COMPLEMENTO 1 – v. 0.5 Assuntos:

(1)

UFPE — MA452 — 2018.1 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

COMPLEMENTO 1 – v. 0.5

Assuntos: Sistemas de n´ umeros naturais sob diversos aspectos: axiom´aticas (equivalentes) como defini¸c˜ao de

^N

do ponto-de-vista formal; demonstra¸cões por indu¸cão finita, indu¸cão completa e pelo princ´ıpio da boa ordena¸cão; o teorema de defini¸cão por recursão e algumas variantes suas; a existência de sistemas de Peano; isomorfismos deles; opera¸cões aritméticas em

^N

e suas propriedades; bases de enumera¸c˜ao; e fatos b´asicos sobre divisibilidade.

Orienta¸ c˜ ao. Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Podem ser usados os recursos da lógica de predicados com igualdade, e de ZF (axiomá- tica de Zermelo-Fraenkel) referentes às opera¸cões com conjuntos e às rela¸cões binárias. As proposi¸cões e os exerc´ıcios “dif´ıceis” e “muito dif´ıceis” para a au- diência esperada, seja pelo n´ıvel técnico ou pela extensão de sua resolu¸cão, serão assinalados com * e respectivamente. Os leitores devem, ao me- nos, tentar fazê-los. Já os resultados assinalados com * são apenas para o conhecimento de seus enunciados e uso pois, além de serem muito dif´ıceis, constituem assunto avan¸cado para o n´ıvel esperado neste curso. Itens resolvi- dos no final do texto são indicados pelo sinal de parágrafo “§”: só conferi-los após tentar resolvê-los seriamente. Nos itens em que se pedem algoritmos, a descri¸cão destes pode ser feita em português, pseudocódigo ou alguma lin- guagem de programa¸cão consagrada.

Axioma 1. Os axiomas de Peano ¹ (ou de Peano-Dedekind ), que definem um sistema de Peano (ou sistema de n´ umeros naturais ) (N, 0, S), s˜ao:

1. S : N −→ N ´e uma inje¸c˜ao definida num conjunto N ; 2. 0 ∈ N \S(N );

3. Princ´ıpio da indu¸cão finita (P.I.F. – versão na lógica de 2 â ordem). Para todo subconjunto X ⊆ N , se vale a propriedade abaixo, então X = N : 0 ∈ X e ∀n ∈ N, n ∈ X = ⇒ S(n) ∈ X, (1) ou seja, o ´ unico subconjunto de N que contém zero e é fechado para a sucessão imediata é o próprio N .

1

Na axiom´atica original,

^N

come¸cava de 1. Aqui, iniciamos de 0 (como diversos outros

autores) devido ` a sua conveniˆencia aritm´etica (elemento neutro da adi¸c˜ ao), ` a constru¸c˜ ao

de modelos de

^N

a partir do axioma do infinito – cf. itens ?? e ??, e ` a obten¸c˜ ao direta de

um n´ umero cardinal 0 representando o n´ umero de elementos de ∅ .

(2)

Quest˜ ao 2.

2.a. Demonstrar que N = {0} ⊔ S(N ) (Ou seja, X consiste, precisamente, de zero e dos sucessores imediatos. Além disto, aquela união é disjunta).

Dica. Seja X = {0} ∪ S(N );

2.b. Corolário. Verificar a boa defini¸cão da fun¸cão antecessor (ou predeces- sor) imediato T : N \{0} −→ N determinada por T ◦ S = Id N e S ◦ T = Id N\{0} , ou seja, ∀n ∈ N, T (S(n)) = n e, se n 6= 0, então S(T (n)) = n.

Esbo¸ co. S é inje¸cão e, portanto, é invert´ıvel sobre sua imagem, ou seja, S possui inversa(s) à esquerda, cuja restri¸cão à imagem de S é igual à fun¸cão T desejada, a qual nada mais é que T = s ⁻¹ , onde s é a seguinte modifica¸cão de S (ela ajusta o contradom´ınio): s : N −→ N \{0}

n 7−→ s (n) = S(n);

2.c § Demonstrar que nenhum n´ umero natural ´e seu sucessor imediato.

Dica. Observemos que a proposi¸cão equivale a: todo n´ umero natural é diferente de (“não é”, “não é igual a”) seu sucessor imediato;

2.d. ** (Teorema de demonstra¸ c˜ ao por indu¸ c˜ ao finita ou fraca, ou P.I.F.

na lógica de 1 â ordem). Provar que, dado um predicado P (x) na variável natural x, se:

− A proposi¸c˜ao P (0) ´e verdadeira (V); e

− ∀n ∈ N, [P (n) é verdadeira = ⇒ P (S(n)) é verdadeira], então P (n) é verdadeira para todo natural n.

Dica. Seja X = {n ∈ N |P (n)}.

