CAPÍTULO 3 ESCOAMENTO INTERNO. Prof. Dr. Santiago del Rio Oliveira

3.1 CONSIDERAÇÕES FLUIDODINÂMICAS

• Para escoamento interno deve-se verificar se o mesmo é laminar ou turbulento e a existência de regiões de entrada e de escoamento plenamente desenvolvidas 3.1.1 Condições de escoamento

• Quando o fluido entra em contato com a superfície, surgem efeitos viscosos, e uma camada limite se desenvolve com o aumento de x

• A região de escoamento invíscido diminui com o aumento de x e termina com a mistura da camada limite na linha de centro

• Após a mistura, efeitos viscosos se tornam dominantes e o perfil de velocidade não varia com o aumento de x

• Diz-se que o escoamento é plenamente desenvolvido e a distância da entrada na qual essa condição é alcançada é o comprimento de entrada hidrodinâmico,

h fd

x _,

• Para escoamento laminar em um tubo circular o perfil de velocidade plenamente desenvolvido é parabólico

• A extensão da região de entrada depende se o escoamento é laminar ou turbulento

• O número de Reynolds para escoamento em um tubo circular é

µ ρu_mD

D =

Re

• O número de Reynolds crítico para surgimento da turbulência é Re_D,c ≈ 2300 • Para escoamento laminar, o comprimento de entrada é fd h _D

D x Re 05 , 0 lam , _≈      

• Para escoamento turbulento, o comprimento de entrada pode ser obtido por:

3.1.2 A velocidade média

• Como a velocidade varia sobre a seção transversal, é necessário trabalhar com uma velocidade média u_m tal que a vazão em massa m_& através do duto é:

c mA

u m_& = ρ

• Para escoamento incompressível permanente em um tubo de área de seção transversal uniforme, m_& e u_m são constantes e independentes de x

• Para escoamento em um tubo circular A_c = πD2 4 e o número de Reynolds pode ser resscrito em função da vazão mássica como:

• A vazão em massa pode ser obtida integrando o fluxo de massa

( )

ρu sobre A_c:

( )

c A u r x dA m c

∫

= ρ , & • Combinando m_& = ρu_mA_c e

( )

_c A u r x dA m c

∫

= ρ , & obtém-se

( )

c c A m A dA x r u u c ρ ρ

∫

= , • Substituindo A_c =πr_o2 e dA_c = 2πrdr obtém-se:

( )

( )

∫

( )

∫

∫

= = = c ro ro o o A m u r x rdr r rdr x r u r r rdr x r u u 0 0 2 2 0 2 , 2 , 2 2 , ρπ πρ ρπ π ρ

3.1.3 Perfil de velocidade na região plenamente desenvolvida

• Para escoamento laminar de um fluido incompressível com propriedades constantes na região plenamente desenvolvida de um tubo circular tem-se:

0 = v e  = 0      ∂ ∂ x u

• A forma apropriada de u

( )

r pode ser obtida através de um balanço entre forças de cisalhamento e de pressão num elemento de volume diferencial em forma de anel de raio r, espessura dr e comprimento dx. Não há aceleração uma vez que o escoamento é estacionário e desenvolvido, o que resulta em:

(

2

) (

2

)

(

2

) (

2

)

0

0 ⇒ − + − =

= _{+ +}

∑

F πrdrp _x πrdrp _{x dx} πrdxτ _r πrdxτ _{r dr}

• A equação acima indica que no escoamento completamente desenvolvido em um tubo horizontal, as forças viscosas e de pressão se contrabalançam. Divindo por 2πdrdx obtém-se:

( )

dx dp r r dr d ₌ − τ

• Com a lei de Newton da viscosidade

dr du µ

τ = − a equação acima torna-se:

dx dp dr du r dr d r  =     µ

• Como dp dx não depende de r pode-se integrar a equação acima duas vezes:

1 2 2 1 C r dx dp dr du r  +      = µ e

( )

1 2 2 ln 4 1 C r C r dx dp r u  + +      = µ

(

r = r_o

)

= 0 u e 0 0 = ∂ ∂ = r r u

• O perfil de velocidade plenamente desenvolvido é parabólico e dp dx < 0:

( )

              −       − = 2 2 1 4 1 o o r r r dx dp r u µ

• Com a expressão de u

( )

r a velocidade média pode ser obtida:

dx dp r u rdr r r r dx dp r u r _m o o o o m o _{µ µ} 8 1 4 1 2 2 0 2 2 2 ⇒ = −                       −       − =

_∫

• Substituindo esse resultado na equação

( )

              −       − = 2 2 1 4 1 o o r r r dx dp r u µ tem-se:

( )

              − = 2 1 2 o m r r u r u

3.1.4 Gradiente de pressão e fator de atrito no escoamento plenamente desenvolvido

• Para o engenheiro é importante determinar a queda de pressão necessária para manter um escoamento interno porque esse parâmetro determina as necessidades de potência da bomba ou ventilador

• Fator de atrito de Moody ou fator de atrito de Darcy:

(

)

• Coeficiente de atrito ou fator de atrito de Fanning: 2 2 m s f u C ρ τ =

• A relação entre essas expressões pode ser obtida sabendo que

o r r s dr du =       − = µ τ 4 f C_f = • Substituindo µ ρu_mD D = Re e dx dp r u_m o µ 8 2 − = em

(

)

2 2 m u D dx dp f ρ − = obtém-se para

escoamento laminar completamente desenvolvido:

D

f

Re 64 =

• Para uma superfície lisa pode-se utilizar as seguintes correlações: 4 5 1 4 4 1 10 2 Re Re 184 , 0 10 2 Re Re 316 , 0 × ≥ = × ≤ = − − D D D D f f

• Para ampla faixa de Reynolds pode ser utilizada a correlação de Petukhov:

(

)

2 6 10 5 Re 3000 64 , 1 Re ln 790 , 0 − ≤ ≤ × = _D − _D f

• Deve ser observado que f e dp dx é uma constante na região plenamente desenvolvida

(

2 1

)

2 2 2 2 2 1 2 1 x x D u f dx D u f dp p x m x m p p = = − − = ∆

_∫

ρ

_∫

ρ

• A potência necessária de bombas e ventiladores para superar a resistência ao escoamento associada a essa queda de pressão é calculada como:

( )

( )

m_ρ p V

p