Programa de Pós-Graduação EAD UNIASSELVI-PÓS
Autoria: Henriette Damm
Fone Fax: (47) 3281-9000/3281-9090
Reitor: Prof. Hermínio Kloch
Diretor UNIASSELVI-PÓS: Prof. Carlos Fabiano Fistarol Coordenação da Pós-Graduação EAD: Prof: Ivan Tesck Equipe Multidisciplinar da
Pós-Graduação EAD: Prof.ª Bárbara Pricila Franz Prof.ª Tathyane Lucas Simão Prof.ª Kelly Luana Molinari Corrêa Prof. Ivan Tesck
Revisão de Conteúdo: Grazielle Jenske Revisão Gramatical: Sandra Pottmeier Revisão Pedagógica: Bárbara Pricila Franz Diagramação e Capa:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI Copyright © UNIASSELVI 2017
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri UNIASSELVI – Indaial.
510.7
D162d Damm, Henriette
Didática da matemática / Henriette Damm.
Indaial : UNIASSELVI, 2017.
108 p. : il.
ISBN 978-85-69910-39-8
1. Matemática – Estudo e Ensino.
I. Centro Universitário Leonardo da Vinci Impresso por:
Possui graduação em Matemática pela Fundação Universidade Regional de Blumenau (1993), especialização em Gestão Universitária pela Fundação Universidade Regional de Blumenau (2015) e mestrado em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (1998), dissertando sobre “Educação Matemática e Educação Ambiental: uma Proposta de Trabalho Interdisciplinar como Possibilidade às Generalizações Construídas Socialmente”.
Atualmente, é professora do quadro da Universidade de Blumenau (FURB), Chefe do departamento de Matemática, Membro da CAPEX (Comissão de Avaliação de Projetos de Extensão), Presidente da Comissão Permanente de Estágio Probatório e Coordenadora do Estágio das Licenciaturas.
Atuou como Chefe da Divisão de Modalidades de Ensino por um ano, como Coordenadora do curso de Matemática, Coordenadora de TCC em cursos de Especialização na EaD por três anos, foi Tesoureira do SINSEPES (Sindicato dos Servidores Públicos do Ensino Superior de Blumenau, membro do CONSUNI (Conselho Universitário), professora coordenadora do PIBID/FURB, docente em cursos de pós-
graduação e Vice-Presidente da APROF (Associação dos Professores da FURB). Tem coordenado um
projeto de extensão voltado para pesquisas de mercado e satisfação junto ao Núcleo de Pesquisas
do Departamento de Matemática. Atua nas áreas de Estatística, Estágio e Educação Matemática.
APRESENTAÇÃO ...7
CAPÍTULO 1
Conceitos de Didática da Matemática ...9
CAPÍTULO 2
Referências da Didática da Matemática ...35
CAPÍTULO 3
A Especificidade da Matemática e
da Didática da Matemática ...61
CAPÍTULO 4
Questões Metodológicas e a Engenharia Didática ...87
Caro(a) pós-graduando(a)! A Didática da Matemática é uma das tendências teóricas da Educação Matemática, e para entender melhor o trabalho da Didática da Matemática, precisamos contextualizar a Educação Matemática, ou seja, entender esta como uma grande área de pesquisa educacional, sendo sua consolidação relativamente recente.
O objeto de estudo da Educação Matemática é a compreensão, a interpretação e a descrição de fenômenos referentes ao ensino e à aprendizagem da Matemática, nos diversos níveis de ensino, tanto na dimensão teórica, quanto na dimensão prática.
A Educação Matemática vem ganhando cada vez mais espaço nas discussões acadêmicas e profissionais do ensino. Rico, Sierra e Castro (2000 apud GODINO 2003) consideram a Educação Matemática como o sistema de conhecimentos, intuições, planos de formação e finalidades formativas quanto ao processo ensino-aprendizagem da Matemática.
A consolidação da Educação Matemática como área de pesquisa é relativamente recente, quando comparada à história da Matemática, e seu desenvolvimento recebeu um grande impulso nas últimas décadas, dando origem às várias tendências teóricas, cada qual valorizando determinadas temáticas educacionais do ensino da Matemática.
Entre as várias tendências teóricas que compõem a Educação Matemática no Brasil, a Didática da Matemática é uma delas e se caracteriza pela influência de autores franceses, conforme veremos nos capítulos deste material.
Segundo Régine Douady (apud PAIS, 2002b, p. 10-11), “A Didática da Matemática estuda os processos de transmissão e de aquisição dos diferentes conteúdos desta ciência, particularmente numa situação escolar ou universitária.
Ela se propõe a descrever e explicar os fenômenos relativos às relações entre seu ensino e sua aprendizagem. Ela não se reduz a pesquisar uma boa maneira de ensinar uma determinada noção particular.”.
Assim, podemos entender que a Didática da Matemática, busca a elaboração de conceitos e teorias que sejam compatíveis com a especificidade educacional do saber escolar matemático, mantendo vínculos com a formação de conceitos matemáticos, tanto da prática pedagógica, como no campo teórico da pesquisa acadêmica.
espalhar por diversos países. São estas teorias e seus autores: A Teoria da
“Transposição Didática” de Chevallard; A Teoria dos “Obstáculos epistemológicos”
de Bachellard; A Teoria dos “Campos Conceituais” de Vergnaud; A Teoria das
“Situações Didáticas” e a Teoria do “Contrato Didático” de Brousseau; A Teoria da
“Engenharia Didática” de Artigue.
Os capítulos que seguem buscam trabalhar especificamente cada um dos pontos destacados, ou seja:
No primeiro capítulo, serão apresentados os Conceitos de Didática da Matemática buscando defini-los, discutindo as implicações dos conceitos na práxis do professor, bem como, trabalhando a importância do conhecimento dos conceitos básicos de Didática da Matemática em relação à autoavaliação profissional.
No segundo capítulo, teremos as Referências da Didática da Matemática a partir da apresentação do saber matemático e suas particularidades, da discussão do trabalho do professor de matemática, da definição de obstáculos epistemológicos e didáticos no ensino da matemática, da articulação do trabalho do professor de matemática com os obstáculos epistemológicos e didáticos, e da análise da formação de conceitos e dos campos conceituais.
No capítulo três, o objeto de estudo será a Especificidade da Matemática e da Didática da Matemática, através da discussão de situações didáticas e a-didáticas da Matemática, da definição de contrato didático, da avaliação de situações de ruptura do contrato didático, e da análise do cotidiano escolar e os efeitos didáticos.
No capítulo quatro, teremos as Questões Metodológicas e a Engenharia Didática, buscando identificar e organizar as fases da Engenharia Didática e analisar a dimensão teórica e experimental da pesquisa em Didática da Matemática.
Assim, buscamos com este material, analisar conceitos criados por autores que atuam no campo da Educação Matemática, especificamente, da Didática da Matemática e passar a questionar se o ensino da Matemática pode se resumir à apresentação de uma sequência de axiomas, definições e teoremas.
A autora.
C APÍTULO 1
Conceitos de Didática da Matemática
A partir da perspectiva do saber fazer, neste capítulo você terá os seguintes objetivos de aprendizagem:
Defi nir os conceitos de Didática da Matemática.
Discutir as implicações dos conceitos na práxis do professor.
Explicar e aplicar a importância do conhecimento dos conceitos básicos de Didática da Matemática em relação à autoavaliação profi ssional.
ConteXtualiZaÇÃo
O homem sempre se encontrou envolvido com Matemática. Procurando atender às necessidades de suas condições de vida, ele conta, mede e calcula.
