Aonde estou eu...? Ou qual é o meu momento? Ou o que é que eu sou...? Que diabo...! Porque que me vou preocupar com tudo isso de novo...?

Crise de identidade de um Fotão “de Luz”...

Dualidade Onda-Partícula

“Aonde estou eu...? Ou qual é o meu momento? Ou o que é que eu sou...? Que diabo...! Porque que me vou preocupar com tudo isso de novo...? Eu nem tenho certeza se sou uma onda ou uma partícula!”

certeza se sou uma onda ou uma partícula!”

8 A equação de Schrödinger 8. A equação de Schrödinger

Dois anos depois de de Broglie defender sua tese sobre as ondas de matéria, um sua tese sobre as ondas de matéria, um físico austríaco Erwin Schrödinger tomou conhecimento da tese do príncipe francês conhecimento da tese do príncipe francês e foi motivado na busca de uma equação

d i t d d té i

de movimento para as ondas de matéria.

Erwin Schrödinger (1887/1961)

Subitens

8 1 A ã d M i t

8.1 A equação de Movimento:

a) Equação de Schrödinger dos estados estacionários.

a) Equação de Schrödinger dos estados estacionários.

b) Equação de Schrödinger dependente do tempo.

8.2 Interpretação da função de onda:

Localização do elétron?

Localização do elétron?

a) Densidade de corrente de probabilidade.

8.3 Propriedades matemáticas das funções de onda e auto-funções:

a) Condições de solução aceitável b) Auto-valores e auto-funções c) Soluções da eq de Sch d) Estados estacionários

c) Soluções da eq de Sch. d) Estados estacionários e) Ortonormalização

8.1 – A equação de movimento

A validade da equação de Schrödinger como de qualquer equação fundamental esta na sua concordância com osq ç resultados experimentais.

Seguindo as idéias de de Broglie no domínio não Seguindo as idéias de de Broglie no domínio não relativístico de velocidades:

= h

λ

E

λ p

h

= E

ν

E a definição clássica de energia total:

p V

E = + 2

2 (3)

2m

Em que: V é a energia potencial da partícula.

π 2

Vamos reescrever de forma mais conveniente.

Definindo:

ν ω

λ

= π 2 k 2

πν

= ω 2 Assim (1):

hk p h

= π

= λ

2 k p = h

∴

= hω E 2

E (2):

ω

=

∴

π h E

2

Usando estas relações na equação da energia (3):

p²

( )

(

)

m k

V m E

p

∴

−

=

2

2 2

2 h

(4)

( )

(

)

k m

V E

m k

−

=

−

=

∴

2 2

2 2

2 h 2

( )

substituindo a energia E:

( ) ^{= ω}

+ h

h

k

V x , t

( ) ^ω

+ V x , t h

2 m

a) Equação de Shrödinger dos estados estacionários

1 ∂2Ψ

A onda associada a partícula é representada pela função de onda Ψ (x,t) que satisfaz a equação de onda:

2 2 2

2 1

t

v ∂

Ψ

= ∂ Ψ

∇

Em que: v é a velocidade de fase (v=ω/k)

Podemos resolver este problema por separação de variáveis:

( ) ( ) ^{( )}

Em que: v é a velocidade de fase (v ω/k).

( ) ( )

^{( )}

Ψ

ψ

∇ φ

= Ψ

∇^{2 2}

2 2 2

2

t

t ∂

φ ψ ∂

∂ = Ψ

∂

t

t ∂

∂

Substituindo na equação de onda:

2 2ψ 1 1 ∂ φ

∇

2 2

1 1

t

v ∂

φ

∂

= φ ψ

ψ

∇ ₂

−k

=

2φ

∂ ²

e ∇²ψ + k²ψ = 0

( )

( )

2

2 + φ =

∂ φ

∂ kv

t ⁰

2 2

2 + ω φ =

∂ φ

∂ t

ou solução

( ) ( )

( )

Ψ

A solução geral será:

( ) ( )

( )

Ψ (6)

Voltando a solução dependente da posição: ∇²ψ + k²ψ = 0 Usando a relação (4) e os postulados de de Broglie:

ç p p ç ψ ψ

2m

( )

2

2

2ψ + − ψ =

∇ m E V

2 h

h ∇ ψ + ψ = ψ

− V E

m

2 2

2

h (7)

S ö f

( )

Eq. De Schrödinger independente do tempo. As funções são chamadas autofunções e E é o auto-valor.

