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AULA DEMONSTRATIVA
1. APRESENTAÇÃO DO CURSO ... 2 2. PROPOSIÇÕES ... 4 2.1 LÓGICA ... 4 2.2 PROPOSIÇÃO ... 4 3. CONECTIVOS LÓGICOS ... 8 3.1 NEGAÇÃO (NÃO-P) ... 9 3.2 CONJUNÇÃO (P E Q) ... 9 3.3 DISJUNÇÃO (P OU Q) ... 113.4 COMO NEGAR CONJUNÇÕES E DISJUNÇÕES – LEIS DE DE MORGAN ... 11
3.5 OUTRAS NEGAÇÕES IMPORTANTES ... 13
4. CONDICIONAL ... 18 4.1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ... 21 5. NEGAÇÃO DE UM CONDICIONAL ... 23 5.1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ... 24 6. EQUIVALÊNCIAS DA CONDICIONAL ... 26 6.2 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ... 27
7. SEGUNDA EQUIVALÊNCIA CLÁSSICA ... 33
8. LISTA COM OS EXERCÍCIOS ABORDADOS NA AULA DE HOJE ... 35
Concurso: Polícia Rodoviária Federal
Cargo: Agente Administrativo
Matéria: Raciocínio Lógico
Professor: Bruno Leal
Prof. BRUNO LEAL
1. Apresentação do Curso
Olá, amigos concurseiros! Tudo tranquilo? Tomara que sim! Caso estejam nervosos, ansiosos por conta da Matemática, fiquem calmos: costumo dizer que não se trata de nenhum bicho-de-sete-cabeças (vá lá, duas ou três no
máximo!) e se eu, que não sou nenhum Einstein, aprendi, então por que vocês, caros amigos, não conseguiriam?
Passo número ZERO para aprendizagem: AUTOCONFIANÇA!
Esta é a aula demonstrativa do curso de AGENTE ADMINISTRATIVO DA PRF, cuja banca é a FUNCAB.
A nossa banca não é das mais conhecidas, embora com alguma tradição em organizar concursos. Isso é bom, pois temos uma grande quantidade de questões para basear nossas aulas.
O grau de dificuldade das questões pode ser considerado médio.
Evidentemente que uma ou outra questão pode ser mais difícil, porém, no geral, o aluno bem preparado, como você, meu amigo, não terá maiores dificuldades.
Sobre mim, meu nome é Bruno Leal Monteiro, tenho 34 anos, dou aulas de Matemática, Raciocínio Lógico e Matemática Financeira em cursinhos
preparatórios desde os 18 aninhos...
Lembro-me da minha primeira turma, preparatório para o CESD (Soldado Especialista da Aeronáutica, hoje em dia, é um concurso interno). Era o mais novo em sala! Todos com muita desconfiança daquele franzino professor, que nem vestibular ainda havia feito... mas deu tudo certo e até hoje estou
ajudando a centenas de amigos/alunos a alcançarem seus objetivos. Só que nem um pouco franzino... rsrsrs.
Sou autor de diversos materiais didáticos e do livro “Matemática para Concursos – A Arte de Resolver Problemas”, pela Editora ELMO.
Como nas minhas turmas presenciais, foco o aprendizado da Matemática e do Rac. Lógico através da resolução de muitos, muitos exercícios.
Espero que gostem, aprendam de verdade e que exorcizem todo e qualquer fantasma proveniente do Raciocínio Lógico que cismar rondar seus estudos! Juntos somos fortes, não perca a força, o foco e a fé!
O conteúdo programático que veremos é o seguinte:
RACIOCÍNIO LÓGICO: 1. Estruturas lógicas. 2. Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. 3. Lógica sentencial (ou proposicional). 3.1. Proposições simples e compostas. 3.2. Tabelas verdade. 3.3. Equivalências. 3.4. Leis de De Morgan. 3.5. Diagramas lógicos. 4. Lógica de primeira ordem. 5. Princípios de contagem e probabilidade. 6. Operações com conjuntos. 7. Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais
É bastante coisa! Mas não temos como correr. É encararmos de frente, sem medo.
Esta aula zero tratará do tema Proposições, um dos assuntos novos abordados pela banca. Resolvemos nada menos que 26 exercícios!
Prof. BRUNO LEAL
2. Proposições
2.1 Lógica
O que é “Lógica”, esta matéria tão temida quanto odiada por boa parte dos concurseiros?
A Lógica (do grego λογική - logos) é o estudo filosófico do raciocínio válido ou segundo Irving Copi, “uma ciência do raciocínio”.
A sua ideia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto, que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele.
Podemos concluir que a lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições.
E essa tal de “proposição”, o que é? Veremos agora:
2.2 Proposição
Uma PROPOSIÇÃO nada mais é do que uma sentença declarativa - expressa por palavras ou símbolos.
Toda proposição exprime um JUÍZO ao qual poderemos atribuir, dentro de certo contexto, somente um dos valores lógicos possíveis: verdadeiro (V) ou falso (F).
Somente às sentenças declarativas pode-se atribuir um valor lógico, quando a sentença é confirmada (sentença verdadeira) ou negada (sentença falsa). Portanto, as sentenças exclamativas, interrogativas e outras, embora
expressem juízos, não podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas, por isso, não são proposições.
Pode parecer complicado à primeira vista, mas não é! Vamos ver alguns exemplos de proposições:
a) O número 7 é impar.
b) O número 21 não é primo. c) Todos os homens são imortais. d) Nenhum cachorro tem asas.
f) Se você estudar bastante, então aprenderá tudo. g) Bruno fala inglês e italiano.
h) Bruno é professor ou escritor. i) Ou Romário é carioca ou paulista.
Note que as proposições a), b), d), e), f), h) e i) são verdadeiras, enquanto que as demais são falsas (Io non parlo italiano, ma voglio imparare...).
Repare também algumas “palavras-chave”, muito frequentes em exercícios envolvendo proposições: “todos”, “nenhum”, “alguns”, “se...então”, “e”, “ou”, dente outras.
Observamos que uma proposição representa uma informação enunciada por uma oração, portanto pode ser expressa por distintas orações, tais como: “José
é maior que Anderson”, ou podemos expressar também por “Anderson é menor que José”.
Essas proposições receberão os mesmos valores lógicos: ambas verdadeiras ou falsas.
NÃO SÃO proposições, por não admitirem o atributo verdadeiro ou falso: a) Qual é o seu nome?
b) Cuidado com o buraco! c) Bom dia!
d) Preste atenção à aula! e) Caramba!
Também não são proposições as sentenças do tipo: f) x + 5 = 11
g) A cidade y é a mais populosa do Brasil.
h) Em 2012 foram registradas 1500 + 2z acidentes de trânsito no Rio de Janeiro.
i) Ele é o juiz do TRT da 2ª Região.
As sentenças acima são chamadas sentenças abertas, porque seu valor lógico (V ou F) depende do valor atribuído à variável (x, y, z,...) ou a quem a frase se refere.
Por exemplo, na frase “x + 5 = 11", a sentença será verdadeira se atribuirmos a x o valor seis. Do contrario, ela será falsa.
Na frase “A cidade y e a mais populosa do Brasil”, se nos referimos a São Paulo a sentença e verdadeira. Senão, falsa.
