50 dicas para cálculo rápido, comumente encontradas no cotidiano e no comércio em geral. Mostradas em 23 grupos de dicas, sendo que os ítens do mesmo grupo apresentam características semelhantes.
Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita. Exemplo: 12 × 10 = 120
Exemplo: 12,345 × 10 = 123,45
Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita. Exemplo: 12 × 100 = 1200
Exemplo: 12,345 × 100 = 1234,5
Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a direita. Exemplo: 12 × 1000 = 12000
Exemplo: 12,345 × 1000 = 12345
Deslocar a vírgula n casas decimais para a direita. Exemplo: 12 × 107 = 120000000
Exemplo: 12,345 × 107 = 123450000
Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda. Exemplo: 12÷10 = 1,2
E × emplo: 12,345÷10 = 1,2345
Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a esquerda.
ALEGRIA FINANCEIRA FUNDAMENTAL MÉDIO GEOMETRIA TRIGONOMETRIA CÁLCULOS SUPERIOR
ALEGRIA MATEMÁTICA :: CALCULOS RÁPIDOS Porque o perverso é abominável ao Senhor, mas com os sinceros ele tem intimidade. Bíblia Sagrada: Provérbios 3:32
Dica 01-1: Multiplicar por 10
Dica 01-2: Multiplicar por 100
Dica 01-3: Multiplicar por 1000
Dica 01-4: Multiplicar por 10n
Dica 02-1: Dividir por 10
Exemplo: 12÷100 = 0,12
Exemplo: 12,345÷100 = 0,12345
Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a esquerda. Exemplo: 12÷1000 = 0,0120
Exemplo: 12,345÷1000 = 0,012345
Deslocar a vírgula n casas decimais para a esquerda. Exemplo: 12÷107 = 0,0000012
Exemplo: 12,345÷107 = 0,0000012345
Tomar o dobro do dobro do número. Exemplo: 4 × 16 = 2 × 2 × 16 = 2 × 32 = 64
Exemplo: 12,3 × 4 = 2 × 2 × 12,3 = 2 × 24,6 = 49,2
Tomar o dobro do dobro do número e dividir por 10.
Exemplo: 0,4 × 16 = 2 × 2 × 16÷10 = 2 × 32÷10 = 64÷10 = 6,4
Exemplo: 0,4 × 12,3 = 2 × 2 × 12,3÷10 = 2 × 24,6÷10 = 49,2÷10 = 4,92
Tomar o dobro do dobro do número e multiplicar por 10.
Exemplo: 40 × 16 = 2 × 2 × 16 × 10 = 2 × 32 × 10 = 64 × 10 = 640
Exemplo: 40 × 12,3 = 2 × 2 × 12,3 × 10 = 2 × 24,6 × 10 = 49,2 × 10 = 492
Tomar a metade da metade do número. Exemplo: 16÷4 = 16÷2÷2 = 8÷2 = 4
Exemplo: 12,3÷4 = 12,3÷2÷2 = 6,15÷2 = 3,075
Dica 02-3: Dividir por 1000
Dica 02-4: Dividir por 10n
Dica 03-1: Multiplicar por 4 = Dividir por 0,25
Dica 03-2: Multiplicar por 0,4 = Dividir por 2,5
Dica 03-3: Multiplicar por 40 = Dividir por 0,25
Dica 04-1: Dividir por 4 = Multiplicar por 0,25
Tomar a metade da metade do número e multiplicar por 10. Exemplo: 16÷0,4 = 16÷2÷2 × 10 = 8÷2 × 10 = 4 × 10 = 40
Exemplo: 12,3÷0,4 = 12,3÷2÷2 × 10 = 6,15÷2 × 10 = 3,075 × 10 = 30,75
