f(x) dx. Note que A é a área sob o gráfico

(1)

FFCLRP-USP AULA-INTEGRAL - C ´ALCULO II- ECONOMIA Professor: Jair Silv´erio dos Santos

PROPRIEDADES DA INTEGRAL

Sejam f, g : [a, b] → R fun¸cões integráveis. Então (i) Z b a [f (x) + g(x)]dx = Z b a f(x)dx + Z b a g(x)dx.

(ii) Se λ ´e um n´umero real, Z b a λf(x)dx = λ Z b a f(x)dx. (iii) Se c ∈ (a, b), Z b a f(x)dx = Z c a f(x)dx + Z b c f(x)dx

(iv) Se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], ent˜ao Z b a f_{(x)dx ≤} Z b a g(x)dx.

A prova destas propriedades poder ser encontrada em O C´alculo com Geometria Anal´ıtica cujo autor ´e Luis Leithold.

Defini¸cão 0.1. _{Seja f : [a, b] → R uma fun¸cão cont´ınua tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b].} A área A da região R limitada entre as curvas G(f) (gráfico de f), x = a , x = b e y = 0 é denominada área sob o gráfico de f , e é dada por A =

Z b a

f(x)dx,

Defini¸cão 0.2. _{Sejam f, g : [a, b] → R fun¸cões cont´ınuas tais que g(x) ≥ f(x) para todo} x _{∈ [a, b]. A área A da região R limitada entre as curvas G(f), G(g), x = a , x = b é} denominada área entre os gráficos de f e g, e é dada por A =

Z b a

[g(x) − f(x)]dx.

Teorema do Valor M´edio Para Integrais

Teorema 0.1. _{Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua. Ent˜ao existe X ∈ [a, b] tal que} Z b

a

f_{(x) dx = f (X)(b − a).}

Este Teorema nos diz que, se f : [a, b] → R for uma fun¸cão não negativa, então existirá um retângulo cujos lados paralelos têm medida f (X) e (b − a) respectivamente, e a área A deste retângulo será dada pelo número real

Z b a

f_{(x) dx. Note que A é a área sob o gráfico} de f .

(2)

Como f ´e cont´ınua, existem dois n´umeors reais M e m, e dois valores xM e xmno intervalo

[a, b] tais que

M = f (xM) = max{f(x), para x ∈ [a, b]}, e m = f(xm) = min{f(x), para x ∈ [a, b]}.

´

E f´acil ver que

m_{≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b].} A propriedade quatro no come¸co desta lista nos diz que

m_{(b − a) ≤} Z b a f_{(x)dx ≤ M(b − a),} ou seja f(xm) = m ≤ Z b a f(x)dx (b − a) ≤ M = f(xM).

Como f é uma fun¸cão cont´ınua em [a, b], o Teorema do Valor Intermediário nos assegura que existe um valor X ∈ (a, b) tal que

f(X) = Z b a f(x)dx (b − a) , e portanto Z b a f_{(x)dx = f (X)(b − a).} Exemplo 0.1. _{Seja f : [1 ; 2] → R dada por f(x) = x}2

. Encontre o valor X ∈ (a, b) que satisfaz o Teorema do Valor M´edio para Integrais (TVMI).

Nos j´a sabemos calcular Z 3

1

x2

dxque o valor desta integral ´e 8

3. Ent˜ao pelo TVMI temos Z 2 1 f(x)dx = 8 3 = f (X)(2 − 1), portanto, X 2 = 8 3 ou seja X = 2√3 3 .

Defini¸cão 0.3. _{Seja f : [a, b] → R fun¸cão integrável. O valor médio de f em [a, b] é dada} por Vm =

Rb

a f(x)dx

b_{− a} .

TEOREMA FUNDAMENTAL DO C ´ALCULO

Seja f : [a, b] → R fun¸cão integrável e x um número qualquer em [a, b]. Defina F : [a, b] → R dada por

(3)

F(x) = Z x

a

f(t) dt.