No exemplo i), dependendo de quem seja “Ele”, a sentença será verdadeira ou falsa.
Prof. BRUNO LEAL
Tranquilo? Tenho certeza que sim!
Antes de prosseguirmos, uma questão de concurso envolvendo esse tema: 01) (lCMS-SP/2006 – Fundação Carlos Chagas)
Das cinco frases abaixo, quatro delas tem uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do Universo. V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum e a: a) I;
b) II; c) III; d) IV; e) V
Solução: O primeiro passo é descobrirmos que “característica lógica” é essa. Vamos analisar as cinco frases. Certamente o amigo leitor concordará que: • a frase I e exclamativa;
• a frase III e interrogativa; e • a frase V e imperativa. Beleza?
Lembra que falamos acima que sentenças exclamativas, interrogativas e
imperativas não são proposições? Claro que você lembra! Dai, as frases I, III e V não são proposições.
O amigo já percebeu que o objeto da questão é esse: diferenciar sentenças que são proposições das que não são.
Assim, a característica lógica que se comenta na leitura da questão esta
associada ao conceito de proposição. Conforme disse o enunciado, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, que, como percebemos, é o fato de não serem proposições.
E a frase II? É uma sentença declarativa? A resposta é NÃO!
Para que uma frase seja declarativa, é necessária a presença de um verbo. E não ha verbo na frase II! Portanto, ela não e declarativa, não sendo, pois, proposição.
Se a frase fosse a seguinte: “O livro do Bruno Leal é um excelente livro de raciocínio lógico”, ai sim, teríamos uma proposição.
Com relação à frase IV, temos com certeza uma sentença declarativa, sendo, por isso, uma proposição.
Resumindo: as frases I, II, III e V tem uma mesma característica lógica em comum - não são proposições. Ao contrario da frase IV, que é uma proposição. Portanto, a alternativa correta e a alternativa D.
Esse foi só a primeira de dezenas de questões resolvidas que haverá ao longo do curso. Como diria Obi-Wan Kenobi (sim, sou fã de “Star Wars”), “você deu os primeiros passos em direção a um mundo maior”...
As proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc.) ou por letras
maiúsculas (A, B, C, D etc.). São outros exemplos de proposições, as seguintes: p: Bruno é empresário.
q : 15 < 8
r: Daniele foi ao teatro ontem.
É importante lembrar que NUNCA, “nem sob tortura” haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa.
Isso porque a Lógica se baseia sobre alguns princípios, que são os seguintes: I) Uma proposição verdadeira e verdadeira; uma proposição falsa e falsa. (Principio da Identidade).
II) Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Principio da Não Contradição).
III) Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade.
(Principio do Terceiro Excluído).
Uma proposição pode ser simples ou composta. É simples quando não contém qualquer outra proposição como componente. Também conhecida como proposição atômica.
Significa que não se pode subdividi-la em partes menores tais que alguma delas seja uma nova proposição.
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Exemplo: “Fernanda é irmã de Bruno” é uma proposição simples, pois não é possível identificar como parte dela qualquer outra proposição.
Será composta quando contiver outra proposição como sua parte componente. Isto significa que quando se pode extrair como parte dela uma nova proposição. Exemplo: “Bruno é irmão de Fernanda e de Letícia” é uma proposição
composta, pois é possível retirar-se dela duas outras proposições: “Bruno é irmão de Fernanda” e “Bruno é irmão de Letícia”.
3. Conectivos Lógicos
Agora vai começar de fato a brincadeira! Antes de prosseguirmos, recomendo dar mais uma lidinha em tudo que foi exposto até agora, para termos certeza que fixamos os conceitos fundamentais. Caso o amigo esteja “afiado”, vamos em frente!
Existem alguns termos e expressões que estão frequentemente presentes nas proposições compostas, tais como: “não”, “e”, “ou”, “se...então”, “se e
somente se”, aos quais denominamos conectivos lógicos (ou estruturas lógicas). Esses tais conectivos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligados de tal modo que o valor lógico (V ou F) de uma proposição composta depende somente:
I) do valor lógico de cada uma das proposições componentes;
II) da forma como estas proposições componentes sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados.
O que isso quer dizer? Visualizemos através do exemplo abaixo: Proposições Valores Lógicos
O número 13 é natural V
O número 13 é par F
O número 13 é natural e par F O número 13 é natural ou par V
Certas proposições compostas recebem denominações especiais, de acordo com a estrutura usada pala ligar as proposições componentes. Reconhecê-las é vital para resolvermos as questões de concursos que aparecerão em breve.
Estruturas Lógicas Denominações Não-p Negação p ou q Disjunção Ou p ou q Disjunção Exclusiva p e q Conjunção Se p, então q Condicional p se e somente se q Bicondicional
Isso tem que estar “no nosso sangue”! É importantíssimo!
Vamos analisar com calma cada uma delas. Nesta Aula Zero, falaremos sobre Negação, Conjunção e Disjunção. Nas próximas aulas, abordaremos as demais.
3.1 Negação (Não-p)
Dada uma proposição p qualquer, denominamos negação de p a proposição que se obtém a partir da proposição p acrescida do conectivo lógico “não” ou
equivalente.
A negação pode ser representada simbolicamente por ~p ou, como prefere o CESPE, ¬p.
Podem-se empregar como equivalentes de “não-p” as expressões “Não é verdade que p” ou “É falso que p”.
Importantíssimo: uma proposição p e sua negação “não-p” terão sempre valores lógicos contrários. Uma sendo verdadeira e a outra, falsa.
3.2 Conjunção (p e q)
Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer ligadas pelo conectivo “e”.
A conjunção “p e q” pode ser representada por p ∧q. Exemplo: Dadas as proposições simples:
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q: Bruno é escritor.
A conjunção p e q pode ser escrita como p ∧q : Bru n o é p rofesso e escritor. Nada mais simples, não é?
Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem forem verdadeiras. Se pelo menos uma delas for falsa, a conjunção também será falsa.
Exemplo: Considere as proposições simples: p: Bruno é professor (V)
q: Bruno é torcedor do Flamengo (F – Deus me livre!)
Então a conjunção p ∧q “Bru n o é p r
FALSA.
Considere agora a proposição r: Bruno é botafoguense (V). A conjunção p ∧r,
“Bruno é professor e botafoguense”, é verdadeira, enquanto q ∧ r, “Bru n o torcedor do Flamengo e botafoguense”, evidentemente é falsa.
Parece complicado, mas não é!
Tabela-Verdade da Conjunção (p ∧ q )
Na tabela a seguir, conhecida como tabela-verdade, podemos observar todos os
valores lógicos possíveis da conjunção p ∧ q p a ra c que p e q podem assumir.
p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F
Infelizmente, não há outra alternativa senão decorar esta e as demais tabelas-verdade. É imprescindível para a prova. Mas, no caso da conjunção, é fácil decorar: basta uma das proposições simples ser falsa (ou as duas) que a conjunção também será falsa.
3.3 Disjunção (p ou q)
Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “ou”.
A disjunção p ou q pode ser representada simbolicamente por p ∨q. Exemplo: Considere as seguintes proposições simples:
p: 2 é ímpar (F)
q: 6 é divisível por 3 (V)
A disjunção “p ou q” pode ser escrita como: p ∨q : 2 é ím p a r ou 6 é divisível por 3.