Agindo sobre o meio em que vive, o homem faz sua própria Matemática ao buscar soluções para os problemas do cotidiano, produzindo novos conhecimentos e aplicando-os, refi nando e sofi sticando os conceitos matemáticos.
A escola se organiza levando em consideração saberes historicamente acumulados e construídos, acrescentando saberes formados e adquiridos no presente. Estamos na era da tecnologia e globalização, onde os saberes são dinâmicos e complexos, e esses se transformam e/ou evoluem constantemente. Aprendemosa todo o momento e de diferentes maneiras. E, neste contexto, é imprescindível fornecermos oportunidades aos alunos para desenvolverem um pensamento crítico, com o intuito de que informações sejam analisadas e refl etidas, para então, permitir e promover a construção do conhecimento.
Os alunos, na contemporaneidade, chegam à sala de aula com muitos conhecimentos adquiridos nesse mundo cibernético e, muitas vezes, não têm esse conhecimento organizado ou estruturado, ou seja, às vezes, mesmo que possuam o conhecimento, os alunos não têm consciência que podem usá-lo sob outras circunstâncias diferentes àquelas nas que eles aprenderam. O professor pode auxiliar ao estudante se sentir um cidadão em pleno crescimento com todas as capacidades para se desenvolver seu papel na sociedade. No caso do professor de Matemática, tem sua inserção em muitas áreas do conhecimento que é útil para o estudante. Todas estas questões dizem respeito à Educação Matemática também. Mas então? O que é a Educação Matemática? Do que trata?
Vamos descobrir adiante!
EducaÇÃo matemática
Assim como em diversas áreas do conhecimento, também na área da Matemática os alunos têm um caminho percorrido e é justamente o professor quemtem a função de mediar esse passo do conhecimento construído num ambiente diferente ao da escola e o vai conectar ao que ele encontra na escola.
Com a organização desses conhecimentos no sistema educativo se entende que tudo que ele aprendeu é válido e vai se moldurando para ser falado de um jeito particular no meio escolar. Essa ideia vem ao encontro do que afi rma Freire.
Fornecermos oportunidades aos alunos para desenvolverem um pensamento crítico, permitir e promover a construção do
conhecimento.
O que tenho dito sem cansar, e redito, é que não podemos deixar de lado, desprezado como elo imprestável, o que educandos, sejam crianças chegando à escola ou jovens e adultos a centros de educação popular, traz consigo de compreensão do mundo, nas mais variadas dimensões de sua prática na prática social de que fazem parte. Sua fala, sua forma de contar, de calcular, seus saberes em torno do chamado outro mundo, sua religiosidade, seus saberes em torno da saúde, do corpo, da sexualidade, da vida, da morte, da força dos santos, dos conjuros (FREIRE, 2003, p.85-86).
Caminhando essa discussão para o ensino da Matemática, parece haver um consenso de que uma Educação Matemática básica deve contribuir com a preparaçãodo cidadão no exercício da cidadania tanto no domínio individual quanto no coletivo. Nesse sentido, podemos possibilitar novas atitudes e comportamentos no viver em sociedade, tendo por referência os direitos humanos, os valores humanos e a justiça social. Além de ensinar Matemática, também é preciso formar valores. Em primeiro lugar fazermos uma ligação entre o mundo real e a Matemática da escola, como se menciona nos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN através de projetos relacionados à realidade dos estudantes.
Os projetos proporcionam contextos que geram a necessidade e a possibilidade de organizar os conteúdos de forma a lhes conferir signifi cado. É importante identifi car que tipos de projetos exploram problemas cuja abordagem pressupõe a intervenção da Matemática, e em que medida ela oferece subsídios para a compreensão dos temas envolvidos (BRASIL, PCN, 1997, p.26).
Um dos desafi os atuais da aula de Matemática é o professor entender e aceitar que precisa além de ensinar Matemática, também contribuir na formação daquele ser humano. A sociedade hoje é diferente da sociedade a qual nós nascemos e, obviamente, faz-se necessário um novo olhar sobre a formação da educação básica, o que inclui a formação Matemática.
Partindo deste contexto, é preciso expor dois importantes pontos.
De um lado, ter a Matemática como uma ferramenta para atender as necessidades da vida cotidiana e, por outra, ter ela com as suas concepções. Assim, podemos introduzir o termo “Etnomatemática”, como foi defi nido pelo professor e pesquisador Ubiratan D’Ambrósio, como a arte ou técnica de explicar, conhecer e entender conceitos matemáticos vinculados a diversos contextos culturais. Outro ponto é, em meio aos conteúdos específi cos matemáticos, trabalhar questões de cidadania, em que a aula de Matemática pode tornar-se um fórum de debate e negociação de concepções e representações da realidade. Assim, questionamos, em quais contextos usar esses conhecimentos?
Não podemos deixar de lado o que educandos traz consigo de compreensão do
mundo.
Ter a Matemática como uma ferramenta para atender as necessidades da vida cotidiana e, por outra, ter ela com as suas concepções.
Em jornais, por exemplo, onde alunos e professores trabalham conteúdos de ensino, atitudes, métodos e procedimentos. Criam um espaço de conhecimento compartilhado, refl etindo sobre suas aprendizagens e difi culdades a superar.
Encontramos notícias ou informações que vêm argumentadas com gráfi cos, ou com porcentagens ou com curvas que seguem determinada função.
Esses são casos em que o ensino da Matemática propicia a construção de um conhecimento com posicionamento crítico do cidadão, aí tanto o professor de Matemática quanto o aluno têm oportunidade de desenvolver assuntos paralelos que competem à formação, à ética, proporcionando um momento de discussão com respeito às opiniões diferentes entre colegas. Algumas dessas diferenças até podem servir para completar uma ideia ou conhecimento e, ainda, podemos fomentar e estimular a solidariedade entre os alunos solicitando um trabalho em grupos para eles mesmos serem mediadores entre eles e propiciar mais um momento de construção de conhecimento e de formação cidadã. Cabe lembrarmos que um trabalho em grupo pode revelar várias situações, positivas e negativas. O professor deve ter certos cuidados para que um trabalho em grupo se revele algo positivo, o grupo não deveria ser imposto, poderia se sugerir a participação daqueles que já aprenderam para servir de mediadores, mas com o consenso dos mesmos.
Outro tema transversal, mencionado nos PCN (BRASIL, 1997), que podemos explorar é o meio ambiente, porque além de trazer muitas concepções na Matemática, é um assunto que podemos trabalhar na interdisciplinaridade com outras matérias como: ciências, geografi a, história, artes, sociologia e, assim, por diante. É o meio onde acontece um incontável número de situações,nas quaispodemos mergulhar para aprofundar e vincular os conhecimentos e formar cidadãos críticos e solidários. Alguns desses conceitos na Matemática poderiam ser médias, áreas, volumes, proporcionalidade, assim como procedimentos matemáticos,como formulação de hipóteses, realização de cálculos, coleta, organização e interpretação de dados estatísticos, prática da argumentação, assim como, é indicado nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997).
Nessa base também podemos usar temas como saúde, já fazendo relação com meio ambiente e avançando para outro patamar e, depois, seguindo superar o preconceito que se tem com a Matemática tanto com a sua difi culdade de aprendizagem quanto ser exclusiva de áreas específi cas do conhecimento e limitada a algumas classes sociais, especifi camente.