Tomar a metade da metade do número e dividir por 10. Exemplo: 16÷40 = 16÷2÷2÷10 = 8÷2÷10 = 4÷10 = 0,4
Exemplo: 12,3÷40 = 12,3÷2÷2÷10 = 6,15÷2÷10 = 3,075÷10 = 0,3075
Tomar a metade do número e multiplicar por 10. Exemplo: 5 × 16 = 16÷2 × 10 = 8 × 10 = 80
Exemplo: 5 × 12,3 = 12,3÷2 × 10 = 6,15 × 10 = 61,5
Tomar a metade do número. Exemplo: 0,5 × 16 = 16÷2 = 8 Exemplo: 0,5 × 12,3 = 12,3÷2 = 6,15
Tomar a metade do número e multiplicar por 100. Exemplo: 50 × 16 = 16÷2 × 100 = 8 × 100 = 800 Exemplo: 50 × 12,3 = 12,3÷2 × 100 = 6,15 × 100 = 615
Tomar o dobro do número e dividir por 10. Exemplo: 16÷5 = 2 × 16÷10 = 32÷10 = 3,2 Exemplo: 12,3÷5 = 12,3 × 2÷10 = 24,6÷10 = 2,46
Tomar o dobro do número. Exemplo: 16÷0,5 = 2 × 16 = 32 Exemplo: 12,3÷0,5 = 12,3 × 2 = 24,6
Dica 04-3: Dividir por 40 = Multiplicar por 0,25
Dica 05-1: Multiplicar por 5 = Dividir por 0,2
Dica 05-2: Multiplicar por 0,5 = Dividir por 2
Dica 05-3: Multiplicar por 50 = Dividir por 0,02
Dica 06-1: Dividir por 5 = Multiplicar por 0,2
Tomar o dobro do número.
Exemplo: 16÷50 = 2 × 16÷100 = 32÷100 = 0,32 Exemplo: 12,3÷50 = 2 × 12,3÷100 = 24,6÷100 = 0,246
Decompõe-se o número em duas partes: M e 5. A primeira parte M deve ser multiplicada por M+1 e ao resultado se acrescenta 25.
Justificativa Matemática: Tomando [M5]=10M+5, então
[M5]² = (10M+5)² = 100 M² + 100M + 25 (10M+5)² = 100 (M² + M) + 25
(10M+5)² = 100 M × (M+1) + 25
Exemplo: 35² = (3 × 4)25 = 1225 Exemplo: 75² = (7 × 8)25 = 5625 Exemplo: 105² = (10 × 11)25 = 11025 Exemplo: 205² = (20 × 21)25 = 42025
Se o número tem dois algarismos na forma [MN] com M+N<10 então o produto é escrito como [M,M+N,N].
Justificativa Matemática: Tomando [MN]=10M+N, então:
(10M+N) × 11 = (10M+N) × (10+1) (10M+N) × 11 = 100M + 10M + 10N + 1 (10M+N) × 11 = 100M + 10(M+N) + 1
(10M+N) × 11 = 100M + 10(M+N) + 1 = [M,M+N,1]
Exemplo: 35 × 11 = (3,8,5) = 385 Exemplo: 27 × 11 = (2,9,7) = 297
Se o número tem dois algarismos na forma [MN] e M+N>10 então, escreve-se [M+1,M+N-10,N].
Justificativa Matemática: Tomando [MN]=10M+N, segue que:
(10M+N) × 11 = (10M+N) × (10+1) = 100M+10M+10N+1 (10M+N) × 11 = (10M+N) × (10+1) = 100M+10M+10N+1 (10M+N) × 11 = 100M +100 - 100 + 10(M+N)+1
(10M+N) × 11 = 100(M+1)+10(M+N-10)+1 = [M+1,M+N-10,1] Dica 06-3: Dividir por 50 = Multiplicar por 0,02
Dica 07-1: Elevar ao quadrado número da forma [M5]
Dica 08-1: Multiplicar por 11
Exemplo: 78 × 11 = (8,5,8) = 858 Exemplo: 95 × 11 = (10,4,5) = 1045
Se o número tem três algarismos na forma [ABC] e A+B+C<10 então, escreve-se [A,A+B,B+C,C].