Para a disjunção “p ou q” ser verdadeira, basta que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira. Ou seja, a disjunção “p ou q” só é falsa e p é falsa e q também é falsa.
Tabela-Verdade da Disjunção (p ∨ q)
Na tabela a seguir, conhecida como tabela-verdade, podemos observar todos os
valores lógicos possíveis da disjunção p ∨q p a ra ca d que p e q podem assumir.
p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F
3.4 Como negar conjunções e disjunções – Leis de de Morgan
Para negar a conjunção p ∧q, negamos cada uma das proposições simples e trocamos o conectivo “e” pelo conectivo “ou”. Em símbolos: ~(p ∧ q) é equivalente a (~p ∨ ~ q ) .
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E para negar a disjunção p ∨ q, negamos cada uma das proposições simples e trocamos o conectivo “ou” pelo conectivo “e”. Em símbolos: ~(p ∨ q) é
equivalente a (~p ∧ ~ q ) .
Essas regrinhas são conhecidas como Leis de de Morgan, em homenagem a Augustus de Morgan (1806 – 1871).
Não fique preocupado, é muito fácil! Vamos ver alguns exemplos: a) Bruno é escritor e professor.
Negação: Bruno NÃO é escritor OU NÃO é professor.
Repare que negamos ambas as proposições simples e trocamos o conectivo “e” pelo “ou”. Facílimo, não?
Vejamos outro exemplo: b) 2 é par ou 5 não é primo.
Negação: 2 NÃO é par E 5 é primo. (Negamos ambas as proposições simples e trocamos o conectivo “ou” pelo “e”)
Poderíamos ter escrito: 2 é ímpar e 5 é primo. Alguns detalhes importantes:
1) Determinadas questões de concurso trazem no enunciado uma proposição falsa e temos que encontrar a verdadeira. Basta que neguemos a proposição falsa.
Por exemplo:
a) “A caneta é preta" é uma proposição falsa. A verdadeira seria a negação dela, ou seja, “A caneta não é preta”;
b) “Aline não e inocente” é uma declaração falsa. Sua negação, “Aline é inocente” será verdadeira.
c) “Choveu ontem” é uma mentira. A verdade é que “Não choveu ontem.” d) “Não é verdade que Bruno fala inglês” é uma proposição falsa. Logo, a verdade é a negação dessa proposição: “É verdade que Bruno fala inglês” ou, simplesmente, “Bruno fala inglês”.
e) Cuidado com certas proposições! Pode haver confusão em alguns casos, como por exemplo: qual a negação de “o Botafogo perdeu o jogo”? Se
respondermos sem pensar diríamos: “o Botafogo ganhou o jogo”. Mas... e se ele EMPATOU o jogo?
Logo, a negação de “o Botafogo perdeu o jogo” é pura e simplesmente “o Botafogo NÃO perdeu o jogo.” Tranquilo? Até porque, o Botafogo “não pode perder... perder pra ninguém”!
Brincadeiras à parte, vamos a outro caso que pode gerar dúvida: a negação de “x é um número negativo” é “x é um número positivo”?
Não... pois vai que, como diz o famoso comercial, x seja igual a zero! Nesse caso, x não seria positivo!
Portanto, a negação correta seria simplesmente “x NÃO é um número negativo”.
2) Em suma, para negar uma proposição simples devemos apenas modificar o seu verbo.
Vamos entender melhor com o exemplo abaixo:
Considere a proposição “Artur jogou um caderno na barriga de Pedro”. A negação, de acordo com a Lógica, limita-se a trocar o valor-verdade da afirmação feita. Limita-se a dizer que a afirmativa é falsa. Entretanto, essa falsidade pode recair em vários itens da afirmação, senão vejamos:
• Não foi Artur quem jogou o caderno, foi Jorge. • Não jogou, apenas encostou.
• Não foi um caderno, e sim um livro. • Não foi na barriga, foi na perna. • Não foi em Pedro, foi em Francisco.
Para “abraçarmos” todas essas possibilidades, devemos apenas modificar o verbo.
Assim, a correta negação desta proposição é “Artur não jogou um caderno na barriga de Pedro”.
3.5 Outras negações importantes • Negação de x > y é x < y;
• Negação de x < y é x > y; • Negação de x ≥ y é x < y; • Negação de x ≤ y é x > y; • Negação de x ≠ y é x = y;
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• Negação de “Todo A é B” é “Pelo menos um A não é B”; • Negação de “Nenhum A é B” é Pelo menos um A é B”. Vamos praticar tudo isso a partir de agora!
02) (ABIN/2010 – CESPE)
A negação da proposição "estes papéis são rascunhos ou não têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos" é equivalente a "estes papéis não são rascunhos e têm serventia para o desenvolvimento dos trabalhos".
Solução: Temos uma proposição composta, ligando as proposições simples pelo conectivo “ou”, ou seja, uma disjunção.
Para negar a disjunção, negamos cada proposição simples e trocamos o conectivo “ou” pelo “e”, conforme você já sabe.
Portanto, a negação será: “estes papéis NÃO são rascunhos E têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos”.
Concluímos que o item está CERTO.
03) (TCE-PB - Agente/2006 – FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte ha expressões e sentenças:
1. Três mais nove é igual a doze. 2. Pele é brasileiro.
3. O jogador de futebol. 4. A idade de Maria.
5. A metade de um numero.
6. O triplo de 15 é maior do que 10.
É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números: a) 1, 2 e 6; b) 2, 3 e 4; c) 3,4 e 5; d) 1, 2, 5 e 6; e) 2, 3, 4 e 5.
Solução: O item 3 nos apresenta uma expressão, pois não se trata de uma oração, devido à ausência do VERBO, conforme nos ensina a Gramática. O mesmo ocorre com os itens 4 e 5, pois, nesses itens, também não há verbos. Portanto, são orações, consequentemente sentenças, apenas os itens 1, 2 e 6. Repare que podem ser julgadas, sendo todas verdadeiras. Tratam-se, pois, de proposições. Alternativa A.
04) (ICMS-SP/2006 – FCC) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso.” Nessa proposição, o conectivo lógico é:
a) disjunção inclusiva; b) conjunção;
c) disjunção exclusiva; d) condicional;
e) bicondicional.
Solução: Temos a seguinte proposição composta: “Paula estuda, mas não passa no concurso.” Note que ela ée formada por duas proposições simples: “Paula estuda” e “Paula não passa no concurso.”.
Quem “faz o link” entre as proposições simples para formar uma proposição composta
são os conectivos. Vimos que os conectivos existentes são: e, ou, ou... ou, se... então, se e somente se. Resta-nos saber qual desses conectivos poderia
substituir a palavra “mas” na proposição dada.
Esse conectivo é o “e”, pois sabemos sobre Paula que ela estuda E que ela não passa no concurso.
Fica a dica: a palavra mas e as demais conjunções adversativas (porem, entretanto, contudo etc.) escrita em uma sentença pode ser substituída pelo conectivo “e”.
A proposição composta que usa o conectivo e para interligar os seus termos e chamada de conjunção. Alternativa B.
Molezinha, viu? Eu tô falando que não se trata de nenhum bicho-de-sete-cabeças...
