Atividade recente no site - Prof. Fernando J. O. Souza - Dept. de Matemática, UFPE

(1)

UFPE — MA535 — 2014.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´

ICIOS 10 – v. 1.0

Assuntos: Sistemas de números naturais sob diversos aspectos: axiomáticas (equivalentes) como defini¸cão deN do ponto-de-vista formal; demonstra¸cões por indu¸cão finita, indu¸cão completa e pelo princ´ıpio da boa ordena¸cão; o teorema de defini¸cão por recursão e algumas variantes suas; a existência de sistemas de Peano; isomorfismos deles; opera¸cões aritméticas em N e suas propriedades; bases de enumera¸cão; fatos básicos sobre divisibilidade e fato-ra¸cão prima; e algumas classes especiais de números naturais.

Orienta¸cão. Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Podem ser usados os recursos da lógica de predicados com igualdade, e o fragmento de ZF e os resultados cobertos em nossas listas anteriores. Os exerc´ıcios “dif´ı-ceis” e “muito dif´ı“dif´ı-ceis” para a audiência esperada, seja pelo n´ıvel técnico ou pela extensão de sua resolu¸cão, serão assinalados com * e ** respectivamente. Os leitores devem, ao menos, tentar fazê-los. Já os exerc´ıcios *** são apenas para o conhecimento de seus enunciados e uso pois, além de serem muito di-f´ıceis, constituem assunto avan¸cado para o n´ıvel esperado neste curso. Itens resolvidos no final do texto são indicados pelo sinal de parágrafo “§”: só conferi-los após tentar resolvê-los seriamente. Nos itens em que se pedem algoritmos, a descri¸cão destes pode ser feita em português, pseudocódigo ou alguma linguagem de programa¸cão consagrada.

Questão 1. Osaxiomas de Peano1 (oude Peano-Dedekind), que definem um sistema de Peano (ou sistema de números naturais) (N,0, S), são:

1. S :N _−→N ´e uma inje¸c˜ao definida num conjuntoN;

2. 0 ∈N\S(N);

3. Princ´ıpio da indu¸cão finita (P.I.F. – versão na lógica de 2a_{ordem). Para} todo subconjunto X _⊆N, se vale a propriedade abaixo, entãoX =N:

0_∈X e _∀n_∈N, n_∈X =_⇒S(n)_∈X, (1)

ou seja, o único subconjunto de N que contém zero e é fechado para a sucessão imediata é o próprio N.

1

(2)

1.a. Demonstrar que N = _{0_{} ⊔}S(N) (Ou seja, X consiste, precisamente, de zero e dos sucessores imediatos. Além disto, aquela união é disjunta). Dica. SejaX ={0} ∪S(N);

1.b. Corolário. Verificar a boa defini¸cão da fun¸cão antecessor (ou predeces-sor) imediato T : N_\{0_{} −→} N determinada por T _◦S = IdN e S_◦T = IdN\{0}, ou seja, ∀n∈N, T(S(n)) =n e, se n 6= 0, entãoS(T(n)) =n.

Esbo¸co. S é inje¸cão e, portanto, é invert´ıvel sobre sua imagem, ou seja, S

possui inversa(s) à esquerda, cuja restri¸cão à imagem de S é igual à fun¸cão

T desejada, a qual nada mais é queT =s−1_{, onde} _s_{é a seguinte modifica¸cão}

deS (ela ajusta o contradom´ınio): s: N −→N\{0}

n _7−→s(n) =S(n);

1.c§ Demonstrar que nenhum n´umero natural ´e seu sucessor imediato.

Dica. Observemos que a proposi¸cão equivale a: todo número natural é diferente de (“não é”, “não é igual a”) seu sucessor imediato;

1.d. ** (Teorema de demonstra¸cão por indu¸cão finitaoufraca, ou P.I.F. na lógica de 1a _{ordem). Provar que, dado um predicado} _P₍_x_{) na variável} naturalx, se:

− A proposi¸c˜ao P(0) ´e verdadeira (V); e

− ∀n_∈N, [P(n) ´e verdadeira =_⇒P(S(n)) ´e verdadeira],

ent˜ao P(n) ´e verdadeira para todo natural n. Dica. SejaX =_{n_∈N_|P(n)_}.

Obs. A vers˜ao geral deste teorema ´e para um predicado Q(x, x1, x2, . . . , xk)

em x (natural) e k vari´aveis arbitr´arias x1, x2, . . . , xk. Lidamos com o caso

k = 0. Para provarmos o caso geral, consideramos cada predicado P(x) =

Q(x, x1, x2, . . . , xk) obtido ao fixarmos os valores de x1, x2, . . . , xk. Da

arbi-trariedade destes valores, temos a validade do teorema para Q;

1.e. Quais dos itens anteriores ao Item 1.d conseguirias provar usando 1.d ? Obs. Neste texto, muitos itens podem ser demonstrados por indu¸cão finita, particularmente nas questões 3 e 6. É preciso ter cuidado no uso do P.I.F., evitando manipula¸cões errôneas com n (cf. Item 6.d).

(3)

o produto m_·n é o somatório den parcelas iguais a m, o que pode ser visto como a aplica¸cão iteradan vezes de “somar comm” (hm(x) =x+m) ao ele-mento neutro da adi¸cão, 0 (aliás, isto dá conta da situa¸cão n = 0 também); e a potência mn_{é o produtório de} _n _{fatores iguais a} _m_{, o que, analogamente} ao discutido para a multiplica¸cão, pode ser visto como a aplica¸cão iterada

n vezes de “multiplicar por m” (hm(x) = x·m) ao elemento neutro da mul-tiplica¸cão, 1 (e isto dá conta do caso n = 0 também). Já o fatorial n! de um número natural n é o produtório dos naturais de 1 a n (com 0! = 1). O problema é: ainda não temos uma defini¸cão do que é a aplica¸cão iterada n

vezes de uma fun¸cão a um valor inicial. Da mesma forma para opera¸cões: ainda não temos uma defini¸cão de somatório, produtório ou mesmo potência!

Para bem definirmos a aplica¸cão iterada de uma fun¸cão h:A_−→Anum conjuntoA a um valor iniciala0 ∈A, utilizaremos recursão (cf. Questão 2) e

algumas variantes. Ela formaliza a ideia de obtermos o valor seguinte a partir do valor atual como a aplica¸c˜ao de h a este ´ultimo: denotando cn =hn(a0)

(que ainda não está bem definido porque ainda não temos a composi¸cão repe-tidahn _de_n _{cópias de}_h_com _n_{arbitrário),}_a

S(n)=h(an), o que seria escrito,

apelando para aquele hn₍_a

0), como aS(n) =h(hn(a0)) =hS(n)(a0). Ao inv´es

de usarmos a nota¸cão de sequênciasan para os valores obtidos por recursão, utilizaremos a nota¸cão de fun¸cões f :N −→ A, com f(S(n)) =h(f(n)) e o valor inicial f(0) =a0 dado. De volta às opera¸cões mencionadas, para cada

parˆametro m_∈N fixado:

m+ 0 := m,

m+S(n) := S(m+n), _∀n _∈N;

m·0 := 0,

m_·S(n) := m_·n+m, _∀n _∈N;

m0 _{:= 1}_,

mS(n) _:= _mn_·_m, _∀_n_∈_N_; _e

0! := 1,

S(n)! := S(n)·n!, ∀n ∈N.

(2) Obs. Tamb´em denotamosm_·n por mn.

No primeiro caso, temos que a fun¸cão desejada é (com rela¸cão ao

parˆame-tro m fixado) fm : N −→N

n _7−→fm(n) =m+n obtida pela aplica¸c˜ao iterada deh=S :N −→A=N ao valor inicial a0 =m, donde o valor inicial desta

recursão depende do parâmetro, mas não a fun¸cãoh. Já nos dois outros casos, esta dependência se inverte ! De fato, para a multiplica¸cão, a fun¸cão desejada

´e (fixado o parˆametrom) fm : N −→N

n 7−→fm(n) =fm(n) =m·n obtida pela

aplica¸c˜ao iterada de hm : N −→N

(4)

(elemento neutro para a adi¸c˜ao – cf. Item 3.a); para a exponencia¸c˜ao,

fm : N −→N

n _7−→fm(n) = fm(n) =mn por

hm : N −→N

a _7−→hm(a) =a·m a-plicada ao valor inicial a0 = 1 (Item 3.g). No Item 2.e, consideraremos a

dependência, com o parâmetro m, do valor inicial e da fun¸cão iterada.

Em cada um dos três casos discutidos no parágrafo acima, as fun¸cões fm obtidas por recursão sobren com o parâmetromfixado podem ser combina-das numa única fun¸cão f, variando-se o valor do parâmetro2_:

f : N _×N _−→N

(m, n) 7−→f(m, n) =fm(n).

Também poder´ıamos ter dado todas as fun¸cõeshm combinadas como uma só

h:N ×N −→N, e separá-las, quando necessário, através de:

∀m_∈N, hm : N −→N

n 7−→hm(n) =h(m, n). Seguiremos esta versão no Item 2.e. Já a adapta¸cão da recursão para tratarmos do fatorial será discutida no Item 2.j.

Com esta longa introdu¸c˜ao, estamos melhor preparados para a Quest˜ao 2.

Quest˜ao 2. (Recurs˜ao).

2.a. *** O teorema da recursão afirma que, dados um conjunto A, um ele-mento a0 ∈A e uma fun¸cão h:A−→A, existe uma única fun¸cão

f :N _−→A satisfazendo3 _a _recurs˜_ao _{(3) abaixo. Tentar demonstr´a-lo.}

f(0) = a0,

f(S(n)) = h(f(n)),_∀n _∈N. (3)

Obs. Em alguns contextos, denotamos a segunda linha por an+1 =h(an).

2

Esta ideia ´e comum em matem´atica mais avan¸cada.

