Exercícios para Fundamentos da Programação Utilizando Múltiplos Paradigmas

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Exercícios para

Fundamentos da Programação

Utilizando Múltiplos Paradigmas

Pedro Adão, Fausto Almeida, Ana Cardoso-Cachopo, Pedro Amaro de Matos (editores)

Departamento de Engenharia Informática Instituto Superior Técnico

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Preâmbulo

O objectivo desta publicação é disponibilizar um conjunto de exercícios que permitam aos alu-nos da cadeira de Fundamentos de Programação da Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores do Instituto Superior Técnico consolidarem os conhecimentos adquiridos ao longo do semestre.

Os exercícios estão divididos de acordo com os capítulos do livro adoptado pela cadeira: “Programação Utilizando Múltiplos Paradigmas”, de João Pavão Martins e Maria dos Remédios Cravo, editado pela IST Press em 2011. Sempre que tal foi considerado relevante os exercícios foram subdivididos de acordo com o seu tipo.

Chama-se a atenção dos alunos para a indicação do nível de dificuldade de 1 a 4, corres-pondendo o nível 1 a exercícios muito fáceis e o nível 4 a exercícios francamente difíceis. Esta informação é apresentada dentro de um quadrado cinzento antes do enunciado do exercício a que diz respeito.

Alguns destes exercícios correspondem a exercícios propostos nas sebentas (a) Exercícios da cadeira de Introdução à Programação, Cláudia Antunes, Ana Cardoso Cachopo, João Cachopo, Francisco Couto, António Leitão, Inês Lynce, César Pimentel e H. Sofia Pinto, editados por Inês Lynce, 2002, e (b) Exercícios para Programação em Scheme: Introdução à Programação Utilizando Múltiplos Paradigmas, Departamento de Engenharia Informática, IST.

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Conteúdo

1 Noções básicas 7 1.1 Exercícios de revisão . . . 7 1.2 Exercícios de programação . . . 8 2 Abstracção Procedimental 11 2.1 Exercícios de revisão . . . 11 2.2 Exercícios de programação . . . 11 2.2.1 Avaliação de Expressões . . . 11 2.2.2 Definição de Procedimentos . . . 13 2.2.3 Recursão . . . 18

2.2.4 Valores aproximados de funções . . . 23

3 Processos gerados por procedimentos 25 3.1 Exercícios de revisão . . . 25

3.2 Exercícios de programação . . . 25

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Capítulo 1

Noções básicas

1.1 Exercícios de revisão

1. O que é um processo computacional? Qual a relação entre um programa e um processo computacional?

2. O que é um algoritmo? Explique cada uma das suas propriedades: precisão, simplicidade e níveis de abstracção.

3. O que é um programa? Qual a sua relação com um algoritmo?

4. O que é a abordagem do topo para a base? Aplique-a à solução de um problema à sua escolha.

5. Em que consiste a abstracção? Qual a sua vantagem? 6. Explique em que consiste o ciclo “lê-avalia-escreve”.

7. O que é a sintaxe e semântica de uma linguagem? Como se descrevem?

8. Dê um exemplo de cada um dos seguintes tipos de entidades existentes em Scheme: (a) Constante.

(b) Procedimento primitivo. (c) Combinação.

(d) Forma especial.

9. Diga o que é uma combinação, apresentando a sua sintaxe em notação BNF e explicando informalmente os símbolos não terminais que a compõem.

10. Quais os passos seguidos pelo Scheme na avaliação de uma combinação? 11. O que é um predicado? Dê um exemplo.

12. O que é uma definição recursiva? Quais as partes que a compõem? 13. Considere a operação de nomeação em Scheme.

(a) Qual a sintaxe e a semântica da operação de nomeação? 7

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8 CAPÍTULO 1. NOÇÕES BÁSICAS (b) Explique a razão de esta operação corresponder a uma forma especial.

(c) Qual a necessidade da definição desta operação? 14. O que é um ambiente?

1.2 Exercícios de programação

1. (1) Instale o Scheme no seu computador seguindo as instruções do Manual de Sobre-vivência em Scheme.

2. (1) Na janela de interacção do Scheme execute as seguintes acções: (a) Avalie a constante inteira correspondente ao seu número de aluno. (b) Avalie a cadeia de caracteres correspondente ao seu nome completo. (c) Calcule a diferença entre 2007 e o seu ano de nascimento.

(d) Calcule a área de um círculo com diâmetro 10.

(e) Calcule a razão entre a área de um quadrado com 10 de lado e a área de um círculo com diâmetro 10.

3. (2) Traduza as seguintes expressões para notação prefixa e calcule o seu valor utilizando o interpretador do Scheme. Mostre a árvore de avaliação para cada uma delas utilizando o modo de avaliação de expressões em Scheme.

(a) (5 + 4 ∗ 3)/(2 + 1) (b) (5 + 4) ∗ 3/2 + 1

(c) 1 + 2 ∗ 3/4 − 5 ∗ 6/(7 + 8)

4. (1) Converta as seguintes expressões para a notação do Scheme: (a) (1 + 5) ∗ 6 − 12/3

(b) 2 + 3 ∗ 4/5

(c) (8 + 7 ∗ 9/3 − 2) ∗ (8/4 − 9 + 3)

5. (1) Suponha que as seguintes expressões são avaliadas pelo Scheme. Na linha imedia-tamente a seguir a cada uma delas diga o que é escrito pelo interpretador do Scheme (se a avaliação de alguma das expressões der origem a um erro, explique a razão do erro).

(a) (+ 1 20) (b) (1 + 20)

6. (1) Considere uma máscara de papel feita a partir um círculo de papel de raio 5. Os dois olhos são círculos de raio 1 recortados, o nariz é um quarto de círculo de raio 3 recortado e a boca corresponde a meio círculo de raio 3, também recortado. Escreva uma expressão em Scheme para calcular a área ocupada pela máscara.

(a) Escreva o código em texto corrido usando os valores apropriados. (b) Escreva o código usando a indentação elegante.

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1.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 9 (c) Escreva o código definindo nomes Raio-Face, Raio-Olhos, Raio-Nariz, Raio-Boca

para os raios dos círculos referidos.

(d) Escreva o código utilizando os nomes Area-Face, Area-Olhos, Area-Nariz, Area-Boca, com os valores apropriados.

(e) Avalie cada uma das respostas das alíneas anteriores quanto à legibilidade do código. 7. (1) Suponha que as seguintes expressões são avaliadas pela ordem apresentada. Diga o que é escrito pelo interpretador do Scheme. Se a avaliação de alguma das expressões der origem a um erro, explique a razão do erro.

