FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO RICARDO CONSONNI

FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO

RICARDO CONSONNI

MODELAGEM DE SUPERFÍCIES DE VOLATILIDADE PARA OPÇÕES COM BAIXA LIQUIDEZ SOBRE PARES DE MOEDAS, CUJOS COMPONENTES

APRESENTAM OPÇÕES LÍQUIDAS EM OUTROS PARES

SÃO PAULO 2011

RICARDO CONSONNI

MODELAGEM DE SUPERFÍCIES DE VOLATILIDADE PARA OPÇÕES COM BAIXA LIQUIDEZ SOBRE PARES DE MOEDAS, CUJOS COMPONENTES

APRESENTAM OPÇÕES LÍQUIDAS EM OUTROS PARES

Dissertação apresentada à Escola de Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV/EESP) como requisito para obtenção do título de Mestre em Finanças e Economia Empresarial.

Orientador: Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto

SÃO PAULO 2011

Consonni, Ricardo.

Modelagem de Superfícies de Volatilidade para Opções com Baixa Liquidez Sobre Pares de Moedas, Cujos Componentes Apresentam Opções Líquidas em Outros Pares / Ricardo Consonni. - 2011.

56 f.

Orientador: Afonso de Campos Pinto

Dissertação (mestrado profissional) - Escola de Economia de São Paulo.

1. Câmbio a termo. 2. Liquidez (Economia). 3. Análise estocástica. 4.

Mercado de opções. 5. Moeda. I. Pinto, Afonso de Campos. II. Dissertação (mestrado profissional) - Escola de Economia de São Paulo. III. Título.

CDU 336.764.2

RICARDO CONSONNI

MODELAGEM DE SUPERFÍCIES DE VOLATILIDADE PARA OPÇÕES COM BAIXA LIQUIDEZ SOBRE PARES DE MOEDAS, CUJOS COMPONENTES

APRESENTAM OPÇÕES LÍQUIDAS EM OUTROS PARES

Dissertação apresentada à Escola de Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV/EESP) como requisito para obtenção do título de Mestre em Finanças e Economia Empresarial.

Data de aprovação:

____/____/_______

Banca Examinadora:

_________________________________

Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto (Orientador)

FGV-EESP

_________________________________

Prof. Dr. José Evaristo dos Santos FGV-EAESP

_________________________________

Prof. Dr. Oswaldo Luiz do Valle Costa USP-EPUSP

Agradecimentos

Ao meu orientador, Prof. Afonso de Campos Pinto, por todo o apoio e dedicação ao longo deste trabalho.

Ao Prof. Ricardo Rochman, pela atenção dada na apresentação da dissertação.

A Christian Iveson, pelos esclarecimentos a respeito do modelo.

Aos meus colegas de trabalho, Cláudio de Nardi Queiroz, Paulo do Canto Hubert Jr.

e Rodrigo Polastro, pelo apoio na resolução dos cálculos e equações e sugestões na apresentação dos resultados.

Aos meus pais, que me deram apoio durante este tempo todo.

À minha namorada, Tais Souza Borba, por todo carinho e compreensão.

Resumo

Este trabalho apresenta um modelo para determinação da superfície de volatilidades de um par de moedas cujas opções têm baixa liquidez, utilizando superfícies de volatilidade com maior liquidez, de pares de moedas em que as moedas estudadas sejam uma de suas componentes. Esse objetivo é atingido através da utilização de um modelo de volatilidade estocástica. A calibração de seus parâmetros é feita a partir dos valores de mercado de Butterfly Spreads e Risk Reversals dos pares de moedas líquidos. O trabalho contribui em relação à literatura no sentido de ampliar a cobertura de strikes e vencimentos considerados, permitindo que, tanto opções pouco líquidas e fora do dinheiro, como notas estruturadas com opções embutidas possam ser mais adequadamente apreçadas.

Palavras-chave: Volatilidade Estocástica, Superfície de Volatilidade, Opções de Câmbio

Abstract

This work presents a model for determining the volatility surface of a currency pair whose options have low liquidity, using higher liquidity volatility surfaces of other currency pairs, in which the desired currencies are one of their components. This goal is achieved through the use of a stochastic volatility model. The calibration of its parameters is done from market values of the Butterfly Spreads and Risk Reversals of the liquid-currency pairs. This work contributes to the literature in an effort to broaden the scope of strikes and maturities considered, allowing for both illiquid and out of-the-money options, as well as structured notes with embedded options, to be more appropriately priced.

Keywords: Stochastic Volatility. Volatility Surface, Currency Options

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Volatilidade mensal observada nos pares de moedas USDCAD, EURUSD e EURCAD no período de Jan/2006 a Mar/2011...14 Figura 2 – Smile de volatilidade típico, observado no dia 15/03/2011, para o par

USDBRL ...15 Figura 3 - Exemplo de superfície de volatilidades...15 Figura 4: Ilustração de uma árvore binomial com volatilidade estocástica (Derman,

2008)...17 Figura 5: Volatilidades implícitas para o par de moedas EURBRL, no dia 15/03/2011

...25 Figura 6: Risk Reversals e Butterfly Spreads do par de moedas EURBRL, no dia

15/03/2011...26 Figura 7: Fluxograma do processo de obtenção das volatilidades implícitas...29 Figura 8: Alphas calculados para as moedas USDCAD e EURUSD no dia

15/03/2011...32 Figura 9: Rhos calculados para as moedas USDCAD e EURUSD no dia 15/03/2011

...32 Figura 10: Alphas e Rhos calculados para o par de moedas EURCAD, no dia

15/03/2011...35 Figura 11: Butterfly Spreads e Risk Reversals calculados para o par de moedas