Justificativa Matemática: Se [ABC]=100A+10B+C, então:
(100A+10B+C) × 11 = (100A+10B+C) × (10+1) (100A+10B+C) × 11 = 1000A+100B+10C+100A+10B+C (100A+10B+C) × 11 = 1000A+100(A+B)+10(B+C)+C (100A+10B+C) × 11 = [A,A+B,B+C,C]
Exemplo: 134 × 11 = (1,1+3,3+4,4) = (1,4,7,4) = 1474 Exemplo: 235 × 11 = (2,2+3,3+5,5) = (2,5,8,5) = 2585
Dividir o número por 4 e multiplicar por 100.
Exemplo: 16 × 25 = 16÷2÷2 × 100 = 8÷2 × 100 = 4 × 100 = 400
Exemplo: 12,3 × 25 = 12,3÷2÷2 × 100 = 6,15÷2 × 100 = 3,075 × ;100 = 307,5
Dividir o número por 4 e multiplicar por 10.
Exemplo: 16 × 2,5 = 16÷2÷2 × 10 = 8÷2 × 10 = 4 × 10 = 40
Exemplo: 12,3 × 2,5 = 12,3÷2÷2 × 10 = 6,15÷2 × 10 = 3,075 × 10 = 30,75
Dividir o número por 4.
Exemplo: 16 × 0,25 = 16÷2÷2 = 8÷2 = 4
Exemplo: 12,3 × 0,25 = 12,3÷2÷2 = 6,15÷2 = 3,075
Se o número tem dois algarismos na forma [AB] escreve-se o produto na forma [A,B,A,B] Exemplo: 35 × 101 = (3,5,3,5) = 3535
Exemplo: 27 × 101 = (2,7,2,7) = 2727
Dica 08-3: Multiplicar por 11
Dica 09-1: Multiplicar por 25 ou Dividir por 0,04
Dica 09-2: Multiplicar por 2,5 = dividir por 0,4
Dica 09-3: Multiplicar por 0,25 = dividir por 4
Dica 10-1: Multiplicar por 101
Se o número tem três algarismos na forma [ABC] com A+C<10, escreve-se [A,B,A+C,B,C]. Justificativa Matemática: Se [ABC]=100A+10B+C, então
[ABC] × 101 = (100A + 10B + C) × 101
[ABC] × 101 = (100A + 10B + C) × (100 + 1)
[ABC] × 101 = 10000A + 1000B + 100C + 100A + 10B + C [ABC] × 101 = 10000A + 1000B + 100(A + C) + 10B + C [ABC] × 101 = [A,B,A+C,B,C]
Exemplo: 435 × 101 = (4,3,(4+5),3,5) = (4,3,9,3,5) = 43935 Exemplo: 257 × 101 = (2,5,(2+7),5,7) = (2,5,9,5,7) = 25957
Se o número tem a forma [MN], basta acrescentar um zero no final do número MN (multiplicar por 10) e retirar o próprio número MN.
Exemplo: 35 × 9 = 350-35 = 315 Exemplo: 27 × 9 = 270-27 = 243
Se o número tem a forma MN, como 99 = 100 - 1, basta acrescentar dois zeros ao número MN (multiplicar por 100) e retirar o próprio número MN.
Exemplo: 35 × 99 = 3500-35 = 3465 Exemplo: 27 × 99 = 2700-27 = 2673
Se o primeiro número é × e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-1 e M+1, onde M é o valor médio entre × e Y e o produto entre eles é (M-1) × (M+1) = M² -1, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 1.
Exemplo: 14 × 12 = 13² -1 = 169-1 = 168 Exemplo: 14 × 16 = 15² -1 = 225-1 = 224 Exemplo: 34 × 36 = 35² -1 = 1225-1 = 1224
Se o primeiro número é × e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-2 e M+2, onde M é o valor médio entre × e Y. Assim o produto entre eles é (M-2) × (M+2) = M²-4, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 4.