05) (Banca ESAF) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
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a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico
c) nenhum médico é economista
d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas
Solução: Note, caro amigo, que o enunciado nos deu uma afirmação (“todos os economistas são médicos”) e afirmou que ela é FALSA. E pede qual das
alternativas apresenta uma afirmação VERDADEIRA. O que o enunciado nos pede, portanto é a NEGAÇÃO daquela afirmação falsa, a negação de “todos os economistas são médicos”.
Num primeiro momento, poderíamos pensar que a negação de “todos os economistas são médicos” seria “nenhum economista é médico”, fazendo confusão de negação com antônimo.
Mas, como diz a expressão da moda, “só que não”...
Vejamos um exemplo: considere o conjunto dos números naturais primos (números que admitem apenas 2 divisores naturais distintos, o 1 e o próprio número): {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...}. Se eu afirmar que “todos os números naturais primos são ímpares”, certamente você irá dizer que minha afirmação é falsa, por causa do 2, o menor número primo e único par. Qual seria, portanto, a afirmação VERDADEIRA? A negação de “todos os números naturais primos são ímpares”? Seria “nenhum número par é ímpar”??? Claro que não!
A negação de “todo A é B” é “PELO MENOS UM A NÃO É B”, ou “ALGUM A NÃO É B”. Portanto, a negação de “todos os números naturais primos são ímpares” é “pelo menos um número natural primo NÃO é ímpar” ou “algum número natural primo não é ímpar”.
Voltando ao nosso exercício, o leitor amigo já percebeu que a negação de “todos os economistas são médicos” é “pelo menos um economista não é médico”, alternativa A.
06) (UFRJ – Vestibular) João não estudou para a prova de Matemática; por conta disso, não entendeu o enunciado da primeira questão. A questão era de múltipla escolha e tinha as seguintes opções:
a) O problema tem duas soluções, ambas positivas.
b) O problema tem duas soluções, uma positiva e outra negativa. c) O problema tem mais de uma solução.
d) O problema tem pelo menos uma solução.
e) O problema tem exatamente uma solução positiva.
João sabia que só havia uma opção correta. Ele pensou um pouco e cravou a resposta certa. Determine a escolha feita por João. Justifique sua resposta.
Solução: É importante que nós reparemos que NÃO sabemos qual é a questão de Matemática que o João não sabia. Pode ser um problema cuja solução se dê mediante uma equação do primeiro grau. Nesse caso, haveria apenas uma solução.
Mas poderia ser um problema cuja solução seja, por exemplo, uma equação do segundo grau, apresentando duas soluções. Nada sabemos sobre tais soluções, se são positivas, negativas, uma positiva e outra negativa...
Existe ainda a possibilidade de o problema admitir, por que não, infinitas soluções!
Por isso, a alternativa correta é a letra D. O problema tem PELO MENOS UMA solução, ou seja, NO MÍNIMO UMA solução. Pode ser exatamente uma, ou duas, três, ..., infinitas.
07) (Câmara dos Deputados/2012 – CESPE) A negação da proposição “Não conheço esse empresário nem ouvi falar de sua empresa” pode ser expressa por “Conheço esse empresário e ouvi falar de sua empresa”.
Solução: A proposição “Não conheço esse empresário nem ouvi falar de sua empresa” significa pura e simplesmente “Não conheço esse empresário E NÃO ouvi falar de sua empresa”. Uma conjunção, portanto.
A expressão “nem”, que o enunciado colocou na suposta negação, significa “e”, de forma implícita.
Logo, a negação desta proposição é “Conheço esse empresário OU ouvi falar de sua
empresa”.
O item está errado, pois foi utilizado o conectivo “e” na negação.
Conforme você já sabe, para negar uma proposição composta pelo “e” (uma conjunção, acostume-se com a nomenclatura), devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo “e” pelo conectivo “ou”.
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08) (TRE-BA/2009 – CESPE) A negação da proposição “O presidente é o membro mais antigo do tribunal e o corregedor é o vice-presidente” é “O presidente é o membro mais novo do tribunal e o corregedor não é o vice-presidente”.
Solução: Para negar uma conjunção, negamos ambos os componentes e trocamos o conectivo “e” pelo “ou”, não é verdade?
Então, a negação seria “O presidente NÃO é o membro mais antigo do tribunal OU o corregedor NÃO é o vice-presidente”. Item errado, portanto.
09) (MPS/2009 – CESPE) A negação da proposição “Pedro não sofreu acidente de trabalho ou Pedro está aposentado” é “Pedro sofreu acidente de trabalho ou Pedro não está aposentado”.
Solução: Temos agora uma proposição composta que liga as simples pelo conectivo “ou”, uma disjunção portanto. Para negá-la, basta negar ambos os componentes e trocar o “ou” pelo “e”.
Logo, a negação é “Pedro sofreu acidente de trabalho E Pedro não está aposentado”. Item errado, portanto.
10) (PGE – BA/2013 – FCC) A negação de “Ruy Barbosa é abolicionista e Senador Dantas é baiano” é:
a) Ruy Barbosa não é abolicionista e Senador Dantas não é baiano. b) Ruy Barbosa é baiano e Senador Dantas é abolicionista.
c) Ruy Barbosa não é abolicionista ou Senador Dantas não é baiano. d) Ruy Barbosa é baiano ou Senador Dantas não é abolicionista. e) Ruy Barbosa é Senador Dantas e Senador Dantas é Ruy Barbosa.
Solução: Moleza! A negação é “Ruy Barbosa NÃO é abolicionista OU Senador Dantas NÃO é baiano”, alternativa C.
4. Condicional
Recebe o nome de condicional toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo Se... Então...
Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “→”.
Portanto, se temos a sentença: “Se estudo, então sou aprovado” Proposição 1: estudo (Condição Suficiente)
Proposição 2: sou aprovado (Condição Necessária) Conetivo: se... então
Vamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “q” e o conetivo de “→”
Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p → q.
Na proposição p → q, a primeira parte (p) e chamada de antecedente e a segunda parte
(q), de consequente.
Para facilitar o entendimento desta estrutura, veja o exemplo abaixo:
Considere a promessa de um pai a seu filho: “Se amanha fizer sol, então iremos à praia.”
Teremos as possíveis situações:
1ª) Amanha faz sol e eles vão à praia:
A promessa foi cumprida! O pai não mentiu! Daí, o valor lógico de p → q é V. 2ª) Amanha faz sol e não vão a praia:
A promessa não foi cumprida! O pai mentiu, esse desnaturado! Daí, o valor lógico de p → q é F.
3ª) Amanha não faz sol e vão a praia:
Esse caso é importante: apesar de não ter feito sol, o pai levou a criança à praia. Isso não contraria a promessa, então podemos afirmar que o pai não mentiu! Daí, o valor lógico de p → q é V.
4ª) Amanha não faz sol e não vão a praia:
Segundo a promessa “se amanha fizer sol, então iremos à praia”, o pai tem a obrigação de ir a praia caso faca sol. E se o sol não aparecer, a obrigação não subsistirá: sem sol, o pai esta desobrigado do passeio.
Assim, como não fez sol, o pai não mentiu ao filho. Logo a condicional é V.
Portanto, a tabela-verdade da proposição condicional será a representada logo abaixo:
p q p → q V V V
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V F F F V V F F V
É ABSOLUTAMENTE ESSENCIAL que guardemos a seguinte conclusão:
A condicional somente será FALSA quando o antecedente for VERDADEIRO e o consequente for FALSOS!
