração é uma operação inversa da adição. Se a + b = c então dizemos que a = c – b ( c menos b). É óbvio que o conjunto N não é fechado em relação à subtração, pois a subtração entre dois números naturais nem sempre é um outro número natural. Por exemplo, a operação 3 –
10 não tem resultado no conjunto N dos números naturais.
3- Multiplicação.
É um caso particular da adição, pois somando-se um número natural a si próprio n vezes obteremos a + a + a + ... + a = a x n.
Propriedades:
Dados os números naturais a, b e c, são válidas as seguintes propriedades: 3.1 – Fechamento: a multiplicação de dois números naturais é sempre outro número natural. Dizemos então que o conjunto N dos números naturais é fechado em relação à operação de multiplicação.
3.2 – Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c. 3.3 – Comutativa: a x b = b x a
3.4 – Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.
3.5 – Monotônica: Uma desigualdade não se altera se multiplicarmos ambos os membros por um mesmo número natural, ou seja, se a > b então a x c > b x c. Veja que c é um número positivo.
3.6 – Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).
4- Potenciação.
É um caso particular da multiplicação onde os fatores são iguais. Assim é que multiplicando-se um número natural a por ele mesmo n vezes obteremos a x a x a x a x ... x a que será indicado pelo símbolo a n , onde a será denominado base e n expoente.
Exemplos:
5 2 - Base
3 - Expoente 8 - Potência
35= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = (05 fatores) = 243 3 – Base
5 - Expoente 243 - Potência
Alguns casos particulares:
1) Expoente igual a um (1) 51 = 5
8 1 = 8
2) Expoente igual à zero (0)
50 = 1, pois
1 5 5
5
5 m m 0
m m
130 = 1, pois 0
13 13
1 13
13 m m
m m
Propriedades:
a) a b x a c = a b + c
Sem utilizar essa propriedade resolveríamos uma multiplicação de potência de mesma base da seguinte forma:
22 . 23 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25 = 32. Veja que temos dois mais três (cinco) fatores 2.
Exemplos:
24 x 2 = 24+1 = 25 35 x 32 = 35+2 = 37 46 x 43 = 46+3 = 49
b) b c
c b a a a
6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 5 3
3 5 x x x x x x x
. Veja que temos cinco menos três (dois) fatores 2.
Exemplos:
24 ÷ 2 = 24-1 = 23 35 ÷ 32 = 35-2 = 32 46 ÷ 43 = 46-3 = 43 c) b c bc
a a ) . (
Sem utilizar essa propriedade resolveríamos uma potência de potência da seguinte forma: 6 2 3 3 3 2 3 2 2 2 2 ) 2
( x x . Veja que temos três x dois (seis) fatores dois. Exemplos:
(23)4 = 212 , pois (23)4 = 23 x 23 x 23 x 23 (32)3 = 36 , pois (32)3 = 32 x 32 x 32
(42)5 = 410 , pois (42)5 = 42 x 42 x 42 x 42 x 42
d) (23x32)2 , pois (23x32)2 = 2 3x2 x 3 2x2, pois (23x32) x (23x32) = 23+3x32+2=23x2x32x2.
Exemplos de fixação:
(25 x 3 x 43)4 = 220 34 4 12 (c2 d2 e5) 2 = c4d4e10 (d3a4)3 = d9a12
Potência de 10
7 Exemplos:
a) 104 = 10000 b) 106 = 1000000 c) 107 = 10000000 Veja:
300 = 3.100 = 3.102 7000 = 7.1000 = 7.103 10.000 = 1.10000 = 1.104
5- Divisão
É um caso particular da subtração.
Vejamos: o que significa dividir 17 por 3? Significa descobrir, quantas vezes o número 3 cabe em 17, ou seja: 17 – 3 – 3 – 3 – 3 - 3 e restam 2. Podemos escrever a expressão anterior como 17 = 5 . 3 + 2 . O número 17 é denominado dividendo, o número 3 é denominado divisor, o número 5 é denominado quociente e o número 2 é denominado resto. De uma maneira geral, dados os números naturais D, d, q e r, poderemos escrever a relação D=d.q+r com 0 r d. Se r = 0, dizemos que a divisão é exata, ou seja, não deixa resto.
EXERCÍCIOS
Nos itens abaixo, escrever o resultado em forma de potência. a) 2 3 + 2 1 =
b) 3 3 x 3 2 = c) (22) 3 = d) (3 3 ) 0 =
e) (2 2)2 x (2 0 ) 30 = f) 2 4 : 2 2 =
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CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Z = {... , – 4, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
O conjunto dos números inteiros é infinito. A escolha da letra Z para
representar o conjunto dos números inteiros deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão significar número.
É trivial entender que o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos números inteiros Z ou seja N Z.
Define-se o módulo de um número inteiro diferente de zero como sendo o número com o sinal positivo. Define-se o módulo de zero como zero. Assim é que, representando-se o módulo de um número inteiro x qualquer por |x|, poderemos citar como exemplos:
| –7 | = 7; | – 32 | = 32; | 0 | = 0; etc
O módulo de um número inteiro é, então, sempre positivo ou nulo.
Chama-se oposto (ou simétrico aditivo) de um número inteiro a ao número – a. O oposto de 4 é -4; o oposto de -5 é 5.
Propriedades dos números inteiros.
1 – Todo número inteiro n possui um sucessor dado por sucessor de n =n +1. Exemplos: sucessor de (– 3) = – 3 + 1 = - 2; sucessor de (3) = 3 + 1 = 4. 2 – Dados dois números inteiros m e n ocorrerá uma e somente uma das condições :
m = n; m igual a n (igualdade).
m > n; m maior do que n (desigualdade). m < n; m menor do que n (desigualdade). Esta propriedade é conhecida como Tricotomia.
Nota: Às vezes teremos que recorrer aos símbolos ou os quais possuem a seguinte leitura:
a b; a maior do que b ou a = b. a b; a menor do que b ou a = b
Assim por exemplo, x 3, significa que x poderá assumir em Z os valores 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, - 4, ...
Já x < 3, teremos x como valores 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, ...
Zero é maior do que qualquer número negativo ou na sua forma equivalente, qualquer número negativo é menor do que zero.
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Operações em Z
1- Adição
A adição de dois números inteiros obedece às seguintes regras:
a ) números de mesmo sinal : somam-se os módulos e conserva-se o sinal comum.
