Escola: Colégio Positivo de Gurupi
Componente Curricular/Disciplina: Matemática/ Matemática
Professora: Renato Souza Turma: 92.01 ( ), 92.02 ( ) e 92.03 ( ) INFORMAÇÕES IMPORTANTES
Olá querido estudante, como você está? Espero que esteja tudo bem, estou aqui hoje para poder tratar de um tema muito importante e que irá contribuir para o seu crescimento pessoal e científico. Conto com o seu empenho para responder às atividades propostas, pois o sucesso do seu crescimento intelectual depende de você.
Com compromisso e dedicação você vencerá obstáculos e alcançará suas metas traçadas como projeto de vida.
Lembre-se, estamos todos buscando superar este momento conturbado que enfrentamos, p ortanto, não desanime, seja forte e dê o seu melhor, você não está sozinho.
Cronograma Data da entrega: 20 /09/2021 Data da devolução: 02/10/2021 Carga horária das atividades: 17 horas/Aulas
HABILIDADES/OBJETIVOS:
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
(EF09MA09aTO) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis.
(EF09MA09bTO) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
OBJETOS DE CONHECIMENTO:
➢ Equações biquadradas;
➢ Equações Irracionais;
➢ Sistemas de equações do 1º e 2º grau.
OBJETOS DE CONHECIMENTO DA SIMULADO BIMESTRAL DE MATEMÁTICA
➢ Equações do 2º grau
➢ Equações do 2º grau incompletas
➢ Equações do 2º grau completas
➢ Resolução de equações do 2º grau.
➢ Relações métricas no triângulo retângulo;
➢ Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração;
➢ Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo e em um triângulo qualquer;
1ª e 2ª AULA
EQUAÇÕES BIQUADRADAS
As equações biquadradas são aquelas que possuem grau 4, ou equações do 4º grau, cujos expoentes são pares, como constataremos logo mais. Portanto, uma condição indispensável é não existir expoentes ímpares na equação a ser resolvida.
Vejamos a forma geral de uma equação biquadrada:
São exemplos de equações biquadradas:
i. x4 - 5x2 + 4 = 0 ii. 2x4 - 7x2 + 3 = 0 iii. x4 - 36 = 0 iv. x4 - 49x2 = 0
Não são exemplos de equações biquadradas expressões do tipo:
v. x4 - 5x + 4 = 0 vi. x² - 5x + 4 = 0 vii. x4 - 5x³ + 4 = 0
Resolução de uma equação biquadrada
Na resolução de uma equação biquadrada em |R, devemos substituir sua incógnita, transformando-a numa equação do 2º grau. Observe agora o procedimento que deve ser utilizado.
Sequência prática:
1. Substitua x4 por y2 (ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.
2. Resolva a equação ay2 + by + c = 0.
3. Determine a raiz quadrada de cada uma das raízes (y1 e y2) da equação ay2 + by + c = 0.
4. Encontre a raiz quadrada de y1 e de y2, obtendo quatro resultados (um positivo e um negativo para y1 e um positivo e um negativo para y2).
Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada.
IMPORTANTE: se y1 ou y2 for negativa, ela não dará nenhum resultado real em x, porque não existe raiz quadrada de número negativo.
Exemplos:
1. Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13x2 + 36 = 0.
Resolução:
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 - 13y + 36 = 0 a = 1; b = -13 e c = 36 Calculando o ∆, temos:
∆ = 𝑏2− 4 𝑎𝑐
∆ = (−13)2− 4 ∗ 1 ∗ 36
∆ = 169 − 144
∆ = 25
Vamos encontrar agora o valor de y, usando a fórmula de Bhaskara.
𝑦 = −𝑏 ± √∆
2𝑎
𝑦 = −(−13) ± √25 2 ∗ 1 𝑦 = 13 ± 5
2 𝑦′ = 13+ 5
2 → y’ = 18
2 → y’ = 9.
𝑦′′ = 13− 5
2 → y’’ = 8
2 → y’’ = 4.
Como x2 = y, temos:
Logo, temos para conjunto verdade: V = {-3, -2, 2, 3}.
2. Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
y2 +4y - 60 = 0 a = 1; b = 4 e c = -60 Calculando o ∆, temos:
∆ = 𝑏2− 4 𝑎𝑐
∆ = 42− 4 ∗ 1 ∗ (−60)
∆ = 16 + 240
∆ = 256
Vamos encontrar agora o valor de y, usando a fórmula de Bhaskara.
𝑦 = −𝑏 ± √∆
2𝑎 𝑦 = −4 ± √256
2 ∗ 1 𝑦 = −4 ± 16
2 𝑦′ = −4+ 16
2 → y’ = 12
2 → y’ = 6.
𝑦′′ = −4− 16
2 → y’’ = −20
2 → y’’ = -10.
Como x2 = y, temos:
Logo, temos para conjunto verdade: V = {-√6, √6 }.
3ª e 4ª AULA
Responder no seu caderno os exercícios do anexo 01 desse roteiro de estudos.
5ª e 6ª AULA
1. Resolva as equações biquadradas abaixo, e escreva o conjunto verdade de cada uma delas.
a) x4 – 5x2 + 4 = 0
b) x4 – 13x2 + 36 = 0 c) x4 – 26x2 + 25 = 0 d) x4 – 2x2 – 8 = 0 e) x4 – 17x2 + 16 = 0 f) 4x4 – 17x2 + 4 = 0 g) x4 – 18x2 + 81 = 0 h) 9x4 – 10x2 + 1 = 0 i) x4 – 8x2 – 9 = 0
j) x4 + 3x2 – 4 = 0 k) x4 -7x2 + 12 = 0 l) x4 + 5x2 + 6 = 0 m) x4 – 18x2 + 32 = 0
7ª e 8ª AULA EQUAÇÕES IRRACIONAIS
O estudo de equações consiste em encontrarmos um valor para a incógnita da equação de modo que esta satisfaça aquela condição de igualdade.
A equação irracional é aquela na qual a incógnita está em um radicando.
Como podemos notar, a incógnita x aparece no radicando, logo, se utilizarmos a equação escrita deste modo, nada poderemos fazer.
Entretanto, existem alguns passos que nos auxiliam para a resolução desta equação.
1- Primeiramente, precisamos deixar o termo que contém o radical de um lado da igualdade, isolado.
2- Após isolá-lo, podemos elevar os dois lados da igualdade ao quadrado, pois desta forma eliminaremos o radical de nossa equação.
3- Agora obteremos as raízes desta equação do segundo grau, e posteriormente testaremos estas raízes para que possamos verificar qual (quais) delas satisfaz(em) a nossa equação.
Testando as duas raízes x’=-1
x’’=-2
Neste caso, as duas raízes da equação do segundo grau satisfizeram a nossa equação irracional, mas tome muito cuidado, podemos ter casos nos quais encontraremos raízes que não satisfazem a equação.
9ª e 10ª AULA
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES IRRACIONAIS Exemplo 1: Resolva a equação irracional abaixo:
Note que, para resolver tal equação irracional, devemos achar uma maneira de eliminar o radical que possui índice 2, ou seja, devemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado e, em seguida, resolver a equação, confira:
Observe que de uma equação irracional caímos em uma equação do segundo grau, bastando agora resolvê-la utilizando o método de Bhaskara.
Portanto, o conjunto solução é dado por:
S = {7, 1}
Exemplo 02: Resolva a equação:
Observe que o índice do radical é o número 5, assim sendo, para resolvermos essa equação, devemos elevar ambos os lados à quinta potência. Veja:
Portanto, o conjunto solução é dado por:
S = {32}
11ª e 12ª AULA
Responder no seu caderno os exercícios do anexo 02 desse roteiro de estudos.
.