Também é imprescindível conhecer expressões que podem ser empregadas como equivalentes de “Se p, então q”:
Se p, q (sem o “então”); p implica q;
q, se p;
p é condição suficiente para q; q é condição necessária para p; Quando p, q;
Todo p e q; p somente se q.
Dai, a proposição condicional: “Se estudo, então sou aprovado” também ser escrita
das seguintes maneiras:
• Se estudo, sou aprovado. • Sou aprovado, se estudo. • Quando estudo, sou aprovado. • Sempre que estudo, sou aprovado. • Toda vez que estudo, sou aprovado. • Estudar implica eu ser aprovado.
• Estudar é condição suficiente para eu ser aprovado. • Eu ser aprovado é condição necessária para eu estudar. • Estudo somente se sou aprovado.
Percebam, pois, que se alguém disser: “José ser rico e condição suficiente para Marta
casar com ele” (abra os olhos, José!!), então podemos reescrever essa sentença, usando o formato da condicional.
Teremos: "Se José for rico, então Marta casa com ele.”
Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: “Marta casar com José é condição necessária para que José seja rico”, também poderemos traduzir isso na forma:
4.1 Exercícios Resolvidos
11) (Administrador/TO - Banca AOCP) Sendo p a proposição “Juliana gosta de Matemática” e q a proposição “Nayara gosta de Física”, assinale a alternativa que corresponde à seguinte proposição em linguagem simbólica: “Se Nayara gosta de Física, então Juliana gosta de Matemática” (A) p ∧ q
(B) (~p) V q (C) q → p (D) (~p) ∧(~q) (E) q ↔ q
Solução: Temos as proposições q e p, nessa ordem, ligadas pelo conectivo “se...então”, cujo símbolo é →. Portanto, a resposta é a letra C.
GABARITO: C
12) (BACEN/2006 − FCC) Sejam as proposições:
p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central; q: fazer frente ao fluxo positivo.
Se p implica q, então,
a) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária
para fazer frente ao fluxo positivo;
b) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de
dólares por parte do Banco Central;
c) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo;
d) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central;
e) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo.
Solução: Parece coisa de outro mundo, mas fique calmo, não é nada de mais. O enunciado nos diz que p implica q, portanto temos a condicional p → q. Sabemos que p é condição suficiente para q e q é condição necessária para p.
Prof. BRUNO LEAL
Substituindo as proposições simples p e q pelos seus respectivos significados, teremos:
I) Atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente
para fazer frente ao fluxo positivo e
II) Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária para atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.
As duas situações acima estão corretas, mas apenas uma delas deve aparecer entre as opções de resposta. A situação I aparece na alternativa C.
Sem neurose, passo a passo! GABARITO: Alternativa C.
13) (MRE/2008 − CESPE) Julgue o seguinte item:
Considerando que A e B simbolizem, respectivamente, as proposições “A publicação usa e cita documentos do Itamaraty” e “O autor envia duas copias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty”, então a proposição B → A é uma simbolização correta para a proposição “Uma condição necessária para que o autor envie duas copias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty e que a publicação use e cite documentos do Itamaraty.”
Solução: Inicialmente, repare que a condicional que consta no enunciado é B → A, e não A → B, como usual.
Você já sabe que o consequente e uma condição necessária para o antecedente, logo, na condicional B → A, temos que:
A é uma condição necessária para B.
Sem alterar o sentido da frase, podemos reescrever como: Uma condição necessária para B é A.
Substituindo B e A pelas proposições definidas na questão, teremos:
Uma condição necessária para que o autor envie duas copias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty e que a publicação use e cite documentos do Itamaraty.
Comparando a sentença acima com a proposta no item 1, verifica-se que elas são iguais.
14) (TCE−PI/2005 − FCC) O manual de garantia da qualidade de uma empresa diz que, se um cliente faz uma reclamação formal, então é aberto um processo interno e o departamento de qualidade e acionado. De acordo com essa afirmação é correto concluir que:
a) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição necessária para que o departamento de qualidade seja acionado;
b) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente para
que o departamento de qualidade seja acionado;
c) a abertura de um processo Interno é uma condição necessária e suficiente para que o departamento de qualidade seja acionado;
d) se um processo interno foi aberto, então um cliente fez uma reclamação formal;
e) não existindo qualquer reclamação formal feita por um cliente, nenhum processo interno poderá ser aberto.
Solução: Sabemos que na condicional P → Q, P e condição suficiente para Q, e Q e condição necessária para P.
Ou seja, o 1º termo da condicional é a condição suficiente, e o 2º, a condição necessária.
Guarde muito bem isso!
O 1º termo da condicional em questão é “um cliente faz uma reclamação formal”, e o
2º, “é aberto um processo interno e o departamento de qualidade e acionado”. Portanto, já podemos concluir ser a alternativa B a correta:
b) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente
para que o departamento de qualidade seja acionado.
Repare que na alternativa b não aparece o 2º termo completo da condicional. Não é necessário aparecer por completo, pois o 2º termo usa o conectivo E para interligar as suas proposições simples. Caso fosse o conectivo OU, deveria, aí sim, constar integralmente aquele 2º termo.
GABARITO: B
Prof. BRUNO LEAL
Esse assunto é muito comum em concursos, de todas as bancas, e devemos dominá-lo, pois há uma alta probabilidade de cair na nossa prova.
A negação do condicional p → q é p ∧~ q. Repare 3 fatos im portantes:
1º) A negação de um condicional NÃO é outro condicional, e sim uma CONJUNÇÃO;
2º) Nós MANTEMOS O ANTECEDENTE INALTERADO (não o negamos); 3º) Negamos o consequente.
Exemplo: Qual a negação de “Se 2 é par, então 5 é divisor de 12”?
Para negar o condicional, MANTEMOS o antecedente E NEGAMOS o consequente. Logo, a negação é “2 é par E 5 NÃO é divisor de 12”.
Repare que o “e” na conjunção acima, como já dissemos na aula anterior, tem conotação adversativa, equivalendo a “mas”.
5.1 Exercícios Resolvidos
15) (SERPRO/2013 − CESPE) — Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais!
— Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias.
Considerando o diálogo acima, julgue os itens seguintes, tendo como referência a declaração de Mário.
I) A negação da declaração de Mário pode ser corretamente expressa pela seguinte proposição: “Aquele que não trabalha com o que não gosta não está sempre de férias”.
Solução: A declaração de Mário pode ser reescrita da seguinte maneira: “Se aquele (trabalhador) trabalha com o que gosta, então está sempre de férias”. Como você sabe, a negação do condicional “Se p, então q”, é dada por “p e não q”. Repete-se o antecedente E nega-se o consequente. A negação é, pois: Aquele trabalha com o que gosta E NÃO está sempre de férias.
GABARITO: ERRADO.
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
Solução: O que a questão pede é a negação de uma condicional: Mantém-se a primeira parte E nega-se a segunda. Daí, concluiremos o seguinte: "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é igual a: “está chovendo E eu não levo o guarda-chuva” (letra E).
GABARITO: E
17) (Gestor Fazendário – MG/2005 − ESAF) Considere a afirmação P: P: “A ou B”
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: “Carlos é dentista”
B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
Solução: Temos uma proposição composta no formato de uma disjunção: A ou B.