Note que se f for não negativa, a fun¸cão F é definida de tal modo que F (x) calcula a área hachurada na Figura 01. -ox O a x b ·· ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Z x a f(t)dt oy (x, f (x)) x= b 6 F igura 1

Teorema 0.2. _{Seja f : [a, b] → R fun¸cão cont´ınua e x um número qualquer em [a, b]. Então} se F : [a, b] → R dada por

F(x) = Z x

a

f(t) dt ´e diferenci´avel e F′_{(x) = f (x).}

Prova

Consideremos dois n´umeros reais x0 e x0+ h, onde h 6= 0 e tal que x0+ h ∈ [a, b]. Note

que F(x0+ h) = Z x0+h a f(t)dt ent˜ao F (x0+ h) − F (x0) = Z x0+h a f_{(t)dt −} Z x0 a f(t)dt, mas pela Propriedade (iii) da 8a _{Lista de Exerc´ıcios tem-se}

Z x0+h a f(t)dt = Z x0 a f(t)dt + Z x0+h x0 f(t)dt. Ent˜ao, F(x0+ h) − F (x0) = Z x0+h x0 f(t)dt.

(4)

Z x0+h x0 f(t)dt = f (X)h. Portanto, lim h→0 1 h Z x0+h x0 f(t)dt = lim h→0 F(x0+ h) − F (x0) h = f (X) = F ′_(X).

Teorema 0.3. _{Seja f : [a, b] → R fun¸cão cont´ınua. Se G : [a, b] → R for uma fun¸cão} derivável tal que para todo x ∈ [a, b]

G′_{(x) = f (x),} ₍₁₎ ent˜ao _Z b a f_{(x) dx = G(b) − G(a).} (2) Prova

Se em (1), x = a ou x = b, as derivadas envolvidas serão derivada à direita em a e derivada à esquerda em b. Como f é cont´ınua em, o Teorema 0.2 nos assegura que a integral

Z x a

f(t) dt,

define uma fun¸cão F (x) derivável, cuja derivada é f (x) para todo x ∈ [a, b]. Como por (1) temos G′_{(x) = f (x), um Teorema já visto na disciplina Cáculo Diferencial e Integral I nos}

diz que se duas fun¸cões (F e G) têm mesma derivada, a diferen¸ca entre elas é constante, ou seja

G(x) = Z x

a

f(t) dt + k. Calculando G(a) e G(b) teremos

G(a) = Z a a f(t) dt + k = k e G(b) = Z b a f(t) dt + k. (3)

Portanto, por (3) G_{(b) − G(a) =} Z b

a

f(t) dt.

1. FUNC¸ ˜AO PRIMITIVA E INTEGRAL INDEFINIDA

Defini¸cão 0.4. _{Dada uma fun¸cão f : [a, b] → R, se existir uma outra fun¸cão derivável} F _{: [a, b] → R tal que F}′_{(x) = f (x) para todo x ∈ (a, b). Esta fun¸cão F é denominada}

Primitiva da fun¸c˜ao f .

Seja f : [a, b] → R dada por f(x) = cos x, podemos ver facilmente que F (x) = sen x é tal que F′_{(x) = cos x = f (x). Portanto, pela defini¸cão 0.4 a fun¸cão F (x) = sen x é uma}

primitiva para f (x) = cos x. Tamb´em podemos ver que Fk(x) = sen x + k, onde k ∈ R

(5)

segue da defini¸cão 0.4 que para cada número real k, a fun¸cão Fk(x) = sen x + k é uma

primitiva para f (x) = cos x.

Vemos assim que se uma fun¸cão qualquer f tiver uma primitiva, esta fun¸cão terá, na verdade, uma familia de primitivas. Vejamos como confirmar esta propriedade.

Teorema 0.4. Se F1, F2 : [a, b] → R forem primitivas de uma mesma fun¸c˜ao f :

[a, b] → R, então a diferen¸ca é constante, isto é existe k ∈ R tal que F1(x) − F2(x) =

k_{= para todo x ∈ [a, b].}

Note que se F1(x) e F2(x) s˜ao primitivas de f ent˜ao

F′

1(x) = f (x) e F2′(x) = f (x).

