Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho

(1)

Algebra Linear - 2 ´

^a

lista de exerc´ıcios Prof. - Juliana Coelho

1 - Verifique que os conjuntos V abaixo com as opera¸cões dadas não são espa¸cos vetoriais, explicitando a falha em alguma das propriedades.

(a) V =R² com opera¸c˜oes

{ (x, y)⊕(x^′, y^′) = (x−x^′, y−y^′) k⊙(x, y) = (kx, ky) ; (b) V =R² com opera¸c˜oes

{ (x, y)⊕(x^′, y^′) = (x+x^′, y+y^′) k⊙(x, y) = (k+x, k+y) ; (c) V =R³ com opera¸c˜oes

{ (x, y, z)⊕(x^′, y^′, z^′) = (x+x^′, y+y^′, 0) k⊙(x, y, z) = (kx, ky, 0) ; (d) V =M₂_×₂ com opera¸c˜oes

{ A⊕A^′ = A·A^′

k⊙A = kA , onde A e A^′ s˜ao matrizes 2×2;

(e) V = {(x, y) ∈ R²|y = x²} com as opera¸c˜oes

{ (x, y)⊕(x^′, y^′) = (x+x^′, y+y^′) k⊙(x, y) = (kx, ky) , isto ´e, as opera¸c˜oes usuais doR².

2 - Considere o conjunto V ={(x, y)∈R²|y=x²} com as opera¸c˜oes

(x, y)⊕(x^′, y^′) = (x+x^′, y+y^′ + 2xx^′) e k⊙(x, y) = (kx, k²y),

onde (x, y), (x^′, y^′)∈V e k ∈R. O objetivo deste exerc´ıcio é mostrar que V é um espa¸co vetorial com estas opera¸cões.

(a) (Propriedade EV3) Verifique (0,0) est´a em V e satisfaz (x, y)⊕(0,0) = (x, y) para todo (x, y)∈V. Isso mostra que (0,0) ´e o elemento neutro de V.

(b) (Propriedade EV4) Dado um vetor (x, y) ∈V, verifique que (−x, y) est´a em V e que (x, y)⊕(−x, y) = (0,0). Isso mostra que (−x, y) ´e o inverso aditivo de (x, y). (Vocˆe precisar´a usar o fato de que (x, y)∈V e logoy=x².)

(c) (Propriedade EV6) Dados (x, y)∈V ek, l∈R mostre que (k+l)⊙(x, y) = (k⊙(x, y))⊕(l⊙(x, y)).

(Aqui também você precisará usar o fato de que para (x, y)∈V temosy =x².) (d) Mostre que as propriedades EV1, EV2, EV5, EV7 e EV8 são válidas e conclua queV

´

e um espa¸co vetorial com as opera¸c˜oes dadas.

(2)

3 - Determine se os conjuntos W abaixo são subespa¸cos vetoriais do espa¸co vetorial V dado, onde V é considerado com suas opera¸cões usuais.

(a) V =R² e W ={(x, y)∈R²|x+ 2y= 3};

(b) V =R³ e W ={(x, y, z)∈R³|x= 3y, z =−y}; (c) V =M2×2 e W ={A ∈M2×2|A´e matriz sim´etrica};

(Lembre que M_m_×_n ´e o espa¸co vetorial das matrizes de ordem m×n.) (d) V =R² e W ={(x, y)∈R²|y=x²};

(e) V =R³ e W ={(x, y, z)∈R³|x+y+z ≥ −1}; (f) V =P₃ e W ={a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀ ∈P₃|a₂ = 1};

(Lembre que P_n ´e o espa¸co vetorial dos polinˆomios com grau ≤n.) (g) V =P₂ e W ={p(x)∈P₂|p(1) = 0};

(h) V =P₂ e W ={p(x)∈P₂|p(0) = 1};

(i) V =M_2×2 e W ={A ∈M_2×2|A´e invers´ıvel}. 4 - Em cada caso abaixo determine se:

(a) v = (1,2) ´e combina¸c˜ao linear dos vetores v₁ = (0,3) e v₂ = (1,1) em R²;

(b) v = (−1,5,2) é combina¸cão linear dos vetores v₁ = (0,1,1) e v₂ = (1,2,0) emR³; (c) v = (−1,5,2) é combina¸cão linear dos vetores v₁ = (0,1,1) e v₂ = (−1,3,0) emR³; (d) v = (−1,5,2) é combina¸cão linear dos vetores v₁ = (0,1,1), v₂ = (−1,3,0) e v₃ =