Com a evolução da humanidade, a Matemática passa a ganhar caráter científi co, adquirindo forma e estrutura interna própria. Não se desenvolve apenas em função de necessidades externas, mas também, passa a avançar a partir dos problemas que surgem em sua estrutura interna. Caberia aqui usar o
desenho animado do Pato Donald, da Disney, no episódio chamado “Donald no mundo da matemágica” no qual surge a fi gura de Pitágoras, ideias platônicas, o qual fala sobre o símbolo do pentagramae aparece o número áureo, também se vincula proporções arquitetônicas do Parthenon atrelada às da Catedral de Notre- Dame (Paris) e, assim, muitos outros exemplos de dimensões e de proporções na natureza. Trata-se de um episódio para explorar o aspecto multidisciplinar e desenvolver a ideia da estrutura interna da Matemática.
Figura 1 – Donald no mundo da matemágica
Fonte: Disponível em: <http://www.mdig.com.br/index.
php?itemid=29136>. Acesso em: 15 maio 2016.
Em sua origem, a Matemática se constitui a partir de uma coleção de regras isoladas, decorrentes de experiênciasda vida diária, e se converteu gradativamente em um sistema de variadas disciplinas.
Nesse contexto, podemos conferir à Matemática dois aspectos distintos:
o formalista e o prático.
Estes aspectos se infl uenciam mutuamente. Assim como as descobertas dos matemáticos puros revelam valor prático, ao serem aplicadas as propriedades Matemáticas em acontecimentos específi cos, podem levar ao desenvolvimento teórico da Matemática. A Matemática, ao longo da história da humanidade, mostra-se uma ciência viva, dinâmica, em constante evolução e que interage com a realidade.
A matemática transforma-se por fi m na ciência que estuda todas as possíveis relações e interdependências quantitativas entre grandezas, comportando um vasto campo de teorias, modelos e procedimentos de análise, metodologias próprias de pesquisa, formas de coletar e interpretar dados (BRASIL, PCN, 1997, p. 24).
Podemos conferir à Matemática dois aspectos distintos:
o formalista e o prático.
Além de refl etir sobre o caráter do conhecimento matemático, temos por objetivo refl etir sobre o caráter pedagógico da Matemática, ou seja, sobre como ensinar Matemática. A princípio, buscamos reunir aqui alguns elementos que possam ser tomados como referência para o estabelecimento de uma didática para o ensino da Matemática, assim, precisamos saber o que é a didática. Didática é um conjunto de princípios, crenças e valores do ensino e do método, que dialogam entre si, formando um conjunto de preceitos que servem de base para a perfeita execução da tarefa de ensina (PAIS, 2008). Assim, a didática do ensino da Matemática agrega o conjunto de princípios; crenças;
opinião de autores; textos de obras escritas, entre outras ferramentas, adotados pelo professor de Matemática que servem de base para o seu sistema de ensino e para a organização da disciplina. Pensar uma didática da Matemática é pensar sobre as relações no processo ensino- aprendizagem de Matemática (PAIS, 2008).
De um lado temos o problema da formação dos conceitos matemáticos, por outro, a formação dos conceitos didáticos referentes
ao fenômeno da aprendizagem da Matemática. Mas seja qual for ao que fazemos referência, é fundamental usar o método construtivista, inspirado nas ideias do suíço Jean Piaget, que propõe que o aluno no seu aprendizado participe ativamente mediante experimentação, trabalhos ou atividades em grupo possibilitando a mediação entre colegas, estimulação à dúvida e ao desenvolvimento do raciocínio, entre outros procedimentos. A partir da própria ação, o estudante vai estabelecendo as propriedades dos objetos e construindo os conhecimentos e as características do mundo.Simultaneamente, o professor de Matemática adapta os conceitos científi cos para trazê-los à sala de aula adequando-os às diversas realidades.
A educação Matemática vem ganhando cada vez mais espaço nas discussões acadêmicas e profi ssionais do ensino. Rico, Sierra e Castro (2000 apud GODINO 2003) consideram a educação Matemática como o sistema de conhecimentos, intuições, planos de formação e fi nalidades formativas
quanto ao processo ensino-aprendizagem da Matemática.
Simultaneamente, caracterizam a Didática da Matemática como a disciplina que estuda e investiga os problemas surgidos na Educação Matemática.
Conforme Pais(2008, p. 10),
A educação matemática é uma grande área de pesquisa educacional, cujo objeto de estudo é a compreensão, interpretação e descrição
Didática é um conjunto de princípios, crenças e valores do ensino e do método, que
dialogam entre si, formando um conjunto de
preceitos que servem de base para
a perfeita execução da tarefa de ensina (PAIS, 2008). Pensar
uma didática da Matemática é pensar sobre as relações no
processo ensino- aprendizagem de
Matemática
A educação matemática objeto de estudo é a compreensão,
interpretação e descrição de fenômenos referentes ao ensino
e à aprendizagem da matemática, nos
diversos níveis de escolaridade
de fenômenos referentes ao ensino e à aprendizagem da matemática, nos diversos níveis de escolaridade, quer seja em uma dimensão teórica ou prática.
A consolidação da Educação Matemática como área de pesquisa é relativamente recente, quando comparada à história da Matemática, em que seu desenvolvimento recebeu um grande impulso nas últimas décadas, dando origem às várias tendências teóricas, cada qual valorizando determinadas temáticas educacionais do ensino da Matemática.
A expressão tendência teórica é utilizada para representar a existência de um coletivo de pesquisadores em Educação Matemática, que compartilha de um mesmo referencial teórico.
Por exemplo: Etnomatemática, Modelagem Matemática, Filosofi a da Educação Matemática, História da Matemática, Didática da Matemática, entre outros.
Entre as várias tendências teóricas que compõem a Educação Matemática no Brasil, a Didática da Matemática se caracteriza pela infl uencia de autores franceses, conforme veremos neste material.Devemos nos perguntar então:
- O que é Didática da Matemática?
Vamos desvendar essa pergunta juntos!
Didática da Matemática
Quando preparamos uma aula de Matemática, além dos objetivos, habilidades e competências que queremos desenvolver, fazemos a proposta de como essa aula irá acontecer, quais os exemplos que iremos fornecer, quais as realidades que iremos abordar para trazer o conceito em estudo à tona e tudo isso forma parte da didática pedagógica da aula que será ministrada.
A expressão Didática da Matemática é diferente do que conhecemos como a disciplina pedagógica de didática aplicada ao ensino.
Conforme Pais(2008, p.11):
A didática da matemática é uma das tendências da grande área da educação matemática, cujo objeto de estudo é a elaboração de conceitos e teorias que sejam compatíveis com a especifi cidade educacional do saber escolar matemático, procurando manter fortes vínculos com a formação de conceitos matemáticos, tanto em nível experimental da prática pedagógica, como no território teórico da pesquisa acadêmica.
A Didática da Matemática objetiva compreender as condições de produção, registro e comunicação do conteúdo escolar da Matemática e de suas consequências didáticas. Assim sendo, todos os conceitos didáticos se destinam a favorecer a compreensão das múltiplas conexões entre a teoria e a prática.
A dimensão teórica é entendida como as principais ideias resultantes da pesquisa e a dimensão prática como sendo a condução do fazer pedagógico. Nesse contexto, os elementos do sistema
didático, devem ser fortemente integrados entre si.Tema este que abordaremos a seguir.
A Didática da Matemática objetiva
compreender as condições de produção, registro e comunicação do conteúdo escolar da Matemática e de suas consequências didáticas. Assim sendo, todos os conceitos didáticos
se destinam a favorecer a compreensão das múltiplas conexões
entre a teoria e a prática.