Obs. A versão geral deste teorema é para um predicado Q(x, x 1 , x 2 , . . . , x k ) em x (natural) e k variáveis arbitrárias x 1 , x 2 , . . . , x k . Lidamos com o caso k = 0. Para provarmos o caso geral, consideramos cada predicado P (x) = Q(x, x 1 , x 2 , . . . , x k ) obtido ao fixarmos os valores de x 1 , x 2 , . . . , x k . Da arbi- trariedade destes valores, temos a validade do teorema para Q;

2.e. Quais dos itens anteriores ao Item 2.d conseguirias provar usando 2.d ?

Obs. Neste texto, muitos itens podem ser demonstrados por indu¸c˜ao finita,

particularmente nas quest˜oes 5 e ??. ´ E preciso ter cuidado no uso do P.I.F.,

evitando manipula¸c˜oes errˆoneas com n (cf. Item ??).

(3)

As opera¸cões de adi¸cão, multiplica¸cão e exponencia¸cão em N podem ser vistas assim: a soma m +n é o resultado da aplica¸cão da itera¸cão (repeti¸cão), n vezes, da sucessão imediata S ao n´ umero natural m: m + n = S ⁿ (m); o produto m · n é o somatório de n parcelas iguais a m, o que pode ser visto como a aplica¸cão iterada n vezes de “somar com m” (h m (x) = x + m) ao ele- mento neutro da adi¸cão, 0 (aliás, isto dá conta da situa¸cão n = 0 também);

e a potência m ⁿ é o produtório de n fatores iguais a m, o que, analogamente ao discutido para a multiplica¸cão, pode ser visto como a aplica¸cão iterada n vezes de “multiplicar por m” (h m (x) = x · m) ao elemento neutro da mul- tiplica¸cão, 1 (e isto dá conta do caso n = 0 também). Já o fatorial n! de um n´ umero natural n é o produtório dos naturais de 1 a n (com 0! = 1). O problema é: ainda não temos uma defini¸cão do que é a aplica¸cão iterada n vezes de uma fun¸cão a um valor inicial. Da mesma forma para opera¸cões:

ainda não temos uma defini¸cão de somatório, produtório ou mesmo potência!

Para bem definirmos a aplica¸cão iterada de uma fun¸cão h : A −→ A num conjunto A a um valor inicial a 0 ∈ A, utilizaremos recursão (cf. Questão ??) e algumas variantes. Ela formaliza a ideia de obtermos o valor seguinte a par- tir do valor atual como a aplica¸cão de h a este ´ ultimo: denotando c n = h ⁿ (a 0 ) (que ainda não está bem definido porque ainda não temos a composi¸cão repe- tida h ⁿ de n cópias de h com n arbitrário), a _S(n) = h(a n ), o que seria escrito, apelando para aquele h ⁿ (a 0 ), como a S(n) = h (h ⁿ (a 0 )) = h ^S(n) (a 0 ). Ao invés de usarmos a nota¸cão de sequências a n para os valores obtidos por recursão, utilizaremos a nota¸cão de fun¸cões f : N −→ A, com f (S(n)) = h (f(n)) e o valor inicial f (0) = a 0 dado. De volta às opera¸cões mencionadas, para cada parâmetro m ∈ N fixado:

m + 0 := m,

m + S(n) := S(m + n), ∀n ∈ N ;

m · 0 := 0,

m · S(n) := m · n + m, ∀n ∈ N;

m ⁰ := 1,

m ^S(n) := m ⁿ · m, ∀n ∈ N ; e

0! := 1,

S(n)! := S(n) · n! , ∀n ∈ N.

(2) Obs. Tamb´em denotamos m · n por mn.

No primeiro caso, temos que a fun¸cão desejada é (com rela¸cão ao parâme- tro m fixado) f m : N −→ N

n 7−→ f m (n) = m + n obtida pela aplica¸c˜ao iterada

de h = S : N −→ A = N ao valor inicial a 0 = m, donde o valor inicial desta

recursão depende do parâmetro, mas não a fun¸cão h. Já nos dois outros casos,

esta dependência se inverte ! De fato, para a multiplica¸cão, a fun¸cão desejada

(4)

´e (fixado o parˆametro m) f m : N −→ N

n 7−→ f m (n) = f m (n) = m · n obtida pela aplica¸c˜ao iterada de h m : N −→ N

a 7−→ h m (a) = a + m ao valor inicial a ₀ = 0 (elemento neutro para a adi¸c˜ao – cf. Item 5.a); para a exponencia¸c˜ao,

f m : N −→ N

n 7−→ f m (n) = f m (n) = m ⁿ por h m : N −→ N

a 7−→ h m (a) = a · m aplicada ao valor inicial a 0 = 1 (Item 5.g). No Item 3.c, consideraremos a dependência, com o parâmetro m, do valor inicial e da fun¸cão iterada.

Em cada um dos três casos discutidos no parágrafo acima, as fun¸cões f m

obtidas por recursão sobre n com o parâmetro m fixado podem ser combina- das numa ´ unica fun¸cão f , variando-se o valor do parâmetro ² :

f : N × N −→ N

(m, n) 7−→ f (m, n) = f m (n).