(1,2,0) em R³; (e) v =

( −1 3 2 −1

)

´e combina¸c˜ao linear dos vetores v₁ =

( 1 1 1 1

) , v₂ =

( 0 1 3 1

) e v₃ =

( −1 3 0 4

)

em M₂_×₂;

(f) v =x²−x−2 é combina¸cão linear dos vetores v₁ =x²+x ev₂ =x+ 1 emP₂; (g) v =−x²+ 2x+ 3 é combina¸cão linear dos vetores v₁ =x²+x ev₂ =x+ 1 emP₂. 5 - Determine os seguintes subespa¸cos vetoriais de V:

(a) W =⟨(2,3)⟩ subespa¸co de V =R²;

(b) W =⟨(2,3), (1,2), (1,1)⟩ subespa¸co de V =R²;

(3)

(c) W =⟨(0,1,1),(−1,3,0)⟩ subespa¸co de V =R³; (Compare com o exerc´ıcio 4 (c).) (d) W = ⟨(0,1,1), (−1,3,0),(−1,5,2)⟩ subespa¸co de V = R³; (Compare com o item

anterior e com o exerc´ıcio 4 (c).)

(e) W =⟨(1,2,3,4), (4,3,2,1), (−2,1,4,7)⟩subespa¸co de V =R⁴;

(f) W =⟨x²+x, x+ 1⟩ subespa¸co de V =P₂; (Compare com os exerc´ıcios 4 (f) e (g).) (g) W =⟨x²+x+ 1, x+ 1, x−1⟩ subespa¸co de V =P₂;

(h) W =

⟨( 1 1 1 1

) ,

( −1 3 0 4

) ,

( 0 4 1 5

) ,

( 0 2 3 0

)⟩

subespa¸co de V =M₂_×₂.

6 - Determine se os conjuntos abaixo s˜ao linearmente dependentes ou independentes:

(a) {(1,0,1), (0,1,3)} vetores de R³;

(b) {(62,−17), (21·10³¹⁸,3π)} vetores de R²;

(c) {x²+ 3x−1, 2x²−x, x²−4x+ 1} vetores de P₂; (d)

{( 1 2 3 2 0 −1

) ,

( 0 1 −2

1 1 0

) ,

( 2 1 0

−2 3 1 )

,

( 3 2 5

−1 2 0 )}

vetores de M₂_×₃; (e) {(−1,5,2), (0,1,1), (1,2,0)} vetores de R³;

(f) {(−1,5,2), (0,1,1), (−1,3,0)} vetores de R³. (Compare com o exerc´ıcio 4 (c).) 7 - Seja V um espa¸co vetorial e sejam u, v, w vetores de V. Suponha que u ´e combina¸c˜ao linear de v e w. Responda os itens abaixo justificando sua resposta:

(a) {u, v, w}´e um conjunto linearmente independente?

(b) u pertence ao subespa¸co ⟨v, w⟩? (c) 3u pertence ao subespa¸co ⟨v, w⟩?

(d) v−3u+ 2w pertence ao subespa¸co ⟨v, w⟩?

(e) supondo quev e ws˜ao linearmente independentes e que u=v+ 2w, ent˜aou pertence ao subespa¸co ⟨v−3u+ 2w, w⟩?

(f) supondo quev ews˜ao linearmente independentes e que u= 1

3v+ 2w, ent˜aoupertence ao subespa¸co ⟨v−3u+ 2w, w⟩?

(4)

Gabarito:

1^a QUEST ˜AO:

(a) EV1 falha pois temos (x, y)⊕(x^′, y^′)̸= (x^′, y^′)⊕(x, y) em geral;

(b) EV8 falha pois 1⊙(x, y) = (1 +x,1 +y)̸= (x, y). Al´em disso, as propriedades EV5, EV6 e EV7 tamb´em falham;

(c) EV3 falha pois não existe elemento nulo, já que após qualquer soma a terceira coorde- nada do vetor é zero;

(d) EV1 falha pois o produto de matrizes não é comutativo, isto é, A·A^′ ̸=A^′·A.

Vejamos que EV4 também falha. Para isso note primeiro que EV3 funciona, isto é, existe um elemento nulo para a opera¸cão⊕, já que I =

( 1 0 0 1

)

´

e tal que A⊕I =A·I =A e I⊕A=I·A=A.

