2 ) X = (0, 1, Escreva equações paramétricas dos eixos coordenados.

(1)

Universidade Federal Rural do Semi- ´

Arido-UFERSA.

Departamento de Ciˆ

encias Exatas e Naturais.

Bacharelado em Ciˆ

encias e Tecnologia.

Disciplina de Geometria Anal´ıtica.

Lista 2

1. Estudando Geometria Anal´ıtica numa noite de sábado, Amanda resolveu vários exerc´ıcios que pediam equa¸cões de reta. Relacionamos as respostas dela e as do livro. Quais exerc´ıcios Amanda acertou?

a) X = (1, 2, 1) + λ(−1, 2, 1) X = (1, 2, 1) + λ(−1₂ , 1,1₂)

b) X = (1₃,−1₃ ,2₃) + λ(−1, 1, −1) X = (1, −1, 2) + λ(−1, 1, −1) c) X = (1, 1, 0) + λ(1, 0,−1₂ ) X = (0, 1,1

2) + λ(−2, 0, 1)

2. Sejam B = (−5, 2, 3) e C = (4, −7, −6). Escreva equa¸cões nas formas vetorial, paramétrica e simétrica para a reta BC. Verifique se D = (3, 1, 4) pertence a essa reta.

3. Dados A = (1, 2, 3) e ~u = (3, 2, 1), escreva equa¸cões da reta que contém A e é paralela a ~u, nas formas vetorial, paramétricas e simétrica. Supondo que o sistema de coordenadas seja ortogonal, obtenha dois vetores diretores unitários dessa reta.

4. Escreva equa¸c˜oes param´etricas dos eixos coordenados.

5. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equa¸c˜oes pa-ram´etricas    x = 1 − λ y = λ z = 4 + 2λ

Verifique se os pontos P = (1, 3, −3) e Q = (−3, 4, 12) pertencem à reta. 6. Sejam B = (1, 1, 0) e C = (−1, 0, 1). Escreva equa¸cões paramétricas da

reta que contém o ponto (3, 3, 3) e é paralela à reta BC.

7. Escreva equa¸cões nas formas paramétrica e simétrica da reta que contém o ponto A = (2, 0, −3) e é paralela à reta descrita pelas equa¸cões 1−x₅ =

3y 4 =

z+3 6 .

8. Sejam A = (3, 6, −7), B = (−5, 2, 3) e C = (4, −7, −6). a) Mostre que A, B e C são vértices de um triângulo.

b) Escreva equa¸cões paramétricas da reta que contém a mediana relativa a hipotenusa ao vértice C.

9. Sejam A = (1, 2, 3) e B = (−2, 3, 0). Escreva equa¸cões da reta AB nas formas vetorial, paramétrica e simétrica e obtenha o pontos da reta que distam 2√19 de A.

10. Sejam A = (0, 2, 1) e r : X = (0, 2, −2) + λ(1, −1, 2). Obtenha os pontos de r que distam√3 de A. Em seguida, verifique se a distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a√3 e justifique sua resposta.

(2)

11. sejam A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 1) e r : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1). Determine os pontos de r equidistantes de A e B.

12. Mostre que o ponto (1, 2, 1) n˜ao pertence a reta r : X = (1, 0, 1) + λ(1, −2, 1).

13. Obtenha equa¸cões paramétricas do plano que contém o ponto A = (1, 1, 2) e é paralelo ao plano π :    x = 1 + λ + 2µ y = 2λ + µ z = −λ .

14. Obtenha equa¸cões paramétricas dos planos coordenados. 15. Obtenha uma equa¸cão geral do plano π em cada caso.

a) π contém A = (1, 1, 0) e B = (1, −1, −1) e é paralelo a −→u = (2, 1, 0). b) π contém A = (1, 0, 1) e B = (0, 1, −1) e é paralelo a CD, sendo

C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0).

c) π contém A = (1, 0, 1), B = (2, 1, −1) e C = (1, −1, 0). d) π contém A = (1, 0, 2), B = (−1, 1, 3) e C = (3, −1, 1). e) π contém A = (1, 0, −1) e r : x−1₂ =y₃ =2−z₁

f ) π cont´em A = (1, −1, 1) e r : X = (0, 2, 2) + λ(1, 1, −1).