Também poder´ıamos ter dado todas as fun¸cões h m combinadas como uma só h : N × N −→ N , e separá-las, quando necessário, através de:

∀m ∈ N, h m : N −→ N

n 7−→ h m (n) = h(m, n). Seguiremos esta versão no Item 3.c. Já uma adapta¸cão da recursão para a discussão do fatorial é o Item 3.d.

Com esta longa introdu¸cão, estamos melhor preparados para entender- mos os enunciados e usos dos resultados abaixo (as provas requerem mais maturidade matemática do que os requisitos da disciplina pressupõem):

Proposi¸ c˜ ao 3. (O teorema de defini¸c˜ao por recurs˜ao e algumas variantes).

3.a. *** (Teorema de defini¸ c˜ ao por recurs˜ ao) Dados um conjunto A, um elemento a ₀ ∈ A e uma fun¸c˜ao h : A −→ A, existe uma ´ unica fun¸c˜ao

f : N −→ A satisfazendo ³ a recurs˜ ao (3) abaixo.

f (0) = a ₀ ,

f (S(n)) = h(f (n)) , ∀n ∈ N. (3)

2

Esta ideia ´e comum em matem´ atica mais avan¸cada.

3

Observar que f (n) ´e aplica¸c˜ ao de h, iterada n vezes, a a

⁰

. Isto ´e, `as vezes, representado

por h

ⁿ

(a

⁰

) e est´ a bem definido gra¸cas a este teorema. Sem ele, podemos formar este

valor ´ unico, passo a passo (sucessor a sucessor), para n = 0 at´e n = k, um natural

qualquer: chamando S(0) de 1 e S(1) = 2, temos que f (0) = a

⁰

d´a f (1) = h(a

⁰

), que

d´a f (2) = h(h(a

⁰

)), que eventualmente chega a f (k) = h

^k

(a

⁰

) para o k fixado (digamos

que k / ∈ {0, 1, 2}) atrav´es de sucessivas aplica¸c˜ oes de h. O que o teorema diz ´e que esta

forma¸c˜ ao est´ a bem definida para todos os naturais k de uma vez ! Observar, tamb´em, que

a recurs˜ ao expressa f (mas n˜ ao como uma f´ ormula fechada) em todos os naturais, uma

vez que temos a decomposi¸c˜ ao de N apresentada no Item 2.a.

(5)

Obs. Em alguns contextos, denotamos f como sequˆencia, a n = f (n). Com isto, a segunda linha seria escrita como a n+1 = h(a n ).

Obs. Mesmo com as ideias indicadas abaixo, a demonstra¸c˜ao deste teorema pode ser muito dif´ıcil para muitos estudantes.

Esbo¸ co de demonstra¸ c˜ ao (seguindo [Moschovakis]). Recordar que uma fun¸cão, enquanto rela¸cão, é um conjunto de pares ordenados, a saber, f = {(n, f (n))|n ∈ N }. Tal fun¸cão reflete a constru¸cão do k−ésimo estágio f k

(dado k ∈ N ), levando a f = [

k∈N

f k Agora, f k poderia ser expresso como f k = {(n, f (n))|n ∈ N : 0 ≤ n ≤ k} se já tivéssemos definido a rela¸cão de ordem ≤ em N . Ela também serviria para organizarmos os estágios, dizendo que k ^′ ≤ k ⇒ f k

^′

é a restri¸cão de f k a {n ∈ N |0 ≤ n ≤ k ^′ }. O problema é que utilizaremos recursão (com parâmetros) para definirmos a adi¸cão, e esta para definirmos a rela¸cão ≤. Para contornarmos esta ausência, pensamos nos estágios como “aproxima¸cões” de f, a saber, fun¸cões p : D p −→ N tais que:

seus dom´ınios D p ⊆ N satisfazem 0 ∈ D p e ∀n ∈ N, S(n) ∈ D p = ⇒ n ∈ D p

(ou seja, D p possui 0 e todos os antecessores imediatos de seus elementos não-nulos); e seus valores satisfazem p(0) = a 0 e ∀n ∈ N, S(n) ∈ D p = ⇒ p(S(n)) = h(p(n)). Observar que, se f existir, então ela própria é uma aproxima¸cão sua. Para a unicidade de f , demonstrar que, para todas as aproxima¸cões p e q de f , e para todos os naturais n, se p e q estão definidos em n (isto é, se n ∈ D p ∩D q ), então p(n) = q(n). Para a existência de f, observar que cada aproxima¸cão é um subconjunto de N × N e, da´ı, demonstrar que as aproxima¸cões formam um conjunto em ZF (subconjunto de P (N × N )) cuja união é a fun¸cão f desejada, ou seja, cuja união é uma fun¸cão, tem dom´ınio N e satisfaz a recursão desejada;

3.b. ** Corolário. A composi¸cão iterada de uma fun¸cão está bem definida, isto

é, dados um conjunto A e uma fun¸cão ϕ : A −→ A, estão bem definidas as fun¸cões ϕ ⁿ : A −→ A dadas pela recursão

ϕ ⁰ = Id N ,

ϕ ^S(n) = ϕ ◦ ϕ ⁿ , ∀n ∈ N.