Atividade de Estudos:
1) Na compreensão do signifi cado da Didática da Matemática no texto, podemos afi rmar que:
Assinale a alternativa correta:
a) A Didática da Matemática está vinculada ao jeito de apresentar a disciplina aos alunos de uma maneira que estimule seu aprendizado.
b) A Didática da Matemática está vinculada aos materiais que o professor providencia para o processo ensino-aprendizagem indicando explicitamente os conteúdos e não deixando lugar a dúvidas.
c) A Didática da Matemática está vinculada a trabalhar a disciplina em conjunto com outras disciplinas, mesmo que o contexto seja estranho para o aluno, porque ele precisa construir um mundo global.
d) A Didática da Matemática está vinculada à elaboração de conceitos e teorias compatíveis com o saber matemático específi co da escola atrelado tanto à pesquisa acadêmica quanto à formação dos próprios conceitos matemáticos na prática pedagógica.
Sistema Didático
O Sistema Didático é uma estrutura composta de nove elementos (PAIS, 2008) principais: professor, aluno, conhecimento, planejamento, objetivos, recursos didáticos, instrumentos de avaliação, uma concepção de aprendizagem e metodologia de ensino. A interação entre esses elementos é extremamente necessária para a condução da prática pedagógica. O professor é o maestro dessa orquestra, é por isso, que ele é o responsável por fazer acontecer tanto à comunicação dele com seus alunos quanto fornecer exercícios e momentos de discussão entre os alunos sobre o assunto estudado para que venha a ocorrer à mediação entre os próprios colegas.
Muitos desses elementos são trabalhados prévio às aulas como o planejamento, relacionado a cada aula que vai ser ministrada relacionando os conteúdos que serão estudados com o objetivo de aprendizagem e sua contextualização. A escolha da metodologia está intimamente ligada aos recursos didáticos como o quadro, o livro didático, os recursos audiovisuais,que o professor possa utilizar ou que possa recrear no caso tenha carência de alguns recursos na instituição educativa onde trabalhe. O professor com tempo introduz também os recursos de contexto da realidade dos alunos em que pode ser aplicado o conteúdo e as novas concepções de aprendizagem, o diálogo com outras disciplinas, o próprio conhecimento e uma sequência didática que leve a obter o sucesso do objetivo alcançado.
As relações entre professor, aluno e saber estão atreladas ao Sistema Didático, como detalhamos. O rigor e o formalismo são características do pensamento matemático e, na relação pedagógica entre professor e aluno, o ensino da Matemática pode estar infl uenciado por aspectos relativos ao próprio pensamento matemático, mas que na verdade não pertencem à natureza do trabalho didático. Na próxima fi gura podemos observar o esquema do Sistema Didático proposto por Brousseau (1986).
O Sistema Didático é uma estrutura composta
professor, aluno, conhecimento,
planejamento, objetivos, recursos
didáticos, instrumentos de
avaliação, uma concepção de aprendizagem e
metodologia de ensino.
Figura 2 – Sistema Didático
Fonte: Disponível em: <http://docslide.com.br/documents/1-universidade-federal-do- para-especializacao-em-didatica-da-matematica.html>. Acesso em: 08 ago. 2016.
Assim, podemos nos fazer algumas perguntas:
- O que infl uencia na formação do saber matemático previsto na educação escolar?
- Quem participa do processo seletivo dos conceitos matemáticos ensinados na escola?
Para responder estas questões sob o olhar da Didática da Matemática, recorremos ao conceito de transposição didática.
Atividade de Estudos:
1) Vamos imaginar que estamos na sala de aula explicando um conceito e logo deixamos alguns exercícios para os alunos aplicarem o tal conceito. A atitude do professor que vem ao encontro da discussão nesse capítulo qual seria?
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TransposiÇÃo Didática
A transposição didática se revela uma ideia centralizadora da Educação Matemática ao estar associada a vários outros conceitos. Lembramos que a transposição nos leva a uma ideia de deslocamento e alteração. Assim, a transposição didática permite, por exemplo, interpretar as diferenças que ocorrem entre a origem de um conceito da Matemática, como ele encontra-se proposto nos livros didáticos, e a intenção de ensino do professor e os resultados obtidos em sala de aula. E nesse movimento acontece uma transposição. Aprofundamos mais um pouco com base em Chevallard.
Segundo defi nição de Chevallard (1991 apud PAIS, 2008, p.19):
Um conteúdo de saber que tenha sido defi nido como saber a ensinar, sofre, a partir de então, um conjunto de transformações adaptativas que irão torná-lo apto a ocupar um lugar entre os objetos de ensino. O ‘trabalho’ que faz de um objeto de saber a ensinar, um objeto de ensino, é chamado de transposição didática.
Chevallard (1991) conceitua Transposição Didática como o trabalho de produção necessário para chegar a um objeto de ensino, a partir do saber gerado pelo cientista.Essa transformação vai muito além da simplifi cação de códigos científi cos. Estuda a seleção que ocorre através de uma extensa rede de infl uências, envolvendo diversos segmentos do sistema educacional.
O termo “Transposição Didática” foi introduzido pelo sociólogo Michel Verret na França em 1975, e discutido novamente por Yves Chevallard, em seu livro La Transposition Didactique, de 1985, empenhando-se em tornar evidentes as transformações pelas quais passa o saber ao transpor o campo científi co para o âmbito escolar (PERRELLI, 1999).
Assim, de maneira ampla, podemos considerar que a transposição didática é o conjunto de adaptações que o saber científi co sofre para transformar-se em saber escolar. Podemos exemplifi car isso começando pela linguagem utilizada na sala de aula, escolhemos uma variedade linguística mais apropriada à compreensão dos estudantes.
Os exemplos que se formulam são aqueles de menor complexidade e vai se incrementando a difi culdade na medida em que os alunos vão compreendendo os conceitos trabalhados na sala.
A transposição didática é o conjunto de adaptações que o saber científi co sofre para transformar-se
em saber escolar.
Yves Chevallardé um didata francês do campo do ensino das matemáticas. E seu trabalho internacionalmente conhecido é “A Transposição Didática”. Sua publicação mais difundida no Brasil é a tradução para o espanhol e o original em francês do livro La Transposition Didactique, uma versão ampliada da primeira edição francesa de 1985.
Na discussão entre a dimensão prática e teórica, Gastão Bachelard (1884- 1961), na França, é uma importante referência na interpretação do problema da conciliação entre essas duas dimensões. Para Bachelard, toda análise teórica deve passar por uma análise prática, da mesma forma que toda experiência deve passar pelo controle de uma posição racional.
Nesse contexto, Bachelard (2003),trabalhou o conceito de obstáculos epistemológicos. No que diz respeito principalmente às ciências exatas e, destaca que é necessário superar ou haver uma transposição de uma série de obstáculos à aprendizagem, para que a construção do espírito científi co se efetive.
No campo da Matemática, particularmente a respeito da aprendizagem escolar, abordamos a questão específi ca de obstáculos didáticos, a qual defi niremos a seguir.
Gaston Bachelard (1884-1962) fi lósofo e ensaísta francês que se licencia em matemática no ano de 1912. A teoria da relatividade deita por terra as suas ideias sobre física, o que o terá levado a estudar fi losofi a, obtendo uma segunda licenciatura em letras em 1920. Tendo- se doutorado em 1927 com a tese Ensaio sobre o Conhecimento
a propagação térmica nos sólidos. Em 1930, iniciou uma carreira regular de professor universitário, especifi camente nas universidades de Dijon (1930-1940) e, depois na Sorbonne (Paris).
Atividade de Estudos:
1) Enquanto profi ssional atuante no âmbito escolar, como você se percebe utilizando a transposição didática?
