Análise qualitativa da solução fuzzy do modelo presa - predador de Lotka - Volterra

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An´

alise qualitativa da solu¸

c˜

ao fuzzy do modelo presa - predador

de Lotka - Volterra

Moiseis S. Cecconello

Depto de Matem´atica, ICET, UFMT 78060-900, Cuiab´a, MT E-mail: moiseis@ufmt.br

Rodney C. Bassanezzi

Universidade Federal do ABC, Santo Andr´e, SP rodney@ime.unicamp.br

Adilson J. V. Brand˜ao

Universidade Federal de S˜ao Carlos, Sorocaba,SP adilsonvb@ufscar.br

Resumo: Neste trabalho faremos uma análise qualitativa da solu¸cão fuzzy e uma compara¸cão da curva obtida pela defuzzifica¸cão da solu¸cão fuzzy com a solu¸cão determin´ıstica do modelo presa -predador de Lotka - Volterra . Mostraremos que, diferentemente da solu¸cão determin´ıstica, a solu¸cão fuzzy do modelo de Lotka - Volterra não apresenta mais o comportamento periódico. Isto acontece pois o per´ıodo das solu¸cões determin´ısticas depende da condi¸cão inicial tomada para o sistema.

Palavras-chave: Intera¸c˜ao presa-predador, conjuntos fuzzy, solu¸c˜oes fuzzy.

1 Introdu¸

c˜

ao

Quando usamos equa¸cões diferenciais ordinárias para a modelagem matemática de fenômenos naturais podemos estar sujeitos a incertezas inerentes aos parâmetros das equa¸cões que descre-vem tais fenômenos. Por exemplo, em problemas de dinâmica populacional nem sempre é poss´ıvel saber exatamente a quantidade de indiv´ıduos ou a capacidade suporte em uma deter-minada região. Também nem sempre é poss´ıvel, por dificuldade técnica ou falta de informa¸cão, incorporar todas as leis necessárias para descrever o fenômeno estudado. Desta forma, a subje-tividade é um importante fator que deve ser considerado na modelagem matemática [8, 1].

Quando desejamos descrever o comportamento da intera¸cão entre presas e predadores por meio de equa¸cões diferenciais, frequentemente nos deparamos com solu¸cões periódicas. Esta periodicidade é uma das caracter´ısticas fundamentais deste tipo de intera¸cão [7, 2].

Levando em conta que a subjetividade das condi¸cões iniciais, ou até mesmos dos parâmetros envolvidos nas equa¸cões, podem ser considerados como conjuntos fuzzy é de fundamental im-portância determinar como tais subjetividades podem interferir no comportamento da solu¸cão destas equa¸cões.

Neste trabalho analisamos qualitativamente a solu¸cão fuzzy do modelo presa - predador de Lotka - Volterra. Como observamos, a solu¸cão fuzzy não apresenta mais o comportamento periódico caracter´ıstico da solu¸cão determin´ıstica deste modelo. Também vamos ver que curva obtida pela defuzzifica¸cão da solu¸cão fuzzy não apresenta o mesmo comportamento da solu¸cão determin´ıtica pois tal curva aproxima-se de um ponto de estabilidade do modelo. Apresentamos

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também algumas simula¸cões numéricas da solu¸cão fuzzy para com o objetivo de enfatizar os resultados teóricos discutidos.

2 Solu¸

c˜

oes fuzzy de equa¸

c˜

oes diferenciais

Consideremos o conjunto U ⊂ Rn_. _{Denotaremos por F(U ) o conjunto formado pelos}

sub-conjuntos fuzzy de U cujos suporte são subconjuntos compactos de U. Algumas propriedades métricas de F(U ) podem ser encontradas em [3] ou [4]. Se A é um subconjunto de U , usaremos a nota¸cão χApara indicar o conjunto fuzzy onde a fun¸cão de pertinência é a fun¸cão caracter´ıstica

de A.

Consideremos a equa¸c˜ao autˆonoma definida por dx

dt = f (x) (1)

onde f : U ⊂ Rn_{→ R}n_{´e uma fun¸c˜ao suficientemente suave. Para cada x}

o∈ U, denotaremos por

ϕt(xo) a solu¸cão determin´ıstica da Eq. (1) cuja condi¸cão inicial é xo. Aqui estamos assumindo

que a solu¸c˜ao est´a definida para todo t ∈ R+.

