MÓDULO 3 MATEMÁTICA RECADO AO ALUNO

MÓDULO 3

MATEMÁTICA

RECADO AO ALUNO

As matérias desta apostila foram reunidas e consolidadas para estudo dos alunos Instituto

Marconi. A leitura e estudo deste conteúdo não exclui a consulta a outras fontes que

possam enriquecer e oferecer maior abrangência aos tópicos solicitados em editais de

concursos públicos e outras formas de seleção.

O grau de uma equação é dado pelo maior expoente da incógnita 2x + 4 = 0 (Equação de 1º grau)

3x2 + 5x – 2 = 0 (Equação de 2º grau) 4x4 – 3x2 + x + 8 = 0 (Equação de 4º grau) VI - EQUAÇÕES

Equação é uma sentença matemática aberta (porque não conhecemos inicialmente os valores de todos os termos) que representa a igualdade de duas expressões (membros). Veja:

coeficientes termo independente

5 x + 4 y – 2 = 2 x + y + 13

1º membro 2º membro incógnitas ou variáveis

EQUAÇÕES DO 1º GRAU

São todas as equações da forma ax + b = 0, onde x é o valor a ser determinado (variável ou incógnita). Em outras palavras, é toda equação em que o maior expoente de x é 1.

Resolução de equações do 1º grau

O 1º passo é agrupar os termos com variáveis no mesmo membro da equação e os termos independentes no outro membro. Na prática: “tudo que tem x para um lado, tudo que não tem x para o outro lado”.

Para isso, podemos lançar mão dos seguintes mecanismos:

1 - Pode-se somar, subtrair, multiplicar, dividir, etc, todos os termos da equação por um mesmo número, que o resultado não se altera.

Veja:

(2 = 2) e (2 + 3 = 2 + 3)

Somamos 3 aos dois membros da equação e ela continua verdadeira, ou seja, continua expressando uma igualdade.

Se tivermos (x + 4 = 0), podemos subtrair 4 dos dois membros e chegaremos ao valor de x Veja: x + 4 – 4 = 0 – 4 x + 0 = - 4 Logo: x = - 4

Na prática, dizemos: “passar para o outro lado da equação”, quando mudamos os termos dos membros. Neste caso: “invertemos o sinal”:

x + 4 = 0

x = - 4

Também na prática, dizemos: “o que está multiplicando de um lado, passa para o outro lado dividindo”. Veja:

4

X

=

8

2

2

4

8

=

⇒

=

=

X

X

Nota: na verdade, dividimos os dois membros pelo número 4.

2 – Muitas vezes é necessário “preparar” a equação para realizarmos as operações inversas, aplicando outras propriedades da matemática, tais como,

“propriedade distributiva”

4 ( 3 + 2x ) = 2x ( 3 – x )

4 . 3 + 4.2x = 3.2x - 2.x.x 12 + 8x = 6x - 2x2 Aplicando a inversão de operações, temos:

2x2 + 8x -6x = - 12

Note que trocamos o sinal

Enfim, temos: 2x2 + 2x = - 12

Neste caso, chegamos a uma equação de segundo grau.

Nota: Para resolver a equação acima, devemos seguir outros passos que mais adiante veremos.

3 - Nunca esqueça: uma das partes mais importantes da resolução de problemas em matemática é a construção correta da equação.

Vamos agora resolver passo a passo a seguinte equação:

4

1

1

]

2)

2X

(

-X

[

=

−

+

−

X

Primeiro: equacionar o que estiver dentro dos parênteses. Neste caso, extraímos os números, mas trocando o sinal.

4

1

1

2]

-2X

X

[

=

−

−

−

X

Em seguida, fazemos as operações possíveis dentro dos colchetes (subtraímos os coeficientes de x) e trocamos o sinal para extrair o conteúdo dos colchetes. Como no passo anterior, o sinal do lado de fora dos colchetes é negativo:

4

1

1

-X

2

X

4

1

1

]

2)

-X

-[

=

+

⇒

=

−

−

X

Podemos “multiplicar em cruz”, isto é, multiplicar o denominador do 1º membro pelo numerador do 2º, e o denominador do 2º pelo numerador do 1º (o que equivale a dizer que estamos multiplicando os dois membros tanto por (x+1) quanto por 4, conforme a regra descrita acima). Teremos:

4 (X + 2) = 1 (X – 1)

Aplicando a propriedade distributiva: 4X + 4.2 = 1X –1.1

4X + 8 = X – 1

Agrupando os termos com variáveis do 1º membro e os termos independentes no 2º (sem esquecer de trocar o sinal na passagem), temos:

4X – X = -1 – 8 3X = - 9

Passamos o coeficiente de x para o outro membro, realizando a operação inversa (divisão):

⇒

−

=

3

9

X

X = - 3

Atenção: Resolver uma equação significa encontrar um valor que, colocado no lugar da incógnita, torna a sentença verdadeira. Portanto, se você tiver tempo durante a execução da prova, substitua na equação o valor encontrado e confira o resultado.

Agora que já sabemos o valor da incógnita (x), que é (-3), podemos conferir a equação que acabamos de resolver:

⇒

=

−

+

−

−

4

1

1

2)]

(2X

X

[

X

4

1

)

1

3

(

2)]

(2(-3)

(-3)

[

=

−

−

+

−

−

⇒

=

−

+

−

−

4

1

4

2)]

(-6

(-3)

[

4

1

4

4)]

(

(-3)

[

=

−

−

−

−

⇒

=

−

+

−

4

1

4

4]

[-3

=

⇒

−

−

4

1

4

1

4

1

4

1

=

4

1

4

1

Atenção: Com a prática, e após resolver muitos exercícios, muitas passagens podem ser feitas mentalmente. Mesmo assim, cuidado! Às vezes um pequeno equívoco - com um sinal, por exemplo, põe a perder toda a questão!