Esta regra vem do modelo de ganho ( sinal +) e perda ( sinal -). (+2) + ( +4) = + 6. Ganho 2 e ganho 4. Então ganho 6.
(-3)+(-5) = -8: Perco 3 e perco 5. Então perco 8. Exemplos:
(-3) + (-5) + (-2) = - 10 (-7) + (-6) = - 13
b) números de sinais opostos: subtraem-se os módulos e conserva-se o sinal do maior em módulo.
Esta regra vem do modelo de ganho ( sinal +) e perda ( sinal -). (+ 2) + ( - 4) = -2. Ganho 2 e perco 4. Então perco 2.
(- 3)+(+ 7) = + 4: Perco 3 e ganho 7. Então ganho 4.
Exemplos: (-3) + (+9) = + 6 (-12) + (+5) = -7
Propriedades:
Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades: 1.1- Fechamento: a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Diz-se então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à adição.
1.2 – Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c 1.3 – Comutativa: a + b = b + a
10 15 – Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se somarmos um mesmo número inteiro a ambos os membros, ou seja, se a > b então a + c > b + c.
2- Multiplicação
É um caso particular da adição pois adicionando-se um número inteiro a si próprio n vezes obteremos a + a + a + ... + a = a x n.
A multiplicação de números inteiros dar-se-á segundo a seguinte regra de sinais:
(+) x (+) = +
(+) x (-) = -
(-) x (+) = -
(-) x (-) = +
Exemplos:
(-3) x (-4) = +12 = 12 (-4) x (+3) = -12
Propriedades:
Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades: 2.1 – Fechamento: a multiplicação de dois números inteiros é sempre outro número inteiro. Dizemos então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à operação de multiplicação. 2.2 – Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c.
2.3 – Comutativa: a x b = b x a
2.4 – Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.
2.5 – Uma desigualdade não se altera, se multiplicarmos ambos os membros por um mesmo número inteiro positivo, ou seja, se a > b então a . c > b . c 2.6 - Uma desigualdade muda de sentido se multiplicarmos ambos os membros por um mesmo número inteiro negativo, ou seja, se a > b então a . c < b . c
11 Justificativa:
-10 -5 0 +5 +10
Veja que +10 >+5. Ao multiplicarmos por -1 temos -10 < -5.
2.7 – Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
A propriedade distributiva permite justificar a regra do produto (-) x (-) = (+). Seja o produto B= (+ 4 - 2 ) x ( + 8 – 5). Veja que (+2 ) x ( +3 ) = + 6.
Fazendo a distributividade:
(+4) x (+8) + (+4) x ( -5) + ( -2) x (+8) + (-2) x (-5) = + 32 – 20 – 16 + (-2) x (-5) = + 12 – 16 + (-2) x (-5) = - 4 + (-2) x (-5). Veja que (-2) x (-5) = +10 para que - 4 + 10 seja +6.
Logo temos (-) x (-) = +.
Veja a demonstração de Mac Laurin ( 1700) para as regras de sinais para a multiplicação
+ a - a = 0 ;
a) m>0: (+ m) x ( + a – a) = (+ m) x ( + a) + ( + m) x ( - a) = (+ ma) + ...= 0. Então (+ m) x ( - a) = (- ma)
b) ( + a – a) x ( + m) = (+ a) x ( + m) x (- a) x ( + m) = (+ am) x ....= 0 . Então (- a) x (+ m) = ( - am )
c) m<0: (- m) x ( + a – a) = (- m) x (+a) + (- m) x ( - a) = ( - ma) + .... = 0. Então ( - m) x ( - a) = (+ ma).
3-Subtração
Observa-se que a subtração é uma operação inversa da adição. Se a + b = c então dizemos que a = c – b ( c menos b). É óbvio que o conjunto Z é fechado em relação à subtração, pois a subtração entre dois números inteiros sempre será um outro número inteiro. Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos números naturais, mas possui resultado no conjunto Z dos números inteiros, ou seja -7.
Exemplos de subtração de dois números inteiros. Exemplos:
12 (-5) - (- 10) = (-5) + (-1) x (-10) = -5 + 10 = +5
(-3) - (+7) = (-3) + (-1) x (+7) = - 3 - 7 = -10
4- Potenciação
É um caso particular da multiplicação onde os fatores são iguais. Assim é que multiplicando-se um número inteiro a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a que será indicado pelo símbolo a n onde a será denominado base e n expoente. Assim é que, por exemplo, 53 = 5.5.5 = 125; 71 = 7; 43 = 4.4.4 = 64, etc.
Com base nas regras de multiplicação de números inteiros, é fácil concluir que: a) Toda potência de base negativa e expoente par não nulo, tem como
resultado um número positivo. Exemplos:
(-2)4 = +16 = 16 (-3)2 = +9 = 9 (-5)4 = +625 = 625 (-1)4 = + 1 = 1
b) Toda potência de base negativa e expoente ímpar, tem como resultado um número negativo.
Exemplos: (-2)3 = - 8 (-5)3 = - 125 (-1)13 = - 1
5- Divisão
O conjunto Z dos números inteiros não é fechado em relação à divisão, pois o quociente de dois números inteiros nem sempre é um inteiro.
A divisão de números inteiros dando quocientes inteiros (divisão exata), no que concerne à regra de sinais, obedece às mesmas regras vistas para a
multiplicação, ou seja:
(+) : (+) = +
(+) : (-) = -
(-) : (+) = -
13 Exemplos:
(–10) : (– 2) = + 5
Justificativa da regra: Qual o número que multiplicado por - 2 é -10? O número é + 5. Daí (-) : (-) = (+)
(– 30) : (+ 5) = – 6
Justificativa da regra: Qual o número que multiplicado por +5 é - 30? O número é -6. Daí (-) : (+) = (-)
Para finalizar vamos mostrar duas regras de eliminação de parêntesis ( ) que poderão ser bastante úteis:
Todo parêntese precedido do sinal + pode ser eliminado mantendo-se os sinais das parcelas interiores. Isto porque estamos multiplicando os números que estão no interior do parêntese por +1.
Exemplo:
+ (+ 3 + 5 – 7) =+ 3 + 5 – 7 = +1
Todo parêntese precedido do sinal - pode ser eliminado trocando-se os sinais das parcelas interiores. Isto porque estamos multiplicando os números que estão no interior do parêntese por -1.
