Aula 17 Rendas Uniformes e Variáveis. Prof. Arthur Lima. Raciocínio Lógico e Matemática para Escriturário do BRB. 1 de 107

Aula 17 – Rendas Uniformes e Variáveis

Raciocínio Lógico e Matemática para Escriturário

do BRB

Sumário

SUMÁRIO ...2

SÉRIES DE PAGAMENTOS ... 3

VALORATUAL... 3

SÉRIESFINITASDEPAGAMENTOS ... 7

RENDASPOSTECIPADAS,ANTECIPADASEDIFERIDAS ... 12

VALORFUTURODESÉRIESDEPAGAMENTOS ... 16

SÉRIESINFINITAS(PERPÉTUAS) ... 19

QUESTÕES COMENTADAS PELO PROFESSOR ... 24

LISTA DE QUESTÕES DA AULA ... 80

GABARITO ... 105

RESUMO DIRECIONADO ... 106

Séries de Pagamentos

Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima.

É com muita alegria que inicio mais essa aula.

Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro:

Rendas uniformes e variáveis.

Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:

VALOR ATUAL

Você deve se lembrar, da aula de juros compostos, que a fórmula abaixo leva um capital C a um montante M, daqui a “t” períodos, se aplicado à taxa de juros compostos j:

(1 )^t M =  +C j

Imagine que vamos aplicar certa quantia na data de hoje, isto é, no momento presente. Chamemos, portanto, o capital C de valor presente ou atual (VP). Analogamente, podemos chamar o montante M de valor futuro (VF), pois este é o valor que o dinheiro assumirá no futuro, isto é, daqui há “t” períodos. Portanto:

(1 )^t VF =VP + j

Vendo a fórmula acima, também podemos dizer que:

(1 )^t VP VF

= j +

Isto é, se conhecemos certo valor monetário numa data futura (VF), podemos saber qual é o seu valor equivalente na data atual, presente (VP). Ou seja, podemos calcular o valor atual daquela quantia.

Exemplificando, vamos descobrir quanto 1210 reais daqui a 2 semestres (1 ano) representam hoje, considerando a taxa de 10% ao semestre. Veja que, neste caso, VF = 1000 reais, afinal este valor foi definido numa data futura, e não na data de hoje. Além disso, temos t = 2 semestres, e j = 10% ao semestre. Assim:

𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 (1 + 𝑗)^𝑡 𝑉𝑃 = 1210

(1 + 10%)² 𝑉𝑃 = 1210

(1,1)² 𝑉𝑃 =1210

1,21 = 1000 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠

Portanto, 1210 reais daqui a 1 ano equivalem a 1000 reais na data de hoje, isto é, o valor atual daquela quantia é VP = 1000. Podemos dizer que é INDIFERENTE receber 1000 reais hoje ou 1210 daqui a um ano!

Vejamos uma aplicação prática do exemplo acima. Você é dono de uma loja, e está vendendo um produto por R$1210,00, para pagamento daqui a 1 ano. Um cliente pretende adquirir o produto pagando à vista, porém um valor reduzido: apenas R$1050,00. Você deve aceitar a proposta? Ora, se existe a possibilidade de você investir esse dinheiro em uma aplicação financeira com rendimento de 10% ao semestre, é mais vantajoso aceitar R$1050,00 à vista e investir o dinheiro do que esperar 1 ano para receber R$1210,00. Afinal, 1050 é mais do que o valor atual do produto (1000 reais, como calculamos acima). Em resumo: daqui a 1 ano você terá mais do que R$1210,00 em sua conta.

Como você deve ter percebido até aqui, não é correto comparar valores financeiros que se referem a momentos distintos. Sempre que surgir uma situação assim, você deve levar todos os valores para a mesma data, com o auxílio de uma taxa de juros ou de desconto fornecida pelo enunciado, e só então compará-los.

Chamaremos esta data de “data focal”, ok?

Vejamos um exemplo. Imagine que José deve R$1000,00 para você, valor este que seria pago daqui a 12 meses. Como os negócios dele estão prosperando, ele se propõe a efetuar o pagamento de forma diferente:

em duas parcelas, sendo a primeira de 300 reais daqui a 3 meses, e a segunda do valor restante, daqui a 8 meses.

Considerando uma taxa composta de 1% ao mês, qual deve ser o valor da segunda parcela?

Vamos representar na linha do tempo os dois esquemas de pagamento. Veja-os abaixo:

12 t

8 3

0

R$1000

R$300 P

Para que o fluxo de pagamentos em azul possa substituir o fluxo de pagamentos em vermelho, é preciso que ambos possuam o mesmo valor presente. Assim, é preciso que levemos todos os valores para a mesma

“data focal”. Poderíamos, por exemplo, trazer todos os valores para a data zero (0), dividindo-os por (1 + 1%)^t, concorda?

Entretanto, é mais prático levar todos os valores para a mesma data de algum dos pagamentos, para diminuir as contas. Ex.: podemos levar as duas parcelas em azul para a mesma data da parcela em vermelho.

Levando R$300 para o mês 12, devemos “avançar” 9 meses. E levando a parcela P para o mês 12, devemos

“avançar” 4 meses. Podemos fazer essa translação do dinheiro no tempo utilizando a fórmula VF = VP x (1 + j)^t. Feito isso, podemos afirmar que o valor atual das parcelas em azul, no mês 12, deve ser igual ao valor atual da parcela em vermelho, naquela mesma data. Isto é,

300 x (1 + 1%)⁹ + P x (1 + 1%)⁴ = 1000 328,10 + P x 1,0406 = 1000

P = 645,68 reais

Portanto, no novo esquema de pagamentos proposto por José bastaria que ele pagasse mais uma parcela de R$645,68 no mês 8. Apesar da soma das parcelas ser inferior a 1000 reais (300 + 645,68 = 945,68), podemos afirmar que estes dois “esquemas” de pagamentos são equivalentes, à uma taxa composta de 1% ao mês.

MEMORIZE:

- para deslocar um valor financeiro para o futuro (direita), multiplique-o por (1+j)^t; - para deslocar um valor financeiro para o passado (esquerda), divida-o por (1+j)^t.

Pratique estes conceitos resolvendo os exercícios a seguir:

FGV – ISS/Cuiabá – 2016) Sabendo-se que um investimento é remunerado a uma taxa efetiva de 10% ao mês, sob o regime de juros compostos, calcule o valor do investimento necessário para garantir um recebimento mensal de R$ 200,00, ao final de cada um dos próximos dois meses.

(A) R$ 350,00.

(B) R$ 340,00.

(C) R$ 345,00.

(D) R$ 347,00.

(E) R$ 344,00.

RESOLUÇÃO:

Podemos trazer os dois recebimentos de 200 reais para a data presente, usando a taxa de 10%am:

VP = 200/(1+10%)¹ + 200/(1+10%)² VP = 200/1,10 + 200/1,10²

VP = 200/1,10 + 200/1,21 VP = 181,81 + 165,28

VP = 347,09 reais Resposta: D

FCC – ISS/SÃO LUIS – 2018) Certo investidor realizou uma aplicação financeira no valor de R$16.400,00, durante 4 meses, com uma taxa de juros de 9% ao ano, no regime de juros simples. No final do período de 4 meses, ele resgatou todo o montante e o emprestou a uma pessoa que se comprometeu a liquidar a dívida por meio de duas prestações semestrais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira 1 semestre após a data em que contraiu a dívida. Este empréstimo foi concedido com uma taxa de juros de 5% ao semestre, no regime de juros compostos, considerando o sistema francês de amortização. O valor da amortização da dívida incluído no valor da segunda prestação foi de

(A) R$ 9.084,60 (B) R$ 8.240,00 (C) R$ 8.652,00 (D) R$ 8.662,30 (E) R$ 8.446,00 RESOLUÇÃO:

O montante obtido após os 4 meses de aplicação a juros simples é:

M = C x (1 + jxt) M = 16400 x (1 + 0,09 x 4/12)

Repare que, para igualar as unidades temporais, usei o prazo de t = 4/12 anos no lugar de 4 meses, pois a taxa é anual. Continuando o cálculo:

M =16400 x (1 + 0,36/12) M = 16400 x (1 + 0,03)

M = 16400 x 1,03 M = 16892 reais

Este é o valor presente VP do empréstimo que será pago com duas prestações de valor P. A taxa é de 5%

ao semestre, e as prestações são semestrais. Para igualar o valor presente das prestações com o valor presente do empréstimo, note que a primeira prestação deve ser dividida por (1+5%)¹, afinal ela deve retornar 1 período.