Vamos treinar! Procure resolver as equações propostas, antes de verificar a resoluções que as acompanham: a)

2

X

−

3

+

4

X

=

11

b)

3

5

2

2

3

4

2

−

=

−

+

+

X

X

X

c)

2

6

8

3

+

=

−

X

X

Resoluções: a) 2x - 3 + 4x = 11 - x 2x + 4x + x = 11 + 3 7x = 14

7

14

=

X

X = 2 b)

3

5

2

2

3

4

2

−

=

−

+

+

X

X

X

3

5

2

4

)

3

(

2

4

)

2

(

1

−

=

−

+

+

X

X

X

3

5

2

4

)

3

(

2

)

2

(

1

−

=

−

+

+

X

X

X

3

5

2

4

2

6

2

−

=

−

+

+

X

X

X

3

5

2

4

8

−

=

+

−

X

X

)

5

2

(

4

)

8

(

3

−

X

+

=

X

−

20

8

24

3

+

=

−

−

X

X

24

20

8

3

−

=

−

−

−

X

X

44

11

=

−

−

X

11

44

−

−

=

X

ou x = 4

Atenção: Nesta resolução, optamos por encontrar o MMC apenas das frações do 1º membro (MMC (2, 4)=4). Também poderíamos extrair o MMC dos dois membros da equação em conjunto e depois eliminá-lo. Este é um procedimento que você pode adotar, sempre que tiver equações em que os dois membros apresentam frações.

Veja como fazer:

⇒

−

=

−

+

+

3

5

2

2

3

4

2

X

X

X

MMC(4,2,3)=12

12

)

5

2

(

4

12

)

3

(

6

)

2

(

3

−

=

−

+

+

X

X

X

Vamos eliminar os denominadores (equivale a multiplicar os dois membros por 12) e aplicar a propriedade distributiva: 3x + 6 + 18 – 6x = 8x – 20 3x – 6x – 8x = - 20 – 6 – 18

44

11

=

−

−

X

11

44

−

−

=

X

x = 4 c)

2

6

8

3

+

=

−

X

X

3 (x + 2) = 6 (x – 8) 3x + 6 = 6x – 48 3x – 6x = - 48 – 6 - 3x = - 54 x = - 54 - 3 x = 18

Dica: Nas situações em que o coeficiente de x é negativo, pode-se multiplicar por (-1) os dois membros, para não haver confusão com os sinais.

Veja:

[ - 3x = - 54 ] . ( - 1 ) 3x = 54

x = 18

Não esqueça: Sempre que possível, volte à equação original e substitua o valor encontrado, para conferir o resultado.

2

6

8

3

+

=

−

X

X

2

18

6

8

18

3

+

=

−

2

:

2

:

20

6

10

3

=

10

3

10

3

=

Atenção: Boa parte das questões das provas se compõe da resolução de problemas de primeiro grau. Por isso, será útil que você desenvolva a habilidade de “traduzir” as informações dos enunciados para o “matematiquês”.

Problemas com Equações do 1º Grau.

Nota: Tente resolvê-los sozinho, antes de consultar a resolução que apresentamos.

Problema 1 - Determine o número que, somado a sua terça parte, equivale à diferença entre seu triplo e 10.

Resolução:

A questão é clara. Temos que achar um número que desconhecemos, isto é, uma incógnita. Para prosseguir, vamos chamar essa incógnita de x.

Representando a terça parte de x, temos: x/3

Seu triplo: 3x O número desconhecido somado à sua terça parte:

3

X

X

+

A diferença entre seu triplo e 10 > 3X – 10

O número somado à sua terça parte equivale à diferença entre seu triplo e 10, então:

10

3

3

=

−

+

X

X

X

• Essa é a equação do problema! A próxima etapa é resolver a equação:

⇒

−

=

+

3

10

3

X

X

X

4x = 3 (3x – 10) 4x = 9x - 30. 4x – 9x = - 30 ∴ - 5x = - 30 ∴

5

30

=

X

X = 6
Resposta: O número é 6

Problema 2 – Distribuir R$ 140,00 entre Paulo, José e Otávio, de modo que Paulo receba R$15,00 a menos que José, e este receba R$25,00 a mais que Otávio. Quanto receberá cada um?

Resolução:

De início, precisamos nomear com x uma das quantias, pois elas guardam relações entre si. Escolhendo a quantia de Otávio para nomear com x, temos:

Nome Elementos do problema Expressão

Otávio Sua quantia será a incógnita, ou x x José Recebe 25 a mais que Otávio x + 25

Paulo Recebe 15 a menos que José (x+25) – 15, ou, x + 10 Além destas relações mantidas entre si, há uma outra que nos permite montar a equação: As três quantias somadas resultam no total a ser distribuído, que é 140. Assim, temos: x + x + 25 + x + 10 = 140

• Essa é a equação do problema.

Atenção: Ainda precisamos achar o valor de x para saber a quantia que Otávio receberá e depois achar a quantia dos outros. Às vezes resolvemos o problema inteiro e erramos na hora da resposta, porque nos confundimos quanto ao que pede o problema!

Para acharmos o valor de x, basta resolver a equação encontrada, que é bem simples: x + x + 25 + x + 10 = 140 3x + 35 = 140 3x = 140 – 35 3x = 105

3

105

=

X

⇒ x = 35

Identificado o valor da nossa incógnita (x = 35), é só voltar ao enunciado do problema, ou ao quadro anterior, para calcular quanto receberá cada um:

Nome Expressão matemática Quantia

Otávio x = 35 R$ 35,00

José x + 25 = 35 + 25 = 60 R$ 60,00

Paulo x + 10 = 35 + 10 = R$ 45,00

• Pronto, está resolvido o problema 2.

Problema 3 – A soma de quatro números inteiros consecutivos é 38. Qual o maior destes números?

