ESTRELAS POLITRÓPICAS RELATIVÍSTICAS

Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, Brasil, Outubro, 01 a 04, 2007.

ESTRELAS POLITRÓPICAS RELATIVÍSTICAS

Gregório Campos1 _{e Manuel Malheiro}2

Instituto Tecnológico de Aeronáutica – Departamento de Física, Praça Marechal do Ar Eduardo Gomes, 50 – Vila das Acácias CEP 12228-900 – São José dos Campos – SP – Brasil

1_{Bolsista PIBIC-CNPq}

gregorioec@gmail.com

2_Orientador

malheiro@ita.br

Resumo. Este artigo tratará de diversos conceitos de importância para o estudo de estrelas politrópicas relativísticas. Inicia-lmente será mostrada a obtenção da equação de estado para um gás de elétrons relativísticos e seus limites não-relativístico e ultra-relativístico que satisfazem equações de estado politrópicas em constantes bem definidas. Com estas constantes pode-se obter estre-las com valores reais de raio, massa, densidade central e pressão central, sempre em função de um parâmetro σ que está relaciona-do com o conteúrelaciona-do relativístico da equação de estarelaciona-do, e estudar também a sua estabilidade. O efeito deste parâmetro σ na estrutura da estrela e em particular a sua compactação e seu efeito na métrica. O conceito da Massa Limite de Chandrasekhar será explorado no caso de estrelas relativísticas e também apresentaremos o conceito de raio efetivo.

Palavras chave: estrelas politrópicas relativísticas, estrelas de nêutrons, anãs brancas

1. Introdução

Em 1964 Tooper [1] resolveu as equações da relatividade geral para um fluido compressível esférico em equilíbrio gravitacional quando o fluido obedece a uma equação de estado politrópica. Nesse caso, as equações de equilíbrio está-tico são equivalentes a duas equações diferenciais não-lineares de primeira ordem acopladas que dependem de um índi-ce politrópico n, que se relaciona com o índiíndi-ce adiabático Γ = 1 + 1/n, e com um parâmetro σ que manifesta o conteúdo relativístico da equação de estado politrópica. No limite em que σ tende a zero recupera-se a equação de Lane-Endem obtida pela teoria gravitacional Newtoniana. Estes parâmetros serão relacionados com a velocidade do som num fluido

politrópico. Para um dado índice politrópico n, o parâmetro σ define a velocidade do som vs e como consequência disso

possui um valor máximo ( pois vs ≤ c).

Foi demonstrado por Tooper em [1] que a equação de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) [1,2] e a equação de conservação de massa podem ser reesecritas para uma estrela politrópica relativística em uma nova forma

(

)

(

)

(

)

(

)

3 1 2

1

2

1

n n

d

d

n

d

d

σθ υ ξ σθ

θ

ξ

ξ ξ

συ

υ ξ θ

ξ

+

⎧

+

+

⎪

= −

−

+

⎪

⎨

⎪

₌

⎪

⎩

(1)

onde θ e ξ são adimensionais e dados por θn _{= ρ/ρ}

c e r = ξ/A. Nessa equações ρ é a densidade, ρc é a densidade central

de massa estelar e

( )

A

3

( )

4

_c

m r

υ ξ

πρ

=

,

(

)

1 2 2

4

A

1

c

G

n

c

π ρ

σ

⎛

⎞

= ⎜

_⎜

₊

⎟

_⎟

⎝

⎠

, 2 c c

P

c

σ

ρ

=

(2)

onde υ é a massa m(r) adimensional para um raio r, A é a constante de dimensão de inverso de comprimento e σ é o pa-râmetro relativístico. Ele é de grande importância no estudo que será apresentado é igual a razão entre a pressão central e a densidade central, sendo portanto um fator que diferencia uma estrela da outra. Além disso, este parâmetro mostrará os limites de quando se poderá usar a formulação ultra-relativística, a relativística e a não-relativística na descrição de estrelas. Este fator costuma medir o quanto uma estrela sente os efeitos da relatividade. Quando σ = 0, tem-se o caso de uma estrela não-relativística, que é descrita pela Equação de Lane-Endem usual:

2 2

2

0

n

d

d

d

d

θ

_{θ θ}

ξ

+

ξ ξ

+

=

(3)

, 2.Equação de estado para um gás de Fermi de elétrons e seus limites politrópicos

Conforme demonstrado em [3] a pressão de um gás de elétrons relativísticos pode ser escrita em função do

mo-mento Fermi Kf de acordo com a seguinte equação:

( )

k

_{( )}

(

k

c

m

c

)

c

k

dk

P

kF e F 4 2 2 1 0 4 2 2 2 3

2

3

8

−

∫

+

=

h

π

π

(4) que integrada resulta em

( )

(

)(

)

1

( )

3 2 2 -1 0

₂

₃

₁

_3senh

24

F

P k

=

ε

⎡

_⎢

x

−

x

+

x

+

x

⎤

_⎥

⎣

⎦

, (5) com F e

k

x

m c

=

e 4 5 0 2 3 e

m c

ε

π

=

h

, (6)

onde me é a massa do elétron, c é a velocidadeda luz, e ћ é a constante de Planck dividida por 2π.