Faz-se necess´ario considerar a aplica¸c˜ao ϕt : U → U, que para cada xo ∈ U possui imagem

ϕt(xo), chamada de fluxo determin´ıstico. A extensão de Zadeh de ϕté a aplica¸cão ˆϕt: F(U ) →

F(U ) que leva o conjunto fuzzy xo∈ F (U ) no conjunto fuzzy ˆϕt(xo). Chamaremos tal aplica¸c˜ao

de fluxo fuzzy. Dado xo ∈ F (U ), dizemos que ˆϕt(xo) é a solu¸cão fuzzy da Eq. (1) cuja condi¸cão

inicial ´e o conjunto fuzzy xo.

As condi¸cões para existência de pontos de equil´ıbrio fuzzy bem como a natureza da estabi-lidade de tais pontos foram primeiramente apresentados em [6]. Os conceitos de estabiestabi-lidade e estabilidade assintótica para pontos de equil´ıbrio fuzzy são análogos aos de pontos de equil´ıbrio de solu¸cões determin´ısticas e as condi¸cões de estabilidade para pontos de equil´ıbrio fuzzy podem ser encotradas em [6, 3].

Os modelos para intera¸cões do tipo presa - predadores que analisamos aqui apresentam solu¸cões determin´ıstica periódicas. Assim, apenas as informa¸cões sobre pontos de equil´ıbrio não são suficientes para uma análise completa das solu¸cões fuzzy geradas por esses modelos. Apresentamos no que segue alguns resultados sobre periodicidade de solu¸cões fuzzy.

O conceito de periodicidade para solu¸cões fuzzy pode ser definido de modo análogo ao de-termin´ıstico. Dizemos que ˆϕt(p) é uma solu¸cão fuzzy periódica quando satisfaz

ˆ

ϕτ+t(p) = ˆϕt(p), ∀t ∈ R+,

para algum τ > 0. Neste caso, a órbita periódica fuzzy é o subconjunto

ζ= [

s∈[0,τ ]

ˆ

ϕs(p) ⊂ F (U ).

Se uma equa¸cão diferencial autônoma, como a Eq. (1), possui solu¸cão determin´ıstica periódica para alguma condi¸cão inicial, então esta equa¸cão também possui solu¸cão periódica fuzzy. Isto está caracterizado pelas duas proposi¸cões que se seguem.

Proposition 1 [3] Um ponto p ∈ U é periódico de per´ıodo τ para ϕt se, e somente se, χ{p} é

um ponto peri´odico de per´ıodo τ para ˆϕt.

Proposition 2 [3] Seja γ uma ´orbita τ - peri´odica para o fluxo determin´ıstico ϕt e seja p ∈

F (U ). Se [p]α _{´e conexo para algum α ∈ [0, 1] e [p]}0 _{⊂ γ, ent˜}_{ao p ´e um ponto τ - peri´}_{odico para}

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A Proposi¸cão 2 garante que condi¸cões iniciais fuzzy cujos suportes estão contidos em uma órbita periódica determin´ıstica produzem solu¸cões fuzzy que são periódicas.

No caso de sistemas bidimensionais, que é o nosso principal interesse aqui, a existência de ciclos limites para solu¸cões determin´ıstica são suficientes para garantir que a solu¸cão fuzzy apresentará periodicidade. Ressaltamos que um ciclo limite é uma órbita periódica no plano que atrai solu¸cões determin´ısticas com condi¸cões iniciais nas proximidades da órbita [5]. O conjunto das condi¸cões iniciais cuja a solu¸cão converge para um ciclo limite é chamado de região de atra¸cão do ciclo limite.

Como consequˆencia dos resultados que apresentamos em [3] podemos afirmar que:

Proposition 3 Se γ ⊂ R2 é um ciclo limite para a solu¸cão determin´ıstica e o suporte da condi¸cão inicial fuzzy xo está contido na região de atra¸cão de γ então ˆϕt(xo) é uma solu¸cão

fuzzy periódica ou ˆϕt(xo) se aproxima da órbita gerada por uma solu¸cão fuzzy periódica.