Agora, como nem toda matriz ´e invers´ıvel, isto ´e, dado A ∈M₂_×₂, nem sempre existe uma matriz inversa A⁻¹ tal que A·A⁻¹ = I, vemos que nem sempre existe o inverso aditivo de elementos de V com respeito a ⊕. Assim a propriedade EV4 falha.

(e) EV4 falha j´a que o inverso aditivo de um vetor (x, y) ∈ V deveria ser (−x,−y), que n˜ao pertence a V.

2^a QUEST ˜AO:

(a) É óbvio que (0,0) está em V já que 0² = 0. Além disso, temos (x, y)⊕(0,0) = (x+ 0, y+ 0 + 2·x·0) = (x, y);

(b) Dado (x, y) ∈ V temos que y = x² por defini¸cão. Deste modo, vemos que (−x, y) também está em V pois (−x)² =x² =y. Al´em disso, temos

(x, y)⊕(−x, y) = (x−x, y+y+ 2·x·(−x))

= (0,2y−2x²)

= (0,2(y−x²))

= (0,0), pois y=x². (c) Para (x, y)∈V ek, l∈R temos

(k+l)⊙(x, y) = ((k+l)x, (k+l)²y)

= ((k+l)x, (k²+l²+ 2kl)y)

(5)

e por outro lado, temos

(k⊙(x, y))⊕(l⊙(x, y)) = (kx, k²y)⊕(lx, l²y)

= (kx+lx, k²y+l²y+ 2·(kx)·(lx))

= ((k+l)x, k²y+l²y+ 2klx²)

= ((k+l)x, k²y+l²y+ 2kly), pois x² =y

= ((k+l)x,(k² +l²+ 2kl)y).

Assim vemos que (k+l)⊙(x, y) = (k⊙(x, y))⊕(l⊙(x, y)).

(d) Para a (EV1) temos

(x, y)⊕(x^′, y^′) = (x+x^′, y+y^′+ 2xx^′) = (x^′+x, y^′+y+ 2x^′x) = (x^′, y^′)⊕(x, y).

Para a (EV2) temos

(x, y)⊕((x^′, y^′)⊕(x^′′, y^′′)) = (x, y)⊕(x^′+x^′′, y^′+y^′′+ 2x^′x^′′)

= (x+x^′+x^′′, y+y^′ +y^′′+ 2x^′x^′′+ 2xx^′+ 2xx^′′), e ((x, y)⊕(x^′, y^′))⊕(x^′′, y^′′) = (x+x^′, y+y^′+ 2xx^′)⊕(x^′′, y^′′)

= (x+x^′+x^′′, y+y^′ +y^′′+ 2x^′x^′′+ 2xx^′+ 2xx^′′).

Para a (EV5) temos

k⊙((x, y)⊕(x^′, y^′)) = k⊙(x+x^′, y+y^′+ 2xx^′)

= (k(x+x^′′), k²(y+y^′+ 2xx^′)), e (k⊙(x, y))⊕(k⊙(x^′, y^′)) = (kx, k²y)⊕(kx^′, k²y^′)

= (kx+kx^′, k²y+k²y^′ + 2(kx)(kx^′))

= (k(x+x^′), k²(y+y^′ + 2xx^′)).

Para a (EV7) temos

(kl)⊙(x, y) = (klx,(kl)²y)

= (klx, k²l²y), e k⊙(l⊙(x, y)) = k⊙(lx, l²y)

= (klx, k²l²y).

Para a (EV8) temos

1⊙(x, y) = (1·x,1²·y) = (x, y).

3^a QUEST ˜AO:

(a) W não é subespa¸co linear de V pois o elemento nulo de V que é (0,0) não está emW;

(6)

(b) W é subespa¸co linear de V, pois é o conjunto solu¸cão de um sistema linear, a saber o

sistema {

x −3y = 0

y +z = 0

Outra forma de ver que W ´e subespa¸co de V ´e escrever W como W ={(3t, t,−t)| t∈R}.

Assim, tomamos dois vetores de W, digamos w₀ = (3t₀, t₀,−t₀) ew₁ = (3t₁, t₁,−t₁) e um escalar k ∈R. Temos que:

* com t= 0 vemos que o elemento nulo (0,0,0) de V est´a em W;

* w₀+w₁ = (3(t₀+t₁), t₀+t₁,−(t₀+t₁)) est´a em W com t=t₀+t₁;

* k·w₀ = (3(kt₀), kt₀,−kt₀) est´a emW com t =kt₀.

