1 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

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Matemática 2

Pedro Paulo

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X

I

1 – SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são semelhantes quando possuem os lados respectivamente proporcionais, como está ilustrado na figura abaixo:

Figura 1 – dois triângulos semelhantes

Na figura 1, os triângulos e são semelhantes entre si. O símbolo de semelhança é o acento “til” : na figura 1, tem-se que .

Em linguagem matemática, a definição de semelhança de triângulos é:

Na expressão acima, é a razão de semelhança entre os triângulos e .

Importante 1: dois triângulos são semelhantes, se e somente se, os seus ângulos são respectivamente congruentes. Na figura 1, isso significa que ̂ ̂ , ̂ ̂ e ̂ ̂ .

Observação: Em um par de triângulos e

, se dois pares de ângulos forem respectivamente congruentes (isto é, se ̂ ̂ e ̂ ̂ ), então o terceiro par também será congruente entre si (isto é, ̂ ̂ ) e os dois triângulos são semelhantes. Isso ocorre porque:

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Mas ̂ ̂ e ̂ ̂, logo

̂ ̂ ̂ ̂

Então, o primeiro caso de semelhança é o caso A.A. (ângulo-ângulo): “dois triângulos são semelhantes se possuem dois pares de ângulos respectivamente congruentes”.

Importante 2: traçando uma paralela a um

lado de um triângulo, aparecerá um novo triângulo semelhante ao primeiro.

Observação: Isso ocorre por causa do

Teorema de Tales. Veja a figura 4:

Figura 2 – aplicação do Teorema de Tales em triângulos Na figura 4, como , tem-se que ̂ ̂ e ̂ ̂ . Logo, pelo caso A.A., tem-se que o novo triângulo é semelhante ao primeiro triângulo . Vale ressqltar que além do caso A.A, existe o caso L.A.L. (lado-ângulo-lado) de semelhança, ilustrado na apostila do SAS: “Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são iguais, então os triângulos são semelhantes”. No entanto, este caso raramente aparece. Na prática, quando aparecem triângulos semelhantes em uma questão, há 3 possibilidades:

1) Lados proporcionais (definição de semelhança)

2) Caso A.A. (importante 1)

3) Lado paralelo a outro lado (importante 2)

2 – RAZÃO DE ÁREAS

Se a razão de semelhança de dois triângulos é , vale ressaltar o seguinte: a razão entre dois

elementos lineares correspondentes é .

Mas o que é um elemento linear de um triângulo? É qualquer comprimento de um segmento do triângulo: pode ser um lado, uma altura, uma mediana, uma bissetriz, um raio do círculo inscrito, um raio do círculo circunscrito, etc. Logo, dizer que a razão de semelhança de dois triângulos é significa que: - a razão entre lados correspondentes é ;

- a razão entre alturas correspondentes é ; - a razão entre medianas correspondentes é ; - a razão entre bissetrizes correspondentes é ; - a razão entre mediatrizes correspondentes é ;

Enfim, a razão entre dois comprimentos

correspondentes é .

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Para responder a pergunta, vamos estudar os triângulos e abaixo, em que a razão de semelhança é :

Figura 3 – triângulos com razão de semelhança

Na figura 3, o triângulo tem base e altura . Além disso, o triângulo tem base e altura . Como a razão de semelhança é , tem-se que e .

Sabemos que a área do triângulo é

. Do mesmo modo, a área do triângulo

é

Mas afinal, qual é a razão entre as áreas?

Portanto, se a razão de semelhança entre dois triângulos é , a razão entre as suas áreas é . Isso é muito importante!

3 – SEMELHANÇA DE POLÍGONOS

Dois polígonos são semelhantes quando possuem os lados respectivamente proporcionais, como está ilustrado na figura abaixo:

Figura 4 – dois polígonos semelhantes

Qualquer polígono pode ser dividido em triângulos. Assim, dois polígonos são semelhantes, se e somente se, os seus ângulos são respectivamente congruentes. Na figura 4, isso significa que ̂ ̂ , ̂ ̂ , ̂ ̂ , ̂ ̂ , ̂ ̂ e ̂ .

A razão entre as áreas de polígonos semelhantes (com os lados respectivamente proporcionais) é o quadrado da razão de semelhança!