Resolução:

Sendo os números “consecutivos”, estão distantes entre si por uma unidade. Exemplo: (4, 5, 6 e 7) são números consecutivos, isto é, (5 = 4 +1), (6 = 5 +1) e (7 = 6 + 1).

Na resolução de problemas como este, nomeamos com x (incógnita), o menor dos números, e somamos 1 a cada número consecutivo. Veja:

1º número = x 2º número = x + 1

3º número (Muita atenção!) > É formado pelo 2º número mais a unidade. Ou seja: (x + 1) + 1 ou, (x + 2)

Sendo assim, a seqüência pode ser expressa da seguinte forma: x, x+1, x+2, x+3

Atenção: O enunciado do problema informa que o valor da soma dos quatro números é 38. Falta, então, descobri-los. Para isso, basta montar e resolver a equação respectiva:

x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 38 4x + 6 = 38 4x = 38 – 6 4x = 32

4

32

=

X

⇒ x = 8

Cuidado! Se a questão da prova tiver uma alternativa com o valor 8, e você estiver desatento, poderá indicar essa resposta e errar.

Veja bem: Ainda não achamos a resposta! Encontramos apenas o valor da incógnita. Não é isso o que pede o problema.

De acordo com o enunciado, é preciso achar: Qual é o maior número da seqüência.

Já sabemos que o valor da incógnita (o menor dos números), é ( 8 ). Logo, o maior dos números é:

(x + 3), ou seja, 8 + 3, que é igual a 11.
Portanto, a resposta é 11.

• Está resolvido o problema 3.

Problema 4 – Um avô tem 60 anos e seu neto 15. Ao final de quantos anos a idade do avô será o dobro da idade do neto?

Resolução:

Temos que saber o número de anos que se passarão até que ocorra a situação mencionada pelo enunciado.

Vamos representar esses anos (a incógnita), por x.

Para montar a equação, verificamos que há uma relação determinada pelo problema: “daqui a x anos”, o avô terá o dobro da idade do neto.

Também temos uma relação entre as idades, que se mantém constante: se hoje o avô tem 60 anos e o neto tem 15, o avô tem 45 anos a mais que o neto.

Uma coisa é certa: O avô sempre terá 45 anos a mais que o neto.

Mas, temos uma questão: Daqui a x anos, quantos anos terão o avô e o neto respectivamente? Conclusão: 60 + x e 15 + x

Voltando ao enunciado do problema:

É preciso encontrar o número de anos (x) que se passarão até que a idade do avô (que terá 60 + x) seja igual ao dobro da idade do neto (que terá 15 + x).

Sabemos que, daqui a x anos, a idade do avô será igual ao dobro da idade do neto. Então: 60 + x = 2 . (15 + x)

Atenção: Procure encontrar relações entre os fenômenos que aparecem nos problemas, como “a idade”, por exemplo, e que estão “escondidas”, ou subentendidas. Raciocinando com atenção, sempre descobrimos que sabemos mais do que pensamos!

Montada a equação, já podemos resolvê-la: 60 + x = 2 ( 15 + x ) 60 + x = 2.15 + 2 . x 60 + x = 30 + 2x x – 2x = 30 – 60 - x = - 30 x = 30
A resposta, portanto, é 30

De fato, daqui a 30 anos o avô terá 90 anos (60 + 30). O que será o dobro da idade do neto: 45 anos (15 + 30).

• Está resolvido o problema 4.

Problema 5 - Numa fração, o denominador excede o numerador em 5. Se aumentarmos o numerador em 2 unidades, a fração ficará aumentada em 1/4. Determine esta fração.

Resolução:

Este é um problema que, para solucionar, precisamos montar uma equação. Vamos iniciar: Chamando de x o numerador, o denominador será ( x + 5).

A fração inicial é, portanto:

5

+

X

X

A nova fração, em que o numerador tem 2 unidades a mais, é

5

2

+

+

X

X

A relação entre elas é que a nova é um quarto a mais que a inicial, ou seja, (nova = inicial + 1/4). Temos assim a equação:

5)

(X

4

MMC

4

1

5

5

2

+

=

+

+

=

+

+

X

X

X

X

)

5

(

4

)

5

(

1

)

5

(

4

4

)

5

(

4

)

2

(

4

+

+

+

+

=

+

+

X

X

X

X

X

X

4x + 8 = 4x + x + 5 4x - 4x - x = 5 - 8 - x = -3 x = 3

• O problema solicitou a fração inicial, então:

8

3

)

5

3

3

5

=

+

=

+

X

X

Resposta: A fração é 3/8. • Está resolvido o problema 5

Neste ponto, você deve praticar sozinho a solução de alguns exercícios. É o melhor método para exercitar a construção e regras de resolução das equações.

Questões:

1) Qual é o número que adicionado a seu triplo e a 5 é igual o seu quíntuplo?

Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2) Um número, somado com seu dobro, mais a sua quarta parte, é igual à soma entre seus três quartos, seu quíntuplo, e 2. Qual é esse número?

Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3) A idade de João é o dobro da idade de seu irmão Pedro. Sabendo-se que a idade do avô de ambos (50 anos) é o triplo da idade do neto mais novo somada à idade de João, qual a idade de Pedro? Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 4) Oficial de Promotoria – MP SP – 2001.

Em uma sala há três lâmpadas iguais, um televisor e um aparelho de ar condicionado. A TV consome 1/3 dos quilowatts-hora (kWh) que uma das lâmpadas consome. O aparelho de ar condicionado consome 15 vezes o que consome uma lâmpada. Quando estão todos ligados ao mesmo tempo, o consumo total é de 1.100 kWh. Portanto o televisor consome:

a) 24 kWh b) 22 kWh c) 20 kWh d) 18kWh e) 16kWh Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 5) Oficial de Promotoria – MP SP – 2001.