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OBstáculos Didáticos
Quando pensamos em obstáculo, logo fazemos uma ligação com a ideia de alguma coisa que difi culta, impede ou simplesmente atrapalha a execução de uma ação desejada. Assim, Bachelard (2003) discute o tema obstáculos, no sentido de obstáculos epistemológicos, que são obstáculos que os professores devem evitar, de maneira a garantir o sucesso do ensino-aprendizagem. Para isso, é necessário estar atento e identifi car esses obstáculos sem seu modo de ensinar, no ambiente da sala de aula e nos recursos didáticos usados. O professor precisa estar ciente do que cada um trata, pois somente assim, poderá desvendá-los e superá-los, ou ainda, ajudar os seus alunos a vencê-los.
Bachelard (2003) observou que a evolução de um conhecimento pré-científi co para um nível de reconhecimento científi co passa, quase sempre, pela rejeição de conhecimentos anteriores e se defronta com obstáculos. Esses obstáculos não estão atrelados à falta de conhecimento, mas sim, a conhecimentos antigos que resistem à instalação de novas concepções. Da mesma maneira, acontece com os obstáculos no ensino-aprendizagem da Matemática.
Como a Matemática apresenta certa regularidade em se tratando de sua evolução histórica, ao invés de trabalhar na concepção dos obstáculos epistemológicos, Pais (2008) admite a existência de obstáculos didáticos, ou seja, noção motivada pela comparação entre a evolução dos conceitos, no plano histórico dos saberes científi cos, e o fenômeno cognitivo, no plano subjetivo da elaboração do conhecimento.
Com essa refl exão nos questionamos sobre como a superação dos obstáculos didáticos pode facilitar a investigação da formação de conceitos? Que elementos precedentes entram na construção de um novo conceito?
É fundamental que as aulas de matemática lancem um novo olhar para a construção de conceitos ou signifi cados matemáticos. E esse novo olhar traga a realidade em que a escola e seus estudantes encontra-se inserida. Dessa maneira os conceitos que serão construídos podem se constituir na realidade, num mundo concreto e com exemplos vinculados e aplicados a situações que tanto o aluno quanto seu professor de matemática conhecem e lidam no seu dia-dia ou em circunstâncias específi cas em que o aluno possa se visualizar e perceber o tal conceito. Assim como Freire nos faz analisarmos [...].
Não seria, porém, com essa educação desvinculada da vida, centrada na palavra, em que é altamente rica, mas na palavra “milagrosamente” esvaziada da realidade que deveria representar, pobre de atividades com que o educando ganhe a experiência do fazer, que desenvolveríamos no brasileiro a criticidade de sua consciência, indispensável à nossa democratização (FREIRE, 2006, p.102).
Conceber o ensino da Matemática voltado para a problematização e análise de situações diversas do cotidiano, permite que o aluno faça deduções levando em conta suas experiências de vida e, consequentemente, levando-o à construção de conceitos matemáticos.
Nesse contexto, podemos nos questionar pela aplicação prática dos conceitos matemáticos, considerando o espaço vivo de uma sala de aula. Quais as competências necessárias para o exercicio docente? Brousseu (1996) nos dá um dos possíveis caminhos: o estudo das situações didáticas.
Obstáculos didáticos, ou seja,
noção motivada pela comparação entre a evolução dos
conceitos, no plano histórico dos saberes
científi cos, e o fenômeno cognitivo,
no plano subjetivo da elaboração do
conhecimento.
É fundamental que as aulas de matemática lancem
um novo olhar para a construção
de conceitos ou signifi cados
matemáticos.
Guy Brousseau nasceu em 4 de fevereiro de 1933, em Taza, no Marrocos. Passou a lecionar na Universidade de Bordeaux, no fi m dos anos de 1960, sendo mais tarde diretor do Laboratório de Didática das Ciências e das Tecnologias e professor emérito.
Em 1991, tornou-se docente do Instituto Normal Superior local.
Brousseau investiu em uma teoria que compreendia as interações sociais entre os alunos, os professores e o conhecimento.
SituaÇões Didáticas
A teoria de Brousseau (1996) sobre as situações didáticas busca estudar as relações epistemológicas, cognitivas e sociais do ensino da matemática, ou seja, Brousseau (1996) se preocupa além da relação professor-aluno, em entender também o contexto em que essa relação ocorre. A Teoria das Situações Didáticas desenvolvida por ele se baseia no princípio de que "cada conhecimento ou saber pode ser determinado por uma situação", entendida como uma ação entre duas ou mais pessoas.
Na Teoria das Situações Didáticas, o professor propõe problemas para que os alunos possam interagir, discutir e construir os conceitos matemáticos de forma ativa e participativa. Sendo assim, o aluno participa do processo e tem condições de usar o conhecimento construído no âmbito escolar, fora deste, de forma natural e espontânea.
Para representar a teoria das Situações Didáticas, Brousseau (1996) propõe o triângulo didático (fi gura 1) que relaciona o aluno, o professor e o saber, constituindo uma relação dinâmica e complexa.
Situações Didáticas, o professor propõe
problemas para que os alunos possam interagir, discutir e construir
os conceitos matemáticos de
forma ativa e participativa.
Figura 3 – Triângulo didático
Fonte: Adaptado de Almouloud (2007, p. 32).
As situações didáticas são ocorrências elaboradas intencionalmente pelo professor para defrontar os alunos com contextos que exijam dele a busca de conhecimentos para a análise e resolução das situações.
Para Brousseau (1996) as situações didáticas são classifi cadas em etapas:
ação, formulação, validação e institucionalização.
a) Ação: Na fase da ação, o professor cede ao aluno a responsabilidade pela aprendizagem. No momento em que propõe ao aluno uma situação didática, o aluno realiza uma primeira análise e traz uma devolutiva ao professor que, contra-argumenta buscando possibilidades de ação por parte do aluno. O aluno refl ete sobre as possíveis soluções, elegendo um procedimento de resolução.
b) Formulação: Já na fase da formulação ocorre a troca de informação, através de uma linguagem Matemática formal. Nesta fase os alunos procuram transcrever o compreendido, o coloquial, para o formal que devem comunicar.
Isto é, tem que se transcrever a linguagem falada, onde é comum ser coloquial, para a linguagem escrita, a qual deve ser formal.
c) Validação: Junto à fase da validação, através de linguagem Matemática apropriada, buscam convencer os interlocutores da veracidade da informação.
Importante observar que, durante todas essas fases, o professor encontra- se como mediador, levando os alunos a trilhar o caminho da construção do conhecimento matemático. Pois ser mediador é uma postura do professor
que pode e deve ocorrer durante toda a aula, durante todo o período letivo.
Devemos estar atentos nesse aspecto e em nossas atitudes durante nossas aulas, pois muitos professores consideram que essa prática só é possível quando trabalhamos com projetos, mas não. Ela é possível também em aulas tradicionais, pois o que torna um professor mediador, é ele não dar as respostas prontas, mas sim, proporcionar ao aluno situações que lhe permitam construir conceitos.
Figura 4 –Cuidado com a postura no processo ensino-aprendizagem
Fonte: Quino (2003, p.16).
Por fi m, temos a fase da institucionalização, onde a intenção do professor é socializada e onde retoma sua responsabilidade (cedida até então aos alunos), formalizando os objetos e objetivos de estudo.
Com a Teoria das Situações Didáticas, o erro deixa de ser um desvio imprevisível para se tornar um obstáculo valioso e parte da aquisição de saber.
Há uma teoria específi ca que estuda a função do erro na aprendizagem. É visto como o efeito de um conhecimento anterior, que já teve sua utilidade, mas agora se revela inadequado ou falso.