E a segunda parcela deve ser dividida por (1+5%)², visto que ela precisa retornar 2 semestres. Assim:

16892 = 𝑃

1 + 5%+ 𝑃 (1 + 5%)² 16892 = 𝑃

1,05+ 𝑃 (1,05)²

Multiplicando todos os termos por 1,05², que é o mesmo que 1,1025, temos:

1,1025 𝑥 16892 = 1,05𝑃 + 𝑃 18623,43 = 2,05P P = 9.084,60 reais

No primeiro período, os juros são de 16892 x 5% = 844,60 reais. Assim, a amortização no primeiro período é de 9084,60 – 844,60 = 8240 reais.

O saldo devedor fica em 16892 – 8240 = 8652 reais. Este será o valor a ser amortizado na segunda prestação.

Resposta: C

SÉRIES FINITAS DE PAGAMENTOS

Em um grande número de vezes vamos nos deparar com esquemas de pagamentos e/ou recebimentos que possuem uma série de prestações de igual valor. É o caso do próprio sistema de amortização francês, que estudamos na aula passada.

Questão clássica em provas é aquela que apresenta uma série de pagamentos ou recebimentos composta por várias parcelas iguais distribuídas ao longo do tempo, e pergunta-se o valor atual daquela série.

Exemplificando, imagine que alguém vai te pagar 4 parcelas mensais de 2000 reais cada, sendo que a primeira parcela será paga daqui a 1 mês. Considerando uma taxa de juros compostos j = 1% ao mês, qual é o valor atual/presente desta série de pagamentos?

Veja abaixo o esquema de pagamentos em questão. Em azul você pode visualizar os 4 pagamentos mensais de 2000 reais, começando em t = 1 mês. Já em vermelho encontra-se o valor atual, na data inicial t = 0, daquela série de pagamentos:

Sabemos que o valor atual VP é igual à soma dos valores atuais das 4 parcelas mensais, que devem ser

“trazidas” à data focal t = 0 através da sua divisão por (1 + j)^t. Isto é:

1 2 3 4

2000 2000 2000 2000

(1 0,01) (1 0,01) (1 0,01) (1 0,01)

VP = + + +

+ + + +

Veja que o cálculo do valor presente dos recebimentos seria bem complicado de se efetuar sem uma calculadora, ainda que fosse dada a tabela de fator de acumulação de capital (1+ j)^t.

Quando temos uma série de pagamentos ou recebimentos iguais, como esta (4 recebimentos de 2000 reais), o valor atual destes pagamentos pode ser calculado com o auxílio da tabela de valor atual para uma série de pagamentos iguais (an¬j). Esta tabela é muitas vezes fornecida pelos exercícios. Veja abaixo um exemplo:

Em nosso exemplo, temos n = 4 recebimentos e taxa de juros j = 1%. Procurando o fator a_{4 1%} na coluna 1% e linha 4 da tabela acima, encontramos a_{4 1%} =3,901966:

Portanto, podemos dizer simplesmente que:

VP = an¬j x P

(onde P é o valor da prestação periódica, no caso 2000 reais/mês) Assim:

VP =

a

VP = 3,901966 x 2000 VP = 7803,93 reais

i / n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091 2 1,970395 1,941561 1,91347 1,886095 1,85941 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537 3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852 4 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,387211 3,312127 3,23972 3,169865 5 4,853431 4,71346 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,100197 3,99271 3,889651 3,790787 6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,76654 4,62288 4,485919 4,355261 7 6,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,389289 5,20637 5,032953 4,868419 8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971299 5,746639 5,534819 5,334926 9 8,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024 10 9,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023582 6,710081 6,417658 6,144567

FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS

i / n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091 2 1,970395 1,941561 1,91347 1,886095 1,85941 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537 3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852 4 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,387211 3,312127 3,23972 3,169865 5 4,853431 4,71346 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,100197 3,99271 3,889651 3,790787 6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,76654 4,62288 4,485919 4,355261 7 6,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,389289 5,20637 5,032953 4,868419 8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971299 5,746639 5,534819 5,334926 9 8,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024 10 9,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023582 6,710081 6,417658 6,144567

FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS

Isto é, o valor atual dos 4 pagamentos mensais de 2000 reais não é R$8000 reais, como se poderia pensar, mas sim R$7803,93 (a uma taxa de 1% ao mês).

Vale lembrar a fórmula do fator de valor atual pois, muitas vezes, as questões te obrigam a sabê-la:

𝑎_𝑛¬𝑗=(1 + 𝑗)^𝑛− 1 𝑗 × (1 + 𝑗)^𝑛

Lembre-se ainda que o fator de valor atual a_{n j} para uma série de pagamentos iguais é igual ao inverso do Fator de Recuperação de Capital (FRC) que utilizamos ao estudar a tabela price:

1 a



= FRC

Veja as questões a seguir:

CESPE – CAGE/RS – 2018) João é credor de uma dívida a taxa de juros de 5% ao mês que lhe pagará R$ 1.200 por mês nos próximos 12 meses. O devedor lhe propõe refazer o parcelamento para 18 vezes, oferecendo pagar 6,2% de juros por mês. Considerando-se 0,56 e 0,34 como aproximações para (1,05)^–12 e (1,062)^–18, respectivamente, é correto afirmar que João terá um fluxo de recebimentos equivalente ao que tem hoje se a nova parcela mensal for

A) inferior a R$ 600.

B) superior a R$ 600 e inferior a R$ 800.

C) superior a R$ 800 e inferior a R$ 1.000.

D) superior a R$ 1.000 e inferior a R$ 1.200.

E) superior a R$ 1.200.

RESOLUÇÃO:

Queremos trocar um fluxo de 12 pagamentos de 1.200 reais por outro fluxo de 18 pagamentos de valor P.

Para trocar um fluxo por outro, eles devem possuir o MESMO VALOR ATUAL. Assim, podemos começar calculando o valor atual do primeiro fluxo:

VP = P x an¬j

Onde

𝑎𝑛¬𝑗=(1 + 𝑗)^𝑛− 1 𝑗 × (1 + 𝑗)^𝑛

Podemos reescrever esta fórmula dividindo todos os termos do numerador e do denominador por (1+j)ⁿ. Neste caso, ficamos com:

𝑎_𝑛¬𝑗=

1 − 1 (1 + 𝑗)^𝑛

𝑗 Isto é,

𝑎_𝑛¬𝑗=1 − (1 + 𝑗)^−𝑛 𝑗

Algumas bancas, como o CESPE, gostam muito desta forma de apresentar a fórmula do fator de valor atual.

No primeiro fluxo temos n = 12 pagamentos e taxa j = 5%. Assim, 𝑎_12¬5%=1 − (1 + 5%)⁻¹²

5%

𝑎12¬5%=1 − (1,05)⁻¹² 0,05

𝑎_12¬5%=1 − (1,05)⁻¹² 0,05

O enunciado disse para considerar 0,56 como aproximação para (1,05)^–12 : 𝑎_12¬5%=1 − 0,56

0,05 =0,44 0,05=44

5 =88 10= 8,8 Logo,

VP = P x an¬j

VP = 1.200 x 8,8 VP = 10.560 reais

Este deve ser também o valor presente da série de n = 18 pagamentos com taxa de j = 6,2% ao mês. Neste segundo caso, o fator de valor atual é:

𝑎_𝑛¬𝑗=1 − (1 + 𝑗)^−𝑛 𝑗

𝑎_18¬6,2%=1 − (1,062)⁻¹⁸ 0,062 O enunciado disse que 0,34 é uma aproximação para (1,062)^–18. Logo:

𝑎_18¬6,2% =1 − 0,34

0,062 = 0,66 0,062= 66

6,2 Portanto,

VP = P x an¬j

10560 = P x 66/6,2 10560 x 6,2 = P x 66

65472 = 66P P = 65472 / 66

P = 992 reais Resposta: C

FCC – SEFAZ/SP – 2009) A tabela abaixo apresenta os valores dos Fatores de Recuperação de Capital (FRC) para a taxa de juros compostos de 2% ao período:

O preço de venda de um equipamento é igual a R$ 100.000,00. Ele pode ser adquirido por uma das seguintes opções:

I. À vista, com 10% de desconto sobre o preço de venda.

II. Em 12 prestações mensais, iguais e consecutivas, com a primeira prestação sendo paga no ato da compra.

Utilizando o critério do desconto racional composto a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, tem-se que o valor de cada prestação da opção II que torna equivalentes, no ato da compra, os pagamentos efetuados pelas duas opções é, desprezando os centavos, igual a

(A) R$ 9.500,00 (B) R$ 9.180,00 (C) R$ 8.550,00 (D) R$ 8.330,00 (E) R$ 8.150,00 RESOLUÇÃO:

Na primeira opção, paga-se um total de 90000 reais à vista, uma vez que é dado um desconto de 10%. Na segunda opção, paga-se uma entrada “P” e assume-se uma dívida de 90000 – P reais a ser paga em 11 prestações iguais.

