Universidade de Bras´ılia
O Jogo do Solitaire
Objetivos
Desenvolver o racioc´ınio l´ogico e a habilidade de organiza¸c˜ao de estrat´egias de a¸c˜ao e de sele¸c˜ao de m´etodos de resolu¸c˜ao.
Conte´
udos abordados
Representa¸c˜ao gr´afica; Fun¸c˜ao; Sequˆencias num´ericas;
Metodologia
Por meio da an´alise de um quebra-cabe¸ca o aluno ´e levado a descobrir novas estrat´egias para solu¸c˜ao do mesmo. Com aux´ılio de conceitos constru´ıdos ao longo do caderno, o aluno adquire ferramentas que o permite tirar conclus˜oes sobre a solubilidade do quebra-cabe¸ca estudado.
Materiais
Tabuleiro; Canetas
Autor Thafarel Rodrigues da Costa Orientador Prof. Guy Grebot
1
Resumo te´
orico
O Resta Um ´e um jogo muito simples cujas leis que governam suas solu¸c˜oes podem ser estudadas com aux´ılio de conceitos matem´aticos.
Dentre as v´arias quest˜oes que podem ser levantadas, s˜ao destacadas: qual ´e o m´ınimo de movimentos para resolver o problema? Essa sequˆencia de movimentos ´e ´unica? Existem problemas equivalentes?
O maior desafio ao estudar este jogo ´e determinar o n´umero m´ınimo de movimentos necess´arios para resolvˆe-lo. V´arios matem´aticos e criadores de jogos se dedicaram a este estudo. Henry Ernest Dudeney foi um matem´atico inglˆes e autor de livros e jogos de l´ogica, que publicou uma solu¸c˜ao para o Resta Um com 19 movimentos. Quatro anos depois, Ernest Bergholt publicou [2] em uma revista chamada “The Queen” uma solu¸c˜ao com 18 movimentos (ver anexo). Em 1964, 52 anos ap´os a publica¸c˜ao de Bergholt, John Beasley [3] provou que uma solu¸c˜ao com menos de 18 movimentos n˜ao ´e poss´ıvel.
Para facilitar o estudo do Resta Um, usaremos, a partir de agora, a seguinte nota¸c˜ao com objetivo de localizar cada casa dentro do tabuleiro e fazer referˆencia a alguns prob-lemas. a3 a4 a5 b3 b4 b5 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 f3 f4 f5 g3 g4 g5
Figura 1: Nota¸c˜ao para descrever cada casa do tabuleiro.
Resolver o quebra-cabe¸ca, de acordo com a nota¸c˜ao acima, consiste em remover, por meio de movimentos v´alidos, todas as pe¸cas do tabuleiro e deixar apenas uma pe¸ca na posi¸c˜ao d4 (d4-complementar). A seguir, h´a um estudo sobre esse problema e ainda uma ferramenta fundamental para determinar se uma jogada realizada impossibilita ou n˜ao a resolu¸c˜ao do problema.
1.1
Teoria de Grupos
Sejam x, y e z, os valores de trˆes casas adjacentes numa mesma linha, ou coluna, do tabuleiro. Definiremos a opera¸c˜ao “+” para descrever movimentos v´alidos, onde x + y = z indica que a pe¸ca da casa x saltou sobre a pe¸ca da casa y e parou na casa de valor z. Temos, de modo an´alogo, z + y = x.
Assim, a casa y est´a entre as casas x e z. Logo, pular a casa y duas vezes seguidas em sentidos opostos, leva `a identidade. Este fato pode ser interpretado por
(z + y) + y = z e podemos impor que
e
y + y = 0. O s´ımbolo 0 traduz a invariˆancia do movimento.
Dessa forma, temos ent˜ao o conjunto G = {0, x, y, z} e vamos mostrar que (G, +) define uma estrutura de grupo associada `as casas do tabuleiro.
Lema 1 A primeira e a quarta casa de uma sequˆencia de 4 casas seguidas numa mesma linha ou coluna, assumem o mesmo valor.
Demonstra¸c˜ao do Lema 1 Sejam a, x, y, z e b casas seguidas do tabuleiro; logo s˜ao v´alidas as opera¸c˜oes y + z = b e y + x = a. Da primeira temos:
y + z = b ⇒ y + x + y = b ⇒ a + y = b = a + y + x + x = a + a + x = x e portanto,
b = x. Analogamente, para a segunda opera¸c˜ao temos
y + x = a ⇒ y + z + y = a ⇒ y + y + x = y + a
x = y + a ⇒ z + y = y + a ⇒ z + y + a = y ⇒ x + a = y ⇒ a = x + y = z.