3

Observar quef(n) é aplica¸cão deh, iteradanvezes, aa0. Isto é, às vezes, representado

por hn

(a0) e est´a bem definido gra¸cas a este teorema. Sem ele, podemos formar este

valor único, passo a passo (sucessor a sucessor), para n = 0 até n = k, um natural qualquer: chamandoS(0) de 1 e S(1) = 2, temos que f(0) = a0 dá f(1) =h(a0), que

d´af(2) =h(h(a0)), que eventualmente chega a f(k) =h

k

(a0) para ok fixado (digamos

(5)

Obs. Mesmo com as ideias indicadas abaixo, a demonstra¸c˜ao deste teorema pode ser muito dif´ıcil para muitos estudantes.

Esbo¸co de demonstra¸cão (seguindo [Moschovakis]). Recordar que uma fun¸cão, enquanto rela¸cão, é um conjunto de pares ordenados, a saber, f = {(n, f(n))_|n _∈ N_}. Tal fun¸cão reflete a constru¸cão do k₋ésimo estágio fk (dado k_∈N), levando a f = [

k∈N

fk Agora, fk poderia ser expresso como

fk = {(n, f(n))|n ∈ N : 0 ≤ n ≤ k} se já tivéssemos definido a rela¸cão de ordem_≤em N. Ela também serviria para organizarmos os estágios, dizendo que k′ _≤ _k _⇒ _f

k′ é a restri¸cão de f_k a {n ∈ N|0 ≤ n ≤ k′}. O problema é

que utilizaremos recursão (com parâmetros) para definirmos a adi¸cão, e esta para definirmos a rela¸cão_≤. Para contornarmos esta ausência, pensamos nos estágios como “aproxima¸cões” de f, a saber, fun¸cões p :Dp −→N tais que: seus dom´ınios Dp ⊆N satisfazem 0∈ Dp e ∀n ∈ N, S(n)∈Dp =⇒ n ∈Dp (ou seja, Dp possui 0 e todos os antecessores imediatos de seus elementos não-nulos); e seus valores satisfazem p(0) = a0 e ∀n ∈ N, S(n) ∈ Dp =⇒

p(S(n)) = h(p(n)). Observar que, se f existir, então ela própria é uma aproxima¸cão sua. Para a unicidade de f, demonstrar que, para todas as aproxima¸cõespeqdef, e para todos os naturaisn, sepeqestão definidos em

n(isto é, sen ∈Dp∩Dq), entãop(n) =q(n). Para a existência def, observar que cada aproxima¸cão é um subconjunto de N_×N e, da´ı, demonstrar que as aproxima¸cões formam um conjunto em ZF (subconjunto de_P(N _×N)) cuja união é a fun¸cão f desejada, ou seja, cuja união é uma fun¸cão, tem dom´ınio

N e satisfaz a recurs˜ao desejada;

2.b. As fun¸cões identidade IdN e sucessão imediata S em N satisfazem, obvia-mente, as recursões abaixo:

IdN(0) = 0,

IdN(S(n)) = S(n), ∀n ∈N; e

S(0) = S(0) =: 1,

S(S(n)) = S(S(n)), _∀n_∈N.

Verificar que IdN =f do Item 2.a para a0 = 0 eh =S, enquantoS =f do

Item 2.a para a0 = 1 e h=S;

2.c. ** Corolário. Provar que a composi¸cão iterada de uma fun¸cão está bem definida, isto é, dados um conjunto A e uma fun¸cão ϕ:A−→A, estão bem definidas as fun¸cões ϕn _:_A_−→_A _{dadas pela recursão}

ϕ0 _{= IdN}_,

ϕS(n) ₌ _ϕ_◦_ϕn_, _∀_n_∈_N.

Obs. A nota¸cão ϕn _{para a composi¸cão iterada (repetida) de} _ϕ _{é padrão.} Notar que ϕ1 ₌_ϕ_.

(6)

sepa-radamente:

ϕ0₍_a₎ ₌ _a,

ϕS(n)₍_a_{) =} _ϕ₍_ϕn₍_a₎₎_, _∀_n_∈_N. Escolhera0 eh

convenien-tes no Item 2.a para que _∀n _∈N, ϕn₍_a_{) =}_f₍_n_{). Isto trata} _a

∈A como um parâmetro, semelhante ao que é feito no Item 2.e: ϕn₍_a_{) =} _f₍_{a, n}_{) naquele} item. Outra abordagem é aplicarmos o Item 2.a usando_A =AN _{(o conjunto} das fun¸cões deN em A) como sendo o conjunto A daquele item, a0 = IdN e

h: AN _−→_AN

g 7−→h(g) = ϕ◦g, resultando em

f : N _−→AN

n 7−→f(n) =ϕn_;

2.d. ** (Antecessor imediato por recursão). Estendamos N por um s´ımbolo for-mal I /∈ N (I representa a expressão “indefinido”): Nb=ˆN ⊔ {I}. Consi-deremos uma extensão não-injetiva do antecessor imediato T a Nb, a saber, a fun¸cão Tb : Nb −→ Nb que tem valor Tb(I) = I, e cujos valores em N são definidos recursivamente por:

( b

T(0) =I (pois o antecessor imediato T de 0 n˜ao est´a definido);

e,∀n ∈N, Tb(S(n)) =n (seguindo a defini¸c˜ao de T no Item 1.b). Para obtermos Tb_|N pela recurs˜ao (3), precisamos de a0 =I e de h:Nb −→Nb tal

que, ∀n ∈ N, n = Tb(S(n)) = hTb(n). Para n 6= 0, S j´a cumpre o papel

do h desejado (pelo Item 1.b) e, portanto, h precisa estender S a Sb tal que

0 = hTb(0) = h(I) ∴

h ≡Sb: Nb −→Nb

ˆ

n _7−→Sb(ˆn) =

0, se ˆn =I;

S(ˆn), se ˆn _∈N.

Verificar que: Tbé uma inversa à esquerda para a inje¸cãoSb, isto é,Tb◦Sb= IdNb;

b

T−1₍_N_{), a imagem inversa}4 _de_N _por_T_b_{, ´e igual a}_N_\{₀_}_{; e a restri¸c˜ao}_T_b_|

N\{0}

a este conjunto é igual à fun¸cão T do Item 1.b.

Obs. Claro que, não sendoSbsobrejetiva,Tbnão poderia ser também inversa à direita deSb, mas Sb_◦Tb_|N = IdN;

2.e. *** Corolário (recursão com parâmetros). Tentar provar que, dados conjuntosA eP, e fun¸cõesg :P _−→Ae h:P _×A _−→A, existe uma única fun¸cão f :P _×N _−→A satisfazendo a seguinte recursão:

∀p_∈P,

f(p,0) = g(p),

f(p, S(n)) = h(p, f(p, n)), ∀n ∈N. (4)

Obs. O(a) leitor(a) pode entender melhor o enunciado resolvendo os itens 2.f, 2.g e 2.h primeiro.

4

Intuitivamente, a fun¸cão Tb tem valor I (“indefinido”) precisamente onde a fun¸cão antecessor imediatoT não está definida. Assim,Tb−1

(N) consiste dos elementos nos quais

(7)

Esbo¸co de demonstra¸cão (boa parte já discutidas na introdu¸cão à Ques-tão 2). P é um conjunto de parâmetros. Para cada p _∈ P fixado, g

fornece o valor inicial a0 = g(p) de uma recurs˜ao do tipo (3), na qual

hp : A −→A

a 7−→hp(a) =h(p, a) faz o papel da fun¸cão h em (3), ou seja, co-me¸camos com a0 = g(p) e, então, aplicamos hp iterada n vezes. Para a existência de f, usamos o Item 2.a, obtendo uma única fun¸cãofp :N −→A que dá sentido à expressão no lado direito da igualdade fp(n) =hpn(g(p)). Da´ı, combinamos as fun¸cões produzidas para os diferentes valores de p na

fun¸c˜ao f : P ×N −→A

(p, n) _7−→f(p, n) =fp(n). Verificar que tal f satisfaz a

re-curs˜ao (4). Para a unicidade de f, observar que, sendo a uni˜ao P ×N =

G

p∈P {p_}

!

×N = G p∈P

(_{p_{} ×}N) disjunta, f ser ´unica equivale `a unicidade

de todas as restri¸cões de f às fatias do tipo _{p_{} ×}N. Mas cada uma destas restri¸cões satisfaz a recursão que define fp para seu respectivo p∈P e, pelo Item 2.a, é única;

2.f. * Mostrar que a adi¸cão em N, expressa recursivamente nas equa¸cões (2), está bem definida por ser a aplica¸cão do Item 2.e ao exemplo determinado

por: A=P =N, g = IdN e h: N ×N −→N

(m, n) 7−→h(m, n) =S(n);

2.g. * Mostrar que a multiplica¸cão em N, expressa recursivamente nas equa-¸cões (2), está bem definida por ser a aplica¸cão do Item 2.e ao exemplo

deter-minado por: A=P =N, g ≡0 e h: N ×N −→N

(m, n) _7−→ h(m, n) = n+m;

2.h. * Mostrar que a exponencia¸cão em N, expressa recursivamente nas equa-¸cões (2), está bem definida por ser a aplica¸cão do Item 2.e ao exemplo

deter-minado por: A=P =N, g _≡1 e h: N ×N −→N

(m, n) _7−→h(m, n) = n_·m;

2.i. ** Observar que a subtra¸cão em N pode ser expressa através da recursão abaixo, a qual já leva em considera¸cão os casos5 _{em que ela não está definida,}

produzindo o s´ımboloI (“indefinido”) neles atrav´es da fun¸c˜aoTbdo Item 2.d:

∀m∈N,

m₋0 = m;

m₋S(n) = Tb(m₋n), _∀n_∈N. (5)

5

Ler o enunciado do Item 5.d. Observar que m−n n˜ao introduz um elemento −n

(8)

Mostrar que ela ´e a aplica¸c˜ao do Item 2.e ao exemplo determinado por:

P =N, g = IdN, A=N ,b e h: N×Nb −→Nb

(m, n) _7−→h(m, n) =Tb(n)

(isto é,∀m ∈N, hm(n) =Tb(n), donde m−n=fm(n) =Tbn₍_m₎_∈_Nb _). Obs. Para obtermos a subtra¸cão como fun¸cão parcial com valores em N (e não em Nb), devemos nos restringir à imagem inversa de N por f, isto é, devemos considerar a restri¸cão de f ao subconjunto f−1₍_N_{) de} _N _×_N_;

2.j. *** Corolário (recursão com o argumento como parâmetro). Tentar provar que, dados um conjunto A, um elemento a0 ∈A e uma fun¸cão

h : N ×A −→ A, existe uma única fun¸cão f : N −→ A satisfazendo a seguinte recursão:

∀p_∈P,

f(0) = a0,

f(S(n)) = h(n, f(n)), ∀n∈N. (6)

Obs. Denotando, como antes, hm(n) = h(m, n), temos que f dá sentido à itera¸cão na igualdade f(S(n)) = (hn◦ · · · ◦h1◦h0)(a0);

2.k. Mostrar que a opera¸cão unáriafatorial emN, expressa recursivamente nas equa¸cões (2), está bem definida por ser a aplica¸cão do Item 2.j ao exemplo

determinado por: A=N, a0 = 1 e h: N₍_{m, n}×N₎ −→N

7−→h(m, n) =S(m)_·n.