Exercício Resolvido 1:

Determine e na figura abaixo.

Figura 5: figura do exercício resolvido 1

Resolução:

Note que os triângulos e possuem os ângulos respectivamente congruentes (logo eles possuem dois pares de ângulos respectivamente congruentes), logo eles são semelhantes!

No entanto, em um problema de semelhança, nem sempre é simples determinar qual lado em um triângulo é proporcional a um lado do outro triângulo.

Por exemplo: no , qual lado é proporcional ao lado ?

Para responder a essa pergunta, para cada um dos três ângulos, vamos determinar o lado oposto no e no :

: é oposto aos lados (no ) e a (no ); : é oposto aos lados (no ) e (no ); : é oposto aos lados (no ) e (no );

Com isso em mente, podemos montar a proporção da semelhança: vamos escrever uma igualdade entre três frações, sendo que cada fração é composta pelos lados opostos a um ângulo:

Agora tudo ficou mais simples:

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Exercício Resolvido 2:

Determine na figura abaixo.

Resolução:

Na figura do problema, há vários triângulos: , , ...será que há um par de triângulos semelhantes?

Note que os triângulos e possuem os ângulos e , logo pelo caso A.A., eles são semelhantes!

E o que acontece com o terceiro ângulo? Soma dos ângulos no :

̂ ̂ ̂ ̂ ̂

Soma dos ângulos no :

̂ ̂ ̂ ̂ ̂

Logo, ̂ ̂ (se dois ângulos de dois triângulos são respectivamente iguais, o terceiro ângulo também vai ser igual!).

No entanto, em um problema de semelhança, nem sempre é simples determinar qual lado em um triângulo é proporcional a um lado do outro triângulo.

Por exemplo: no , qual lado é proporcional ao lado ?

Para responder a essa pergunta, para cada um dos três ângulos, vamos determinar o lado oposto no e no :

: é oposto aos lados (no ) e a (no ); : é oposto aos lados (no ) e (no ); : é oposto aos lados (no ) e (no );

Com isso em mente, podemos montar a proporção da semelhança: vamos escrever uma igualdade entre três frações, sendo que cada fração é composta pelos lados opostos a um ângulo:

Como não conhecemos o valor de nem o de , vamos utilizar a 1ª e a 3ª frações:

√

Resposta: O valor de é √ Exercício Resolvido 3:

Na figura abaixo, sabe-se que é paralelo a , é perpendicular a , , , e . Qual é a área do triângulo ?

Resolução:

Uando o Teorema de Pitágoras no triângulo : A área do triângulo é:

é paralelo a , logo os triângulos e são semelhantes. A razão de semelhança é:

A razão entre as áreas é

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Nível I

1. Sabendo que os ângulos com marcas iguais são congruentes, determine as incógnitas abaixo:

a) b)

2. Sendo e retas paralelas determine nos casos:

a) b)

3. Atividade para Sala nº 1, Geometria Plana IX 4. Atividade Proposta nº 5, Geometria Plana IX

5. (UEL - 08) Para medir a altura de um edifício, um engenheiro utilizou o seguinte procedimento: mediu a sombra do prédio obtendo metros. Em seguida, mediu sua própria sombra que resultou em metros. Sabendo que sua altura é de metros, ele pôde calcular a altura do prédio, obtendo:

a) b) c) d) e) 6. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana IX 7. Atividade Proposta nº 1, Geometria Plana X

8. (UFG - 08) O sinal de PARE, pintado horizontalmente na rua, é visto de frente por um motorista a metros de distância sob um ângulo , sendo que o comprimento das letras é de metros e o olho do motorista está a metros do chão, conforme ilustrado a seguir. Para que uma placa vertical de altura , também a metros de distância, seja vista sob o mesmo ângulo , qual deve ser o valor de ?

9. (UNESP - 11) Para que alguém, com o olho normal, possa distinguir um ponto separado de outro, é necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma distância de .

Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a , a maior distância , em metros, que dois pontos luminosos, distantes um do outro, podem estar do observador, para que este os perceba separados, é:

10. Atividade para Sala nº 2, Geometria Plana XI 11. Atividade Proposta nº 8, Geometria Plana X 12. Atividade para Sala nº 3, Geometria Plana XI

Nível II

13. (UNEMAT - 10) No triângulo equilátero , os pontos e são respectivamente pontos médios dos lados ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅. O segmento ̅̅̅̅̅ mede .