- (+2 -7 +10) = -2 + 7 -10 = - 5
Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros
a) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)] = - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6] = 3 - 2 + 4 - 5 - 6 = 7 - 13 = - 6
Primeiro eliminamos os parênteses. Como antes dele tinha um sinal de menos todos os números saíram com sinais trocados.
Logo depois eliminamos os colchetes. Como também tinha um sinal de menos antes todos os números saíram com os sinais trocados. A seguir adicionamos os positivo e o negativos
b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]} = { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]} = { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]} = {- 5 - 8 + 15 - 3} = - 5 - 8 + 15 - 3 = - 16 + 15 = - 1
14 Eliminamos também as chaves. Observe que também não teve troca de sinais pelo mesmo motivo anterior. A seguir adicionamos os positivos e negativos.
EXERCÍCIOS
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CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Sendo a e b dois números inteiros, com a condição de b não nulo, chama-se número racional ao quociente a / b .
Assim, são exemplos de números racionais: 2/3, -3/5, 87/95, ... , etc
O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q . O uso da letra Q deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já que a forma geral de um número racional é um quociente de dois números inteiros. Como todo número inteiro a pode ser escrito na forma a / 1 = a , concluímos que todo número inteiro é também um número racional. Assim, é trivial perceber que o conjunto dos números inteiros está contido ou é um subconjunto do conjunto dos números racionais, ou seja Z Q .
Os números racionais podem também ser representados na forma de um número decimal, ou seja, na forma i,d onde i é a parte inteira e d a parte decimal.
16 Exemplos:
1 – Escreva na forma a / b o número racional r = 1,25252525...
Sendo r = 1,252525... , multiplicando ambos os membros por 100, teremos: 100 r = 125,252525...
Subtraindo estas igualdades membro a membro, fica: 100 r – r = 125,252525... – 1,252525... , de onde tiramos: 99 r = 124 , e, portanto, r = 124 / 99.
2 – Escreva na forma a / b a dízima periódica s = 2,0353535...
Sendo s = 2,0353535... , multiplicando ambos os membros por 10, teremos: 10 s = 20,353535...
Multiplicando ambos os membros da igualdade anterior por 100, teremos: 100 x 10s = 100 x 20,353535...
1000 s = 2035,353535...
Subtraindo membro a membro a segunda da primeira igualdade, vem: 1000 s – 10 s = 2035,353535... - 20,353535...
990 s = 2015, e, portanto, s = 2015 / 990
Quando o número racional está representado na forma a / b onde a e b são inteiros, com b não nulo, chamamos a de numerador e b de denominador.
Propriedade fundamental das frações:
Uma fração não se altera se multiplicarmos o seu numerador e denominador por um mesmo número diferente de zero.
Assim :
a / b = a . n / b . n para n diferente de zero. Exemplo: 2/3 = 4/6 = 8/18 = 24/54 = ...
Notas:
1 – Se o denominador de uma fração for igual a 10 (ou a uma potência de dez) será fração decimal.
Exemplos: 3 / 10; 625 / 1000.
17 Exemplos:
a) 25 / 100 = 25 % b) 75 / 100 = 75 % c) 1 / 100 = 1 %
Se a < b dizemos que a fração é própria e se a > b dizemos que a fração é imprópria. Se a for um múltiplo de b a fração a / b será um número inteiro e a fração é dita aparente.
Assim, por exemplo, 5 / 7 é uma fração própria, 9 / 5 é uma fração imprópria e 10 / 5 = 2 é uma fração aparente.
Representações de frações:
Uma fração imprópria e não aparente pode ser transformada num número misto.
Vejamos o que é um número misto.
Representemos a fração 4 7
. Ela é equivalente a adição das frações 4 3 4 4 e como 1 4
4 , podemos representá-la como uma adição do tipo 4 3 1 . Suprimindo o sinal de adição teremos
4 3
1 . Veja graficamente como uma fração imprópria pode ser representada como um número misto.
Transformação de uma fração imprópria em número misto.
18
Transformação de um número misto em fração imprópria.
Multiplicamos o denominador pela parte inteira do número misto e adicionamos esse resultado ao numerador e conservamos o mesmo denominador.
9 31 9 4
3 já que : 9 x 3 + 4 = 31 e sobre o mesmo denominador 9
Frações equivalentes
Consideremos as frações
8 4 , 4 2 , 2 1 .
Notemos que as três frações apesar de escritas com valores diferentes, representam a mesma quantidade => metade de um todo.
A essas frações chamamos frações equivalentes.
Para encontrarmos frações equivalentes utilizamos a seguinte propriedade : Uma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos ambos os termos por um número natural diferente de zero
As frações 8 12 , 6 9 , 4 6
são equivalentes à fração 2 3
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Simplificação de uma fração na forma irredutível.
Simplificar uma fração na forma irredutível significa encontrarmos uma fração equivalente a ela e escrita com o numerador e denominador números primos entre si. Dois números primos entre si só admite o divisor comum 1.
Exemplo: Na fração 40
16 ao dividirmos ambos os seus termos por 8 teremos 5 2 .
Os termos da fração 5 2
são primos entre si e essa fração é irredutível e equivalente a fração
40 16 .
Para simplificarmos uma fração redutível podemos utilizar três métodos:
Método das divisões sucessivas:
Nesse caso dividiremos numerador e denominador sucessivamente por divisores comuns a eles.
Seja simplificarmos a fração 72 48
na forma irredutível : Dividindo sucessivamente por 2, 2, 2 e 3 encontramos:
Método da fatoração:
Nesse método decompomos em fatores primos o numerador e o denominador e efetuamos as simplificações possíveis.
Simplificando 72 48
. Decompondo numerador e denominador em fatores primos:
Fazendo as simplificações:
Método do M.D.C.
Nesse método dividimos numerador e denominador pelo M DC entre eles. O MDC entre 48 e 72 é 24 e dividindo ambos os termos por 24 encontraremos
20
Comparação de frações
Frações de mesmo numerador:
Entre frações de mesmo numerador a maior delas é aquela que possui o menor denominador e a menor delas é a que possui maior denominador
Com isso :
Frações de mesmo denominador:
Entre frações de mesmo denominador a maior delas é aquela que possui o maior numerador e a menor delas é a que possui menor numerador.
Com isso :
Frações de denominadores e numeradores diferentes:
Entre frações de denominadores diferentes ou numeradores diferentes devemos transformá-las em frações de mesmo denominador e aplicarmos a comparação para frações de mesmos denominadores.