Questão 3. Tentar demonstrar as t´ıpicas propriedades algébricas das ope-ra¸cões em N. Elas foram apresentadas, abaixo, numa ordem conveniente para evitarmos, em cada item, o uso de propriedades ainda não provadas:

3.a§ 0 ´e elemento neutro6 _{para a adi¸c˜ao em} _N_;

3.b. * A adi¸c˜ao emN ´e associativa;

3.c. _∀n ∈N, n+ 1 =S(n) = 1 +n, onde 1 :=S(0);

3.d. ** A adi¸c˜ao em N ´e comutativa;

Dica. O Item 3.c leva ao lema: ∀m, n∈N, S(n) +m=n+S(m);

6

(9)

3.e. Dadosa, b_∈N:

i. a, b_∈N, a+b= 0 _⇐⇒a= 0 =b;

ii. A fun¸c˜ao Fb : N −→N

x _7−→Fb(x) =x+b

´e injetiva;

Esbo¸co: Observar que Fb é uma composi¸cão repetida por satisfazer a recursão F0 = IdN e, ∀n∈ N, FS(n) =S◦Fn. Tais igualdades podem

ser usadas para um argumento por indu¸c˜ao finita mostrando que F0

e FS(n) s˜ao injetivas. Para tanto, recordar que fun¸c˜oes-identidade e

composi¸cões de inje¸cões são inje¸cões;

iii. Interpretar a injetividade de Fb algebricamente como alei de

cance-lamentopara a adi¸c˜ao em N, ou seja:

∀x, y ∈N, x+b=y+b=⇒x=y. (7)

iv. Corol´ario: a+b =b =_⇒a = 0;

3.f. _∀n∈N, 0·n= 0.

Obs. Comon_·0 = 0 por defini¸c˜ao, temos que 0 ´e umelemento absorvente

para a multiplica¸cão emN (e é o único pelo Item 3.l.ii);

3.g. 1 ´e elemento neutro7 _{para a multiplica¸c˜ao em} _N_;

3.h§ A multiplica¸cão em N é distributiva à esquerda sobre a adi¸cão, ou seja:

∀m, n, p ∈N, p(m+n) =pm+pn;

3.i§ A multiplica¸cão em N é distributiva à direita sobre a adi¸cão, ou seja:

∀m, n, p ∈N, (m+n)p=mp+np;

3.j. A multiplica¸c˜ao em N ´e associativa;

3.k. A multiplica¸c˜ao em N ´e comutativa;

3.l§ * Dados a, b∈N:

i. a_· b = 0 _⇐⇒ (a = 0_∨b= 0) (ou seja, N n˜ao possui divisores de zero);

7

(10)

ii. a_·b =a _⇐⇒ (a= 0_∨b = 1) (Corolário: 0 é o único elemento absor-vente para a multiplica¸cão emN); e

iii. a_·b = 1 _⇐⇒a =b = 1 (ou seja, apenas 1 possui inverso multipli-cativo em N);

3.m. 1 é elemento neutro à direita para a exponencia¸cão em N, mas ela não admite elemento neutro à esquerda;

3.n. A exponencia¸cão em N não é comutativa e não é associativa;

3.o. _∀b, m, n _∈N, bm+n₌_bm_bn_;

3.p§ _∀b, m, n∈N, bm n _{= (}_bm₎n ;

3.q. _∀a, b, n∈N, an_bn _{= (}_ab₎n_.

Obs. Podemos provar várias propriedades da subtra¸cão em N a este ponto, mas seus enunciados ficarão mais informativos na Questão 5, após a introdu-¸cão da ordem usual em N na Questão 4.

Questão 4. (A ordem usual em N; o P.B.O.; equivalentes do teorema de demonstra¸cão por indu¸cão finita; monotonicidade estrita em opera¸cões aritméticas em N). Definimos a seguinte rela¸cão binária em N: para todos

m, n∈N, m≤n se, e somente se, m+a=n para alguma ∈N.

4.a. Provar que a rela¸cão≤ em N é reflexiva e transitiva, ou seja, que: ∀m, n, p_∈N, m_≤m e, se m_≤n en _≤p, entãom _≤p;

4.b. * Tentar provar que a rela¸cão_≤ em N é anti-simétrica, ou seja, que: ∀m, n∈N, se m ≤n e n≤m, então m =n.

Dica. Provar que_∀a, b_∈N, se a+b= 0, ent˜ao a = 0 =b;

Obs. Dos itens 4.a e 4.b, temos que_≤é uma rela¸cão de ordem emN e, com os itens 4.d e 4.e, temos que ela é uma boa ordena¸cão total em N;

4.c. _∀m, n_∈N, m < n_{⇐⇒ ∃}a_∈N_\{0_} tal que m+a=n. Corol´ario. _∀n ∈N, n < S(n) (Usar os itens 4.c e 3.c).

Defini¸cão. Um natural n é dito positivo se, e somente se, 0 < n, o que equivale (em N) a n ₆= 0 e, em virtude do Item 1.a, também equivale a

(11)

4.d. ** Tentar provar a totalidade de _≤, ou seja, todos os naturais são_{≤ −} com-paráveis, isto é: _∀m, n_∈N, m_≤n oun_≤m;

4.e. ** (P.B.O. — princ´ıpio da boa ordena¸cão numa versão na lógica de 2a _{ordem). Tentar demonstrar que todo subconjunto não-vazio de} _N _possui m´ınimo (com rela¸cão à ordem usual _≤).

Dica. Dado um conjunto não-vazio S de N supostamente sem m´ınimo, considerar X=_b{n∈ N|∀s∈ S, n < s}. Mostrar que X e S são disjuntos e, por indu¸cão finita, que X =N, chegando a uma contradi¸cão: ∅₆=S =∅;

4.f. Corolário (uma versão do P.B.O. na lógica de 1a _{ordem). Demonstrar que,} dado um predicado P(x) na variável natural x, se existe algum natural n

para o qual P(n) ´e verdadeira, ent˜ao existe um m´ınimo natural m tal que

P(m) ´e verdadeira.

Obs. Podemos considerar predicados mais gerais P(x, x1, x2, . . . , xk) nas

vari´aveis xnatural e x1, x2, . . . , xk, como pod´ıamos para o Item 1.d;

4.g. * Tentar demonstrar o teorema de demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao finita (Item 1.d) usando o P.B.O. do Item 4.f.

Dica. Consideremos o predicado P(x)=_b_¬P(x) (a nega¸cão de P(x), que é verdadeira se, e somente se, P(x) é falso). Mostrar que, se P(n) é verda-deira para algum natural n, então o m´ınimo m que satisfaz P leva a uma contradi¸cão da hipótese do teorema no Item 1.d;

4.h. Provar que, para cada m _∈ N, a fun¸c˜ao Fm : N −→N

x _7−→Fm(x) =x+m ´e

estritamente crescente8_{. Em outras palavras:}

∀x, y ∈N, x < y =⇒x+m < y+m. (8)

Finalmente, obter que Im(Fm) = {n∈N|m≤n}.

Dica. Para a monotonicidade estrita, utilizar o Item 4.c;

4.i. ** (Demonstra¸cão por indu¸cão finita com caso base qualquer). Tentar demonstrar que, dado um predicado unárioP(x) na variável naturalx, seP satisfaz as condi¸cões abaixo para um naturaln0, entãoP(n) é verdadeira

para todo natural n_≥n0:

− A proposi¸c˜aoP(n0) ´e verdadeira; e

− ∀n_∈N tal quen_≥n0,[P(n) ´e verdadeira =⇒P(S(n)) ´e verdadeira].

8

(12)

Obs. O Item 1.d ´e o caso n0 = 0.

Obs. Podemos considerar predicados mais gerais P(x, x1, x2, . . . , xk) nas

vari´aveisx natural e x1, x2, . . . , xk, como pod´ıamos para o Item 1.d.

Dicas. Um caminho ´e o uso da injetividade da fun¸c˜ao Fn0 (cf. Item 4.h).

Outro caminho ´e a considera¸c˜ao do predicado Q(n) = P(n)_∨ (n < n0).

Tentar os dois caminhos !

4.j§ * Provar que, para cada m _∈N_\{0_}, Gm : N −→N

x 7−→Gm(x) =x·m ´e uma fun¸c˜ao estritamente crescente (e, portanto, injetiva). Em outras pa-lavras:

∀x, y _∈N, x < y=_⇒x_·m < y_·m. (9) Interpretar a injetividade de Gm algebricamente como a seguinte lei de can-celamento para a multiplica¸c˜ao emN:

∀x, y _∈N, x_·m=y_·m=_⇒x=y. (10)

Ideia. Proceder por indu¸cão finita sobre m > 0. Observar que, se x < y, então x·S(m) =x·m+x < x·m+y pelo Item 4.h aplicado à fun¸cão Fx·m.