A área do triângulo mede:

a) √ b) √ c) √ d) √ e) √

14. Atividade para Sala nº 3, Geometria Plana X 15. Atividade Proposta nº 5, Geometria Plana XI 16. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana XI 17. Atividade Proposta nº 2, Geometria Plana XI 18. Atividade Proposta nº 3, Geometria Plana XI 19. Atividade Proposta nº 10, Geometria Plana X

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20. (UDESC - 12) Quando olhamos para um ambiente qualquer, a percepção de profundidade é possível devido a nossa visão binocular. Por estarem separados em média em adultos, cada um dos nossos olhos registra uma imagem de um ângulo ligeiramente diferente. Ao interpretar essas imagens ao mesmo tempo, o cérebro forma um "mapa" dessas diferenças, tornando possível estimar a distância dos objetos em relação a nós.

A estereoscopia (popularmente conhecida como "imagem 3D") é uma técnica que consiste em exibir imagens distintas para cada olho do observador, representando o que se observaria em uma situação real. Assim, o cérebro pode ser "enganado" a interpretar os objetos representados como se estivessem flutuando diante da tela ou atrás dela. Diversas tecnologias existem atualmente para conseguir isso. A mais comum delas, usada nas salas de cinema 3D, funciona com o uso de óculos polarizadores que filtram a imagem projetada na tela, permitindo que cada olho receba somente a imagem correspondente.

Um observador está em uma sala de cinema 3D usando óculos polarizadores e sobre a tela são projetados dois pontos e a uma distância de um do outro, com à esquerda de . Os filtros polarizadores dos óculos fazem com que o ponto seja visto apenas por seu olho direito e o ponto apenas por seu olho esquerdo, de forma que as linhas de visão de cada um dos olhos se interseccionem em um ponto , conforme a figura. O observador verá apenas um único ponto, resultado da junção em seu cérebro dos pontos e , localizado em .

Sabendo que a reta imaginária que passa por seus olhos é paralela àquela que passa pelos pontos e e estas distam entre si, e que sua distância interocular é de a distância da tela ao ponto , é aproximadamente:

a) b) c) d) e) 21. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana X

22. (UFJF - 06) Seja o triângulo de base igual a e altura igual a com um quadrado inscrito, tendo um lado contido na base do triângulo. O lado do quadrado é, em metros, igual a:

a) b) c) d) e) 23. Atividade Proposta nº 6, Geometria Plana X

24. (FUVEST - 13) Um teleférico transporta turistas entre os picos e de dois morros. A altitude do pico é de , a altitude do pico é de e a distância entre as retas verticais que passam por e é de . Na figura, representa o teleférico em um momento de sua ascensão e e representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento.

a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a ? b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante

de , quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico ao pico ?

25. (FUVEST - 10) Na figura, o triângulo é retângulo com catetos e . Além disso, o ponto pertence ao cateto , o ponto pertence ao cateto e o ponto pertence à hipotenusa , de tal forma que seja um paralelogramo. Se , então a área do paralelogramo vale

a) b) c) d) e)

26. (UFPR - 11) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos , e , como mostra a figura ao lado. Os suportes nas extremidades e medem, respectivamente, metros e metros de altura.

A altura do suporte em é, então, de:

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27. (UNESP - 11) Uma bola de tênis é sacada de uma altura de , com alta velocidade inicial e passa rente à rede, a uma altura de .

Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movimento parabólico, considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e contida num plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma distância de da rede, a que distância da mesma, em metros, ela atingirá o outro lado da quadra?

28. (UNICAMP - 13) Na figura abaixo, e são triângulos isósceles semelhantes de bases e , respectivamente, e o ângulo . Portanto, o comprimento do segmento é:

a) √ b) √ c) √ d) √ 29. (UFMG - 09) Uma folha de papel quadrada, , que mede de lado, é dobrada na reta , como mostrado nesta figura:

Feita essa dobra, o ponto sobrepõe-se ao ponto , e o ponto , ao ponto médio , do lado .

