DISTRIBUIÇÕES CONTINUAS COM APLICAÇÃO NO R

DISTRIBUIÇÕES CONTINUAS COM APLICAÇÃO NO R

Valneli da Silva MELO1, Arielly Arethuza Galdino ARAÚJO1 , Nathielly Lima do Rêgo1, Edwirde Luiz SILVA1

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Departamento de Estatística, Universidade Estadual da Paraíba-UEPB, Campus I, Campina Grande-PB. E-mail: [email protected] , [email protected], [email protected] , [email protected]

RESUMO

A estatística exerce um papel fundamental no método científico, a qual se preocupa em organizar, descrever, analisar e interpretar as distribuições a partir de uma observação ou de um experimento. Conhecer muitas das densidades distribuições é de extrema importância, pois as mesmas contribuem para toda teoria estatística. Foram analisados as densidades das principais funções de probabilidades contínuas no software estatístico R.2.12.1. Fazer considerações sobre a seleção das aplicações e explanar sobre as possíveis interpretações dos resultados.

PALAVRAS CHAVE: probabilidade, gráficas, densidades.

1 INTRODUÇÃO

Os estudos apresentados até o momento incidiram sobre a finalidade de mostra a importância das distribuições continuas aplicadas no software estatístico R, visando com isso facilitar o entendimento dessas distribuições e observar o comportamento gráficos, nesse sentido, o cálculo das distribuições continuas é de fundamental interesse para estudos estatísticos. Faremos estudos sobre as principais distribuições, como: a distribuição normal que é uma das mais importantes para análises de fenômenos reais, e também de grande importância para a Inferência Estatística e a Amostragem. Trataremos também das distribuições exponencial que é bastante utilizada na teoria da confiabilidade para modelar os tempos de espera entre ocorrências de eventos em um Processo de Poisson, da

distribuição gama densidade que também é do tipo assimétrico positive, da

distribuição t-Student que é uma distribuição de probabilidade teórica , da distribuição de qui-quadrado que nos diz em que medida é que os valores observados se desviam do valor esperado, caso as duas variáveis não

estivessem correlacionadas, da distribuição de Fisher que surge

frequentemente como a distribuição nula de uma estatística de teste, particularmente na análise da variância e por ultimo da distribuição logística que descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores.

2 METODOLOGIA

Usando o Software Estatístico R.2.12.1, aplica-se as distribuições contínuas mais conhecidas pela comunidade estatística, visando desenvolver o comportamento dessas funções quer alterando os parâmetros quer alterando os graus de liberdades.

3 RESULTADOS E DISCUSSÃO

A Figura 1, mostra o desempenho da distribuição normal, a média refere-se ao centro da distribuição e o desvio padrão ao espalhamento (ou achatamento) da curva. Essa também é uma das mais importantes dentro da estatística, e segue o seguinte modelo matemático:

f (x)= 1 (2ps2)exp -(x-m)2 2s2 ì í î ü ý þ

-4 -2 0 2 4 0 .1 5 0 .2 0 0 .2 5 0 .3 0 0 .3 5 0 .4 0

Normal com média 0 e variância 1

x G a u s s ia n a

Figura 1 – Gráfico da distribuição normal

A distribuição exponencial representado na Figura 2, se caracteriza por ter uma função de taxa de falha constante, é a única com esta característica. Sendo esta considerada uma das mais simples:

f (x,l)= le -lx , x³0 0, x<0 ì í ï îï y<-1 x<-seq(0,4,by=0.01) fx<-y*exp(-y*x) plot(x,fx)

plot(x,fx, xlab="x",ylab="Exponencial", main="Função Exponencial")

m<-0

s<-1

x<-seq(-5,5,by=0.01)

fx<-(1/sqrt(2*pi)*s^2)*exp((-0.05/s^2)*(x-m)^2)

plot(x,fx)

plot(x,fx,xlab="x",ylab="Gaussiana",main="Normal com média 0 e variância

0 1 2 3 4 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0 Função Exponencial x E x p o n e n c ia l

Figura 2 – Distribuição Exponencial

A distribuição t-Student, mostrada na Figura 3, é simétrica, campaniforme e semelhante a curva normal padrão, porém com caudas mais largas. Onde o grau de liberdade caracteriza a sua forma.

