A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DO QUOCIENTE DE VARIÁVEIS ALGUMAS APLICAÇÕES CELSO CHIARINI

CELSO CHIARINI

Orientador: Prof. Dr. FREDERICO PIMENTEL GOMES

PIRACICABA

Tese apresentada à Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", da Universidade de São Paulo, para obtenção do título de Doutor em Agronomia. Área de concentração: Estatística e Experimentação

Agronômica.

Estado de São Paulo - Brasil Setembro, 1983

A meus Amigos e Professores dedico.

AGRADECIMENTOS

Ao Dr. Frederico Pimentel Gomes, Professor Cat� dritico do Departamento de Matemitica e Estat!stica da ESALQ, pelos valiosos ensinamentos e minuciosa orientação.

Ao Corpo Docente do Departamento de Matemitica e Estatistica da ESALQ, pelos ensinamentos e dedicação.

Aos colegas do curso de ��s-graduação, que, lo­ go, resultaram em amigos.

Aos funcionirios do Departamento de .. Ma·temit:i:ca e Estatistica da ESALQ, pela pronta e eficiente colaboração.

Aos colegas do Departamento de Estatistica da

Fundação Universidade de Brasilia e do Departamento ·de ''Méto­ dos Quantitativos da Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecui ria, pelo incentivo e apoio constantes.

Aos técnicos do Centro de Processamento de .. na­ des da Funda�ão Universidade de Brasilia.

Aos meus familiares, pela aceitação do sacrifi­ cio das horas de lazer.

:l'.NDICE Página RE

_s

UMO . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • V ' SUMMARY •••••••••••••••••••••••••••••• ·•••••••••••••• •.• • .vii 1. 2. 3. INTRODUÇÃO REVISÃO DE

. . . ... . .

·•

. ... . . .

LITERATURA ••.••••••••.•••••••••.••••••• 1 3 6 DESENVOLVIMENTO ••••••••••••••••••••••••••••••••••• 3. 1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3. 7.

Determinação da distribuição de probabili dades do quociente de variáveis aleat�

rias normais

... . . .

Propriedades que simplificam a obtenção e

6

apresentação de tabela • • • • • • • • • • • . •.• • • • • • • • • 14 3.2.1. _{Quanto ao coeficiente de}

correla-ção e

i

razão de desvios padrão •••.• 14 3.2.2. Quanto aos coeficienies de varia-'

ç ao .•...•... Teorema da mediana

Obtenção de tabela

do quociente ... .

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o o

Tabela e gráficos referentes

i

distribui­ a

ção de probabilidades de Q, para cr ₂ 1 ·= 1, p = O e alguns valores de cv1 e cv2 ••••••••• Exemplos de uso da tabela

. . .

Aplicação da distribuição de

probabilida-18 20 21

22 26

4. 5 • 3.8. des H o do quociente ml m2 = À, em no teste da .htpôtese amostras independentes ou n·ao . . . • . • . . . _ . . . .

Um importante caso particular.

. .

.

. . . .

.

.

.

. . .

CONCLUSÕES

. . .

.

. . .

.

. . .

.

. . .

BIBLIOGRAFIA

. . .

.

. . .

.

. . .

.

. . .

27 33 36 40

A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DO QUOCIENTE DE VARIÃVEIS ALEATÕRIAS NORMAIS: DETERl!INAÇÃO, PROPRIEDADES, TABELA E ALGUMAS APLICAÇÕES.

Autor: Celso Chiarini Orientador: Prof. Dr. Frederico Pimentel Gomes

RESUMO

O problema ide natureza teórica, no campo do

Câlculo de Probabilidades, roas motivado por importantes apli­ cações prâticas.

O desenvolvimento do trabalho considera o quoci

coàficiente de correlação entre x1 e X . Onde se mostra .conve₂

-niente, são utilizados os coeficientes de variação de x1 \e

não nuios.

Estuda-se o caso geral da distribuição de prob� bilidades do quociente de variáveis aleatórias normais, corre

lacionadas ou não. Determina-se sua função de densidade de

de probabilidade do quociente de variaveis

.

... .

aleat6rias absolu-·, tamente contínuas. Verificam-se propriedades que simplificam a obtenção e apresentação de tabela, concluindo-se que ; sufi ciente a obtenção de tabela para variãveis independentes, de variincias unitárias e coeficientes de variação (ou midias)p2 sitivos. Dem-0nstra-se que, se a me�iana (ou midia) de x2

não nula, a mediana do quociente de variiveis aleat6rias nor-mais independentes i o quociente das medianas. Apresentam--:se tabela e grificos julgados de interesse. Aplicase.a distri -buiçio de probabilidades do quocient� de variãveis aleat6rias

normais no teste da hip6tese H o ml = À, em amostras indepe�_m2

dentes ou não.Apresentam-se exemplos de aplicação, fazendo-se

THE PROBAB-ILITY DISTRIB1JTION OF THE QUOTIENT OF NORMAL .RANDOM · VARIAB-LES: CHARACTERIZATION, PROPERTIES, TABLE AND

APPLICATIONSº

SOME

Author: Celso Chiarini Adviser: Prof. Dr. Frederico Pimentel Gomes

SUMMARY

The problem is theoretical in nature and belongs to the field of probability theory. It is motivated by impor­ tant practical· applications.