Esse processo pode ser repetido para qualquer casa do tabuleiro, o que mostra a afirma¸c˜ao. Dessa forma ´e poss´ıvel mapear cada casa do tabuleiro e chegar a seguinte configura¸c˜ao:
x y z y z x x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z z x y x y z
Figura 2: Nota¸c˜ao para descrever cada casa do tabuleiro.
Com aux´ılio do mapeamento realizado podemos montar uma tabela que cont´em todos os movimentos para a opera¸c˜ao definida anteriormente.
+ 0 x y z
0 0 x y z
x x 0 z y
y y z 0 x
z z y x 0
A opera¸c˜ao de quaisquer dois elementos de G est´a representada na tabela que nos mostra ainda, a comutatividade dos movimentos realizados.
Lema 2 A soma de trˆes casas adjacente numa mesma linha, ou coluna, ´e zero. Demonstra¸c˜ao do Lema 2
x + y + z = z + z = 0.
Da afirma¸c˜ao anterior, conclu´ımos que a soma das 11 triplas (x, y, z) presentes no tabuleiro ´
e constante e igual `a zero.
O problema do quebra-cabe¸ca ´e o d4-complementar, ou seja, a ´unica casa vazia no in´ıcio do jogo ´e a central que possui valor y. Para essa configura¸c˜ao teremos 12 triplas que somadas resultam em zero e a soma x + z = y. Logo, a soma total do tabuleiro ´e y. Note que a opera¸c˜ao x + y = z implica que as casas x e y ser˜ao substitu´ıdas por uma casa z. Este fato mostra que o valor de qualquer configura¸c˜ao ´e invariante se forem realizados movimentos v´alidos. Em particular, podemos afirmar que qualquer posi¸c˜ao derivada da configura¸c˜ao d4-complementar possui valor y.
1.2
Fun¸
c˜
ao Pagoda
A fun¸c˜ao Pagoda ´e uma importante ferramenta para verificar se certa configura¸c˜ao do tabuleiro possui ou n˜ao solu¸c˜ao e permite decidir se determinado movimento impossibilita, ou n˜ao, resolver o problema. O princ´ıpio por tr´as de uma Fun¸c˜ao Pagoda (referˆencia) ´
e atribuir valores para cada casa do tabuleiro de tal forma que se P , Q e R s˜ao valores atribu´ıdos a trˆes casas adjacentes, numa mesma linha ou coluna, ent˜ao
P + Q ≥ R.
Para atribuir esses valores, algumas condi¸c˜oes devem ser seguidas:
(a) Casas que podem ser saltadas n˜ao podem possuir valores negativos;
(b) Duas casas adjacentes a uma com valor zero possuem mesmo valor num´erico; (c) Se duas casas adjacentes, numa linha ou coluna, possuem valor zero, ent˜ao toda
casa dessa linha, ou coluna, tamb´em possuir´a valor zero.
Essas condi¸c˜oes podem ser verificadas facilmente. No caso de (a), se Q ´e o valor entre P e R, ent˜ao P + Q ≥ R e R + Q ≥ P o que implica Q ≥ 0.
Para a condi¸c˜ao (b), se P e R s˜ao duas casas adjacentes a um zero, numa mesma linha ou coluna, ent˜ao P + 0 ≥ R e R + 0 ≥ P e assim conclu´ımos que R = P .
2
Orienta¸
c˜
oes para a aplica¸
c˜
ao das atividades
2.1
Atividade 3.2.3
Na figura 9 est˜ao representados 4 blocos distintos, onde as casas preenchidas representam as pe¸cas contidas no bloco e as casas com bolas brancas representam as poss´ıveis posi¸c˜oes da pe¸ca pivˆo do bloco.
Nessas disposi¸c˜oes ´e poss´ıvel eliminar todas as pe¸cas e deixar apenas a pe¸ca pivˆo em sua posi¸c˜ao original.
O mediador deve fazer o aluno perceber que apenas o bloco C possui uma casa inicial vazia, al´em da outra casa em que a pe¸ca pivˆo poderia estar localizada. Deve ainda se observado que, na elimina¸c˜ao dos grupos, n˜ao se utiliza pe¸cas fora do mesmo e ´e este fato que torna essa estrat´egia de resolu¸c˜ao interessante.
Definidos os grupos ´e poss´ıvel pavimentar todo tabuleiro utilizando os grupos e removˆ e-los seguindo uma ordem. Na figura seguinte h´a uma poss´ıvel pavimenta¸c˜ao do tabuleiro constru´ıda com os grupos definidos anteriormente.