( )

ψ

E H

^ V

H m

^ − ∇ +

= ^{2 2} 2

Se definirmos um operador hamiltoniano h :

ψ

= ψ E H

b) Equação de Shrödinger dependente do tempo

“Chutar uma função de onda para chegar a uma eq. em harmonia com as propriedades de ondas de de Broglie.

) q ç g p p

( )

Ψ ^h

harmonia com as propriedades de ondas de de Broglie.

Para uma partícula livre:

( )

Ψ ^h

Diferenciando duas vezes em relação a x e uma em relação a t:

(8)

( ) (9)

− Ψ

=

− ψ

∂ = Ψ

∂ ^{− −}

2 2 2

2 2

2

h h

h p

p e x

px i Et

∂x h h

( )

Ψ Ψ

∂ ⁻_h ⁻ E

E i

i ^{Et px}

i

(10)

( )

Ψ

−

= ψ

−

∂ =

∂

h

h e ^h i

t i

Para v<<c vale a eq. (3). Multiplicada ambos os lados por Ψ:

p²

Ψ +

Ψ

=

Ψ V

m E p

2 (11)

2 2

2 ∂ Ψ

Reescrevendo (9) e (10):

Ψ i

h ∂ _{S b t E (11)}

2 2

2

p x

∂

Ψ

− ∂

=

Ψ h

i i t E i

∂ Ψ

− ∂

=

Ψ h Subst. Em (11):

2

2 ⁺

( )

∂ Ψ

− ∂

∂ = Ψ

∂ V x

m x

i t ₂

2 2

2

h h ⁽¹²⁾

( )

Para o caso tridimensional onde

( ) ( ) ( )

( )

h²

( )

Ψ

=

Ψ ^{r =}

(

)

( ) ( ) ( ) ( )

t t , i r

t , r t

, r V t

,

m r ∂

Ψ

= ∂ Ψ

+ Ψ

∇

− h^{2 2} h

2 ⁽¹³⁾

2 2 2

2 2

2 2

z y

x ∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

onde ∇ As soluções da eq (13) são

necessariamente complexas.

8.2 – Interpretação da função de onda

• O fato das funções de onda serem complexas é uma característica desejável, por tornar evidente que nãoj , p q devemos atribuir às funções de onda uma existência física.

•Não devemos procurar responder, ou mesmo questionarNão devemos procurar responder, ou mesmo questionar perguntas como: o que está exatamente ondulando e em que está ondulando. Observe que justo essas perguntas, no que dizia respeito às ondas eletromagnéticas, conduziram os físicos do século passado ao conceito ilusório do “éter”

ilusório do “éter”.

•Qual seria então a relação entre a função de onda Ψ(x,t) e a localização do elétron?

• Podemos fazer uma analogia com a luz e tentar entender esta relação

A função de onda para a luz é o campo elétrico ε=y(x,t) e satisfaz a eq de onda clássica:

satisfaz a eq. de onda clássica:

2

2y 1 ∂ y

∂ =

A i id d d l d d l i é

2 2

2 v t

x = ∂

∂

A energia por unidade de volume de uma onda luminosa é proporcional a ou seja :ε² u ∝ ε ²

Como a energia é quantizada em unidades hν para cada fóton esperamos que:

[ ]

ε 2

ν = u ∝ l h

defótons n^o

(Einstein)

[

]

defótons n^o

[

]

n Densidade de fótons

A onda de de Broglie para um único elétron é descrita pela função de onda Ψ(x t) e satisfaz a eq de Schrödinger

função de onda Ψ(x,t) e satisfaz a eq. de Schrödinger.