Exemplo: 14 × 18 = 16² -4 = 256-4 = 252 Exemplo: 24 × 28 = 26² -4 = 576-4 = 572
Dica 11-1: Multiplicar por 9
Dica 11-2: Multiplicar por 99
Dica 12-1: Produto de números com diferença 2 entre eles
Exemplo: 33 × 37 = 35² -4 = 1225-4 = 1221
Se o primeiro número é × e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-3 e M+3, onde M é o valor médio entre × e Y. Assim o produto entre eles é (M-3)×(M+3)=M²-9, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 9.
Exemplo: 14 × 20 = 17² -9 = 289-9 = 280 Exemplo: 51 × 57 = 54² -9 = 2916-9 = 2907
Somar o número com a sua metade. Exemplo: 16 × 1,5 = 16+8 = 24
Exemplo: 12,3 × 1,5 = 12,3+6,15 = 18,45
Somar o número com a sua metade e multiplicar por 10. Exemplo: 16 × 15 = (16+8) × 10 = 24 × 10 = 240
Exemplo: 12,3 × 15 = (12,3+6,15) × 10 = 18,45 × 10 = 184,5
Somar o número com a sua metade e dividir por 10. Exemplo: 16 × 15 = (16 + 8)÷10 = 24÷10 = 2,4
Exemplo: 12,3 × 15 = (12,3 + 6,15)÷10 = 18,45÷10 = 1,845
Se o primeiro número é [MA] e o segundo número é [MB], o produto é obtido por (M×(M+1),A×B).
Justificativa Matemática: Se [MA]=10M+A, [MB]=10M+B e A+B=10, então
[MA] × [MB] = (10M+A) × (10M+B) = 100M²+10M × (A+B)+A × B [MA] × [MB] = 100M² + 100M + A × B
[MA] × [MB] = 100M × (M+1) + A × B
Exemplo: 14 × 16 = (1 × 2,4 × 6) = (2,24) = 224 Exemplo: 17 × 13 = (1 × 2,7 × 3) = (2,21) = 221 Exemplo: 34 × 36 = (3 × 4,4 × 6) = (12,24) = 1224
Dica 12-3: Produto de números com diferença 6 entre eles
Dica 13-1: Multiplicar por 1,5
Dica 13-2: Multiplicar por 15
Dica 13-3: Multiplicar por 0,15
Exemplo: 34 × 36 = (3 × 4,4 × 6) = (12,24) = 1224 Exemplo: 73 × 77 = (7 × 8,3 × 7) = (56,21) = 5621
Exemplo: 104 × 106 = (10 × 11,4 × 6) = (110,24) = 11024
Decompõe-se o número em 5 e P,escrevendo-se o produto como (25+P,P×P). Justificativa Matemática: Se [5P]=50+P, então
(50+P)² = 2500 + 2 × 50 × P + P² (50+P)² = 2500 + 100 P + P² (50+P)² = (100 × (25+P) + P²
Exemplo: 53² = (25+3,09) = (28,09) = 2809 Exemplo: 54² = (25+4,16) = (29,16) = 2616 Exemplo: 58² = (25+8,64) = (33,64) = 3364 Exemplo: 59² = (25+9,81) = (34,81) = 3481
Decompomos o número em duas partes: M e 1. O resultado é a soma da primeira parte elevada ao quadrado com a soma de [M1] com [M0].
Justificativa Matemática: Como (X+1)²=X²+2X+1, então
[M1]² = (10M+1)²
[M1]² = 100 M² + 20M + 1
[M1]² = 100 M² + (10M+1) + (10M) [M1]² = [M²,[M+1+M]]
Exemplo: 31² = [900, 31+30] = [900,61] = 961 Exemplo: 71² = [4900,71+70] = [4900,141] = 5041
Exemplo: 101² = [10000,101+100] = [10000,201] = 10201 Exemplo: 151² = [150²,151+150] = [22500,301] = 22801
Se o primeiro número X tem um algarismo e o segundo número [YZ] tem dois algarismos, escrevemos [YZ]=10Y+Z e usamos a distributividade dos números reais para realizar o produto.