Uma parede com 18 m2 de área está pintada com 2 cores: a de cor amarela corresponde a 3/5 da área total, a de cor azul corresponde a 2/3 da área amarela. Então, a área pintada em azul é de: a) 14,4 m2 b) 12,0 m2 c) 10,8 m2 d) 7,2 m2 e) 3,6 m2 Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 6) Oficial de Promotoria – MP SP – 2001.

Um pai tem hoje 54 anos e seus quatro filhos têm juntos 39 anos. A idade do pai será igual à soma das idades de seus filhos daqui a:

a) 5 anos. b) 8 anos. c) 10 anos. d) 12 anos. e) 15 anos.

Dica: a cada ano que o pai faz, os filhos somam quatro anos.

Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 7) Técnico Previdenciário – 2005.

Um prêmio em dinheiro foi dividido entre três pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1.000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de:

a) 2.400,00 b) 2.200,00 c) 2.100,00 d) 1.800,00 e) 1.400,00 8) Técnico Previdenciário – 2005.

Um motorista pára em um posto para abastecer seu caminhão com óleo diesel. Ele pagou com uma nota de R$ 100,00 e recebeu R$ 5,75 de troco. Se o litro de óleo diesel custava R$ 1,45, quantos litros ele comprou?

a) 55 b) 58 c) 65 d) 75 e) 78 Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 9) Escrevente Judiciário – 2002.

Um reservatório contém álcool até 2/5 de sua capacidade total e necessita de 15 litros para atingir 7/10 da mesma. Qual é a capacidade total (em litros) desse reservatório?

a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50 Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Concluídos os seus cálculos, confira as respostas dos nove problemas:

1=5; 2=-4/5; 3=10 anos; 4=C; 5=D; 6=A; 7=A; 8=C; 9=E.

Sistemas de duas equações do 1º grau com duas variáveis

Um sistema simples do 1º grau com duas variáveis corresponde a um conjunto de duas equações com duas incógnitas.

Isso equivale a duas expressões que podem ser formadas contendo dois dados que desconhecemos, mas que mantêm relações entre eles.

Vejamos um exemplo:

Duas pessoas juntas possuem um capital de R$ 36.000,00. Sabendo-se que uma possui o dobro do capital da outra, determine a quantia de cada uma.

Resolução:

Chamemos o capital da primeira de x e o capital da segunda de y. Sabemos que a soma dos dois capitais é 36.000, então já temos a primeira equação: x + y = 36.000

O enunciado também nos informa que um capital (podemos assumir que é o capital x) é igual ao dobro do outro, ou seja:

x = 2y

Reunindo as duas equações em um “sistema” (assim chamado porque os valores de x de y em uma equação devem fazer com que a outra equação seja verdadeira), temos:







=

=

+

Y

X

Y

X

2

36000

Resolver um sistema desse tipo é determinar o conjunto de pares ordenados (x, y) que satisfaça as duas equações ao mesmo tempo.

Vamos diretamente à reposta, substituindo as incógnitas pelos respectivos valores, apenas para demonstrar que este sistema tem solução. (Mais adiante, e após novas explicações, faremos a resolução detalhada).

Neste caso, o valor de x é 24000 e de y é12000. Verificando: a) Sabemos que x + y = 36000.

b) Substituindo x por 24000 e y por 12000, temos: c) 24000 + 12000 = 36000

d) Sabemos que x = 2y

e) Substituindo: 24000 = (2. 12000) = 24000

• Como o importante é saber resolver, passemos a essa etapa.

Métodos de resolução de

Sistemas do 1º grau com duas variáveis.

Há, basicamente, dois métodos de resolução de um sistema: Método da Substituição e Método da Adição ou Subtração.

1º) Método da Substituição:

Consiste em isolar uma das incógnitas em uma equação e substituí-la na outra. Em outras palavras, operamos de forma a deixar no primeiro membro de uma equação apenas uma das incógnitas, revelando “quanto ela vale” (qual a relação de uma unidade desta incógnita) em relação à outra.

Tomemos o seguinte sistema como exemplo:







=

=

+

II)

(equação

2

y

-x

I)

(equação

6

y

x

Na equação I podemos “isolar” x, enviando y para o segundo membro (trocando-lhe o sinal, como você já sabe):

x + y = 6 x = 6 – y (equação III) Substituindo o valor de x na equação II, temos: x - y = 2

6 – y - y = 2

6 – y – y = 2 - 2y = 2 – 6 - 2y = - 4 - 2y = 4 y = 4/2 y = 2

O próximo passo é retornarmos com o valor de y à relação que encontramos quando isolamos x (equação III):

x = 6 – y

x = 6 – 2 x = 4

Logo, os valores de x e y são, respectivamente, 4 e 2.

Podemos, ainda, dar a resposta na forma de “conjunto verdade” ( V ) V = {(4, 2)}

2º) Método da Adição ou Subtração

Consiste na eliminação de uma das incógnitas, adicionando ou subtraindo as duas equações, membro a membro, para obtermos uma nova equação com apenas uma incógnita. Para eliminá-la, é necessário que seu coeficiente na segunda equação seja o oposto de seu coeficiente na primeira equação.

Exemplo:







=

=

+

II)

(equação

9

3y

-5x

I)

(equação

16

2y

4x

Somando as duas equações, membro a membro, temos: 4x + 2y = 16

(+) 5x - 3y = 9 9x - y = 25

• A nova equação encontrada ainda mantém duas variáveis. Portanto, não resolve o nosso problema.

Atenção: Precisamos somar as equações originais de forma a obtermos coeficientes opostos em uma das variáveis. Então, temos que preparar as equações para esta soma. Para isso, vamos multiplicá-las por valores adequados.

Tentemos eliminar a variável y, sabendo que seus coeficientes são: (2) na primeira equação e (–3) na segunda. Para torná-los coeficientes opostos, devemos proceder da seguinte forma: 4x + 2y = 16 (vamos multiplicar essa equação por 3,

que é o coeficiente de y na segunda equação).