Para que ambas as formas de pagamento sejam equivalentes, elas devem ter o mesmo valor presente – no caso 90000 reais, que é o valor presente da primeira opção. Na segunda, o valor presente é dado pela soma da primeira prestação (P), paga do no momento da compra, com o valor presente das 11 prestações seguintes, que é:

VP = P / FRC11, 2%

A tabela diz que FRC11, 2% = 0,102. Portanto:

VP = P / 0,102

Desta forma, sabemos que a soma da primeira prestação (P) com o valor presente das 11 prestações seguintes (VP) deve ser 90000:

P + VP = 90000 P + P/0,102 = 90000

P = 8330,30 reais Resposta: D

RENDAS POSTECIPADAS, ANTECIPADAS E DIFERIDAS

Você reparou que, em nosso exemplo, a primeira prestação foi paga ao final do primeiro período, isto é, em t = 1? Neste caso dizemos que as rendas (ou pagamentos) são POSTECIPADAS, isto é, efetuados em um momento posterior.

Em algumas situações, a primeira prestação é paga no momento inicial (t = 0). São aqueles casos onde a primeira prestação é paga à vista, ou serve de “entrada”. Neste caso, dizemos que as rendas (ou pagamentos) são ANTECIPADAS.

Em regra nós estaremos diante de situações onde os pagamentos são POSTECIPADOS. Inclusive, se o enunciado do exercício não falar nada, considere estar diante de uma série postecipadas.

Vamos fazer uma pequena alteração em nosso exemplo para trabalhar com uma série ANTECIPADA.

Veja:

“Imagine que alguém vai te pagar 4 parcelas mensais de 2000 reais cada, sendo que a primeira parcela será paga à vista. Considerando uma taxa de juros compostos j = 1% ao mês, qual é o valor atual/presente desta série de pagamentos?”

Neste caso, temos o seguinte esquema de pagamentos:

Temos uma série ANTECIPADA, uma vez que o primeiro pagamento é feito no momento inicial. Como a primeira prestação encontra-se em t = 0, ela não precisa ser dividida por (1 + j)^t, pois ela já representa o seu próprio valor presente. Até porque (1 + j)⁰=1, para qualquer valor de j. Assim, temos que:

= + + +

+ ¹ + ² + ³

2000 2000 2000

2000 (1 0,01) (1 0,01) (1 0,01) VP

Isto é, temos um pagamento à vista de 2000 reais e uma série postecipada de n = 3 pagamentos de P = 2000 reais ao mês, com j = 1%. Ou seja:

= 2000 +

 2000

VP a

Consultando na tabela de “fator de valor atual de uma série de pagamentos iguais”, temos que a3¬1% = 2,940985. Portanto,

= 2000 + 2,940985 2000  = 7881,97 VP

Portanto, o valor atual destes 4 pagamentos é de R$7881,97, ligeiramente superior ao do caso anterior (rendas postecipadas). Isto é esperado, afinal no caso de rendas postecipadas há um pagamento de 2000 reais ao final do 4º mês, enquanto no caso de rendas antecipadas este pagamento é feito no instante inicial, de modo que, ao calcular o valor atual, ele não é “corroído” pela taxa de juros.

Veja como esse assunto já foi cobrado:

FCC – SEFAZ/GO – 2018) O preço à vista de um apartamento é R$ 210.000,00. Jorge fez uma proposta ao proprietário para adquirir esse imóvel pagando-o em três parcelas iguais, a primeira à vista, a segunda após 1 ano e a terceira depois de 2 anos. O proprietário aceitou a proposta, desde que fossem cobrados juros compostos de 100% ao ano sobre o saldo devedor após o pagamento de cada parcela. Nas condições impostas pelo proprietário, o valor de cada uma das três parcelas a serem pagas por Jorge, em reais, deverá ser igual a (A) 120.000,00.

(B) 90.000,00.

(C) 100.000,00.

(D) 70.000,00.

(E) 130.000,00.

RESOLUÇÃO:

O valor presente do apartamento (210.000 reais) deve corresponder ao valor presente das 3 prestações de valor P, uma delas na data inicial, outra após 1 ano e outra após 2 anos. Como a taxa de juros é de 100% ao ano, podemos trazer as prestações para o seu valor presente assim:

210.000 = 𝑃 + 𝑃

1 + 100%+ 𝑃 (1 + 100%)² 210.000 = 𝑃 +𝑃

2+𝑃 4 210.000 = 𝑃 + 0,5𝑃 + 0,25𝑃

210.000 = 1,75𝑃 𝑃 =210.000

1,75 = 120.000 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 Resposta: A

CESPE – CAGE/RS – 2018) Pedro tem uma dívida que pode ser paga à vista por R$ 5.100. Ele recebeu uma proposta do credor para pagar em duas parcelas de R$ 2.700, uma à vista e outra daqui a um mês. Nesse caso, a taxa de juros mensal envolvida nesse parcelamento é de

A) 11,1%.

B) 12,5%.

C) 5,9%.

D) 6,3%.

E) 10%.

RESOLUÇÃO:

Veja que temos um valor presente VP = 5100 reais. Ele vai ser substituído por dois pagamentos de valor P

= 2.700 reais. O primeiro pagamento está em t = 0, portanto este já é o seu valor presente. O segundo pagamento está em t = 1 mês, devendo ser deslocado para a esquerda 1 mês. Igualando os valores presentes do valor à vista com o pagamento parcelado, temos:

5100 = 2700 + 2700 (1 + 𝑗)^𝑡 5100 − 2700 = 2700

(1 + 𝑗)¹ 2400 =2700

1 + 𝑗 24 = 27

1 + 𝑗 1+j = 27 / 24

1+j = 9 / 8 1+j = 1,125

j = 0,125 j = 12,5% am O gabarito está na alternativa B.

Veja uma outra forma de resolver, válida para esta situação onde temos apenas 2 pagamentos, sendo um deles à vista.

Como a primeira parcela foi paga à vista, o cliente sai da loja com a dívida inicial de 5.100 – 2.700 = 2.400 reais = C. Após um mês, o valor a ser pago é o montante M = 2.700. Portanto:

M = C x (1 + j)^t 2700 = 2400 x (1 + j)¹

2700/2400 = 1 + j 1,125 = 1 + j

j = 1,125 – 1 j = 0,125 j = 12,5% ao mês Resposta: B

Imagine agora que você vai comprar uma motocicleta. Na loja, o vendedor te diz: você pode pagar em 4 parcelas mensais de 2000 reais, e só vai pagar a primeira parcela daqui a 3 meses! Considerando a taxa de juros de 1% ao mês, qual é o valor à vista desta motocicleta?

Para resolvermos, visualize o esquema de pagamentos abaixo, onde VP representa o valor à vista:

Veja que a loja nos deu 3 meses de “carência”, isto é, 3 meses até o primeiro pagamento. Neste caso estamos diante de uma série DIFERIDA, pois o prazo de pagamento da primeira prestação é diferido (postergado) para um momento posterior ao final do primeiro período (que seria o “normal”, ou seja, a série postecipada). Para obtermos VP na data 0, devemos seguir os dois passos abaixo:

1 – Imaginar que esta é uma série postecipada “normal”, ou seja, que começa na data t = 2 e tem o primeiro pagamento 1 período para frente (em t = 3). Assim, podemos calcular o valor presente dos 4 pagamentos de 2000 reais na data t = 2. Fazemos isso assim:

1 2 3 4

2000 2000 2000 2000

(1 0,01) (1 0,01) (1 0,01) (1 0,01)

VP = + + +

+ + + +

ou, se for fornecido a4¬1%,

VP = a_{4 1%} x 2000 = 3,901966 x 2000 = 7803,93 reais

Veja que este é exatamente o cálculo feito no caso da série postecipada, estudado anteriormente. Até aqui, temos o seguinte:

2 – Trazer o valor presente da série postecipada da data t = 2 para a data t = 0.

Agora basta trazermos o valor de 7803,93 reais, que está na data t = 2, para a data inicial:

VP = 7803,93 / (1 + 1%)² VP = 7650,16 reais

Pronto. Podemos dizer que os 4 pagamentos de R$2.000,00 cada, começando no 3º mês, correspondem a um pagamento à vista de R$7.650,16. Este é o valor da motocicleta.