A Proposi¸cão 3 assume como hipótese a existência de um ciclo limite para a equa¸cão de-termin´ıstica. Assim, a teoria de Poincaré - Bendixson [5] pode ser usada para determinar a existência de órbitas periódicas para solu¸cões determin´ıstica e, consequentemente, solu¸cões fuzzy.

No que se segue, estes resultados serão utilizados nas análises qualitativas das solu¸cões fuzzy dos modelos de Lotka - Volterra.

3 O modelo de Lotka - Volterra

O modelo presa - predador clássico de Lotka - Volterra é dado pelo sistema de equa¸cões            dx dt = ax − rxy, x(0) = x0 >0, dx2

dt = −by + sxy, y(0) = y0 >0.

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Como já é bem conhecido, para qualquer condi¸cão inicial determin´ıstica, a solu¸cão ϕt(xo, yo) da

Eq. 2 é uma solu¸cão periódica [2]. O per´ıodo de cada órbita periódica do modelo de Lotka -Volterra depende da condi¸cão inicial [9]. Quanto mais distante estiver a condi¸cão inicial do ponto de equil´ıbrio, maior é o tempo necessário para que a solu¸cão retorne ao ponto de partida. Por meio das Proposi¸cões 1 e 2 podemos concluir que a solu¸cão fuzzy do modelo de Lotka -Volterra é periódica para determinadas condi¸cões iniciais fuzzy. A saber, existem duas condi¸cões onde podem aparecer solu¸cões fuzzy periódicas para o modelo de Lotka - Volterra:

• As condi¸cões iniciais fuzzy que são subconjuntos crisps de condi¸cões iniciais determin´ısticas; • As condi¸cões iniciais fuzzy cujo suporte estão contidos em órbitas periódicas determin´ısticas. Com uma análise um pouco mais aprofundada, é poss´ıvel mostrar que as solu¸cões fuzzy determinadas por condi¸cões iniciais fuzzy (com suporte conexos) contendo pontos de duas órbitas distintas não são periódicas. Isto acontece porque, embora cada ponto no quadrante positivo seja um ponto periódico, pontos que estão sobre orbitas determin´ısticas distintas possuem per´ıodos distintos ([3]).

Na Figura 1 temos a representa¸cão gráfica de ˆϕt(xo) nos instantes t = 55 e t = 85. A condi¸cão

inicial xo∈ F (R2+) ´e o produto cartesiano fuzzy entre

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e χ_{5},ou seja, xo= (x′o, χ{5}). Desta forma, estamos considerando que apenas a quantidade de

presas é subjetiva. Tomamos tal condi¸cão inicial fuzzy para simplificar a visualiza¸cão da solu¸cão fuzzy ˆϕt(xo) no espa¸co de fases.

A Figura 1 deve ser vista da seguinte forma: para cada t > 0 a solu¸c˜ao fuzzy ˆϕt(xo) ´e um

subconjunto fuzzy do plano cartesiado. Isto é, a fun¸cão de pertinência do conjunto fuzzy ˆϕt(xo),

para cada par ordenado (a, b), associa o grau de pertinˆencia µϕ_ˆt(xo)(a, b). O grau de pertiˆencia

de cada ponto do plano ´e representado por uma tonalidade na cor cinza. Quanto maior o grau de pertinˆencia, mais escura se torna a cor ([3]).

0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 x y 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 x y

Figura 1: Solu¸c˜ao fuzzy ˆϕt(xo) em t = 55 e t = 85.

O movimento no plano de fases da solu¸c˜ao fuzzy ˆϕt(xo) com a evolu¸c˜ao no tempo pode ser

acompanhado no v´ıdeo dispon´ıvel no endere¸co: http://dl.dropbox.com/u/1237943/modlv.avi

Podemos olhar ainda para as proje¸c˜oes nos eixos x e y da solu¸c˜ao fuzzy ˆϕt(xo) em t =

55. Estas proje¸c˜oes podem ser vistas como a decomposi¸c˜ao do conjunto fuzzy ˆϕt(xo) em dois

subconjuntos fuzzy dos números reais: um projetado no eixo x e o outro projetado no eixo y. A evolu¸cão das proje¸cões com rela¸cão ao tempo está representado na Figura 2.