5x - 3y = 9 (vamos multiplicar essa equação por 2, que é o coeficiente de y na primeira equação)

Então:

(4x + 2y = 16) . (3) 12x + 6y = 48 (5x - 3y = 9) . (2) 10x - 6y = 18

Veja que os novos coeficientes de y são (6) e (–6), ou seja, números opostos que, quando somados, terão zero como resultado, eliminando a variável y da nova equação.

Façamos a soma: 12x + 6y = 48 (+) 10x - 6y = 18

22x + 0y = 66 22x = 66 x = 66/22 x = 3

Encontrado o valor de (x), já que a equação que resultou da soma tinha apenas uma variável, é só substituí-lo em qualquer uma das duas equações originais e teremos o valor de (y). Por exemplo: 12x + 6y = 48 12.3 + 6y = 48 36 + 6y = 48 6y = 48 – 36 6y = 12 y = 12/6 y = 2

Logo, já temos a reposta: V = {(3, 2)}

Este método pode parecer complicado, mas não é. Na verdade, facilita a resolução de problemas. A chave está em saber por quanto devemos multiplicar uma, ou as duas equações, para encontrar coeficientes opostos para uma das incógnitas.

Outros exemplos:

x + y = 6 x - y = 2 2x = 8

Com coeficientes opostos em y, bastou somar as equações. 3x + 2y = 11 3x + 2y = 11 ( x + 2y = 5 ) . ( -1) ⇒ - x - 2y = - 5 2x = 6 (4x – y = 2) . ( 2 ) 8x – 2y = 4 3x + 2y = 7 ⇒ 3x + 2y = 7 11x = 11

• Perceba como as equações (grafadas em azul), que saem da soma, são de fácil resolução.

Neste ponto, já resolver o sistema determinado pelo exemplo que demos mais acima:

Duas pessoas possuem juntas um capital de R$36.000,00. Sabendo-se que uma possui o dobro do capital da outra, determine a quantia de cada uma.

Havíamos construído o seguinte sistema: x + y = 36000

x = 2y

Aplicando a substituição direta na primeira equação, pois a segunda equação já traz a incógnita x isolada:

2y + y = 36000 3y = 36000 y = 36000/3 y = 12.000

Substituindo o valor de y na segunda equação: x = 2y x = 2 . 12000 x = 24.000

Então: V = {(24.000,00 ; 12.000,00)}, como tínhamos afirmado.

Para fixar os conceitos, acompanhemos a resolução de outros problemas.

Problema 1 - Calcule a área de um terreno retangular, sabendo-se que seu perímetro tem 60m e o comprimento tem o dobro da largura.

Resolução:

A área é o produto do comprimento pela largura; como não sabemos nenhum dos dois dados, temos que encontrá-los a partir do problema. Vamos nomear as medidas que queremos encontrar:

x = comprimento y = largura

O perímetro, que vale 60m, é a soma dos lados, ou seja, dois comprimentos mais duas larguras. “Traduzindo”: 60 = 2x + 2y

Como o comprimento é o dobro da largura, segundo o enunciado, já temos o sistema: x = 2y 2x + 2y = 60 1 x = 2y 2 Substituindo 2 em 1 : 2(2y) + 2y = 60, E resolvendo: 4y + 2y = 60 6y = 60 y = 60/6 y = 10

Portanto: a largura do terreno mede 10m.

Falta descobrir o comprimento, não é mesmo? Vamos lá: Substituindo o valor em 2 :

x = 2y; x = 2.10; x = 20

Portanto: O comprimento mede 20m.

Sabendo as medidas da largura e do comprimento, é só calcular a área para solucionar o problema.

Como a área (A) é dada por ( x . y), então: (A = 20x10) A = 200m2

Problema 2 – Um investidor possui 1000 ações de uma empresa, entre nominativas e ao portador. Suas cotações nominativas valem R$ 60,00, e ao portador, R$ 70,00. Quantas ações ele possui de cada modalidade sabendo-se que, se as vendesse hoje, apuraria R$ 66.000,00? Resolução:

Vamos nomear as nossas incógnitas: x = número de ações nominativas y = número de ações ao portador

Se ele tem 1000 ações no total, então: (x + y = 1000).

Temos o total do valor das ações hoje: (66000). Esse total equivale ao valor das ações nominativas, multiplicado pelo número destas ações, mais o valor das ações ao portador, multiplicado pelo número destas ações.

A equação que expressa esse raciocínio é:

60x + 70y = 66000 (Sem as casas decimais) Nosso sistema, então, é:

x + y = 1000 60x + 70y = 66000

Resolvendo pelo Método da Adição:

Temos (+60x) na segunda equação, logo, precisamos (-60x) na primeira. Como o coeficiente de x na primeira equação é 1, vamos multiplicar a equação por (–60)

(x + y = 1000) . (-60) 60x + 70y = 66000

Efetuando a multiplicação e somando membro a membro: - 60x - 60y = - 60000

60x + 70y = 66000 10y = 6000 y = 6000/10 então, y = 600

Substituindo o valor de y na primeira equação: x + y = 1000

x + 600 = 1000

x = 1000 – 600 x = 400

Resposta: O investidor possui 400 ações nominativas e 600 ações ao portador.

Problema 3 – Dorival possui R$ 3.000,00 em duas contas bancárias. Sabendo-se que 4/5 do saldo da primeira excede o saldo da segunda em R$ 240,00, quais valores ele tem em cada conta?

x = o que possui na primeira conta y= o que possui na segunda conta

Temos que: x + y = 3000 (total das duas contas) Também temos: 4/5x = 240 + y

Montando e resolvendo o sistema:









+

=

=

+

Y

X

Y

X

240

5

4

3000

Pelo método da substituição, vamos definir y na primeira equação e substituir na segunda, ficando: y = 3000 – x Substituindo:

X

X

=

240

+

3000

−

5

4

Resolvendo, vamos somar os termos independentes e enviar x para o primeiro membro:

3240

5

4

=

+ X

X

Aplicamos o MMC ao primeiro membro para somarmos os coeficientes de x, e temos:

1800

3240

5

9

3240

5

5

4

9 3240 5

₌

=

∴

∗

=

∴

=

+

_∗

X

X

X

X

X = 1.800

Como sabemos que (y = 3000 – x), basta substituir e resolver: y = 3000 – 1800

Logo: y = 1.200

Resposta: O saldo de Dorival na primeira conta é de R$1.800,00, e na segunda é de R$1.200,00.