Obs. A nota¸cão ϕ ⁿ para a composi¸cão iterada (repetida) de ϕ é padrão.

Notar que ϕ ¹ = ϕ.

Ideias para provas. Uma abordagem ´e definirmos ϕ ⁿ em cada a ∈ A sepa- radamente:

ϕ ⁰ (a) = a,

ϕ ^S(n) (a) = ϕ (ϕ ⁿ (a)) , ∀n ∈ N. Escolher a 0 e h convenien-

tes no Item 3.a para que ∀n ∈ N, ϕ ⁿ (a) = f(n). Isto trata a ∈ A como um

parˆametro, semelhante ao que ´e feito no Item 3.c: ϕ ⁿ (a) = f (a, n) naquele

(6)

item. Outra abordagem ´e aplicarmos o Item 3.a usando A = A ^N (o conjunto das fun¸c˜oes de N em A) como sendo o conjunto A daquele item, a 0 = Id N e

h : A ^N −→ A ^N

g 7−→ h (g) = ϕ ◦ g, resultando em f : N −→ A ^N

n 7−→ f (n) = ϕ ⁿ ; 3.c. *** Corol´ario (recurs˜ ao com parˆ ametros). Dados conjuntos A e P ,

e fun¸cões g : P −→ A e h : P × A −→ A, existe uma ´ unica fun¸cão f : P × N −→ A satisfazendo a seguinte recursão:

∀p ∈ P,

f(p, 0) = g(p),

f (p, S(n)) = h(p, f (p, n)), ∀n ∈ N. (4) Obs. O(a) leitor(a) pode entender melhor o enunciado resolvendo os itens 4.c, 4.d e 4.e primeiro.

Esbo¸ co de demonstra¸ c˜ ao (boa parte já discutidas na introdu¸cão à Pro- posi¸cão 3). P é um conjunto de parâmetros. Para cada p ∈ P fixado, g fornece o valor inicial a ₀ = g (p) de uma recursão do tipo (3), na qual

h p : A −→ A

a 7−→ h p (a) = h(p, a) faz o papel da fun¸cão h em (3), ou seja, co- me¸camos com a 0 = g(p) e, então, aplicamos h p iterada n vezes. Para a existência de f , usamos o Item 3.a, obtendo uma ´ unica fun¸cão f p : N −→ A que dá sentido à expressão no lado direito da igualdade f p (n) = h _p ⁿ (g (p)).

Da´ı, combinamos as fun¸c˜oes produzidas para os diferentes valores de p na fun¸c˜ao f : P × N −→ A

(p, n) 7−→ f (p, n) = f p (n). Verificar que tal f satisfaz a re- curs˜ao (4). Para a unicidade de f , observar que, sendo a uni˜ao P × N =

G

p∈P

{p}

!

× N = G

p∈P

({p} × N) disjunta, f ser ´ unica equivale à unicidade de todas as restri¸cões de f às fatias do tipo {p} × N . Mas cada uma destas restri¸cões satisfaz a recursão que define f p para seu respectivo p ∈ P e, pelo Item 3.a, é ´ unica;

3.d. *** Corol´ario (recurs˜ ao com o argumento como parˆ ametro). Tentar provar que, dados um conjunto A, um elemento a 0 ∈ A e uma fun¸c˜ao

h : N × A −→ A, existe uma ´ unica fun¸c˜ao f : N −→ A satisfazendo a seguinte recurs˜ao:

∀p ∈ P,

f (0) = a ₀ ,

f (S(n)) = h(n, f (n)), ∀n ∈ N. (5)

Obs. Denotando, como antes, h m (n) = h(m, n), temos que f d´a sentido `a

itera¸c˜ao na igualdade f (S(n)) = (h n ◦ · · · ◦ h 1 ◦ h 0 )(a 0 ).

(7)

Quest˜ ao 4. (Recursão; defini¸cão formal das opera¸cões aritméticas de

^N

).

4.a. As fun¸cões identidade Id N e sucessão imediata S em N satisfazem, obvia- mente, as recursões abaixo:

Id N (0) = 0,

Id N (S(n)) = S(n), ∀n ∈ N; e

S(0) = S(0) =: 1,

S(S(n)) = S(S(n)), ∀n ∈ N.