Ora, logo em seguida o enunciado disse que esta disjunção é falsa. Dizer que uma sentença qualquer é falsa é o mesmo que colocar as palavras “não é verdade que...” antes dela.
Em suma: a questão quer que façamos a negação da disjunção. Como negar uma disjunção é algo que já sabemos fazer:
1º) Nega-se a primeira parte; 2º) Nega-se a segunda parte; 3º) Troca-se o “ou” pelo “e”. Teremos: ~(A ou B) = ~A e ~B
Prof. BRUNO LEAL
Vamos por partes: negando A, teremos: ~A = Carlos não é dentista.
Agora chegou a hora de fazermos a negação de B. Só temos que observar que a proposição B é uma condicional. Como se nega uma condicional? Já sabemos: 1º) Repete-se a primeira parte e
2º) Nega-se a segunda parte. Teremos:
~B = Ênio é economista e Juca não é arquiteto. Finalmente, concluímos que:
~(A ou B) = ~A e ~B = Carlos não é dentista e Ênio é economista e Juca não é arquiteto.
Sendo a resposta, a opção B. GABARITO: B
6. Equivalências da Condicional
Outro tópico muito importante! Assunto extremamente frequente nos mais diversos concursos!
O condicional p → q possui duas equivalências “clássicas”. 1ª) p → q ≡ ~q → ~p
Note 3 características importantes sobre a primeira equivalência: • É outro condicional;
• INVERTEMOS o antecedente com o consequente; • NEGAMOS ambos.
Exemplo: “Se o bar é bom, o chope é Brahma” é equivalente a “Se o chope NÃO é Brahma, então o bar NÃO é bom”.
Repare que mantemos o conectivo “se...então”, invertemos o antecedente com o consequente e negamos ambos.
Vamos praticar inicialmente essa primeira equivalência, antes de vermos a segunda.
6.2 Exercícios Resolvidos
18) (SERPRO) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é:
a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista;
d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira; e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.
Solução: A questão nos trouxe uma condicional e pediu uma proposição equivalente. Acabamos de aprender que p → q ≡ ~q → ~p
Daí, considerando que:
Pedro é economista = p e Luísa é solteira = q
Sua condicional equivalente será: Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista (invertemos o antecedente com o consequente, negando ambos e mantendo o conectivo “se...então).
GABARITO: E
19) (Banco do Brasil) A proposição: Se x é um número par, então y é um número primo, é equivalente à proposição: Se y não é um número primo, então x não é um número par.
Solução: Item CERTO. A negação do condicional p → q é ~q → ~p. Invertemos o antecedente com o consequente negando ambos.
GABARITO: C
20) (SERPRO/2013 – CESPE) Ser síndico não é fácil. Além das cobranças de uns e da inadimplência de outros, ele está sujeito a passar por desonesto.
A esse respeito, um ex-síndico formulou as seguintes proposições:
— Se o síndico troca de carro ou reforma seu apartamento, dizem que ele usou dinheiro do condomínio em benefício próprio. (P1)
— Se dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio, ele fica com fama de desonesto. (P2)
Prof. BRUNO LEAL
Com referência às proposições P1, P2 e P3 acima, julgue os itens a seguir.
I) A negação da proposição “O síndico troca de carro ou reforma seu apartamento” pode ser corretamente expressa por “O síndico não troca de carro nem reforma seu apartamento”.
Solução: Esse assunto foi abordado na aula passada. A negação da disjunção p ou q é dada por ~p E ~q, logo: “O síndico NÃO troca de carro E NÃO reforma seu apartamento”, que é o mesmo expresso em “O síndico não troca de carro nem reforma seu apartamento”.
Item CERTO.
II) A partir das premissas P1 e P2, é correto concluir que a proposição “Se o síndico ficou com fama de desonesto, então ele trocou de carro” é verdadeira.
Solução: O condicional p → q NÃO É EQUIVALENTE a q → p. O síndico pode ser desonesto MESMO SEM TER TROCADO DE CARRO NEM REFORMADO O APARTAMENTO. Muito cuidado, é uma armadilha extremamente frequente em quase todas as provas de Lógica!
Item ERRADO.
III) Se a proposição “Dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio” for falsa, então,
independentemente do valor lógico da proposição “O síndico fica com fama de desonesto”, a premissa P2 será verdadeira.
Solução: Item CERTO. Observando a tabela-verdade do condicional p → q, percebemos que este é sempre verdadeiro toda vez que p for falso. O condicional só é falso se tivermos p verdadeiro e q falso.
IV) A proposição P3 é equivalente a “Se você quiser ser síndico, não queira manter sua fama de honesto”.
Solução: Item CERTO, pois p → q ≡ ~q → ~p, que corresponde exatamente a “Se você quiser ser síndico, não queira manter sua fama de honesto”.
GABARITO: C – E – C – E
Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir:
Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário;
Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido;
Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga.
Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário.
Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue os itens a seguir.
I) A proposição correspondente à negação da premissa 2 é logicamente equivalente a “Como eu não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi”.
Solução: A premissa 2 é do tipo p → (q ∧ r). Para negar um condicional, mantém-se o antecedente E nega-se o consequente. Note que o consequente, por sua vez, é uma conjunção. Para negá-la, nega-se ambas as proposições simples e troca-se o “e” pelo “ou”.
A negação seria: Eu sou traficante E NÃO levo uma grande quantidade de entorpecentes OU NÃO a escondi.
Item ERRADO.
II) Se a proposição “Eu não sou traficante” for verdadeira, então a premissa 2 será uma proposição verdadeira, independentemente dos valores lógicos das demais proposições que a compõem.
Solução: Sendo “Eu não sou traficante” verdadeiro, “Eu sou traficante” é falso. Logo, sendo falso o antecedente de um condicional, este será verdadeiro, independentemente do valor lógico do consequente. Item CERTO.
III) Se P e Q representam, respectivamente, as proposições “Eu não sou traficante” e “Eu sou usuário”, então a premissa 1 estará corretamente representada por P ∧Q.
Prof. BRUNO LEAL
GABARITO: E – C – C
22) (CESPE/2013) Texto para as cinco próximas questões:
Ao comentar sobre as razões da dor na região lombar que seu paciente sentia, o médico fez as seguintes afirmativas.
P1: Além de ser suportado pela estrutura óssea da coluna, seu peso é suportado também por sua estrutura muscular.
P2: Se você estiver com sua estrutura muscular fraca ou com sobrepeso, estará com sobrecarga na estrutura óssea da coluna.
P3: Se você estiver com sobrecarga na estrutura óssea da coluna, sentirá dores na região lombar.
P4: Se você praticar exercícios físicos regularmente, sua estrutura muscular não estará fraca.
P5: Se você tiver uma dieta balanceada, não estará com sobrepeso.
Tendo como referência a situação acima apresentada, julgue os três itens seguintes, considerando apenas seus aspectos lógicos.
I) A proposição P1 pode ser corretamente representada pela forma simbólica P ∧Q, em que P e Q são proposições convenientemente escolhidas e o símbolo ∧representa o conectivo lógico denominado conjunção.
Solução: Item CERTO.