Defina φ : [a, b] → R dada por φ(x) = F′

1(x) − F2′(x). Note φ ´e deriv´avel e φ′(x) =

F′

1(x) − F2′(x) = 0 para todo x ∈ [a, b]. Pelo Teorema do Valor M´edio, φ(x) − φ(a) =

(x − a)φ′_{(ξ), onde ξ ´e um n´}_{umero real no intervalo (a, x). Como φ}′_{(ξ) = 0, teremos}

φ_{(x) − φ(a) = 0 para todo x ∈ [a, b], o que nos diz que φ(x) = φ(a) ou seja F}1(x) −

F2(x) = φ(a) = constante.

Defini¸cão 0.5. _{Dada uma fun¸cão f : [a, b] → R, se F : [a, b] → R for uma primitiva} Primitiva da fun¸cão f , então

Z

f(x)dx = F (x) + C, C _{∈ R.} F(x) + C ´e a integral indefinida de f (x).

Exemplo 0.2. _{Seja f, g : [a, b] → R dada por f(x) = x}3

com g(x) = x4 . Note que Z f(x)dx = Z x3dx= 1 4x 4 + C, C ∈ R, e Z g(x) dx = Z x4dx= 1 5x 5 + K, K ∈ R;

Teorema 0.5. _{Seja f : [a; b] → R dada por f(x) = x}p_{. Ent˜ao;}

a : _{Se p 6= −1;} Z f(x) dx = 1 p+ 1x p+1_{+ k,} _k ∈ R. b : _{Se p = −1;} Z f(x) dx = Z 1 xdx= ln |x| + k, k ∈ R. Exemplo 0.3. Seja f (x) = x3 e g(x) = x−5_{. Calcule} Z f(x) dx e Z g(x) dx.

(6)

Resolu¸cão O Teorema 0.5 nos diz que Z x3 dx= 1 3 + 1x 3+1 + k = 1 4x 4 + k; k ∈ R Z x−5 _dx₌ 1 −5 + 1x −5+1_{+ k = −}1 4x −4_{+ k; k ∈ R.} S ÓLIDO DE REVOLUÇ ÃO

Considere a fun¸cão f : [a, b] → R, cont´ınua, não negativa e a região R limitada pelas curvas G(f ), x = a, x = b e y = 0. A rota¸cão de 2π radianos da região R em torno do eixo ox forma um sólido S (ver figura abaixo). O volume V (S) deste Sólido é dado por V_{(S) =} Z b a π[f (x)]2 dx. -ox O a x b ·· · ·· ·· ··_· · ···· ··· ··· ··· ·· · ·· − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − − −− − − − − − − − − − −− − −− − − −−− −−−− x= a x= b (x, f (x)) 6 Exerc´ıcios

Calcule a área A sob o gáfico de f(x) quando. Fa¸ca um esbo¸co gráfico da região R cuja área é A.

(i) f : [0, 1] → R, dada por f(x) = x(1 − x). (ii) f : [0, 1] → R, dada por f(x) = x2

(1 − x).

(iii) f : [−2, 3] → R, dada por f(x) = sen x. (iv) f : [0, π] → R, dada por f(x) = x2

(7)

(v) f : [−5, 5] → R dada por f(x) =√25 − x2_{, R.} 25π

2 (vi) f : [−5, 5] → R dada por

f_{(x) = −}√_{25 − x}2_{, R.} 25π 2 .