Um educador, sob a ótica de Piaget (1982), que considera o erro parte do processo construtivo da aprendizagem, deve ser paciente e competente para avaliar, segundo a teoria de ensino-aprendizagem que utiliza. Isto, pois o processo de construção do conhecimento do
seu estudante, a reformulação dos procedimentos de ensino, de maneira que esse consiga chegar aos objetivos da escolarização são fundamentais, ou seja:
que sejam alunos formados numa perspectiva integral e com criticidade, que sejam bem informados, que raciocinem com independência e que sejam capazes de se posicionar. Isto só será possível sabendo aproveitar o papel do erro no meio escolar.
Esse deve ser tomado como sinal de que o processo ensino- aprendizagem já iniciou e que nesse caminho ele não é considerado derrotado/fracassado, não há porque punir o aluno e ele não deve temer ou evitar cometê-lo. Ao contrário, deve ser utilizado como parte da construção do conhecimento, uma peça que vai em outro lugar e não onde está sendo colocado, se deve encorajar e parabenizar aquele estudante que mostrou o erro, porque isso ajuda a ele próprio e aos seus colegas avançar na construção dos novos conceitos. Cabe então, ao professor, ajudar seus alunos a analisarem a adequação do procedimento selecionado, encaminhando-os na busca de condutas mais ricas, complexas e diversifi cadas.
No caso da fi gura 5 sobre ensino-aprendizagem aparecem os passos pelos quais o aluno passa para atingir a aprendizagem, no caso do exemplo é sobre sistema de escrita, esse seria o assunto, que no nosso caso é a Matemática.
Qualquer conceito matemático também passará pelos passos indicados na fi gura.
E o erro que o estudante cometer durante esse processo nos mostra seu raciocínio e, com isso, o professor pode auxiliá-lo a elaborar melhor o conhecimento até chegar na aprendizagem.
Aproveitar o papel do erro no meio
escolar.
Esse deve ser tomado como sinal de que o processo ensino- aprendizagem já iniciou e que nesse
caminho ele não é considerado
derrotado/
fracassado, não há porque punir o aluno e ele não deve temer ou evitar cometê-lo.
Figura 5 –Ensino-aprendizagem
Fonte: Disponível em: <http://pt.slideshare.net/brunarbraga9/
psicognese-da-lngua-escrita>. Acesso em: 15 maio 2016.
Para saber mais sobre o erro na construção do conhecimento, acesse o artigo Aprendizagem infantil: o erro na visão construtivista, disponível no site: <http://www.webartigos.com/artigos/
aprendizagem-infantil-o-erro-na-visao-construtivista/93152/#ixzz49V QqVqlL>.
O trabalho, nessa concepção, leva os alunos a buscar por si mesmos as soluções, chegando aos conhecimentos necessários para isso. No desenvolver do processo ensino-aprendizagem, uma parte é a cargo do professor e outra parte, a cargo do aluno. Essas responsabilidades de ambos os envolvidos, tanto professor quanto aluno, devem fi car claras, ou seja, qual parte corresponde a cada um. E isso, geralmente, o faz o professor através do contrato didático que apresentamos a seguir.
Atividade de Estudos:
1) Explique num pequeno texto dissertativo qual é a atitude mais adequada do professor frente ao erro cognitivo do aluno quando ele o comete na sala de aula, em concordância com o tratado nesse capítulo?
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Contrato Didático
Proposta por Guy Brousseau (2006), no início da década de 1980, a ideia de contrato didático pretende estabelecer um conjunto de fatores referentes à relação didática entre professor e aluno, que procura defi nir as responsabilidades e os comportamentos que cada sujeito deve ter perante o outro nas práticas que possibilitam a construção do saber.
Estas responsabilidades/comportamentos, por sua vez, são legitimadas por meio de regras implícitas, que estão envolvidas, mas não de modo claro e, sim, subentendido e regras explícitas, aquelas expressas formalmente e de maneira clara, desenvolvida e bem explicadas. O contrato didático pretende descrever comportamentos determinados referentes ao professor e que os alunos esperam desse, assim como um conjunto de comportamentos por parte dos alunos que o professor deseja desses em vista do seu melhor aproveitamento nas atividades que acontecem durante as salas de aula.
Assim, a função do contrato didático é equilibrar questões implícitas e explícitas, buscando criar um espaço de diálogo e troca entre professor e alunos, tendo em vista que a comunicação tem sentido diferente para ambos os atores. Deve haver um espaço de signifi cações em relação ao saber, onde nada é comum ou preestabelecido. Na escola, o contrato didático é fundamental, pois dá responsabilidade ao aluno também do sucesso das aulas e do melhor
aproveitamento da matéria estudada. Esse contrato chama o aluno para ser protagonista junto com o professor. No contrato didático, o aluno também assume tarefas que deve desempenhar para que a aprendizagem ocorra. Assim, como o compromisso do professor de levar aulas bem preparadas e desenvolvidas e possibilitar atividades que motivem a aprendizagem.
Segundo Régine Douady (apud PAIS, 2002b, p. 10-11):
A Didática da Matemática estuda os processos de transmissão e de aquisição dos diferentes conteúdos desta ciência, particularmente numa situação escolar ou universitária. Ela se propõe a descrever e explicar os fenômenos relativos às relações entre seu ensino e sua aprendizagem. Ela não se reduz a pesquisar uma boa maneira de ensinar uma determinada noção particular.
Deste conceito podemos apreender que a Didática da Matemática “não visa simplesmente recomendar modelos ou receitas de solução a determinados problemas de aprendizagem” (PAIS, 2002b, p. 11). Em Pais (2002a, p. 11), obtemos uma defi nição da Didática da Matemática relativa ao contexto brasileiro, ou seja, uma tendência da grande área da Educação Matemática, que tem por objeto de estudo,
[...] a elaboração de conceitos e teorias que sejam compatíveis com a especifi cidade educacional do saber escolar matemático, procurando manter fortes vínculos com a formação de conceitos matemáticos, tanto em nível experimental da prática pedagógica, como no território teórico da pesquisa acadêmica.
Assim, essa é uma ferramenta valiosa utilizada em vários momentos do período letivo e para diferentes tipos de atividades que se realizam no percorrer das aulas e do processo ensino-aprendizagem, a qual sempre tem que estar presente nas palavras do professor para ter o tempo todo seus alunos vinculados e comprometidos com o conhecimento.
Atividades de Estudos:
1) Enquanto sua atuação como professor, você traz conceitos através de situações didáticas objetivando com que seus alunos precisem raciocinar na resolução de situações que podem acontecer na sua realidade, aproximando assim, o conceito à vida do estudante. De que maneira acontece esse processo no seu caso?
A função do contrato didático é equilibrar questões implícitas
e explícitas, buscando criar um espaço de diálogo e troca entre professor
e alunos, tendo em vista que a comunicação tem
sentido diferente para ambos os
atores.
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2) Qual é o objetivo de fazer uso de um contrato didático entre professor e alunos?
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3) Enquanto profi ssional atuante no âmbito escolar, como você se percebe utilizando a transposição didática?
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Algumas ConsideraÇões
A Didática da Matemática, é uma das tendências teóricas da Educação Matemática. No Brasil, esta tendência teve forte infl uência dos autores franceses, alguns dos quais, apresentamos e apresentaremos nos próximos capítulos as teorias que têm sido utilizadas como suporte em diversos trabalhos de pesquisadores matemáticos brasileiros.
A partir da década de 1960, foram implementadas algumas mudanças no ensino da Matemática, com proposição de novos programas, metodologias de ensino, conteúdos e currículos para a formação de professores. Estas mudanças
coincidem com o impulso que teve a Educação Matemática no Brasil e que se identifi cou com a grande diversidade de tendências teóricas que surgiram.