(a) (* 4 (+ 1 7.0)) (b) (define a 5) (c) (+ a b) (d) (define b (* (+ 5 a) (+ 2 56))) (e) (+ a b) (f) a (g) (define a (+ a 2)) (h) a (i) + (j) 7.0 (k) (* 2 (/ 8 4)) (l) (+ 3 #f) (m) (define a a) (n) a

8. (1) Diga qual o resultado de avaliar cada uma das seguintes formas. Se a avaliação de uma forma não produzir resultados escreva -nada-. Se a avaliação de uma forma produzir um erro, explique a sua razão.

(a) (and (> 3 5) (/ 3 0)) (b) (and (/ 3 0) (> 3 5)) (c) (+ 8 (max 3 2))

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Capítulo 2

Abstracção Procedimental

2.1 Exercícios de revisão

1. Diga qual a diferença entre uma função matemática e um procedimento em Scheme para o cálculo dessa função.

2. Explique o que são os parâmetros formais e o que são os parâmetros concretos, referindo, em particular onde aparecem os parâmetros formais e onde aparecem os parâmetros concretos e quando e como é que os parâmetros formais são associados com os parâmetros concretos.

3. Utilizando a notação BNF, apresente a definição de uma expressão lambda. Explique cada um dos constituintes da sua definição.

4. O que é um procedimento anónimo? Dê um exemplo.

5. Diga o que é abstracção procedimental e qual a sua vantagem.

6. Escreva as regras seguidas pelo Scheme para a avaliação de uma expressão.

7. O que é um ambiente local? Qual o significado de dizer que um nome está ligado num ambiente?

2.2 Exercícios de programação

2.2.1 Avaliação de Expressões

1. (1) Avalie as seguintes formas. Se alguma das avaliações der origem a um erro, explique qual a razão do erro.

(a) (3 1)

(b) ((lambda (x) (+ 2 x)) 3)

(c) ((lambda (x) ((lambda (y) (* y 2)) (+ x 3))) 4) (d) ((lambda (x) (+ x 3)) ((lambda (y) (* y 2)) 4))

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12 CAPÍTULO 2. ABSTRACÇÃO PROCEDIMENTAL 2. (1) Diga qual o resultado de avaliar cada uma das seguintes formas. Considere que estas são fornecidas ao avaliador do Scheme pela ordem apresentada (e consequentemente cada forma é dependente das anteriores).

Se a avaliação de uma forma não produzir resultados escreva -nada-. Se a avaliação de uma forma produzir um erro, explique a sua razão.

(a) (define a 5) (b) (if (odd? a) (+ a 2) (* a 3)) (c) (lambda (x) (+ b x)) (d) ((lambda (x)(+ a x)) b) 3. (1) Considere o procedimento (define (cont n) (if (< n 0) 0 (+ 2 (cont (- n 3)))))

Com base nas regras de avaliação, desenhe a árvore que representa o funcionamento deste procedimento com a avaliação de (cont 5).

4. (1) Considere o procedimento (define (proc n)

(cond ((= n 0) 1) ((= n 1) 1)

(else (+ 3 (proc (- n 3))))))

Com base nas regras utilizadas pelo interpretador do Scheme para avaliar uma com-binação, desenhe a árvore que representa o funcionamento deste procedimento com a avaliação de (proc 3).

5. (1) Considere a seguinte interacção com o Scheme: > (define (f x) (+ x 2)) > (define (g x) (* 2 (f x))) > (define (h x) (f (* 2 x))) > (g 3) 10 > (h 3) 8

Com base nas regras utilizadas pelo interpretador do Scheme para avaliar uma combi-nação, desenhe as árvores que representam o funcionamento destes procedimentos com a avaliação de (g 3) e de (h 3).

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2.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 13 6. (2) Repare que o nosso modelo de avaliação permite a existência de combinações cujos operadores são expressões compostas. Use esta observação para descrever o comporta-mento do seguinte procedicomporta-mento:1

(define (a-plus-abs-b a b) ((if (> b 0) + -) a b))

7. (2) Considere a seguinte interacção em Scheme: > (define (f1 x) (* x x))

> (f1 5) 25

> (define f2 f1)

(a) Qual o valor de (f2 5)? Justifique a sua resposta.

(b) Suponha que agora definia o procedimento f2, do seguinte modo: > (define (f2 x) (+ x 10))

Quais os valores de (f1 5) e de (f2 5)? Justifique a sua resposta. 8. (2) Considere a seguinte definição:

(define f ((lambda (x) (lambda (y) x)) 1)).

Diga quais os resultados da avaliação sequencial das seguintes expressões. Se alguma das expressões produzir um erro, explique a razão do erro.

(a) (f 2) (b) (define g (f 3)) (c) (g 4) (d) (define h f) (e) (h 6) 2.2.2 Definição de Procedimentos

1. (1) Escreva em Scheme um procedimento anónimo que soma dois ao seu argumento. 2. (1) Escreva em Scheme um procedimento anónimo para representar a função de um

argumento (x) cujo valor é calculado por (x − 32) ∗ 5/9.

3. (1) Escreva um procedimento anónimo para representar a função de dois argumentos (x e y) cujo valor é calculado por (x + 3 ∗ y) ∗ (x − y).

4. (1) Escreva em Scheme o procedimento dobro que devolve o dobro do seu argumento.

1_{Exercício 1.4 de Abelson H., Sussman G. J., e Sussman J., Structure and Interpretation of Computer}

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14 CAPÍTULO 2. ABSTRACÇÃO PROCEDIMENTAL 5. (1) Escreva em Scheme o procedimento metade que recebe um número inteiro positivo

e devolve um número racional que corresponde a metade do seu argumento.

6. (1) Escreva um procedimento em Scheme chamado minutos->horas que recebe um inteiro correspondente a um certo número de minutos e que devolve um número real que traduz o número de horas correspondentes ao seu argumento.

> (minutos->horas 120) 2.0

> (minutos->horas 10) 0.16666666666666666

7. (2) Escreva em Scheme o procedimento digitos->numero que recebe como argumen-tos três dígiargumen-tos e produz o número inteiro de três algarismos constituído pelos seus argumentos e pela ordem em que aparecem.

> (digitos->numero 3 2 8) 328

8. (1) Escreva um procedimento chamado area-circulo que calcula a área de um circulo cujo raio é r. Note-se que esta área é dada pela fórmula πr2.

9. (2) Utilizando o procedimento area-circulo do exercício anterior, escreva um proce-dimento area-coroa que calcula a área de uma coroa circular de raio interior r1 e raio exterior r2.

10. (1) Escreva em Scheme um procedimento anónimo, que recebe dois números e devolve o maior deles.