(c) W é subespa¸co vetorial de V. De fato, note primeiro que as matrizes simétricas de ordem 2×2 são da forma

( a b b c

)

com a, b, c∈R. Assim, temos:

* o elemento nulo de M₂_×₂ que ´e

( 0 0 0 0

)

está emW, isto é, é uma matriz simétrica;

* tome A eA^′ elementos de W, ent˜ao estas matrizes s˜ao da forma A=

( a b b c

)

e A^′ =

( a^′ b^′ b^′ c^′

) .

Assim A+A^′ =

( a+a^′ b+b^′ b+b^′ c+c^′

)

é simétrica e logo está em W;

* tome um escalar k ∈ R e um vetor A ∈ W, ent˜ao temos A =

( a b b c

)

. Assim k·A=

( ka kb kb kc

)

´

e sim´etrica e logo est´a em W.

(d) Já vimos no exerc´ıcio 1(e) que W não é espa¸co vetorial com as opera¸co˜es usuais, logo não pode ser subespa¸co de R². Outra forma de ver isso é notar que w = (1,1) ∈ W mas com k = 2 temos k·(1,1) = (2,2)̸∈W.

(e) W não é subespa¸co de V = R³ pois a soma de dois vetores w e w^′ de W não necessariamente está em W. Por exemplo tome w = (−1,0,0) e w^′ = (0,−1,0), temos w, w^′ ∈W mas w+w^′ = (−1,−1,0) não está em W.

Outro modo de ver que W não é subespa¸co de V é notar que a multiplica¸cão por escalar de um vetor de W não necessariamente cai em W. Por exemplo tome w = (−1,0,0)∈W, então com k = 2 temos k·w= (−2,0,0)̸∈W.

(7)

(f) W não é subesp¸co de V = P₃ pois o vetor nulo de P₃ que é o polinômio nulo 0 = 0x³+ 0x² + 0x+ 0 não está em W, já que seu termo de grau 2 não é 1;

(g) W ´e subespa¸co de V =P₂. De fato:

* o vetor nulo de P₂ ´e 0 = 0x²+ 0x+ 0 que est´a em W;

* tome p(x) e q(x) em W, isto ´e, temos p(1) = q(1) = 0. Ent˜ao a soma h(x) = p(x) +q(x) satisfazh(1) = p(1) +q(1) = 0 + 0 = 0, e logo est´a em W;

* tome um escalar k ∈ R e um vetor p(x) ∈ W, isto ´e, p(1) = 0. Ent˜ao o produto g(x) = k·p(x) est´a em W pois g(1) =k·p(1) =k·0 = 0.

(h) W não é subespa¸co de V pois o vetor nulo de V que é 0x²+ 0x+ 0 não está em W; (i) W não é subespa¸co deV =M2×2já que o vetor nulo deM2×2, que é a matriz

( 0 0 0 0

) , não é invers´ıvel e logo não está em W.

4^a QUEST ˜AO:

(a) Sim, v = ¹₃v₁+v₂; (b) N˜ao;

(c) Sim, v = 2v₁+v₂;

(d) Sim, v = 2v₁+v₂ + 0v₃ (existem outras formas de escrever v);

(e) N˜ao;

(f) Sim, v =v₁ −2v₂; (g) Sim, v =−v1+ 3v2. 5^aQUEST ˜AO:

(a) W ´e a reta em R² passando pela origem e com a dire¸c˜ao do vetor v = (2,3). Temos W ={(x, y)∈R²|3x−2y= 0}={(2t,3t)|t∈R};

(b) W =R²;

(c) W = {(x, y, z) ∈ R³|3x +y − z = 0}. Usando esta informa¸cão é fácil ver que v = (−1,5,2)∈W, já que este vetor satisfaz a equa¸cão deW, isto é, 3·(−1)+5−2 = 0;

(d) W = {(x, y, z) ∈ R³|3x + y − z = 0}. Como o vetor (−1,5,2) j´a estava em

⟨(0,1,1), (−1,3,0)⟩, os subespa¸cos dos itens (c) e (d) devem realmente ser iguais;

(e) W ={(x₁, x₂, x₃, x₄)∈R⁴|x₁−2x₂+x₃ = 0 e 2x₁ −3x₂+x₄ = 0};

(8)

(f) W = {a₂x² +a₁x+a₀ ∈ P₂|a₁ = a₀ +a₂}. Usando esta informa¸cão é fácil ver que x²−x−2 e −x²+ 2x+ 3 são combina¸cões lineares dos vetores x²+xe x+ 1 pois em ambos os polinômios o termo de grau 1 é a soma dos termos de graus 0 e 2.

