UMA PROPOSTA PARA TRABALHAR GEOMETRIA FRACTAL EM
ÁLGEBRA LINEAR
Solange dos Santos Nieto1 ; Célia Mendes Carvalho Lopes2 ; Alcides Ferreira da Silva3 1
Universidade Presbiteriana Mackenzie, Escola de Engenharia, Engenharia Civil Rua da Consolação, 930
01302-907 – São Paulo – SP solangenieto@mackenzie.com.br 2
Universidade Presbiteriana Mackenzie, Escola de Engenharia, Engenharia de Produção Rua da Consolação, 930
01302-907 – São Paulo – SP celiagiz@mackenzie.com.br 3
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Resumo: As aplicações da geometria fractal nas ciências naturais estão muito presentes, desmistificando a ciência que herdamos. Os conceitos obtidos da geometria euclidiana não servem para explicar a geometria fractal. Com o desenvolvimento da informática foi possível mostrar que utilizando processos iterativos nas funções elementares, como por exemplo, a quadrática, é possível gerar objetos com formas incríveis. Os conceitos matemáticos desenvolvidos neste campo são diversos e podem ser abordados de forma simples ou de forma sofisticada, dependendo a quem o estudo se destina. No contexto da disciplina de Álgebra Linear pretendemos utilizar a geometria dos operadores lineares de R2.
Palavras-chave: Fractal. Processo iterativo. Operador linear. Transformação afim.
1. INTRODUÇÃO
O homem, com o auxílio da Matemática, busca o estudo da Natureza. Vemos surgir a geometria com os gregos e é na Grécia antiga que o conhecimento científico sofre um estímulo – a procura de compreender racionalmente a natureza – e a dinâmica com Galileu e Newton.
Nas experiências realizadas por Galileu e Newton procuravam-se as regularidades, tornando-se o paradigma da ciência. As irregularidades eram desprezadas sendo mais fácil estudar com um sistema linear do que um sistema não linear.
A filosofia encontra-se escrita neste grande livro que continuamente se abre perante nossos olhos (isto é, o universo), que não se pode compreender antes de entender a língua e conhecer os caracteres com os quais está escrito. Ele está escrito em língua matemática, os caracteres são triângulos, circunferências e outras figuras geométricas, sem cujos meios é impossível entender humanamente as palavras;
sem eles nós vagamos perdidos dentro de um obscuro labirinto (GALILEU,2000, p.46)
Em outro trecho de “O Ensaiador” Galileu exemplifica melhor o que ele entende por caracteres da língua necessária para escrever a natureza, desprezando a possibilidade de se utilizar as linhas irregulares,
São chamadas linhas regulares aquelas que, tendo uma única linha de movimento e sendo ela sempre constante e determinante, podem ser defindas e podem-se demonstrar os seus acidentes e propriedades: assim a espiral é regular e se considera-se originada por dois movimentos uniformes, um reto e o outro circular; e elíptica, nascendo de uma secção do cone e do cilindro etc. As linhas irregulares, porém, são aquelas que, não tendo determinação alguma, são infinitas e casuais e por isto indefiníveis; nem destas, por conseqüência, pode-se demonstrar propriedades alguma nem pode-se afirmar que se conheça alguma coisa a seu respeito. Assim, dizer “um tal acidente acontece por causa de uma linha irregular” é a mesma coisa que dizer “eu não sei por que acontece”. A introdução de um tal tipo de linha não é em nada melhor para simpatias, antipatias, propriedades ocultas, influências e outros termos usados por alguns filósofos para máscara da verdadeira resposta que seria “eu não sei”, resposta muito mais aceitável que as outras, porque uma sinceridade cândida é muito mais linda que uma mentira enganadora (GALILEU, 2000, p.64).
Durante séculos, na descrição de fenômenos físicos, predominou as formas regulares: reta, círculo, parábola, triângulo, esfera, elipse, etc. A geometria euclidiana simplificava tudo com as retas, planos e sólidos, na verdade dizer que uma montanha possa ser representada por um cone é simplificar demais a natureza.
