Números fuzzy interativos

(1)

N ´umeros fuzzy interativos

Francielle Santo Pedro

Orientador: La ´ecio Carvalho de Barros

Instituto de Matem ática, Estat´ıstica e Computaç ão Cient´ıfica- IMECC Unicamp - Campinas

(2)

Distribuic¸ ˜ao de possibilidade

Definic¸ ˜ao

Uma distribuiç ão de possibilidade sobre Ω 6= Φ é uma funç ão µ : Ω −→ [0, 1] satisfazendo sup

ω∈Ω

µ(ω) =1.

Definic¸ ˜ao

Sejam A1,A2, ...,An∈ F (R) n úmeros fuzzy e C ∈ Fc(Rn), ent ão µC é uma distribuiç ão de possibilidade conjunta de A1, ...,An se

max xj∈R,j6=i

µC(x1,x2, ...,xn) = µAi(xi).

(3)

Exemplo: Se C denota a distribuiç ão de possibilidade conjunta de A, B ∈ F (R), ent ão max y µc(x , y ) = µA(x ) e maxx µc(x , y ) = µB(y ), para todo x , y ∈ R. Observaç ão

Se C é uma distribuiç ão de possibilidade de A1, ...,An∈ Fc(Rn), ent ão a seguinte relaç ão é satisfeita

µC(x1, ...,xn) ≤min {µA1(x1), ..., µA2(xn)}

e

[C]α⊆ [A1]α× [A2]α× ... × [An]α, para todos x = (x1,x2, ...,xn) ∈ Rne α ∈ [0, 1].

(4)

Interatividade entre n ´

umeros fuzzy

Definic¸ ˜ao

Os n úmeros fuzzy A1,A2, ...Ans ão ditos n ão interativos se, e somente se,

sua distribuic¸ ˜ao de possibilidade conjunta C satisfazer

µ_C(x1, ...,xn) =min {µ_A1(x1), ..., µAn(xn)},

ou equivalentemente,

[C]α= [A1]α× ... × [An]α, para todo α ∈ [0, 1].

(5)

(6)

O Princ´ıpio de extens ˜ao para n ´

umeros fuzzy

interativos

Definic¸ ˜ao

Seja C uma distribuiç ão de possibilidade conjunta com distribuiç ões de possibilidades marginais µA1, ..., µAn, e seja f : R

n _{−→ R}m _uma

funç ão cont´ınua. A extens ão, via C, aplicada em A1,A2, ...,An é o subconjunto fuzzy de Rm, fC(A1,A2, ...,An)cuja funç ão de pertin ência

´e µ_f C(A1,...,An) (y ) =      sup y =f (x1,...,xn) µ_C(x1, ...,xn) se f−1(y ) 6= ∅ 0 se f−1(y ) = ∅, sendo f−1(y ) = {(x1, ...,xn) :f (x1, ...,xn) =y }.

(7)

Aritm ´etica

Quando µ_C(x1,x2) =min {x1,x2} a soma e subtraç ão de dois n úmeros fuzzy A e B com α-n´ıvies dados por [aα₁,aα₂]e [b₁α,bα₂], é dada por:

A soma de dois n úmeros fuzzy A e B é o n úmero fuzzy A + B cujos α-n´ıveis s ão

A + B = [aα₁ +b₁α,aα₂ +b₂α].

A diferença de dois n úmeros fuzzy A e B é o n úmero fuzzy A − B cujos α-n´ıveis s ão

(8)

Proposic¸ ˜ao

Sejam A1,A2, ...,An∈ F (R) n úmeros fuzzy, C sua distribuiç ão de possibilidade conjunta e f : Rn−→ R uma funç ão cont´ınua. Ent ão,

[f_C(A1,A2, ...,An)]α =f ([C]α),

para todo α ∈ [0, 1].

Teorema

Sejam A, B ∈ F (R) n úmeros fuzzy linearmente correlacionados, seja C sua distribuiç ão de possibilidade conjunta e f : R2−→ R2_uma funç ão cont´ınua. Ent ão,

(9)

N ´

umeros fuzzy linearmente correlacionados

Definic¸ ˜ao

Dois n úmeros fuzzy A e B s ão ditos linearmente correlacionados se existem q, r ∈ R, com q 6= 0, tais que sua distribuiç ão de possibilidade conjunta é dada por

µ_C(x , y ) = µ_A(x )X{qx+r =y }(x , y ) = µB(y )X{qx+r =y }(x , y ) sendo X{qx+r =y }(x , y ) = 1 se qx + r = y 0 se qx + r 6= y é a funç ão caracter´ıstica da reta {(x, y ) ∈ R2

:qx + r = y }.

Neste caso, se [A]α= [aα1,a α 2]ent ˜ao [B] α =q[A]α+r , [C]α_{= {(} x , qx + r ) ∈ R2:x = (1 − s)aα 1 +saα2,s ∈ [0, 1]}, para α ∈ [0, 1] e µ_B(x ) = µ_A(x −r_q ), q 6= 0, ∀x ∈ R.

Observaç ão: Dados q e r , a primeira distribuiç ão marginal determina completamente a segunda, e vice e versa.

(10)

N ´

umeros fuzzy linearmente correlacionados

Definic¸ ˜ao

N úmeros fuzzy A e B s ão ditos linearmente positivamente (negativamente) correlacionados se q é positivo (negativo) na definiç ão anterior.

Figura: N ´umeros fuzzy linearmente positivamente correlacionados.

Figura:N ´umeros fuzzy linearmente negativamente correlacionados.