Xl

This work considers the quotientQ: _X' where

2

x1 � N(m1, cr1) an�·x2 � N(m2, cr2). The correlation coefficiint between x1 and x2 is p. It is used, where convenient,

ª1 coefficients of variation of x1 and x2, cv1 = m_l

the and

It is studied the general case of the distribu­ tion of the quotient of normal random variables, correlated or not. Its probabiiity density function is obtaineà direc -tly from the general expression of the probability -�.density function of the quotient of absolutely continous , -.random

generating a probability table. It is concluded that it is enough to generate one table for.normal independent random variables with unit variances and positive coefficients of variation (or means). It is proved, assuming the median (or mean) of x2 non null, that the median of the qubtient of :nor­ mal independent random variables is the .quotient of the me-dians. The work presents table and graphs of the probability distribution. Results are applied to test the hypothesis

H

o rol m = À, in the cdntext of samples independent or not.

2

Applications are presented and analjzed in the light of the proposed methodology.

L INTRÔDUÇÃO

Em muitos estudos, te6ricos ou aplicados, depa­ ra-se com problemas de quocient� de variãveis aleat6rias. e, principalmente, de variãveis aleat�rias normais. Salientem-s�

. -

.

- .

.

.

por exemplo, as variaveis aleatorias que surgem-em :.pesqu:tsas de dose econ�mica de adubação, em experimentos de consorcia -ção de culturas, em estudos de redu-ção relativa de uma .carac­ terística e em outros problemas em que hã interesse na

variã-�el aleat6ria - � , estimador do ponto de ordenada nula na re

s

g r e s s ão 1 i n e ar E {Y i ) = a + _{B Xi .}

O problema ide natureza te6rica, no campo do

Cálculo de Probabilidades, mas motivado por importantes apli­ cações práticas.

Os estudos anteriores sobre o assunto foram in­

completos por não apresentarem a generalidade necessãria ou

por não conduzirem a conclusões a ponto de se poder entregar â metodologia estatística um instrumental de aplicação imedia ta.

te trabalho, o qual ê desenvolvido de maneira clãssica com en fase nas generalizações, culminando com a apresentaçio de al­ gumas aplicações.

2. REVISÃO.DE LITERATURA

O que tem sido feito ati o momento não resolve o problema da análise de experimentos em que se tem quocien­ te de var�ãveis aleat6rias, em particular, normais.

Nio

i

raro, entre usuários da metodologia esta­

tística, considerar-se que a distribuição do quociente de va­ riáveis aleat6rias normais ê, nos casos mais favoráveis, apr� ximadamente normal.

A re�peito, o primeir-0 estudo efetivo

i

devido

a MERRILL (1928), que aborda casos particulares.

GEARY (1930), para o caso particular em que a

variável no denominador apresenta baixo coeficiente de varia ção, afirmou que a variável aleat6ria

m2Q - ml

G =.

---(a;Q2 _{- 2pa}

la2Q + a�)l/2

Note-se que G e função de cinco parimetros: m1,

m_{2, cr1, cr2 e p. � ficil verificar que,com m1 e m2 não nulos,}

pode-se escrever G =

a

_{1 cv}

₂

Q - - -­

ª2

cvl

de sorte que, agora, G e função, _{apenas, de p, 0,} ª1

cv

_{1 e}

cv

_2•

2 ~

FIELLER (1932) determinou uma expressao da

fun-~

çao de densidade de probabilidade do quociente de variiveis

aleatôrias normais· e ac�escentou que esta função �ão se alte-mesma ra quando m 1, m2, a1 e cr2 são multiplicados .. por uma

constante. Esta ê uma própriedade importante da fQ(q), a qual pode ser·mais bem utilizada ao se provar que fQ(q) pode ser

ª1 ml

escrita como função de P, -_{0 ,}

2 o 1 e

a2 e p. Ele propôs uma--aproximação para a fQ(q), no caso de

cv

₂ ser pequeno. Na verdade, -verifica-se que a aproximação

satisfatôria também para valores relativamente altos de

cv

₂•

e

Ate para

cv

₂ = 0,2�, funcionou a contento.

FINNEY (1964), D'AULISIO e� alli (1976) escrev�

raro "Método de Fieller" quando se referiram ã transformação

proposta por GEARY (1930), citada por FIELLER (1932).

MARSAGLIA (1965) citou aplicação importante em

Medicina, onde

hâ

interesse na determinação do intervalo de

regressao linear E(Y.) = a + $X .. Estudou a variável _{l. l.} aleatõ-ria W = a+X_b+Y' onde -a e b sao constantes nao negativas e X e Y ~ sao variáveis _aleatórias independentes normais ,reduzidas. Pro p�s aproximaçio para o caso em que b+Y > O. Apresentou grãfi cos·para determinados valores de a e b. Embora o autor tenha afirmado que os valores de a e b condtiziriam is ilustrações das formas possrveis da funçio de densidade de probabilidade da variável quociente, os casos cobertos sio· tais que corres­ pondem a cv1 � 0,5 e cv2 � 1, todos eles de nenhum interesse em aplicações práticas.