EURCAD, no dia 15/03/2011 ...36 Figura 12: Superposição das superfícies de volatilidade estimada e de mercado para as calls do par EURCAD, para o dia 15/03/2011...37 Figura 13: Resultado da subtração das superfícies de volatilidade estimada e de

mercado das calls do par EURCAD para o dia 15/03/2011. ...38 Figura 14: Secções temporais das superfícies de volatilidade estimada e de mercado das calls do par EURCAD para o dia 15/03/2011...39 Figura 15: Secções temporais das superfícies de volatilidade estimada e de mercado das puts do par EURCAD para o dia 15/03/2011. ...40 Figura 16: Secções por Delta das superfícies de volatilidade estimada e de mercado das calls do par EURCAD para o dia 15/03/2011...41 Figura 17: Secções por Delta das superfícies de volatilidade estimada e de mercado das puts do par EURCAD para o dia 15/03/2011. ...42 Figura 18: Superposição das superfícies de volatilidade estimada (por baixo) e de

mercado para as calls do par EURCAD, para o dia 15/09/2008...55 Figura 19: Resultado da subtração das superfícies de volatilidade estimada e de

mercado das calls do par EURCAD para o dia 15/09/2008. ...55 Figura 20: Superposição das superfícies de volatilidade estimada (por cima) e de

mercado para as calls do par EURCAD, para o dia 06/05/2010...56 Figura 21: Resultado da subtração das superfícies de volatilidade estimada e de

mercado das calls do par EURCAD para o dia 06/05/2010. ...56

SUMÁRIO

1. Introdução ...9

2. Revisão Bibliográfica...12

3. Descrição do Modelo...24

4. Apresentação e Discussão dos Resultados ...31

5. Conclusões...43

6. Bibliografia...45

Apêndice I – Demonstração matemática da determinação dos parâmetros

α

_i e

ρ

_i dos pares de moedas líquidos a partir dos valores de Risk Reversals e Butterfly Spreads...47

Apêndice II - Saídas do software Eviews para as regressões da volatilidade de cada Par de Moedas, em função da variação de suas cotações – Fase 2 ...54

Apêndice III – Comparação das Superfícies de Volatilidades para Outros Dias de Interesse...55

1. INTRODUÇÃO

O mercado de opções de câmbio apresenta grande liquidez há vários anos, e o correto apreçamento de seus instrumentos se torna imperativo para o sucesso dos participantes desse mercado. Esse assunto já foi abordado em inúmeros estudos, e as características de cada fator que influenciam o preço das opções, principalmente as plain vanilla, cujo volume negociado corresponde a mais da metade do volume total desse mercado, continuam a ser discutidos, em busca de novos fatores e explicações, que possam tornar o processo de apreçamento mais refinado.

O preço de uma opção depende diretamente de sua volatilidade implícita, indicador da expectativa de volatilidade futura do ativo-objeto, atribuída pelos participantes do mercado. A motivação para este trabalho vem da crescente demanda por modelos que permitam determinar, com maior precisão, as superfícies de volatilidades implícitas de ativos cujas opções têm baixa liquidez, mesmo que seus ativos-objeto sejam bastante negociados.

O objetivo deste trabalho é desenvolver uma forma de determinar a superfície de volatilidades de opções com baixa liquidez, cujo ativo-objeto seja um par de moedas cujos componentes tenham opções com maior liquidez quando pareadas com uma terceira moeda. O par de moedas escolhido para este estudo é o Euro x Dólar Canadense (EURCAD), cujas opções apresentavam baixa liquidez até meados de 2007, quando começaram a ser negociadas com maior freqüência. Para possibilitar a execução do estudo, foram utilizadas as opções das moedas componentes do par estudado pareadas com o Dólar Americano (EURUSD e USDCAD), que possuem liquidez elevada.

A relevância deste estudo consiste em permitir que os pontos faltantes em uma superfície de volatilidades sejam determinados, principalmente quando os dados são escassos. Uma vez testado para um mercado com maior liquidez, o modelo pode ser estendido para mercados com liquidez reduzida. Estas superfícies servem como base para o apreçamento de instrumentos financeiros mais sofisticados, como opções exóticas e notas estruturadas.

O interesse deste trabalho nasce do constante desenvolvimento do mercado financeiro, e da sofisticação dos instrumentos envolvendo opções sobre pares de

moedas. A diversificação dos investimentos tem crescido em ritmo acelerado para as opções sobre pares de moedas menos líquidos.

O mercado de moedas experimentou uma forte expansão na última década, não só como meio de especulação, mas também como instrumento de proteção de investimentos cross-border, uma vez que a busca por rentabilidades maiores geralmente é acompanhada pela busca de alternativas mais eficientes de realizar hedge. Esperamos que as opções de câmbio tendo o Real como um de seus componentes passem a figurar dentre essas alternativas em um futuro próximo.

Iveson (2010) apresentou um modelo para determinar a superfície de volatilidades de um par de moedas cujas opções têm baixa liquidez, utilizando as superfícies de volatilidades de outros pares de moedas cujas opções são mais líquidas. Este trabalho estende esse modelo, ao utilizar um número maior de prazos até o vencimento e de relações de moneyness¹, buscando obter valores mais precisos para todo o range de valores negociados. Seu objetivo primário é permitir que se estimem com maior acurácia os valores ausentes das superfícies de volatilidades existentes, devido a dados incompletos, devido à falta de histórico de negócios. Adicionalmente, busca permitir que se determine uma superfície de volatilidades que possibilite identificar oportunidades de arbitragem devido a desvios na precificação das opções disponíveis no mercado.

Este trabalho se divide em cinco capítulos. O segundo capítulo traz uma visão geral da bibliografia que orientou este trabalho, destacando os métodos que foram desenvolvidos ao longo do tempo para contornar as dificuldades e as idiossincrasias desse mercado. São apresentados os trabalhos que identificam e discutem o smile de volatilidade e a estrutura a termo da volatilidade implícita, e diversas formas para tentar modelá-los. O terceiro capítulo descreve o modelo utilizado, que se baseia no modelo de volatilidade estocástica proposto por Heston (1993), e utiliza duas estruturas negociadas no mercado de moedas, o Risk Reversal e o Butterfly Spread, cujos preços derivam das volatilidades implícitas da opção at-the-money e das calls e puts com um determinado Delta. Este modelo foi escolhido por apresentar uma solução analítica para a volatilidade implícita das diversas opções, facilitando a

1 Medida que indica a relação entre o preço à vista do ativo-objeto e o preço de exercício da opção sobre esse ativo-objeto.

obtenção da superfície de volatilidades. O quarto capítulo apresenta a calibração dos parâmetros do modelo a partir dos dados de mercado, a construção da superfície de volatilidades implícitas e a discussão da qualidade dos resultados obtidos. O quinto capítulo apresenta as conclusões do trabalho, discutindo as vantagens e limitações do modelo, bem como sugestões de melhorias para desenvolvimentos posteriores no tema.

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

O objetivo deste capítulo é revisar a evolução das teorias que norteiam o estudo de modelos de precificação de opções, indicando o embasamento teórico que permitiu desenvolver o modelo adotado neste trabalho.