11. (1) Defina em Scheme o procedimento media que recebe dois argumentos que devem ser números e devolve o número real que corresponde à média dos seus argumentos. 12. (1) Escreva um procedimento em Scheme, chamado sinal, que receba um inteiro e

devolva 1, −1 ou 0, caso o número seja, respectivamente, maior, menor ou igual a zero. 13. (1) Escreva em Scheme o procedimento intermedio que recebe três números e devolve

o número com o valor intermédio.

14. (3) Escreva um procedimento em Scheme, chamado quant->qual, que recebe um real, representando uma nota quantitativa de um aluno (entre 0 e 20), e a transforma numa constante do tipo cadeia de caracteres que corresponde a uma nota qualitativa, de acordo com a tabela Nota Nota quantitativa qualitativa 18 a 20 Muito Bom 14 a 17 Bom 10 a 13 Suficiente 5 a 9 Mediocre 0 a 4 Mau

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2.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 15 A nota recebida deverá ser convertida para um número inteiro, antes da conversão para a nota qualitativa.

15. (1) Escreva um procedimento em Scheme que recebe as notas de um aluno de uma cadeira C1 (nota do projecto, média dos trabalhos das práticas, nota do teste, e nota do exame final) e calcula a sua nota final de acordo com as seguintes regras:

(a) A nota na cadeira será calculada por uma média ponderada da classificação obtida nas provas realizadas, com os seguintes pesos: Projecto, 0,25; Trabalhos de casa e aulas práticas, 0.10; Teste, 0.2; Exame final 0.45.

(b) Para obter aprovação na cadeira, a nota do exame terá de ser superior a 7,5 valores, a nota do projecto terá de ser superior a 9,5 valores e a média ponderada da cadeira terá de ser superior a 9,5 valores.

O seu procedimento deve devolver a nota final da cadeira (um inteiro) no caso de o aluno ter sido aprovado ou zero no caso do aluno ter sido reprovado.

16. (1) Utilizando os procedimentos desenvolvidos nos exercícios 14 e 15, escreva um pro-cedimento em Scheme que recebe as notas de um aluno da cadeira C1 (nota do projecto, média dos trabalhos das práticas, nota do teste, e nota do exame final) e calcula a sua nota qualitativa final.

17. (3) O procedimento primitivo round, quando a parte decimal do número a arredondar é 0.5, arredonda por excesso ou por defeito (em termos de valor absoluto), consoante a parte inteira seja ímpar ou par. Por exemplo,

> (round 5.5) 6.0

> (round 6.5) 6.0

Escreva um procedimento arredonda que arredonda sempre por excesso (em termos de valor absoluto), quando a parte decimal do número é 0.5. Por exemplo,

> (arredonda 5.5) 6.0 > (arredonda 6.5) 7.0 > (arredonda -6.5) -7.0

18. (2) Escreva em Scheme um procedimento chamado cinco? que tem o valor verdadeiro, apenas se o seu argumento for 5. Não utilize o if, nem o cond, nem #t nem #f.

19. (2) Escreva em Scheme um procedimento (entre? val x y) que devolve #t, apenas no caso de val se encontrar entre x e y (x < val < y).

20. (2) Escreva em Scheme o procedimento bissexto? para verificar se um ano é bissexto. Um ano é bissexto se for divisível por 4 e não for divisível por 100, a não ser que seja também divisível por 400. Por exemplo, 1984 é bissexto, 1100 não é, e 2000 é bissexto.

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16 CAPÍTULO 2. ABSTRACÇÃO PROCEDIMENTAL

> (bissexto? 2000) #t

> (bissexto? 1900) #f

21. (2) Escreva em Scheme o procedimento data-valida? para verificar se uma data é válida. O seu procedimento deve receber 3 inteiros, em que o primeiro representa o ano, o segundo, o mês, e o terceiro, o dia, e verificar se a data correspondente existe no calendário. Por exemplo, 1998 2 29 e 1945 4 31 não são datas válidas (porque 1998 não é bissexto e Abril só tem 30 dias, respectivamente) mas 2000 2 29 é uma data válida. > (data-valida? 31 1 2000) #t > (data-valida? 29 2 1900) #f > (data-valida? 31 4 2000) #f

22. (2) Se a, b e c representam as dimensões dos lados de um triângulo, escreva um pro-cedimento chamado triangulo? que devolve verdadeiro apenas se os valores de a, b e c puderem corresponder a lados de um triângulo, i.e., (a) nenhum dos valores a, b e c poderá ser negativo ou nulo; (b) a soma de quaisquer destes valores tem de ser maior do que o terceiro (num triângulo, qualquer lado é menor do que a soma dos outros dois). 23. (2) Se a, b e c representam as dimensões dos lados de um triângulo, a área do triângulo

é dada por p s (s − a) (s − b) (s − c) com s = a + b + c 2

Escreva um procedimento em Scheme chamado area-triangulo que recebe como argu-mentos três inteiros representando as dimensões dos lados de um triângulo e que calcula a área do triângulo. Evite o cálculo repetido do valor de s. Verifique se as dimensões fornecidas correspondem a um triângulo.

24. (2) Escreva em Scheme o procedimento classifica que recebe três números correspon-dentes aos comprimentos dos lados de um triângulo e decide se o triângulo é equilátero, isósceles ou escaleno.

25. (2) Escreva um procedimento em Scheme, chamado triangulo-rect?, que recebe três números inteiros positivos e determina se estes correspondem aos comprimentos dos lados de um triângulo rectângulo.

O seu procedimento deverá satisfazer as seguintes condições:

• O procedimento devolve verdadeiro no caso dos valores recebidos corresponderem aos comprimentos dos lados de um triângulo rectângulo e falso em caso contrário. • O funcionamento do procedimento é independente da ordem pela qual os valores

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2.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 17 • O procedimento verifica se os valores fornecidos e correspondem a inteiros positivos,

produzindo uma mensagem em caso de não corresponderem.

Note que num triângulo rectângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois.

26. (2) Escreva em Scheme o procedimento idade que recebe como argumentos seis nú-meros inteiros correspondentes a duas datas (um dia, mês, ano para cada data), sendo a primeira data correspondente à data de nascimento de uma pessoa e a segunda cor-respondente a uma data posterior, e devolve a idade (número de anos) dessa pessoa na segunda data.

> (idade 3 3 1990 28 9 2011) 21

> (idade 3 3 1990 3 2 2011) 20

27. (3) Escreva em Scheme o procedimento anterior? que recebe como argumentos seis números inteiros correspondentes a duas datas (um dia, mês, ano para cada data) e devolve #t se a primeira data for anterior à segunda e #f caso contrário. Não utilize o if, nem o cond, nem #t nem #f.