Verificar que Id N = f do Item 3.a para a 0 = 0 e h = S, enquanto S = f do Item 3.a para a ₀ = 1 e h = S;

4.b. ** (Antecessor imediato por recursão). Estendamos N por um s´ımbolo for- mal I / ∈ N (I representa a expressão “indefinido”): N b = ˆ N ⊔ {I}. Consi- deremos uma extensão não-injetiva do antecessor imediato T a N b , a saber, a fun¸cão T b : N b −→ N b que tem valor T b (I) = I, e cujos valores em N são definidos recursivamente por:

( T b (0) = I (pois o antecessor imediato T de 0 n˜ao est´a definido);

e, ∀n ∈ N, T b (S(n)) = n (seguindo a defini¸c˜ao de T no Item 2.b). Para obtermos T b | N pela recurs˜ao (3), precisamos de a 0 = I e de h : N b −→ N b tal que, ∀n ∈ N, n = T b (S(n)) = h

T b (n)

. Para n 6= 0, S j´a cumpre o papel do h desejado (pelo Item 2.b) e, portanto, h precisa estender S a S b tal que 0 = h

T b (0)

= h(I) ∴

h ≡ S b : N b −→ N b ˆ

n 7−→ S b (ˆ n) =

0, se ˆ n = I;

S (ˆ n) , se ˆ n ∈ N.

Verificar que: T b é uma inversa à esquerda para a inje¸cão S, isto é, b T b ◦ S b = Id _N _b ; T b ⁻¹ (N ), a imagem inversa ⁴ de N por T b , é igual a N \{0}; e a restri¸cão T b | N \{0}

a este conjunto é igual à fun¸cão T do Item 2.b.

Obs. Claro que, não sendo S b sobrejetiva, T b não poderia ser também inversa

`a direita de S, mas b S b ◦ T b | N = Id N ;

4.c. * Mostrar que a adi¸ c˜ ao em N , expressa recursivamente nas equa¸cões (2), está bem definida por ser a aplica¸cão do Item 3.c ao exemplo determinado por: A = P = N, g = Id N e h : N × N −→ N

(m, n) 7−→ h(m, n) = S(n);

4.d. * Mostrar que a multiplica¸ c˜ ao em N , expressa recursivamente nas equa-

¸cões (2), está bem definida por ser a aplica¸cão do Item 3.c ao exemplo deter- minado por: A = P = N , g ≡ 0 e h : N × N −→ N

(m, n) 7−→ h(m, n) = n + m;

4

Intuitivamente, a fun¸c˜ ao T b tem valor I (“indefinido”) precisamente onde a fun¸c˜ ao

antecessor imediato T n˜ ao est´ a definida. Assim, T b

⁻¹

(N) consiste dos elementos nos quais

T est´ a definida, ou seja, ´e o dom´ınio de T .

(8)

4.e. * Mostrar que a exponencia¸ c˜ ao em N , expressa recursivamente nas equa-

¸cões (2), está bem definida por ser a aplica¸cão do Item 3.c ao exemplo deter- minado por: A = P = N , g ≡ 1 e h : N × N −→ N

(m, n) 7−→ h(m, n) = n · m;

4.f. ** Observar que a subtra¸ c˜ ao em N pode ser expressa através da recursão abaixo, a qual já leva em considera¸cão os casos ⁵ em que ela não está definida, produzindo o s´ımbolo I (“indefinido”) neles através da fun¸cão T b do Item 4.b:

∀m ∈ N,

m − 0 = m;

m − S(n) = T b (m − n) , ∀n ∈ N. (6) Mostrar que ela ´e a aplica¸c˜ao do Item 3.c ao exemplo determinado por:

P = N, g = Id N , A = N , b e h : N × N b −→ N b

(m, n) 7−→ h(m, n) = T b (n) (isto ´e, ∀m ∈ N, h m (n) = T b (n), donde m − n = f m (n) = T b ⁿ (m) ∈ N b ).

Obs. Para obtermos a subtra¸cão como fun¸cão parcial com valores em N (e não em N b ), devemos nos restringir à imagem inversa de N por f , isto é, devemos considerar a restri¸cão de f ao subconjunto f ⁻¹ (N ) de N × N ; 4.g. Mostrar que a opera¸cão unária fatorial em N , expressa recursivamente nas

equa¸cões (2), está bem definida por ser a aplica¸cão do Item 3.d ao exemplo determinado por: A = N, a 0 = 1 e h : N × N −→ N

(m, n) 7−→ h(m, n) = S(m) · n.

Quest˜ ao 5. Tentar demonstrar as t´ıpicas propriedades algébricas das ope- ra¸cões em N . Elas foram apresentadas, abaixo, numa ordem conveniente para evitarmos, em cada item, o uso de propriedades ainda não provadas:

5.a § 0 é elemento neutro ⁶ para a adi¸cão em N ; 5.b. * A adi¸cão em N é associativa;

5

Ler o enunciado do Item ??. Observar que m−n n˜ao introduz um elemento −n oposto a n em N . Em geral, n˜ ao faz sentido escrever −n + m no lugar de m − n em N.