Repare que chegamos ao menor valor à vista. Intuitivamente você já deve ter pensado isso: para o cliente, o melhor cenário é aquele onde ele posterga mais os pagamentos (como na série diferida). Para o lojista, o melhor cenário é aquele onde ele antecipa mais os recebimentos (como na série antecipada).

VALOR FUTURO DE SÉRIES DE PAGAMENTOS

Voltemos ao nosso exemplo de 4 recebimentos mensais de R$2000,00 cada, postecipados, e taxa de juros de 1% ao mês. Ao invés de solicitar o valor atual deste fluxo, para uma quitação antecipada da dívida, pode ser que o devedor queira pagar toda a dívida no momento final. Para isto, é importante sabermos calcular o valor futuro (VF) deste fluxo de capitais. Observe que basta multiplicar cada termo por (1 + j)^t, onde t é o intervalo entre a data original do pagamento e o final do período:

Portanto,

1 2 3

2000 2000 (1 1%) 2000 (1 1%) 2000 (1 1%)

VF = +  + +  + +  +

Repare que a última prestação não precisa ser multiplicada por (1+j)^t, uma vez que ela já se encontra na data focal (t = 4).

Ao invés de efetuar o cálculo acima, você pode utilizar uma tabela de “fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos iguais”, simbolizado por sn¬j. Este fator é tal que, sendo P o pagamento/recebimento periódico e VF o valor futuro:

VF = s

x P

A fórmula do fator de acumulação sn¬j é:

𝑠_𝑛¬𝑗 =(1 + 𝑗)^𝑡− 1 𝑗

Consultando uma tabela para n = 4 períodos e j = 1%, teríamos que s4¬1% = 4,060401:

Portanto,

VF = 4,060401 x 2000 = 8120,80 reais

Isto significa que os 4 pagamentos mensais de 2000 reais equivalem a um único pagamento de 8120,80 reais ao final do 4º período. E se, ao invés disso, o devedor se propusesse efetuar um único pagamento ao final de 9 meses? Neste caso, a primeira parte da resolução seria idêntica ao que você já viu acima: levar todos os pagamentos mensais para a data inicial (calculando o valor atual, VP) ou todos os pagamentos para a data final (calculando o valor futuro, VF). Feito isso, bastaria levar este valor total até a data de pagamento, multiplicando-o pelo fator de acumulação de capital (1+j)^t correspondente. Veremos isso em exercícios.

Para começar, tente resolver a questão abaixo:

CESPE – CAGE/RS – 2018) Um pai, preocupado em compor recursos para a educação superior de seu filho, idealizou juntar dinheiro em uma conta investimento que rende 8% ao ano. O pai depositaria, durante nove anos, R$ 24.000 por ano nessa conta, para que o filho fizesse cinco saques de valores iguais, um a cada ano, com o primeiro saque um ano após o último depósito. O saldo remanescente a cada saque ficaria rendendo à mesma taxa até o quinto saque, quando o saldo se anularia. Nessa situação, considerando-se 0,68 e 2 como valores aproximados para (1,08)^-5 e (1,08)⁹, respectivamente, cada saque anual teria o valor de

A R$ 67.100.

B R$ 75.000.

C R$ 150.000.

D R$ 10.500.

E R$ 43.200.

RESOLUÇÃO:

O valor futuro obtido pelos n = 9 depósitos de P = 24.000 reais é dado por:

VF = P x sn¬j

O fator de valor futuro é:

𝑠_𝑛¬𝑗 =(1 + 𝑗)^𝑡− 1 𝑗 Para n = 9 pagamentos e taxa de j = 8%, temos:

𝑠_9¬8%=(1 + 8%)⁹− 1 8%

𝑠_9¬8%=(1,08)⁹− 1 0,08

𝑠_9¬8% =2 − 1 0,08 = 1

0,08=100

8 = 12,5

Assim, o valor futuro é:

VF = 24.000 x 12,5 VF = 300.000 reais

Este valor será sacado em n = 5 prestações de valor P, de modo a zerar o saldo. Ou seja, se trouxermos as 5 prestações P para o valor presente (na data do final dos depósitos), o valor presente encontrado deve ser 300.000 reais. Ou seja,

VP = P x a(n,j) 300.000 = P x a(5,8%)

O fator de valor atual para séries uniformes é:

𝑎_𝑛¬𝑗=1 − (1 + 𝑗)^−𝑛 𝑗

𝑎_5¬8%=1 − (1 + 8%)⁻⁵ 8%

𝑎_5¬8%=1 − (1,08)⁻⁵ 0,08 𝑎_5¬8%=1 − 0,68

0,08 =0,32 0,08=32

8 = 4 Logo, temos:

300.000 = P x 4 P = 75.000 reais Portanto, será possível realizar 5 saques de 75.000 reais cada.

Resposta: B

SÉRIES INFINITAS (PERPÉTUAS)

Quando estudamos as rendas certas ou anuidades, avaliamos casos onde tínhamos n prestações iguais de valor igual a P. E se o número de prestações for infinito? É possível determinar um valor atual para esta série de pagamentos?

Imagine que eu tenha me proposto a pagar R$10,00 mensais para você, perpetuamente (ou, no mínimo, vitaliciamente). Em um dado momento, fico de “saco cheio” de te pagar todo mês aquele valor, e combino contigo de pagar de uma só vez um valor maior, que substitua toda a minha dívida contigo. Qual seria este valor? A fórmula que relaciona uma renda mensal perpétua R = 10 reais, e uma taxa de juros j = 1% ao mês, e o valor atual VP destes pagamentos é:

R = VP x j Portanto,

10 = VP x 1%

VP = 10 / 0,01 = 1000 reais

Isto é, o valor que eu devo te pagar à vista para substituir aquela renda perpétua é de R$1000,00, considerando a taxa de juros j = 1% ao mês. De fato, repare que se você receber estes R$1000 e colocá-lo numa aplicação financeira que rende juros de 1% ao mês, a cada mês os juros produzidos serão de J = 1% x 1000 = 10 reais. Isto é, mensalmente você poderá sacar 10 reais, ao invés de eu ter que transferir esta quantia para você.

Observe ainda a seguinte variação: digamos que você tenha em suas mãos um título de crédito com essas mesmas características, isto é, remuneração mensal (perpétua) de R$10,00. Por quanto você venderia este título a outra pessoa? Aqui, a resposta é a seguinte: o “preço justo” de venda é o valor atual/presente do título, pois, em tese, esta é a melhor forma de valorá-lo. Assim, o preço justo deste título seria de R$1.000,00, a uma

taxa de 1% ao mês, como vimos acima. Qualquer valor acima ou abaixo deste representaria um ganho para o vendedor ou comprador do título.

Veja comigo algumas questões sobre perpetuidade:

CESPE – FUNPRESP – 2016) Com relação às anuidades e aos sistemas de amortização, julgue o item subsequente.

O valor atual de uma perpetuidade emitida hoje, que pague R$ 90 por ano, considerando-se a taxa de juros de 15% ao ano, é igual a R$ 600.

RESOLUÇÃO:

Uma perpetuidade com renda R = 90 reais e taxa de j = 15% ao ano tem o valor presente dado pela fórmula:

R = VP x j 90 = VP x 15%

90 = VP x 15/100 VP = 90 x 100 / 15

VP = 6 x 100 VP = 600 reais Item CORRETO.

Resposta: C

FGV – Contador da Prefeitura de Niteroi – 2015) Uma instituição financeira oferece resgate do valor equivalente às reservas de um plano de benefícios perpétuos em uma única vez. O acordo dará quitação geral e definitiva dos benefícios, com a consequente extinção dos contratos. Para um cliente que recebe R$ 3.000,00 mensais, foi oferecido o valor do pagamento de R$ 60.000,00. Desconsidere impostos e taxas. A taxa mensal de juros compostos praticada pela instituição nesse tipo de operação foi:

(A) 5,0%;

(B) 5,5%;

(C) 7,1%;

(D) 8,0%;

(E) 10,2%

RESOLUÇÃO:

Temos uma renda perpétua R = 3.000 reais/mês que leva a um valor presente de VP = 60.000 reais. A taxa de juros é dada pela relação:

R = VP x j 3.000 = 60.000 x j

j = 3.000 / 60.000 j = 3 / 60 j = 1 / 20 j = 5 / 100 j = 5% ao mês Resposta: A

Imagine agora que você tem um título perpétuo com as seguintes característica: ele paga o valor de R$100 por mês, e eleva este valor à taxa de 1% ao mês, visando evitar o efeito da inflação. Estamos diante de uma renda perpétua com taxa de crescimento. Usamos a letra g para representar a taxa de crescimento (g = 1%).