Foram concebidas lógicas de organização no ensino da Matemática, operações realizadas no referente a conjuntos numéricos atrelados a teoremas, fórmulas, axiomas e demonstrações que são característicos do conhecimento matemático e as mudanças abarcaram a didática utilizada para essa nova maneira de ensinar Matemática, Matemática moderna.
A existência deste considerável movimento educacional, que trabalha na estruturação de um saber pedagógico voltado ao ensino da Matemática, teve justifi cativa, em nível social, na necessidade de responder a uma crise generalizada que atinge toda a educação escolar.
Essas novas tendências revelam variadas concepções da própria educação, desde as mais tradicionais às mais libertadoras sobre a prática escolar. Neste contexto, surge a Didática da Matemática como uma forma particular de descrever e compreender os fenômenos da prática educativa.
Todos os conceitos didáticos visam favorecer a compreensão das múltiplas conexões entre a teoria e a prática, propiciando compreender as condições de produção, registro e comunicação do conteúdo escolar da Matemática e suas consequências didáticas. Deste modo, entende-se a dimensão teórica como o ideário resultante da pesquisa e a prática como a condução do fazer pedagógico.
Referências
BACHELARD, G. (1928). Ensaio sobre o conhecimento aproximado. Rio de Janeiro, RJ: Contraponto, 2004, 316p.
______. (1938). A formação do espírito científi co. Rio de Janeiro, RJ:
Contraponto, 2003, 316p.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática.Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/
SEF, 1997. 142p.
BROUSSEAU, G. A Teoria das Situações Didáticas e a Formação do Professor. Palestra. São Paulo: PUC, 2006.
______. Fundamentos e Métodos da Didáctica da Matemática. In: BRUN, J.
Didática das Matemáticas. Tradução de: Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget, 1996a. Cap. 1. p. 35-113.
______. Os diferentes papéis doprofessor. In: PARRA, C.; SAIZ, I. (org). Didática da Matemática: Refl exões Psicológicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996b.
Cap. 4. p. 48-72.
CHEVALLARD, Y., BOSCH, M. e GASCÓN, J. Estudar Matemáticas: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Tradução: Daisy Vaz de Moraes. Porto Alegre: Artmed, 2001.
______. Educação como prática da liberdade. 29. ed. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 2006.
D’AMBRÓSIO, U. Etnomatemática - elo entre as tradições e a modernidade.
Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
FREIRE, P. Pedagogia da Esperança: um reencontro com a Pedagogia do Oprimido. 11. ed. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 2003.
GODINO, J. Perspectiva de la Didática de lãs Matemática como disciplina científi ca. Un. Granada: Programa de doctorado “Teoria de la educación Matemática”, 2003.
PAIS, L. C. Didática da matemática: uma análise da infl uência francesa. 2.
ed. 2. Reimp. -Belo Horizonte: Autêntica, 2008. 128p. (Coleção Tendências em Educação Matemática, 3).
______. Transposição Didática. In: ALCÂNTARA, S. D. (Org). Educação Matemática: uma introdução. p. 13-42. São Paulo: EDUC, 1999.
______. Introdução. In: MACHADO, Silvia Dias A. Educação Matemática: uma introdução. 2. ed. São Paulo: EDUC, 2002a, 9-12.
______. Transposição Didática. In: MACHADO, Silvia Dias A. Educação Matemática: uma introdução. 2. ed. São Paulo: EDUC, 2002b, 13-42.
PERRELLI, M. A. S. Uma epistemologia dos conteúdos das disciplinas científi cas: as contribuições da transposição didática. In: Série-Estudos.
Periódico do Mestrado em Educação da Universidade Católica Dom Bosco. n.7, p. 76-113, abr. Campo Grande, MS: 1999.
C APÍTULO 2
Referências da Didática da Matemática
A partir da perspectiva do saber fazer, neste capítulo você terá os seguintes objetivos de aprendizagem:
Apresentar o saber matemático e suas particularidades.
Discutir o trabalho do professor de matemática.
Conhecer obstáculos epistemológicos e didáticos no ensino da matemática.
Articular o trabalho do professor de matemática com os obstáculos epistemológicos e didáticos.
Analisar a formação de conceitos e os campos conceituais.
ConteXtualiZaÇÃo
Quando falamos em referências, poderíamos pensar em autores ou diretrizes sobre o estudo da Didática da Matemática, no entanto, o que desejamos fazer é tornar claras as referências fundamentais que servem para compor uma didática mais relevante no âmbito educacional e científi co. Nesse sentido, abordamos as questões das escolhas que realizam os professores no seu trabalho, cuja abrangência é a partir de seus conhecimentos e propostas de ensino, os conteúdos que terão que trabalhar vinculados ao saber, aos tipos de obstáculos que podem enfrentar no processo ensino-aprendizagem envolvendo tanto o próprio professor quanto o aluno com sua intelectualidade e com a valorização do seu contexto. Além disso, o professor não só trabalha os signifi cados do próprio conceito, mas leva essas variáveis mencionadas conjugadas no fazer do professor na realidade escolar. Nesse capítulo, abordamos as referências da Didática da Matemática, dialogamos com Brousseau (1986a) e realizamos uma análise do saber matemático levado à esfera escolar.
O SaBer Matemático
Ao pensar em saber matemático, as primeiras ideias que ocorrem são abstratas, características próprias da matemática. Consideramos, aqui, que a natureza do saber matemático procedente de um lugar acadêmico irá afetar a prática na escola desse professor, levando sua concepção das ideias matemáticas à sala de aula. Cada professor terá sua própria concepção de acordo com a formação que teve e da sua história pessoal e acadêmica. Lembramos que existe diversidade de concepções fi losófi cas e isso traz diferentes práticas educativas.
A criação de conceitos, descobertas de teoremas e demonstrações são traços característicos do trabalho do matemático, que são básicos no ensino da matemática, e que posto em prática vem atrelado à aprendizagem dessa disciplina. Nessa atrelagem se faz necessária tanto à atuação pedagógica quanto às tarefas realizadas pelos alunos para obter, de fato, o sucesso na aprendizagem da disciplina e, para isso, se deve considerar o conteúdo estudado relacionado ao contexto em que o aluno se encontra inserido.
Nesse contexto, a Etnomatemática é uma tendência dentro da educação matemática que, conforme Ubiratan D’Ambrosio (1990, p.5- 6), é:
[...] a arte ou técnica de explicar, de conhecer, de entender- nos diversos contextos culturais. [...] é um programa que visa
Etnomatemática é uma tendência dentro da educação
matemática.
explicar os processos de geração, organização e transmissão de conhecimento em diversos sistemas culturais e as forças interativas que agem nos e entre os três processos [...].
A Etnomatemática pode ser empregada no processo ensino-aprendizagem da Matemática com o intuito de compreender as diferentes sociedades culturais, tais como grupos urbanos, grupos rurais, trabalhadores, classes profi ssionais, grupos indígenas, entre outros. Não é aprendida dentro de uma escola, e sim, através do convívio entre colegas de profi ssão, amigos, familiares e, em geral, através da vida cotidiana.
Para Ubiratan D’Ambrosio (1990, p.5):
[...] etno é hoje aceito como algo muito amplo, referente ao contexto cultural, e portanto inclui considerações como linguagem, jargão, códigos de comportamento, mitos e símbolos; matema é uma raiz difícil, que vai na direção de explicar, de conhecer, de entender; e tica vem sem dúvida de techne, que é a mesma raiz de arte e de técnica.