D1_{AULISIO e� alii (1976) comparou intervalos de}

confiança obtidos utilizando-se o mitodo,de Geary com result� dos dé simulaçio,cancluindo pela inconveniiricia,da aplicaçio desse mitodo. Deve-se salientar que, por um lado, foram utili zados valores dos parâmetros que correspon:d·em· a �.cv2 > 0,25, nio tio pequenos a ponto de se recomendar o mitodo de Geary e, por outro lado,

i

fã�il verificar-se, o intervalp de confi ança 1-a, para o quociente, _será limitado se e somente se 1 e, como foi tomado z=2 ter-se-ia intervalo de

confiança limitado apenas para

jcv

₂ 1 < 0,5. Este fato explica

a patologia dos resultados obtidos, que sãoJ aliás, comuns nas

3. DESENVOLVIMENTO

3. 1. _{Determinação da distribuição de probabilidades do} quociente de variáveis aleatórias normais.

Considerem--se as variáveis aleatórias norm ais

x

₁ e

x

_{2, de medias m1 e m 2, variin�ias positivas}

crf

e

a;

-:e coeficiente de correlação p entre

x

_{1 e x2•}

A função de densidade .de probabilidade conjunta da variável aleatÕria binormal (x1, x2) ê

. 1 [xl-( ml)2-2p xl-ml x2· -m2 x2-m2 �-- +(--)2

2 (l-p2_{) ª1 . ª1 ª2 ª2 ,}

com l-p2 _>

o,

-

₀₀

< xl < 00, -00 <

Xz

< 00

A função de densidade de probabilidade da variã vel aleatória Q -- Xl pode ser obtida pelo emprego de

1 f (q_Q )= -.-27fa 1 =--2na com P(x2)

[

Escrevendo-se cr1cr_{2 /1- p}2 =a> O, tem-se

J

00 -_2:2r�(qx2-m1) 2_-2pcr 1cr2(qx2-�₎(x2-m2)+cr�(x2-m2)� l½le . d½ -oô 1

J

00 _-- P(x ₎ 2 2 2 lx2le a -oo = _{b +} o b = _o blx₂ · 2 2 mlcr2 + b2 x2,2 + _m22 1cr2 sendo 2mlm2crlcr_2p = _{Va r (m1X2 - m2Xl) >}

o

bl = _{2 [}cr2(m2cr1p - mlcr2) q + cr 1 (m1 cr _2p

Completando-se quadrados , obtêm-se

b b2

-

_m2cr ₁

>]

P(x2) = b2 (x2, + -) 1 2 + b 1 e, assim, 2b2 o 4b2 - 2�2 (bo b 2 b2 1 4bz) { O'.) , + 1 '2

Ll�2l

-2a2\

x2 2b2J fQ(q) = e e dx2. 21T a

e = ₃ e tem-se X = ₂ I =

f3

-oo c3 ue 1 --(b 2a2 o 27T a

,

Escrevendo-se = e _1. I. Pondo-se x_{2 + c3} = u, tem-se

e

-e u2 2 = du Então, e -e u 2 2 _{du +} Joo c3 -e u2

r

_{-e u}2 2 2 e du -,..00 ue Note-se que 1

e

du = (-2c₂₎ -2c 2 -e u₂ 2 du e du +

r

c3 -e u2 2 ue du -e u2 [ -e u2 2 2 ue _{du-c3 e} du c3

r

-c2u_' ue C3 -e u₂ 2 e logo:

r

-e u2 2 e c3 I = c3

v-!;

1 = - - _lim a -+ -oo 1 = 2c₂ du = 1 _e 2c₂ 2 -c₂c3 e -_c 2 2c₃ e Fazendo-se ✓2c2 u = _{z, tem-se} du = 1 _dz Assim, du = 1 2 dz =�[1 (c_{3 ✓2}c_{2) J} du - </J c₂ -Então, 2 2 0(c3✓2c₂₎ 1 -c₂c3 _{1 . -}c₂c3 + 2c₂ e + -- e 2c2 - c3�E-�(c3��

=

Fazendo-se c3 ✓2c2 = c4, obtém-se

-n}

Note-se que, como

b b2 1 --- + 2a2 _8a2_b cl 2 _2a 2 e = c2 2na _b2 b b2 1 --- + 2a2 2 a -8a b2 =

--

e nb2 ✓2c2 bl � ✓b2 C4 = C3 =

v"l.

2b2 alz bl 2a�

'

tem-se fQ(q) = = e a bl b o

---2a2 b

--º-

+ 2a2 7Tb 2 • 2a/b₂ e Então, b _o 2a2 a =-- e + nb2 b a 2a2 =--nb2 e b o a 2a2 = _e nb2 /z:rr . _{'Tf ·-}a 1Tb2 1 + 12n e b b12

--º-bl 2a2 3a2 b

[

r,l( bl

)-_!.]

e e 2a� 2a� 2 b2 8a2_b bl

[ b

-

�]

.2 0 ( 1 ) e 2a✓b2 2a/b2

Tendo em vista que, quando c4 < O, 1 0(c4) - < O, podendo-se escrever tem-se 2 b fQ(q) = e 2a2

que, obviamente, depende dos parâmetros m1, m2, a1, cr_{2, e} P

e, o que é mais grave, tem embutida

J

o

lc4le_ z/ dz, sendo

c4 função desses parâmetros e de q.