> (anterior? 1 12 2010 1 1 2011) #t

> (anterior? 31 12 2010 1 12 2010) #f

28. (2) Escreva em Scheme o procedimento dias-p/-reveillon que recebe como argumen-tos dois números inteiros correspondentes a um mês e um ano e que retorna o número de dias desde o dia 1 do mês dado até ao final desse ano.

29. (3) Escreva em Scheme o procedimento dias-entre-datas<365 que recebe como argu-mentos seis números inteiros correspondentes a duas datas (um dia, mês e ano para cada data) com menos de 365 dias de diferença, sendo a primeira data anterior à segunda, e devolve o número de dias após a primeira data e até à segunda data (inclusive).

> (dias-entre-datas<365 1 12 2010 1 1 2011) 31

> (dias-entre-datas<365 2 12 2010 1 12 2011) 364

Sugestão: Use o procedimento dias-p/-reveillon definido na alínea 28.

30. (3) Escreva em Scheme o procedimento proximo-29/2 que recebe como argumentos três números inteiros correspondentes a uma data (um dia, mês e ano) e retorna o ano da próxima ocorrência do dia 29 de Fevereiro depois da data recebida como argumento. Sugestão: Use o procedimento bissexto? definido na alínea 20.

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18 CAPÍTULO 2. ABSTRACÇÃO PROCEDIMENTAL > (proximo-29/2 29 1 2000) 2000 > (proximo-29/2 29 3 2000) 2004 > (proximo-29/2 29 1 1900) 1904

31. (3) Escreva em Scheme o procedimento numero-de-29/2s que recebe como argumentos seis números inteiros correspondentes a duas datas (um dia, mês, ano para cada data), sendo a primeira data anterior à segunda, e devolve o número de ocorrências do dia 29 de Fevereiro depois da primeira data e até à segunda (inclusive).

Sugestão: Use o procedimento proximo-29/2 definido na alínea 30.

32. (3) Escreva em Scheme o procedimento dias que recebe como argumentos seis núme-ros inteinúme-ros correspondentes a duas datas (um dia, mês, ano para cada data), sendo a primeira data anterior à segunda, e devolve o número de dias depois da primeira data e até à segunda (inclusive).

Sugestão: Use os procedimentos definidos anteriormente.

2.2.3 Recursão

1. Suponha que em Scheme não existiam as operações aritméticas +, -, quotient, * e / nem os predicados <, > e = mas que existem os procedimentos add1, sub1 e zero? que recebem como argumento um inteiro e devolvem, respectivamente, o seu sucessor, o seu antecessor, e o resultado de verificar se o número é 0.

Neste exercício apenas poderá utilizar estas 3 operações e outras eventualmente definidas utilizando estas.

(a) (1) Escreva um procedimento em Scheme soma que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve a soma dos dois.

Sugestão: A soma de dois números n e m pode ser vista como n + 1 + · · · + 1, m vezes.

> (soma 8 2) 10

(b) (1) Escreva um procedimento em Scheme multiplica que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve a multiplicação dos dois.

Sugestão: A multiplicação de dois números n e m pode ser vista como n + n + · · · + n, m vezes.

> (multiplica 8 2) 16

(c) (1) Escreva um procedimento em Scheme menos que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve a diferença dos dois.

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2.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 19

> (menos 8 2) 6

> (menos 2 8) -6

(d) (2) Escreva um procedimento em Scheme par? que recebe um número inteiro positivo n, e retorna #t se n for par e #f no caso contrário.

> (par? 8) #t

> (par? 5) #f

(e) (2) Suponha definido um procedimento menor? que recebe dois números inteiros positivos n e m, e retorna #t se o n for menor do que m e #f no caso contrário. Escreva um procedimento em Scheme quociente que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve o quociente da divisão de n por m. No caso de m ser 0 deverá devolver 0.

Relembre que o quociente da divisão de dois números inteiros positivos n e m é o maior inteiro r tal que r.m ≤ n.

Sugestão: Utilize o procedimento menos definido anteriormente. > (quociente 8 2)

4

> (quociente 10 3) 3

2. (1) Escreva um procedimento em Scheme somatorio que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma de todos os números até n.

> (somatorio 3) 6

> (somatorio 6) 21

3. (1) Escreva um procedimento em Scheme soma-quadrados que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma do quadrado de todos os números até n.

> (soma-quadrados 3) 14

4. (1) Escreva um procedimento em Scheme factorial que recebe um número inteiro positivo n, e devolve o factorial desse número.

> (factorial 0) 1

> (factorial 5) 120

(20)

20 CAPÍTULO 2. ABSTRACÇÃO PROCEDIMENTAL 5. (1) Escreva um procedimento em Scheme potencia que recebe dois números inteiros

positivos b e n, e devolve a potência n de b, i.e., bn. > (potencia 3 2)

9

> (potencia 2 4) 16

6. (2) Um número d é divisor de n se o resto da divisão de n por d for 0. Escreva um procedimento em Scheme numero-divisores que recebe um número inteiro positivo n, e retorna o número de divisores de n. No caso de n ser 0 deverá retornar 0.

> (numero-divisores 20) 6

7. (2) Suponha definido um procedimento primo? que recebe um número inteiro positivo n, e retorna #t se o número for primo e #f no caso contrário.

Escreva um procedimento em Scheme numero-primos-menores que recebe um número inteiro positivo n, e retorna o número de primos menores ou iguais a n.

> (numero-primos-menores 9) 4

> (numero-primos-menores 23) 9

8. (2) Suponha definido um procedimento primo? que recebe um número inteiro positivo n, e retorna #t se o número for primo e #f no caso contrário.

Escreva um procedimento em Scheme numero-divisores-primos que recebe um número inteiro positivo n, e retorna o número de divisores primos de n. No caso de n ser 0 deverá retornar 0. > (numero-divisores-primos 1) 0 > (numero-divisores-primos 20) 2 > (numero-divisores-primos 30) 3

9. (2) Escreva um procedimento em Scheme soma-divisores que recebe um número inteiro positivo n, e retorna a soma de todos os divisores de n. No caso de n ser 0 deverá retornar 0.

> (soma-divisores 20) 42

(21)

2.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 21 10. (3) O logaritmo inteiro de um número n na base b é o maior número inteiro e tal que be ≤ n. Escreva um procedimento em Scheme logaritmo que recebe dois números inteiros positivos n e b, e devolve o logaritmo inteiro de n na base b. No caso de n ou b serem 0 deverá retornar 0.