A Eq. (4) possuiu dois limites politrópicos onde a pressão é proporcional à densidade e é dada por [4,5]

1 1

n

P k

=

ρ

+ . (7)

Estes dois limites são o caso não-relativístico onde se obtem para o índice adiabático n = 1,5 e para o

ultra-relati-vístico seu valor é n = 3. Isto acontece, pois na Eq. (4) considerando kf >> mec (caso ultra-relativístico) ou kf << mec

(caso não-relativístico), a pressão dada por essa equação pode ser escrita de acordo com a Eq.(7), onde o expoente da densidade é 4/3 e 5/3 para o caso ultra-relativístico e não-relativístico, respectivamente.Esta demonstração pode ser vista em [3].

A constante k da equação de estado politrópica é diferente para cada tipo de formulação. Ou seja, para o

ultra-relativístico e não ultra-relativístico, ela apresenta expoentes diferentes. Considerar-se-á knr para a constante não-relativística

e kur para a constante relativística. A seguir, estão mostradas as duas equações matemáticas para cada constante k

obtidas em [12] 5 3 2 2 2

3

15

nr e n

Z

k

m

m A

π

π

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

⎝

⎠

h

₍₈₎ 4 3 2 2

3

12

ur n

c

Z

k

m A

π

π

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

⎝

⎠

h

₍₉₎

A razão Z/A, número atômico pelo número de massa, vale 0,5, para os átomos He4_{, C}12 _{e O}16 _{que são os}

compo-nentes das anãs brancas. Então, calculando os valores de kr e de knr obtêm-se:

2 3 14 ur

k =4,889 10 erg

×

⋅

cm s

⋅

(10) 2 3 2 12 nr

k =3,125 10

cm

erg

×

(11)

A formulação não-relativístico é obtida quando kf << mec pois à medida que a estrela começa a sentir os efeitos

re-lativísticos onde o elétron atinge momentos altos, o valor de x aumenta, deixando de ser menor que 1 para ser maior que 1. Desta forma, pode-se distinguir três regiões: uma onde a densidade central e a pressão central são baixas e a estrela não sente os efeitos relativísticos que é a região não-relativística; uma região de densidade central e pressão central al-tas, denominada de região ultra-relativística; e a região de transição entre as duas que é denominada de região

relativís-,

tica. As equações politrópicas para n = 1,5 e n = 3 refletem muito bem as regiões não-relativísticas e ultra-relativísticas, respectivamente. Na região de transição nenhuma das duas equações satisfaz, com boa precisão, o comportamento da pressão com a densidade. Para melhor exemplificar o comportamento descrito será exibido um gráfico que mostra as três regiões. O critério utilizado para a boa precisão foi que a equação politrópica apresente erro máximo de 5% com respeito à Eq. (5).

Há, contudo, quatro pontos de interesse nestas curvas. O ponto onde kf = mec (x = 1), o ponto onde Pur = Pnr, e os

dois pontos que dividem as três regiões. O segundo ponto pode ser visto no gráfico pelo encontro das curvas de Pur e Pnr.

Aplicando a equação politrópica a cada lado da igualdade chega-se ao valor da densidade central, pressão central e σ. Os dois úl-timos pontos também podem ser obtidos utilizando o critério de 5% com as equações politrópicas e a Eq. (5).

Figura 1 – Gráfico da pressão pela densidade para um gás de Fermi relativístico (PR) e seus limites politrópicos (não-relativístico P NR e ultra-(não-relativístico P UR), apresentando também, com 2 linha verticais, o limite de validade do caso NR e do UR

O primeiro ponto de interesse pode ser determinado fazendo x = 1 na Eq. (5), obtendo o valor da pressão central.

Para a densidade, basta fazer kf = mec na Eq. (12), equação constitutiva de kF mostrada em [3]:

1 3 2

3

F N

Z

k

m

A

π ρ

⎛

⎞

= ⎜

⎟

⎝

⎠

h

, e portanto

( )

3 3 2

3

n e

m A m c

x

x

Z

ρ

π

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

⎝

h

⎠

(12)

no caso em que x = 1, chega-se a uma expressão da densidade para este ponto:

3 2

3

N e

m

A

m c

Z

ρ

π

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

⎝

h

⎠

. (13)

Como este valor de densidade depende apenas de constantes, se calcular o valor de σ para este caso. Assim pode-se obter uma tabela que mostra os pontos de interespode-se.