Praticamente todos os modelos de apreçamento de opções existentes baseiam-se no modelo desenvolvido por Black-Scholes (1973), que apresenta uma solução fechada e que não depende do ajuste de parâmetros, tornando-se muito popular por sua facilidade de aplicação. Sua simplicidade, entretanto, provém de uma série de premissas, que embora úteis e convenientes, afasta o modelo do mercado real:

• O exercício da opção é do tipo Europeu, ou seja, somente no dia de seu vencimento;

• O mercado é eficiente, de forma que todos os agentes de mercado possuem as mesmas informações, não sendo possível prever consistentemente a direção do mercado ou de um ativo específico;

• O mercado opera de forma contínua, seguindo um processo de Itō;

• Não há fricção (custos de transação, impostos) no mercado, ou é desprezível;

• A taxa de juros é conhecida e se mantém constante durante a vigência da opção;

• Os investidores podem captar e aplicar à mesma taxa de juros, que é a taxa livre de risco;

• Os retornos do ativo-objeto obedecem a uma distribuição lognormal;

• A volatilidade do ativo-objeto é constante ao longo da vida da opção, para todo e qualquer preço de exercício ou prazo de vencimento de opção desse ativo-objeto.

Garman e Kohlagen (1983) adaptaram o modelo Black-Scholes (B-S) para as opções de câmbio, mantendo suas premissas de simplificação, estendendo-o para lidar com a presença de duas taxas de juros, uma para cada moeda. A principal

contribuição do modelo Garman-Kohlhagen (GK) é que a taxa de câmbio pode ser vista como um ativo que paga um dividendo contínuo. Os valores para as opções de compra c (call) e opções de venda p (put) são dados por:

1 2

( ) ( )

qT rT

c=Se⁻ Φ d −Xe⁻ Φ d [1]

2 1

( ) ( )

rT qT

p=Xe⁻ Φ −d −Se⁻ Φ −d [2]

onde:

2

1

ln 2

S r q T

d X

T

σ σ

 

 

+ − + 

 

   

= [3]

e

2

2 1

ln 2

S r q T

d X d T

T

σ σ σ

 

 

+ − − 

 

   

= = − [4]

S = a taxa de câmbio spot

X = valor de exercício da taxa de câmbio

r = taxa de juros livre-de-risco local, capitalizada continuamente

q = taxa de juros livre-de-risco estrangeira, capitalizada continuamente T = prazo até o vencimento, expresso em anos

σ

= volatilidade da taxa de câmbio do par de moedas

Φ(.) = função de probabilidade acumulada da distribuição normal padrão.

O único parâmetro desta equação que não pode ser diretamente observado é a volatilidade do preço do ativo-objeto. Dessa forma, a volatilidade é o principal fator de incerteza no preço de uma opção. Na prática, os participantes do mercado estimam a volatilidade que o ativo-objeto deveria ter para que a opção avaliada tivesse o preço praticado nesse momento – está é a chamada volatilidade implícita.

A volatilidade implícita é usada para monitorar a opinião do mercado acerca da volatilidade futura de determinado ativo. Na prática é comum observar valores diferentes da volatilidade implícita de opções de um mesmo ativo objeto. Tal fato decorre de diversos aspectos, entre eles o prazo de vencimento e o preço de exercício da opção. Apesar do mercado se basear no modelo B-S para apreçar opções européias, os operadores, sabendo que a volatilidade do ativo não é

constante ao longo do tempo, ou ao longo do moneyness, costumam referir-se às opções em função de suas volatilidades implícitas. Assim, é prática comum negociar opções em termos de suas volatilidades implícitas, em vez de por seus preços. Um investidor em opções geralmente realiza suas decisões em relação ao valor da volatilidade implícita que este está disposto a receber ou pagar por uma opção, pois seu preço, por si só, não traz as informações necessárias para as decisões de investimento. Neste sentido, o investidor opera sobre a volatilidade implícita de cada opção. A Figura 1 apresenta as volatilidades mensais para os pares de moedas utilizados neste trabalho.

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

Jan-06 Jan-07 Jan-08 Jan-09 Jan-10 Jan-11

USDCAD EURUSD EURCAD

Figura 1 - Volatilidade mensal observada nos pares de moedas USDCAD, EURUSD e EURCAD no período de Jan/2006 a Mar/2011

Derman e Kani (1994) mostraram que há um efeito conhecido como ‘sorriso de volatilidade’ (também volatility smile ou skew), onde a volatilidade implícita das opções aumenta à medida que se afasta do preço spot do ativo-objeto, tanto para opções in-the-money², como para as opções out-of-the-money. Adicionalmente, mostram que a volatilidade também aumenta com o prazo até o vencimento, um fenômeno conhecido como ‘estrutura a termo da volatilidade’. Esses efeitos se opõem ao que o modelo proposto por Black-Scholes (1973), onde a volatilidade é

2 Essas expressões são comumente referidas pelos seus termos em inglês, in-the-money (dentro-do- dinheiro) (ITM), at-the-money (no-dinheiro) (ATM) e out-of-the-money (fora-do-dinheiro) (OTM), referindo-se ao moneyness das opções.

constante, para qualquer strike ou prazo de vencimento, e a árvore binomial que descreve a evolução do preço do ativo-objeto seria a mesma para qualquer opção que se esteja apreçando. A Figura 2 mostra um exemplo de smile de volatilidade.

13.0%

13.5%

14.0%

14.5%

15.0%

15.5%

16.0%

16.5%

17.0%

10P 15P 20P 25P 30P 35P 40P 45P ATM 45C 40C 35C 30C 25C 20C 15C 10C

Figura 2 – Smile de volatilidade típico, observado no dia 15/03/2011, para o par USDBRL

Diversos estudos focam nos fatores que contribuem na formação do sorriso de volatilidade: Fama (1964) demonstrou que os retornos dos ativos não seguem uma distribuição normal; Jarrow e Rudd (1982) e Corrado e Su (1997) estudaram a assimetria e a curtose nas distribuições históricas dos retornos; Merton (1976) aborda a existência de saltos nos preços dos ativos; Hull & White (1987) abordaram o comportamento estocástico da volatilidade.

Quando se ordena os prazos de vencimento das opções em um eixo, o moneyness das opções em outro, e plota os valores das volatilidades implícitas em um terceiro, formando um gráfico tridimensional, como mostrado na Figura 3, teremos a superfície de volatilidades implícitas das opções desse determinado ativo.

Figura 3 - Exemplo de superfície de volatilidades

Considerando as premissas enumeradas, de acordo com Wilmott (2006), os modelos de volatilidade estocástica admitem que os preços do ativo-objeto seguem um processo de difusão estocástica random walk da forma

. .

t

t t

t

dS dt dW

S =

µ

+

σ

[5]

onde µ é o retorno esperado de um ativo com preço S_t no instante t, σ_t é volatilidade do preço do ativo e dW_t é um processo de Wiener padrão.