Utilizar o mesmo argumento para Fy combinado à hipótese de indu¸cão;

4.k§ * Provar que, para cadam ∈N\{0}, Hm : N −→N

x 7−→Hm(x) =xm ´e uma fun¸c˜ao estritamente crescente (e, portanto, injetiva). Em outras palavras:

∀x, y ∈N, x < y =⇒xm < ym. (11)

Interpretar a injetividade de Hm algebricamente como a seguinte lei de can-celamento para a potencia¸c˜ao em N:

∀x, y _∈N, xm =ym =_⇒x=y. (12)

Ideia. Proceder por indu¸cão finita sobre m > 0. Observar que, se x < y, então xS(m) ₌_xm_·_x_≤_xm_·_{y < y}m_·_y _{pelo Item 4.j aplicado às fun¸cões}_G

xm

e Gy e combinado à hipótese de indu¸cão. Por que a primeira desigualdade não é, necessariamente, estrita ?

4.l. * Provar que, para cada b _∈N_\{0,1_}, a fun¸c˜ao Jb : N −→N

x 7−→Jb(x) =bx ´e estritamente crescente (e, portanto, injetiva). Em outras palavras:

(13)

Interpretar a injetividade deJb algebricamente como a seguinte lei de cance-lamento para a exponencia¸c˜ao emN:

∀x, y _∈N, bx ₌_by ₌

⇒x=y. (14)

Dica. Usar o Item 3.o, o Item 4.j aplicado `a fun¸c˜ao Gbx e o seguinte lema

(Prov´a-lo !): _∀n _∈N_\{0_}, 1< bn_;

4.m. *** (Teorema de demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao completa ou forte ou

a curso de valores— versão na lógica de 1a _{ordem). Dado um predicado} unárioQ(x) na variável naturalx, se:

∀n∈N, [∀m∈N tal que m < n, Q(m) ´e verdadeira (V)] =⇒Q(n) ´e V,

então Q(n) é verdadeira para todo natural n. Tentar provar, diretamente, que os teoremas de demonstra¸cão por indu¸cão finita (Item 1.d) e indu¸cão completa são equivalentes. Tentar, também, provar o teorema de demonstra-¸cão por indudemonstra-¸cão completa a partir do P.B.O. (Dica análoga à do Item 4.g). Obs. Podemos considerar predicados mais gerais Q(x, x1, x2, . . . , xk) nas

va-ri´aveis xnatural e x1, x2, . . . , xk, como pod´ıamos para o Item 1.d.

Obs. Pode ser interessante primeiro tentar mostrar que o Item 4.m equivale a: dado um predicado un´ario Q(x) na vari´avel natural x, se:

− A proposi¸c˜aoQ(0) ´e verdadeira (V); e

− ∀n∈N, [∀m∈N tal que m≤n, Q(m) ´e V] =⇒ Q(S(n)) ´e V,

ent˜ao Q(n) ´e verdadeira para todo natural n. Nesta perspectiva:

− Usar vacuidade para o caso base; e, se necess´ario,

− Usar o predicado P(x) = “_b _∀m _∈ N tal que m _≤ x, Q(m)”. Em outras palavras, considerar o predicado definido por recurs˜ao como:

P(0) =_b Q(0);

P(S(n)) =_b P(n)_∧Q(S(n)), _∀n_∈N.

4.n. *** (Uma versão da indu¸cão completa na lógica de 2a_{ordem). Tentar provar} que, para todo X _⊆N, se vale a propriedade abaixo, então X =N:

∀n∈N, (∀m∈N, m < n⇒m∈X) =⇒n∈X.

(14)

5.a. A subtra¸cão em N não admite elemento neutro à esquerda9_;

5.b. _∀m _∈N_\{0_}, m₋1 =T(m);

5.c. A subtra¸cão em N nem é comutativa nem é associativa;

5.d. ** Tentar provar que:

∀m, n, a∈N, a+m =n ⇐⇒n−m=a (15)

e, disto, que: _∀m, n_∈N, n₋m está definida com valor emN se, e somente se, m≤n. Com tal resultado, está bem definida a seguinte fun¸cão:

Km : {n∈N|m ≤n} −→N

x 7−→Km(x) =x−m, e que Km ´e sobrejetiva. Dica. Demonstrar que, _∀m_∈N, Tm_◦_Sm_{= IdN}_{, isto ´e, que:}

∀m, a ∈N, (a+m)−m =a. (16)

Um caso particular disto ´e quem neutraliza a si mesmo por subtra¸c˜ao:

∀m _∈N, m₋m= 0; (17)

5.e. * Provar queKmdo Item 5.d é uma inversa à esquerda da inje¸cãoFmdo Item

4.h. Considerando F

′

m : N −→Im(Fm) ={n ∈N|m≤n}

x 7−→F ′

m(x) =x+m,

modifica¸c˜ao

deFm em uma bije¸cão, temos que Km é a fun¸cão inversa de F ′m;

5.f. * Demonstrar que, para todosm, n, p, q ∈N,

i. m≤q=⇒[(p+q)−m est´a definido e (p+q)−m=p+ (q−m)];

ii. m+n≤p=⇒[p−m est´a definido e p−(m+n) = (p−m)−n; e

iii. (m >0 e n_≤p) =_⇒[mp₋mn est´a definido e m(p₋n) =mp₋mn];

5.g. * Demonstrar que a fun¸c˜ao Km do Item 5.d ´e estritamente crescente, ou seja,

∀m, p, q∈N, m≤p < q =⇒p−m < q−m; (18)

5.h. * Provar que, para todop∈N, Lp : {n∈N|n ≤p} −→N

x _7−→Lp(x) =p−x

´e estritamente decrescente, ou seja,

∀m, n, p∈N, m < n≤p=⇒p−n < p−m; (19)

9

(15)

5.i. * Corol´ario. Utilizando o P.B.O. diretamente, demonstrar que:

i. N˜ao existe fun¸c˜ao estritamente decrescente de N em N;

ii. Toda fun¸c˜ao f :N _−→N estritamente crescente ´e ilimitada superior-mente10_.

Ideias para provas. Para a parte (i), observar que a imagem da fun¸cão contradiria o P.B.O. . Para a parte (ii), produzir duas demonstra¸cões. Uma através do lema ∀n∈N, n≤f(n), que pode ser provado por indu¸cão finita. Outra, adaptando o item (i): dada uma tal fun¸cão f, suponhamos que, por absurdo, existe uma cota superior M _∈ N para Im(f). Usando o Item 5.h,

mostrar que a fun¸c˜ao g : N −→N

n 7−→g(n) =M −f(n) est´a bem definida (´E

uma composi¸cão. Qual ?) e é estritamente decrescente, contradizendo (i). Obs. Faremos aplica¸cões da parte (ii) do Item 5.i a imagens de fun¸cões es-tritamente crescentes deN em N, obtendo que elas são conjuntos ilimitados superiormente. Poder´ıamos obtê-las por resultados anteriores àquele item:

− Aplicando a IdN, mostramos a ilimita¸c˜ao superior para N;

− A S, para o conjunto dos sucessores imediatos (cf. Item 1.a);

− A Fm do Item 4.h com m∈N, para os naturais maiores que ou iguais am, isto ´e,{n ∈N|m ≤n};

− A Gm do Item 4.j com m ∈ N\{0}, para os m´ultiplos naturais de m, os quais aparecem em temas como divisibilidade e congruˆencias; e

− A Jb do Item 4.l com b ∈ N\{0,1}, para as potências da base b com expoente natural, fato que será usado para demonstrar quebserve como base de enumera¸cão paraN.

Obs. (Requer no¸cões de finitude). A parte (i) do item 5.i aplicada à fun¸cão

Lpdo Item 5.h serve para demonstrar que{n ∈N|n ≤p}´e finito a Dedekind. Por sua vez, a parte (i) do Item 5.i vale para qualquer conjunto infinito a Dedekind no lugar de N;

5.j. ** (Teoremaoualgoritmo dadivis˜ao longa). Dado o par ordenado (D, d)∈

N _×(N_\{0_}), existem um ´unico par ordenado (Q, R)_∈N _×N tal que:

0≤R < d e D=Qd+R. (20)

10

(16)

Obs. D,d,Q e R s˜ao denominados, respectivamente, dividendo, divisor,

quocientee restoda divis˜ao longa.

Obs. Há diversos caminhos para a demonstra¸cão da existência neste resul-tado. Consideramos o uso do P.B.O. particularmente eficiente. Indu¸cão com-pleta também leva a uma prova razoavelmente rápida. Vale a pena comparar resolu¸cões com uso de diferentes recursos, inclusive o seguinte argumento “al-gor´ıtmico”: enquanto (“while”) D > d, subtraia-se d de D. Ao final do la¸co (“loop”),Q é o número de subtra¸cões efetuadas, e R é o D final (ou seja, o que sobrou deD).

Obs. O resultado se estende a (D, d)∈Z×(Z\0) ao se modificarem os dados de sa´ıda por (Q, R) _∈ Z×N e 0 ≤ R < |d|. Há, também, um resultado adaptado para polinômios, estudado em álgebra abstrata.

Utilizando a associatividade e a comutatividade da adi¸cão e da multiplica¸cão, podemos bem definir somatórios e produtórios (sem o uso de parênteses e sem a necessidade de ordenarmos os termos a serem operados) sobre um número (natural) não-nulo de parcelas e fatores, respectivamente. Utilizamos os ele-mentos neutros 0 e 1 como respectivos valores do somatório sobre nenhuma parcela e do produtório sobre nenhum fator (ou seja, sobre um número nulo de parcelas e fatores, respectivamente).

Questão 6. (Prática de demonstra¸cão por indu¸cão finita, indu¸cão completa, P.B.O. e algumas propriedades aritméticas deN). Nesta questão, os números naturais estão representados na base decimal de enumera¸cão.