Redução de frações ao mesmo denominador
Duas ou mais frações de denominadores diferentes podem ser transformadas em frações de mesmo denominador e para tal encontremos frações equivalentes às primeiras e que tenham todas o mesmo denominador.
Vamos comparar as frações:
21 Dessa forma podemos comparar as frações
o que nos leva a concluir que
Operações com frações
Frações de mesmo denominador - Para adicionarmos ou subtrairmos frações de mesmo denominador devemos adicionar ou subtrair os numeradores e conservarmos o mesmo denominador.
Exemplos:
Frações de denominadores diferentes - Para adicionarmos ou subtrairmos frações de denominadores diferentes devemos inicialmente transformá-las em frações de mesmo denominador e aplicarmos o que aprendemos no item anterior.
Exemplo 1:
Calculando o MMC entre 4 e 5 encontraremos 20 e assim teremos :
Exemplo 2:
Calculando o MMC. entre 1, 3 e 8 encontraremos 24 e assim teremos :
Multiplicação de Frações
22
Exemplos :
Observação importante : É sempre importante verificarmos se é possível a simplificação dos fatores ainda na multiplicação inicial . Dessa forma trabalharemos com números menores facilitando-nos o cálculo final.
Divisão de Frações
Para dividirmos duas frações multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda fração. Nessa operação também não é necessário termos
denominadores iguais. Justificativa:
Seja a fração F = (a / b) : (c / d)
Poderemos multiplicar o numerador e denominador por (d / c), resultando: F = (a / b) . (d / c) : (c / d) . (d / c)
Simplificando a expressão acima, lembrando que (c / d) . (d / c) = 1, vem, que F = (a / b) . (d / c) = (a . d) / (b . c).
Exemplos :
23
Potenciação de Frações
Para elevarmos uma fração a uma potência de expoente inteiro positivo elevamos cada um dos termos dessa fração a esse expoente.
Exemplos :
No caso de termos expoentes inteiros negativos.
c c c c c c c a b a b x b a b a b a ) ( 1 1 ) ( 1 ) ( Exemplos 2 2 1 1 ) 2 5 ( ) 5 2 ( 3 4 ) 4 3 ( 2 ) 2 1 (
Radiciação de Frações
Para extrairmos uma raiz de uma fração extrairmos a raiz de cada um dos termos dessa fração.
Exemplos :
Operações com Números Mistos
Antes de efetuarmos quaisquer operações envolvendo números mistos devemos sempre transformá-los em frações impróprias.
Exemplos :
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Potências com expoentes fracionários
c b c b a a Exemplos: a) 3 3 2
2 3 3
b)22 2 1
EXERCÍCIOS
1. Efetue as adições: a) 3/6 + 2/6 =
b) 13/7 + 1/7 = c) 2/7+ 1/7 = d) 4/10 + 3/10 = e) 5/6 + 1/6 = f) 8/6 + 6/6 = g) 3/5 + 1/5 =
2. Efetue as subtrações: a) 7/9 – 5/9 =
b) 9/5 -2/5 = c) 2/3 – 1/3 = d) 8/3 – 2/3 = e) 5/6 – 1/6 = f) 5/5 – 2/5 = g) 5/7 – 2/7 =
3. Efetue as operações: a) 5/4 + 3/4 - 1/4 = b) 2/5 + 1/5 – 3/5 = c) 8/7 – 3/7 + 1/7 = d) 7/3 – 4/3 – 1/3 = e) 1/8 + 9/8 - 3/8= f) 7/3 – 2/3 + 1/3 = g) 7/5 + 2/5 – 1/5 =
4. Efetue as multiplicações: a) 1/2 x 8/8 =
25
5. Efetue as divisões: a) 7/8 : 4/7 =
b) 18/4 : 6/5 = c) 25/4 : 2/5 = d) 1/2 : 3/4 = e) 9/7 : 8/3 = f) 2/5 : 3/2 = g) 17/4 : 46/13 =
6. Efetue as adições: a) 5/8 + 3/2 =
b) 8/6 + 1/3 = c) 5/6 + 2/5 = d) 7/4 + 3/7 = e) 1/9 + 4/5 =
7. Efetue as subtrações: a) 1/8 - 5/2 =
b) 8/7 - 1/3 = c) 5/2 - 7/5 = d) 7/2 - 3/9 = e) 1/9 - 3/5 =
8. Calcule:
a) 7/8 + 9/2 + 1/3 = b) 1/5 + 4/7 + 4 = c) 9/4 + 2/5 + 1/7 = d) 5/6 + 2/7 + 6 = e) 3/4 + 2 + 6/7 =
9. Calcule:
a) 7/8 - 9/2 - 1/3 = b) 1/5 - 4/7 - 4 =
10. Um mês tem trinta dias. Escreva a fração do mês, na forma irredutível, correspondente a:
a) 1 dia b) 5 dias c) 17 dias d) 29 dias
11. Que fração representa uma semana no mês de abril?
12. Que fração do mês de maio representa 10 dias?
13. Que fração do ano representam 5 meses?
26
15. Quinze pessoas foram convidadas para uma festa e apenas 8 compareceram.
a) Qual a fração que indica a presença? b) Qual a fração que indica a ausência?
16. Uma dúzia de balas deve ser dividida igualmente entre 3 garotos. Que parte receberá cada um?
17. Uma pessoa deve caminhar 100 metros e já andou 65 metros. Que fração do total do percurso ainda falta?
18. Escreva uma fração equivalente a um meio cujo denominador seja dez.
19. Escreva uma fração equivalente a cinco sétimos cujo numerador seja quinze.
20. Escreva uma fração equivalente a dois terços cujo denominador seja 18.
21. Escreva uma fração equivalente a três quartos, sendo trinta e cinco a soma do numerador com o denominador.
22. Qual é a alternativa que representa o número 0,65 na forma de fração? a) 65/10
b) 65/100 c) 65/1000 d) 65/10000
23. Resolva as expressões:
a) 2 2 3 4 2 3 2 3 2 b) 3 1 7 3 4 5
x c) 2
27
RAIZ ENÉSIMA DE UM NÚMERO
28
Cálculo Aritmético da raiz enésima de um número
29
Propriedade Fundamental dos Radicais
30
31
RACIONALIZAÇÃO
Existem frações cujo denominador é irracional.
, ,
Para facilitar os cálculos, é conveniente transformá-las em uma outra, equivalente, de denominador racional.
1º Caso:
O denominador é da forma b. Neste caso, basta multiplicar o numerador e o denominador por b.