Os modelos de volatilidade estocástica também prevêem que a variância σ_t² segue um processo estocástico Ornstein-Uhlenbeck, conforme descrito por Gardiner (2004), da forma

2 2

( )

t t t t

dσ =κ θ σ− dt+λσ dZ [6]

onde θ é a variância média de longo prazo do mercado, κ é a velocidade de reversão à média da variância de curto prazo σ_t², λ é a volatilidade de σ_t e dZ_t é um processo de Wiener padrão, possuindo correlação ρ com dW_t, de forma que

, .

t t

dW dZ ρdt

< >= .

O estudo desse modelo, realizado por Heston (1993), mostrou que há dois efeitos independentes:

• ρ influencia positivamente a assimetria dos retornos da distribuição de retornos do ativo-objeto, deslocando a distribuição para a esquerda e tornando sua cauda direita mais pesada, aumentando o valor das opções out- of-the-money, e diminuído o valor das opções in-the-money.

• λ influencia positivamente a curtose da distribuição de retornos do ativo- objeto, e com isso aumenta também o valor de suas opções muito in- e out-of- the-money, e reduz o valor das opções at-of-the-money.

Figura 4: Ilustração de uma árvore binomial com volatilidade estocástica (Derman, 2008)

O modelo GK assume que as taxas de juros local r e externa q são diferentes.

O modelo de Heston (1993) expande este conceito, assumindo que essas taxas variam com o tempo, segundo um modelo estocástico.

O mercado de opções sobre pares de moedas conversíveis é caracterizado por elevada liquidez e volatilidade, e os investidores fazem uso de diversos indicadores para medir e controlar seu risco. Uma das formas mais comuns consiste na utilização das derivadas parciais do modelo GK de apreçamento de opções, em relação a seus fatores, coletivamente chamadas de ‘gregas’, como proxys de sensibilidade de preço, conforme definidas abaixo:

.

. ( 1) c q T

delta e d

S

∂ −

= ∆ = = Φ

∂ [7]

. 2

1 2

. ( ) . . e q T d gamma c

S S

σ

T

− Φ

= Γ = ∂ =

∂ ^[8]

.

. ^{q T}. ( 1).

vega c S e d T

σ

∂ −

= Λ = = Φ

∂ [9]

.

. .

1

1 2

. . ( ).

. . . ( ) . . . ( )

2

q T

q T r T

S e d

theta c q S e d r X e d

T T

−

σ

− −

Φ

= Θ = ∂ = + Φ − Φ

∂ ^[10]

.

. . ^{r T}. ( 2)

rho doméstico= Ρ =D X T e⁻ Φ d [11]

.

. . ^{q T}. ( 1)

rho estrangeiro= Ρ = −E S T e⁻ Φ d [12]

Adicionalmente, o mercado criou instrumentos estruturados, para permitir aos investidores realizarem estratégias variadas de negociação, possibilitando que sejam montadas tanto posições de hedge, quanto de especulação. Dentre as diversas estruturas presentes no mercado, dois produtos largamente negociados serão de grande utilidade para nosso estudo:

• O Delta Risk Reversal (RR^∆) é a diferença entre as volatilidades implícitas de uma call e uma put, ambas com mesmo Delta, e nos fornece a inclinação da curva de volatilidade, que pode ser utilizada como uma medida do grau de assimetria da distribuição de retornos do ativo-objeto:

Call Put

RR_∆ =σ _∆−σ _∆ [13]

• O Delta Butterfly Spread (BF∆) é a diferença entre a média das volatilidades implícitas da call e da put com mesmo Delta e a volatilidade implícita da opção at-the-money, e nos fornece a curvatura da curva de volatilidades, sendo uma boa medida do grau de achatamento da distribuição de retornos do ativo-objeto:

2

Call Put

BF σ σ ATM

∆ ∆ σ

∆

= + − [14]

Quanto maior for a procura por um contrato de opções, maior será o seu preço e, conseqüentemente, maior será a sua volatilidade implícita associada. Para um dado Delta, um Risk Reversal positivo indica que a volatilidade da call é superior à da put, indicando que o mercado atribui uma distribuição assimétrica de expectativas de retornos do ativo-base, com maior número de pessoas apostando numa alta de seu preço do que numa baixa.

Outros indicadores de sensibilidade de expectativas de retornos utilizam derivadas superiores das gregas, permitindo que se obtenha uma melhor aproximação dos retornos do mercado:

Volga: denota a taxa de variação do Vega com relação a mudanças de volatilidade do ativo-objeto, de acordo com a seguinte derivada parcial:

2

1 2 1 2

1 1 1 2 1

2

1

. .( ). ( ) ( )

d d d d

c S T

Volga S d d T d d d

σ σ

d

σ σ σ σ

∂ −

∂ ∂Λ ∂Λ

= = = = − Φ = Φ = Λ

∂ ∂ ∂ ∂ [15]

Vanna: denota a taxa de variação do Vega em relação a mudanças de preço do ativo-objeto, de acordo com a seguinte derivada parcial:

2

1 2

1 1 1

1

( ) . 1 ( ) ( )

.

d d

Vanna c d T S d d T

S S d S S T S T

σ σ σ

∂

∂ ∂Λ ∂Λ

= = = = Φ + − Φ = − Λ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ [16]

Os valores de Volga e Vanna são os mesmos para as calls e as puts.

Yekutieli (2004) aponta que se a volatilidade da opção at-the-money for utilizada para calcular os prêmios das opções out-of-the-money e in-the-money, os valores obtidos serão inferiores aos observados no mercado, indicando que há um aumento na volatilidade implícita, à medida que o strike se afasta do valor spot do ativo-objeto. Ele sugere que se adapte o modelo de B-S para um modelo de volatilidade estocástica com as seguintes características:

• a variância do ativo-objeto varie de forma aleatória, com magnitude proporcional à volatilidade e

• há um termo de reversão à média do drift da variância

Ambas essas características fazem parte dos modelos propostos por Cox- Ingersoll-Ross (1985) e Heston (1993).

Yekutieli (2004) também destaca que os modelos de volatilidade estocástica apresentam bons ‘sorrisos de volatilidade’ para opções com vários meses até seus vencimentos, mas seus resultados para opções com vencimentos curtos é insatisfatório.

Fengler et al (2007) apontam que a modelagem da superfície de volatilidade implícita apresenta dois grandes desafios a serem tratados, o mais importante deles sendo o que foi denominado a ‘construção degenerada’, ou seja, o fato da volatilidade implícita só estar disponível para um número limitado de prazos (1, 2, 3, 6, 9, 12, 18, 24 e 36 meses para o vencimento, a partir de sua emissão), tornando a amostra de dados discreta. Desta forma, os dados de volatilidade implícita aparecem como ‘linhas’, obrigando os modelos a interpolarem os pontos intermediários da

superfície. O segundo desafio é decorrente do primeiro, pois os dados observados não compõem uma ‘grade’ de volatilidades completa, pois é comum que diversos dos dados estejam faltando em determinadas regiões, com combinações de prazos de vencimento e moneyness de menor liquidez.