Em analogia com a interpretação de , a grandeza é proporcional à probabilidade de um elétron ser encontrado

ε

Ψ

proporcional à probabilidade de um elétron ser encontrado em uma certa região do espaço, onde

2

≡ Ψ Ψ

Ψ

( ) ^{x dx dx}

P ( ) ^{x dx} Ψ

^dx

P = Ψ

É a probabilidade de encontrar o elétron no intervalo dx e

á l

(14) será sempre real.

( ) ^{r t dV} ( ) ( ) ^{r t r t dV}

P = Ψ

Ψ

3D

^P ( ) ^{r , t dV = Ψ} ( ) ( ) ^{r , t Ψ r , t dV}

dxdydz dV =

(Max Born)

Born interpretou o quadrado do módulo da função de onda como uma densidade de probabilidade de presença, representando a distribuição de probabilidade das representando a distribuição de probabilidade das posições ocupadas por uma partícula ao longo de seu movimento por uma dada região do espaço.

movimento por uma dada região do espaço.

A densidade de probabilidade deve ser um número real e isso é resultado direto das propriedades dos números p p complexos. Relembrando:

Um número complexo é escrito como z = a + ib com a, b são Re e^{p ,} i = −1 O conjugado do complexo z é o número complexo denotado por

z^* = a - ib. Logo z*z=a²+b².

1 i

Representação Trigonométrica Na representação trigonométrica em

coordenadas polares um número z é coordenadas polares, um número z é determinado pela norma do vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o

i i iti d b i

semi-eixo positivo das abscissas.

A partir das relações trigonométricas obtêm-se:

A partir das relações trigonométricas obtêm se:

cos θ = a/ρ, sen θ = b/ ρ ⇒ a = ρcos θ, b = ρ sen θ. Portanto:

z = a + bi z = ρ cos θ + (ρ sen θ)i ⇒ z = ρ(cos θ + i sen θ) e z^*= ρ(cos θ - i sen θ)

z = ρ(cos θ - i sen θ)

Usando a relação de Euler z= ρ e^iθ onde

Da relação tg θ = b/a consegue-se o valor de θ .

2

2 b

a + ρ =

A densidade de probabilidade deve ser normalizada.

( ) ( )

+∞

∫

∗

r , t Ψ r , t dV = 1

Ψ

(condição de normalização para que a partícula exista)

∫

− p q p ) (15)

Em coordenadas retangulares:

( ) ( )

∫∫∫ ^Ψ

^{x , y , z , t Ψ x , y , z , t dxdydz = 1}

a) Densidade de corrente de probabilidade

Derivando em relação ao tempo: Ψ 2²

+ ∂

∂ ∂ ^∗ _∗ Ψ

Ψ Ψ Ψ

Ψ ²

t t

t + ∂

= ∂

∂ Ψ Ψ

Usando a Eq. (13) de Sch:

⎤

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂ Ψ ^{2 2 2}

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛− ∇ +

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛− ∇ +

∂ =

∂ _{∗ ∗}

Ψ Ψ

Ψ Ψ Ψ

m V m V

i t

2 2 2 2

2

2 2

h h

h

Levando em conta a relação:

(

)

∗

∗∇ Ψ − Ψ∇ Ψ = ∇ ⋅ Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ

Ψ ^{2 2}

Obtêm-se:

(

)

∇

∇

∇

(

)

Ψ ∇ ∇ ∇

∂ ² ih _{∗ ∗}

Definindo:

(

)

⋅

∇

−

∂ =

∗

∗

m

t 2

ρ

2

=

Ψ ( )

m

i Ψ∇Ψ^∗ − Ψ^∗∇Ψ = 2

h (16)

= 0

⋅

∇

∂ +

∂ J

t

ρ

∂t

ρ E J obedecem a uma equação análoga à equação de continuidade de massa ou de carga elétrica. Entretanto neste caso a densidade deg corrente de probabilidade não deve ser interpretada como uma quantidade material que se move, devemos nos ater ao aspecto de conservação Neste caso a equação indica que no intervalo r ^e r

conservação. Neste caso a equação indica que no intervalo r₁^{, e} r₂

não há criação ou destruição de probabilidades.