> (logaritmo 8 2) 3

> (logaritmo 7 2) 2

11. (3) A raiz inteira de índice e de um número n é o maior número inteiro r tal que re≤ n. Escreva um procedimento em Scheme raiz que recebe dois números inteiros positivos n e e, e devolve a raiz inteira de n de índice e. No caso de e ser 0 deverá retornar 0. > (raiz 8 3)

2

> (raiz 15 2) 3

12. (4) Suponha definido um procedimento kesimo-factor-primo que recebe dois números inteiros positivos n e k, e retorna o seu k-ésimo factor primo de n.

Escreva um procedimento em Scheme kesimo-expoente que recebe dois números inteiros positivos n e k, e retorna o expoente do k-ésimo factor primo de n. No caso de n ter menos de k factores primos ou k ser 0, deverá retornar 0.

> (kesimo-expoente 72 1) 3

Nos exercícios que se seguem poderá ser útil a utilização dos seguintes procedimentos sobre números inteiros:

• (remainder n m) retorna o resto da divisão de n por m. • (quotient n m) retorna o quociente da divisão de n por m.

13. (3) Escreva um procedimento em Scheme numero-digitos que recebe um número inteiro positivo n, e retorna o número de dígitos de n.

> (numero-digitos 9) 1

14. (3) Escreva um procedimento em Scheme soma-digitos que recebe um número inteiro positivo n, e retorna a soma de todos os dígitos de n.

(22)

22 CAPÍTULO 2. ABSTRACÇÃO PROCEDIMENTAL

> (soma-digitos 9) 9

15. (3) Escreva um procedimento em Scheme soma-digitos-pares que recebe um número inteiro positivo n, e retorna a soma de todos os dígitos pares de n.

> (soma-digitos-pares 9) 0

> (soma-digitos-pares 1412) 6

16. (4) Escreva um procedimento em Scheme digitos-impares que recebe um número inteiro positivo n, e retorna o número composto apenas pelos seus dígitos ímpares de n. > (digitos-impares 94558)

955

> (digitos-impares 2468) 0

17. (4) Escreva um procedimento em Scheme muda-digito que recebe três números inteiros positivos n, k e d, e retorna o inteiro que resulta de substituir o dígito na posição k de n por d.

> (muda-digito 12345 2 8) 12385

> (muda-digito 12345 7 8) 80012345

18. (4) O espelho de um número inteiro positivo é o resultado de inverter a ordem de todos os seus algarismos. Escreva um procedimento em Scheme espelho que recebe um número inteiro positivo n, e retorna o seu espelho.

> (espelho 391) 139

> (espelho 45679) 97654

19. (4) Um número binário b_nbn−1. . . b1b0 pode ser transformado num número decimal usando a seguinte formulaPn

i=0bi2i. Escreva um procedimento em Scheme binario-decimal que recebe um número b escrito em binário e retorna a sua representação decimal.

> (binario-decimal 1001) 9

> (binario-decimal 10000) 16

(23)

2.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 23 20. (4) Um número decimal d pode ser transformado num número binário b_nbn−1. . . b1b0 através da seguinte recorrência: seja q₀ = d e qi = quociente(qi−1, 2) para i > 0, e bi = resto(qi, 2). Escreva um procedimento em Scheme decimal-binario que recebe um número d escrito em base 10 e retorna a sua representação binária.

> (decimal-binario 33) 100001

2.2.4 Valores aproximados de funções

1. (2) Sabe-se que a seguinte fórmula permite calcular uma aproximação da função seno até um determinado número de termos:

seno(x) = x(1 − x 2 2 · 3(1 − x2 4 · 5(1 − x2 6 · 7(· · · ))))

Defina em Scheme um procedimento seno que corresponde ao método de cálculo anterior. O seu procedimento deverá receber o número para o qual se pretende calcular o seno e o número de factores a considerar.

2. (2) A função arctg pode ser aproximada através da fórmula

arctg(z) = ∞ X n=0 (−1)nz2n+1 2n + 1 = z − z3 3 + z5 5 − z7 7 + . . .

Defina em Scheme um procedimento que calcule o arctg de acordo com a fórmula acima. O seu procedimento deverá receber o número z para o qual se quer calcular o arctg bem como o número de termos da expressão a calcular.

3. (3) Suponha que o procedimento sqrt não estava definido em Scheme como um pro-cedimento primitivo.

A raiz quadrada de um número, x, pode ser calculada usando um método de aproxima-ções sucessivas, chamado método de Newton, em que um valor aproximado para√x, y, é sucessivamente melhorado utilizando a fórmula y+

x y

2 .

Por exemplo, para calcular √3, poderíamos efectuar os seguintes cálculos: Passo Aproximação Nova aproximação

1 3 2 2 2 1.75 3 1.75 1.732142857 4 1.732142857 1.73205081 5 1.73205081 1.732050808 6 1.732050808 1.732050808

Considerando que uma primeira aproximação grosseira para√x pode ser x, escreva um procedimento em Scheme para calcular a raiz quadrada de um número.

(24)

24 CAPÍTULO 2. ABSTRACÇÃO PROCEDIMENTAL 4. (3) A constante e é um dos números mais importantes em Matemática, a par com os elementos neutros da adição (0) e da multiplicação (1), com a constante π e com a unidade imaginária i.

O valor de e corresponde ao número real que é a soma da seguinte série infinita

e = ∞ X n=0 1 n! = 1 0!+ 1 1!+ 1 2!+ 1 3!+ . . .

Escreva um procedimento em Scheme para calcular uma aproximação do número e, utilizando a série apresentada. A condição de paragem deve ser determinada por si e devidamente justificada.

(25)

Capítulo 3

Processos gerados por procedimentos

3.1 Exercícios de revisão

1. Explique os seguintes conceitos: procedimento e processo gerado por um procedimento. 2. Quais são as características de um processo recursivo?

3. Quais são as características de um processo iterativo linear?

4. Será que um procedimento recursivo pode gerar um processo iterativo? Justifique a sua resposta e dê um exemplo.

5. Considere a afirmação “os procedimentos que geram processos iterativos são sempre me-lhores que os procedimentos que geram processos recursivos". Comente-a relativamente aos seguintes aspectos: (a) memória ocupada; (b) tempo gasto; (c) facilidade de escrita e leitura do programa.

6. Qual o interesse de estudar a ordem de crescimento de um processo? Compare as or-dens de crescimento (temporal e espacial) entre processos recursivos lineares e iterativos lineares.

7. Diga o que significa a frase “A ordem de crescimento do recurso R(n) é Θ(n)".

8. Usando a definição da função Θ que define a ordem de crescimento de um processo, explique o que significa um processo ter ordem de crescimento polinomial.