2º caso:
O denominador é da forma n m
b onde n>2. Neste caso devemos multiplicar o
numerador e o denominador por um fator, de modo a tornar no denominador, o expoente do radicando múltiplo do índice do radical.
3 2
2
» Fator racionalizante 3 2 2 Logo 2 2 2 2 2 2
2 3 2
3 2 3 2
3 x
3º Caso:
- O denominador possui uma destas formas:
, ,
Neste caso, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, obteremos o produto pela diferença, que resulta na diferença de dois quadrados.
32
33
41
PRODUTOS NOTÁVEIS
Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis vamos recordar a propriedade distributiva.
(a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b² (a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²
(a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²
Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes. Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo utilizamos os produtos notáveis.
1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. ( a + b ).( a – b ) = a² - b²
2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
( a + b )² = a² + 2ab +b²
3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
( a – b )² = a² - 2ab + b²
Existem outros produtos notáveis: ( a + b ) ³ = a³ + 3a ²b + 3ab² + b³ (a – b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
EXERCÍCIOS
42 FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Fatorar é transformar expressões algébricas em produtos de duas ou mais expressões chamadas fatores.
Ex: ax + ay = a.(x+y)
Existem vários casos de fatoração como:
1) Fator Comum em evidência
Quando os termos apresentam fatores comuns Observe o polinômio:
ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência. Assim: ax + ay = a.(x+y)
Fatore:
a) bx + by - bz = b.(x+y-z) b)
c)
d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)
e)
2) Fatoração por agrupamento
Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.
Como por exemplo:
ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
a.(x+y) + b.(x+y)
Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:
(x+y).(a+b)
43 Fatore:
a.
b.
3) Fatoração por diferença de quadrados:
Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado.
Assim:
Fatore:
a)
b)
c) .Note que é
possível fatorar a expressão duas vezes.
4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:
O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.
Por exemplo, os trinômios ( ) e ( ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.
Assim:
| | | | 2x 3y |__________| |
44 Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.
= » forma fatorada |_______________|
Sinal
Logo: = » forma fatorada
|_______________| Sinal
Fatore:
a)
b)
*Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo:
Exs:
a)
b)
Outros casos de fatoração:
1) 2) 3)
EXERCÍCIOS
45 2 – Fatore as expressões:
a) b) c) d) e) f) g) h) 3 – Fatore as expressões:
a) b) c) d) e) f) g) h) 4 – Fatore:
a) b)
Fatoração por agrupamento
1 – Fatore as expressões: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s)
Fatoração – diferença de dois quadrados
46 w) x) y) z) aa) bb) cc) dd)
Fatoração – trinômio quadrado perfeito
1 – Coloque na forma fatorada as expressões: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) Exercícios complementares
1 – Fatore as expressões: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 2 – Fatore as expressões:
47 3 – Fatore as expressões:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
O cálculo de frações algébricas utiliza o mesmo processo do cálculo das frações numéricas, admitindo-se sempre que o denominador não seja nulo, ou seja, diferente de zero.
Simplificação de frações algébricas:
Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente. Para simplificar uma fração fatoramos o numerador e o denominador.
Exemplos:
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
A Utilização de letras em lugar de números.
Em diversos problemas empregamos letras em substituição aos números.
Exemplos :
Se chamarmos de n um certo número, podemos escrever: O dobro de n será : 2 x n = 2n
O triplo de n será : 3 x n = 3n
O quíntuplo de n adicionado a 3 unidades será : 5 x n + 3 = 5n + 3
48 É o produto de números reais indicados por letras e números.
São exemplos de monômios:
Coeficientes de um Monômio
3.1 - Coeficiente Numérico de um monômio: é a parte numérica que antecede a parte literal. 3.2 – Parte literal de um monômio: é a parte literal formada pelas variáveis e seus respectivos expoentes.
Nos exemplos anteriores, teremos:
Grau de um Monômio
Grau de um Monômio é a soma dos expoentes das variáveis desse monômio.
Exemplo 01) O monômio 3x2y3 é do 5º grau já que a soma dos expoentes de x e y é 2 + 3 = 5
Exemplo 02) O monômio - 7mn2p5 é do 8º grau já que a soma dos expoentes de m, n e p é 1 + 2 + 5 = 8
Grau Relativo de um Monômio
Grau Relativo de um Monômio é o expoente de uma determinada variável desse monômio. O monômio 3x2y3 é do 2o grau em relação a x e do 3o grau em relação a y
O monômio - 7mn2p5 é do 1o grau em relação a m, do 2o grau em relação a n e do 5o grau em relação a p.
Expressões Algébricas
Consideremos as seguintes situações:
O triplo de um número é adicionado ao dobro de um outro número. Se chamarmos cada um desses números de a e b podemos escrever 3a + 2b
49 O simétrico do produto entre o cubo de um número e o quadrado de um outro número. Podemos escrever - x3.y2
A cada uma dessas expressões denominamos Expressões Algébricas.
Uma Expressão Algébrica será um monômio quando apresentar apenas 1 termo algébrico Quando um polinômio ( vários monômios) apresentar apenas 2 monômios ele será um binômio. Quando um polinômio apresentar apenas 3 monômios ele será um trinômio.
Redução de Termos Algébricos Semelhantes.
Quando uma expressão algébrica apresentar termos algébricos semelhantes é necessário reduzi-los, ou seja, efetuar a adição algébrica entre eles.
Valor Numérico de uma Expressão Algébrica.
50
Grau de um Polinômio Racional Inteiro.
É o grau do monômio de mais alto grau do polinômio
É do 9º grau, já que o monômio de maior grau é do 9º grau.
EXERCÌCIOS
I - Escrever algebricamente, utilizando x e y como variáveis. 01) A soma de dois números
02) A soma do dobro de um número com o triplo de outro.
03) A diferença entre o quadrado de um número e a metade dele 04) O quadrado da soma de dois números
51 06) O simétrico do triplo do quadrado de um número diminuído de um outro número
07) O consecutivo de um número par
08) O antecessor do quádruplo de um número ímpar II - Reduzir os termos semelhantes.
52
54
EXERCÍCIOS PARA REDUÇÃO DE TERMOS SEMELHANTES COM ELIMINAÇÃO DE PARÊNTESES, COLCHETES E CHAVES
55 o) p) q) r) s) t) u) v) w) x) y) z) aa) bb) cc) dd) ee) ff) gg) hh) ii) jj) kk) ll) mm) nn)
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores dos seus domínios. Ex: 2x – 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita.