Deve-se, entao, diminuir o efeito desses incon venientes. Para tal, note-se que

b _o m2cr2 _{1 2} + m_{2 1} 2cr2 - _2mlm₂cr_lcr₂ p = 2a2 _{2cr2 cr2 (1 - p}2) 1 2 m m _{ml m2} (__!_) 2 _{+ (�) 2 - 2p-} --cr 1 cr ₂ ª₁ ª₂ = 2(1-p2)

,

a ₌ ª1ª2 ✓1-pZ nb2 1r(cr;q2 - 2pcr₁cr_{2q +} cr2_1·) cr ₁

✓

1-p2 cr ₂ n[q4 -·2p cr 1 _q+(ª1>2_] cr 2 º2 1 =

,

º1 q-p-cr ₁

✓

1-p2 cr 2 1T - 1+ cr ₂ º1

_✓

_1-p2 º2

bilidade de uma variivel aleatSria de Cauchy, de parâmetro de ª1 posição p e de escala ª2 e

=

= 2a✓b2 2[a2(m2ª1P -mlcr2)q+_{al(mlcr2p -m2crl)}

J

2a1a2 �Vcr�q2 -2pa1a2q+crf

Pode-se, então, afirmar que a fQ (q) . dep�nde ,, dos -parâmetros ª1 ml m2 embora

apenas, _P,

- -

e

'

o que, nao P!!_

ª2

ª1 º2

reça, representa um·substancial progresso, tanto . concei tual como pritico •. Saliente-se qu� se pode prescindir do cbnhecimen to dos valores dos parâmetros m1, m2, cr1 e ª2•

tao

Deve-se ressaltar que se m1 = O e m2 = O, en­

, que e a função de densidade de probabilida-de probabilida-de uma variãvel aleatória probabilida-de Cauchy.

Se as medias m. em� .são não nulas, _{l L. .} º1 utilizar os coeficientes de variação (cv1 = e

ml escrevendo-se pode-se ª2 CV = ₎ 2

m ,

₂

onde: hl hl(q, h2 h2(P, 1 +

./2i

- ! ]

,

º1 1 p, -)=

ª2

_º1 2

a

q-p

-,

l

y

2' _l+ ª2 TI - 1-p º1 º2 CV l' CV2) = _e

-�

_ª2

cvf+cv�-2pCVICV2 2(i-p2_)cvtcv; e . _{a .} (CV1p-CV2):q+;1(cv2p-CV1)₂

3.2. Propriedades que simplificam a obtenção e apresenta ~

çao de t·ab·e1a.

3.2.1. Quanto ao coeficiente de correlàção e ã ra­ zão de desvios padrão.

º1

Represente-se por Q(p,

cr'

_{CV1, CV2) a vari�vel} 2

Xl aleatória Q =

x'

mais de medias não nulas m1 e m2 e variâncias positivas

crf

e o�, respectivamente, e p e o coeficiente de correlação ·entre

Desejam-se determinar a e�, tais que

X = TY ou Considere-se a transformação = Assim, y 1 + + yl

=a+ b _{, ponha-se t21} = _{O e suponha-se t22}

I

_O.

y2 Tem-se, agora, Então, a = _ou

.

_{Íh ã7}

t12 = _{a t22, resultando T} = t22

l.9

ij .

e

Por outro lado, como

V(X) = V(TY) = TV{Y)T' , onde V(Y) = Icr2 , tem-se

pcr _ 1 ª2 ] = cr2t222 cr2₂ resultando o sistema cr2t222 cuja solução é , a =

ª

2 2 e

,

b ==

Pode-se, agora, escrever

a

_{1� ª1} - 1-p p-· . cr . _{2 ª2} T == -·-cr 2 1 cr

o

1 cuja inversa é ª2 -pcr 1 -1 cr T ª1ª;V1-p2·

o

õ ₁ v'1-p21

,

ª1�

o

pcrl

,

cr 2

Entao, y = T-1 X= cr º₁º_2� cr = Assim,

o

- pcr_l º_1� cr �x2 ₁ m' _{1 = E (Y 1)} -º1º2� CV' ₁ = cr = m' ₁ = = equivalentemente, Se mi=/: O ou, 0

º

v'1-p2• 1.2 1 cv1 - p--

cv

2 cv1cv2� _e

'

CV' 2 Q(p, ou, Q(p,

a

ª2

. t m2 m2 = _cv2

Pode-se, finalmente, escrever: ª1 cvl,CV₂₎ = p-ª1

ª2 ,

ª2 equivalentemente, ª1 cv_l,CV₂₎

-

p-ª1

ª2 ,

ª2 ª1 /1-p2'

ª2

ª1 /1-p2" Q (0,1,

+

-ª2 o cv1cv2 Q (0,1, _o cv2

-cv1cv2/1-p2' ·) CV ₂ -/1-p2" pCV₁ pCV₁ CV 2). cv2

Pode-se, entao concluir que; se p / , e suficiente a obtenção de tabela,. para o caso em que as varii -veis

x

_{1 e}

x

_{2 sejam independentes e de variincias iguais}

simplesmente, unitárias.

3.2.2. Quanto aos coeficientes de variação

·:.ou,

Deseja-se abranger no estudo, também, os casos em que cv1 e cv2 (ou m1 e m2, não nulos) possam ser negativos, o que pode ocorrer em aplicaç;es priticas.