• Agora, você já pode praticar sozinho, resolvendo os sistemas a seguir:

1º)







=

+

=

4

y

2x

2

y

-x

2º)







=

+

=

+

4

1

y

2x

5

y

3x

3º)







=

−

=

+

1

y

2

5x

4

y

2x

4º)







=

+

=

+

4

y

2

x

5

y

2x

5º)







−

=

=

+

2

3y

-5x

14

2y

3x

Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

Agora, resolva os seguintes problemas:

6º) A diferença entre os capitais de duas pessoas é de R$2.000,00. Se forem acrescidos R$200,00 a cada capital, um deles tornar-se-á o triplo do outro. Quais são estes capitais?

Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 7º) Oficial de Promotoria – MP SP – 2001

Certo veículo utilitário custa R$ 15.000,00 a mais que o modelo sedan da mesma marca. Se os dois juntos custam R$69.000,00, o utilitário custa:

a) R$41.000,00. b) R$41.500,00. c) R$42.000,00. d) R$42.500,00. e) R$43.000,00. Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 8º) Técnico Previdenciário 2005

Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmão e pagou a dívida com notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Se, ao todo, o irmão de Geraldo recebeu 7 notas, quantas eram as notas de R$ 10,00?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Concluindo os exercícios, confira as respostas:

1={(2, 0)}; 2={(-9, 32)}; 3={(1, 2)}; 4={(2, 1)}; 5={(2, 4)}; 6=R$800,00 e R$2800,00; 7=Alternativa C; 8=Alternativa C.

EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU

São as equações em que o maior expoente da incógnita é 2 e que se apresentam com a seguinte forma:

ax2 + bx + c = 0

Nessa equação, (a, b, c) são números reais e (a = 0).

Neste tipo de equação, x é o par de valores a ser determinado.
As soluções das equações do 2º grau são chamadas de raízes. Vejamos um exemplo de equação de segundo grau:

2x2 – 4x - 6 = 0

Nesta equação, (a = 2), (b = - 4) e (c = - 6). Suas “raízes” são: (x1 = - 1) e (x2 = 3) Se substituirmos cada valor na equação, o resultado é zero.

Para: x = - 1 2 (-1)2 _{– 4(-1) – 6 = 0} 2.1 + 4 – 6 = 0 6 – 6 = 0 Para: x = 3 2 (3)2 – 4(3) – 6 = 0 2.9 – 12 – 6 = 0 18 – 18 = 0

Importante: Não esqueça que o quadrado de um número negativo é sempre positivo. Memorize as regras de sinais na multiplicação de números inteiros.

Resolvendo Equações do 2º grau

Há dois tipos de equações de 2º grau: as incompletas e as completas. Somente nas completas é necessário encontrar o ∆ ∆ ∆ ∆ (delta).

Vejamos como se resolvem esses dois tipos de equação. 1) Equações incompletas:

A) Quando: b = 0 ax2 + c = 0 Resolução:

Isolamos a variável x, da mesma forma como procedemos nas equações de primeiro grau. Exemplo: 2x2 – 8 = 0 2x2 _{= 8} x2 = 8/4 x2 = 4

4

=

X

x1 = 2 e x2 = -2

Observação importante: tanto (+2) quanto (–2), quando elevados ao quadrado, resultam em (+4). Portanto, muita atenção com isso!

Outro exemplo: 3x2 – 27 = 0 3x2 = 27 x2 = 27/3 x2 = 9

9

=

x

3

x

e

3

₂ 1

=

+

=

−

x

Agora, outro exemplo, que exige uma atenção especial: x2 + 16 = 0 x2 = -16

vazio

onjunto

6

1

c

x

=

−

⇒

Muita Atenção! Esta equação não tem solução no conjunto dos números reais, no qual não existe raiz quadrada de número negativo. Portanto, a resposta é “conjunto vazio” ou, “não há resposta”.

Resolução:

Note que o valor x aparece nos dois elementos. Quando isso ocorre, podemos “fatorar” a expressão.

Exemplo:

Na equação: x2 – 8x = 0, vemos que: x = x . x Então: x . x – 8x = 0

Colocando x em evidência: x.(x – 8) = 0

Se aplicarmos a propriedade distributiva, veremos que a expressão retorna à forma original. Veja:

x . ( x - 8 ) = x2 - 8x

Agora, temos: x . ( x – 8 ) = 0. Mas, se o resultado da multiplicação de dois fatores é zero, pelo menos um dos fatores é zero, ou seja:

x . ( x – 8 ) = 0 1º fator 2º fator

Logo, aqui cabem duas respostas, pois: Se o 1º fator é = 0 , então: x = 0 Se o 2º fator é = 0 , então x – 8 = 0 x = 8
Assim, a resposta é: V = {0 , 8} Outro exemplo: 2x2 _{+ 4x = 0} x (2x + 4) = 0 então: x = 0 ou: 2x + 4 = 0 2x = - 4 x = - 2 Logo: x1 = 0 e x2 = - 2 V = { 0, - 2 }

Nota: Nas equações deste tipo, uma raiz é sempre zero.