Sendo j = 2% a taxa de juros, qual seria o valor presente deste título? Agora a nossa fórmula é a seguinte:

R = VP x (j – g)

Repare que a mudança é bem sutil. Substituindo os valores conhecidos:

100 = VP x (2% - 1%) 100 = VP x 0,01

VP = 100 / 0,01 VP = 10.000 reais

Veja essas questões de prova onde a taxa de crescimento se fez presente:

FGV – ISS/NITERÓI – 2015) Para usufruir perpetuamente R$ 2.000,00 por mês, reajustados mensalmente a uma taxa de 6%, o valor da renda um mês antes do primeiro pagamento, supondo taxa de juros de 10% ao mês, é, em reais:

(A) 12.500;

(B) 20.000;

(C) 22.000;

(D) 50.000;

(E) 55.000.

RESOLUÇÃO:

A banca disse que a taxa de juros é de 10%, mas que há um reajuste mensal no valor a ser recebido de 6%. Isto é, não vou receber perpetuamente 2.000 reais, e sim 2.000 reais no primeiro mês, 2.120 (que é 6% a mais que 2000) no segundo etc.

Sempre que há uma taxa de crescimento ou de reajuste da renda perpétua, devemos fazer um pequeno ajuste em nossa fórmula, escrevendo:

R = VP x (j – g)

Nesta fórmula, R é a renda perpétua, VP é o valor presente, j a taxa de juros e g a taxa de crescimento. Neste exercício, a taxa de crescimento é g = 6%. Assim, podemos substituir na fórmula os valores conhecidos, ficando com:

2.000 = VP x (10% - 6%) VP = 2.000 / (10% – 6%)

VP = 2.000 / 4%

VP = 2.000 / 0,04 VP = 200.000 / 4 VP = 50.000 reais Resposta: D

CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2015) Um gestor deparou com a necessidade de calcular o valor presente de uma série perpétua de fluxos de caixa. Ele não sabia se calcularia considerando um fluxo constante ou com uma taxa de crescimento de 0,5% ao período. A taxa de desconto a ser utilizada no cálculo é de 1% ao período. Sendo assim, a razão entre o resultado do cálculo do valor presente da série com crescimento e do valor presente da série constante é igual a

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

RESOLUÇÃO:

Suponha que temos uma série com renda mensal igual a R. Temos a taxa j = 1% ao período. Calculando o valor presente desta série (sem crescimento), temos:

R = VP x j VP = R / j VP = R / 0,01

VP = 100 R

Considerando agora a taxa de crescimento g = 0,5%, temos:

R = VP x (j – g) VP = R / (j – g) VP = R / (1% - 0,5%)

VP = R / 0,5%

𝑉𝑃 = 𝑅 0,5 100 𝑉𝑃 =100𝑅

0,5 𝑉𝑃 = 200𝑅

Portanto, perceba que o valor presente da série dobrou: foi de 100R para 200R. A razão entre os valores presentes calculados das duas formas é de 200R / 100R = 2.

Resposta: B

Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui?

Questões comentadas pelo professor

1.

Certo investidor realizou uma aplicação financeira no valor de R$16.400,00, durante 4 meses, com uma taxa de juros de 9% ao ano, no regime de juros simples. No final do período de 4 meses, ele resgatou todo o montante e o emprestou a uma pessoa que se comprometeu a liquidar a dívida por meio de duas prestações semestrais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira 1 semestre após a data em que contraiu a dívida. Este empréstimo foi concedido com uma taxa de juros de 5% ao semestre, no regime de juros compostos, considerando o sistema francês de amortização. O valor da amortização da dívida incluído no valor da segunda prestação foi de

(A) R$ 9.084,60 (B) R$ 8.240,00 (C) R$ 8.652,00 (D) R$ 8.662,30 (E) R$ 8.446,00 RESOLUÇÃO:

O montante obtido após os 4 meses de aplicação a juros simples é:

M = C x (1 + jxt) M = 16400 x (1 + 0,09 x 4/12)

Repare que, para igualar as unidades temporais, usei o prazo de t = 4/12 anos no lugar de 4 meses, pois a taxa é anual. Continuando o cálculo:

M =16400 x (1 + 0,36/12) M = 16400 x (1 + 0,03)

M = 16400 x 1,03 M = 16892 reais

Este é o valor presente VP do empréstimo que será pago com duas prestações de valor P. A taxa é de 5% ao semestre, e as prestações são semestrais. Igualando o valor presente das prestações com o valor presente do empréstimo, temos:

16892 = 𝑃

1 + 5%+ 𝑃 (1 + 5%)² 16892 = 𝑃

1,05+ 𝑃 (1,05)²

Multiplicando todos os termos por 1,05², que é o mesmo que 1,1025, temos:

1,1025 𝑥 16892 = 1,05𝑃 + 𝑃

18623,43 = 2,05P P = 9.084,60 reais

No primeiro período, os juros são de 16892 x 5% = 844,60 reais. Assim, a amortização no primeiro período é de 9084,60 – 844,60 = 8240 reais. O saldo devedor fica em 16892 – 8240 = 8652 reais. Este será o valor a ser amortizado na segunda prestação.

Resposta: C

2.

O preço à vista de um apartamento é R$ 210.000,00. Jorge fez uma proposta ao proprietário para adquirir esse imóvel pagando-o em três parcelas iguais, a primeira à vista, a segunda após 1 ano e a terceira depois de 2 anos.

O proprietário aceitou a proposta, desde que fossem cobrados juros compostos de 100% ao ano sobre o saldo devedor após o pagamento de cada parcela. Nas condições impostas pelo proprietário, o valor de cada uma das três parcelas a serem pagas por Jorge, em reais, deverá ser igual a

(A) 120.000,00.

(B) 90.000,00.

(C) 100.000,00.

(D) 70.000,00.

(E) 130.000,00.

RESOLUÇÃO:

O valor presente do apartamento (210.000 reais) deve corresponder ao valor presente das 3 prestações de valor P, uma delas na data inicial, outra após 1 ano e outra após 2 anos. Como a taxa de juros é de 100% ao ano, podemos trazer as prestações para o seu valor presente assim:

210.000 = 𝑃 + 𝑃

1 + 100%+ 𝑃 (1 + 100%)² 210.000 = 𝑃 +𝑃

2+𝑃 4 210.000 = 𝑃 + 0,5𝑃 + 0,25𝑃

210.000 = 1,75𝑃 𝑃 =210.000

1,75 = 120.000 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 Resposta: A

3.

Pedro tem uma dívida que pode ser paga à vista por R$ 5.100. Ele recebeu uma proposta do credor para pagar em duas parcelas de R$ 2.700, uma à vista e outra daqui a um mês.

Nesse caso, a taxa de juros mensal envolvida nesse parcelamento é de A) 11,1%.

B) 12,5%.

C) 5,9%.

D) 6,3%.

E) 10%.

RESOLUÇÃO:

Como a primeira parcela foi paga à vista, o saldo devedor fica em 5.100 – 2.700 = 2.400 reais. Após um mês, o valor a ser pago é de 2.700. Portanto:

(1 )^t VF =VP + j 2700 = 2400 x (1 + j)¹

2700/2400 = 1 + j 1,125 = 1 + j j = 1,125 – 1 j = 0,125 = 12,5% ao mês Resposta: B

4.

João é credor de uma dívida a taxa de juros de 5% ao mês que lhe pagará R$ 1.200 por mês nos próximos 12 meses. O devedor lhe propõe refazer o parcelamento para 18 vezes, oferecendo pagar 6,2% de juros por mês.

Considerando-se 0,56 e 0,34 como aproximações para (1,05)^–12 e (1,062)^–18, respectivamente, é correto afirmar que João terá um fluxo de recebimentos equivalente ao que tem hoje se a nova parcela mensal for

A) inferior a R$ 600.

B) superior a R$ 600 e inferior a R$ 800.

C) superior a R$ 800 e inferior a R$ 1.000.

D) superior a R$ 1.000 e inferior a R$ 1.200.

E) superior a R$ 1.200.

RESOLUÇÃO:

O valor presente do fluxo de n = 12 pagamentos de valor P = 1.200 reais cada à taxa de j = 5% ao mês é dado por:

VP = P x a(n¬j) Onde an¬j = [1 – (1 + j)^-t]/j:

VP =1200 x [1 –(1 + 0,05) ^-12]/0,05 VP = 1.200 x (1 – 1,05^-12)/0,05

VP = 1.200 x (1 – 0,56)/0,05 VP = 1.200 x 0,44/0,05

VP = 10.560 reais

Este deve ser também o valor presente da série de n = 18 pagamentos com taxa de j = 6,2% ao mês. Ou seja, VP = P x a(n,j)

10.560 = P x (1 – 1,062^-18)/0,062 10.560 = P x (1 – 0,34)/0,062

10.560 = P x 0,66/0,062 P = 10.560 x 0,062 / 0,66

P = 992 reais Resposta: C

5.