6.a§ (Apenas o segundo somat´orio est´a resolvido no final deste texto). Demons-trar que, _∀n _∈N:

n

X

=0

1 =n; 2 n

X

=0

=n(n+ 1); 6 n

X

=0

2 =n(n+ 1)(2n+ 1);

3 n

X

=0

(+ 1) =n(n+ 1)(n+ 2); 6 n

X

=0

(+ 2) =n(n+ 1)(2n+ 7);

n

X

=0

(2)2 = 4

" _n X =0 2 # ; 3 n X =0

(2+ 1)2 = (n+ 1)(2n+ 1)(2n+ 3);

n

X

=0

3 ₌

" _n X =0  #2 ; n X =0

(2)3 _{= 2}_n2₍_n₊₁₎2_;

n

X

=0

(17)

Obs. O objetivo de usar múltiplos dos somatórios acima (em particular, não dividir o segundo por 2) é manter o discurso emN, sem ter que passar a Q. Obs. Para uma melhor compreensão de somatórios de potências numéricas, ver as seguintes páginas web (em inglês):

http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html

http://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html http://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber’s formula Em espanhol:

http://es.wikipedia.org/wiki/F´ormula de Faulhaber

6.b. (Somas de P.A. e P.G. em N). Dados a0, q∈N, provar que, ∀n∈N:

2 n

X

=0

(a0+q ) = (2a0+q n)(n+1); para q≥2,(q−1)

n

X

=0

a0q=a0(qn+1−1)

Obs. Tentar dar uma prova que valha para a0, q∈R (para P.G.,q 6= 1);

6.c. Demonstrar que, para todo natural positivo n:

5 n

X

=0

4 = (3n2 + 3n₋1) n

X

=0

2; n

X

=0

2__{= 2 + 2}n+1₍_n

−1).

6.d§ (O“teorema” das cores dos cavalosde György Pólya). Lembrando que cada cavalo possui uma única cor (senão é zebra, e não cavalo !), todos os cavalos em um conjunto finito e não-vazio de cavalos dado têm a mesma cor ! (Ex.: o conjunto de todos os cavalos existentes agora na Terra possuem a mesma cor). Descobrir o erro lógico-matemático na “demonstra¸cão” abaixo. Procederemos por indu¸cão sobre n_≥1, o número de elementos num conjunto C de cavalos: Caso base. Para n = 1, um cavalo só possui uma cor e, portanto, a cor dos cavalos no conjunto C em questão está bem definida;

Passo indutivo. Se o resultado vale para um natural n _≥1, ent˜ao, dado um conjunto C=_b_{c}

S(n)

=1 com, exatamente, S(n) cavalos distintos, temos que

C = {c}n=1 ∪ {c} S(n)

=2 , uma uni˜ao de conjuntos com exatamente n cavalos

distintos cada. Da hipótese de indu¸cão, em cada um dos dois conjuntos, os cavalos têm a mesma cor. Mas o cavalo rotuladocn está em ambos. Sendo o mesmo cavalo, a cor em cada conjunto é a mesma e, por conseguinte, a cor é constante em C.

Pelo Item 4.i, todos os cavalos em cada conjunto C finito e n˜ao-vazio de

(18)

6.e. Utilizando o Item 4.i, demonstrar que: 2n2 _> ₅_n_{+ 18 para todo n´}_umero

natural n _≥ 5. Depois, provar o mesmo resultado utilizando propriedades das fun¸cões reais quadráticas a n´ıvel de Ensino Médio.

Obs. Esta segunda abordagem mostra um caminho para, facilmente, produ-zirmos problemas semelhantes a este item;

6.f. Sejam a, x_∈N. Demonstrar que,_∀n_∈N:

n_≥a =_⇒an_≤n2; para a_≥2 (mesmo se a´e real), an_≤an_;

n <2n_; _n2 _≤_{1 + 2}n_; _n

≥10 =_⇒n3 _<₂n_; _n

≥17 =_⇒n4 _<₂n_;

n ≥1 =⇒n2 + 1<3n; n≥4 =⇒n3+n <3n; n3 <4n;

1 +nx_≤(1 +x)n _{(mesmo se} _x

∈[₋1,+_∞)_⊂R);

6.g. * (Requer no¸cões de finitude). Descrever e demonstrar a validade de um algoritmo que recebe, como dado de entrada, um subconjunto não-vazio e finito a Cantor C de N e, utilizando o P.B.O., fornece max(C) (o máximo deC) como dado de sa´ıda.

Obs. Uma solu¸cão deste item demonstra, construtivamente, que todo sub-conjunto finito e não-vazio deN possui máximo na ordem usual de N;

6.h§ Demonstrar, por indu¸c˜ao completa, que∀n∈N, sn <2

n+1_{, onde a}

sequên-cia (sn)n∈N é definida por recursão a curso de valores: s0 = 1; s1 = 1; e ∀n_∈N, sn+2 =sn+sn+1;

6.i§ Por indu¸c˜ao completa, demonstrar que, para todo n ∈ N tal que n ≥ 18, existem11 _{p, q} _∈ _N _{tais que} _n _{= 4}_p_{+ 7}_q_{. Verificar que o resultado ´e falso}

para n= 17. Discutir se o par (p, q) é único para cadan ≥18 ou não. Dica: Provar os casos 18≤n≤21 isoladamente. O que isto tem a ver com o número 4 ?

6.j. * Sejaf :N_\{0_{} −→}N_\{0_}uma fun¸c˜ao que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

f(1) = 1; _∀n _∈N_\{0_}, f(2n) = 2f(n) + 1 e f(f(n)) = 4n₋3

Inferir uma lei de forma¸c˜ao “f(n) = _{· · ·}” para f como fun¸c˜ao expl´ıcita de

n. Então, utilizando indu¸cão completa, demonstrar que a lei de forma¸cão encontrada está correta.

11

(19)

Quest˜ao 7. (Bases de enumera¸c˜ao).

7.a. ** Demonstrar que, para todo natural n˜ao-nulo n, existem ´unicos naturais

ℓ, d0, . . . , dℓ tais que:

∀_∈N :_≤ℓ, 0_≤d<10; dℓ >0; e n = ℓ

X

=0

d·10

Em outras palavras, n tem representa¸c˜ao ´unican = (dℓdℓ−1· · ·d0)10 na base

decimal com d´ıgitos d . Generalizar o argumento para qualquer natural

b >1 substituindo 10 acima.

Ex.: (A base decimal). 2 = (2)10 = 2 ·100; 4 = (4)10 = 4 · 100;

10 = (10)10 = 1·101+ 0·100; 16 = (16)10= 1·101+ 6·100;

100 = (100)10 = 1·102 + 0·101+ 0·100; 63 = (63)10 = 6·101 + 3·100;

4027 = (4027)10= 4·103+ 0·102+ 2·101+ 7·100.

Nos próximos exemplos, já omitimos as parcelas nulas para enfatizarmos as ideias no esbo¸co de demonstra¸cão abaixo.

Ex.: (A base bin´aria, cujo alfabeto para os d´ıgitos ´e _{0,1_}).

2 = (10)2 = 1 ·21; 4 = (100)2 = 1·22; 10 = (1010)2 = 1·23 + 1 ·21;

16 = (10000)2 = 1·24; 63 = (111111)2= 1·25+1·24+1·23+1·22+1·21+1·20;

100 = (1100100)2 = 1·26+ 1·25 + 1·22;

4027 = (111110111011)2 = 211+ 210+ 29+ 28+ 27+ 25+ 24+ 23 + 21+ 20.

Ex.: (Abase hexadecimal, cujo alfabeto para os d´ıgitos inclui (A)16 = 10,

(B)16= 11, (C)16 = 12, (D)16= 13, (E)16 = 14 e (F)16= 15).

2 = (2)16= 2·160; 4 = (4)16= 4·160; 10 = (A)16=A·160;

16 = (10)16 = 1·161; 63 = (3F)16= 3·161+F ·160; 64 = (40)16= 4·161;

100 = (64)16= 6·161+ 4·160; 4027 = (F BB)16 =F ·162+B·161+B·160.

Esbo¸co de demonstra¸cão: Como discutido na Observa¸cão que se se-gue ao Item 5.i.ii, a aplica¸cão daquele item à fun¸cão Jb do Item 4.l (com

b= 10 ou, mais geralmente, b natural tal que b >1) mostra que a sequˆencia 1 =b0 _{< b}₌_b1 _{< b}2 _{< b}3 _<_{· · ·}_{< b}k _{< b}k+1 _<_{· · ·} _{´e ilimitada superiormente.}

Usando o P.B.O. de forma adequada, obtemos que, para todo natural não-nulon, há um único naturalℓtal quebℓ

≤n < bℓ+1_{. Dividindo} _R

0=bnporbℓ,

obtemos o quociente dℓ, e o resto R1 ´e menor que bℓ. Repetindo o processo

para o resto R1 no lugar de R0, um pr´oximo resto R2 no lugar de R1, etc.,

(20)

7.b. ** Descrever e demonstrar um algoritmo de adi¸cão de dois naturais não-nulos na base decimal. Mais precisamente, dados dois números naturais não-nulosm en, considerar suas representa¸cões únicas m = (ckck−1· · ·c0)10

n= (dℓdℓ−1· · ·d0)10 na base decimal, isto ´e,m=

k

X

ı=0

cı·10ı en= ℓ

X

=0

d·10.

O algoritmo recebe os númerosk,ℓ,cı,de devolve a representa¸cão dem+n na base decimal. Generalizar o algoritmo para bases de enumera¸cão b >1;

7.c. * Descrever e demonstrar um algoritmo de compara¸cão de naturais não-nulos na base decimal. Mais precisamente, dados dois números naturais não-nulosm en, considerar suas representa¸cões únicas m = (ckck−1· · ·c0)10

n= (dℓdℓ−1· · ·d0)10 na base decimal, isto ´e,m=

k

X

ı=0

cı·10ı en= ℓ

X

=0

d·10.

O algoritmo recebe os númerosk,cı,ℓed e devolve uma, e apenas uma, das respostas: m < n, m= n ou m > n . Generalizar o algoritmo para bases de enumera¸cão b > 1, observando que a resposta produzida pelo algoritmo independe da base de enumera¸cão escolhida !

Dica: E poss´ıvel realizar a compara¸cão em dois passos bem diferentes, cada´ um com um critério de compara¸cão. O segundo só é usado quando o primeiro critério tem o mesmo valor para ambosm en;

7.d. Descrever e demonstrar um algoritmo com as caracter´ısticas abaixo:

Dados de entrada: naturais c0, c1, d0 e d1 tais que c1 6= 06=d1,

represen-tando dois naturais m e n na base decimal por suas representa¸c˜oes ´unicas:

m = (c1c0)10 e n = (d1d0)10, isto ´e, m = 10c1 +c0 e n = 10d1 +d0 com

10_≤m, n_≤99;

Dados de sa´ıda: naturais a0, a1, a2 e a3 representando o natural m·n na

base decimal como mn= (a3a2a1a0)10, isto ´e,m·n = 3

X

ı=0

aı·10ı.