3.2 Exercícios de programação

1. (1) Considere o seguinte procedimento (define (misterio x)

(cond ((= x 0) (newline))

(else (display (remainder x 10)) (misterio (quotient x 10))))) Qual a função calculada pelo procedimento misterio?

Sugestão: Siga o processo gerado por este procedimento para alguns inteiros. Depois admire o poder dos procedimentos recursivos.

(26)

26 CAPÍTULO 3. PROCESSOS GERADOS POR PROCEDIMENTOS 2. (1) Considere a definição do seguinte procedimento em Scheme que recebe inteiros

superiores ou iguais a zero: (define (misterio?-aux b c)

(cond ((zero? b) #t) ((zero? c) #f)

(else (misterio?-aux (sub1 (sub1 b)) (sub1 (sub1 c)))))) (define (misterio? a)

(misterio?-aux a (sub1 a)))

(a) Explique qual a função calculada pelo procedimento misterio?.

(b) O processo gerado pelo procedimento misterio?-aux é iterativo ou recursivo? Jus-tifique a sua resposta.

3. (1) Considere a definição do seguinte procedimento em Scheme: (define (misterio-aux m1 m2 r) (if (= m2 0) r (misterio-aux m1 (- m2 1) (+ m1 r)))) (define (misterio x y) (misterio-aux x y 0))

(a) Mostre a evolução do processo originado pela execução de (misterio 7 3). (b) O processo gerado é recursivo ou iterativo? Justifique a sua resposta. (c) O procedimento misterio-aux é recursivo? Justifique a sua resposta. 4. (1) Considere o seguinte procedimento:

(define (misterio-aux n ac) (if (< n 10) (+ n (* ac 10)) (misterio-aux (quotient n 10) (+ (remainder n 10) (* ac 10))))) (define (misterio n) (misterio-aux n 0))

(a) Entre os procedimentos apresentados, misterio e misterio-aux, existe algum que seja um procedimento recursivo? Justifique a sua resposta.

(b) Mostre a evolução do processo gerado pela avaliação de (misterio 149).

(c) O procedimento misterio gera um processo recursivo ou iterativo? Justifique a sua resposta.

(27)

3.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 27 5. (2) Considere o seguinte procedimento

(define (misterio x n) (if (= n 0)

0

(+ (* x n) (misterio x (- n 1)))))

(a) Mostre a evolução do processo gerado pela avaliação de (misterio 2 3). (b) O procedimento apresentado é um procedimento recursivo? Justifique.

(c) O procedimento apresentado gera um processo recursivo ou iterativo? Justifique. (d) Se o processo gerado era iterativo, transforme o procedimento de forma que gere um

processo recursivo. Se o processo gerado era recursivo, transforme o procedimento, de forma a que gere um processo iterativo.

6. (1) O número de combinações de m objectos n a n pode ser dado pela seguinte recor-rência: C(m, n) =    1 se n = 0 1 se m = n C(m − 1, n) + C(m − 1, n − 1) se m > n, m > 0 e n > 0

(a) Usando a fórmula acima, escreva um procedimento em Scheme para calcular o número de combinações de m objectos n a n.

(b) Que tipo de processo é gerado pelo seu procedimento?

7. (1) A função de Ackermann é definida através da seguinte recorrência:1

A(m, n) =    n + 1 se m = 0 A(m − 1, 1) se m > 0 e n = 0 A(m − 1, A(m, n − 1)) se m > 0 e n > 0

(a) Escreva um procedimento em Scheme Ackermann que calcula o valor da função de acordo com a expressão acima.

(b) Mostre a evolução do processo originado pela avaliação de (Ackermann 2 2). 8. (2) A função potência pode ser definida através da seguinte recorrência:

xn=    x se n = 1 x.(xn−1) se n for ímpar (xn/2)2 se n for par

Escreva um procedimento potencia que gera um processo iterativo e que corresponde à realização desta função.

1

(28)

28 CAPÍTULO 3. PROCESSOS GERADOS POR PROCEDIMENTOS 9. (2) Suponha que não existe o operador * em Scheme mas que existem os procedimentos soma, quociente e par? definidos no Exercício 1 da Secção 2.2.3. Um modo de definir o produto de dois números inteiros positivos é através da seguinte recorrência:

x · y =    0 se x = 0 x 2 · (y + y) se x é par y + (x − 1) · y em caso contrário

(a) Defina o procedimento produto que efectua o produto de dois números inteiros positivos, de acordo com esta definição.

(b) O seu procedimento é um procedimento recursivo? Justifique a sua resposta. (c) O seu procedimento gera um processo recursivo ou iterativo? Justifique a sua

resposta.

(d) Se o processo gerado era iterativo, transforme o procedimento, de forma a que gere um processo recursivo. Se o processo gerado era recursivo, transforme o procedi-mento, de forma a que gere um processo iterativo.

10. (2) Suponha que as operações de multiplicação e potência não existiam em Scheme e que pretende calcular o quadrado de um número natural. O quadrado de um número natural pode ser calculado como sendo a soma de todos os números ímpares inferiores ao dobro do número. Com efeito:

n 1 + . . . + (2n − 1) n2 1 1 = 1 2 1+3 = 4 3 1+3+5 = 9 4 1+3+5+7 = 16 5 1+3+5+7+9 = 25 6 1+3+5+7+9+11 = 36 . . . .

Escreva em Scheme dois procedimentos que calculam o quadrado de um número natural utilizando o método descrito.

(a) Um procedimento que dá origem a um processo recursivo linear. (b) Um procedimento que dá origem a um processo iterativo linear.

Note que o dobro de um número também não pode ser calculado recorrendo à operação de multiplicação.

11. (2) Defina um procedimento recursivo que recebe três argumentos a, b e n e que devolve o valor de somar n vezes a a b, i.e., b + a + a + · · · + a, n vezes.

(a) Gerando um processo recursivo. (b) Gerando um processo iterativo. 12. (2) O procedimento

(29)

(define (factorial n) (if (= n 0)

1

(* n (factorial (- n 1)))))

calcula o factorial através de multiplicações da esquerda para a direita (5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 20 × 3 × 2 × 1 = 60 × 2 × 1 = 120 × 1 = 120).

Em alternativa, poderíamos ter efectuado as multiplicações da direita para a esquerda (5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4 × 3 × 2 = 5 × 4 × 6 = 5 × 24 = 120).

Escreva um procedimento que gera um processo iterativo e que calcula o valor de factorial multiplicando da direita para a esquerda.