É correto afirmar que, nessas condições, o segmento mede:

a) b) c) d)

30. (UFMG - 12) Na figura a seguir, o triângulo tem área igual a . Os pontos e dividem o segmento em três partes iguais, assim como os pontos e dividem o segmento em três partes iguais.

Com base nessas informações, a) Determine a área do triângulo .

b) Determine a área do triângulo sombreado . 31. (UFG - 10) As “Regras Oficiais de Voleibol”, aprovadas pela Federação Internacional de Voleibol (FIVB), definem que a quadra para a prática desse esporte deve ser retangular, medindo de comprimento por de largura.

A rede, colocada verticalmente sobre a linha central da quadra, deve ter uma altura de para jogos profissionais masculinos. Em cada campo da quadra há uma linha de ataque, desenhada a de distância da linha central, marcando a zona de frente, conforme a figura a seguir.

Durante um jogo profissional masculino, um jogador fez um ponto do seguinte modo: estando sobre a linha de ataque de seu campo, saltou verticalmente batendo na bola no ponto , fazendo-a descrever uma trajetória retilínea, passando rente ao topo da rede, no ponto , tocando a quadra exatamente num ponto , pertencente à linha de fundo do campo adversário.

Segundo as condições descritas, calcule a altura, , que o jogador alcançou para conseguir fazer o ponto.

Nível III

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DICAS E FATOS QUE AJUDAM

1. Os triângulos são semelhantes pelo caso A.A., logo os seus lados são proporcionais. Assim:

a) b)

2. As bases dos triângulos são paralelas, logo eles são semelhantes, com lados proporcionais

a) b)

3. Como as ruas e são paralelas, os triângulos e são semelhantes. Então:

( ) ( ) O perímetro do circuito é

4. Como em um mesmo instante, os raios do sol são paralelos, eles determinam triângulos semelhantes, logo a razão entre as alturas é igual à razão entre as sombras. Se é a altura do prédio, tem-se:

5. Como em um mesmo instante, os raios do sol são paralelos, eles determinam triângulos semelhantes, logo a razão entre as alturas é igual à razão entre as sombras. Se é a altura do prédio, tem-se:

6. Como a inclinação da rampa é constante, a razão entre as alturas é igual à razão entre as distâncias percorridas. Se é a altura da rampa, tem-se:

7. Como a inclinação da rampa é constante, a razão entre as alturas é igual à razão entre as distâncias percorridas. Então: 8. A razão entre as alturas é igual à razão entre as distâncias horizontais. Então:

9. Os triângulos são semelhantes pelo caso A.A:

Converta em metros ( )

10. A razão de semelhança entre os trapézios e é : A razão entre as áreas dos trapézios é :

11. Na planta, a área da sala é . Já a área real da sala é . Seja a razão de semelhança entre a sala real e a sala na planta. Então, tem-se:

Assim, as medidas reais dos lados da sala são e 12. Seja a razão de semelhança entre o mapa maior e o menor. Então, tem-se:

( )

13. Como e são pontos médios de e , é paralelo a . Logo os triângulos e são semelhantes e o triângulo é equilátero de lado . A razão de semelhança é √ √ √ √ √ √

(8)

14. Como e são pontos médios de e , é paralelo a . Logo os triângulos e , onde a razão de semelhança é

15. Como é o baricentro do triângulo , e são medianas, então e são pontos médios de e . Logo os triângulos e , onde a razão de semelhança é

16. Seja o ponto em que e se cortam. Então os triângulos e são semelhantes pelo caso A.A. Seja a altura do triângulo relativa ao lado . Como a altura do trapézio é , altura do triângulo relativa ao lado é . Então:

( ) O triângulo tem base e altura :

O triângulo tem base e altura :

17. Seja a razão de semelhança entre os triângulos e , Então: √ Sejam e a altura do triângulo relativa ao lado . Seja a altura do triângulo relativa ao lado . Então, tem-se:

A altura do trapézio é ( ) ( ₎

18. A figura do problema é a seguinte:

Na figura, , e são paralelos aos lados , e . Então, os triângulos , , e são todos semelhantes entre si e os quadriláteros , e são paralelogramos. Além disso, as áreas d os triângulos , e são , e , respectivamente. Seja o valor de . Então, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) e são paralelogramos e . ( ) ( )