Considerem-se, por questão de clareza, os ·.qua­ tro casos seguintes:

a. _{CV l >}

o

e

cv

₂ >

o

,

b.

cv

₁

<

o

e

cv

2 <

o

,

c.

cv

₁ >

o

e

cv

_{2 <} O e

d.

cv

_{1 <}

o

e

cv

₂ >

o

.

Pretende-se demonstiar que i srificiente a obten çao de tabela apenas para o caso a�

Q = =

-x

1

Suponha-se estar diante do caso b. , podendo-se escrever, -sinteticamente,

cv

1,.

cv

2)

sitivos (caso a).

.' Assim,

....

Estando-se diante do caso e ou d, pode-se por:

Q = = = - _{-y-., devendo ter em conta que, ao se tomar}-Xl

2 -X ou ₁

-x

₂, ter-se-i p

_-x

1

,x

2 Assim, ª1 = - Q

c.-p,

o'

2 voltando-se ao caso a.

Conclui-se, pois, que, sem qualquer perda de g� neralidade, ê suficiente estudar-se, apenas, o caso em que os coeficientes de variação (ou as medias) sejam positivos.

3.3. Teorema da mediana do quociente

Se

x

_{1 e}

x

₂

dependentes de medias (e m2 ,f: O, então a mediana

são variãveis aleatórias normais in-e m2, rin-espin-ectivamin-entin-e in-e Demonstração:

ml

Considere-se a variivel aleat5ria Z=X - - x2 •_{1 m2}

Como combinação linear de variiveis aleat5rias normais independentes, Z tem distribuição normal de media (e mediana)

E(Z) = _{E (X1)} ml E(_X2)

m2

= _{ml m}

-

ml =

_o

2 m2

Pode-se, assim, escrever P(Z < O) = _P(Z > O) = 1

2

P(X1 ml x2 < O) = _P(X1 ml _x2 > O) = 1

A importância desse teorema reside no fato· de ele indicar um ponto de referência a partir do qual se devem

ml

acumular áreas ã esquerda e ã direita de q = _m2 e se ter um

seguro critirio de parada no processo de integração numirica em que não se tem intervalo de integração limitado.

ml

Por outro lado, como _m2 -- (-1) cr

_ª

-- , continua -

cv2

2

cvl

se, no processo de obtenção de tabelas, com o mesmo conjunto conveniente de parâmetros.

3.4. Obtenção d� tabela

A expressão da função de densidade de probabil! dade do quociente de variáveis aleatórias normais apresenta , como jã foi analisado, o inconveniente fator:

e

z2

0(h3)

-

1₂ = 1 e � dz,

121T

sendo h3 função de q dos parâmetrose p ª1 , CV l

_ª

cv

_2•

2

Sabe-se, contudo, que a aproximação polinomial - 1 2 e = _0,2316419 1

fiir

h2 ₃ --2- _{, onde} bl = 0,319381530

= _-0,356563782 b4 = _-1,821255978 = = l,781477937 1,330274429

apresenta erro no sétimo algarismo significativo (PACITTI, 1968).

Utilizando-se essa aproximação, determinaram se, sucessivamente, de cada lado da mediana, intervalos que delimitam ireas de 0,001, aproximadamente, ati que restasse , em cada cauda, irea não superior a 0,005.

p ª1

ª2

ta-m = =

Apresentam-se, adiante, tabela -e grifices para:

o

(ê suficiente, conforme propriedade 3.2.1);

1 (ê suficiente, conforme propriedade 3.2.l)e alguns Va"'"'.

lares de cv1 e cv2, acrescentando-se que, no caso, resul

hl h2 h3 = 1 7T (l+q 2) e cv2_+cv2 1 2 2cv2_cv2 1 2 1 /1+q 2_"

l

c

!

₁ + 1 cv2

3.5. Tabela e grificos referentes à distribuição de proba ª1

bilidades de Q, para = 1, p = _{O e alguns .valores}

de cv1 e cv2•

--

TABELA ffESU�O OE srp,�ATRIZES DE Q, PARA a1/â2 . 1,0 , p. O,O E ALGUNS VlLO�E$ DE CV1 E CV 2 1 P•RAt,1[l'ROS ÕRDEM DA SEPARAT1UZ cv1 CV2 01005, 01010 11.0 25 010'50 01 100 0•250 o.500 oi rso 01900 01950 /1197� Q-99 0 01995 o.o'.i o.os O, e 32

º·ª"ª

n, &70 0,890 01913 01953 1,000 11049 1,095 ltl24 l 1149 1, 180 l , 201 o.o, o.ao 1,529 1156 7 1,6 26 1,6 19 1,711) 1,858 Z,OOil 2,161 213211 2143] 2,5)11 216 61 2,754 O,O!I O, 15 2,101 2,16 7 2.2 71 2,3116 2,11 85 2,708 .t,00 0 3ol511 l1 7115 <1 ,023 11,29 7 111664 11,9119 0,05 0,20 2,'17 2,672 2, 825 2, 969 3,152 J.508 4.óoo 11,640 5,1110 11,002 6,627 r,537 llol05 0,05 0,2:i 2,978 l1t0 4 ),307 3,s:n l,7 55 4•2 62

'•ººº

60031 7,389 do533 9,852 12 ,001 1110071 OolO 0,05 O, l6l o. J76 11. 395 0,411 0,1110 Oo116l Oo500 o, !Hl! Oo51 4 0,5\lfl 0,61!1 C),638 016!h o, to O, 10 0,688 o. 714 n.7 '54 o, 790 OoaU o,909 1,000 1,100 1,200 1,205 1,325 111100 1,454 OolO o,u 0, 964 1,00 5 1,07 0 l, 128 1120 0 l, 332