De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa igualdade é verdadeira ou falsa.
Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna verdadeira para x = 4. 2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4.
Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0 , onde a é diferente de 0.
ax + b = 0 ( a e b são números reais e a 0 )
56 x = - b / a
* Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra equação equivalente mais simples. Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número aos membros da igualdade e multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero.
Ex: x – 5 = 0 » x – 5 + 5 = 0 + 5 » x = 5
4x = 8 »
4 8 4 4
x » x = 2
Resolução de equações do 1º grau:
Resolver uma equação significa encontrar valores de seus domínios que a satisfazem.
Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal (=) e os "números" do outro.
Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos. Determine o valor da incógnita x:
a) 2x – 8 = 10 2x = 10 + 8 2x = 18
x = 9 » V = {9} b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9) 3 –7 + 14x = 5 – x – 9 14x + x = 5 – 9 – 3 + 7 15x= 0
57 O método de resolução de equações do 1º grau no qual coloca-se os valores
de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Vamos ver o que realmente ocorre:
Numa equação: 2x + 8 = 10
Adicionamos -8 a ambos os lados, afim de deixarmos o valor de 2x "sozinho". Observem:
2x + 8 - 8 = 10 - 8 2x = 2
2 2 2 2x
x = 1 V={1}
58 seja, permite obter as raízes da equação.
Veja para a equação 2x + 2 = 14:
2x + 2 = 14 Equação original
2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros
2x = 12 Dividimos por 2 os dois membros
61
RESPOSTAS
Resolva as seguintes equações:
a) 2x 5 5x 1 m) 10 9x 2x 2 3x
b) 5 6x 5x 2 n) 4x 4 5x 6 90
c) x 2x 1 3 x o) 2 3x 2x 12 3x d) 3x 10 2x 8 1 p) 7 x 5 3 x 1
e) 5x 5 x 9 x q) 3 x 2 4 x 3
f) 7x 4 x 2x 8 3x r) 2 x 1 x 1 0 g) x 5 4x 7x 6x 15 s) 5 x 1 3 x 2 0 h) 3x 2x 3x 2 t) 13 42x 1 5 x 2 i) 2 4x 32 18x 12 u) 4 x 5 3 x 5 21
j) 2x 1 3 x 4 v) 2 x 5 35 x 10
k) 2x 3x 9 48 8x x) 8 x 1 8 42x 3
62
EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS DO PRIMEIRO GRAU
Uma equação do primeiro grau é fracionária quando apresentar a variável (incógnita) em um ou mais termos do denominador.
Exemplo 1 : A equação
x x x 3 5 1 2
é uma equação fracionária do primeiro grau, já que a variável x está presente nos denominadores x e 3x.
Exemplo 2 : A equação
1 4 3 1 2 2 x
x é uma equação fracionária do primeiro grau, já que a variável x está presente nos denominadores 2x + 1 e 4x +1.
Limitações no Universo das Equações Fracionárias do 1º Grau
Sabemos que um denominador nunca pode ser zero. Com isso, os valores que anulam o denominador precisam ser retirados do Conjunto Universo dessa equação.
Para resolvermos a equação de nosso exemplo 1, no Universo dos Reais, precisamos retirar o número real zero que anula ambos os denominadores x e 3x. Se o valor x = 0 for raiz da equação ele não deverá ser considerado.
Para resolvermos a equação de nosso exemplo 2, no Universo dos Reais, precisamos retirar os números racionais -1/2 e -1/4 que anulam os denominadores 2x + 1 e 4x + 1. Se um desses valores for a raiz, ele não será considerado.
Resolução de uma Equação Fracionária do 1º Grau
Vamos resolver a equação 4 1 4 1 3 x x x .
Igualando os denominadores, teremos : O M.M.C. entre x - 1 e x + 1 será : x2 - 1, então :
Como os valores - 1 e + 1 que anulam os denominadores não são raízes da equação, a raiz x = 7 é a solução da equação.
Vamos resolver a equação
Percebemos que os valores x = - 3 anula o denominador x + 3 e x = 3 anula x – 3. Anulam também x 2
63 Igualando os denominadores teremos : O M.M.C. entre x - 3 e x + 3 será x2 - 9, então :
Como o valor x = 3 anula o denominador x - 3 , ele não serve como solução, e com isso, a equação será impossível.
Exercícios
Resolver as equações fracionárias do primeiro grau.
) 4 )( 2 ( 22 2 6 4 2 ) 5 1 1 1 1 1 1 ) 4 2 1 ) 2 ( 5 ) 3 4 3 1 2 5 ) 2 8 5 2 1 ) 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estes números?
Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitas desconhecidas utilizamos um sistema de equações.
Pelo enunciado:
64 A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ).
Verificando o par ordenado (8,4), notamos que satisfaz as duas equações: 8 + 4 =12 e 8 – 4 = 4 , logo a solução do sistema é (8,4)
Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações.
Método da adição:
Basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável.
Ex: x + y =12 x – y = 4
Notamos que as duas equações possuem termos opostos (y e -y).
Com isso, basta somar as duas equações:
A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações. 8 + y =12 ou 8 – y = 4
y =12 - 8 -y = 4 - 8 y = 4 y = 4
O par ordenado (x,y)=(8,4) é a solução do sistema. Outro exemplo:
... I .. II
Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável.
Para a resolução deste sistema devemos escolher uma variável para ser eliminada. Para isso multiplicamos a equação I por - 2:
65 0x + 0y = 6 .... III
Observe que a equação III não possui solução, logo a solução do sistema ´vazio. S= { }
Método da substituição:
Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema para em seguida substitui-la na outra.
Ex: x + y =12 ... I x – y = 4 .... II
Escolhemos uma das variáveis na primeira equação para determinarmos o seu valor: x + y =12 » x =12 - y
Substituímos na outra equação: (12 - y) - y = 4
12 - 2y = 4 -2y = -8 y = 4
Substituindo o valor encontrado em uma das equações: x + 4 =12 » x =12 - 4 » x = 8
Logo a solução do sistema é S = {(8,4)} Ex:
... I ... II
Escolhemos a variável y da equação II: ... II
Substituindo na equação II :
Substituindo o valor de x encontrado em II:
Logo a solução do sistema é : S = {( 10,4 )}
66 Consiste em comparmos as duas equações do sistema após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações:
x + 2y = 2 » x = 2 - 2y x + y = 3 » x = 3 - y
Comparando as duas equações: 2 - 2y = 3 - y
- 2y + y = 3 - 2 -y = 1 y = -1
Substituindo o valor de y encontrado: x = 2-2.(-1) » x = 2 + 2 = 4
Portando S= {(4,-1)}
EXERCÍCIOS
67 2) O dobro de um número aumentado de 15 é igual a 49. Qual é esse número?