Justificativa Matemática: Como [YZ]=10Y+Z, então
X × [YZ] = X × (10Y + Z) = 10 X × Y + X × Z Dica 15-1: Elevar ao quadrado número da forma [5P]
Dica 16-1: Elevar ao quadrado número da forma [M1]
Exemplo: 8 × 13 = 8 × 10+8 × 3 = 80+24 = 104 Exemplo: 9 × 17 = 9 × 10+9 × 7 = 90+63 = 153 Exemplo: 15 × 22 = 15 × 20+15 × 2 = 300+30 = 330 Exemplo: 1,5 × 22 = 1,5 × 20+1,5 × 2 = 30+3 = 33
Exemplo: 1,5 × 2,2 = (1,5 × 22)÷10 = (1,5 × 20+1,5 × 2)÷10 = (30+3)÷10 = 3,3
Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos e subtraimos um número D (diferença entre Z e Y) para que ambos tenham os algarismos das unidades iguais até a realização da primeira diferença e depois subtraímos D do resultado obtido anteriormente. Justificativa Matemática: Se a diferença entre Z e Y é D=Z-Y, então:
[XY]-[WZ] = (10 X + Y) - (10W + Z) [XY]-[WZ] = 10( X - W) + (Y-Z)
[XY]-[WZ] = 10( X - W) + (Y-Z) + D - D [XY]-[WZ] = 10( X - W) - D
Exemplo: 72-48 = 72+6-6-48 = 78-6-48 = 78-48-6 = 30-6 = 24 Exemplo: 57-49 = 57+2-2-49 = 59-2-49 = 10-2 = 8
Exemplo: 142-88 = 142+6-6-88 = 148-88-6 = 60-6 = 54
Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D aos dois números dados de modo a zerar o algarismo das unidades do menor e então realizamos a diferença.
Justificativa Matemática: Se D é a diferença entre 10 e Z, isto é, D=10-Z, então:
[XY]-[WZ] = (10 X + Y) - (10W + Z)
[XY]-[WZ] = (10 X + Y + D) - (10W + Z + D) [XY]-[WZ] = (10 X + Y + D) - (10W + 10) [XY]-[WZ] = (10 X - 10W - 10) + (Y + D) [XY]-[WZ] = [X-W-1,Y+D]
Exemplo: 72-48 = (72+2)-(48+2) = 74-50 = 24 Exemplo: 57-49 = (57+1)-(49+1) = 58-50 = 8 Exemplo: 142-87 = (142+3)-(87+3) = 145-90 = 55
Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois
Dica 18-1: Subtraindo com soma compensada
Dica 18-2: Subtraindo com soma compensada
algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D ao último número e subtraimos D do primeiro número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do segundo número dado e realizamos a soma.
Justificativa Matemática: Se D é a diferença entre 10 e Z, isto é, D+Z=10, então:
[XY] + [WZ] = (10 X + Y) + (10W + Z)
[XY] + [WZ] = (10 X + Y - D) + (10W + Z + D) [XY] + [WZ] = (10 X + Y + D) + (10W + 10) [XY] + [WZ] = (10 X + 10W + 10) + (Y + D) [XY] + [WZ] = [X+W+1,Y+D]
Exemplo: 72+48 = (72-2)+(48+2) = 70+50 = 120 Exemplo: 57+49 = (57-1)+(49+1) = 56+50 = 106 Exemplo: 142+87 = (142-3)+(87+3) = 139+90 = 229
Quando o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D ao primeiro número e subtraimos D do segundo número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do primeiro número dado e realizamos a soma.
Justificativa Matemática: Se D é a diferença entre 10 e Y, isto é, D+Y=10, então:
[XY] + [WZ] = (10 X + Y) + (10W + Z)
[XY] + [WZ] = (10 X + Y + D) + (10W + Z - D) [XY] + [WZ] = (10 X + 10) + (10W + Z - D) [XY] + [WZ] = (10 X + 10 + 10W) + (Z - D) [XY] + [WZ] = [X+W+1,Z-D]
Exemplo: 72+48 = (72+8)+(48-8) = 80+40 = 120 Exemplo: 57+49 = (57+3)+(49-3) = 60+46 = 106 Exemplo: 142+87 = (142+8)+(87-8) = 150+79 = 229
Para obter a soma S = 1+2+3+...+n, basta tomar a metade do produto de n por n+1.