6

∀m ∈ N, m + 0 = m pela defini¸c˜ ao de adi¸c˜ ao em (N, 0, S), ou seja, 0 ´e um elemento neutro ` a direita para a adi¸c˜ ao. Agora, mostrar que 0 ´e elemento neutro ` a esquerda:

∀m ∈ N, 0 + m = m.

(9)

5.c. ∀n ∈ N, n + 1 = S(n) = 1 + n, onde 1 := S(0);

5.d. ** A adi¸c˜ao em N ´e comutativa;

Dica. O Item 5.c leva ao lema: ∀m, n ∈ N, S(n) + m = n + S(m);

5.e. Dados a, b ∈ N :

i. a, b ∈ N, a + b = 0 ⇐⇒ a = 0 = b;

ii. A fun¸c˜ao F b : N −→ N

x 7−→ F b (x) = x + b ´e injetiva;

Esbo¸ co: Observar que F b é uma composi¸cão repetida por satisfazer a recursão F 0 = Id N e, ∀n ∈ N, F S(n) = S ◦ F n . Tais igualdades podem ser usadas para um argumento por indu¸cão finita mostrando que F 0

e F S(n) são injetivas. Para tanto, recordar que fun¸cões-identidade e composi¸cões de inje¸cões são inje¸cões;

iii. Interpretar a injetividade de F b algebricamente como a lei de cance- lamento para a adi¸c˜ao em N, ou seja:

∀x, y ∈ N, x + b = y + b = ⇒ x = y. (7) iv. Corol´ario: a + b = b = ⇒ a = 0;

5.f. ∀n ∈ N, 0 · n = 0.

Obs. Como n ·0 = 0 por defini¸cão, temos que 0 é um elemento absorvente para a multiplica¸cão em N (e é o ´ unico pelo Item 5.l.ii. Em geral, se existe um elemento absorvente para um opera¸cão binária dada, ele é ´ unico);

5.g. 1 ´e elemento neutro ⁷ para a multiplica¸c˜ao em N;

5.h § A multiplica¸cão em N é distributiva à esquerda sobre a adi¸cão, ou seja:

∀m, n, p ∈ N, p(m + n) = pm + pn;

5.i § A multiplica¸cão em N é distributiva à direita sobre a adi¸cão, ou seja:

∀m, n, p ∈ N, (m + n)p = mp + np;

5.j. A multiplica¸c˜ao em N ´e associativa;

5.k. A multiplica¸c˜ao em N ´e comutativa;

7

Ou seja, 1 ´e elemento neutro ` a esquerda e elemento neutro ` a direita.

(10)

5.l § * Dados a, b ∈ N :

i. a · b = 0 ⇐⇒ (a = 0 ∨ b = 0) (ou seja, N n˜ao possui divisores de zero);

ii. a · b = a ⇐⇒ (a = 0 ∨ b = 1) (Corolário: 0 é o ´ unico elemento absor- vente para a multiplica¸cão em N ); e

iii. a · b = 1 ⇐⇒ a = b = 1 (ou seja, apenas 1 possui inverso multipli- cativo em N );

5.m. 1 é elemento neutro à direita para a exponencia¸cão em N , mas ela não admite elemento neutro à esquerda;

5.n. A exponencia¸cão em N não é comutativa e não é associativa;

5.o. ∀b, m, n ∈ N, b ^m+n = b ^m b ⁿ ; 5.p § ∀b, m, n ∈ N, b ^{m n} = (b ^m ) ⁿ ; 5.q. ∀a, b, n ∈ N, a ⁿ b ⁿ = (ab) ⁿ ;

5.r. A subtra¸cão em N não admite elemento neutro à esquerda ⁸ ; 5.s. ∀m ∈ N \{0}, m − 1 = T (m);

5.t. A subtra¸cão em N nem é comutativa nem é associativa.

Obs. Podemos provar várias outras propriedades da subtra¸cão em N a este ponto, mas seus enunciados ficarão mais informativos na Questão ??, após a introdu¸cão da ordem usual de N .

8

Por defini¸c˜ ao, 0 ´e elemento neutro ` a direita para a subtra¸c˜ ao em N.

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COMPLEMENTO 1 – v. 0.5

Assuntos: Sistemas de n´ umeros naturais sob diversos aspectos: axiom´aticas (equivalentes) como defini¸c˜ao de

do ponto-de-vista formal; demonstra¸cões por indu¸cão finita, indu¸cão completa e pelo princ´ıpio da boa ordena¸cão; o teorema de defini¸cão por recursão e algumas variantes suas; a existência de sistemas de Peano; isomorfismos deles; opera¸cões aritméticas em

e suas propriedades; bases de enumera¸c˜ao; e fatos b´asicos sobre divisibilidade.