Tabela 1 – Pontos de interesse

Ponto Descrição ρc (g/cm3) Pc (dina/cm2) σ x

1 x = 1 6,161x106 _7,381x1022 _1,33304x10-5 ₁

2 Pnr = Pur 3,830x106 _2,930x1023 _8,51254x10-5 _1,25000

3 Lim NR 1,080x105 _7,289x1020 _{7,50959 x10}-6 _0,38045

4 LIM UR 1,530x108 _3,811x1025 _{2,77127 x10}-4 _4,27295

A expressão relativística da energia do elétron e da equação de velocidade num sistema isotrópico são dadas, res-pectivamente, por 1E+17 1E+19 1E+21 1E+23 1E+25 1E+27

1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09

P res sã o ( d ina /cm 2) Densidade (g/cm3₎ P NR P R P UR Lim NR Lim UR x=1

, 2 2 2

1

e

m c

E

v

c

=

−

(14) 2

vE

k

c

=

(15)

e manipulando-as convenientemente juntamente com a primeira das Eq. (6) chega-se à:

2

1

F

v

x

c

=

₊

_x

=

α

(16)

Desta forma, tem-se a uma relação entre a razão da velocidade do elétron no nível Fermi e a veloci-dade da luz, e a razão do momento de Fermi pela massa do elétron descrita pela Eq. (6). Um gráfico que mostra a variação de α com de x está mostrado abaixo, com as três regiões de interesse separadas por duas linhas verticais. À medida que x cresce tem-se as tem-seguintes regiões: não-relativística, relativística e ultra-relativística.

Figura 2 – Comportamento de α com x

Vê-se que apenas regiões próximas de x = 1, entre 0,01 e 10, que apresentam grande variação de α. Para valores de x maiores que 10, α torna-se 1 e para valores menores que 0,01 α é praticamente nulo. Assim, tem-se que considerar a

região na qual a estrela está situada para poder usar uma formulação adequada. Para σ < 7,509x10-6 _{deve-se usar a}

for-mulação não-relativística, o que corresponde a (x,α) = (0,380 ; 0,355) que é o limite não -relativístico. Quando σ >

2,771x10-4 _{deve-se usar a formulação relativística, que corresponde a (x,α) = (4,272 ;0,973) que é o limite}

ultra-relativístico. Na região intermediária, onde 7,509x10-6 _{< σ < 2,771x10}-4 _{não foi identificada uma equação politrópica}

que represente bem esta região, e portanto teriamos que usar a Eq.(5) mas que não produz uma pressão tão diferente. É

interessante que quando, na integral da Eq.(4), despreza-se kf frente ao produto mec, e chega-se à uma boa aproximação,

com critério de 5%, tem-se que α = 0,355, um valor razoável de velocidade do elétron em um meio. Ao olhar para os

li-mites ultra-relativísticos com este mesmo critério de 5%, porém agora com kf >> mec, o parâmetro α passa a 0,973. Ou

seja, muito próximo da velocidade da luz. Ainda, nesta formulação não há a possibilidade de v > c, pois 0 < α < 1.

3.Construção de Estrelas e Estabilidade

Aqui serão realizados os cálculos de forma a ter valores de raio e massa de estrelas para uma dada densidade central e pressão central. A partir dos valores da constante k calculados anteriormente para os respectivos valores de n

(1,5 e 3,0) e com as Eq. (2), serão obtidos os valores de raio e massa correspondentes a cada ξmáx e υ(ξmáx) para diversos

valores de σ o que de fato significa um determinado valor de densidade central de acordo com

2 n c

c

k

σ

ρ

_{= ⎜}

⎛

⎞

_⎟

⎝

⎠

(17) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0,001 0,01 0,1 1 10

α

x

,

Como todos os dados necessários são conhecidos, pode-se montar a Tab. 2 que contêm os valores dos raios e mas-sas das estrelas e as respectivas pressão e densidade centrais.

Tabela 2 – Raio, massa, densidade central e pressão central para diversos valores de σ e para n = 3 e 1,5 na ordem