15ª AULA
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas representações gráficas constituem uma reta e uma parábola, respectivamente. Resolver um sistema envolvendo equações desse modelo requer conhecimentos do método da substituição de termos. Observe as resoluções comentadas a seguir:
Exemplo 1
Isolando x ou y na 2ª equação do sistema:
x + y = 6 x = 6 – y
Substituindo o valor de x na 1ª equação:
x² + y² = 20 (6 – y)² + y² = 20
(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20 36 – 12y + y² + y² – 20 = 0
16 – 12y + 2y² = 0
2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equação por 2) y² – 6y + 8 = 0
a = 1, b = –6 e c = 8
∆ = b² – 4ac
∆ = (–6)² – 4 * 1 * 8
∆ = 36 – 32
∆ = 4
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos:
Para y = 4, temos:
x = 6 – y x = 6 – 4 x = 2
Par ordenado (2; 4) Para y = 2, temos:
x = 6 – y x = 6 – 2 x = 4
Par ordenado (4; 2)
S = {(2: 4) e (4; 2)}
Exemplo 02: Resolver o sistema abaixo:
Observe que, nesse exemplo, a equação x·y = 15 fornece um produto entre as incógnitas x e y, portanto, essa é uma equação do 2° grau. Para resolvê-la, vamos utilizar o método da substituição. Na segunda equação, isolaremos x:
2x – 4y = – 14 2x = 4y – 14
x = 4y – 14 2 x = 2y – 7 Agora substituiremos x = 2y – 7 na primeira equação:
x·y = 15 (2y – 7)·y = 15 2y² – 7y – 15 = 0
Para encontrar os possíveis valores de y, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:
Δ = b² – 4.a.c Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)
Δ = 49 + 120 Δ = 169 y = – b ± √Δ
2.a y = – (– 7) ± √169
2.2 y = 7 ± 13
4 y1 = 7 + 13
4 y1 = 20 4 y1 = 5 y2 = 7 – 13 4 y2 = – 6 4 y2 = – 3 2
Agora podemos substituir os valores encontrados para y em x·y = 15 com o objetivo de determinar os valores de x:
x1 · y1 = 15 x1 · 5 = 15 x1 = 15 5 x1 = 3
x2 · y2 = 15 x2 · (– 3) = 15·2 x2 = 15 . (– 2) 3 x2 = – 10
Podemos afirmar que a equação possui duas soluções do tipo (x, y), são elas: (3, 5) e (– 10, – 3/2).
Responder no seu caderno do futuro os exercícios do anexo 03 desse roteiro de estudos.
16ª e 17ª AULA
Caro estudante, nessa aula você irá realizar o simulado do 3º bimestre do componente de curricular de matemática, que terá como temática os seguintes objetos de conhecimentos:
➢ Equações do 2º grau
➢ Equações do 2º grau incompletas
➢ Equações do 2º grau completas
➢ Resolução de equações do 2º grau.
➢ Relações métricas no triângulo retângulo;
➢ Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração;
➢ Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo e em um triângulo qualquer;
AVALIAÇÃO-
✓ A avaliação acontecerá durante todo o processo, considerando entre outros, a participação, o desempenho, pontualidade na entrega de cada atividade proposta.
✓ Sua avaliação será contínua e serão considerados os seguintes aspectos: -Atitude – interesse e cumprimento das atividades propostas. -Procedimento – capacidade de resolver as atividades propostas.
✓ O aluno (a) será avaliado de forma conceitual e procedimental contínua e individual, durante todo o processo de ensino aprendizagem.
✓ . Também será avaliada a interação dos alunos, a troca de ideias, a capacidade de argumentação, a cooperação e a realização de ações individuais e em grupos.
REFERÊNCIAS:
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Versão final. Brasília: MEC, 2017. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_publicacao.pdf.
TOCANTINS. Secretaria de Educação, Juventude e Esporte. Documento Curricular do Território do Tocantins: Ensino Fundamental. Secretaria de Educação, Juventude e Esportes,2019.
Site: http://colegiopositivogpi.com.br/
www.projetoaprovabrasil.com.br
Aprova Brasil: 6° ao 9° ano: matemática: ensino fundamental: anos finais/ organizadora Editora Moderna. Cabral, Thaís Ginícolo. São Paulo: moderna, 2019.
ANEXO 01
ANEXO 02
ANEXO 03