Exerc´ıcios

1 Calcule as integrais abaixo (i) Z 2 0 2x2√ x3_{+ 1 dx, R.} 104 9 . (ii) Z 3 0 x√x+ 1dx, R. 116 15. (iii) Z 4 −3 |x + 2| dx, R. 37 2 . ( iv) Z 4 −3 |x + 3| dx, R. 49 2. (v) Z 1 −1 √ 1 − x2 _{dx, R.} π 2. (vii) Z 4 −4 √ 16 − x2 _{dx, R 8π.} (vi) Z a −a √ a2 − x2 _{dx, onde a > 0. R.} a2 π 2 , (vii) Z a −a √ a2 − b2_x2 _{dx. ond a, b > 0.}

2 _{Calcule a área A sob o gáfico de f(x) quando. Em cada fa¸ca um esbo¸co gráfico de A.} (i) Calcule a área ltda entre os gráficos de f (x) = x2

, g(x) = −x2

+ 4x, ∈ [0, 4] . R. 16. (ii) Calcule a ´area limitada entre os gr´aficos de f (x) = x2

− 6, g(x) = −x2

+ 4x. (iii) Calcule a ´area limitada entre as curvas y = x2

, y = −x2

+ 4x, x = 0 e x = 4. R 16. (iv) Calcule a ´area limitada entre as curvas y2

= 2x − 2, y = x − 5x. Resp 16 3.

(v) Calcule a ´area limitada entre as curvas πy = 2√_{2 x, y = cos x, x ∈ [0,}π 4].

(vi) Calcule a ´area limitada entre as curvas 7πy = 2√_{2 x, y = cos x, x ∈ [}π 2,

7π 4 ].

(vii) Calcule a ´area limitada entre as curvas y =sen x, π2

y= 8√2 x2

, x ∈ [0,π 4].

(viii) Calcule por integrais a área de uma circunferência de raio a > 0. (ix) Calcule por integrais a área de el´ıpse x

2

a + y2

b = 1 onde a, b > 0. 3 Em cada item calcule o valor m´edio da fun¸c ao f dada.

(i) f : [1, 3] → R dada por f(x) = x2

, R. 13

3. (ii) f : [0, π] → R dada por f(x) = sen 2

x. (iii) f : [0, 2] → R dada por f(x) = _x2_{+ x + 1}1 . (iv) f : [0, 3] → R dada por

f(x) = 1

x2_{+ 1}. (v) f : [ π 2,

3π

2 ] → R dada por f(x) = cos 2

x. (vi) f : [0,π

4] → R dada por

f(x) = sec x.

EXERC´ICIOS

1 Use a Defini¸c˜ao 0.3 da Lista 08 para resolver os ´ıtens abaixo.

(i) Dada f (x) = x√x_{− 4, calcule o valor m´edio de f no intervalo [0, 4], R.} 466

45. Encontre

o valor X ∈ [0, 4] tal que f assume o valor m´edio. (ii) Dada f (x) = 8x − x2

, calcule o valor m´edio de f no intervalo [5, 8]. R. 32

3 . Encontre

(8)

2 Use o Teorema 0.2 e calcule as seguintes derivadas : (i) d dx Z x 0 √ 4 + t2_dt. _(ii) d dx Z x 0 dt 1 + t2. (iii) d dx Z x 0 √ 4 + cos t2 _dt.

3 _{Calcule a ´area A da regi˜ao R localizada no semiplano {(x, y) ∈ R}2

,_{tal que y ≥ 0} e} limitada y = |x| e x2

+ y2

= a2

, onde a > 0. Fa¸ca um esbo¸co gr´afico da regi˜ao R.

4 _{Considere a fun¸cão f : [a, b] → R. Seja a região sob o gráfico de f. Em cada item} abaixo, rotacione R região em em torno do eixo ox e calcule o volume do sólido gerado por esta rota¸cão.

(i) f : [−1, 2] → R dada por f(x) = x2

+ 1. _{(ii) f : [0, 2] → R dada por f(x) =} √x. (iii) f : [−1, 2] → R dada por f(x) = √1 − x2_.

(iv) Encontre a ´area A da regi˜ao R limitada entre as curvas y = x2

e y = −x2

+ 4; Resp. 8

3 . (v) Calcule o volume do s´olido

regrado pela rota¸cão desta região em torno do eixo ox (vi) Calcule o volume da esfera de raio a, (a > 0). (vii) Encontre o volume do sólido gerado pela rota¸cão em torno do eixo 0x, da região limitada pela parábola y = x2