σ 1,0×10-6 _{0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,75} ξmáx 6,896 6,825 7,95 10,832 17,819 37,205 91,071 162,584 180,439 υ(ξmáx) 2,018 1,078 0,713 0,539 0,452 0,421 0,449 0,527 0,565 ρc (g/cm3) 6,210 6,210×1015 4,968×1016 1,677×1017 3,974×1017 7,762×1017 1,341×1018 2,130×1018 2,620×1018 Pc (dina/cm2) 5,581×1015 5,581×1035 8,929×1036 4,520×1037 1,429×1038 3,488×1038 7,233×1038 1,340×1039 1,766×1039 R (km) 1,81×106 _{17,93 10,44 9,49 11,7 19,55 39,88 61,02 63,21} M (kg) 2,86×1030 _1,53×1030 _1,01×1030 _7,62×1029 _6,39×1029 _5,96×1029 _6,36×1029 _7,45×1029 _8,00×1029 ξmáx 3,652 3,038 2,699 2,493 2,361 2,274 2,219 - - υ(ξmáx) 2,714 1,482 0,960 0,688 0,527 0,423 0,351 - - ρc (g/cm3) 4,877×103 1,542×1011 4,362×1011 8,014×1011 1,234×1012 1,724×1012 2,267×1012 - - Pc (dyna/cm2) 4,383×1018 1,386×1031 7,841×1031 2,161×1032 4,435×1032 7,748×1032 1,222×1033 - - R (km) 2,70×104 _{1266,2 945,93 789,51 695,82 633,81 590,93 - -} M (kg) 6,77×1028 _2,08×1032 _2,27×1032 _2,20×1032 _2,09×1032 _1,98×1032 _1,89×1032 _{- -}

A partir da Tab. 2 pode-se montar gráficos para ter idéia da magnitude das estrelas no que diz respeito à massa, ao raio, à densidade central e à pressão.

Figura 3 – Comportamento do raio medido em raios solares com σ para dois valores de n

Figura 4 – Comportamento da massa medida em massas solares com σ para dois valores de n

Observação: Em quase todas as curvas pode-se notar uma pequena curvatura que esboça um valor de máximo local para a curva. Esta curvatura é produzida pelo programa que constrói os gráficos, contudo, não existe.

Na Fig. 3 observa-se um comportamento interessante do raio frente a σ. Enquanto que para o caso não-relativístico o raio sempre decresce com o aumento de σ para o caso ultra-relativístico (n = 3) isto não é verdade. Há um mínimo

pa-1,0E+05 1,0E+06 1,0E+07 1,0E+08 1,0E+09 1,0E+10 1,0E+11 1,0E+12 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 R (k m) σ 1,5 3 0,01 0,10 1,00 10,00 100,00 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 M e m M o σ 1,5 3

,

ra σ = 0,27595 que corresponde a um raio de 9,4268 x 105 _{km aumenta, para n = 3. A Fig. 4 mostra também que a}

mas-sa cresce em σ e estabiliza para o caso não-relativístico. Contudo, para o caso ultra-relativístico o comportamento é bas-tante diferente pois para a massa é sempre menor do que seu valor para σ = 0. De fato a massa para n = 3 decai até um mínimo e volta a crescer para valores grandes de σ. A equação da massa, a primeira das Eq. (2), a qual é uma constante

multiplicada por υ(ξmáx), depende de σ, mas não de forma direta, pois o parâmetro σ está inserido no par descrito pela

Eq. (1) quando se calcula o valor de υ(ξmáx). Assim, quando θ(ξ) = 0 tem-se υ(ξ) = υ(ξmáx). Não é possível achar uma

re-lação f(σ) = υ(ξmáx)(σ) para obter ∂υ(ξmáx)/∂σ. Entretanto, pode-se determinar, por inspeção o ponto de mínimo da Fig. 4

que ocorre para σ = 0,5051198. Este valor é importante, pois é a partir dele que ∂m/∂σ – que é igual a ∂υ(ξmáx)/∂σ a

me-nos de uma constante – torna-se positivo, o que significa que a estrela é estável. Para ter estabilidade é necessário que a

derivada ∂m/∂ρc > 0, e como no caso ultra-relativístico, ρc cresce com σ3, então a derivada ∂m/∂ρc tem o mesmo sinal

de ∂υ(ξmáx)/∂σ. Portanto, para o caso não-relativístico onde a massa cresce com σ e portanto com ρc, as estrelas estáveis

tem valores baixos de σ em torno de 0,2

Será analisado agora o limite da massa máxima para o caso ultra-relativístico. Para isso será apresentado um gráfi-co mais detalhado da massa para pequenos valores de σ.

Figura 5– Gráfico da massa para pequenos valores de σ no caso ultra-relativístico (n = 3)

Pode-se observar que quando se diminui σ a partir de 1x10-3 _{até o limite para a utilização desta formulação que é σ}

= 2,7712x10-4_{, claramente pode-se ver que até este valor vê-se que a massa varia muito pouco , tendendo a um limite}

máximo, limite de Chandrasekhar, de 1,4359Mo. Ou seja, para este valor de σ a estrela não sofre tanto o efeito

relativís-ticos e torna-se muito massiva. A formulação Newtoniana, é suficiente para determinar a Massa de Chandrasekhar, o que é um fato interessante. Ela como sendo um limite para a massa das estrelas, a formulação é feita para um caso ex-tremo, em que a relatividade é tão pequena (nula) que não aumenta a estrela nem diminui sua massa. Observando a

pri-meira das Eq. (2) vê-se que a constante σ, que caracteriza o efeito relativístico, está levada em conta pelo fator υ(ξmáx).