II) Se a proposição “Você está com sua estrutura muscular fraca” for verdadeira e as proposições “Você está com sobrepeso” e “Você está com sobrecarga na estrutura óssea da coluna” forem falsas, então a proposição P2 será verdadeira.
Solução: A premissa P2 é um condicional da forma (p V q) → r, sendo o
antecedente, uma disjunção. Sendo p verdadeira e q falsa, a disjunção p V q
será verdadeira, sendo, portanto, o antecedente, verdadeiro.
III) A negação da proposição P2 é equivalente à proposição “Você não está com sua estrutura muscular fraca nem com sobrepeso, mas está com sobrecarga na estrutura óssea da coluna”.
Solução: Para negar um condicional, MANTÉM-SE o antecedente E NEGA-SE o consequente. Logo, temos: Você está com sobrecarga na estrutura óssea da coluna ou com sobrepeso E NÃO sentirá dores na região lombar.
Item ERRADO.
IV) De acordo com as informações apresentadas, estar com a estrutura muscular fraca ou com sobrepeso é condição suficiente para o paciente sentir dores na região lombar.
Solução: No condicional p → q, dizemos que p é condição suficiente para q e que q é condição necessária para p. Temos também que, se p implica em q e q implica em r, então p implica em r. Logo, p também é condição suficiente para r. Item CERTO.
V) Se todas as afirmações feitas pelo médico forem verdadeiras, também será verdadeira a afirmação “Se você não sentisse dor na região lombar, então não estaria com sobrecarga na estrutura óssea da coluna”.
Solução: O condicional p → q é equivalente a ~q → ~p, tornando o item CERTO.
GABARITO: C – E – E – C – C
23) (AFC − STN) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo: a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.
c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.
Solução: Já sabemos que, num condicional, a primeira parte da condicional é uma condição suficiente e a segunda parte é uma condição necessária.
Daí, tomando a sentença “Se Marcos não estuda, então João não passeia”, teremos que:
Marcos não estudar é condição suficiente para João não passear ou João não passear é condição necessária Marcos não estudar.
Prof. BRUNO LEAL
Até aí, como diria minha avó, “morreu Neves”.
Ocorre que nenhum desses dois resultados possíveis acima consta entre as opções de resposta Daí, resta-nos uma saída: teremos que encontrar uma condicional equivalente à esta da questão. Qual seria? p → q ≡ ~q → ~p.
Teremos: Se Marcos não estuda, então João não passeia ≡ Se João passeia, então Marcos estuda. Fizemos as duas negações e trocamos a ordem.
Daí, agora analisando esta condicional equivalente, concluiremos que: João passear é condição suficiente para Marcos estudar ou Marcos estudar é condição necessária para João passear, que é a resposta (letra e).
GABARITO: E
24) (Analista − BACEN/2005 − FCC) Aldo, Benê e Caio receberam uma proposta para executar um projeto. A seguir são registradas as declarações dadas pelos três, após a conclusão do projeto:
− Aldo: Não é verdade que Benê e Caio executaram o projeto. − Benê: Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou. − Caio: Eu não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o executaram.
Se somente a afirmação de Benê é falsa, então o projeto foi executado APENAS por: a) Aldo. b) Benê; c) Caio; d) Aldo e Benê; e) Aldo e Caio.
Solução: Para descobrirmos quem executou o projeto, analisaremos as três declarações
O enunciado nos disse que apenas a declaração de Benê e falsa, logo as duas outras são verdadeiras.
Portanto, sabemos que:
Não é verdade (é falso) que Benê e Caio executaram o projeto) − V Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou − F
Eu (Caio) não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o executaram – V Vamos destrinchar cada declaração:
1ª) Ela pode ser reescrita como “É FALSO que Benê e Caio executaram o projeto”.
Portanto, como a conjunção “Benê e Caio executaram o projeto” é falsa, pelo menos uma das proposições que a compõe deve ser falsa.
2ª) A declaração de Benê, falsa, é um condicional. Certamente o amigo leitor se lembra que um condicional só é falso quando o primeiro termo (antecedente) é verdadeiro e o segundo é (consequente) é falso.
Descobrimos, assim, que o termo: “Aldo não executou o projeto” é verdade, e o segundo termo: “Caio o executou” é falso.
Logo, são verdadeiras as proposições: “Aldo não executou o projeto” e “Caio não executou o projeto”. Portanto, necessariamente Benê o executou. Alternativa B.
Nem precisamos analisar a terceira declaração (a análise da primeira também foi inútil).
GABARITO: B
7. Segunda equivalência clássica
Vamos agora ver a segunda equivalência “clássica” do condicional: p → q ≡ ~p
V q.
Note 3 aspectos importantes dessa equivalência: 1ª) É uma DISJUNÇÃO, e não outro condicional; 2ª) NEGAMOS o antecedente;
3ª) MANTEMOS o consequente inalterado.
Exemplo: O condicional “Se o bar é bom, o chope é Brahma” é equivalente a “O bar NÃO é bom OU o chope é Brahma”.
Não cai tanto quanto a primeira, mas precisamos estar prontos caso caia. Vamos ver duas questões de concursos sobre o tema:
25) (Administrador/TO − Banca AOCP) Considere a sentença: “Se Ana é professora, então Camila é médica.” A proposição equivalente a esta sentença é:
(A) Ana não é professora ou Camila é médica. (B) Se Ana é médica, então Camila é professora. (C) Se Camila é médica, então Ana é professora. (D) Se Ana é professora, então Camila não é médica.
Prof. BRUNO LEAL
(E) Se Ana não é professora, então Camila não é médica.
Solução: O condicional p → q é equivalente a ~p V q, ou seja, Ana NÃO é
professora OU Camila é médica. Letra (A). GABARITO: A
26) (MPOG) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro
Solução: Teremos que usar as duas equivalências da condicional para resolvê-la. Vejamos: o enunciado nos trouxe uma disjunção. Lembrando que p → q ≡ ~p ou q, vamos desenvolver nosso raciocínio.
Daí, chamaremos André é artista ou Bernardo não é engenheiro de ~p ou q. Assim: André é artista = ~p e Bernardo não é engenheiro = q.
Encontrando agora a estrutura equivalente p → q, teremos: “Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro”.
Ocorre que esta sentença acima não figura entre as opções de resposta. Isso nos leva a concluir que teremos ainda que mexer com essa condicional, encontrando uma condicional equivalente a ela. Daí, usaremos a primeira equivalência “clássica”, p → q ≡ ~q → ~p. Teremos, pois que: “Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro” é o mesmo que: “Se Bernardo é engenheiro, então André é artista” A resposta é a letra d.
8. Lista com os Exercícios abordados na aula de hoje 01) (lCMS-SP/2006 – Fundação
Carlos Chagas)
Das cinco frases abaixo, quatro delas tem uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do Universo.