3) A soma de um número com o seu triplo é 48. Qual é esse número?
4) Somando 5 anos ao dobro da idade de Sônia, obtemos 35 anos. Qual é a idade de Sônia? 5) A soma das idades de Carlos e Mário é 40 anos. A idade de Carlos é
5 3
da idade de Mário. Qual a idade de Mário?
6) Um número tem 4 unidades a mais que outro. A soma deles é 150. Quais são os números?
7) Fábia tem 5 anos a mais que Marcela. A soma da idade de ambas é igual a 39 anos. Qual a idade de cada uma?
8) A soma de dois números é igual a 37 e a diferença é 13. Quais são esses números?
9) As idades de três irmãos somam 99 anos. Sabendo-se que o mais jovem tem um terço da idade do mais velho e o segundo irmão tem a metade da idade do mais velho, qual a idade do mais velho? Qual a idade do mais jovem?
INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Quando comparamos dois números reais a e b , somente uma das três afirmações é verdadeira: a < b ou a = b ou a > b
Se os números a e b forem distintos, então a < b ou a > b e dizemos que a e b são desiguais, isto é, existe entre eles uma desigualdade.
Vejamos alguns exemplos de desigualdades, todas verdadeiras: 4 é menor que 7 4 < 7
32 é maior que 11 32 > 11 - 12 é menor que 0 - 12 < 0 7/2 é maior que 2/3 7/2 > 2/3
Vejamos agora algumas sentenças abertas representadas por desigualdades: O dobro de um número é maior que 8 2x > 8
O consecutivo do triplo de um número inteiro é menor que menos 14 3x + 1 < - 14
A metade do triplo de um número não é maior que 5 Se o número não é maior que cinco, ele pode ser menor ou igual a cinco
O quádruplo de um número adicionado a sua metade não é menor que 0 .
Se a expressão não é menor que zero, ela pode ser maior ou igual a zero A essas sentenças abertas denominamos INEQUAÇÃO.
68 A letra x em cada uma das desigualdades é denominada incógnita ou variável e cada expressão algébrica são os membros da inequação. O membro à direita é o 1º membro e a expressão situada à esquerda é o 2º membro da inequação. Todas as quatro inequações apresentadas são Inequações do primeiro grau, já que o grau da variável x é 1.
Solução de uma Inequação
Consideremos, como exemplo, a inequação:
Se a expressão 3x + 7 precisa ser maior que 16 3x precisa ser maior que 9. E dessa forma, x precisa ser maior que 3.
Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjunto dos naturais ou o conjunto dos números inteiros, x poderá ser qualquer inteiro maior que 3. { 4; 5; 6; 7; ... }
Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjunto dos números racionais, x poderá ser qualquer racional maior que 3.
{ 3,01; ... 3,012;..., 3,333...;.... 4;... 4, 3; .... }
Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjunto dos números reais, x poderá ser qualquer real maior que 3 { 3,01; ... 3,011 ;... 4;... ; ...7, 81; ... }
Propriedades das Desigualdades
Propriedade I - Uma desigualdade não se altera que quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número a ambos de seus membros.
Consideremos a desigualdade 7 > 4.
Se adicionarmos 3 unidades a cada membro, teremos : 7 + 3 > 4 + 3 10 > 7 Se diminuirmos 4 unidades de cada membro, teremos : 7 - 4 > 4 - 4 3 > 0 Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.
Consideremos a desigualdade - 5 < 2.
Se adicionarmos 1 unidade a cada membro, teremos : - 5 + 1 < 2 + 1 - 4 < 3 Se diminuirmos 2 unidades de cada membro, teremos : - 5 - 2 < 2 - 2 - 7 < 0 Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.
Propriedade II - Uma desigualdade não se altera que quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros por um mesmo número positivo.
Consideremos a desigualdade 6 > 4.
Se multiplicarmos cada membro por 8, teremos : 6 x 8 > 4 x 8 48 > 32 Se dividirmos cada membro por 2, teremos : 6 : 2 > 4 : 2 3 > 2
Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido. Consideremos a desigualdade - 8 < 10.
69 Propriedade III - Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros por um mesmo número negativo.
Consideremos a desigualdade 12 > 5.
Se multiplicarmos cada membro por - 7 , teremos : 12 x (- 7) > 5 x (- 7) - 84 < - 35 Se dividirmos cada membro por - 2, teremos : 12 : (- 2) > 5 : (- 2) - 6 < - 2,5
Em ambos os casos as desigualdades mudaram de sentido. Consideremos a desigualdade - 4 < 12.
Se multiplicarmos cada membro por - 2, teremos : - 4 x ( - 2 ) < 12 x ( - 2 ) 8 > - 24
Se dividirmos cada membro por - 1 , teremos : - 4 : ( - 1 ) < 10 : ( - 1 ) 4 > - 10 Em ambos os casos as desigualdades mudaram de sentido.
Resolução de uma Inequação do Primeiro Grau.
73
74
EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a, b e c com .
Exemplos:
Equação a b c
x²+2x+1 1 2 1
5x-2x²-1 -2 5 -1
Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau incompleta:
x² - 9 = 0 » x² = 9 » x = » x =
2º caso: c = 0
Considere a equação do 2º grau incompleta: x² - 9x = 0 » Basta fatorar o fator comum x. x(x-9) = 0 » x = 0 ou x = 9
3º caso: b=c=0 2x² = 0 » x = 0
Resolução de equações do 2º grau:
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima. Vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
Fórmula da resolução da equação do segundo grau.
Considerando a equação: ax²+bx+c=0. Multiplicamos os dois membros por 4a: 4a²x² + 4abx + 4ac = 0
4a²x² + 4abx = -4ac
75 4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac
Fatoramos o lado esquerdo e chamamos de (delta) b² - 4ac: (2ax+b)² =
2ax+b =
2ax = -b Logo:
ou
Resolver: 1) 3x²-7x+2=0 a=3, b=-7 e c=2
= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 Substituindo na fórmula:
=
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
76
a=-1, b=4 e c=-4
= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
» x=2
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( ) 3) 5x² - 6x + 5 = 0
a=5 b=-6 c=5
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim a equação não possui nenhuma raiz real.