O valor máximo para υ(ξmáx) é dado na Tabela 3 vê-se que o maior valor é justamente para σ = 0(tendendo a zero).

No caso n = 1,5, obserse um comportamento incoerente, considerando o Limite de Chandrasekhar. O único

va-lor que respeita este limite é para σ = 1x10-6_{. Variando υ(ξ}

máx) e σ obtêm-se os valores da massa para o índice

politrópi-co 1,5 dados na Tab. 2. Faz-se importante explicar porque os valores calculados para as massas das estrelas utilizando n =1,5 aparentemente contrariam a massa limite de Chandrasekhar. Considerando o limite onde a equação

não-relativísti-ca é válida, que ocorre para valores de σ menores ou iguais que 7,50959x10-6_{, este resulta num valor de υ(ξ}

máx) = 2,713.

Colocando estes valores na primeira das Eq. (2), obtém-se M = 3,0719x1032_{, que é apenas 15,44% da massa do Sol. Ou}

seja, não fere em nenhum momento o Limite de Chadrasekhar, pois ao diminuir σ a massa sempre será menor que este valor para n = 1,5.

4.Efeitos de σ na estrutura da estrela

Nesta seção será discutir alguns resultados que foram recentemente apresentados numa conferência internacio-nal[6]. O parâmetro σ pode ser relacionado com a velocidade do som em um fluido. É sabido que a expressão adia-bática da velocidade do som é dada por

2 s ad

P

v

ρ

⎛

∂

⎞

= ⎜

_∂

⎟

⎝

⎠

(18)

e usando a última das Eq.(2) e a Eq. (7), chega-se a vs/c = ((n+1)σ/n)1/2. Os valores obtidos para estas razões estão

mos-trados abaixo: 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

1,E-07 1,E-05 1,E-03 1,E-01

M ass a ( M o) σ

,

Tabela 3 – Valores da velocidade do som para diversos σ e para dois valores de n em termos da velocidade da luz

n Valores de vs/c

3,0 0,0115 0,3651 0,5164 0,6325 0,7303 0,8165 0,8944 0,9661 1,0000

1,5 0,0129 0,4082 0,5774 0,7071 0,8165 0,9129 1,0000 - -

σ 1,00x10-4 _{0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,75}

Como a velocidade do som é menor do que a velocidade da luz, há um valor de σ máximo dado por σmáx = n/(n+1).

Assim, pode-se chegar a uma faixa de valores que σ existe: para n = 3 tem-se 0,75 > σ > 0, e para n = 1,5, os valores es-tão em 0,6 > σ > 0.

Para obter os perfis de massa e densidade ao longo do raio da estrutura, o sistema das Eq. (1) foi resolvido numeri-camente utilizando o método Runge-Kutta de quarta ordem com o valor de passo Δξ = 0,001. As condições iniciais são:

ρ é igual a ρc o que implica em θ(0) = 1, e como no centro a massa é nula υ(0) = 0. Como a pressão decai até ficar nula,

foi escolhido para a superfície da estrela, o valor de ξ, chamado de ξmáx, tal que θ(ξ) troque de sinal. Desta forma,

pode-se montar gráficos de massa dividida por massa total por raio sobre raio total, com auxílio da primeira das Eq. (2) e dos

perfis de densidade ao longo da estrela com auxílio de θn _{= ρ/ρ}

c. Os gráficos estão mostrados abaixo.

-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 p/ pc ξ 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0 1 2 3 4 162 163 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ρ/ ρc ξ 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 0,6 0,67

Figura 6– Gráfico de ρ/ρc por ξ para vários valores de σ e para n = 1,5 (esquerda) e n = 3 (direita)

Figura 7– Gráfico de m(r)/M por r/R psrs vários valores de σ e para n = 1,5 (esquerda) e n = 3 (direita)

Nota-se da Fig. 6 que ao aumentar σ, aumenta sua declividade, indo, portanto, mais rapidamente a zero. Essa situa-ção mostra que quando se aumenta σ e a velocidade do som não é tão pequena em comparasitua-ção com a velocidade da luz (veja Tab. 3), a densidade da massa é mais concentrada no centro da estrela. Este efeito é muito mais forte no caso ul-tra-relativístico. No caso não-relativístico a convergência não é tão lenta como no caso ultra-relativístico, em que, para valores de ξ maiores que 5 a densidade torna-se muito pequena e convergindo a zero muito lentamente. As estrelas,

des-0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 r/R M( r) /M 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

,

ta forma, ficam muito caudalosas e desse fato vem a motivação de discutir se o limite para o término da estrela (superfí-cie) é realmente θ(0) = 0. Esta discussão será feita na seção 7.