Bossens et al (2009) afirmam que o smile é característico para cada par de moedas e vencimento das opções, de modo que um modelo que apresenta bons resultados para um determinado par de moedas, pode não ter o mesmo desempenho para outros pares de moedas. Nesse trabalho também é discutido que a volatilidade implícita das opções out-of-the-money é maior que a volatilidade implícita das opções at-the-money, mostrando que o mercado não presume que a volatilidade do ativo seja constante ao longo do tempo, nem na relação de moneyness da opção. Essa assimetria nas volatilidades das opções pode ser explicada pela crescente demanda por instrumentos de hedge pelos investidores, que buscam proteger-se de movimentos abruptos do mercado, e estão dispostos a pagar preços mais elevados por essa proteção. Esse efeito, ilustrado pela Figura 2, é evidenciado pelo fato que o mercado utiliza volatilidades mais elevadas para apreçar estas opções. Alexander (2005) ressalta que o mercado de ações mostra-se mais volátil após uma grande queda nos preços do que após uma elevação de preços de mesma magnitude, e essa característica tem se tornado mais aparente após o crash das Bolsas em 1987. O efeito final é que os prêmios das opções sofrem um aumento em virtude da expectativa de elevação da volatilidade do mercados no futuro.

Kamal e Gatheral (2010) estudaram a dinâmica de formação e alteração das superfícies de volatilidades, e determinaram que seu formato não pode ser arbitrário, pois devem obedecer a condições de não-arbitragem, como a convexidade do preço em relação ao strike e a aderência à estrutura a termo das taxas de juros. Em geral, essas restrições são atendidas desde que não existam grandes gradientes na superfície. Adicionalmente, três tipos de alteração no formato da superfície de volatilidades explicam grande parte da sua dinâmica de movimentação:

• O deslocamento paralelo da superfície, geralmente caracterizado por um movimento síncrono, de toda a superfície, para cima ou para baixo, é responsável pela maior parte das movimentações da superfície de

volatilidade. Este movimento geralmente não é ‘plano’: as volatilidade mais curtas tendem a se movimentar mais do que as longas, e uma inclinação (tilt) ascendente no eixo do prazo se torna mais pronunciada.

• A movimentação da estrutura a termo, onde as volatilidades de curto prazo se movimentam em direção oposta à das volatilidades de longo prazo, apoiando- se em um dos prazos de vencimento, com pequena influência ao longo do eixo de strikes. No estudo realizado, o ponto de pivotamento se situava no vencimento de 91 dias.

• A mudança de curvatura do smile, ao longo do eixo dos strikes, com as volatilidades das opções com strikes abaixo e acima do spot se aumentando a curvatura da superfície, e com uma atenuação à medida que aumenta o prazo até o vencimento.

Yoshino e Costa (2004) destacam que, apesar do grande desenvolvimento de estudos a respeito da indústria de derivativos, o mercado de opções européias de câmbio ainda se baseia em modelos menos sofisticados, como B-S e GK, que subestimam efeitos quantitativos importantes. Eles ressaltam que esses efeitos poderiam ser melhor explorados através de modelos mais robustos, como os que incorporam o conceito de volatilidade estocástica. Segundo eles, estes são os modelos que melhor ilustram as características dos mercados de câmbio de países emergentes, caracterizados por repetidos ciclos de alta volatilidade, mudanças de regime cambial e crises monetárias, que acarretam mudanças na liquidez do mercado. Nesse sentido, propõem uma forma de implementar e calibrar o modelo de Heston para o mercado brasileiro, utilizando uma superfície de volatilidades implícitas.

Os modelos tradicionais (e mais difundidos até o momento) de apreçamento de opções de câmbio baseiam-se na adaptação de um modelo onde se assume que a volatilidade do ativo-objeto é constante. Entretanto, a observação do mercado não dá suporte a essa hipótese, e vários modelos foram desenvolvidos para tentar modelar um ambiente onde a volatilidade não é constante:

a) Modelos de difusão uni variada, onde as premissas de difusão e não- arbitragem são mantidas, mas a hipótese do Movimento Browniano Geométrico é relaxada. Nesta categoria encontramos os modelos de árvores

binomiais e trinomiais implícitas, onde a única fonte de aleatoriedade se origina do movimento do preço do ativo-objeto. Esta não é uma característica presente nos mercados de câmbio, segundo estudo de Carr e Wu (2007), que mostra que a inclinação da superfície de volatilidade em relação ao preço de exercício (X) não é constante, sugerindo que há outros efeitos no mercados que não são capturados/identificados por este tipo de modelo.

b) Modelos de volatilidade estocástica, em que o processo de difusão inclui um comportamento estocástico (no tempo) da volatilidade dos preços do ativo- objeto. Stein e Stein (1991) e Heston (1993) foram os responsáveis por tratar este problema de forma analítica, utilizando o mesmo processo estocástico de Ornstein-Uhlenbeck descrito em [6], com ρ≠0. Estes modelos tem a vantagem de incorporar os efeitos do smile e skewness; e

c) Modelos de saltos, como o proposto por Merton (1976), onde a hipótese de difusão nos preços dos ativos é relaxada, combinando o conceito de difusão Browniano, utilizada nos modelos anteriores, com o conceito de saltos de Poisson, através de uma equação do tipo dS_t =µS_tdt+σ_tS_tdW_t +JS_tdq. A identificação de saltos nos preços depende do uso de técnicas de métodos numéricos para a resolução de equações diferencias parciais bidimensionais, e a falta de uma solução analítica (fechada) dificulta sua utilização de maneira mais ampla.

Yoshino e Costa (2004) discutem diversos desses modelos, comparando os artifícios utilizados para contornar as dificuldades matemáticas encontradas em cada um, e avaliando sua eficiência em apreçar opções de câmbio no mercado brasileiro.

Segundo Alexander (2005), a maior parte das opções negociadas no mercado de moedas se baseia no Modelo GK, apesar das hipóteses que o sustentam não serem observadas empiricamente. A assimetria observada no apreçamento de opções com diferentes strikes pode ser observada por duas das características desse mercado: a distribuição dos retornos exibe “caudas pesadas” e a volatilidade do ativo-objeto não é constante. Dessa forma, a utilização de um modelo que modele o preço do ativo-objeto como um movimento browniano geométrico não é apropriado, pois este modelo assume distribuição normal dos retornos e volatilidade

constante e os retornos dos ativos observados no mercado mostram uma variação elevada, com uma freqüência maior que a prevista.