Defini¸c˜oes. Consideremos as seguintes defini¸c˜oes em N:

− Dados m, n∈ N, dizemos que m divide n, n ´e divis´ıvel por m, m ´e

divisor den,n é múltiplo dem, e que a divisão longa den porm é

exata, e denotamos12 _{isto tanto por} _m_\_n _como _m_|_n _{se, e somente se,}

existe d∈N tal que md =n (isto ´e, o resto da divis˜ao longa de n por

m´e 0);

12

(21)

− Dado p _∈ N, p ´e primo se, e somente se, p possui exatamente dois divisores distintos13, a saber, 1 ep;

− Dadoq _∈N_\{0,1_}, qé composto se, e somente se, q não é primo.

Quest˜ao 8. (A rela¸c˜ao de ordem parcial em N dada por divisibilidade).

8.a§ Com a sucessão imediata S, definimos 1 := S(0), 2 := S(1) e 3 := S(2). Demonstrar que que 2 não é divisor de 3;

8.b§ * Provar que a rela¸cão binária_≤D abaixo é rela¸cão de ordem parcial emN:

∀m, n∈N, (m≤D n ⇐⇒m\n) ;

8.c§ Demonstrar que 1 e 0 s˜ao, respectivamente, o m´ınimo e o m´aximo do con-junto parcialmente ordenado (N,_≤D);

8.d§ Demonstrar que, para todos os naturais n˜ao-nulosmen, sem≤D n, ent˜ao

m_≤n (na ordem usual)14_;

8.e§ Dos itens anteriores, deduzir que: 0 não é primo; 2 e 3 são primos; e que os números primos são os elementos minimais de N_\{1_} para a rela¸cão de ordem parcial _≤D;

8.f§ Mostrar que _≤D n˜ao ´e total (linear);

8.g§ Demonstrar que _≤D é bem fundada15, observando que isto significa que, para todo subconjunto não-vazio C de N, existe m _∈ C tal que m é mini-mal16 _em _C _{com rela¸cão a} _≤

D.

Dica: Usar o Item 8.d e a boa ordena¸c˜ao de (N,_≤).

13

Logo, 1 não é primo por defini¸cão de primalidade. Historicamente, 1 era considerado primo e, depois, modificou-se a defini¸cão para retirá-lo. Com isto, evitaram-se as exce¸cões que 1 causava em vários enunciados.

14

Do Item 8.a e do fato de que 2< S(2) = 3, a rec´ıproca ´e falsa !

15

Toda rela¸cão bem fundada induz uma no¸cão de demonstra¸cão por indu¸cão bem fun-dada e uma no¸cão de defini¸cão por recursão bem fundada; Elas podem ser bastante com-plexas quando comparadas às indu¸cões finita e completa. No caso de ≤D, o caso-base consiste do m´ınimo 1, mas o passo indutivo possui infinitos “sucessores imediatos” de cada vez devido ao Item 8.f. Por exemplo, todos os primos são “sucessores imediatos” de 1 para a rela¸cão≤D.

16

(22)

Quest˜ao 9. (Alguns resultados sobre primos).

9.a. * Demonstrar que, para todo natural primop vale:

∀m, n∈N, [(p\m∨p\n)⇐⇒p\(m·n)]

Obs. A implica¸cão no sentido reverso é o conteúdo original do Lema de Euclidescolocado em termos da matemática contemporânea;

9.b. O que ainda ´e v´alido no Item 9.a se substituirmos “primo p” por “natural

q >1” ? Por quˆe ?

9.c. Provar que, para todos os naturaism, n e d, (d_\m_∧d_\n) =_⇒d_\(m+n);

9.d. Mostrar que a rec´ıproca do Item 9.c ´e falsa;

9.e. * Provar que, para todos os naturaism,n ed, [d_\(m+n)_∧d_\n] =_⇒d_\m;

9.f. ** (Requer no¸cão de infinitude). O conjunto dos números naturais primos é infinito a Cantor17_.

Dica Por contradi¸cão, assumir que é finito. Considerar a soma de 1 com o produtório de todos os primos. Então, usar o Item 9.e;

9.g. Demonstrar o seguinte lema: para cada natural positivon, todos os n´umeros de 2 an+ 1 dividem (n+ 1)! ;

9.h. Utilizando os itens 9.c e 9.g, deduzir que osnn´umeros naturais consecutivos do conjunto _{(n+ 1)! +k_}n+1

k=2 s˜ao compostos.

Obs. Considerando os naturais primos arranjados em uma sequência estri-tamente crescente, conclu´ımos que há intervalos arbitrariamente grandes de naturais fora desta sequência ! Para melhor apreciar esta observa¸cão, vale recordar o enunciado do Item 9.f;

9.i. *** (Teorema fundamental da aritmética). Todo número natural maior que 1 possui uma única (uma e apenas uma) fatora¸cão como produto

p1p2· · ·pk de naturais primos q1 ≤q2 ≤ · · · ≤qk (para algum k ∈N\{0}). Obs. A lista de primos é crescente mas pode ser estritamente crescente ou não. Em outras palavras, a lista pode ter repeti¸cões. Outro modo de expres-sar este resultado é fornecido a seguir.

17

(23)

(Outro enunciado do teorema fundamental da aritm´etica). Dado um natural n > 1, existem ´unicos naturais d, ε1, . . . , εd, p1, . . . , pd tais que:

d, ε1, . . . , εd>0;p1 <· · ·< pd; p1, . . . , pd s˜ao primos18; e n = d

Y

=1

pε

 .

Ex.: 2 = 21_{; 4 = 2}2_{; 6 = 2}1_·₃1_{; 360 = 2}3_·₃2_·₅1_.

Obs. A existˆencia tem provas relativamente curtas por indu¸c˜ao completa.

Para cada número natural n, denotemos, arbitrariamente, por Dn o con-junto dos naturais que sãodivisores den, e porMn o conjunto dosmúltiplos naturais de n:

Dn=b {d∈N|d\n}; Mn =b {x·n|x∈N}= (se n 6= 0) {y∈N|n\y}.

Quest˜ao 10. (m.m.c. e m.d.c.). Sejam os naturais m en.

10.a. Demonstrar que o conjunto dos naturais que s˜ao divisores comuns a m e n

é Dm∩Dn e, analogamente, o conjunto dos naturais que são múltiplos de ambos m en é Mm∩Mn;

10.b. ** Demonstrar que Mm ∩ Mn possui m´ınimo, o qual denominamos de

m´ınimo m´ultiplo comum am e n, e denotamos por m.m.c.(m, n);

10.c. ** Demonstrar que Dm ∩ Dn possui m´aximo, o qual denominamos de

m´aximo divisor comuma m e n, e denotamos por m.d.c.(m, n);

10.d. Provar que: M0 = {0}; D0 = N = M1; D1 = {1}; m.m.c.(m,0) = 0;

m.d.c.(m,1) = 1; m = m.m.c.(m, m) = m.d.c.(m, m) = m.d.c.(m,0) = m.m.c.(m,1); m.m.c.(m, n) = m.m.c.(n, m); m.d.c.(m, n) = m.d.c.(n, m); m.d.c.(m, n) =m_⇐⇒m_∈Dn⇐⇒m\n ⇐⇒n ∈Mm ⇐⇒m.m.c.(m, n) =n

10.e. ** Se m, n >1, consideremos todos os naturais primos p1 < p2 <· · ·< pk que aparecem na fatora¸cão (única) de, pelo menos, um dos números m e n:

m= d

Y

=1

pδ

 e n= d

Y

=1

pε

 , para δ, ε ∈N unicos.´

18

(24)

Obs. Alguns dos expoentes podem ser nulos porque alguns primos podem aparecer em apenas uma das fatora¸c˜oes (claro, os expoentes n˜ao podem ser ambos nulos para um mesmo ´ındice ). Demonstrar que:

m.m.c.(m, n) = d

Y

=1

pmax({δ, ε})

 , e m.d.c.(m, n) = d

Y

=1

pmin({δ, ε})

 .

Da´ı, concluir que m.m.c.(m, n)_·m.d.c.(m, n) =m_·n;

10.f. ** Dado um n´umero natural q >1, demonstrar que q´e primo se, e somente se, q verifica a seguinte propriedade:

∀n _∈N, [q_\n _∨ m.d.c.(q, n) = 1].

A próxima questão trata de duas axiomáticas equivalentes à de Peano.

Questão 11. (Axiomáticas equivalentes à de Peano; exemplos e isomorfis-mos de sistemas de Peano). Recordar os axiomas de Peano (cf. Questão 1). Consideremos, agora, a seguinte axiomática sobre ( Ñ ,S,˜ ≤):

i. Ñ é um conjunto não-vazio;

ii. (P.B.O.) _≤ é uma rela¸cão de ordem total e boa em Ñ;

iii. ˜S: Ñ _−→N˜ é uma fun¸cão tal que Ñ =_{˜0_{} ∪} Im( ˜S), onde denotamos por ˜0= min_b ≤( Ñ);

iv. _∀˜n_∈N,˜ n <˜ S˜(˜n);

Consideremos, tamb´em, a seguinte axiom´atica sobre N ,0, S,_≤′_:

A. N ,_≤′_{´e um conjunto totalmente ordenado;}

B. 0 = min≤′ N

;

C. S:N _−→N ´e uma fun¸c˜ao tal que N =_{0_{} ∪}Im S;

D. ∀n∈N, n <′ _S₍_n_);

E. Para todo subconjunto X ⊆ N, se vale a propriedade abaixo, ent˜ao

X =N:

(25)

11.a. *** Tentar provar que as axiomáticas (1–3), (i–iv) e (A–E) são equivalentes. Obs. Este é o problema mais dif´ıcil desta apostila.