Da Fig. 7 pode-se observar, para n = 1,5, que a massa aumenta gradualmente ao longo do raio. O aumento de σ faz com que a massa cresça mais rápido, porém este aumento não é significativo como é para n = 3. No caso ultra-relativís-tico, o aumento de σ provoca uma brusca mudança no perfil da massa que passa a crescer muito mais rapidamente. Um valor que mostra bem este efeito, é que para altos valores de σ quase 90% da massa da estrela chega a estar em 20% do raio da estrela. Assim, foi mostrado que o aumento da relatividade faz com que a massa se concentre no centro. Este aumento do caráter relativístico é relacionado tanto com o índice politrópico n quanto com o parâmetro σ.

5.Compactação da Estrela

Uma consequência direta da concentração da massa da estrela no seu centro é a medida da sua compactação (φ). Ela dá uma idéia de quanto à estrela é densa, compacta e é definida como a razão da massa relativa pelo raio relativo:

( )

M r

M

r

R

φ

=

(19)

Para entender a compactação das estrelas é necessário obter os valores de φ para cada ponto da estrela de forma a ter uma idéia mais geral de como as estrelas são compactadas. Trabalhando na Eq. (19) e juntamente com a primeira das Eq. (2), obtém-se:

( )

( )

(

)

( )

(

)

máx máx máx máx

M r

M

r

A

R

A

υ ξ

υ ξ

υ ξ

ξ

φ

_ξ

ξ

υ ξ

ξ

⎛

⎞

=

=

=

⎜

_⎜

⎟

_⎟

⎝

⎠

. (20)

A compactação será apresentada na Fig. 8 en função da razão r/R.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 5 10 15 20 25 30 φ r/R 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,75

Figura 8– Gráfico de φ por r/R para vários valores de σ com n = 1,5 (esquerda) e n = 3 (direita)

Como esperado a curva com índice politrópico igual a 3 apresentou comportamento bastante acentuado frente a cur-va de n = 1,5. As diferenças se dão em dois aspectos das curcur-vas. Inicialmente a grande mudança que ocorre nas curcur-vas à medida que aumenta-se o valor de σ para n = 3. Observa-se que para este índice politrópicos o aumento de σ proporcio-na incliproporcio-nações e decliproporcio-nações maiores ao longo da curva. Este efeito tende a se pronunciar mais à medida que se aumenta o valor de n. Em n = 3, como já foi dito, a mudança é bastante brusca fazendo com que as estrelas relativísticas sejam muito mais compactas. Outro aspecto, não menos importante, são os valores que φ assume ao longo de r/R. Estes são sempre menores que 1,4 para o índice politrópico 1,5 e não modificam muito sua ordem de grandeza para estes valores de n. No índice ultra-relativístico observa-se que φ apresenta valores maiores que 30 em determinados pontos da curva.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 r/R φ 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

,

Outra característica das curvas é que os valores de máximo tendem a se aproximar para o centro da estrela tanto quanto se aumenta σ, quanto quando se aumenta o valor de n. Neste último caso a mudança é mais acentuada.

6. Métrica de Schwarzschild

Para se ter uma melhor compreensão dos efeitos relativísticos provocados pela alta concentração de massa serão

efetuados cálculos das métricas eλ_{(ξ)e e}ν_{(ξ), as quais são a deformação da componente radial e temporal,}

respectiva-mente segundo a métrica de Schwarzschild que é descrita pela seguinte equação [2,7]:

( ) ( )

(

)

2 r 2 2 r 2 2 2 2 2

ds

=

e c dt

ν

−

e

λ

dr

−

r d

θ

+

sen d

θ φ

. (21)

Considerando as equações das métricas como sendo:

( )

(

)

1

2

1

1

n

e

λ ξ

σ

υ

ξ

−

+

⎛

⎞

= −

_⎜

_⎟

⎝

⎠

(22) ( )

(

(

)

)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

2 1 2 1

2

1

2

1

1

1

1

n n

n

n

e

ν ξ

ξ

συ

σθ

συ

ξ

ξ

σθ

− + +

−

+

⎛

+

⎞

=

= +

_⎜

−

_⎟

+

⎝

⎠

(23)

As métricas eλ_{(ξ)e e}ν_{(ξ) estão em função de υ(ξ), θ(ξ), ξ, σ e n, o que permite calculá-las para diversos valores de σ}

e para n = 1,5 e n = 3. 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 e ν r/R 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Figura 9– Gráfico da métrica eυ _{por r/R para n = 1,5 para diversos valores de σ.}

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 e ν r/R 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,75