16. Verifique se o vetor −→u ´e paralelo ao plano π : 4x − 6y + z − 3 = 0, nos casos:

a) −→u = (−1, −2, 3) b) −→u = (0, 1, 6) c) −→u = (3, 2, 0) d) −→u = (−3, 2, 24)

17. Seja π o plano de equa¸c˜ao geral ax + by + cz + d = 0. Mostre que o vetor −

→_{n = (a, b, c) n˜}_{ao ´}_{e paralelo a π.}

18. Dada a equa¸cão geral, obtenha a equa¸cão paramétrica do plano. a) 4x + 2y − z + 5 = 0

b) 5x − y − 1 = 0 c) z − 3 = 0 d) y − z − 2 = 0

19. Verifique se as retas r e s s˜ao concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interse¸c˜ao. a) r : X = (1, 1, 0) + λ(1, 2, 3) e s : X = (2, 3, 3) + µ(3, 2, 1) b) r :    x = 1 + 2λ y = λ z = 1 + 3λ e s :    x = −1 + 4λ y = −1 + 2λ z = −2 + 6λ c) r : x−2 3 = y+2 3 = z 1 e s : x 2 = y 2 = z−3 2 .

(3)

20. Duas part´ıculas realizam movimentos descritos pelas equa¸cões X = (0, 0, 0)+ t(1, 2, 4) e X = (1, 0, −2) + t(−1, −1, −1), t ∈ R. As trajetórias são con-correntes? Pode haver colisão das part´ıculas em algum instante?

21. Uma part´ıcula realiza o movimento descrito pela equa¸cão X = (2, 1, 5) + t(2, −1, 3), t ∈ R. Uma segunda part´ıcula, também em movimento re-til´ıneo uniforme, ocupa, no instante -2, a posi¸cão P = (−24, 14, −34) e, no instante 3, a posi¸cão Q = (26, −11, 41).

a) Vefifique se as trajetórias são concorrentes e se há perigo de colisão. b) Qual a equa¸cão do movimento da segunda part´ıcula?

22. Mostre que as retas r e s s˜ao concorrentes, determine o ponto comum e obtena uma equa¸c˜ao geral do plano determinado por elas.

a) r :    x = λ y = −λ z = 1 + 4λ e s : x−1₃ =y−5₃ =2+z₅ . b) r :    x = 2 − 2λ y = 4 + λ z = −3λ e s :    x = 1 + λ y = −2λ z = 2λ . c) r : x − 3 2 = y − 6 2 = z − 1 e s : x 2 = y 8 = z + 4 8 23. Obtenha a interse¸c˜ao da reta r com o plano π.

a) r : X = (−1, −1, 0) + λ(1, −1, −1) e π : x + y + z + 1 = 0. b) r : X = (−1, −1, 1) + λ(1, −1, 0) e π : x + y + z + 1 = 0. c) r : x − 3 = y − 2 =z+1₂ e π : x + 2y − z = 10.

d) r : X = (−1, −1, 0) + λ(1, −1, 0) e π : 2x + 2y + z + 1 = 0.

24. O detonador de uma bomba está localizado no ponto P = (2, 1, 2). Para provocar a explosão, acende-se a extremidade A = (2, 1, 1) de uma haste combust´ıvel paralela ao vetor −→u = (1, 0, 2), cuja extremidade B toca o ponto inicial de um rastilho de pólvora retil´ıneo que termina no detonador. Sabendo que o fogo se propaga com velocidade unitária na haste e no rastilho e que este está contido no plano π : x + 2y − z − 2 = 0, mostre que a explosão ocorre entre 3 e 4 segundos após o in´ıcio do processo. O sistema de coordenadas é ortogonal.

25. Determine a interse¸c˜ao dos planos π1e π2. Quando se tratar de uma reta,

descreva-a por equa¸c˜os param´etricas.

a) π1: x + 2y − z − 1 = 0 = e π2: 2x + y − z + 1 = 0.

b) π1: z − 1 = 0 e π2: y − 2x + 2 = 0

c) π1: x − y = 1 − 3z e π2: 6z − 2y = 2 − 2x.

d) π1: 3x − 4y + 2z = 4 e π2: −15x + 20y − 10z = 9.