Algumas ideias. Ao longo deste texto, produziram-se resultados que mos-tram que a primeira axiomática implica as outras duas. Ela implica a segunda com os s´ımbolos sem til e a rela¸cão de ordem da Questão 4 submetidos a (1–3) fazendo, respectivamente, o papel dos s´ımbolos com til e da rela¸cão de ordem ≤ acima, submetidos a (i–iv). Tentar mostrar que ( Ñ ,S,˜ _≤) e ˜0 submetidos a (i–iv) fornecem ( Ñ,˜0,S˜) submetido a (1–3). Inspirar-se, em particular, no Item 4.g, adaptando-o à lógica de 2a _{ordem. Provavelmente, a parte mais} dif´ıcil é a injetividade de ˜S. Cabe o seguinte lema, interessante por si mesmo:

11.b. *** Lema. No sistema ( Ñ,S,˜ _≤) submetido a (i–iv), a fun¸cão ˜S é igual à

fun¸c˜ao µ: ˜

N _−→N˜

˜

n 7−→µ(˜n) = min≤

{ã∈N˜|n˜≤ã}, que é bem definida e

estritamente crescente. Disto, µ´e inje¸c˜ao.

Roteiro para uma prova do lema. Para a boa defini¸cão de µ, aplicar o P.B.O. ao conjunto_{a˜_∈N˜_|n˜ _≤ã_}, que não é vazio devido ao axioma (iv).

Por defini¸c˜ao, µsatisfaz a seguinte propriedade: ∀n˜∈N ,˜ n < µ˜ (˜n). (21)

Para a monotonicidade estrita de µ aplicar µa ˜m,ñ_∈ N˜ tais que ˜m <n˜, e combinar: a propriedade (21) acima aplicada a ambos ˜me ñ; e o uso da defini-¸cão deµem vista de ˜m <n˜para obterµ( ˜m)_≤n˜. Finalmente, ˜S _≡µporque se, por absurdo, não o fosse, ter´ıamos, do axioma (ii), o m´ınimo ñ0 ∈ N˜ a

satisfazer µ(ñ0) 6= ˜S(ñ0). Das defini¸cões de µ e ñ0, necessariamente vale

˜

n0 < µ(ñ0)< S˜(ñ0) e, do axioma (iii), existe ˜p∈N˜ tal que µ(ñ0) = ˜S(˜p).

Da propriedade (21), ˜p < S˜(˜p) = µ(˜n0) donde, pela defini¸c˜ao de µ, temos

que ˜p≤ñ0. Produzir contradi¸cões em ambos os casos ˜p= ñ0 e ˜p <n˜0. Obs.

N˜ao obtivemos a propriedade (21) do lema do Item 5.i.ii porque utilizamos aquela propriedade para deduzirmos que µ´e estritamente crescente.

Passemos, agora, à discussão da verifica¸cão de que, dado um sistema

N,0, S,_≤′ _{submetido aos axiomas (A–E),} _{N , S,}_≤′ _{satisfaz os axiomas}

(i–iv), fazendo o papel de N ,˜ S,˜ _≤. As axiomáticas já têm, em comum, (iii), (iv) e parte de (ii). (i) é fácil. A parte crucial é obter a boa funda¸cão de ≤′_{. Isto pode ser feito por contradi¸cão, come¸cando com um subconjunto} C não-vazio de N tal que C não possui m´ınimo com rela¸cão a _≤′_{. Tomar} X=_bN\C e mostrar queX satisfaz a propriedade no axioma (E) devido aC

(26)

A próxima questão trata de dois temas muito importantes do ponto-de-vista conceitual. Um deles é a existência de sistemas de Peano-Dedekind, para a qual é introduzido o axioma do infinito. Discutimos as versões pre-sentes nas axiomáticas de Zermelo e de Zermelo-Fraenkel. Na primeira, os números naturais são modelados por conjuntos unitários, cada número con-tando chaves em torno de ∅. Na outra, os números naturais são modelados por conjuntos com tantos elementos quanto o número em questão.

Quest˜ao 12. (Existˆencia e isomorfia de sistemas de Peano-Dedekind).

12.a. *** Consideremos a vers˜ao doaxioma do infinitona axiom´atica de Zermelo, a saber, existe IZ tal que ∅ ∈ IZ e ∀X ∈ IZ, {X} ∈ IZ. Tentar provar que (NZ,0Z, SZ) constitui um sistema de Peano, onde:

− NZ := ∩F, onde F ´e a fam´ılia dos subconjuntos C de IZ tais que:

∅_∈C e _∀X _∈C, _{X_{} ∈}C;

− 0Z :=∅; e

− SZ ´e a restri¸c˜ao S|NZ de S a NZ, onde

S : _IZ −→ IZ

X 7−→S(X) = {X};

12.b. Consideremos a vers˜ao doaxioma do infinitona axiom´atica19_{ZF, a saber,}

existe _IV tal que ∅∈ IV e ∀X ∈ IV, (X∪ {X})∈ IV. Tentar provar que (NV,0V, SV) constitui um sistema de Peano, onde:

− NV := ∩F, onde F ´e a fam´ılia dos subconjuntos C de IV tais que:

∅_∈C e _∀X _∈C, (X_{∪ {}X_})_∈C;

− 0V :=∅; e

− SV é a restri¸cão S|NV deS a NV, ondeS agora é dado por S : _IV −→ IV

X 7−→S(X) =X∪ {X}.

Obs. Enquanto cada naturaln é modelado pelo número de chaves em torno de_∅no Item 12.a, ele é modelado no Item 12.b por um conjunto com exata-mente n elementos ! Ex.: 3Z =_{{{∅}}}vs. 3V =_{0V,1V,2V_}.

Os próximos itens lidam com a isomorfia de sistemas de Peano (na lógica de 2a _{ordem), justificando a identifica¸cão de todos eles entre si, sublimados} num único objeto N. Isto era o esperado ao formalizarmos os naturais: desejávamos uma estrutura única, independente de como os modelássemos.

19

Nesta versão, é produzido um sistema de Peano tal que N é o ordinal _ω _{de von}

(27)

12.c. ** Sejam (N,0, S) e (N′_,₀′_{, S}′_{) sistemas de Peano. Dizemos que uma fun¸c˜ao} ϕ : N _−→ N′ _{´e um} _{isomorfismo de sistemas de Peano}20 _{de (}_N,₀_{, S}₎

em (N′_,₀′_{, S}′_{) se, e somente se,} _ϕ _{preserva zero e sucess˜ao:}

ϕ(0) = 0′ e _∀n_∈N, ϕ(S(n)) = S′(ϕ(n)). (22)

Provar que: existe21 _{um ´}_{unico isomorfismo de sistemas de Peano} _ϕ _de_N _em

N′_; _ϕ _{é bije¸cão; e}_ϕ−1 _{é um isomorfismo de sistemas de Peano de} _N′ _em _N_.

Esbo¸co de prova. (22) ´e uma recurs˜ao do tipo (3) com A = N′_, _a

0 = 0′

e h = S′_{. Do Item 2.a ,existe uma ´}_{unica fun¸c˜ao} _ϕ _≡_f _: _N _−→ _A₌_N′ _a

satisfazˆe-la. Definindoψ :N′ _−→_N _{por uma recurs˜ao semelhante,}_ψ₍₀′_{) = 0}

e _∀n′ _∈_N′_{, ψ}₍_S′₍_n′_{)) =} _S₍_ψ₍_n′_{)), obtemos o ´}_{unico isomorfismo de sistemas}

de Peano de N′ _em _N _(agora, _N′ _{faz a enumera¸c˜ao, enquanto} _A ₌ _N_).

Agora, ψ◦ϕ ≡IdN porque tal composi¸c˜ao satisfaz a recurs˜ao que descreve IdN no Item 2.b. Analogamente, ϕ_◦Ψ_≡IdN′.

Sendo a aritmética de N definida a partir de 0 e S, ϕ deveria preservar toda ela (adi¸cão, multiplica¸cão, exponencia¸cão, subtra¸cão como fun¸cão par-cial, divisão longa, divisibilidade, fatora¸cão, primalidade, ordem estrita, etc.) Consideremos, pois, as adi¸cões + e +′_{, as multiplica¸cões} _· _e _·′_{, e as rela¸cões}

de ordem _≤ e_≤′ _{destes sistemas de Peano, respectivamente. Provar que:}

12.d§ _∀m, n∈N, ϕ(m+n) =ϕ(m) +′ _ϕ₍_n_);

12.e. ϕ(1) = 1′_{, onde 1 :=}_S_{(0) e 1}′ _:=_S′₍₀′_);

12.f§ _∀m, n∈N, ϕ(m·n) =ϕ(m)·′_ϕ₍_n_);

12.g§ _∀m, n_∈N, ϕ(mn_{) = (}_ϕ₍_m₎₎ϕ(n)_;

12.h§ _∀m, n_∈N, m < n=_⇒ϕ(m)<′ _ϕ₍_n_);

12.i. _∀m, n_∈N, m ´e divis´ıvel porn se, e somente se, ϕ(m) ´e divis´ıvel porϕ(n);

12.j. _∀m, n∈N, m ´e primo se, e somente se, ϕ(m) o ´e.

20

Ou deN emN′ _{se o contexto n˜}_{ao produzir ambiguidade.}

21

*** Se nos restring´ıssemos `a l´ogica de 1a

(28)

Defini¸cão. (N,0, S), com o usualNno lugar deN, denota qualquer sistema de Peano já visto como único a menos de isomorfismo único.

Obs. *** O Item 12.c diz que a teoria formal dos números naturais na ló-gica de 2a _{ordem é} _categ´_orica _{no sentido de Veblen (1904): todos os seus} modelos são isomorfos uns aos outros. Está em desenvolvimento uma teo-ria dos conjuntos em que, dentre outras coisas, considera-se, formalmente, a interpreta¸cão de equivalências e isomorfismos como formas de igualdade, pra-ticada informalmente por grande parte dos matemáticos de hoje (2013). Tal teoria é denominadateoria dos tipos baseada em tipos de homotopiaouHTT.