f (t)= G v+1 2 æ èç öø÷ vpG v 2 æ èç öø÷ 1+t 2 v æ èç ö ø÷ - v+1 2 æ èç öø÷ k<-1 x<-seq(-3,3,by=0.01) fx<-((gamma((k=1)/2)/gamma(k/2))*((k*pi)^(-1/2))*(1+(x^2)/k)^(-k-1)/2) plot(x,fx)

-3 -2 -1 0 1 2 3 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 0 .2 0 0 .2 5 Função Student x S tu d e n t

Figura 3 – Distribuição t-Student

A distribuição qui-quadrado, Figura 4, mostra uma curva positiva e não simétrica, seu gráfico depende do parâmetro n. Esta possui numerosas aplicações importantes em inferência estatística.

f (x)= 1 2v2G_{(v 2)} x(v 2)-1 exp -x 2 æ èç öø÷ k<-3 x<-seq(0,11,by=0.01) fx<-((2^(-k/2))/(gamma(k/2)))*(x^(k-2)/2)*(exp(-x/2)) plot(x,fx)

0 2 4 6 8 10 0 .0 0 0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 Função Qui-quadrado x Q u i-q u a d ra d o

Figura 4 – Distribuição Qui-quadrado

Na Figura 5, temos a distribuição de Fisher, que possui curva positiva e não simétrica. O seu aspecto gráfico depende dos parâmetros m e n (número de graus de liberdade). f (x)= G m+n 2 é ëê ù ûú m n æ èç öø÷ m 2 x m n-1 G m 2 é ëê ù ûúG n 2 é ëê ù ûú m n æ èç öø÷x+1 é ëê ù ûú m+n 2 n1<-5 n2<-7 x<-seq(0.4,by=0.01)

fx<-(gamma(n1+n2)/2)/(gamma(n1/2)*gamma(n2/2))*(n1/n2)^(n1/2)*x^(n1

-n2)/2*(1+(n1/n2)*x)^(-(n1+n2)/2)

plot(x,fx)

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 2 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 Função Fisher x F is h e r

Figura 5 – Distribuição de Fisher

Na distribuição gama, representado na Figura 6, essa é apropriada para modelar o tempo requerido para o acontecimento de exatamente

a

l

f (x)= a G

( )

( )

fx<-((l^the)/gamma(the))*x^(the-1)*exp(-l*x)

plot(x,fx)

0 1 2 3 4 0 2 4 6 8 1 0 1 2 Função Gama x G a m m a

Figura 6 – Distribuição Gama

A distribuição logística, representada na Figura 7, tem uma curva sigmóidal simétrica e é usada principalmente em estudo de crescimento populacional.

f (x;m, s)= e -( x-m)/s s(1+e-( x-m)/s )2 y<-0.8 o<-0.9 x<-seq(0,3,by=0.01) fx<-((1/o)*exp((x-o)/y)*(1+exp((x-o)/y))^(-2)) plot(x,fx)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0 .1 0 0 .1 5 0 .2 0 0 .2 5 Função Logística x L o g ís ti c a

Figura 7 – Distribuição Logística

4 CONCLUSÃO

Foi possível concluir a partir desse estudo o quanto o software estatístico R.2.12.1 proporciona uma maior facilidade nos cálculos das funções de distribuições continuas, além disso, também é possível ver o comportamento gráfico das mesmas, com isso, pode-se observar alguma semelhança entre as distribuições normal e t-Student, onde na distribuição t-Studente verificou-se uma caldas suave, enquanto a distribuição normal se diferencia, também observou-se semelhança entre as distribuições exponencial, qui-quadrado e logística que apresentam curvas positivas em seus gráficos, e por últimos visualiza-se a semelhança entre as distribuições de gama e Fisher, que apresentam uma curva não simétrica e positiva.

REFERÊNCIAS

BUSSAB, Wilton O; MORETTIN, Pedro A.. Estatística Básica, Sao Paulo: Saraiva, 2012

MEYER, Paul L.. Probabilidades. Aplicações à Estatística.

WALPOLE, RONALD MYERS; RAYMUND H. MEYERS; SHARON, L. MYERS, KEYING YE. Probalidade & Estatistica, 8.ed, Sao Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.