Notas de aula. Idemauro Antonio Rodrigues de Lara

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Notas de aula

Probabilidade: fundamentos

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Justificativas

• Base teórica para a inferência

estatística.

• Mensuração da “possibilidade”

de ocorrência de fenômenos

ou experimentos aleatórios.

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Exemplo

Selecionar uma amostra de 500 indivíduos de uma população urbana e estimar

a idade média. População urbana

Parâmetro

A média amostral depende da escolha da amostra, portanto tem padrão aleatório (variável

aleatória) Parâmetro

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Outros Exemplos:

• Estimar a probabilidade de chuva em um determinado dia ( previsão).

• Calcular a probabilidade de que uma árvore de uma dada espécie, selecionada árvore de uma dada espécie, selecionada aleatoriamente, tenha mais de 150 cm de altura.

• Calcular a probabilidade de que em uma região da cidade, no verão, ocorram menos de 3 casos de dengue por Km².

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Probabilidade

EXPERIMENTO ALEATÓRIO

POSSUEM REGULARIDADE ESTATÍSTICA

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Exemplos

1. Selecionar uma pessoa ao acaso e avaliar (exame) seu tipo de sangue

2. Medir a altura de uma árvore 3. Lançamento de uma moeda 3. Lançamento de uma moeda

4. Tempo de reação de uma pomada anestésica 5. Número de partículas de radioativas

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Conceitos

• Espaço Amostral • Eventos:

1. A pessoa tem sangue A+

2. A altura é inferior a 120 cm 2. A altura é inferior a 120 cm 3. Ocorre cara

4. O tempo de reação é inferior a 5 minutos 5. Há ao menos 20 partículas de vírus

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Definições de probabilidade

1. Clássica (Laplace, 1812)

2. Probabilidade como limite de uma frequência relativa

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Exemplo 1

• No lançamento de um dado honesto, estimar a probabilidade de ocorrer face par.

Espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento A: “face par” = {2, 4, 6} P(A) = 3/6 = 0,50

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Exemplo 2

• Entre 10878 partos sucessivos em SP e que resultaram em crianças vivas, 100 foram de gêmeos. Estimar a probabilidade de gêmeos entre os nascidos vivos.

de gêmeos entre os nascidos vivos. p = 100/10878 = 0,00919

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Regras úteis

• Probabilidade do evento complementar

A



Probabilidade de que não ocorra o evento A

) ( 1 ) (A P A P C   C A

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Teorema da união

A  B A  B ) ( ) ( ) ( ) (A B P A P B P A B P     

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Exemplo 3

• Numa população humana, a probabilidade de ser surdo é estimada em 0,0050, a probabilidade de ser cego em 0,0085 e a probabilidade de ser cego e surdo em probabilidade de ser cego e surdo em 0,0006. Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser surda ou cega?

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Probabilidade condicional

• Considere as situações:

1. Qual é a probabilidade de ocorrer número 3 no lançamento de um dado honesto?

lançamento de um dado honesto?

2. Qual é a probabilidade de ocorrer número 3 no lançamento de um dado honesto, se sabe-se que ocorreu número ímpar?

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Formalizando:

• Dados dois eventos A e B de uma σ-álgebra, a probabilidade de ocorrer A dado B é:

0 ) ( ) (     B P se B A P 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) | (        B P se A P B P se B P B A P

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Teorema do produto

)

|

(

).

(

)

(

A

B

P

A

P

B

A

P





Da definição de probabilidade condicional

) | ( )... | ( ) ( ) ( 1 1 1 2 1 1 i n i n i n i A P A P A A P A A P      

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Exemplo: aplicação em amostragem

• Uma empresa produz um lote de 50 filtros de combustível, dos quais 6 são defeituosos. Escolhem-se aleatoriamente e testam-se dois filtros do lote. Determine e testam-se dois filtros do lote. Determine a probabilidade de ambos serem bons, se os filtros são selecionados:

• [a.] com reposição; (0,7744) • [b.] sem reposição. (0,7722)

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Eventos Independentes

• Dados dois eventos A e B de uma σ-álgebra, dizemos que A e B são independentes se:

) ( ) | ( ) ( ) | (A B P A ou P B A P B P   Ou ainda: ) ( ) ( ) (A B P A P B P  

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Exemplo

(Adaptado de Magalhães, 2004) Em famílias com 3 filhos, defina os eventos A: filhos dos dois sexos e B: no máximo uma menina entre os dois filhos. Admita igual menina entre os dois filhos. Admita igual probabilidade no nascimento de meninos e meninas. Nessas condições, mostre que os eventos A e B são independentes.

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Independência coletiva

Exemplo – Considere 3 eventos tais que:

A B

C

A, B, e C são independentes dois a dois mas não coletivamente.

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Independência coletiva

Definição - Os eventos são independentes coletivamente se:

n A A A₁, ₂,..., ) ( )... ( ) ( ) ... (A_i₁ A_i₂ A_im P A_i₁ P A_i₂ P A_im P     n m n im i i1 2 ... 2,3,..., 1        em que: 1 2n  n 

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Algumas referências

Andrade, D. F.; Ogliari, P.J. Estatística para as ciências agrárias e biológicas. Ed. UFSC, 2010.

Bussab, W. O; Morettin, P.A. Estatística Básica. São Paulo, Saraiva, 5 ed. 2002.

5 ed. 2002.

Magalhães, M. N; Lima, A. C. P. Noções de Probabilidade e Estatística, Edusp, 2002.