A Etnomatemática é um dos caminhos para o resgate da função social da escola, no intuito dessa se constituir em mais um elemento preocupado em promover aos alunos o questionamento das razões da vida em sociedade. A escola deve ser tomada como o lugar onde o aluno entra em contato com uma série de conhecimentos, que ele pode não vivenciar diretamente, mas que lhe possibilitem uma compreensão mais ampla do mundo que o rodeia. E, nesse sentido, o saber matemático pode ser socializado e contribuir para elevar o nível cultural da população, que hoje se encontra alienada dos processos decisórios, em nome da ignorância. Nesse contexto, a prática pedagógica da Matemática, pode se tornar um meio para a construção/reconstrução social.
Faz-se necessário buscar como fonte para a construção do conhecimento matemático, as questões que emergem da realidade social do aluno, ou seja, transformar o ensino em atividade signifi cativa, o que certamente trará mais motivação e, frequentemente, um aprofundamento do signifi cado dessas questões.
Faz-se necessário buscar como fonte para a construção do conhecimento matemático, as
questões que emergem da realidade social do aluno, ou seja,
transformar o ensino em atividade
signifi cativa, o que certamente trará mais motivação e, frequentemente, um
aprofundamento do signifi cado dessas
questões.
Conheça um produto educacional envolvendo a Etnomatemática em um dos trabalhos de Mestrado em Ensino de Ciências Naturais e Matemática.
TIRONI, Cristiano Rodolfo.As contribuições do Laboratório de educação matemática Isaac Newton para o ensino de matemática na educação básica na perspectiva da etnomatemática. 2015.
86 + 61 f., il. Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Regional de Blumenau, Centro de Ciências Exatas e Naturais, Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática, Blumenau, 2015. Disponível em: <http://www.bc.furb.br/
docs/DS/2015/360424_1_1.pdf>. Acesso em: 23 mai. 2016.
Para compreendermos melhor a matemática, no quesito sobre a sua natureza fi losófi ca Davis e Hersh (1985) assinalam que há historicamente três tendências, o platonismo, o formalismo e o construtivismo. A explicitação dos fundamentos dessas tendências, permite a discussão dos objetos de estudo da Matemática a partir de concepções que se fazem presentes nas práticas pedagógicas com a disciplina.
a) Platonismo
A tendência mais antiga ,considera que existe um mundo que não é matéria e, portanto, os objetos são ideias acabadas, assim como os conceitos também são acabados, já existem previamente aos esforços
intelectuais de cientistas,o que nos leva a pensar que eles não são inventados, mas descobertos. Nesta concepção, a Matemática existe independente dos homens, pois está em alguma parte, no mundo das ideias platônicas. Essa concepção é “O Platonismo”. Davis e Hersh, (1985, p. 359) afi rmam que,
[...] os objetos matemáticos são reais. Sua existência é um fato objetivo, totalmente independente de nosso conhecimento sobre eles. Conjuntos fi nitos, conjuntos infi nitos não numeráveis, variedade de dimensão infi nita, curvas que enchem o espaço – todos os membros do zoológico matemático são objetos defi nidos, com propriedades defi nidas, algumas conhecidas, muitas desconhecidas.
Nesta perspectiva, os objetos são entes ideais, não são físicos ou materiais, Para compreendermos
melhor a matemática, no quesito sobre a sua
natureza fi losófi ca Davis e Hersh (1985)
assinalam que há historicamente três tendências,
o platonismo, o formalismo e o construtivismo.
existem desligados de um espaço e tempo, portanto são imutáveis e, o papel do matemático é o de descobrir o que já existe, está pré-determinado no mundo.
b) Formalismo
Já na segunda tendência, entram em jogo elementos conhecidos como axiomas, defi nições e teoremas que dialogam entre eles através de regras que, por sua vez, conduzem a deduções e sequências lógicas traduzindo isso em atividade matemática. Colocando em prática os conceitos daí derivados, podem se inventar fórmulas que sejam aplicadas na resolução de problemas numa realidade específi ca. Esta tendência tem suas raízes em Kant, que considera que a lógica desempenha na Matemática o mesmo papel do que em qualquer outra ciência e, conforme Machado (1994, p. 29): “Considera que, sem dúvida, em Matemática os teoremas decorrem dos axiomas de acordo com as leis da Lógica. “Nega, no entanto, que os axiomas sejam eles mesmos, princípios lógicos ou consequências de tais princípios.””.
Nessa concepção, denominada “Formalismo” não existem objetos matemáticos, “a matemática consiste em axiomas, defi nições e teoremas – em outras palavras fórmulas.” (DAVIS; HERSH, 1985, p. 360). O formalismo, criado em 1910 por Hilbert (1861-1943), defende a linguagem formal em detrimento da linguagem cotidiana, natural, pois acredita que a linguagem formal utiliza raciocínios absolutamente seguros, acima de qualquer suspeita ou contradição.
Para a formação de professores de matemática é fundamental contar com a amplitude de conhecimentos e opções na sua prática pedagógica, ter acesso ao objeto didático, o trabalho do matemático e suas concepções. As duas tendências explicadas são válidas e mesmo parecendo dicotômicas é conveniente considerá- las para o entendimento de uma noção científi ca.
c) Construtivismo
Por volta de 1908, surge a corrente construtivista, que admite a existência de entidades abstratas, mas somente na medida em que são construídas pela mente do sujeito. O idealizador desta escola foi Brower, que admite um modelo kantiano de conhecimento a priori, que o homem tem uma intuição particular que lhe permite construções mentais a partir de uma percepção imediata. A Matemática é entendida como construção mental e não como um conjunto de teoremas.
Nesta corrente, considera-se que “os objetos matemáticos não podem ser considerados existentes, se não forem dados por uma construção, em número fi nito de procedimentos, partindo dos números naturais. Não é sufi ciente mostrar
que a hipótese de não-existência conduziria a uma contradição.” (DAVIS; HERSH, 1985, p. 375).
Quanto a esta tendência, existem algumas limitantes ligadas à amplitude das concepções matemáticas que essa tendência aceita. O autor Davis (1985) se refere às concepções matemáticas com base no “Construtivismo” como concepções limitadas que só expressam o que pode ser obtido como uma construção fi nita, deixando de lado teorias que trabalham com números reais.
Essa natureza fi losófi ca do construtivismo, na área da matemática fi ca pouco expressiva quando comparada com as de maior preponderância como são o Platonismo e o Formalismo. Assim, essas duas últimas tendências são as que sobressaem na atuação científi ca.
Aprofunde seus conhecimentos sobre concepções fi losófi cas, realizando a leitura do artigo:
MENEGHETTI, R. C. G.; TREVISANI, F. de M. Futuros matemáticos e suas concepções sobre o conhecimento matemático e seu ensino e aprendizagem. In: EMP. Educação Matemática Pesquisa. Revista do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática. São Paulo, v.15, n.1, pp.147-178, 2013.
A tendência platônica está baseada nas ideias de Platão, que valorizava o trabalho intelectual em detrimento do trabalho manual. A Matemática se encontrava em um mundo ideal, tendo supremacia em relação às outras ciências. Baraldi (1999, p. 85) considera que esta concepção está presente quando consideramos a Matemática “contextualizada nela mesma, abstrata, pronta e acabada, que somente pode ser aprendida intelectualmente.”.
A tendência formalista considera o conhecimento matemático como detentor de verdades absolutas, que podem ser provadas pelo método dedutivo e que não podem ser validadas por métodos experimentais. Conforme Baraldi (1999, p.
86): “Os absolutistas aceitam, sem demonstrações, um conjunto de afi rmações básicas, a partir da qual deduzem logicamente outros resultados.”.
E, fi nalizando, na tendência construtivista, os conhecimentos matemáticos são construídos e reconstruídos, não sendo separados, conforme Baraldi (1999, p. 90), “do conhecimento empírico, da física e de outras crenças”. A Matemática