'º'ºº

1,700 l • 'il 5 2o0ó6 2,214 2• 1111 20502 o.\Q 0,20 1 .197 1,254 , .:su li 421 115 31 1,730 Z,000 2,3411 21750 3105 9 3,lBJ . 3, es 1 412114 0,10 0,2:i 1, 395 1 • 467 t15 B3 l o6'12 1153 1 2• 107 2,500 J10'IO .1, 74 l 11,326 111 1197 '6•086 1 • 12 9 o." 0,05 0,202 0.21 4 n12 n 0,211 9 0126 7 0,299 0,33J o, 369 0,11oz o,•23 0,440 0, 1161 111476 o • ., O, 10 0,39 0 Óolll5 n1 •52 01454 0152 2 0•5811 0,667 01751 01834 0•886

,,.us

Qo995 11038 O,t5 0,15 o,,511 O, 594 11,60 01699 017'59 Q,866 1.000 l1155 l,ll8 1 ,UI 1,540 1,683 1,792 o 11 '5 0,20 Oo70A 0,75 1 11,8 25 Ó,892 01 975 l, 130 1033 3 l1586 1,879 2,0911 2132 6 2,652 2, 924 O, l ':i 0,25 O, 8 30 0,1589 n.9 80 11066 1ol7 J 11379 l1667 21052 2,542 2• 946 3,1106 4, 111 7 lh8 5J 0,20 o.o, 0,120 0,1 33 li, l '51 01167 Oot85 Oo2l6 o, 2so 0128 5 01 li 7 O• 337 0,354 01 l74 01388 0,20 0110 01 215 Oo260 11, 296 0.327 O, 364 01427 0,500 0•5711 0,653 0,101 0,704 0179 8 01835 0,20 0,1 5 01lllZ O.J71 n,430 O,H7 01' 32 0,61 0 0,750 0,885 l•025 1,121 1,212 1, 331 11 421 0120 0,20 O, 1118 0148] 11,552 016U 01689 0•12 5 1,000 lt2U 101152 11629 111111 2,0 69 2128 3 0,20 0.2, 0,'52 3 0,578 11, 662 o, 719 0,al.J 1,010 1,2 50 1,563 1,953 2,210 2,627 3.198 31739 0,2'!1 o.os 0,011 0,081 n,tOl 011l 7 O�tl5 o,166 0,200· 0,235 01266 0,286 1)1302 1)0 322 01336 0125 O, 10 01 140 0,16 4 11_, 200 0,2)1 01267 01329 0,1100 0,475 0154 6 0159l 01632 Q1ó82 01117 0,25 O, 15 01 206 0,Ut 0,294 o. 339 0139 3 0,11157 0,600 0,12 , O, 115 3 o, 938 l 1020 l .125 11204 0,2'5 0,20 o,267 Oo 313 n.3111 0.,441 01512 0,6 40 0,800 01990 l,ZOO 1,354 1,510 11729 1,909 012'i 0125 O, 32 3 O, 378 n, .61 0,5311 0162J o, 786 1,00 0 l 1 27 J 1,606 i ,87J 21171 2,64l 310117

Grãficos das funções de densidade de probabilidade de Q, para - = 1, p=O,

_º2

100CV1 = 10,15,20 e 100CV2 = 10,15,20. fQ(q) 4 ,-.... o r-1

..

o ,... N o .._, r-1

..

Lf'\ ,--1 .._, ,,..., _o r-1 3 _o

..

,--1 .._, ,-.. 1.1"1 r-1

..

o ,... N 1.1"1 .._, r-1 2 1

o

3 q

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 "O, 4 0,3 0,2 0,1

o

p=0, l00cv1 = 10,15,20 e 100CV2 = 10,15,20. o N

/J)))J

1 ₂ 3 q

3.6. Exemplos de uso da tabela.

Apresentam-se, a seguir, alguns exemplos de uso da tabela da distribuição do quociente de variáveis aleato rias normais, que ilustram, também, a utilização -das proprie­ dades estudadas no item 3.2.

EXEMPLO 1: _{Sejam x1 � N(40;10) e x2 � N(50;10) independen­} x

tes e _{Q = X' observando-se que o par se refere}1 2

aos parimetros média e desvio padrã�.

Assim, p = 0,20 e

tem-se, por exemplo, que a) b) c) X P

c--1:.

_{X -}< q > =

o , o

1 <=> -4 =

o ,

₃₁₃ 2 Xl P(_x"° > q) = 0,5 <=> q - 0,8 (mediana) 2 P(0,381 _{< X � 1,510) = 0,95}Xl 2 EXEMPLO 2: _{Sejam xl � N(l6,4), x2 � N(20,l), p} = 0,8 Xl Q =

x .

2 e

No caso presente, nao se pode utilizar direta -mente a tabela, devendo-se aplicar a propriedade 3.2.1, tendo se

a · a _{cv cv2�} = p_!_ + l / 1 -p 21 _{Q ( O • 1 • l} ; CV _{2 )} ª2 ª2 o , , cv_{2 - pCVl} Ou, como p = 0,8, cr1 = 4, cr2 = 1,

cv

₁ = _0,25 e

cv

₂ = 0,05. Q(0,8; 4; 0,25; 0,05) = 3,2 + 2,4 Q _o (O; 1; -0,05; 0,05).