Um pai, preocupado em compor recursos para a educação superior de seu filho, idealizou juntar dinheiro em uma conta investimento que rende 8% ao ano. O pai depositaria, durante nove anos, R$ 24.000 por ano nessa conta, para que o filho fizesse cinco saques de valores iguais, um a cada ano, com o primeiro saque um ano após o último depósito. O saldo remanescente a cada saque ficaria rendendo à mesma taxa até o quinto saque, quando o saldo se anularia. Nessa situação, considerando-se 0,68 e 2 como valores aproximados para (1,08)^- 5 e (1,08)^9, respectivamente, cada saque anual teria o valor de

A R$ 67.100.

B R$ 75.000.

C R$ 150.000.

D R$ 10.500.

E R$ 43.200.

RESOLUÇÃO:

O valor futuro obtido pelos n = 9 depósitos de P = 24.000 reais é dado por:

VF = P x s(n,j) O fator de valor futuro é:

s(n,j) = [(1+j)n – 1] / j s(9,8%) = [(1,08)^9 – 1] / 0,08

s(9,8%) = [2– 1] / 0,08 s(9,8%) = 1/0,08 = 12,5 Assim, o valor futuro é:

VF = 24.000 x 12,5 VF = 300.000 reais

Este valor será sacado em n = 5 prestações de valor P, de modo a zerar o saldo. Ou seja, se trouxermos as 5 prestações P para o valor presente (na data do final dos depósitos), o valor presente encontrado deve ser 300.000 reais. Ou seja,

VP = P x a(n,j) 300.000 = P x a(5,8%) O fator de valor atual para séries uniformes é:

a(5, 8%) = (1,085 – 1)/(0,08×1,085) Dividindo numerador e denominador por 1,085, ficamos com:

a(5, 8%) = (1 – 1,08-5) / (0,08) a(5, 8%) = (1 – 0,68) / 0,08 = 0,32 / 0,08 = 4 Logo, temos:

300.000 = P x 4 P = 75.000 reais Resposta: C

6.

Uma pessoa tem uma dívida a ser cumprida que é composta das seguintes parcelas:

− Uma parcela de R$ 2.000,00 que vence daqui a um mês.

− Uma parcela de R$ 3.000,00 que vence daqui a 2 meses.

− Uma parcela de R$ 4.000,00 que vence daqui a 3 meses.

A taxa de juros compostos que está sendo cobrada é 4% ao mês. Se a pessoa decidir liquidar integralmente o empréstimo na data de vencimento da parcela de R$ 2.000,00, o valor total que deve ser pago nesta data, desprezando-se os centavos, é em reais,

(A) 8.583,00.

(B) 8.001,00.

(C) 8.560,00.

(D) 8.588,00.

(E) 8.253,00.

RESOLUÇÃO:

O valor atual das prestações é calculado dividindo a parcela a ser paga por (1 + 𝑖)^𝑛. Como a taxa de juros compostos é a mesma para todas as prestações, teremos:

Valor Atual = _(1,04)²⁰⁰⁰₀ + _(1,04)¹³⁰⁰⁰ + _(1,04)²⁴⁰⁰⁰ Valor Atual = 2000 + 2885 + 3698

Valor Atual = 8583 Resposta: A

7.

Um empréstimo foi obtido para ser liquidado em 10 parcelas mensais de R$ 2.000,00, vencendo-se a primeira parcela um mês após a data da obtenção. A taxa de juros negociada com a instituição financeira foi 2% ao mês no regime de capitalização composta. Se, após o pagamento da oitava parcela, o devedor decidir liquidar o saldo devedor do empréstimo nesta mesma data, o valor que deverá ser pago, desprezando-se os centavos, é, em reais,

(A) 3.846,00.

(B) 3.883,00.

(C) 3.840,00.

(D) 3.880,00.

(E) 3.845,00.

RESOLUÇÃO:

Observando o caso sob a ótica de quem pega o empréstimo, vemos que ele assume uma dívida a ser liquidada em 10 pagamentos iguais de 2000 reais. Mas, após o pagamento da 8ª parcela, o devedor decide pagar a 9ª e a 10ª antecipadamente. O valor presente dessas duas parcelas será:

VP = 2.000 / (1,02)¹ + 2.000 / (1,02)² VP = 2.000 / 1,02 + 2.000 / 1,0404

VP = 3.883,12 reais Resposta: B

8.

Para comprar um automóvel, Pedro realizou uma pesquisa em 3 concessionárias e obteve as seguintes propostas de financiamento:

Concessionária 1: Entrada de R$ 12.000,00 + 1 prestação de R$ 29.120,00 para 30 dias após a entrada.

Concessionária 2: Entrada de R$ 13.000,00 + 1 prestação de R$ 29.120,00 para 60 dias após a entrada.

Concessionária 3: Entrada de R$ 13.000,00 + 2 prestações R$ 14.560,00 para 30 e 60 dias após a entrada, respectivamente.

Sabendo que a taxa de juros compostos era 4% ao mês, para a aquisição do automóvel (A) as melhores propostas são 1 e 2, por serem equivalentes.

(B) a melhor proposta é a 1, apenas.

(C) a melhor proposta é a 2, apenas.

(D) a melhor proposta é a 3, apenas.

(E) as melhores propostas são 2 e 3, por serem equivalentes.

RESOLUÇÃO:

Podemos calcular o valor presente de cada proposta para fazer a comparação. Outra possibilidade é calcularmos o valor futuro de todas as propostas na data t = 2 meses (sessenta dias). Esta segunda opção é mais interessante pois evita contas de divisão. Veja como fica o valor futuro de cada caso:

Concessionária1 = 12.000 x 1,04² + 29120×1,04 = 43.264 reais Concessionária2 = 13.000 x 1,04² + 29120 = 43.180,80 reais

Concessionária3 = 13.000 x 1,04² + 14.560×1,04 + 14.560 = 43.763,20 reais

Veja que o menor valor futuro é o da Concessionária 2. Esta é a melhor proposta. Veja que o importante é levar todos os pagamentos para a MESMA DATA. Não é necessário levar para a data t = 0 (isto só é necessário se a questão for sobre juros simples).

Resposta: C

9.

A empresa Nova Ltda. contraiu um empréstimo, em um banco comercial, de R$ 150.000,00 e foi contratado para ser pago pelo Sistema Francês (tabela Price) em três prestações anuais à taxa de 15% a.a”. Qual será o valor das prestações?

A) R$ 64.696,54 B) R$ 65.696,54 C) R$ 66.696,54

D) R$ 67.696,54 RESOLUÇÃO:

150.000 = P/1,15 + P/1,15² + P/1,15³

Multiplicando tudo por 1,15³, temos:

150.000 x 1,15³ = Px1,15² + Px1,15 + P 150.000 x 1,5208 = Px1,3225 + Px1,15 + P

228.131,25 = P x (1,3225 + 1,15 + 1) 228.131,25 = P x (3,4725)

P = 228.131,25 / 3,4725 P = 65.696,54 reais Resposta: B

10.

Suponha que João tenha obtido um financiamento de R$ 100,00 à taxa efetiva de 50% ao ano, no regime de juros compostos. Por sua vez, Maria obteve um financiamento de R$ 1000,00 sob as mesmas condições de João. Em ambos os casos, o prazo de operação é de dois anos. As prestações anuais para João e Maria são, respectivamente, iguais a

(A) R$ 100,00 e R$ 1000,00.

(B) R$ 95,00 e R$ 1200,00.

(C) R$ 90,00 e R$ 900,00.

(D) R$ 85,00 e R$ 1000,00.

(E) R$ 80,00 e R$ 800,00.

RESOLUÇÃO:

Já conhecemos o valor do financiamento de João na data futura: 100 reais. Sendo P cada prestação, podemos trazer à data presente, considerando a taxa de j = 50% ao ano. Ficamos com:

100 = P / (1+50%)¹ + P / (1+50%)² 100 = P / 1,5 + P / 1,5² Podemos multiplicar todos os termos por 1,5², ficando:

100×1,5² = 1,5P + P 100×2,25 = 2,5P

225 = 2,5P

P = 90 reais

Esse é o valor da prestação de João. A prestação de Maria será 10 vezes isso (900 reais), afinal ela pegou um empréstimo 10 vezes maior (1000 reais).