Axioma 1. Os axiomas de Peano 1 (ou de Peano-Dedekind ), que definem um sistema de Peano (ou sistema de n´ umeros naturais ) (N, 0, S), s˜ao:

1. S : N −→ N ´e uma inje¸c˜ao definida num conjunto N ; 2. 0 ∈ N \S(N );

Na axiom´atica original,

come¸cava de 1. Aqui, iniciamos de 0 (como diversos outros

autores) devido ` a sua conveniˆencia aritm´etica (elemento neutro da adi¸c˜ ao), ` a constru¸c˜ ao

de modelos de

a partir do axioma do infinito – cf. itens ?? e ??, e ` a obten¸c˜ ao direta de

um n´ umero cardinal 0 representando o n´ umero de elementos de ∅ .

Quest˜ ao 2.

2.a. Demonstrar que N = {0} ⊔ S(N ) (Ou seja, X consiste, precisamente, de zero e dos sucessores imediatos. Além disto, aquela união é disjunta).

Dica. Seja X = {0} ∪ S(N );

2.b. Corolário. Verificar a boa defini¸cão da fun¸cão antecessor (ou predeces- sor) imediato T : N \{0} −→ N determinada por T ◦ S = Id N e S ◦ T = Id N\{0} , ou seja, ∀n ∈ N, T (S(n)) = n e, se n 6= 0, então S(T (n)) = n.

n 7−→ s (n) = S(n);

2.c § Demonstrar que nenhum n´ umero natural ´e seu sucessor imediato.

Dica. Observemos que a proposi¸cão equivale a: todo n´ umero natural é diferente de (“não é”, “não é igual a”) seu sucessor imediato;

2.d. ** (Teorema de demonstra¸ c˜ ao por indu¸ c˜ ao finita ou fraca, ou P.I.F.

na l´ogica de 1 a ordem). Provar que, dado um predicado P (x) na vari´avel natural x, se:

− A proposi¸c˜ao P (0) ´e verdadeira (V); e

− ∀n ∈ N, [P (n) é verdadeira = ⇒ P (S(n)) é verdadeira], então P (n) é verdadeira para todo natural n.

Dica. Seja X = {n ∈ N |P (n)}.

2.e. Quais dos itens anteriores ao Item 2.d conseguirias provar usando 2.d ?

Obs. Neste texto, muitos itens podem ser demonstrados por indu¸c˜ao finita,

particularmente nas quest˜oes 5 e ??. ´ E preciso ter cuidado no uso do P.I.F.,

evitando manipula¸c˜oes errˆoneas com n (cf. Item ??).

ainda não temos uma defini¸cão de somatório, produtório ou mesmo potência!

m + 0 := m,

m + S(n) := S(m + n), ∀n ∈ N ;

m · 0 := 0,

m · S(n) := m · n + m, ∀n ∈ N;

m 0 := 1,

m S(n) := m n · m, ∀n ∈ N ; e

0! := 1,

S(n)! := S(n) · n! , ∀n ∈ N.

(2) Obs. Tamb´em denotamos m · n por mn.

No primeiro caso, temos que a fun¸cão desejada é (com rela¸cão ao parâme- tro m fixado) f m : N −→ N

n 7−→ f m (n) = m + n obtida pela aplica¸c˜ao iterada

de h = S : N −→ A = N ao valor inicial a 0 = m, donde o valor inicial desta

recursão depende do parâmetro, mas não a fun¸cão h. Já nos dois outros casos,

esta dependência se inverte ! De fato, para a multiplica¸cão, a fun¸cão desejada

´e (fixado o parˆametro m) f m : N −→ N

n 7−→ f m (n) = f m (n) = m · n obtida pela aplica¸c˜ao iterada de h m : N −→ N

a 7−→ h m (a) = a + m ao valor inicial a 0 = 0 (elemento neutro para a adi¸c˜ao – cf. Item 5.a); para a exponencia¸c˜ao,

f m : N −→ N

n 7−→ f m (n) = f m (n) = m n por h m : N −→ N

a 7−→ h m (a) = a · m aplicada ao valor inicial a 0 = 1 (Item 5.g). No Item 3.c, consideraremos a dependência, com o parâmetro m, do valor inicial e da fun¸cão iterada.

Em cada um dos três casos discutidos no parágrafo acima, as fun¸cões f m

obtidas por recursão sobre n com o parâmetro m fixado podem ser combina- das numa ´ unica fun¸cão f , variando-se o valor do parâmetro 2 :

f : N × N −→ N

(m, n) 7−→ f (m, n) = f m (n).

Também poder´ıamos ter dado todas as fun¸cões h m combinadas como uma só h : N × N −→ N , e separá-las, quando necessário, através de:

∀m ∈ N, h m : N −→ N

n 7−→ h m (n) = h(m, n). Seguiremos esta versão no Item 3.c. Já uma adapta¸cão da recursão para a discussão do fatorial é o Item 3.d.

Com esta longa introdu¸cão, estamos melhor preparados para entender- mos os enunciados e usos dos resultados abaixo (as provas requerem mais maturidade matemática do que os requisitos da disciplina pressupõem):

Proposi¸ c˜ ao 3. (O teorema de defini¸c˜ao por recurs˜ao e algumas variantes).