Notando-se que CVi < O, aplica-se a propriedade

3.2.2, resultando

Q(0,8; 4; 0,25; 0,05) = 3,2 - 2,4 Q _o (O; 1; 0,05; 0,05) e tem-se, por exemplo, que

X a) _P(X1 < q) = 0,01 <=> q = 1,1648, pois . 2 b) P(Q _{o -}< q) = _o O 01<=>_, q _o = O 848 e_, q = _{3,2· - 2,4 X 0,848} = 1,1648. X P(_! > _x q) = 0,5 <=> q = 0,8 (mediana). 2

3.7. Aplicação da distribuição de probabilidades do quoc2:_

e m₂ nao

ente no teste da hip5tese H o ~

independentes ou nao.

ml _{= À, em '.amos tr.as}

m2

---nulos, e Px X _{1' 2} = p o coeficiente de correlação

en-tre

x

distribuições marginais de x1 e x_{2, p elementos sejam· parea­}

dos, sendo, e Óbvio, p S nin (n1, n2).

a

X'>_{,._} ml m2 = = = v?:º1

_a

_, 1 2

a

CV X_l

Assim, tem distribuição Q, de

x₂

(a ser determinado em -função

Ali6:disso, pode-se escrever

X_l x₂ q _. CV x₂ X_l

{l;

º1

cv

2 �

ª2

cv

1 . 1 2 º1

cv

2

ª2

cv

1 .p.arâmetros de

Deve-se, agora, determinar p em função de

x1,x

2

Sejam (X,Y) uma variivel aleatória binormal e

Px,Y = p o coeficiente de correlação entre X e Y.

Considerem-se as amostras aleatórias

(X_1,x_2,···,x _{p p+} ,X _{1, •.• ,}x ) e (Y_1,Y_2,···,Y ,Y _{+1,···,Y ) das}

populações marginais de X e y e

1 nl 1 n2

=

I

X. e y ₌

I

y .•

n_{l i=l} l. n_{2 j=l} J

Sem qualquer perda de generalidade, suponha-se

que E(X) = E(Y) = O. Tem-se que p = COV(X,Y) = E(X Y) X,Y cr cr

ªx

_cry X y

--✓n_{l /n2} ✓n_l n 2 E(X Y). = cr _{X cry} Note-se que [ 1 n_l (_.!._ n₂ yj)] E (X Y) ·= E (_n l i=l

I

X.) l.

I

j=l n₂ n_l n 1 .. 2 =

--

I I

E(X. y.) nln_{2 i=l j=l} l. _J 1 nl n2 =

I I

_COV(X1,Yj) n_ln_{2 i=l j=l} = 1 _{COV(X,Y), pois} nln₂ p COV (X. , Y . ) = J _l. J 1 COV(X,Y), se Xi e Yj

o

~ sao pareados , em caso contrario. (p pares),

P_ X,Y p_'­ X, Y = P� = p Q ( p /nln2 e, como sob Xl _{1\, Q(} p x2 ✓nln2 H Assim, 1 _{p COV(X,Y)} COV(X,Y) ªx ·cry Então, p.

Se, em particular, p = O, ter-se-â p = O e se

P_ = p. Tais resultados seriam de se esperar.

X,Y

Pode-se, agora, escrever cr P, o Xl_{· , CV} cr x2 xl

Yt:

1 m - - 1_{- =} m2 ª1

-ª2 ,

À, , CV ) X2

cv

₁

--� tem-se P,À

� cv

_{"V ,} 1 CV l

,

· n1 "' 2 ✓nl

cv

₂ -) ✓n2 cr 1 _À

ª2

cv

₂ -) ln2

cv

₁ resultara CV2

,

X_l ·P � a = _p = _p (J Xl,X₂ /nln2 nl x2 ppÀ cv1 cv2 nl

.

'

Xl

vi

b = _{V 1-p:.. - À} (J 1 x_1,x₂ x2 CV' = ₁ = CV' = ₂ - a b cvlcv2 Yn1n2-p2_p2 ' /n2. (n1 CV 2-ppCV l)

'

Assim, como = se 1\., O (O• 1· _{. o . , ,} cv_l, ·, CV!,), ,,_ cv1 cv2 cv1 cv2 -J1 p2 p2 nln₂

Como ilustração, considere-se um experimento em que se capturam animais (n1), ano�am-se as observaç�es quanto a uma variável biométrica de interesse (X1), marcam-se os ani mais, que são devolvidos ao seu habitat. Ap5s certo intervalo de tempo, outra vez, c•çam-se animais (n₂) e regi�tram-se as novas medidas (X₂) daquela variável, tendo-se em vista ;que alguns animais

menta ê testar

(p) H

foram recapturados. O objetivo do experi ·­ m

. 1 - À

o

.

_m2

- .

