Capítulo 6 – Trabalho e Energia Cinética
• Muitos problemas de Mecânica não têm solução simples usandoas Leis de Newton
• Exemplo: velocidade de um carrinho de montanha-russa durante seu percurso (mesmo desprezando atrito e resistência do ar)
• Em algumas situações, esses problemas podem ser resolvidos usando os conceitos de trabalho e energia e o princípio de
conservação da energia
O princípio de conservação da energia tem validade muito além da Mecânica Clássica, tratando-se de um
• Distinção entre o conceito de trabalho em Física e a noção intuitiva de “esforço muscular”
• Trabalho de uma força constante no sentido do deslocamento:
6.1 – Trabalho
x
F
d
Fd
• Se a força não estiver na direção do deslocamento: x
F
d
F
φ cos || F F = φ sen F F⊥ = φφ
cos
Fd
d
F
W
=
⋅
=
• Trabalho é uma grandeza escalar, podendo ser positivo, negativo ou nulo:
6.3 – Trabalho e energia com forças variáveis
• Se a força não for constante (mas ainda movimento retilíneo): Suponha que a componente x da força varie com a posição da seguinte forma:
x Fx
0
Vamos dividir o deslocamento entre
x
1 ex
2 em pequenos deslocamentos de tamanho Δx
x1 Δx x2 Em cada pequeno deslocamento, a força é aproximadamente constante, de modo que:x
F
W
=
x∆
∆
x Fx
0 x1 Δx x2
O trabalho realizado em cada deslocamento infinitesimal é:
x
F
W
=
x∆
∆
xF
Note que é a área do retângulo sombreado
∆
W
=
F
x∆
x
Desta forma, somando-se todos pequenos trabalhos realizados em cada deslocamento infinitesimal, obtemos o trabalho total entre
x
1 ex Fx
0 x1 x2
No limite a soma das áreas dos retângulos torna-se a área sob a curva
∆x
→
0
x
F
Δx)
(x
F
xW
Esta área é integral definida da função entre as posições e
F
x(x
)
x
1x
2∫
=
2 1 x x xdx
F
W
• Exemplo 1: Força constante (devemos recuperar a expressão obtida anteriormente) x Fx 0 x1 x2
W
F d = x2 - x1(
)
∫
∫
=
=
−
=
=
2 1 2 1 1 2 x x x x xdx
F
dx
F
x
x
Fd
F
W
• Exemplo2: Força para esticar uma mola (Lei de Hooke) x Fx 0 X
W
Robert Hooke 2 0 02
1
kX
kxdx
dx
F
W
X X x=
=
=
∫
∫
Constante de mola (unidades S.I.: N/m)
kX
Área do triângulo: 22
1
)
)(
(
2
1
kX
kX
X
W
=
=
Atenção: Este é o trabalho realizado sobre a mola pelo agente externo. Trabalho realizado pela mola é negativo!
6.2 – Energia cinética e teorema trabalho-energia
• O trabalho está relacionado a variações na velocidade de um corpo • Considere o trabalho de uma força resultante sobre um corpo em 1D:
∫
=
2 1 x x x totF
dx
W
=
∫
2 1 x x xdx
ma
• Note que:dx
dv
v
dt
dx
dx
dv
dt
dv
a
x=
x=
x=
x x • Assim:=
∫
2 1 x x x x totdx
dx
dv
mv
W
=
∫
2 1 v v x xdv
v
m
2 1 2 22
1
2
1
mv
mv
W
tot=
−
22
1
mv
K
=
Definindo a energia cinética:
K
K
K
W
tot=
2−
1=
∆
Exemplo: revisitando o problema de queda livre por uma altura
h
• Cálculo da velocidade final supondo que o objeto foi solto a partir do repouso: hv
m0
0=
v
Trabalho realizado pelo peso (força constante):g
m
mgh
W
=
Variação de energia cinética:
0
2
1
2−
=
−
=
∆
K
K
fK
imv
Teorema trabalho-energia:W
=
∆
K
22
1
mv
mgh
=
gh
v
=
2
Mesmo resultado obtido anteriormente, quando estudamos o problema de queda livre
Significado da energia cinética de uma partícula:
• trabalho total realizado para acelerá-la a partir do repouso até sua velocidade presente
• trabalho total que ela pode realizar no processo de ser conduzida até o repouso
Exemplo: Y&F 6.4
Vídeo “Physics Demonstrations in Mechanics” VI.3 e VI.4
Teorema trabalho-energia para o movimento ao longo de uma curva: Trajetória
F
F
F
F
F
F
F
• Vamos dividir a trajetória em pequenos segmentos infinitesimais
• Em cada segmento, o movimento é aproximadamente linear e a força é aproximadamente constante, de modo que a contribuição para o
trabalho total é:
l
d
l
d
F
dW
⋅
=
• Assim, o trabalho total é:
=
∫
⋅
2 1 P P
l
d
F
W
1P
2P
Integral de trajetória • Teorema trabalho-energia:W
F
d
l
K
P P∆
=
⋅
=
∫
2 1
l
d
Exemplo: Y&F 6.86.4 – Potência
• Taxa temporal de realização de trabalho • Potência média:
t
W
P
m∆
∆
=
• Potência instantânea:dt
dW
t
W
P
t∆
=
∆
=
→ ∆lim
0• Unidade S.I.: watt = joule/segundo (W=J/s) James Watt Atenção: quilowatt.hora (kW.h) é unidade de energia e não de potência (trabalho realizado durante 1h quando a potência vale 1 kW)
Podemos reescrever a expressão para a potência da seguinte maneira: • Potência instantânea:
dt
dW
P
=
l
d
F
dW
=
⋅
dt
l
d
F
P
⋅
=
v
(velocidade)v
F
P
=
⋅
Próximas aulas:
6a. Feira 16/09: Aula de Exercícios (sala A-327)
4a. Feira 21/09: Aula Magna (sala A-343) e teste do Cap. 6 6a. Feira 23/09: Aula de Exercícios (sala A-327)