0 5 10 15 20 25 0 0.5 1 µ(x) x 00 5 10 15 20 25 0.5 1 y µ(y)

Figura 2: Proje¸c˜oes nos eixos x e y da solu¸c˜ao fuzzy ˆϕt(xo) em t = 55.

As representa¸cões gráficas das proje¸cões (para maiores detalhes consultar [3]) da solu¸cão fuzzy nos mostram que mesmo quando levamos em conta que apenas o número inicial de presas é fuzzy, a quantidade de predadores se torna fuzzy ao longo do tempo.

Na visão de que os subconjuntos fuzzy servem como modelo para incertezas podemos então estar interessados em comparar a solu¸cão determin´ıstica e a curva gerada pela defuzzifica¸cão da solu¸cão fuzzy. Podemos interpretar a solu¸cão determin´ıstica como aquela gerado por uma condi¸cão inicial representativa de um conjunto de valores poss´ıveis. Por outro lado, o processo de defuzzificar a solu¸cão fuzzy pode ser interpretado como um valor representativo a posteriori do processo evolutivo em que a subjetividade na condi¸cão foi considera ao longo do tempo.

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0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 x y 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 x y

Figura 3: Solu¸cão determin´ıstica e curva obtida pela defuzzifica¸cão da solu¸cão fuzzy no plano de fases.

As Figuras 3 e 4 nos mostram que para o modelo de Lotka-Volterra considerar a subjetividade a priori e a posteriori apresentam resultados significativamente diferentes.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 t x(t) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 t x(t)

Figura 4: Solu¸cão determin´ıstica e curva obtida pela defuzzifica¸cão da solu¸cão fuzzy da variável x com rela¸cão ao tempo.

O comportamento apresentado pela solu¸cão fuzzy do modelo de Lotka - Volterra nos mostra que o fato de não conhecermos exatamente a condi¸cão inicial pode alterar significativamente o resultado esperado.

4 Conclus˜

oes

Neste trabalho analisamos qualitativamente a solu¸cão fuzzy do modelo presa - predador de Lotka - Volterra. Se considerarmos que a condi¸cão inicial é determinado por um conjunto fuzzy então a solu¸cão determin´ıstica pode ser interpretada como aquela gerada por uma condi¸cão inicial representativa de um conjunto de dados incerto enquanto que na defuzzifica¸cão da solu¸cão fuzzy estamos escolhendo um valor representativo do processo evolutivo em que os dados incertos foram considerados ao longo do tempo. No caso do modelo de Lotka - Volterra estudado aqui as duas intepreta¸cões apresentam resultados diferentes. Determinar em que condi¸cões as duas abordagens apresentam resultados equivalentes pode depender da equa¸cão analisada e ainda necessita de estudos mais espec´ıficos.

Referˆ

encias

[1] L. C. Barros e R. C. Bassanezi, Tópicos de Lógica Fuzzy e Biomatemática, Cole¸cão IMECC -Textos Didáticos, 2006.

[2] R. C. Bassanezi e W. C. Ferreira Jr, Equa¸cões Diferenciais com Aplica¸cões, HARBRA, São Paulo, 1988.

[3] M. S. Cecconello, Sistemas Dinâmicos Fuzzy em Espa¸cos Métricos Fuzzy - Aplica¸cões em Modelos de Biomatemática, Tese de Doutorado, IMECC - UNICAMP, 2010.

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[4] P. Diamond e P. Kloeden, Metric Spaces of Fuzzy Sets: Theory and Applications, World Scientific, Singapore, 1994.

[5] M. W. Hirsch e S. Smale, Differential, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press, San Diego, 1974.

[6] M. T. Mizukoshi, L. C. Barros e R. C. Bassanezi, Stability of fuzzy dynamic systems, International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 17(2009)69-83.

[7] J. D. Murray, Mathematical Biology I. An Introduction, volume 1, Springer, New York, 2002.

[8] S. Seikkala, “On the fuzzy initial value problem”, Fuzzy Sets and Systems, 24(1987) 319-330. [9] J. Waldvogel, The period in the volterra-lotka predator-prey model,SIAM Journal on