6 1 3 2 4 5 z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z
Figura 3: Uma solu¸c˜ao usando blocos.
Para resolver o jogo basta seguir a ordem indicada e eliminar os grupos numerados com o bloco correspondente conforme a tabela seguinte.
Grupo Bloco usado
1 A 2 B 3 A 4 B ou C 5 C 6 D
3
Caderno: Resta 1
3.1
O Jogo
Solitaire ´e um jogo de tabuleiro bem simples e muito curioso, no Brasil esse jogo ´e con-hecido popularmente como Resta Um. Sua origem ´e incerta, existem hist´orias que afir-mam que ele foi inventado por um prisioneiro numa solit´aria durante a Revolu¸c˜ao Francesa (1789) a partir de um jogo antigo chamado Raposas e Gansos. Sozinho em sua cela ele tinha apenas um tabuleiro deste jogo que devia ser jogado por duas pessoas, a falta de um parceiro o fez adaptar as regras e assim criar o Resta Um, para um s´o jogador, que lhe serviu de passatempo durante sua pris˜ao.
3.2
Regras
Figura 4: O tabuleiro do solitaire
No in´ıcio do jogo, h´a 32 pe¸cas no tabuleiro dispostas como na figura acima. O jogador deve realizar movimentos v´alidos para retirar as pe¸cas. Um movimento consiste em pegar uma pe¸ca e fazˆe-la ”saltar”sobre outra pe¸ca, sempre na horizontal ou na vertical, terminando em um espa¸co vazio. A pe¸ca que foi ”saltada”´e retirada do tabuleiro. O jogo acaba quando n˜ao ´e poss´ıvel fazer nenhum movimento. O jogador ganha se restar apenas uma pe¸ca no tabuleiro, mas o objetivo maior ´e deixar a pe¸ca restante na posi¸c˜ao central do tabuleiro.
3.2.1 Atividade: conhecendo o jogo 1. Tente resolver o quebra cabe¸ca. 2. Quantas pe¸cas vocˆe deixou?
3. Vocˆe utilizou alguma estrat´egia para resolver o problema? Qual? 3.2.2 Atividade: desafios iniciais
1. Use movimentos v´alidos para resolver cada uma das configura¸c˜oes abaixo (Figuras 5 e 6) . l l l l l l l l | l l l l l | | | | l l l l | l l l l l l l l l l Figura 5: Configura¸c˜ao 1. l l l l | l l l l | l l l l | | | | | l l l l | l l l l | l l l l Figura 6: Configura¸c˜ao 2.
2. Observe as configura¸c˜oes abaixo (Figuras 7 e 8) e fa¸ca o mesmo que o item anterior.
l l l | l l l | | l l | | | | | | | | | l | | l l | | | l l l l l Figura 7: Configura¸c˜ao 3. l l | l | | l l | | | l l l | | | | l l l l | | | l l l | | l l | Figura 8: Configura¸c˜ao 4.
3. Qual desafio vocˆe teve mais dificuldade para resolver? Por quˆe? 3.2.3 Atividade: uma estrat´egia de resolu¸c˜ao.
Material: tabuleiro
Uma estrat´egia de resolu¸c˜ao do quebra-cabe¸ca consiste em dividir o tabuleiro em blocos de pe¸cas que possam ser “removidas” sem que seja necess´ario ultilizar outras pe¸cas ou posi¸c˜oes fora desse bloco. Na Figura 9 as casas pretas representam as pe¸cas do bloco e as casas brancas representam as poss´ıveis posi¸c˜oes da pe¸ca pivˆo (pe¸ca que inicia a jogada).
mm m m C D B A 3 2 1 A B C D | | | | | | l l 4 3 2 1 A B C D | | | | | | l l 4 3 2 1 A B C | | | | | | l l 3 2 1 A B C l l | | |
Figura 9: Blocos para a estrat´egia de resolu¸c˜ao 2. O que afirmar sobre a posi¸c˜ao da pe¸ca restante?
3. Usando cores distintas para cada bloco, delimite-os no tabuleiro de acordo com o esquema abaixo (Figura 10).
Figura 10: Blocos para a estrat´egia de resolu¸c˜ao
4. Selecione uma sequˆencia para a elimina¸c˜ao dos blocos delimitados no item anterior e fa¸ca a jogada para verificar se a sequˆencia escolhida resolve o problema.