Born interpretou:

como uma densidade de probabilidade de presença E

ρ

2

= Ψ

E ⁼

(

)

m J i

2 h

Como uma densidade de corrente de probabilidade.

“A abordagem probabilística, segundo a hipótese básica da M. Q. nãoA abordagem probabilística, segundo a hipótese básica da M. Q. não ocorre pela complexidade dos sistemas físicos, mas sim por uma característica intrínseca da própria evolução desses sistemas.

Enquanto as teorias clássicas da Mecânica de Newton e do Enquanto as teorias clássicas da Mecânica de Newton e do Eletromagnetismo de Maxwell descrevem os fenômenos de maneira causal e determinística, a Mecânica Quântica Ondulatória de

S h ödi d B d f ô d d l ã

Schrödinger e de Born descreve os fenômenos de modo causal e não determinístico.”

Subitens Aula Passada

8.1 A equação de Movimento:

) E ã d S h ödi d t d t i á i

a) Equação de Schrödinger dos estados estacionários.

b) Equação de Schrödinger dependente do tempo.

8.2 Interpretação da função de onda:

Localização do elétron?

a) Densidade de corrente de probabilidade.

Subitens Aula Atual

8.3 Propriedades matemáticas das funções de onda e 8.3 Propriedades matemáticas das funções de onda e

auto-funções:

a) Condições de solução aceitável b) Auto-valores e auto-funções a) Condições de solução aceitável b) Auto-valores e auto-funções c) Soluções da eq de Sch. d) Estados estacionários

e) Ortonormalização e) Ortonormalização

8.4 Valores esperados e operadores diferenciais:

- Definição de valor esperado de qualquer função.

- Como calcular o valor esperado de p e de E.

8.3 – Propriedades matemáticas das funções de onda Ψ(x,t) e auto-funções ψ(x)

(a) Para ser uma solução aceitável da Equação de (a) Para ser uma solução aceitável da Equação de Schrödinger , uma autofunção e sua derivada devem satisfazer as seguintes condições para todos os valores de x:

1)) ψψ (x) e dψ/dx devem ser finitas e unívocas.( ) ψ

Se ψψ (x) ou dψ/dx violassem o requisito 1 o mesmo ocorre com Ψ( ) ψ q (x,t)= ( , ) exp(-iE/ht)ψ(x). Isso significaria que a densidade de probabilidade ou a densidade de corrente de probabilidade não estariam bem definidas, ou seja, não teriam um valor finito e bem definido para todos os valores de seja, não teriam um valor finito e bem definido para todos os valores de x. Como os resultados de medições envolvem essas duas grandezas, funções de onda com essa propriedade não seriam aceitas, já que

grandezas mensuráveis como momento angular e posição jamais são grandezas mensuráveis como momento angular e posição, jamais são infinitas e plurívocas.

2) ψ (x) e dψ/dx devem ser contínuas

Como a probabilidade de encontrar uma partícula não pode variar

descontinuamente de um ponto para outro ponto vizinho, a função de onda deve ser contínua. Como a eq. de Schrödinger envolve a segunda q g g derivada da função de onda a primeira derivada também deve ser

contínua.

As auto-funções devem ser bem comportadas matematicamente, ou seja não devem ter comportamentos bruscos graficamente.