,

Pode-se observar um comportamento interessante do valor da métrica eυ _{ao longo de ξ ao percorrer os valores de n}

e σ. Como foi previsto para valores de σ nulos (neste caso consideramos nulo um valor σ igual a 1x10-6_{) o desvio foi}

igual a 1 em ambos os casos – olhando para as Eq. (22) e Eq. (23) e fazendo os limites de eλ_{(ξ)e e}ν_{(ξ) quando σ tende a}

zero, obtém-se 1, ou seja, o caso de uma estrela Newtoniana onde o espaço é plano (espaço de Minkowski). À medida que se aproxima da superfície, vê-se que a métrica vai se aproximando de 1, pois como há uma diminuição da concen-tração da massa, o efeito relativístico diminui. Nas Fig. 8 e 9, vê-se claramente que a métrica temporal assume valores menores a medida que se aumenta-se o valor de σ, pois nesse caso o desvio relativístico é alto. Pode-se entender melhor

olhando para a Eq. (23) na qual, claramente, o valor de eν _{diminui com o aumento de σ. No caso da Fig. 10 vê-se que o}

comportamento da métrica eυ _{possui duas características interessantes. À medida que aumenta-se o valor de σ as curvas}

começam a crescer muito rapidamente e, ao chegar próximo à superfície, o valor da métrica fica perto de 1. Ou seja, há uma forte deformação do espaço-tempo no centro da estrela e logo que se distancia do centro esta distorção diminui. Fato este que é explicado pela alta concentração de massa no centro da estrela que distorce o espaço-tempo em volta (para valores grandes de n e σ). Dado que para índice politrópicos menores a concentração de massa no centro não é tão acentuada o valor da métrica modifica-se menos com o aumento do raio. Isto explica também porque quando se tem va-lores baixos de n, a métrica perto da superfície da estrela é menor do que para o caso de n grande. Ao substituir o par das Eq. (1) na derivada da métrica em relação a ξ chega-se a:

(

)(

)

2( 1)

(

₃

(

)

)

2

2

_n

1 1

n n

1

2

de

d

ν

σ

σθ

ξ θ

σθ

υ

ξ

ξ

− +

+

+

− +

+

=

(24)

o que mostra de novo a forte dependência da métrica com n e σ, conforme discutido anteriormente.

As curvas para a deformação radial eλ _{estão mostradas abaixo:}

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 e λ r/R 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,0 1,5 2,0 2,5 e λ r/R 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,75

Figura 11– Gráfico da métrica eλ _{por r/R para n=1,5 (direita ) e para n=3(esquerda)}

É interessante salientar que para o caso não-relativístico, onde n = 1,5 e σ < 5,509x10-6_{,como foi apresentado na}

se-ção 2, o efeito em ambas as métricas é muito pequeno, e o desvio fica muito próximo de 1, não deformando, portanto, nem o espaço nem o tempo em volta da estrela. Desta forma, apenas estrelas de nêutrons tem deformações

significati-vas, pois anãs brancas (onde Pc ≈ 1035 e ρc ≈ 1015 e σ ≈ 0,1 conforme Tab. 3) não tem esta característica, haja vista que

são não-relativísticas [8].

Observando as Fig. 8, Fig. 11 pode-se notar uma pequena semelhança das curvas de compactação com as curvas de

métrica da componente radial (eλ_{). A semelhança quanto à forma é pequena e mais notada na curva de índice}

ultra-rela-tivístico (n = 3). Porém, pode-se mostrar que o ponto para o qual a curva atinge valor máximo é o mesmo que da curva da componente radial – as quais também tiveram o eixo das abscissas sendo r/R. Ao derivar a expressão de φ com rela-ção a ξ, têm-se, e utilizando a Eq. (1):

(

)

3 2 n máx máx

d

d

ξ

φ

ξ θ

υ

ξ

υ ξ

ξ

⎛

⎞⎛

−

⎞

= ⎜

_⎜

⎟⎜

_⎟⎝

⎟

⎠

⎝

⎠

. (25)

,

Esta derivada será anulada em:

3 n

ξ θ

=

υ

. (26)

Derivando a equação da componente radial da métrica dada pela Eq.(22) obtém-se

(

)

(

)

(

)

(

)

3 2

2

1

2

1

n

n

de

d

_n

λ

σ

ξ θ

υ

ξ

_ξ

_σ

_υ

+

−

=

−

+

(27)

Vê-se que a Eq.(27) se anula no mesmo ponto em que a Eq.(26). Desta forma foi mostrado que tanto a compacta-ção quanto a componente radial da métrica tem seu máximo atingido no mesmo ponto.

Olhando para a equação da componente temporal da métrica na Eq.(23) e derivando chega-se na Eq. (24). Então, acha-se o ponto no qual a derivada se anula, analogamente ao que foi feito para a componente radial da métrica.