A obra de Isaac Newton, Princípios matemáticos de filosofia natural, deixa uma mensagem que se infiltrou na nossa cultura “a Natureza tem leis, e podemos descobri-las”. Newton buscava a Teoria do Todo, por mais de dois séculos suas teorias reinaram absolutas, sendo superado pela mecânica quântica e pela relatividade. Hoje, os cientistas, ainda continuam buscando a Teoria do Todo, quebrando paradigmas e superando teorias existentes.
No final do século XIX, começa a mudança com Cantor (1883) ao construir um conjunto de pontos no intervalo [0,1] com cardinalidade do contínuo, mas totalmente desconexos. Este conjunto é conhecido como conjunto de pontos de Cantor ou simplesmente conjunto de Cantor. Estes conjuntos permitem pela primeira vez, descrever formas não regulares.
No início do século XX Poincaré já chamava a atenção à utilização da geometria euclidiana ou de outras geometrias para representar a natureza.
Mas, foi Benoit Mandelbrot quem propôs um novo conceito de geometria, ficando conhecida por geometria fractal (1975). Na maioria dos trabalhos, sobre fractais, é citada a frase escrita por Mandelbrot: “nuvens não são esferas, montanhas não são cones, o litoral não é um círculo e tampouco um relâmpago viaja em linha reta pelo ar” (1983), (NUSSENZVEIG, 1999, p. 54).
2. FRACTAL
Um fractal é uma forma geométrica irregular ou fragmentada que pode ser subdividida em partes, e cada parte será uma cópia reduzida da forma toda. Os fractais são figuras geradas por processos iterativos, providos entre outras coisas, de rotação, translações e contrações de figuras geométricas.
Assim, os fractais, são uma nova ferramenta dos matemáticos que pode ser utilizada para fornecer modelos para objetos ou fenômenos da natureza.
Nossa investigação, envolvendo fractais, está restrita ao uso das transformações lineares planas, isto é, R2
→
R2 da disciplina Álgebra Linear, e de translações.Apresentaremos uma das formas elementares da geometria fractal, o Triângulo de Sierpinski, que é uma figura geométrica obtida através de um processo recursivo. Foi primeiramente descrito por Waclaw Sierpinski (1882 - 1969), matemático polonês.
Descreveremos as transformações lineares planas que são utilizadas no exemplo escolhido: a) contrações T: R2
→
R2 (x,y)→
α (x,y), α <1 ou α α = α α = α → y x 0 0 y x y x y x b) rotações T: R2→
R2(x,y)
→
(xcosθ−ysenθ,xsenθ+ycosθ) ou θ θθ − θ → y x cos sen sen cos y x
É importante lembrar que a translação não é uma transformação linear e é de fácil verificação e demonstrada em aula. A translação no plano é dada por T: R2
→
R2 definida por T(v) = v + u, onde u não nulo é um vetor fixo de R2.A composição de uma transformação linear de R2
→
R2 com uma translação resulta em uma classe importante de funções.A aplicação T: R2
→
R2 definida por T(v) = Av + u, onde A é uma matriz quadrada de ordem 2 conhecida e u é um vetor fixo em R2, é chamada de transformação afim ou + = f e y x d c b a y x
T , em que a, b, c, d, e, f são escalares parte linear translação
Passamos à descrição da construção do Triângulo de Sierpinski. Os desenhos foram realizados com a utilização do Geometricks (software de geometria de fractais).
O passo inicial é traçar o triângulo de vértices A, B e C, conforme Desenho 1. Os pontos interiores ao triângulo ABC formarão o conjunto S0.
Desenho 1 - Passo 1 para o triângulo de Sierpinski
Em seguida marca-se os pontos médios D, E e F respectivamente dos segmentos AB, AC e BC. Com isso o Desenho 1 fica dividido em 4 triângulos congruentes entre si e ao inicial. Retira-se o triângulo central, conforme Desenho 2.