Recentemente, diversos autores brasileiros utilizaram técnicas para aprofundar o estudo das superfícies de volatilidades implícitas: Oya (2009) utilizou a Análise de Componentes Principais para estudar a superfície de volatilidade implícita de opções européias do par de moedas USDBRL (Dólar Americano / Real). Vargas (2010) utilizou a volatilidade histórica do ativo-objeto como parâmetro para determinar a superfície de volatilidades implícitas de ações do Ibovespa. Bustamante (2010) utilizou a Transformada Rápida de Fourier para determinar a superfície de volatilidades das opções USDBRL através do modelo de Heston (1983). Iveson (2010) estudou a determinação de uma superfície de volatilidades de um par de moedas com baixa liquidez, a partir de superfícies de volatilidades com maior liquidez.

A busca por novas oportunidades de investimentos causou um aumento no fluxo de capital entre países, e a necessidade de realizar hedge cambial desses investimentos. O mercado de derivativos cambiais desenvolveu-se ainda mais, expandindo o pagamento das transações comerciais já existentes, e tornando-se um dos mais líquidos do mercado.

Por outro lado, a liquidez do mercado de derivativos sobre moedas não- conversíveis é muito menor. As opções sobre pares envolvendo o Real, como por exemplo, USDBRL e EURBRL possuem baixa liquidez, e o pareamento com outras moedas, como por exemplo, JPYBRL, CHFBRL e GBPBRL, praticamente não há liquidez.

A combinação dos ‘desafios’ citados por Fengler et al (2007) com a diminuta liquidez dos derivativos de alguns pares de moedas nos apresenta o problema que este trabalho se propõe a auxiliar a solucionar: como utilizar superfícies de volatilidades de ativos com grande liquidez para estimar as superfícies de volatilidades de pares de moedas com baixa liquidez.

O próximo capítulo apresentará o modelo utilizado neste trabalho, as premissas utilizadas e o fluxo de trabalho para implementá-lo.

3. DESCRIÇÃO DO MODELO

O modelo utilizado neste estudo se baseia naquele desenvolvido por Iveson (2010), e pretende calcular as volatilidades implícitas das opções de um par de moedas (Euro x Dólar Canadense - EURCAD), cuja liquidez é reduzida, e sua superfície de volatilidade apresenta diversas áreas ‘vazias’. O modelo utilizará as informações das volatilidades implícitas de opções de pares com maior liquidez (USDCAD - Dólar Americano x Dólar Canadense e EURUSD - Euro x Dólar Americano), modelando os processos das volatilidades como puramente estocásticos.

A escolha destes pares de moedas se deu pela falta de liquidez de outros pares de moedas que envolvessem o Real como um de seus componentes, e pelo fato das opções sobre o EURCAD terem apresentado um aumento significativo de liquidez desde 2008, permitindo que o modelo pudesse ser verificado com maior precisão.

O estudo original também utilizou dados de Risk Reversals e Butterfly Spreads com Delta 0.25 e vencimento de 6 meses, dos pares de moedas USDBRL e EURUSD para determinar a superfície de volatilidades do par EURBRL. Entretanto, os fenômenos do smile de volatilidade e da estrutura a termo da volatilidade, descritos por Derman e Kani (1994), mostram que essa abordagem simplificada (com apenas um Delta e um vencimento) pode ser ineficiente para determinar uma superfície de volatilidades implícitas completa, e aqui reside a maior contribuição deste trabalho.

A figura 5 mostra as volatilidades implícitas das calls e das puts para o par de moedas EURBRL, no dia 15/03/2011, destacando que os valores para um mesmo prazo, ou para um mesmo Delta, podem apresentar grandes variações. Observa-se um crescimento considerável nos valores das volatilidades implícitas, aumentando à medida que cresce o strike da opção: as volatilidades implícitas são mais baixas para as puts mais out-of-the-money (com Deltas menores), aumentando à medida que se aproxima da opção at-the-money, continuando seu crescimento, até culminar nas calls mais out-of-the-money (novamente com Deltas menores). Outro importante

fenômeno observado é a pequena variação das volatilidades implícitas das puts ao longo do tempo, apresentando um aumento sensível apenas nos prazos de vencimentos acima de 6 meses. Essa característica não se observa nas volatilidades implícitas das calls, que exibem um crescimento constante ao longo do tempo, como esperado.

8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

22%

24%

1Y 9M

6M 4M

3M 2M

1M 3W

2W 1W

10D Call 15D Call 25D Call 35D Call ATM 35D Put 25D Put 15D Put 10D Put

8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

22%

24%

26%

5C 10C 15C 20C 25C 30C 35C 40C 45C ATM 45P 40P 35P 30P 25P 20P 15P 10P 5P

1M 3M 6M 1Y

Figura 5: Volatilidades implícitas para o par de moedas EURBRL, no dia 15/03/2011

A figura 6 mostra os valores dos Risk Reversals e Butterfly Spreads observados no mercado no dia 15/03/2011, para o mesmo par de moedas. De forma análoga, os valores para diferentes Deltas e prazos mostram-se bastante distintos,

principalmente nos prazos de 6 meses para o vencimento. As diferenças entre as volatilidades implícitas das calls e puts de mesmo Delta são evidenciadas nesses gráficos, indicando que a generalização de um valor para todo e qualquer prazo pode se mostrar ineficaz para a correta determinação da superfície de volatilidades.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

1W 2W 3W 1M 2M 3M 6M 1Y

10D RR 15D RR 25D RR 35D RR

Prazo

0%

2%

4%

1W 2W 3W 1M 2M 3M 6M 1Y

10D BF 15D BF 25D BF 35D BF

Prazo

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

RR 5 RR 10 RR 15 RR 20 RR 25 RR 30 RR 35 RR 40 RR 45

1M 3M 6M 1Y

0%

2%

4%

BF 5 BF 10 BF 15 BF 20 BF 25 BF 30 BF 35 BF 40 BF 45

1M 3M 6M 1Y

Figura 6: Risk Reversals e Butterfly Spreads do par de moedas EURBRL, no dia 15/03/2011

O modelo adotado neste trabalho é um adaptação do modelo de Heston, pois assume que a taxa de câmbio é estocástica, uma vez que a taxa de câmbio pode ser expressa como uma relação entre as taxas de juros local e externa. Cada par de moedas é identificado por um índice i, para i = 1, 2, 3, com as respectivas dinâmicas descritas pelas seguintes equações:

2

. .