Resposta: C

11.

Sabendo-se que um investimento é remunerado a uma taxa efetiva de 10% ao mês, sob o regime de juros compostos, calcule o valor do investimento necessário para garantir um recebimento mensal de R$ 200,00, ao final de cada um dos próximos dois meses.

(A) R$ 350,00.

(B) R$ 340,00.

(C) R$ 345,00.

(D) R$ 347,00.

(E) R$ 344,00.

RESOLUÇÃO:

Podemos trazer os dois recebimentos de 200 reais para a data presente, usando a taxa de 10%am:

VP = 200/(1+10%)¹ + 200/(1+10%)² VP = 200/1,10 + 200/1,10²

VP = 200/1,10 + 200/1,21 VP = 181,81 + 165,28

VP = 347,09 reais Resposta: D

12.

Suponha dois fluxos de caixa de 3 anos, cujas entradas no primeiro e segundo ano são iguais entre si e que, no terceiro ano, a entrada do primeiro fluxo é de R$ 1000,00 e a do segundo é de R$ 500,00. Se o primeiro fluxo de caixa representa as receitas e o segundo as despesas, o valor presente do lucro a uma taxa de 2%, sob o regime de juros compostos é igual aproximadamente a

(A) R$ 530,60.

(B) R$ 520,60.

(C) R$ 500,00.

(D) R$ 470,00

(E) R$ 420,60.

RESOLUÇÃO:

Veja que no primeiro e no segundo ano a receita é igual à despesa, de modo que nesses dois anos o ganho líquido é igual a zero. No terceiro ano o ganho líquido é de 1000 – 500 = 500 reais. Trazendo este ganho para a data presente (t = 0), com a taxa de 2% ao ano, ficamos com:

VP = 500 / (1+2%)³ = 500 / 1,02³ = 500 / 1,0612 = 471,16 reais.

Resposta: D

13.

Uma máquina é adquirida a prazo em três parcelas iguais de R$ 5.000,00. Considerando que a primeira parcela é paga um mês após a compra e que o fornecedor pratica uma taxa de juros de 10% a.m., o preço à vista desta máquina, em R$, é: (Ignore as casas decimais.)

a) 12.434,00.

b) 12.643,00.

c) 13.246,00.

d) 13.034,00.

RESOLUÇÃO:

Para calcular o valor à vista, devemos trazer as 3 prestações para a data inicial:

𝑉𝑃 =5.000

1,10 +5.000

1,10²+5.000 1,10³

𝑉𝑃 =5.000

1,10 +5.000

1,21 +5.000 1,331

𝑉𝑃 = 4545 + 4132 + 3756 = 12433 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 (𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒) Resposta: A

14.

Com relação às anuidades e aos sistemas de amortização, julgue o item subsequente.

O valor atual (VA) de uma anuidade postecipada que pague R$ 200 ao ano, pelo prazo de três anos, à taxa de juros de 5% ao ano, será corretamente calculado pela expressão VA = 200 × (1 + 0,05) + 200 × (1 + 0,05)² + 200 × (1 + 0,05)³ .

RESOLUÇÃO:

ERRADO. Para trazermos os três pagamentos de 200 reais para a data 0, precisamos dividir cada um deles pelo fator (1 + 0,05)^t, e não multiplicar por este fator, como vemos na fórmula do enunciado.

Resposta: E

15.

Um casal deseja adquirir um imóvel e, para tanto, pretende financiar o bem em 10 anos, em prestações mensais e taxa de juros nominal anual de 12%.

A partir dessas informações, julgue os itens a seguir.

( ) Se o valor financiado for de R$ 150.000, e se o casal optar por prestações mensais de valor fixo, essa prestação não ultrapassará R$1.500, valor que corresponde aos infinitos termos de uma perpetuidade.

RESOLUÇÃO:

Repare que a prestação de 1.500 reais é realmente a renda perpétua que seria obtida a partir do valor presente de 150.000 reais aplicado à taxa de 1%am. Basta lembrar que, nas rendas perpétuas:

R = VP x j R = 150.000 x 1%

R = 1.500 reais

Na renda perpétua o prazo de pagamento é INFINITO. No financiamento do casal, o prazo é finito. Ou seja, o casal vai ter que pagar a dívida em um tempo MENOR do que a perpetuidade, o que obriga as prestações a serem MAIORES que as da perpetuidade. Ou seja, certamente as prestações do casal serão SUPERIORES a 1.500 reais por mês. Item ERRADO.

Resposta: E

16.

Uma casa foi colocada à venda por R$ 120.000 à vista, ou em três parcelas, sendo a primeira de R$ 20.000 no ato da compra e mais duas mensais e consecutivas, sendo a primeira no valor de R$ 48.000 a ser pago um mês após a compra e a segunda, no final do segundo mês, no valor de R$ 72.000. Se a taxa de juros compostos na venda parcelada for de 20% ao mês, a melhor opção de compra é pela compra parcelada.

RESOLUÇÃO:

Trazendo as prestações para a data presente, com a taxa de 20% ao mês:

VP = 20.000 + 48.000 / 1,20 + 72.000 / 1,202 VP = 20.000 + 48.000 / 1,20 + 72.000 / 1,44

VP = 20.000 + 40.000 + 50.000 VP = 110.000 reais

Veja que o valor presente das prestações é MENOR do que o valor à vista. Ou seja, a melhor opção de compra é parcelada. Item CERTO

Resposta: C

17.

João comprou um equipamento, cujo preço à vista era de R$ 800, em duas prestações mensais, consecutivas e distintas. A primeira prestação, de R$ 440, foi paga um mês após a compra, e a taxa de juros compostos desse negócio foi de 10% ao mês. Nessa situação, o valor da segunda prestação foi superior a R$ 480.

RESOLUÇÃO:

O valor presente das duas prestações deve igualar o valor à vista. Chamando de P o valor da segunda prestação, temos que:

800 = 440/(1+10%) + P/(1+10%)² 800 = 440/1,10 + P/1,21

800 = 400 + P/1,21 400 = P / 1,21 P = 400 x 1,21 = 484 reais (superior a 480 – Item CERTO) Resposta: C

18.

Carla, que planeja viajar daqui a seis meses, realizará, a partir de hoje, seis depósitos mensais de R$ 2.000 em uma conta que rende 1% de juros líquidos ao mês, para custear as despesas da viagem programada para durar seis meses. Durante a viagem, ela pretende realizar seis saques mensais e iguais da conta em questão. A viagem ocorrerá no mês seguinte ao último depósito, ocasião em que fará o primeiro saque.

Nessa situação hipotética, considerando-se 1,0615 como valor aproximado para (1,01)⁶, o valor do saque mensal que esgotará o saldo da conta após o sexto saque é igual a

A) R$ 2.102.

B) R$ 2.085.

C) R$ 2.020.

D) R$ 2.000.

E) R$ 2.123.

RESOLUÇÃO:

Vamos calcular o valor futuro de n = 6 depósitos mensais de valor P = 2.000 reais cada, considerando a taxa j = 1% ao mês. Para isso, o fator de acumulação de capital é:

s(n,j) = [(1+j)ⁿ – 1] / j

s(6,1%) = [(1,01)⁶ - 1] / 0,01 = [1,0615 - 1] / 0,01 = 6,15 Portanto, o valor futuro é:

VF = s(n,j) x P VF = 6,15 x 2.000 VF = 12.300 reais

Portanto, logo após o sexto depósito Carla terá 12.300 reais. Um mês após esta data ela começará a resgatar n

= 6 saques de valor “P”. Esses saques devem ter o mesmo valor presente do montante acumulado (12.300), considerando a taxa de 1%am novamente. Assim,

VP = a(n,j) x P 12.300 = a(6,1%) x P a(n,j) = [(1+j)ⁿ-1] / [j.(1+j)ⁿ] a(6,1%) = [(1,01)⁶ - 1] / [0,01.(1,01)⁶] a(6,1%) = [1,0615 - 1] / [0,01.1,0615]

a(6,1%) = 0,0615 / 0,010615 a(6,1%) = 615 / 106,15 Assim,

12.300 = a(6,1%) x P 12.300 = (615/106,15) x P

P = 106,15 x 12.300 / 615 P = 106,15 x 20 P = 212,30 x 10 P = 2123,0 reais Resposta: E

19.

Com relação às anuidades e aos sistemas de amortização, julgue o item subsequente.

O valor atual de uma perpetuidade emitida hoje, que pague R$ 90 por ano, considerando-se a taxa de juros de 15% ao ano, é igual a R$ 600.