Desenho 2 - Passo 2 para o triângulo de Sierpinski
O procedimento se repete com os triângulos AED, ECF e DFB sucessivamente, conforme Desenho 3.
No contexto da Álgebra Linear as etapas geométricas são representadas pelas transformações afins descritas a seguir.
O triângulo central DEF é formado pelos pontos médios do triângulo original então, há uma contração de fator
2 1
, que é dada pela transformação linear
= 2 / 1 0 0 2 / 1 y x 2 1 y x a y x . Para = yx
v , as transformações afins aplicadas em cada um dos triângulos CFE, FBD e EDA são respectivamente T1,T2 eT3dadas por
+ = .v 00 2 / 1 0 0 2 / 1 ) v ( T1 + = .v 30/2 2 / 1 0 0 2 / 1 ) v ( T2 + = 1/02 1/02 .v 333/4/4 ) v ( T3
Assim, o desenho 3 é formado do Desenho 1, pelas transformações T1,T2 eT3.
As imagens de S0 por estas três transformações afins formam os três triângulos do
Desenho 3. Estes triângulos unidos formam um novo conjunto de pontos que chamaremos S1.
Assim, ) S ( T ) S ( T ) S ( T ) S ( S1 =ℑ 0 = 1 0 ∪ 2 0 ∪ 3 0 ,
é uma decomposição de S0 em três subconjuntos não-sobrepostos que são congruentes à
contração de S0 pelo fator
2 1
.
Se aplicarmos as transformações T1,T2 eT3 no conjunto S1 formaremos o conjunto S2,
que agora será a união de 9 triângulos. Se continuarmos com este procedimento indefinidamente, obteremos o Triângulo de Sierpinski.
O Desenho 5 ilustra os 6 primeiros conjuntos formados.
S2 S3
S4 S5
Desenho 5 – 6 primeiros níveis para a formação do Triângulo de Sierpinski
3. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nos caminhos percorridos para a realização deste trabalho, o que lemos e o que aprendemos foi muito gratificante, porque nos levou a investigar um tema interessante, atual e ainda restrito no meio matemático.
Vimos que a geometria fractal presente em objetos e na natureza têm suas formas criadas ou simuladas por processos matemáticos, algumas vezes muito simples.
Acreditamos que, com aplicações como estas, podemos despertar o interesse dos alunos para o aprendizado de Álgebra Linear, de um modo mais atrativo e prazeroso. Neste trabalho, nos ativemos a um único exemplo. Mais exemplos e abordagens podem ser encontradas em Anton (2001), Kolman e Hill (2006).
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GALILEU,G. O Ensaiador. Tradução: Helda Barraco et al. São Paulo: Nova Cultural Ltda, 2000.
NUSSENZVEIG, H. M. (organizador). Complexidade e Caos. Rio de Janeiro: Editora UFRJ/COPEA, 1999.
ANTON, H.; RORRES C. Álgebra Linear com Aplicações. Tradução: Claus Ivo Doering. Porto Alegre: Bookman, 2001.
KOLMAN, B.; HILL, D.R.. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. Tradução: Alesandra Bosquilha. Rio de Janeiro: LTC, 8ª ed, 2006.
A PROPOSAL TO WORK FRACTAL GEOMETRY IN LINEAR
ALGEBRA
Abstract: The applications of fractal geometry in the natural sciences are very present, breaking the myths that we inherited. The concepts from Euclidean geometry do not serve to explain the fractal geometry. With the development of information technology, it has been possible to show that using iterative processes in basic functions, such as the quadratic ones, it is possible to generate objects with incredible shapes. The mathematical concepts developed in this field are varied and can be addressed in simple or sophisticated ways, depending on whom the study is designed. In the context of the Linear Algebra subject, we intend to use the geometry of the linear operators of R2.