(11)

Operaç ão aritm ética de n ´

umeros fuzzy

linearmente correlacionados

Considere a soma de dois n ´umeros fuzzy linearmente correlacionados A e B, µA+CB(y ) = sup y =x1+x2 µC(x1,x2) Isto ´e, µA+CB(y ) = sup y =x1+x2 µ_A(x1)X_{qx₁+r =x2}(x1,x2).

A relaç ão de interativade entre dois n úmeros fuzzy é definido exclusivamente por sua distribuiç ão de possibilidade conjunta. Portanto, n úmeros fuzzy com funç ão de pertin ência iguais, por exemplo µA(x ) = µB(y ), podem n ão ser correlacionados.

(12)

Soma

Soma de n ´umeros linearmente correlacionados

[A +CB]α = (q + 1)[A]α+r , para todo α ∈ [0, 1]

Observac¸ ˜ao

Notemos que se q = −1 e r = 0, isto ´e, µA(x ) = µB(−x ) temos que a

soma interativa, A +_CB, de dois n ´umeros fuzzy linearmente

negativamente correlacionados ser á zero (crisp). Por outro lado, a soma n ão interativa é dada por

[A + B]α = [aα₁− aα₂,aα₂ − aα₁]

que ´e um n ´umero fuzzy. Isto significa que para qualquer α ∈ [0, 1], [C]α⊂ {(x1,x_{2) ∈ R/x1}+x2=r }.

(13)

Soma

Figura: Adiç ão de n úmeros fuzzy linearmente negativamente correlacionados com q = −1.

(14)

Soma

Por outro lado se q 6= −1, A +CB ´e um n ´umero fuzzy e para qualquer

α ∈ [0, 1], o conjunto {(x1,x2) ∈ [C]α/x1+x2=y } consiste em no m ´aximo de um ´unico ponto.

Figura: N ´umeros fuzzy linearmente negativamente correlacionados com q 6= −1.

(15)

Soma interativa = Soma n ˜ao interativa

Sejam A e B n úmeros fuzzy, onde a funç ão de pertin ência de B é dada, para qualquer x ∈ R, por

µ_B(x ) = µ_A(x − r

q ).

Ent ˜ao para qualquerq > 0, temos

[A + B]α = [A]α+ [B]α

= [A]α+q[A]α+r

= (q + 1)[A]α+r

(16)

Figura: Soma de n ´umeros fuzzy linearmente

(17)

Figura: Soma de n ´umeros fuzzy linearmente

(18)

Conclus ˜ao

Qualquer que seja a distribuic¸ ˜ao conjunta C, temos

A +_CB ⊆ A + B

e se dois n úmeros s ão linearmente positivamente correlacionados ent ão

(19)

Subtrac¸ ˜ao

Considere a subtraç ão de dois n úmeros fuzzy linearmente correlacionados A e B, µA−CB(y ) = sup y =x1−x2 µC(x1,x2) Isto é, µA−CB(y ) = sup y =x1−x2 µ_A(x1)X{qx1+r =x2}(x1,x2).

(20)

Subtrac¸ ˜ao

Subtraç ão de dois n úmeros fuzzy linearmente correlacionados

[A −CB]α = (1 − q)[A]α− r , para todo α ∈ [0, 1].

Observac¸ ˜ao

Notemos que se q = 1 e r = 0, isto é, µA(x ) = µB(x ) temos que a subtraç ão interativa, A −CB, de dois n úmeros fuzzy linearmente positivamente correlacionados ser á zero (crisp).

(21)

Subtrac¸ ˜ao

Subtraç ão interativa=subtraç ão n ão interativa

Sejam A e B n úmeros fuzzy, onde a funç ão de pertin ência de B é dada, para qualquer x ∈ R, por

µ_B(x ) = µ_A(x − r

q ).

Ent ˜ao para qualquer q < 0, temos

[A − B]α = [A]α− [B]α

= [A]α− q[A]α− r

= (1 − q)[A]α− r

(22)

Conclus ˜ao

Qualquer que seja a distribuic¸ ˜ao conjunta C, temos

A −_CB ⊆ A − B,

e se dois n úmeros s ão linearmente negativamente correlacionados ent ão

(23)

Exemplo

Sejam os n ´umeros fuzzy A e B com pertin ˆencias µA(x1) = x₁+2 3 se −2 ≤ x1≤ 1 4−x1 3 se 1 ≤ x1≤ 4 e µB(x2) = x2+7 6 se −7 ≤ x2≤ −1 5−x₂ 6 se −1 ≤ x2≤ 5 .

A e B s ão linearmente correlacionados se tomarmos a distribuiç ão conjunta C com pertin ência µ_C(x1,x2) = µ_A(x1)X{2x1=x2}(x1,x2). Da´ı teremos, [A]

α_{= [3α − 2, 4 − 3α],}

[B]α_{= [6α − 4, 8 − 6α] e}

[C]α= {(x , 2x ) ∈ R2:x = (1 − s)(3α − 2) + s(4 − 3α), s ∈ [0, 1]}, para α ∈ [0, 1]. Assim,

(24)

Bibliografia

Barros, L. C., Bassanezi, R. C., “T ópicos em l ógica fuzzy e biomatem ática”, UNICAMP/IMECC, Campinas 2010.

C. Carlsson, R. F ´uller, T. Keresztfalvi, Additions of completely correlated fuzzy numbers, Fuzzy IEEE 2004 CD-ROM Conference Proceedings, Budapest, Julho (2004) 26-29.