26. O triângulo ABC é retângulo em B e está contido em π1: x + y + z = 1.

O cateto BC est´a contido em π2 : x − 2y − 2z = 0 e a hipotenusa mede 2√6

3 . Sendo A = (0, 1, 0), determine B e C (o sistema de coordenadas ´e

(4)

27. Obtenha equa¸c˜oes planares para as retas a) r : X = (1, 9, 4) + λ(−1, 1, −1). b) r : X = (−7, 1, 10) + λ(−1, 0, 1). c) r : X = (1, 0, −2) + λ(−2, 1, −3).

28. Obtenha uma equa¸c˜ao vetorial para a reta r. a) r : x − y − 3z + 4 = 0 x + 2y − 3z − 5 = 0 b) r : x + z − 3 = 0 x − 2y + z − 1 = 0

29. Um triângulo retângulo de área 1 tem os catetos contidos nos eixos Ox e Oy e a hpotenusa na reta r. Seus vértices têm coordenadas inteiras, e r é concorrente com a reta s :

6x + 3y − 4z − 6 = 0

3y − 2z − 3 = 0 . Escreva uma equa¸c˜ao vetorial de r (o sistema de coordenadas ´e ortogonal.)

30. Na noite de natal, Michelle resolvia exerc´ıcios de Geometria Anal´ıtica enquanto esperava a chegada de Papai Noel(kkkkkkkk). Em cada um dos itens, apresentamos as equa¸c˜oes planares encontradas por Michelle e as respostas do livro. Quais exerc´ıcios Michelle acertou?

a) x + 2y = 0 2x + y − z − 1 = 0 e 3y + z + 1 = 0 3x − 2z − 2 = 0 b) 4x + y + z − 3 = 0 x − y + z + 1 = 0 e 4x + y + z − 3 = 0 5x + 2z − 2 = 0 c) x + 5y − 3z = 0 2x − y + 2z + 4 = 0 e 8x + 7y + 12 = 0 11y − 8z − 4 = 0 31. Estude a posi¸c˜ao relativa das retas r e s.

a) r : X = (1, −1, 1) + λ(−2, 1, −1) e s : y + z = 3 x + y − z = 6 b) r : x − y − z = 2 x + y − z = 0. e s : 2x − 3y + z = 5 x + y − 2z = 0 c) r : x+1₂ =y₃ =z+1₂ e s : X = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0) d) r : x+3 3 = y−1 4 = z 1 e s : 2x − y + 7 = 0 x + y − 6z = −2 e) r : x + 3 =2y−4₄ =z−1₃ e s : X = (0, 2, 2) + λ(1, 1, −1).

32. Calcule m em cada caso, usando a informa¸cão dada sobre as retas r : x − my + 1 = 0 y − z − 1 = 0 t : x + y − z = 0 y + z + 1 = 0 s : x = y m = z a) r e s são paralelas. b) r e t são concorrentes. c) r e s são reversas.

(5)

d) s e t s˜ao coplanares.

e) r, s e t s˜ao paralelas a um mesmo plano.

33. Dê condi¸cões sobre m e n para que as retas r e s determinem um plano: r : x − nz + m + n = 0 x + y − 2nz + 11 = 0 s : x − y = 1 nx − y − 2z + m + 1 = 0. 34. Estude a posi¸cão relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha

o ponto de interse¸c˜ao.

a) X = (1, 1, 0) + λ(0, 1, 1) e π : x − y − z = 2. b) r : x−1₂ = y = z e π : X = (3, 0, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(2, 2, 0). c) r : x − y + z = 0 2x + y − z − 1 = 0 e π : X = (0, 1 2, 0) + µ(0, 1, 1). d) r : X = (0, 0, 0) + λ(1, 4, 1) e X = (1, −1, 1) + λ(0, 1, 2) + µ(1, −1, 0). 35. Calcule m para que r : X = (1, 1, 1) + λ(2, m, 1) seja paralela a π : X =

(0, 0, 0) + λ(1, 2, 0) + µ(1, 0, 1).

36. Sejam r : X = (n, 2, 0) + λ(2, m, n) e π : nx − 3y + z = 1. Usando, em cada caso, a informa¸c˜ao dada, obtenha condi¸c˜oes sobre m e n.

a) r e π são paralelos. b) r e π são transversais. c) r está contida em π.