Para efeito de aplicação .numêri ca, considere-se que, por meio de experimenios anteriores, pode-se ter informa çoes a respeito de p, cv1 e cv2 e sejam, por exemplo,

p=0_{,9, cv1 =} 0,20, _{cv2 =} 0,20, desejando-se testar H _o

a = 2.0,9.0,5

20

Tem-se, pois, que 0,20 _{= 0,045} 0,20 e b = 0,5 20

o,

20 _{120.16-4.0,81 = 0,445 •} 0,20 Assim, Xl _{- 0,045} 0,445 n₂ = 16 e p = 2,

onde, CV'1 CV' 2

=

0,20. 0,20 ✓20.16-4.0,81 = 4(20.0,20 - 2.0,9.0,20) .... 0,0489 0,05 e = 0,20 = 0,05.

Então, o limite da região crítica para Xl

'

ao nível de significincia 5%,

i

esquerda,

·e

_LE

=

0,045 + 0,445_x 0,89 = 0,441 e, ; direita, i

LD = 0,045

+

0,445 x 1,124 = 0,545.

O critério de decisão pode ser enunciado, por exemplo, para o teste unilateral

i

esquerda:

e se

H :_o = À, em favor de

Xl _{> L , nao se pode rejeitar} ....

E H •o

3.8. - Utn imp-ortante -caso particular

Não são raras as aplicações práticas �ro que P = _{O, n1} = n_{2 = n, cv1} = CV₂ = CV, desconhecido.

Nestas condiç�es, resultam a = O, b = À, CV' = CV' = _{1 2} CV ln e .- a b riulidade H o

, cv).

ln

Suponha-se que se deseja testar a hipótese de

ml ₌ ml .

À, contra a hipótese alt.ernativa H1: ,....,..., <À.

m2 m2

Adicionalmente, considere-se que o pesquisador, diante do problema, possa iridicar um valor�, tal que seja inadmissível que CV > e.

Executado o experimento, deve-se rejeitar _{H o'} ao nível de significincia a = 0,05, se,:- < q .. , tendo em conta

_Àx

xl

2

� seguinte correspondincia entre c e �, com base na tabela;

c q 0,05 ln 0,890 0,10 ln 0,790 0,15

rn

0,699 0,20

ln

0,614 0,25 ln 0,534

Esse critério de decisão, não usual entre os es tatísticos, se justifica ã medida em que o pesquisador tenha

acumulado experiência em seu campo, nao a ponto de indicar o valor do parâmetro CV, mas estabelecer (a priori) um extremo

(no caso superior) para o parâmetro, como se ele .estivesse

4. CONCLUSÕES

4. 1. _{Se Xl � N(ml' crl), X2 � N(m2' crz), Pxl,X2 = p} e

Xl

Q = X' entao a função de densidade.da probabilidade₂

onde C4 = de Q pode m (_!_) 2 +

ª1

e m2 ml (- p·;..;.-) ª2 ª1 q +

ser expressa por m2 ml m2 (-)2 _2p -ª2 °1 °2 2 (l-p2₎ l+ q-P � _] 2

:�P

º1 ml m2 º2 (- p - -) (J ª2 1 Çyq2 - 2p-ª1 q + _{(_!_)}2 ª2 ª2 1 ✓21T z2 2 _dz. Os parimetros da fQ(q) e sao, .apenas., --P, m2

e - , podendo-se prescindir do conhecimento dos valores de ª2

4.2. No caso particular eo que m1

=

m2

=

O, tem-se 1 _{, expressão identificada} a _{1 .. �} TI- Vl-p2 _{1 +} ª2 q - p

ªzcomo a da funçio de densidade de probabilidade de uma varii -º1

de Cauchy, de parimetro �e posição p e de es

ª2

vel aleatõria º1-�

cala 02 Vl-p2 •

4.3. Se as medias m1 e m2 sao não nulas, ·então a '·função de densidade de probabilidade de Q pod� ser expressa por 2 _{2 2} cvl+CV2� pCV1CV2 2(1-p2)cvf cv� fQ (q) =

-ª---­

_{º 1 2} onde q -p-cr 2 . ·-/ · - d· a " · _{.. � 2 · l 1 2} CV CV yl-p- q -2p-q+(-) _{1 2} º2 ª2

4.4. sao nao _{nulos e p :J,}

cv2

_{CV ,}

1 entao

�, pois, suficiente a obtenção·de tabela para,

ª1

apenas, p = O,

cr

= 1. Quanto aos coeficientes. de .-v.ariação,

2

tem-se concluído, também, que e suficiente operar-se com, ap� nas, coeficientes de variação positivos.

4.5.

4. 6.

Se

x

_{1 e}

x

_{2 são variáveis aleatórias normais indepen­}

dentes de medias (medianas) m1 e m2, sendo m2 f O, xl - ml

então a mediana de _x2 e _mz

nao nulos, p < min (n1, n2) ê o número de observações p�

º1

cv

2 readas e se p = p _:J, t Xl _{'\, Q( E} x2 ✓nln2 sob H e, _o Xl, X2 p CV 1 ' en ao � ª1 P,

o

1 2 ml _{À '} m2

cv

1

_'

_-)

cv

2 � ✓n2

onde CV' ₁ = a H o Xl x2 À nl ppÀ cv1 nl cv2 cv1

y

.

--. n

n -p2_p2 CV ₂ 1 2 e CV' ₂ =

Pode-se, assim, obter regiio crftica associada

= À.

Se em ,particular, À = 1 e p = O (ou p = O), o teste do quociente, aqui proposto, mostra-se como uma alterna tiva para testar H₀ : m1 = m2•

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