.

, .

i t

i i i

i t

i i i i

i i i

dS dt dW

S

d dZ

dW dZ dt

µ σ

σ α σ ρ

= +

=

< >=

[17]

A expressão <dW dZ_i, _i > denota o produto escalar entre os processos de Wiener dW_i e dZ_i, podendo ser interpretado como a correlação entre ambos. As volatilidades instantâneas σ_itêm taxa de reversão à média nula.

O índice i identificará os pares de moedas aqui considerados de acordo com a Tabela 1 abaixo:

i Par de Moedas

1 USDCAD

2 EURUSD

3 EURCAD

Tabela 1: Pares de Moedas considerados

Cálculo dos parâmetros α_i e ρ_i dos pares de moedas líquidos a partir dos valores de Risk Reversals e Butterfly Spreads

De acordo com o modelo, os parâmetros α_i e ρ_i das equações de [17], para i

= {1, 2}, podem ser obtidos a partir do Risk Reversal, do Butterfly Spread e da volatilidade da opção at-the-money de um determinado par de moedas i. A demonstração matemática da determinação dos parâmetros α_i e ρ_i encontra-se no Apêndice I.

Através das equações [32] e [33], reproduzidas abaixo, podemos obter α₁, α₂, ρ1 e

ρ

₂, utilizando os valores dos Risk Reversals e Butterfly Spreads observados nos mercados de câmbio dos pares USDCAD e EURUSD.

2 1

6

2

Ai i

i

i Ai

BF T d BF α σ

σ

∆

∆

=  

 + 

  [32]

2 1

1

2 6

i

i Ai

i

Ai i

d BF RR

d BF

ρ σ

σ

∆

∆

∆

+

= [33]

Yekutieli (2004) utilizou as cotações dos contratos de opções Risk Reversals e Butterfly Spreads como inputs em uma rotina de calibração que busca o melhor ajuste (best-fit) dos valores para os parâmetros do Modelo de Heston. A função- custo utilizada para o ajuste no estudo era a soma dos quadrados dos erros entre as volatilidades implícitas dos preços de mercado e as volatilidades dos valores obtidos

do modelo. Foram encontrados três problemas principais quando se tentou ajustar o Modelo de Heston a uma superfície de volatilidades real de mercado:

• Por ser um modelo de 5 parâmetros, o Modelo de Heston não tem a precisão necessária para adequar uma superfície de volatilidades, que muitas vezes contém mais de 30 pontos de informação.

• O Modelo de Heston gera dinamicamente a assimetria e a curvatura (curtose) da superfície de volatilidade, devido à natureza estocástica da volatilidade.

Em períodos curtos de tempo, essas características fornecidas pelo modelo são muito inferiores àqueles observados nas superfícies de volatilidade presentes no mercado. Rebonato (2004) aponta que este problema poderia ser solucionado por um modelo que também incluísse saltos, mas que essa solução ‘não seria parcimoniosa’.

• O formato da evolução da curva das volatilidades implícitas das opções at- the-money à medida que aumenta o prazo para o vencimento (do curto para o longo prazo) não obedece à forma de transição exponencial prescrito pelo comportamento de reversão à média do Modelo de Heston (situação não relevante neste trabalho, dada a adoção da taxa de reversão à média nula).

Em vista de tais observações, Yekutieli (2004) decidiu excluir os dados das opções com vencimentos inferiores a dois meses do conjunto de dados para a calibração do Modelo, assim como as opções com Delta 0.10, que compõem o RR10

e o BF10. Tais características são confirmadas neste estudo.

O processo de construção da superfície de volatilidades implícitas das calls e puts do par de moedas ilíquido, a partir dos dados de mercado, depende da determinação dos Risk Reversals e Butterfly Spreads desse par de moedas. A obtenção desses valores depende da determinação de

α

₃ e

ρ

₃, que por sua vez são calculados em função dos valores de

α

₁,

α

₂,

ρ

₁ e

ρ

₂, das séries de correlações estocásticas <dW dZ₁, ₂ >, <dW dZ₂, ₁> e <dZ dZ₁, ₂ > e dos parâmetros Φ_A e Φ_B. Estes últimos necessitam do parâmetro

ρ

₁₂, dependente do processo de filtragem dos retornos dos pares de moedas USDCAD e EURUSD.

Esse processo é composto por nove fases, e o fluxo de operações é ilustrado pela Figura 7, e descrito em maiores detalhes em seguida.

Obtenção . de α₁, α₂, ρ₁

e ρ₂ Obtenção .1 de α₁, α₂, ρ₁

e ρ₂ 1

Realização .

das regressões dos movimentos

dos pares de moedas Realização .2

das regressões dos movimentos

dos pares de moedas

2

Obtenção de ρ₁₂

4 Obtenção de

ρ₁₂ 4

Realização .

das regressões dos resíduos das

regressões anteriores Realização .3

das regressões dos resíduos das

regressões anteriores

3 Obtenção .

das correlações estocásticas 5 Obtenção .

das correlações estocásticas 5

Obtenção de Φ_Ae Φ_B

6 Obtenção de

Φ_Ae Φ_B 6

Obtenção . de α₃e ρ₃

7 Obtenção .

de α₃e ρ₃ 7

Obtenção . de RR₃e BF₃

8 Obtenção . de RR₃e BF₃

8 Obtenção . das volatilidades

implícitas das callse das puts Obtenção .9

das volatilidades implícitas das callse das puts

9

Figura 7: Fluxograma do processo de obtenção das volatilidades implícitas

1. Cálculo das séries históricas de

α

₁,

α

₂,

ρ

₁ e

ρ

₂, a partir dos dados de mercado disponíveis de Risk Reversals e Butterfly Spreads, dos respectivos pares de moedas, utilizando [32] e [33].

2. Cálculo das séries de retornos filtrados dW₁ e dW₂, e das séries dos resíduos

'

dW1 e dW₂^', a partir dos coeficientes obtidos da regressão linear da volatilidade dos pares de moedas 1 e 2, em função de seus retornos diários.

3. Com as séries dW₁, dW₂, dW₁^' e dW₂^' (obtidas na fase 2), são feitas as regressões lineares para obter os coeficientes <dW₁^',dW₂ >, <dW₁,dW₂^' > e

>

<dW₁^',dW₂^' .