Logo: » vazio
Propriedades:
Duas raízes reais e diferentes Duas raízes reais e iguais Nenhuma raiz real
Relações entre coeficientes e raízes
Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:
77 A soma das raízes será:
Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: O produto das raízes será:
Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a. Obtendo:
Substituindo por
:
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
x² - Sx + P = 0 Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações: a) x² - 4x + 3=0
78
b) 2x² - 6x -8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8
c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:
Resolução de equações fracionárias do 2º grau:
Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.
Exemplos:
a) Onde , pois senão anularia o denominador. Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x
Então:
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais: »
Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}
b ) e
79 Então:
Eliminando os denominadores:
» » »
* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:
x=-1 » S={-1}
Resolução de equações biquadradas
Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:
onde
Exemplo resolvido: 1)
Fazendo x² = y , temos
Substituindo os valores na equação, temos: y² - 5y + 4 = 0
Aplicando:
Logo, y = 4 e y`= 1 Voltando a variável x: Como y = x², temos:
80 Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente
EXERCÍCIOS
1 – Resolva as equações do 2º grau a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) 2 – Resolva as equações do 2º grau
a) b) c) d) e) f) g) h)
3 – Considere a equação do 2º grau , que é uma equação incompleta. Determine o conjunto solução dessa equação usando a fórmula resolutiva e sem usar a fórmula resolutiva. 4 – Dadas as expressões e , para quais valores reais de x as duas expressões tem valores iguais?
5 – Dada a expressão , para quais valores reais de x essa expressão dá – 7? 6 – Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações do 2º grau.
81 7 – Quais são os valores reais de x para os quais as expressões e
são iguais?
O PLANO CARTESIANO
Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano.
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais obtém-se o plano cartesiano ortogonal.
Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.
82 O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b) (b,a) se a b.
Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário.
PRODUTO CARTESIANO
Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por A x B, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B.
A x B = { (x,y): x A e y B }
Observe que AxB BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AxØ = Ø = ØxB.
Se A possui m elementos e B possui n elementos, então A x B possui mxn elementos.
Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano A x B, terá 12 pares ordenados e será dado por:
83 RELAÇÕES
Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em AxB é qualquer subconjunto R de A x B.
A relação mostrada na figura acima é R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) }
Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é A x B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas relações em AxB:
R1={(1,3),(1,4)}
R2={(1,3)}
R3={(2,3),(2,4)}
Domínio e Contradomínio de uma Relação.
As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma relação R:A B, onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma:
O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o contradomínio da relação, denotado por CDom(R).
84
Representações gráficas de relações em AxB:
R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}
R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}
85
FUNÇÃO
Aplicações das relações e funções no cotidiano
Ao lermos um jornal ou uma revista nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações. Estes são instrumentos muito utilizados nos meios de comunicação. Não é só nos jornais ou revistas que encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de cosméticos ou nas bulas de remédios.
Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais...
Observamos então que as aplicações de plano cartesiano, produto cartesiano, relações e funções estão presentes no nosso cotidiano.
Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores
Funções no Plano Cartesiano
Uma função f de A em B é uma relação em A x B que associa a cada variável x em A, um único y em B. Uma das notações mais usadas para uma função de A
em B é f:A B
O conjunto A é o domínio da função.
86 Todo elemento de A deve ter correspondente em B.
Cada elemento do domínio A só poderá ter no máximo um correspondente no contradomínio B.
Estas características nos informam que uma função pode ser vista geometricamente como uma linha no plano, contida em A x B, que só pode ser "cortada" uma única vez por uma reta vertical qualquer que seja esta reta.
Relações que não são funções
Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) } não é uma função em A x B pois associado ao mesmo valor a existem dois valores distintos 1 e 3.
Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação R5 = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) } não é uma função em A x B pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A estão associados a elementos do segundo conjunto B.
87 FUNÇÃO AFIM
Função afim: Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x) = ax + b.
Uma função afim tem como gráfico uma reta.
Exemplos: f(x) = -3x +1
f(x) = 2x + 7
f(x) = (1/2)x + 4
Se b é diferente de zero, o gráfico da função afim é uma reta que não passa pela origem (0,0).
A função f: R R que para cada x em R, associa f(x) = ax tem como gráfico uma reta que passa na origem do sistema cartesiano, no ponto (0,0).
Exemplos: f(x) = -3x
f(x) = 2x
88 Função Identidade
A função afim f: R R que para cada x em R associa f(x)=x é uma função também chamada identidade. O gráfico da Função Identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiro quadrante em duas partes iguais.
Funções constantes
Seja b um número real. A função constante associa a cada x R o valor f(x)=b.
Exemplo: f(x) = 2.
Funções injetoras
Uma função f:A B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A sempre possuem imagens distintas em B, isto é:
x1 x2 implica que f(x1) f(x2) ou de forma equivalente f(x1)=f(x2) implica que x1=x2
Exemplos:
89 A função f:R R definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x= -1 temos f(-1)=6.
Funções sobrejetoras
Uma função f:A B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y=f(x).
Exemplos:
A função f:R R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função.
A função f:R R definida por f(x)=x² não é sobrejetora pois existem elementos no contradomínio que não são imagens. Os negativos não são imagens.
Funções bijetoras
Uma função f:A B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Exemplo: A função f: R R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e sobrejetora.
Funções Pares. Funções ímpares
Função par
Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(x)=f(-x).
Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OY.
90 Função ímpar
Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(-x) = -f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.
Exemplo: As funções reais f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) e g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x). Veja o gráfico para observar a simetria em relação à origem.
Funções crescentes e decrescentes
Função crescente
Uma função f é crescente se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)<f(y). Isto é, conforme o valor de x aumenta, o valor da imagem de x pela função também aumenta.
Exemplo:
91 Função decrescente
Uma função f é decrescente se para quaisquer x e y do Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)>f(y). Isto é, conforme o valores de x aumentam, os valores da imagem de x pela função f diminuem.
Exemplo
Seja a função f:R R definida por f(x) = - 8x + 2. Para a=1 e b=2, obtemos f(a) = -6 e f(b) = -14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)>f(b), a função é decrescente.
Funções Compostas
Dadas as funções f:A B e g:B C, a composta de f com g denotada por g o f é a função definida por (g o f)(x)=g(f(x)).
gof pode ser lida como "g bola f".