(b) Da Equação de Schrödinger ^{2 (}₂ ^{) 2m}₂

(

)

d x

d ψ _{= −} ψ

( ) q ç g h

Para um dado potencial V(x) a equação admite soluções somente para certos valores de energia: E₁

2

dx2 h

soluções somente para certos valores de energia: E₁, E₂,...E_n. Essas energias são denominadas de auto- valores correspondentes ao potencial V(x). A cada auto-valor, corresponde uma auto-função ψ₁ (x), ψ₂ (x),..., ψ_n (x), cada uma delas solução da equação de Sch Independente do tempo com o potencial V(x) A Sch. Independente do tempo, com o potencial V(x). A cada auto-valor corresponde também uma função de onda:

z=(l/2-x)

onda:

Ψ₁ (x,t), Ψ₂ (x,t),... Ψ_n (x,t) onde Ψ_n (x,t)= exp(-iE_n /ht)ψ_n (x) n= 1,....∞ (número quântico)

Cada qual solução da eq. de Sch. (total) com o mesmoq ç q ( ) potencial

(c) Se Ψ₁ (x,t), Ψ₂ (x,t),... Ψ_n (x,t) são soluções da equação ( ) ₁ ( , ), ₂ ( , ), _n ( , ) ç q ç

de Schrödinger, então a combinação linear

∑

∑

=

Ψ( ) ( ) ( )

t iE

x e

a t

x a

t x

n ψ

h

onde a_n são constantes complexas, também será solução.

∑ ∑

=

= Ψ

= Ψ

1

) ( )

, ( )

, (

n n

n n

n

n x t a e x

a t

x ψ

(d) Supondo que a função de onda de uma partícula seja uma das funções de onda Ψ(x t) correspondente a um uma das funções de onda Ψ(x,t) correspondente a um auto-valor bem definido E_n

t iE t

iE

) ( )

( )

( )

( )

, ( )

,

(x t x t e x e _n x _n x _n x

t iE n

t iE n

n

n

n ψ ^{∗ −} ψ ψ ^∗ ψ

∗ Ψ = + ^{h h} =

Ψ

A densidade de probabilidade é independente do tempo. A partícula se encontra em um estado estacionário ou auto-estado sob a ação do potencial V(x).

(e) As auto-funções além de ortogonais são normalizadas.

( ) ç g

Condição de ortonormalidade:

∫

^{ψ ( ) ψ ( ) = δ}

∫

∗

r

r dV

l

r r

⎩⎨

⎧

≠

= =

n l

n l

0 1 δln

(relação de completeza)

Através da condição de ortonormalidade podemos encontrar uma propriedadep p parap as constantes complexas a_n:

( )

∑ ∫ ∑ ∫

∫

∑ ∫ ∑

∫

∫

n n l

n l n

n n

n ψ ψ ψ ψ

,

2 h

∑

∑

n

n n a

a a_n^∗a_n = Probabilidade da partícula estar no estado Ψ_n

8 4 – Valores esperados e operadores diferenciais 8.4 Valores esperados e operadores diferenciais

-Valores esperados:

A existência de uma densidade de probabilidade para a posição, torna possível encontrar o valor esperado do

p ç , p p

vetor posição de uma partícula:

( ) ∫ ( ) ( )

∫

^{( )}

^{( ) ( )}

rr =

∫

∫

O valor esperado de é o valor médio de que esperamos obter ao medirmos as posições de um grande número de partículas com a mesma função de

rr rr

grande número de partículas com a mesma função de onda Ψ.

Equivalente as três equações:

∫

∫

∫

Equivalente as três equações:

dz z

z dy y

y dx

x

x =

∫

∫

∫

No caso geral, o valor esperado de qualquer função f(r,t) é dado por:

( ) ( ) ( )

f =

∫

As coordenadas posição, momento, energia total e a

energia potencial são exemplos de grandezas dinâmicas que podem ser utilizadas para caracterizar o estado de uma partícula

uma partícula.