4. A partir da regressão dos retornos filtrados, dW₁ e dW₂, calcula-se o coeficiente

ρ

₁₂, de acordo com [37]:

1, 2 12

dW dW

ρ

dt

< >= [37]

5. A partir das séries

α

₁,

α

₂,

ρ

₁ e

ρ

₂ (obtidas na fase 1), e do valor do parâmetro

ρ

₁₂ (obtido na fase 4), são calculadas as séries de correlações estocásticas <dW dZ₁, ₂ >, <dW dZ₂, ₁> e <dZ dZ₁, ₂ >, segundo [45], reproduzida abaixo:

2 '

1 2 12 2 2 1 2

2 '

2 1 12 1 1 1 2

2 ' 2 '

1 2 12 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2

2 2 ' '

1 2 1 2

, 1 ,

, 1 ,

, 1 , 1 ,

1 1 ,

dW dZ dW dW

dW dZ dW dW

dZ dZ dW dW dW dW

dW dW

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

ρ ρ

< >= + − < >

< >= + − < >

< >= + − < > + − < >

+ − − < >

[45]

6. Os valores para os parâmetros Φ_A e Φ_B são calculados utilizando-se [40], reproduzida abaixo, a partir dos valores das volatilidades históricas dos pares de moedas,

σ

₁ e

σ

₂, e o valor do parâmetro

ρ

₁₂ (obtido na fase 4):

1 12 2

3

2 12 1

3 A

B

σ ρ σ σ σ ρ σ

σ

Φ = +

Φ = +

[40]

7. Cálculo das séries de

α

₃ e

ρ

₃, utilizando [42] e [46], reproduzidas abaixo:

2 2 2 2

3 1 _A 2 _B 2 1 2 _{A B} dZ dZ1, 2

α

=

α

Φ +

α

Φ +

α α

Φ Φ < > [42]

3 1 1 _A 1 1 2 _A dW dZ2, 1 2 1 _B dW dZ1, 2 2 2 _B 2

ρ

=

α σ

Φ

ρ

+

α σ

Φ < > +

α σ

Φ < > +

α σ

Φ

ρ

[46]

Para a obtenção dessas séries, são necessárias as séries

α

₁,

α

₂,

ρ

₁ e

ρ

₂ (obtidos na fase 1), as séries de correlações estocásticas <dW dZ₁, ₂ >,

2, 1

dW dZ

< > e <dZ dZ₁, ₂ > (obtidas na fase 5), e os valores de Φ_A e Φ_B (calculados na fase 6).

8. Cálculo dos valores das séries dos Risk Reversals e Butterfly Spreads para o par de moedas 3, a partir das séries

α

₃ e

ρ

₃, utilizando [32] e [33].

9. Determinação das volatilidades implícitas para as calls e puts do par de moedas 3, a partir das séries dos Risk Reversals e Butterfly Spreads para esse par de moedas.

No próximo capítulo o processo descrito acima será desenvolvido para obter as volatilidades implícitas para as calls e puts do par de moedas EURCAD, a partir dos Risk Reversals e Butterfly Spreads para os pares de moedas USDCAD e EURUSD.

4. APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Este capítulo apresenta os resultados de cada uma das fases da aplicação do processo de obtenção dos valores das volatilidades implícitas das calls e puts a partir dos dados de mercado.

Amostra

Foram utilizados dados diários do terminal Bloomberg, para os Risk Reversals e Butterfly Spreads para os pares de moedas USDCAD e EURUSD, com Deltas de 0.10, 0.15, 0.25 e 0.35, para os prazos de 1 mês (21 dias úteis), 3 meses (63 du), 6 meses (126 du) e 1 ano (252 du), de 06/01/2006 a 15/03/2011. O número total de observações da série é de 1353 dias. Cada dia nos fornece 32 observações, para os diversos prazos e Deltas.

Apesar de estarem disponíveis opções com prazos de vencimento de até 7 anos, as opções com prazos acima de 2 anos apresentavam liquidez baixa, e, portanto foram descartadas deste estudo pelo número excessivo de outliers.

Fase 1: Geração dos

α

_i e

ρ

_i para os pares de moedas USDCAD e EURUSD As séries históricas de

α

_i e

ρ

_i para os pares de moedas USDCAD e EURUSD foram calculados a partir dos valores históricos dos Risk Reversals e Butterfly Spreads de cada um dos pares de moedas, utilizando [32] e [33].

As figuras 8 e 9 ilustram as diferenças entre os valores calculados para os diversos Deltas e prazos, fornecendo bons indícios que a segmentação em áreas distintas pode trazer um refinamento nos resultados. Na figura 8 observamos que os valores dos Alphas para os diferentes Deltas não divergem tanto quando comparados com outro Alphas de mesmo prazo, mas que variam muito para o mesmo Delta, para prazos de vencimento diferentes. Na figura 9, notamos que a mesma característica ocorre, exceto para os Alphas Delta 0.35, que apresentam valores modulares menores que para os demais Deltas.

Outra característica notável é que a correlação entre os processos estocásticos dWi e dZ_i, indicado pelos Rhos de cada par de moedas, é negativa para o par USDCAD, enquanto que para o par EURUSD, é positiva. Essa característica indicará

a sincronia de direção dos movimentos dos preços e das volatilidades do par de moedas em questão.

Alpha 1 - USDCAD

6 8 10 12 14 16 18 20 22

0,10 0,15 0,25 0,35

1M 3M 6M 1Y

Delta Alpha 1 - USDCAD

6 8 10 12 14 16 18 20 22

1M 3M 6M 1Y

0,10 0,15 0,25 0,35

Prazo

Alpha 2 - EURUSD

6 8 10 12 14 16 18 20 22

0,10 0,15 0,25 0,35

1M 3M 6M 1Y

Delta Alpha 2 - EURUSD

6 8 10 12 14 16 18 20 22

1M 3M 6M 1Y

0,10 0,15 0,25 0,35

Prazo

Figura 8: Alphas calculados para as moedas USDCAD e EURUSD no dia 15/03/2011

Rho 2 - EURUSD

0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39

0,10 0,15 0,25 0,35

1M 3M 6M 1Y

Delta Rho 1 - USDCAD

-0,40 -0,38 -0,36 -0,34 -0,32 -0,30 -0,28 -0,26 -0,24

0,10 0,15 0,25 0,35

1M 3M 6M 1Y

Delta Rho 1 - USDCAD

-0,40 -0,38 -0,36 -0,34 -0,32 -0,30 -0,28 -0,26 -0,24 -0,22

1M 3M 6M 1Y

0,10 0,15 0,25 0,35

Prazo Rho 2 - EURUSD

0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39

1M 3M 6M 1Y

0,10 0,15 0,25 0,35

Prazo

Figura 9: Rhos calculados para as moedas USDCAD e EURUSD no dia 15/03/2011