Sugestão: Vai ter de usar um parâmetro adicional para o cálculo de factorial auxiliar. 13. Suponha que em Scheme não existiam as operações aritméticas +, -, quotient, * e / nem os predicados <, > e = mas que existem os procedimentos add1, sub1 e zero? que recebem como argumento um inteiro e devolvem, respectivamente, o seu sucessor, o seu antecessor, e o resultado de verificar se o número é 0.

Neste exercício apenas poderá utilizar estas 3 operações e outras eventualmente definidas utilizando estas.

(a) (1) (Secção 2.2.3, Ex 1a) Escreva um procedimento em Scheme soma, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve a soma dos dois.

Sugestão: A soma de dois números n e m pode ser vista como n + 1 + · · · + 1, m vezes.

> (soma 8 2) 10

(b) (1) (Secção 2.2.3, Ex 1b) Escreva um procedimento em Scheme multiplica, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve a multiplicação dos dois.

Sugestão: A multiplicação de dois números n e m pode ser vista como n + n + · · · + n, m vezes.

> (multiplica 8 2) 16

(c) (1) (Secção 2.2.3, Ex 1c) Escreva um procedimento em Scheme menos, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve a diferença dos dois.

Sugestão: Use uma ideia semelhante ao exercício 13a. > (menos 8 2)

6

> (menos 2 8) -6

(30)

30 CAPÍTULO 3. PROCESSOS GERADOS POR PROCEDIMENTOS (d) (2) (Secção 2.2.3, Ex 1d) Escreva um procedimento em Scheme par?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e retorna #t se n for par e #f no caso contrário.

> (par? 8) #t

> (par? 5) #f

(e) (1) Escreva um procedimento em Scheme maior?, e que gere um processo iterativo, que recebe dois números inteiros positivos n e m, e retorna #t se o n for maior do que m e #f no caso contrário.

> (maior? 8 2) #t > (maior? 8 8) #f > (maior? 2 8) #f

(f) (1) Escreva um procedimento em Scheme igual?, e que gere um processo iterativo, que recebe dois números inteiros positivos n e m, e retorna #t se o n for igual a m e #f no caso contrário. > (igual? 8 2) #f > (igual? 8 8) #t > (igual? 2 8) #f

(g) (1) Escreva um procedimento em Scheme menor?, e que gere um processo iterativo, que recebe dois números inteiros positivos n e m, e retorna #t se o n for menor do que m e #f no caso contrário.

> (menor? 8 2) #f > (menor? 8 8) #f > (menor? 2 8) #t

(h) (2) (Secção 2.2.3, Ex 1e) Escreva um procedimento em Scheme quociente, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve o quociente da divisão de n por m. No caso de m ser 0 deverá devolver 0. Relembre que o quociente da divisão de dois números inteiros positivos n e m é o maior inteiro r tal que r.m ≤ n.

Sugestão: Utilize os procedimentos menos e menor? definidos anteriormente. > (quociente 8 2)

(31)

> (quociente 10 3) 3

(i) (2) Escreva um procedimento em Scheme resto, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e devolve o resto da divisão de n por m. No caso de m ser 0 deverá devolver n.

> (resto 8 2) 0

> (resto 10 3) 1

(j) (2) Escreva um procedimento em Scheme simetrico, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro n, e devolve o simetrico de n.

> (simetrico 8) -8

> (simetrico -3) 3

14. (1) (Secção 2.2.3, Ex 3) Escreva um procedimento em Scheme soma-quadrados, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e devolve a soma do quadrado de todos os números até n.

15. (1) (Secção 2.2.3, Ex 5) Escreva um procedimento em Scheme potencia que recebe dois números inteiros positivos b e n, e devolve a potência n de b, i.e., bn.

> (potencia 3 2) 9

> (potencia 2 4) 16

16. (2) Um número n é quadrado perfeito se existir um m tal que m2 = n. Escreva um procedimento em Scheme quadrados-perfeito?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número n, e retorna #t se n for um quadrado perfeito e #f no caso contrário. > (quadrado-perfeito? 4)

#t

> (quadrado-perfeito? 8) #f

17. (2) Um número n diz-se primo se os seus únicos divisores são o 1 e o próprio n. O número 1 não é primo. Um modo, pouco eficiente, de determinar se um dado inteiro é primo corresponde a dividi-lo sucessivamente por todos os inteiros menores que ele.

(32)

32 CAPÍTULO 3. PROCESSOS GERADOS POR PROCEDIMENTOS Escreva um procedimento em Scheme primo?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e usando o método acima retorna #t se o número for primo e #f no caso contrário.

> (primo? 53) #t

> (primo? 21) #f

18. (3) Um número é livre de quadrados se não for divisível por nenhum quadrado perfeito para além de 1. Escreva um procedimento em Scheme livre-quadrados?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número n, e retorna #t se n for livre de quadrados e #f no caso contrário. > (livre-quadrados? 4) #f > (livre-quadrados? 50) #f > (livre-quadrados? 70) #t

19. (3) Um número n diz-se poderoso se para cada primo p, se p é divisor de n então p2 também é divisor de n. Escreva um procedimento em Scheme poderoso?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e retorna #t se o número for poderoso e #f no caso contrário.

> (poderoso? 100) #t > (poderoso? 36) #t > (poderoso? 75) #f > (poderoso? 2) #f

20. (2) (Secção 2.2.3, Ex 6) Um número d é divisor de n se o resto da divisão de n por d for 0. Escreva um procedimento em Scheme numero-divisores, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e retorna o número de divisores de n. No caso de n ser 0 deverá retornar 0.

21. (2) (Secção 2.2.3, Ex 9) Escreva um procedimento em Scheme soma-divisores, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e retorna a soma de todos os divisores de n. No caso de n ser 0 deverá retornar 0.

(33)

22. (3) (Secção 2.2.3, Ex 11) A raiz inteira de índice e de um número n é o maior número inteiro r tal que re ≤ n. Escreva um procedimento em Scheme raiz, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e e, e devolve a raiz inteira de n de índice e. No caso de e ser 0 deverá retornar 0.

> (raiz 8 3) 2

> (raiz 15 2) 3

23. (3) Um número n diz-se triangular se n = 1 + 2 + · · · + (m − 1) + m para algum m. Escreva um procedimento em Scheme triangular?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e retorna #t se o número for triangular e #f no caso contrário. No caso de n ser 0 deverá retornar #f.

> (triangular? 6) #t

> (triangular? 8) #f

24. (3) Dois números n e m dizem-se primos entre si se não têm nenhum divisor em comum à excepção do 1. Escreva um procedimento em Scheme primos-entre-si?, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e retorna #t se os números forem primos entre si e #f no caso contrário. No caso de n ou m serem 0 deverá retornar #f.