3.a. *** (Teorema de defini¸ c˜ ao por recurs˜ ao) Dados um conjunto A, um elemento a 0 ∈ A e uma fun¸c˜ao h : A −→ A, existe uma ´ unica fun¸c˜ao

f : N −→ A satisfazendo 3 a recurs˜ ao (3) abaixo.

f (0) = a 0 ,

f (S(n)) = h(f (n)) , ∀n ∈ N. (3)

Esta ideia ´e comum em matem´ atica mais avan¸cada.

Observar que f (n) ´e aplica¸c˜ ao de h, iterada n vezes, a a

. Isto ´e, `as vezes, representado

por h

(a

) e est´ a bem definido gra¸cas a este teorema. Sem ele, podemos formar este

valor ´ unico, passo a passo (sucessor a sucessor), para n = 0 at´e n = k, um natural

qualquer: chamando S(0) de 1 e S(1) = 2, temos que f (0) = a

d´a f (1) = h(a

), que

d´a f (2) = h(h(a

)), que eventualmente chega a f (k) = h

(a

) para o k fixado (digamos

que k / ∈ {0, 1, 2}) atrav´es de sucessivas aplica¸c˜ oes de h. O que o teorema diz ´e que esta

forma¸c˜ ao est´ a bem definida para todos os naturais k de uma vez ! Observar, tamb´em, que

Axioma 1. Os axiomas de Peano ¹ (ou de Peano-Dedekind ), que definem um sistema de Peano (ou sistema de n´ umeros naturais ) (N, 0, S), s˜ao:

na lógica de 1 â ordem). Provar que, dado um predicado P (x) na variável natural x, se:

m ⁰ := 1,

m ^S(n) := m ⁿ · m, ∀n ∈ N ; e

a 7−→ h m (a) = a + m ao valor inicial a ₀ = 0 (elemento neutro para a adi¸c˜ao – cf. Item 5.a); para a exponencia¸c˜ao,

n 7−→ f m (n) = f m (n) = m ⁿ por h m : N −→ N

obtidas por recursão sobre n com o parâmetro m fixado podem ser combina- das numa ´ unica fun¸cão f , variando-se o valor do parâmetro ² :

3.a. *** (Teorema de defini¸ c˜ ao por recurs˜ ao) Dados um conjunto A, um elemento a ₀ ∈ A e uma fun¸c˜ao h : A −→ A, existe uma ´ unica fun¸c˜ao

f : N −→ A satisfazendo ³ a recurs˜ ao (3) abaixo.

f (0) = a ₀ ,

f k Agora, f k poderia ser expresso como f k = {(n, f (n))|n ∈ N : 0 ≤ n ≤ k} se já tivéssemos definido a rela¸cão de ordem ≤ em N . Ela também serviria para organizarmos os estágios, dizendo que k ^′ ≤ k ⇒ f k

é, dados um conjunto A e uma fun¸cão ϕ : A −→ A, estão bem definidas as fun¸cões ϕ ⁿ : A −→ A dadas pela recursão

ϕ ⁰ = Id N ,

ϕ ^S(n) = ϕ ◦ ϕ ⁿ , ∀n ∈ N.

Obs. A nota¸cão ϕ ⁿ para a composi¸cão iterada (repetida) de ϕ é padrão.

Notar que ϕ ¹ = ϕ.

Ideias para provas. Uma abordagem ´e definirmos ϕ ⁿ em cada a ∈ A sepa- radamente:

ϕ ⁰ (a) = a,

ϕ ^S(n) (a) = ϕ (ϕ ⁿ (a)) , ∀n ∈ N. Escolher a 0 e h convenien-

tes no Item 3.a para que ∀n ∈ N, ϕ ⁿ (a) = f(n). Isto trata a ∈ A como um

parˆametro, semelhante ao que ´e feito no Item 3.c: ϕ ⁿ (a) = f (a, n) naquele

item. Outra abordagem ´e aplicarmos o Item 3.a usando A = A ^N (o conjunto das fun¸c˜oes de N em A) como sendo o conjunto A daquele item, a 0 = Id N e

h : A ^N −→ A ^N

g 7−→ h (g) = ϕ ◦ g, resultando em f : N −→ A ^N

n 7−→ f (n) = ϕ ⁿ ; 3.c. *** Corol´ario (recurs˜ ao com parˆ ametros). Dados conjuntos A e P ,

Esbo¸ co de demonstra¸ c˜ ao (boa parte já discutidas na introdu¸cão à Pro- posi¸cão 3). P é um conjunto de parâmetros. Para cada p ∈ P fixado, g fornece o valor inicial a ₀ = g (p) de uma recursão do tipo (3), na qual

f (0) = a ₀ ,

Verificar que Id N = f do Item 3.a para a 0 = 0 e h = S, enquanto S = f do Item 3.a para a ₀ = 1 e h = S;