-Operadores:

Apesar de seu conteúdo abstrato, é possível Apesar de seu conteúdo abstrato, é possível caracterizar um operador como uma aplicação matemática que relaciona um objeto pertencente a um conjunto a um outro objeto pertencente ao mesmo conjunto.

Ao trocarmos duas garrafas numa prateleira, podemos dizer que lhes aplicamos o “operador” de permutação.

A bj t d t li d

Ao empurrarmos um objeto pesado, estamos aplicando o “operador” de translação.

No caso da Teoria quântica além de se utilizar tais operadores, quase todas as grandezas físicas são representadas por operadores É comum discutir se as representadas por operadores. É comum discutir-se as propriedades físicas de um sistema quântico através da aplicação de um operador “posição” ou de um aplicação de um operador posição ou de um operador “momentum”, ou mesmo de um operador

“energia” sobre a função psi.

Portanto um operador representa um “aparelho de medida” de uma certa variável dinâmica aplicado ao medida de uma certa variável dinâmica aplicado ao sistema que, no formalismo matemático da teria é representado pelo seu estado quântico psi.

Se conhecêssemos o momento de uma partícula em função de x poderíamos calcular o valor esperado de p

t é d ã

através da equação:

dx p

p =

∫

Entretanto é impossível expressar p em função de x, já

p

p

∫

que de acordo com o princípio de incerteza, não podemos conhecer p e x ao mesmo tempo com

i ã li it d P l l l d d

precisão limitada. Para calcular o valor esperado de p precisamos conhecer a função de distribuição do momento ou encontrar outra maneira de expressar o momento ou encontrar outra maneira de expressar o integrando em termos de x e t.

Função de onda para uma partícula livre:

A= constante Diferenciando em relação a x

^Ψ ( ) ^{x , t = Ae}

ç

( )

ou t

x i p

d k d

comop t

x ik

d ikAe

d _{i kx t}

) , ( )

,

( Ψ = Ψ

∴

= Ψ

=

Ψ = ₋

h h

ω

[

]

^{( )}

p

dx dx

) , ,

( Ψ

−

=

Ψ h

h

Esta relação revela uma correspondência entre a

[ ]

p ( , ) h dx

grandeza dinâmica p, e o operador diferencial. Portanto podemos fazer a associação:

i z y p

i x p

i

p

∂

− ∂

∂ →

− ∂

∂ →

− ∂

→ h ; h ; h

z y

x

∂ ∂

∂

Portanto o valor esperado de p em termos de x e t será:

⎞

⎛ ∂

∫

∗ ⎟Ψ

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂ Ψ

= dx

i x

p h

Onde a grandeza

∂

Ob ál l d l d d

i x

p ∂

− ∂

= h ˆ

Observe que no cálculo do valor esperado o operador que representa a grandeza física cujo valor esperado queremos calcular opera em Ψ(x t) e não em Ψ^* (x t) queremos calcular opera em Ψ(x,t) e não em Ψ (x,t).

Este fato é irrelevante quando o operador é uma constante ou uma função multiplicativa, mas pode se tornar extremamente importante quando o operador incluir uma diferenciação.

Vamos diferenciar agora a função de onda para uma partícula livre em termos de t e definir o operador partícula livre em termos de t e definir o operador energia:

i d

E

dΨ _{( )} Ψ

( )

d

ou t

x i E

dt d como E

t x i

Ae dt i

d _{i kx t}

) , ( )

, ( Ψ

Ψ

− Ψ =

∴

= Ψ

−

=

−

Ψ = ₋

h ω h

ω

ω ^ω

[ ] ^{( )}

dt t x i d

t x

E ,

) ,

( = Ψ

Ψ h

Ou seja, existe a correspondência:

i t

E ∂

→ h ∂

Logo

∂ t

∫

∫

∞ ∗

∞

−

∗

∂

= ∂

= dV

i t dV

E

E Ψ

Ψ Ψ

Ψ h