19. Na figura à direita, note que . Além disso, pelo enunciado . Então, tem-se:

20. Sejam a altura do triângulo maior (que é a distânia da tela ao ponto ) e a altura do triângulo menor (que é a distância do ponto à reta que passa pelos olhos do observador). Note que a distância da tela à reta que passa pelos olhos do observador é . Além disso, a base do triângulo maior é e a base do triângulo menor é a distância interocular, que vale . Então, tem-se:

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21. Na figura aparecem dois triângulos retângulos: há um triângulo de base e altura (sobre o quadrado menor e à direita do quadrado maior) e outro de base e altura (á direita do quadrado menor). Como os dois triângulos são semelhantes, tem-se:

( ) ( ) 22. A figura do problema é a seguinte:

Como é paralelo a , os triângulos e são semelhantes. Seja o lado do quadrado . Como o triângulo tem base e altura , o triângulo tem base e altura :

( ) 23. A figura do problema é a seguinte:

Seja a altura do triângulo . Como a sua base é e a sua área é , tem-se:

Como é paralelo a , os triângulos e são semelhantes. Sejam e os lados do retângulo . Como o triângulo tem base e altura , o triângulo tem base e altura

( ) A área do retângulo é . Então:

( ) ou ou ou Lembre-se que o perímetro do retângulo (que é ) deve ser o menor possível!

24. a), Note que a base do triângulo maior é e a sua altura é . A base do triângulo menor é e a sua altura é . Então:

b) √ √ Seja o tempogasto pelo teleférico. Então:

√ √ 25. Como é paralelo a , os triângulos e são semelhantes. Então, tem-se:

26. Trace uma paralela à reta pelo ponto abaixo, formando a figura abaixo:

Como os triângulos e são semelhantes:

A altura do suporte em é :

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A altura em que a bola é sacada é , a altura da rede é , e a distância da rede ao ponto em que a bola foi sacada é . Seja distância (em )da rede ao ponto em que a bola atinge o outro lado da quadra. Como é paralelo a , os triângulos e são semelhantes. ( ) Converta em metros ( ). 28. A figura do problema é a seguinte:

Como os triângulos e são semelhantes, ̂ ̂ ̂

Traçe as alturas e relativas a (no ) e a (no ). Como os triângulos são isósceles, as alturas são medianas, logo e

√ √ √ √ √ √ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Usando a lei dos cossenos no triângulo :

̂ ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( )

Chame o ponto em que a reta corta o lado de . Seja . Note que , e (pois , depois da dobra, coincide com o ponto ). Usando Pitágoras no triângulo :

( ) Note que os triângulos e são semelhantes pelo caso A.A. Então, tem-se:

30. No item a), note que a razão de semelhança entre os triângulos e é . Logo a razão entre as suas áreas é . No tem b), note que o triângulo tem a mesma base que o triângulo mas o dobro da sua altura, logo a área do triângulo é o dobro da área do triângulo

Pelo Teorema de Tales, tem-se que: Como é a altura da rede,

Os triângulos e são semelhantes. Então, tem-se:

(11)

Seja um pentágono regular de lado . Então: O ângulo interno do pentágono é:

( ) ( )

Logo ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

o triângulo é isósceles de base ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ o triângulo é isósceles de base

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

o triângulo é isósceles de base ̂ ̂

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

̂ ̂ Seja o ponto em que corta . Então:

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ o triângulo é isósceles de base ̂ ̂ o triângulo é isósceles de base

Seja a medida de . Então Os triângulos e são semelhantes. Então:

( ) √ Como , tem-se que √ . A medida da diagonal do pentágono regular é . Então:

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GABARITO

1. a) b) 2. a) b) 3. B 4. A 5. D 6. B 7. D

8. A altura deve ser 9. A distância deve ser 10. B 11. D 12. A 13. E 14. E 15. A 16. D 17. E 18. E 19. D 20. D 21. A 22. A 23. B 24. a) O deslocamento horizontal é b) O tempo gasto pelo teleférico é √ 25. A

26. D

27. A bola atingirá o outro lado da quadra a uma distância de

28. C 29. C

30. a) A área do triângulo é

b) A área do triângulo sombreado é 31. A altura é