(g) W =P₂; (h) W =

{( a b c d

)

∈M₂_×₂|a+ 3b−2c−2d= 0 }

. 6^a QUEST ˜AO:

(a) Os dois vetores são linearmente independentes (LI) já que não são múltiplos um do outro;

(b) Os dois vetores são linearmente independentes (LI) já que não são múltiplos um do outro;

(c) Escrevendo o vetor nulo de P₂ como combina¸c˜ao linear dos trˆes vetores do conjunto, temos

0x²+ 0x+ 0 = a(x²+ 3x−1) +b(2x²−x) +c(x²−4x+ 1)

= (a+ 2b+c)x²+ (3a−b−4c)x+ (−a+c), com a, b, c∈R. Por igualdade de polinˆomios, obtemos o sistema linear

(∗)





a +2b +c = 0 3a −b −4c = 0

−a +c = 0

Para determinar se o conjunto é linearmente dependente ou independente, precisamos saber se o sistema (∗) tem infinitas ou uma única solu¸cão. Resolvendo o sistema, temos

M =



 1 2 1 0 3 −1 −4 0

−1 0 1 0



−→M^′ =



 1 2 1 0 0 −1 −1 0

0 0 0 0



,

onde realizamos as opera¸cões elementares: L₂ 7→L₂−3L₁, L₃ 7→L₃+L₁,L₂ 7→ ¹₇L₂, L₃ 7→ L₃ + 2L₂. Pela matriz M^′ vemos que o sistema tem infinitas solu¸cões e logo o conjunto é linearmente dependente (LD).

(d) Escrevendo o vetor nulo de M₂_×₃ como combina¸c˜ao linear dos quatro vetores do conjunto, temos

( 0 0 0 0 0 0

)

= a

( 1 2 3 2 0 −1

) +b

( 0 1 −2

1 1 0

) +c

( 2 1 0

−2 3 1 )

+d

( 3 2 5

−1 2 0 )

=

( a+ 2c+ 3d 2a+b+c+ 2d 3a−2b+ 5d 2a+b−2c−d b+ 3c+ 2d −a+c

)

(9)

com a, b, c, d∈R. Por igualdade de matrizes, obtemos o sistema linear

(∗)











a +2c +3d = 0

2a +b +c +2d = 0

3a −2b +5d = 0

2a +b −2c −d = 0 b +3c +2d = 0

−a +c = 0

Para determinar se o conjunto é linearmente dependente ou independente, precisamos saber se o sistema (∗) tem infinitas ou uma única solu¸cão. Resolvendo o sistema, temos

M =







1 0 2 3 0

2 1 1 2 0

3 −2 0 5 0

2 1 −2 −1 0

0 1 3 2 0

−1 0 1 0 0







−→M^′ =







1 0 2 3 0

0 1 −3 −4 0 0 0 −3 −3 0 0 0 0 −2 0

0 0 0 0 0





 ,

onde realizamos as seguintes opera¸c˜oes elementares: L₂ 7→ L₂−2L₁, L₃ 7→ L₃ −3L₁, L₄ 7→L₄−2L₁,L₆ 7→L₆+L₁,L₃ 7→L₃+ 2L₂,L₄ 7→L₄−L₂,L₅ 7→L₅−L₂,L₃ ↔L₄, L₄ 7→L₄−4L₃, L₅ 7→L₅+ 2L₃ e L₆ 7→L₆+L₃.

Pela matrizM^′ vemos que o sistema tem uma única solu¸cão (que éa=b=c=d= 0) e logo o conjunto é linearmente independente (LI).

(e) Como este conjunto consiste de trˆes vetores em R³, para saber se ´e linearmente dependente ou independente, basta calcular o determinante da matriz:

A=



 −1 0 1 5 1 2 2 1 0





Ora, esta matriz tem determinante igual a

det(A) = −1(0−2)−0(0−4) + 1(5−2) = 2 + 0 + 3 = 5

e logo, como det(A) ̸= 0, vemos que os trˆes vetores s˜ao linearmente independentes (LI).

(f) Como este conjunto consiste de trˆes vetores em R³, para saber se ´e linearmente dependente ou independente, basta calcular o determinante da matriz:

A=



 −1 0 −1

5 1 3

2 1 0





(10)

Ora, esta matriz tem determinante igual a

det(A) = −1(0−3)−0(0−6)−1(5−2) = 3 + 0−3 = 0

e logo, como det(A) = 0, vemos que os trˆes vetores s˜ao linearmente dependentes (LD).