V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum e a: a) I; b) II; c) III; d) IV; e) V GABARITO: D 02) (ABIN/2010 – CESPE)
A negação da proposição "estes papéis são rascunhos ou não têm mais serventia para o
desenvolvimento dos trabalhos" é equivalente a "estes papéis não são rascunhos e têm serventia para o desenvolvimento dos trabalhos". GABARITO: CERTO
03) (TCE-PB - Agente/2006 – FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte ha expressões e sentenças:
1. Três mais nove é igual a doze. 2. Pele é brasileiro.
3. O jogador de futebol. 4. A idade de Maria.
5. A metade de um numero.
6. O triplo de 15 é maior do que 10. É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números: a) 1, 2 e 6; b) 2, 3 e 4; c) 3, 4 e 5; d) 1, 2, 5 e 6; e) 2, 3, 4 e 5. GABARITO: A 04) (ICMS-SP/2006 – FCC) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso.” Nessa
proposição, o conectivo lógico é: a) disjunção inclusiva; b) conjunção; c) disjunção exclusiva; d) condicional; e) bicondicional. GABARITO: B
05) (Banca ESAF) Dizer que a
afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a
seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico
b) nenhum economista é médico c) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economista
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GABARITO: A
06) (UFRJ – Vestibular) João não estudou para a prova de Matemática; por conta disso, não entendeu o enunciado da primeira questão. A questão era de múltipla escolha e tinha as seguintes opções:
a) O problema tem duas soluções, ambas positivas.
b) O problema tem duas soluções, uma positiva e outra negativa. c) O problema tem mais de uma solução.
d) O problema tem pelo menos uma solução.
e) O problema tem exatamente uma solução positiva.
João sabia que só havia uma opção correta. Ele pensou um pouco e cravou a resposta certa. Determine a escolha feita por João. Justifique sua resposta.
GABARITO: D
07) (Câmara dos Deputados/2012 – CESPE) A negação da proposição “Não
conheço esse empresário nem ouvi falar de sua empresa” pode ser expressa
por “Conheço esse empresário e ouvi falar de sua empresa”.
GABARITO: ERRADO
08) (TRE-BA/2009 – CESPE) A
negação da proposição “O presidente é o membro mais antigo do tribunal e o corregedor é o vice-presidente” é “O presidente é o membro mais novo do tribunal e o corregedor não é o vice-presidente”.
GABARITO: ERRADO
09) (MPS/2009 – CESPE) A negação da proposição “Pedro não sofreu acidente de trabalho ou Pedro está aposentado” é “Pedro sofreu acidente de trabalho ou Pedro não está
aposentado”.
GABARITO: ERRADO
10) (PGE – BA/2013 – FCC) A negação de “Ruy Barbosa é abolicionista e Senador Dantas é baiano” é:
a) Ruy Barbosa não é abolicionista e Senador Dantas não é
baiano.
b) Ruy Barbosa é baiano e Senador Dantas é abolicionista.
c) Ruy Barbosa não é abolicionista ou Senador Dantas não é baiano.
d) Ruy Barbosa é baiano ou Senador Dantas não é abolicionista.
e) Ruy Barbosa é Senador Dantas e Senador Dantas é Ruy Barbosa. GABARITO: C
11) (Administrador/TO - Banca AOCP) Sendo p a proposição “Juliana gosta de Matemática” e q a
proposição “Nayara gosta de Física”, assinale a alternativa que
corresponde à seguinte proposição em linguagem simbólica:
“Se Nayara gosta de Física, então Juliana gosta de Matemática” (A) p ∧ q (B) (~p) V q (C) q → p (D) (~p) ∧(~q) (E) q ↔ q GABARITO: C
12) (BACEN/2006 − FCC) Sejam as proposições:
p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central;
q: fazer frente ao fluxo positivo. Se p implica q, então,
a) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária
para fazer frente ao fluxo positivo; b) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de
dólares por parte do Banco Central; c) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo;
d) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central;
e) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. GABARITO: Alternativa C.
13) (MRE/2008 − CESPE) Julgue o seguinte item:
Considerando que A e B simbolizem, respectivamente, as proposições “A publicação usa e cita documentos do Itamaraty” e “O autor envia duas copias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty”, então a proposição B → A é uma simbolização correta para a proposição “Uma condição necessária para que o autor envie duas copias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty e que a
publicação use e cite documentos do Itamaraty.”
GABARITO: CERTO
14) (TCE−PI/2005 − FCC) O manual de garantia da qualidade de uma empresa diz que,
se um cliente faz uma reclamação formal, então é aberto um processo interno e o
departamento de qualidade e acionado. De acordo com essa afirmação é correto
concluir que:
a) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição necessária
para que o departamento de qualidade seja acionado;
b) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente para
que o departamento de qualidade seja acionado;
c) a abertura de um processo Interno é uma condição necessária e suficiente para que
o departamento de qualidade seja acionado;
d) se um processo interno foi aberto, então um cliente fez uma reclamação formal;
e) não existindo qualquer reclamação formal feita por um cliente, nenhum processo
interno poderá ser aberto. GABARITO: B
15) (SERPRO/2013 − CESPE) — Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais! — Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias.
Prof. BRUNO LEAL
Considerando o diálogo acima, julgue os itens seguintes, tendo como referência a declaração de Mário.
I) A negação da declaração de Mário pode ser corretamente expressa pela seguinte proposição: “Aquele que não trabalha com o que não gosta não está sempre de férias”.
GABARITO: ERRADO.
16) (Fiscal do Trabalho) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
GABARITO: E
17) (Gestor Fazendário – MG/2005 − ESAF) Considere a afirmação P: P: “A ou B”
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:
A: “Carlos é dentista”
B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.
d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
GABARITO: B
18) (SERPRO) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é: a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.
b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.
c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista;
d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira;
e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.
GABARITO: E
19) (Banco do Brasil) A proposição: Se x é um número par, então y é um número primo, é equivalente à
proposição: Se y não é um número primo, então x não é um número par. GABARITO: CERTO
cobranças de uns e da inadimplência de outros, ele está sujeito a passar por desonesto.
A esse respeito, um ex-síndico formulou as seguintes proposições: — Se o síndico troca de carro ou reforma seu apartamento, dizem que ele usou dinheiro do condomínio em benefício próprio. (P1)
— Se dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio, ele fica com fama de desonesto. (P2)
— Logo, se você quiser manter sua fama de honesto, não queira ser síndico. (P3)
Com referência às proposições P1, P2 e P3 acima, julgue os itens a seguir. I) A negação da proposição “O síndico troca de carro ou reforma seu apartamento” pode ser corretamente expressa por “O síndico não troca de carro nem reforma seu apartamento”.
II) A partir das premissas P1 e P2, é correto concluir que a proposição “Se o síndico ficou com fama de desonesto, então ele trocou de carro” é verdadeira.
III) Se a proposição “Dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio” for falsa, então,
independentemente do valor lógico da proposição “O síndico fica com fama de desonesto”, a premissa P2 será verdadeira.
IV) A proposição P3 é equivalente a “Se você quiser ser síndico, não queira manter sua fama de honesto”.
GABARITO: C – E – C – E
21) (CESPE/2012) Texto para as três próximas questões:
Um jovem, ao ser flagrado no aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais conforme o esquema a seguir:
Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário;
Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de droga e a teria escondido;
Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a droga.
Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário.
Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue os itens a seguir.
I) A proposição correspondente à negação da premissa 2 é logicamente equivalente a “Como eu não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga ou não a escondi”.
II) Se a proposição “Eu não sou traficante” for verdadeira, então a premissa 2 será uma proposição verdadeira, independentemente dos valores lógicos das demais proposições que a compõem.
III) Se P e Q representam, respectivamente, as proposições “Eu não sou traficante” e “Eu sou