> (primos-entre-si? 4 10) #f

> (primos-entre-si? 21 10) #t

25. (3) Um número n diz-se um divisor fraco de m se todos os factores primos de n também são factores primos de m. Escreva um procedimento em Scheme divisor-fraco?, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e retorna #t se n for um divisor fraco de m e #f no caso contrário. No caso de n ou m serem 0 deverá retornar #f. > (divisor-fraco? 4 10) #t > (divisor-fraco? 10 4) #f > (divisor-fraco? 6 10) #f

(34)

34 CAPÍTULO 3. PROCESSOS GERADOS POR PROCEDIMENTOS 26. (4) O máximo divisor comum de dois números n e m é o maior inteiro x tal que x é divisor de n e m. Escreva um procedimento em Scheme mdc, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e m, e retorna o máximo divisor comum dos dois números. No caso de n e m serem ambos 0 deverá retornar 0. Se apenas um deles for 0 deverá retornar o outro.

> (mdc 3 0) 3 > (mdc 12 20) 4 > (mdc 10 20) 10

27. (4) O mínimo múltiplo comum, que gere um processo iterativo, e de dois números n e m é o menor inteiro x tal que x é divisível por n e m. Escreva um procedimento em Scheme mmc que recebe dois números inteiros positivos n e m, e retorna o mínimo múltiplo comum dos dois números. No caso de n ou m serem 0 deverá retornar 0. > (mmc 4 6)

12

> (mmc 12 5) 60

28. (3) Um número n é o n-ésimo primo se for primo e existirem n − 1 números primos menores que ele. Escreva um procedimento em Scheme nesimo-primo, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e retorna o n-ésimo número primo. No caso de n ser 0 deverá retornar 0.

> (nesimo-primo 1) 2

> (nesimo-primo 10) 29

29. (3) Um número p é primo de Mersenne se p é primo e 2p − 1 também é primo. Um número n é o n-ésimo primo de Mersenne se existirem n − 1 primos de Mersenne menores que n. Os primeiros 10 primos de Mersenne são 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89.

Escreva um procedimento em Scheme nesimo-primo-mersenne, que gere um processo iterativo, e que recebe um número n, e retorna o n-ésimo primo de Mersenne.

> (nesimo-primo-mersenne 3) 5

> (nesimo-primo-mersenne 9) 61

30. (3) Um número d é o k-ésimo divisor de n se for divisor de n e existirem k − 1 divisores de n menores que d. Escreva um procedimento em Scheme k-divisor, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e k, e retorna o k-ésimo divisor de n. No caso de n ser 0, ou k ser 0, ou n ter menos de k divisores deverá retornar 0.

(35)

3.2. EXERCÍCIOS DE PROGRAMAÇÃO 35 > (kesimo-divisor 20 3) 4 > (kesimo-divisor 20 6) 20 > (kesimo-divisor 20 7) 0

31. (3) Um número p é o k-ésimo factor primo de n se p é primo e existem k −1 factores pri-mos de n menores que p. Escreva um procedimento em Scheme kesimo-factor-primo, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e k, e retorna o seu k-ésimo factor primo de n. No caso de n ter menos de k factores primos ou k ser 0, deverá retornar 0.

> (kesimo-factor-primo 3 1) 3 > (kesimo-factor-primo 3 2) 0 > (kesimo-factor-primo 60 3) 5

32. (4) (Secção 2.2.3, Ex 12) Escreva um procedimento em Scheme kesimo-expoente, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e k, e retorna o expoente do k-ésimo factor primo de n. No caso de n ter menos de k factores primos ou k ser 0, deverá retornar 0.

Nos exercícios que se seguem poderá ser útil a utilização dos seguintes procedimentos sobre números inteiros:

• (remainder n m) retorna o resto da divisão de n por m. • (quotient n m) retorna o quociente da divisão de n por m.

33. (3) (Secção 2.2.3, Ex 13) Escreva um procedimento em Scheme numero-digitos, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e retorna o número de dígitos de n.

34. (3) (Secção 2.2.3, Ex 14) Escreva um procedimento em Scheme soma-digitos, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e retorna a soma de todos os dígitos de n.

(36)

36 CAPÍTULO 3. PROCESSOS GERADOS POR PROCEDIMENTOS

35. (3) Escreva um procedimento em Scheme existe-digito?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n e um dígito d, e retorna #t se o dígito d ocorrer em n e #f no caso contrário.

> (existe-digito? 234 3) #t

> (existe-digito? 538 7) #f

36. (4) (Secção 2.2.3, Ex 16) Escreva um procedimento em Scheme digitos-impares, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e retorna o número composto apenas pelos seus dígitos ímpares de n.

37. (3) O dígito de posição k de um número n é o dígito na k-ésima posição de n a partir do dígito das unidades. Escreva um procedimento em Scheme posicao, que gere um processo iterativo, e que recebe dois números inteiros positivos n e k, e retorna o dígito na posicao k de n. No caso de n ter menos de k dígitos ou k ser 0, deverá retornar 0. > (posicao 12345 2)

4

> (posicao 12345 7) 0

38. (3) Um número é capicua se se lê igualmente da esquerda para a direita e vice-versa. Escreva um procedimento em Scheme capicua?, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e retorna #t se o número for uma capicua e #f no caso contrário.

Sugestão: Use o procedimento posicao definido na alínea 37 > (capicua? 12321) #t > (capicua? 1221) #t > (capicua? 123210) #f

39. (4) (Secção 2.2.3, Ex 17) Escreva um procedimento em Scheme muda-digito, que gere um processo iterativo, e que recebe três números inteiros positivos n, k e d, e retorna o inteiro que resulta de substituir o dígito na posição k de n por d.

(37)

> (muda-digito 12345 2 8) 12385

> (muda-digito 12345 7 8) 80012345

40. (4) (Secção 2.2.3, Ex 18) O espelho de um número inteiro positivo é o resultado de inverter a ordem de todos os seus algarismos. Escreva um procedimento em Scheme espelho, que gere um processo iterativo, e que recebe um número inteiro positivo n, e retorna o seu espelho.

> (espelho 391) 139

> (espelho 45679) 97654

41. (1) Usando o procedimento espelho definido acima, reescreva de novo o procedimento capicua? definido na alínea 38.

42. (4) (Secção 2.2.3, Ex 20) Um número decimal d pode ser transformado num número bi-nário b_nbn−1. . . b1b0 através da seguinte recorrência: seja q0 = d e qi = quociente(qi−1, 2) para i > 0, e bi= resto(qi, 2). Escreva um procedimento em Scheme decimal-binario, que gere um processo iterativo, e que recebe um número d escrito em base 10 e retorna a sua representação binária.