(Note que verificamos no exerc´ıcio 4 itens (b) e (c) que o vetor (−1,5,2) é combina¸cão linear dos vetores (0,1,1) e (−1,3,0), mas não é combina¸cão linear dos vetores (0,1,1) e (1,2,0).)

7â QUEST ÃO: Primeiro notamos que a hipótese de que u é combina¸cão linear de v e w significa que existem a, b∈Rtais que

u=a·v+b·w.

(a) (Não.) Para ver se o conjunto{u, v, w}é linearmente dependente ou independente precisamos ver se existem outros modos de escrever o vetor nulo 0∈V como combina¸cão linear de u, v, w

k₁u+k₂v+k₃w= 0

além da combina¸cão trivial (isto é, com todas os escalaresk₁, k₂, k₃ iguais a zero). Ora, temos

u=av+bw ⇒ u−av−bw = 0

o que significa que, comk1 = 1,k2 =−a ek3 =−b, obtemos uma maneira de escrever 0 como combina¸c˜ao linear de u, v, w distinta da trivial. Assim{u, v, w}´e um conjunto linearmente dependente.

(b) (Sim.) Por defini¸cão o subespa¸co ⟨v, w⟩é o conjunto de todas as combina¸cões lineares dev ew. Como por hipóteseué combina¸cão linear dev ew, entãoupertence a⟨v, w⟩. (c) (Sim.) Precisamos ver se 3ué combina¸cão linear dev ew. Ora, temos queu=av+bw e logo 3u = (3a)v + (3b)w, mostrando que 3u é combina¸cão linear de v e w, ou seja, que 3u pertence a ⟨v, w⟩.

(d) (Sim.) Aqui precisamos ver sev−3u+ 2w´e combina¸c˜ao linear dev ew. Agora, como u=av+bw, temos que

v−3u+ 2w=v −3(av+bw) + 2w= (1−3a)v+ (2−3b)w mostrando que v−3u+ 2w pode ser escrito como combina¸c˜ao linear dev e w.

(e) (Sim.) Precisamos ver seu ´e combina¸c˜ao linear de v−3u+ 2w e w, isto ´e, se existem k, l∈R tais que

u=k·(v−3u+ 2w) +l·w.

(11)

Como u=v+ 2w, substituindo na equa¸c˜ao acima temos

v+ 2w=k(v−3(v+ 2w) + 2w) +lw ⇒ v+ 2w=−2kv−4kw+lw

⇒ v+ 2w+ 2kv+ 4kw−lw= 0

⇒ (1 + 2k)v+ (2 + 4k−l)w= 0.

Agora, por hipótese v e w são linearmente independentes o que significa que o único modo de escrever 0 como combina¸cão linear dev ewé o modo trivial 0v+ 0w= 0, ou seja, temos que ter

1 + 2k = 0 e 2 + 4k−l = 0.

Ent˜ao k = −1/2 e logo l = 4k −2 = 0. Portanto u = −1/2(v −3u+ 2w) + 0w, mostrando que u pertence a ⟨v−3u+ 2w, w⟩.

(f) (Não.) Como no item anterior, precisamos ver se ué combina¸cão linear dev−3u+ 2w e w, isto ´e, se existem k, l∈R tais que

u=k·(v−3u+ 2w) +l·w.

Como u= 1

3v+ 2w, substituindo na equa¸c˜ao acima temos 1

3v+ 2w=k (

v−3 (1

3v+ 2w )

+ 2w )

+lw ⇒ 1

3v + 2w=−4kw+lw

⇒ 1

3v + 2w+ 4kw−lw = 0

⇒ (1

3 )

v+ (2 + 4k−l)w= 0.

Agora, por hipótese v e w são linearmente independentes o que significa que o único modo de escrever 0 como combina¸cão linear dev ewé o modo trivial 0v+ 0w= 0, ou seja, dever´ıamos ter

1

3 = 0 e 2 + 4k−l= 0.

Como a primeira equa¸cão é obviamente falsa, vemos que é imposs´ıvel encontrar esca- lares k, l satisfazendo u =k(v −3u+ 2w) +lw, ou seja, u não é conbina¸cão linear de v−3u+ 2w e w e portanto u não pertence ao subespa¸co ⟨v −3u+ 2w, w⟩.