RESOLUÇÃO:

Uma perpetuidade com renda R = 90 reais e taxa de j = 15% ao ano tem o valor presente dado pela fórmula:

R = VP x j 90 = VP x 15%

90 = VP x 15/100 VP = 90 x 100 / 15

VP = 6 x 100 VP = 600 reais Item CORRETO.

Resposta: C

20.

Uma pessoa deve a um credor três parcelas mensais consecutivas de mesmo valor nominal R$ 1.000,00 cada, a primeira a vencer daqui a 30 dias. Deseja hoje substituí-las por dois pagamentos iguais entre si, um com vencimento para daqui a 2 meses e outro para daqui a 4 meses. Utilizando o critério do desconto racional composto, com taxa de 5% ao mês, o valor X de cada uma dessas duas prestações, em reais, é tal que

(A) 1 585 < X < 1 590 (B) 1 570 < X < 1 575 (C) 1 590 < X < 1 595 (D) 1 575 < X < 1 580 (E) 1 580 < X < 1 585 RESOLUÇÃO:

Vamos chamar de P o valor de cada uma das duas prestações que serão utilizadas em substituição ao esquema de pagamentos original. Veja que para comparar os dois esquemas de pagamentos precisamos levar todas as prestações para a mesma data. Uma possibilidade todos os pagamentos para a data t = 4 meses. Para fazer isso devemos multiplicar cada valor por 1 + 5%, ou seja, 1,05, quantas vezes for necessário para levar até a data focal que decidimos. Fazendo isso podemos igualar os valores das duas séries de pagamentos:

P + Px1,05² = 1.000x1,05³ + 1.000x1,05² + 1.000x1,05¹ P + Px1,1025 = 1.157,625 + 1.102,5 + 1.050

2,1025P = 1.157,625 + 1.102,5 + 1.050 P = (1.157,625 + 1.102,5 + 1.050) / 2,1025

P = 1.574,37 reais Resposta: B

21.

Para quitar uma dívida que apresenta na data de hoje o valor de R$ 77.000,00, um empresário deverá efetuar um pagamento de P reais daqui a um ano e outro de 2P reais daqui a 2 anos. Considerando o critério do desconto racional composto a uma taxa de 8% ao ano, obtém-se que P é igual a

(A) R$ 27.000,00 (B) R$ 29.160,00 (C) R$ 30.326,40 (D) R$ 31.492,80 (E) R$ 32.659,20 RESOLUÇÃO:

Levando todos os valores para a data do segundo pagamento (t = 2), sabemos que o valor da dívida deve ser igual ao valor obtido com as duas prestações. Isto é,

77.000 x 1,08² = P x 1,08 + 2P 77.000 x 1,1664 = P x (1,08 + 2)

89.812,80 = 3,08P P = 89.812,8 / 3,08 P = 29.160 reais Resposta: B

22.

VP = Valor Presente, VF = Valor Futuro e PMT = valor das prestações iguais de uma série uniforme.

Considerando uma taxa de juros i sob o regime de juros compostos, o PMT pode ser obtido por meio de (A) {VF [(1 + i)ⁿ – 1]} / i

(B) {VP [i(1 + i)ⁿ ]} / (1 + i)ⁿ (C) {VP [(1 + i)ⁿ – 1]} / [i(1 + i)ⁿ] (D) {VP [i(1 + i)ⁿ ]} / [(VF/VP) – 1]

(E) {VP [i(1 + i)ⁿ – 1]} / [(VF/VP)]

RESOLUÇÃO Vimos que:

(1 ) (1 ) 1

n n

j j

P VP

j

=   +

+ − Usando as letras fornecidas:

=   +

+ − (1 ) (1 ) 1

n n

i i

PMT VP i

Lembrando que VF = VP x (1+i)ⁿ, temos que VF/VP = (1+i)ⁿ, ficando com:

=   +

− (1 )

/ 1

i i n

PMT VP

VF VP Resposta: D

23.

Um comerciante vende seus produtos em duas parcelas mensais e iguais, sendo a primeira com vencimento em 30 dias após a compra. Os clientes se recusam a pagar à vista sem desconto. Se para o comerciante o dinheiro rende 25% ao mês, o máximo de desconto que pode ser oferecido, de modo a tornar financeiramente indiferente para ele a alternativa escolhida pelos clientes é, aproximadamente:

(A) 25%;

(B) 26%;

(C) 27%;

(D) 28%;

(E) 29%.

RESOLUÇÃO:

Podemos trazer os dois pagamentos futuros para a data presente usando a taxa de desconto j = 25% ao mês.

Ficamos com:

VP = P/1,25 + P/1,25² VP = P/(5/4) + P / (5/4)² VP = 4P/5 + (4P/5) / (5/4)

VP = 0,8P + 0,8P / (5/4) VP = 0,8P + 0,8P x 4/5

VP = 0,8P + 0,64P VP = 1,44P

Repare que o preço sem desconto seria P + P = 2P. Com a taxa de desconto de 25%, o valor presente passa a ser de 1,44P. Assim, temos um desconto de 2P – 1,44P = 0,56P. Percentualmente, este desconto é de:

Percentual = 0,56P / 2P = 0,56 / 2 = 0,28 = 28%

Portanto, considerando a taxa de 25% ao mês, dar um desconto de 28% à vista é o mesmo que cobrar duas prestações sem desconto.

Resposta: D

24.

Para usufruir perpetuamente R$ 2.000,00 por mês, reajustados mensalmente a uma taxa de 6%, o valor da renda um mês antes do primeiro pagamento, supondo taxa de juros de 10% ao mês, é, em reais:

(A) 12.500;

(B) 20.000;

(C) 22.000;

(D) 50.000;

(E) 55.000.

RESOLUÇÃO:

Repare que estamos diante de uma questão de rendas perpétuas, onde costumamos usar a fórmula R = VP x j.

Há um detalhe importante nessa questão que a diferencia. A banca disse que a taxa de juros é de 10%, mas que há um reajuste mensal no valor a ser recebido de 6%. Isto é, não vou receber perpetuamente 2.000 reais, e sim 2.000 reais no primeiro mês, 2.120 (que é 6% a mais que 2000) no segundo etc.

Sempre que há uma taxa de crescimento ou de reajuste da renda perpétua, devemos fazer um pequeno ajuste em nossa fórmula, escrevendo:

R = VP x (j – g)

Nesta fórmula, R é a renda perpétua, VP é o valor presente, j a taxa de juros e g a taxa de crescimento. Neste exercício, a taxa de crescimento é g = 6%. Assim, podemos substituir na fórmujla os valores conhecidos, ficando com:

2.000 = VP x (10% - 6%) VP = 2.000 / (10% – 6%)

VP = 2.000 / 4%

VP = 2.000 / 0,04 VP = 200.000 / 4 VP = 50.000 reais Resposta: D

25.

Um indivíduo precisa pagar três parcelas para quitar a compra de um terreno. São cobrados juros compostos de 30% ao semestre. As parcelas são de R$ 120.000,00; R$ 180.000,00 e R$ 338.000,00 e vencem em seis meses, um ano e dois anos, respectivamente. Esses três pagamentos podem ser substituídos por um único pagamento, daqui a um ano, no valor, em reais, de:

(A) 458.461,54;

(B) 518.461,54;

(C) 536.000,00;

(D) 596.000,00;

(E) 638.000,00.

RESOLUÇÃO:

Para levar todos os pagamentos para t = 2 semestres (isto é, um ano), devemos adiantar o primeiro pagamento em 1 semestre, retornar o terceiro pagamento em 2 semestres, e adicionar ao segundo pagamento (que já está em t = 2 semestres). Assim:

VP (em t = 2 semestres) = 120.000×1,30 + 180.000 + 338.000 / 1,30² VP (em t = 2 semestres) = 12.000×13 + 180.000 + 338.000 / 1,69 VP (em t = 2 semestres) = 156.000 + 180.000 + 2×169.000 / 1,69

VP (em t = 2 semestres) = 156.000 + 180.000 + 2×100.000 VP (em t = 2 semestres) = 156.000 + 180.000 + 200.000

VP (em t = 2 semestres) = 536.000 reais Resposta: C

26.

Um empréstimo no valor de R$ 163.982,69 deve ser pago em 18 prestações iguais de R$ 10.000,00, vencendo a primeira um período após a liberação dos recursos seguindo o Sistema francês de amortização - tabela Price.

Os juros são de 1% ao período. Após o pagamento da 9ª prestação, o estado da dívida é, em reais, de:

Utilize: 0,01⁻⁹ = 0,91 a) 81.000;

b) 81.990;

c) 82.800;

d) 90.000;

e) 94.710.