Equações completas

São aquelas em que a, b e c são diferentes de zero.

x2 – 5x + 8 = 0

Nesta equação: a = 1, b = -5 e c = 8

Para resolver equações deste tipo, utilizamos a seguinte fórmula:

a

ac

b

b

X

2

4

2

−

±

−

=

Onde: ∆ = ∆ = ∆ = b ∆ = 2 – 4ac

Aplicando a fórmula à equação: X2 – 5X + 8 = 0 Temos:

Quando ∆ = 0 ∆ = 0 ∆ = 0 ∆ = 0 ... Duas raízes idênticas (um só valor)

Quando ∆ < 0 ∆ < 0 ∆ < 0 ∆ < 0 ... Não há raízes reais (nenhum valor para x) Quando ∆ > 0 .∆ > 0 .∆ > 0 .∆ > 0 ... Duas raízes (dois valores para x)

b = - 5 c = 8 Então: ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = b2 – 4ac ∆ = (−5) ∆ = (−5) ∆ = (−5) ∆ = (−5)2222 − 4(1) (8) = 25 −32 = −7 − 4(1) (8) = 25 −32 = −7 − 4(1) (8) = 25 −32 = −7 − 4(1) (8) = 25 −32 = −7

Seguindo a fórmula, teríamos que extrair a raiz quadrada do delta, neste caso (– 7). Como isso não é possível no conjunto dos números reais, dizemos que “não há raízes reais”. Então, a resposta é “conjunto vazio”, que podemos expressar das seguintes formas:

V = { } ou φφφφ Outro exemplo: 2x2 + 4x + 2 = 0 ∆ = b2 – 4ac

∆ = (4)2 – 4(2)(2) = 16 – 16 = 0

Apliquemos a fórmula para a 1ª raiz:

1

4

4

2

2

0

4

1

=

−

−

=

∗

+

−

=

X

Apliquemos a fórmula para a 2ª raiz:

1

4

4

2

2

0

4

2

=

−

−

=

∗

−

−

=

X

Como a raiz quadrada de zero é zero, as duas raízes são iguais, X1=X2=-1. Neste caso, dizemos que as duas raízes são idênticas entre si e iguais a (–1). Veja a regra: Resolvendo exemplos: 1º) 4x2 _{– 4x + 1 = 0 ; a = 4; b = -4; c = 1} ∆ = b2 – 4ac ∆ = (−4)2 – 4(4)(1) = 16 – 16 = 0

(Sendo delta = zero, encontraremos apenas um valor para x)

2

1

8

4

4

2

0

4

2 1

=

=

∗

±

=

= X

X

2

1

2 1

= X

=

X

2º) x2 – 5x + 6 = 0 ; a = 1; b = -5; c = 6 ∆ = b2 – 4ac ∆ = (−5)2 – 4(1)(6) = 25 – 24 = 1 ∆ = 1

3

2

6

1

2

1

5

1

=

=

∗

+

=

X

2

2

4

1

2

1

5

2

=

=

∗

−

=

X

V = { 2 , 3 }

3º) > (x+6) . (x – 3) = 6x – 17 Será esta uma equação do 2º grau?

Aplicando a propriedade distributiva, vamos realizar as operações possíveis: ( x + 6 ) . ( x - 3 ) = 6x - 17

X2 – 3x +6x – 18 = 6x -17

Como temos x2, então a equação é de 2º grau.

x2 – 3x + 6x – 6x –18 +17 = 0 (Neste caso, trazemos os termos independentes para o primeiro membro)

x2 –3x – 1 = 0 ; a = 1; b = -3; c = -1

Agora, já temos a forma necessária para resolvermos a equação. ∆ = b2 – 4ac ∆ = (−3)2 – 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13

2

13

3

1

2

13

3

e

2

13

3

1

2

13

3

1 1

−

=

∗

−

=

+

=

∗

+

=

X

X

Neste caso, não há como simplificar mais.

4º)

1

4

1

+

+

=

+

x

X

X

X

Atenção com os denominadores, que nunca podemos dividir por zero. Logo, (x) não pode ser (–1) nem (– 4), o que tornaria um dos denominadores zero. Portanto, esses valores estão excluídos da resposta.

Para iniciar a resolução, antes é preciso encontrar o MMC, multiplicando os denominadores entre si:

MMC = (x + 1) (x + 4)

(vamos aplicar e depois eliminá-lo):

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

1

)(

4

)

4

1

1

4

1

1

4

1

)

4

(

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

Aplicamos a propriedade distributiva e temos: X2 + 4X + X2 + X = X2 +4X + X + 4

X2 + X2 - X2+ 4X + X - 4X - X – 4 = 0 Efetuando as operações:

x2 – 4 = 0 (Uma equação bem simples de resolver) x2 = 4 (Atenção! A raiz quadrada de 4 pode ser +2 ou –2) Logo, V = {-2 , 2}

1º) 3x2 + 2x = 0 Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2º) 3x2 - 243 = 0 Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3º) x2 _{+ 2x – 3 = 0} Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 4º)

3

4

30

10

3

2

X

X

−

=

−

Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 5º) A diferença entre um número natural e seu inverso é 24/5. Calcular este número.

(Dica: você encontrará duas respostas, mas deve ficar apenas com a positiva, pois o enunciado pede um número NATURAL. E saiba que o inverso de x é 1/x).

Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

6º) Calcular dois números naturais e consecutivos cujo produto é 110.

(Dica: novamente, trata-se de números naturais na resposta. Lembre que representamos dois números consecutivos com x e x+1). Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 7º) - Escrevente Judiciário – 2002.

A diferença entre o quadrado e o triplo de um número inteiro é igual a 4. Qual é esse número?

a) 4 b) –1 ou 4 c) 2 ou 3 d) –1 ou 3 e) 1 ou – 4

Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 8º) - Escrevente Judiciário – 2002).

Dado as afirmações:

I. Toda equação do primeiro grau possui no máximo uma solução. II. Toda equação do segundo grau possui duas raízes diferentes.

III. Toda equação do segundo grau possui como raízes números inteiros.

IV. As equações do primeiro grau podem possuir como solução um número fracionário. Estão corretas apenas as afirmações:

a) I e II b) I e IV c) IV e V d) II e III e) apenas a afirmação I Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 9º) - Escrevente Judiciário – 2002.