Justificativa Matemática: Escrevemos os números naturais na forma normal e depois escrevemos estes números naturais na ordem invertida, para obter:
S = 1 + 2 + 3 + ... + n-3 + n-2 + n-1 + n S = n + n-1 + n-2 + ... + 4 + 3 + 2 + 1
Somando membro a membro as duas igualdades:
2S = (1+n) + (2+n-1) + (3+n-2) +...+ (n-1+2) + (n+1) 2S = (n+1) + (n+1) + (n-1) +...+ (n+1) + (n+1) (n vezes) 2S = n×(n+1)
S = n×(n+1)÷2
Dica 18-4: Somando com soma compensada
Exemplo: 1+2+3+...+12 = 12 × 13÷2 = 156÷2 = 78 Exemplo: 1+2+3+...+100 = 100 × 101÷2 = 5050 Exemplo: 13+14+...+100 = 5050-78 = 4972
A soma S = 1+3+5+7+...+2n-1 é obtida como o quadrado de n.
Justificativa Matemática: Escrevemos os números naturais ímpares na forma normal e depois escrevemos estes números naturais na ordem invertida, para obter:
S = 1 + 3 + 5 +...+ 2n-5 + 2n-3 + 2n-1 S = 2n-1 + 2n-3 + 2n-5 +...+ 5 + 3 + 1
Somando membro a membro as duas igualdades
2S = (1+2n-1) + (2+2n-3) +...+ (2n-3+3) + (2n-1+1) 2S = 2n + 2n + 2n + ... + 2n (n vezes)
2S = 2n×n S = n²
Exemplo: 1+3+5+...+5 = 5² = 25
Exemplo: 1+3+5+...+101 = 101² = 10201 Exemplo: 7+9+11+...+101 = 10201-25 = 10176
Para obter a soma S = 2+4+6+...+2n, basta multiplicar n por n+1, observando que n é e × atamente a metade do último par (2n).
Justificativa Matemática: Escrevemos os números naturais pares na forma normal e depois escrevemos estes números naturais na ordem invertida, para obter:
S = 2 + 4 + 6 +...+ 2n-4 + 2n-2 + 2n S = 2n + 2n-2 + 2n-4 +...+ 6 + 4 + 2
Somando membro a membro as duas igualdades
2S = (2+2n) + (4+2n-2) +...+ (2n-2+4) + (2n+2) 2S = (2n+2) + (2n+2) + ... + (2n+2) (n vezes) 2S = n×(2n+2)
S = n×(n+1)
Exemplo: 2+4+6+...+98+100 = 50 × 51 = 2550 Exemplo: 2+4+6+...+14 = 7 × 8 = 56
Exemplo: 16+18+20+...+98+100 = 2550-56 = 2494
Dica 20-1: Soma dos n primeiros números naturais ímpares
Dica 21-1: Soma dos n primeiros números naturais pares
Para obter o valor aproximado da divisão de um número por 17, basta multiplicar por 6 e dividir por 100
Exemplo: 42÷17: = 42 × 6÷100 = 252÷100 = 2,52; (o certo é 2,47) Exemplo: 150÷17: = 150 × 6÷100 = 900÷100 = 9; (o certo é 8,82)
Para obter o valor aproximado da divisão de um número por 33, basta multiplicar por 3 e dividir por 100
Exemplo: 42÷33: = 42 × 3÷100 = 126÷100 = 1,26 (±1,27) Exemplo: 150÷33: = 150 × 3÷100 = 450÷100 = 4,5 (±4,55)
Dica 23-1: Divisão apro × imada por 33 = produto por 0,03