37. Estude a posi¸c˜ao relativa dos planos π1 e π2.

a) π1: X = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 1) + µ(−1, 2, 1) e π2: X = (1, 0, 0) + λ(1, −1, 0) + µ(−1, −1, −2) b) π1: X = (4, 2, 4) + λ(1, 1, 2) + µ(3, 3, 1) e π2: X = (3, 0, 0) + λ(1, 1, 0) + µ(0, 1, 4) c) π1: 2x − y + 2z − 1 = 0 e π2: 4x − 2y + 4z = 0 d) π1: x − y + 2z − 2 = 0 e π2: X = (0, 0, 1) + λ(1, 0, 3) + µ(−1, 1, 1).

38. Mostre que os planos

π1:    x = −λ + 2µ y = mλ z = λ + µ π2:    x = 1 + mλ + µ y = 2 + λ z = 3 + mµ s˜ao transversais, qualquer que seja o n´umero real m.

39. Obtenha uma equa¸c˜ao geral do plano que cont´em o ponto P e a reta r. a) P = (1, −1, 1) e r : X = (0, 2, 2) + λ(1, 1, −1).

b) P = (1, 0, −1) e r : x−1 2 =

y

3 = 2 − z.

40. Obtenha uma equa¸cão geral do plano π que contém s e é paralelo a r : X = (2, 0, 2) + λ(1, 1, 1), nos casos:

(6)

a) s : x − y = 2x + z − 1 = 1 − 2y b) s : x + 3y = 2x − y + 3z + 5 = 4z + 2 c) s : x − y = z − 1 = x + 2y − z.

41. Verifique se as retas r e s s˜ao ortogonais ou perpendiculares. a) r : x + 3 = y =z₃ e s : x−4₂ = 4−y₋₁ = −z b) r : x−1 2 = y−3 5 = z 7 e s : X = (1, 3, 0) + λ(0, −7, 5) c) r : X = (1, 2, 3) + λ(1, 2, 1) e s : X = (2, 4, 4) + λ(−1, 1, −1). d) r : X = (0, 1, 0) + λ(3, 1, 4) e X = (−1, −1, −0) + λ(1, 0, 1). e) r : 36x − 9y = 3y + 4z = 18 e s : x + y = z − y − 2 = 0.

42. Obtenha uma equa¸cão vetorial da reta s que contém o ponto P e é per-pendicular a r, nos casos:

a) P = (2, 6, 1) e r : X = (−3, 0, 0) + λ(1, 1, 3).

b) P = (1, 0, 1) e r cont´em A = (0, 0, −1) e B = (1, 0, 0). 43. Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso:

a) π cont´em A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 2, 3). b) π : x − 2y + 4z + 1 = 0

c) π : X = (1, 2, 0) + λ(1, −1, 1) + µ(0, 1, −2).

44. a) Obtenha a equa¸cão geral do plano que contém o ponto (1, 1, 2) e é paralelo ao plano de equa¸cão x − y + 2z + 1 = 0.

b) O plano π cont´em o ponto P = (2, 0, 2) e ´e paralelo a π1 : X =

(2, 5, 0) + λ(2, −1, −1) + µ(−3, 1, 2). Escreva uma equa¸c˜ao geral de π cujos coeficientes tenham soma 30.

45. Determine as coordenadas da proje¸c˜ao ortogonal do ponto p sobre o plano π, os casos:

a) P = (1, 0, 1), π : x − 2y + 4z = 1 b) P = (4, 0, 1), π : 3x − 4y + 2 = 0

46. Determine a proje¸c˜ao ortogonal da reta r : x + 1 = y + 2 = 3z − 3 sobre o plano π : x − y + 2z = 0.

47. Determine a proje¸c˜ao ortogonal da origem O = (0, 0, 0) sobre a reta de interse¸c˜ao dos planos π1 : X = (1, 1, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(0, 1, 1) e π2 :

x + y + z = 1. 48. Verifique se π1 e π2 s˜ao perpendiculares. a) π1: X = (1, −3, 4) + λ(1, 0, 3) + µ(0, 1, 3) π2: X = (0, 0, 0) + λ(1, 1, 6) + µ(1, −1, 0) b) π1: X = (1, 1, 1) + λ(−1, 0, −1) + µ(4, 1, 1) π2: X = (3, 1, 1) + λ(1, −3, −1) + µ(3, 1, 0) c) π1: X = (4, 3, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(4, 1, 1) π2: y − 3z = 0 d) π1: x + y − z − 2 = 0 π2: 4x − 2y + 2z = 0