3

2

1

n

ξ θ

υ

σθ

⎛

⎞

= ⎜

_⎝

₋

⎟

_⎠

(28)

Observando-se que a Eq.(28) que descreve o ponto em que a componente temporal se anula, nota-se uma seme-lhança com a Eq.(26). A relação é próxima, considerando que há um fator de correção em υ que aumenta este valor.

7.Raio Efetivo

No intuito de quantificar a concentração de massa ao longo do perfil da estrela foi definido o raio efetivo (Ref)

co-mo sendo a distância do centro da estrela até o raio que corresponde a 99 % da massa total da estrela, ou seja, para

valo-res de σ e n fixos, ter-se-á um valor de Ref associado. Paralelamente a Ref há um valor de ξ efetivo (ξ ef) que possui o

mesmo significado de Ref , a menos de uma constante. A razão entre Ref e o raio da estrela R, para um dado valor de σ e

n, é chamado de razão de raios. A motivação dessa abordagem vem do fato de que ao fazer o cálculo numérico, o valor

de ξ máx foi associado ao valor onde θ(ξ) troca de sinal. No caso de equações de estado com maiores valores de n a

den-sidade da estrela diminui muito rapidamente ficando logo muito pequena o que implica uma grande concentração da

massa na região central da estrela. Contudo para n grandes a densidade demora muito para ir a zero (o valor de ξ máx,

on-de θ(ξ) torna-se negativo, é muito granon-de) o que faz com que o raio da estrela seja portanto granon-de mas com uma on- densi-dade quase nula.

Com os dados da variação de υ(ξ) em função de ξ, e tendo o valor de ξmáx,para cada σ e n pré-estabelecido,

obte-mos o valor da razão Ref /R. Isto foi possível, pois tanto υ(ξ) quanto ξ, representam a menos de constantes, a massa e o

raio da estrela respectivamente, conforme mostrado na Eq. (2). Deste modo, monta-se gráficos para visualizar o

com-portamento da razão Ref /R a medida que σ e n variam.

Figura 12– Gráfico da razão Ref /R em função de σ para diversos valores de n

No caso de n = 3 o comportamento da curva é bastante interessante pois apresenta uma concavidade acentuada, bem diferente das outras. Como havíamos visto, o comportamento dos perfis de densidade e de pressão para n = 3 é

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Ref/R σ n=3 n=1,5

,

bastante diferente do que ocorre para os outros índices politrópicos. Olhando estes valores vê-se que a massa tende a se concentrar essencialmente no centro da estrela apenas para grandes valores de σ e n, haja vista que para n = 1,5 os valo-res da razão dos raios são próximos de um. Deste modo σ passa a ter influência apenas para valovalo-res de n =3. Com n = 1,5, a variação de σ não é significativa, ao passo, que para n = 3 a curva adquire comportamento não linear. Com o

aumento de n, nota-se que o valor da razão Ref /R tende a diminuir sempre, até valores menores que 0,5. Os resultados

mostrados na Fig. 12 são bastante coerentes com o que foi mostrado anteriormente , pois para n = 3 e valores de σ gran-de em apenas 60% a 50% do raio se encontra toda a massa da estrela (99%). Deste modo estrelas muito relativísticas tendem a ter uma distribuição de massa muito pouco uniforme, apresentando uma grande concentração de massa no centro da estrela e uma alteração significativa na deformação da métrica.

8. Agradecimentos

Gostaria de agradecer ao meu orientador Professor Manuel Malheiro por completar esta primeira etapa da minha iniciação no meio científico. Faço agradecimento especial à minha família pela força dada para realização deste trabalho. Por fim, agradeço ao CNPq pela oportunidade oferecida.

9. Referências

[1] – R. Tooper. ApJ. 140, 434 (1964)

[2] – Norman K Glendenning, Compact Stars: Nuclear Physics, particle physics and general relativity. New York: A&A Libray: 1996

[3] – I. Sagert, M. Hempel, C. Greiner, J. Schaffner-Bielich, Compact Stars for Undergraduates (2005), astro-ph/0506417

[4] – Walter J. Maciel, Introdução à Estrutura e Evolução Estelar. Edusp, São Paulo: 1999.

[5] – Kepler de S. Oliveira e Maria de Fátima O. Saraiva, Astronomia e Astrofísica, Editora Livraria da Física (2001)

[6] – L.Ferrari, G.Campos e M.Malheiro, Relativistic Effects in Polytropic Compact Stars, na X Hadrons Physics Conference, Florianópolis, 2007, aceito para publicação na International Journal of Modern Physics E

[7] – R. R. Silbar and S. Reddy, Am. J. Phys. 72, 892 (2004), nucl-th/0309041.

[8] – Ronald Adler, Maurice Bazin e Menahem Schiffer, Introduction to General Relativity. McGraw-Hill, New York: 1975.