5. Compare as tuas escolhas com as dos teus colegas.
3.3
A Fun¸
c˜
ao Pagoda
A fun¸c˜ao Pagoda ´e uma importante ferramenta para verificar se certa configura¸c˜ao do tabuleiro possui ou n˜ao solu¸c˜ao e que permite decidir se determinado movimento impos-sibilita, ou n˜ao, a resolu¸c˜ao do problema. O princ´ıpio por tr´as de uma Fun¸c˜ao Pagoda ´
e atribuir valores para cada casa do tabuleiro de tal forma que se P , Q e R s˜ao valores atribu´ıdos a trˆes casas adjacentes numa linha ou coluna, ent˜ao P + Q ≥ R. Para atribuir esses valores algumas condi¸c˜oes devem ser seguidas:
b Duas casas adjacentes a uma com valor zero, numa mesma linha ou coluna, possuem mesmo valor num´erico;
c Se duas casas adjacentes, numa linha ou coluna, possuem valor zero, ent˜ao toda casa dessa linha ou coluna tamb´em possuir´a valor zero.
3.3.1 Atividade
1. De acordo com a defini¸c˜ao acima, quais posi¸c˜oes do tabuleiro ocupam as casas que podem possuir valores negativos?
2. Considere valores consecutivos sobre uma mesma linha ou coluna dados por A, B, C, D, E, · · · . Como se relacionam esses valores?
3. Restringindo a condi¸c˜ao da fun¸c˜ao pagoda `a igualdade, monte uma sequˆencia que defina tal fun¸c˜ao sobre uma linha ou coluna.
4. Construa uma fun¸c˜ao Pagoda a partir de um canto. Essa sequˆencia pode ter valores negativos?
5. De acordo com a Pagoda apresentada `a esquerda (Figura 11), qual ´e a soma dos valores da configura¸c˜ao `a direita (Figura 12)?
-3 2 -1 3 2 1 8 5 3 2 1 1 3 2 1 -3 2 -1
Figura 11: Fun¸c˜ao Pagoda
s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s
Figura 12: Configura¸c˜ao.
3.3.2 Atividade
Nas seguintes configura¸c˜oes (Figura 13) , as casas preenchidas com bolinhas pretas repre-sentam pe¸cas no tabuleiro e as casas com “X” reprerepre-sentam a posi¸c˜ao final do problema.
1. Tente resolver os dois problemas das configura¸c˜oes acima.
2. Use a Fun¸c˜ao Pagoda da atividade anterior e determine os valores das somas das posi¸c˜oes inicial e final em cada configura¸c˜ao. Complete, na tabela abaixo, a coluna “FINAL”com o respectivo valor da soma da posi¸c˜ao final para cada configura¸c˜ao. 3. Realize movimentos v´alidos e preencha a tabela 1 abaixo usando a Fun¸c˜ao Pagoda
da Figura 11.
4. Com base nos itens anteriores, qual ´e a condi¸c˜ao para que seja poss´ıvel partir de uma configura¸c˜ao inicial e chegar a uma configura¸c˜ao alvo?
s s s s sX s s s s Configura¸c˜ao 1 s s s s s s s s s X Configura¸c˜ao 2 Figura 13: Configura¸c˜oes a serem resolvidas
Jogada Configura¸c˜ao 1 Configura¸c˜ao 2
Valor pr´e-jogada final diferen¸ca Valor pr´e-jogada final diferen¸ca 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tabela 1: Tabela de valores por jogada
5. Qual ´e a posi¸c˜ao final no tabuleiro para a qual a configura¸c˜ao II possui solu¸c˜ao? Justifique sua resposta.
3.3.3 Desafio
Na configura¸c˜ao abaixo (Figura 14), as casas preenchidas com “o” est˜ao inicialmente vazias e as casas com “X” representam a posi¸c˜ao final do problema. As casas vazias est˜ao inicialmente preenchidas e devem ficar vazia no final do problema. Termine a constru¸c˜ao
cX cX cX cX 2 1 1 Figura 14: Desafio
de uma Fun¸c˜ao Pagoda iniciada no esquema da Figura 14 que mostre que este problema n˜ao tem solu¸c˜ao.
Bibliografia
[1] Berlekamp E., Conway J.H, Guy R. (2003) Winning Ways for Your Mathematical Plays Volume 2. AK Peters, Ltd.
[2] Bergholt E. (1912) The game of solitaire.
[3] Beasley, J. D. (1985) The Ins and Outs of Peg Solitaire. Alden Press, Universidade de Oxford.
[4] Allevato N.S.G. e Onuchic L.R.. (2006) Ensino-aprendizagem-avalia¸c˜ao de matem´atica atrav´es da resolu¸c˜ao de problemas: uma nova possibilidade para o tra-balho em sala de aula. Actas da VII Reuni˜ao de Did´atica da Matem´atica do Cone Sul. ´Aguas de Lind´oia-SP.