Questão 13. (Algumas classes interessantes de naturais. Alguns itens usam manipula¸cões com ra´ızes quadradas em R). Definamos as seguintes sequên-cias emN por recursão a curso de valores:

− (Fn)n∈N definida por: F0 = 0; F1 = 1; e ∀n ∈

N, Fn+2 =Fn+1+Fn (n´umeros de Fibonacci22);

− (Ln)n∈N definida por: L0 = 2; L1 = 1; e ∀n ∈

N, Ln+2 =Ln+1+Ln (n´umeros de Lucas);

− (Pn)n∈N definida por: P0 = 0; P1 = 1; e ∀n ∈

N, Pn+2= 2Pn+1+Pn (n´umeros de Pell, conhecidos na antiguidade); e

− (Qn)n∈Ndefinida por: Q0 = 2; Q1 = 2; e ∀n ∈

N, Qn+2 = 2Qn+1+Qn (N´umeros de Pell-Lucas).

13.a. Demonstrar que _∀n _∈N, Fn<2 n+1_;

13.b. (Razão áurea, conhecida na cultura grega antiga, e matematicamente es-tudada desde a escola pitagórica). Dizemos que dois segmentos estão na

propor¸c˜ao ´aurea quando seus comprimentos a e b satisfazem a seguinte

propor¸c˜ao: a+b

a =

a

b. A raz˜ao ϕ =b a+b

a =

a

b nesta express˜ao ´e

deno-minada razão áurea. Considerando que a= ϕ b e b é um número positivo

qualquer, calcular φ algebricamente, obtendo ϕ = 1 + √

5 2 ;

22

(29)

13.c. Demonstrar a f´ormula de Binet23: _∀n _∈ N, Fn =

ϕn −ψn

ϕ₋ψ , onde

ψ =_b 1− √

5

2 = 1−ϕ;

13.d. Demonstrar as seguintes rela¸c˜oes para todon _∈N:

n−1

X

æ=0

F2+1 =F2n e n

X

æ=0

F2=F2n+1−1 ;

13.e. Demonstrar que, ∀n ∈N, Ln =ϕ n

+ψn = (sen > 0)Fn−1+Fn+1 ;

13.f. Demonstrar que, ∀n∈ N, Pn=

(1 +√2)n₋₍₁₋√₂₎n

2√2 , ou seja, os n´ ume-ros de Pell satisfazem uma rela¸cão semelhante àquela da fórmula de Binet para os números de Fibonacci, mas ϕ é substitu´ıdo por 1 +√2, valor que hoje é conhecido comorazão de prata, a razão da propor¸cão 2a+b

a =

a b ;

13.g. Demonstrar que, ∀n ∈ N, Qn = (1 + √

2)n+ (1 −√2)n = (se n > 0)

Pn−1+Pn+1 (ver24 o Item 13.f), e que os n´umeros de Pell-Lucas s˜ao pares.

23

Conhecida por de Moivre antes de Binet.

24

(30)

ALGUMAS SOLU ¸C ˜OES

Item 1.c. Demonstra¸c˜ao num formato para calouros: Denotemos por

X o subconjunto de N que consiste exatamente dos números naturais n que são diferentes de seus respectivos sucessores imediatos, ou seja, n ₆= S(n). Desejamos mostrar que X é todo o conjunto N. Usemos o P.I.F.:

− Caso n = 0: 0 não é sucessor imediato de número natural algum (por um dos axiomas de Peano). Em particular, 0 não pode ser S(0) e, portanto, 0_∈X;

− Se n _∈ X (isto é, se n é um número natural tal que n ₆= S(n)), será que S(n) _∈ X (ou seja, será que o sucessor de n também pertence a

X) ? Ora,Sé uma fun¸cão injetiva (por um dos axiomas de Peano), ou seja, manda números distintos em valores distintos. Como a hipótese de indu¸cão afirma que n ₆= S(n), aplicando S a ambos os lados da desigualdade, conclu´ımos que: S(n) 6= S(S(n)), ou seja, S(n) ∈ X. Assim, X é fechado com rela¸cão à sucessão.

Pelo P.I.F., os dois fatos acima a respeito de X permitem-nos concluir que

X =N, ou seja, que todo n´umero natural n satisfaz n6=S(n). Q.E.D.

Obs. A solu¸cão acima aplica o P.I.F. na lógica de 2a _{ordem, embora se refira} a um subconjunto deN espec´ıfico, definido por um predicado espec´ıfico. Por isto, podemos usar o axioma referente àquele predicado no esquema axiomá-tico do Item 1.d (1a _{ordem). Fazemos isto na solu¸cão abaixo.}

Uma prova t´ıpica: Desejamos mostrar que ∄n _∈ N : n = S(n), isto é, ∀n_∈N, n₆=S(n). A demonstra¸cão será feita por indu¸cão finita sobre n.

− Caso base: 0_∈/ Im(S) (por um dos axiomas de Peano) ∴06=S(0);

− Passo indutivo: Suponhamos quen ₆=S(n) para um dadon_∈N. Apli-cando S a ambos os membros da desigualdade, temos, da injetividade deS (que ´e um dos axiomas de Peano), queS(n)6=S(S(n)).

Por indu¸c˜ao finita, conclu´ımos que ∀n∈N, n6=S(n). Q.E.D.

(31)

Uma prova num formato para calouros. Denotemos por X o subcon-junto de N que consiste exatamente dos n´umeros naturais n que satisfazem a propriedade desejada (0 +n = n). Desejamos mostrar que X ´e todo o conjunto N. Para tanto, usaremos o P.I.F.:

− Se n = 0, então 0 +n = 0 + 0 = (pela defini¸cão recursiva da adi¸cão em N – Item 2.f) 0 =n. Logo, 0 _∈X;

− Se n ∈ X (isto é, se n é um natural tal que 0 + n = n), será que

S(n) _∈X (ou seja, será que o sucessor de n também pertence a X) ? Ora, 0 +S(n) = (por defini¸cão de adi¸cão) S(0 + n) = S(n), onde a última igualdade é garantida pelo que supusemos25 _{a respeito de} _n_.

Logo, 0 +S(n) =S(n), o que equivale a S(n)_∈X devido a S(n)_∈N

e à defini¸cão de X. Assim,X é fechado com rela¸cão à sucessão.

Pelo P.I.F., os dois fatos a respeito de X acima permitem-nos concluir que

X =N, ou seja, que todo n´umero natural n satisfaz 0 +n =n. Q.E.D.

Uma demonstra¸c˜ao em formato t´ıpico. Demonstraremos, por indu¸c˜ao finita sobre n, que: _∀n _∈N, n+ 0 =n.

− Caso base (n= 0): 0 +n= 0 + 0 = (por defini¸c˜ao de adi¸c˜ao) 0 =n.

− Passo indutivo: Suponhamos que 0 +n = n para um dado n _∈ N. Então, 0 +S(n) = (por defini¸cão de adi¸cão)

S(0 +n) = (pela hip´otese de indu¸c˜ao) S(n).

Por indu¸c˜ao finita, conclu´ımos que _∀n_∈N, 0 +n =n. Q.E.D.

Item 3.h. Fixados m, n∈N, usaremos indu¸c˜ao finita sobre p.

− Caso base (n= 0): m(n+0) = (defini¸cão de adi¸cão) mn= (defini¸cão de adi¸cão) mn+ 0 = (defini¸cão de multiplica¸cão) mn+m0.

− Passo indutivo: Suponha-se que m(n +p) = mn+mp para um dado

p∈N. Então, m(n+S(p)) = (defini¸cão de adi¸cão) m S(n+p) = (defini¸cão de multiplica¸cão) m(n+p) +m= (hipótese de indu¸cão) (mn+mp) +m= (associatividade da adi¸cão) mn+ (mp+m) = (defini¸cão de multiplica¸cão) mn+m S(p).

25

(32)

Por indu¸c˜ao finita, conclu´ımos que _∀p_∈ N, m(n+p) = mn+mp. Da ar-bitrariedade demen, temos que,_∀m, n, p _∈N, m(n+p) =mn+mp.Q.E.D.

Item 3.i. Fixados m, n_∈N, usaremos indu¸c˜ao finita sobrep.

− Caso base (n = 0): (m+n)0 = (defini¸c˜ao de adi¸c˜ao) 0 =

(defini¸cão de adi¸cão) 0 + 0 = (defini¸cão de multiplica¸cão) m0 +n0.

− Passo indutivo: Suponhamos que (m+n)p= mp+np para um dado

p_∈N. Então, (m+n)S(p) = (defini¸cão de multiplica¸cão)

(m+n)p+ (m+n) = (hipótese de indu¸cão) (mp+np) + (m+n) = (associatividade e comutatividade da adi¸cão) (mp+m) + (np+n) = (defini¸cão de multiplica¸cão) m S(p) +n S(p).

Por indu¸c˜ao finita, conclu´ımos que _∀p_∈N, (m+n)p=mp+np. Da arbi-trariedade de m e n, temos que, ∀m, n, p ∈N, (m+n)p=mp+np. Q.E.D.

Item 3.l num estilo mais conciso, sem referência às propriedades a cada passo, pressupondo dom´ınio das propriedades anteriores. Este estilo não deve ser praticado em exames deste curso.

Item 3.l.i: Sea_·b = 0, ent˜ao, suponhamos, para chegarmos a uma contra-di¸c˜ao, que a6= 06=b∴ ∃c, d∈N : a=S(c) e b=S(d)∴

a_·b = a S(d) = a_·d+a = a_·d+S(c) = S(a_·d+c) ₆= 0 porque 0 não é sucessor∴a·b6= 0, contradizendo a hipótesea·b= 0. Logo,a= 0 oub= 0.

A rec´ıproca segue, diretamente, da defini¸cão da multiplica¸cão emN após uma eventual aplica¸cão da comutatividade desta. Q.E.D.

Item 3.l.ii: Sea_·b =a, ent˜ao, suponhamos, para chegarmos a uma contra-di¸c˜ao, que a6= 0 e b6= 1:

− Se 0 =b, ent˜ao a=a·b =a·0 = 0, contradizendo a suposi¸c˜ao a6= 0;

− Se 0₆=b, ent˜ao _∃d_∈N : b=S(d)∴a=a·b=a·S(d) =a·d+a. Do

Item 3.e.iv (coma ea·d nos pap´eis deb e a, respectivamente), temos quea_·d= 0. Mas b =S(d)∴b= 1, contradizendo a suposi¸c˜ao b6= 1.