Dada a equação x2 + 5x + 4, podemos afirmar que: a) suas raízes são 1 e – 4

b) a soma de suas raízes é igual a 5 c) o produto de suas raízes é – 4 d) uma de suas raízes é –1 e) esta equação não possui raízes

Anotações do aluno _____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ • Verifique agora as respostas corretas.

1=– 2/3; 2=V = { - 9 , 9 }; 3= { - 3 , 1 }; 4=V = { -10 , 6 }; 5=5; 6=10 e 11; 7=Alternativa B; 8=Alternativa B; 9=Alternativa D.

Método de Resolução de Sistemas de Equações do 2º Grau

O sistema do 2º grau admite pares de soluções, isto é, para cada valor de x corresponde um de y.

Os métodos de resolução são os mesmos já descritos nos sistemas de 1º grau, devendo, para cada caso, ser empregado o mais adequado. De uso mais geral é o de substituição. Veja um exemplo:

x + y = 11 x . y = 30

Expressando o valor de x na primeira equação: (x + y = 11) Temos: x = 11 – y

Substituindo este valor na 2º equação: (x . y) = 30 (11 – y) . y = 30

11y – y2 = 30

-y2 _{+ 11y – 30 = 0 (a = - 1, b = 11, c = - 30)} Resolvendo esta equação do 2º grau:

∆ = b2 – 4ac ∆ = 112 – 4(-1)(-30) ∆ = 121 – 120

∆ = 1, ONDE raiz de delta será 1. Logo:

6

2

12

2

1

11

)

1

(

2

1

11

Y

5

2

10

2

1

11

)

1

(

2

1

11

2 1

=

−

−

=

−

−

−

=

−

∗

−

−

=

⇒

=

−

−

=

−

+

−

=

−

∗

+

−

=

e

Y

Sabemos que (x = 11 – y); então devemos substituir os dois valores encontrados para y e encontrarmos os valores correspondentes de x. Vejamos:

Para y1 = 5, temos: x1 = 11 – 5 = 6 Para y2 = 6, temos: x2 = 11 – 6 = 5

Conclusão: Como soluções para o sistema, encontram dois pares: (6 , 5) e (5 , 6).

Atenção: Na resolução de problemas, muitas vezes não consideramos um dos pares (por exemplo, se o problema nos pede medidas, tempo, número de ocorrências de um evento, etc.)

Para exercitar, tente resolver o problema a seguir, que já caiu em concurso. Faça isso antes de verificar a resolução que apresentamos.

Técnico Judiciário do TRF -1ª Região (2001).

Problema: Uma pessoa sabe que, para o transporte de 720 caixas iguais, sua caminhonete teria que fazer no mínimo x viagens, levando em cada uma o mesmo número de caixas. Entretanto, ela preferiu usar sua caminhonete três vezes a mais e, assim, a cada viagem ela transportou 12 caixas a menos. Nessas condições, o valor de x é:

a) 6 b) 9 c) 10 d) 12 e) 15

Resolução:

Na primeira situação, a pessoa fez x viagens carregando y caixas, totalizando 720 caixas. Traduzindo: (x . y = 720)

Na segunda situação, fez 3 viagens a mais (o número de viagens foi (x + 3)) e carregou 12 caixas a menos em cada viagem (portanto, carregou (y – 12) caixas em cada viagem), também totalizando 720 caixas

Traduzindo, podemos representar assim: (x +3) . (y – 12) = 720 Montando o sistema:

(

) (

)







=

−

∗

+

=

∗

720

12

3

720

y

x

y

x

Se quisermos o valor de x, é melhor isolar o valor de y na primeira equação e substituí-lo na segunda:

x

y

y

x

720

720

=

=

∗

Substituindo:

(

3

)

720

12



=

720











−

∗

+

x

x

Apliquemos a propriedade distributiva:

720

36

720

3

12

720

=

−

∗

+

−

∗

x

x

x

x

720

36

2160

12

720

−

+

−

=

x

x

Perceba que temos 720 nos dois membros da equação. Antes de encontrarmos o MMC, vamos nos livrar deste valor:

0

36

2160

12

+

−

=

−

x

x

Agora, vamos ao MMC (é o próprio x):basta multiplicar tudo por (-x)

0

36

2160

12

x

2

−

+

x

=

, ou

12

x

2

+

36

x

−

2160

=

0

Livramo-nos do denominador e realizamos as operações no numerador:

Já poderíamos iniciar a resolução da equação de segundo grau, mas nota-se que os valores numéricos são múltiplos de 12! Então, podemos dividir todos os elementos por 12, mantendo a equação verdadeira. Sem isso, há mais trabalho nas contas. Então:

x2 + 3x - 180= 0, vemos (a = 1, b= 3, c = -180) ∆ = b2 – 4ac

∆ = 32 – 4(1)(-180) ∆ = 9 + 720

∆ = 729 onde Raiz de Delta = 27

…

logo:

15

2

27

3

12

2

27

3

2 1

−

=

−

−

=

=

+

−

=

X

X

Conclusão: Encontramos os dois valores de x e descobrimos que: na primeira situação a pessoa fez 12 viagens; na segunda situação fez 15 viagens. Como o problema nos pede o número de viagens na primeira situação, a resposta é 12. Portanto (D) é a alternativa correta.

Comentando o Capítulo

Em matemática, dificilmente uma questão é construída enfocando apenas um tópico. Freqüentemente os problemas requerem que sejam relacionados conhecimentos básicos de resolução de equações com outros, tais como: regra de três, porcentagem, divisão proporcional, sistema métrico, etc.

Para conseguir resolvê-los, é importante saber identificar os conhecimentos que devem ser colocados em jogo. Da mesma forma, também é fundamental construir corretamente as equações necessárias para se chegar à resposta solicitada.