UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ MATEMÁTICA

(1)

UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB ´

A

MATEM ´

ATICA

PROVA DE TRANSFERˆ

ENCIA INTERNA, EXTERNA E PARA

PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 28/06/2015

CANDIDATO:

CURSO PRETENDIDO:

OBSERVAC

¸ ˜

OES:

1. Prova SEM consulta;

2. A prova PODE ser feita a l´

apis;

3. PROIBIDO o uso de calculadoras e similares;

4. Dura¸c˜

ao: 2 HORAS.

Quest˜

ao 1 (10 pontos).

Considere o sistema linear

a

11

x + a

12

y + a

13

z = 0

a

21

x + a

22

y + a

23

z = 0

onde a

ij

∈ R. Pode-se afirmar que este sistema

a) admite apenas a solu¸c˜

ao trivial

b) n˜

ao admite solu¸c˜

oes

c) admite solu¸c˜

ao ´

unica

d) admite infinitas solu¸c˜

oes

e) admite duas solu¸c˜

oes

Resposta: d)

O sistemas homogˆ

eneo tem mais vari´

aveis do que equa¸c˜

oes, logo existem infinitas solu¸c˜

oes.

Quest˜

ao 2 (10 pontos).

Encontre o conjunto solu¸c˜

ao do sistema de inequa¸c˜

oes











3x + 2 > 5x − 2

4x − 1

≥ 3x − 4

3 − 2x

≤ x − 6

a) x ∈ (−3, 2)

b) x ∈ [−3, 2)

_{c) ∅}

d) x > 3

e)

x

≥ −3

Resposta: c)

Resolvendo separadamente cada inequa¸c˜

ao, temos











3x + 2 > 5x − 2

↔ x ∈ A

1

=

{x ∈ R, x < 2}

4x − 1

≥ 3x − 4

↔ x ∈ A

2

=

{x ∈ R, x ≥ −3}

3 − 2x

≤ x − 6

↔ x ∈ A

3

=

{x ∈ R, x ≥ 3}

(2)

Quest˜

ao 3 (10 pontos).

Calcule:

lim

x→1

3x

3

_{− 8}

x − 2

a) 3

b) −3

c) 5

d) 2

_{e) @}

Resposta: c)

Como a fun¸c˜

ao ´

e racional e o ponto de interesse est´

a em seu dom´ınio, temos

lim

x→1

3x

3

− 8

x − 2

= 5

Quest˜

ao 4 (10 pontos).

Avalie f

0

(0)

para

f(x) =

2 − x

3x + 1

a) 0

_{b) @}

c) 6

d) -6

e) -7

Resposta: e)

Avaliando a derivada, temos

f

0

(x) =

−(3x + 1) − 3(2 − x)

(3x + 1)

2

Como a express˜

ao ´

e racional e 0 est´

a em seu dom´ınio temos f

0

(0) = −7.

Quest˜

ao 5 (10 pontos).

A densidade populacional numa cidade ´

e dada por

D(r) =

15r + 5

r

2

_{+ r + 2}

,

onde r indica a distˆ

ancia at´

e o centro da cidade. Para quais valores de r a densidade

populacional ´

e decrescente?

a) r ∈ [0, 1)

b) r ∈ (

−5₃

, 1)

c) r < 1

d) r > 1

e) a densidade nunca decresce.

Resposta: d)

Queremos encontrar os valores de r > 0 para os quais D

0

(r) < 0. Calculando a derivada

ontemos,

D

0

(r) = −

5(3r

2

_{+ 2r − 5)}

(r

2

_{+ r + 2)}

2

Vemos que D

0

(r) < 0

↔ r > 1.

2

(3)

Quest˜

ao 6 (10 pontos).

Um fabricante de celulares observa que a cada N milhares

de celulares produzidos, todos s˜

ao vendidos quando o pre¸co ´

e modelado por

P(N) =

1000

N

2

_{+ 9}

Quantos celulares devem ser vendidos para que a receita da empresa seja a maior poss´ıvel?

Resposta:

A receita ´

e dada pela custo de venda vezes o n´

umero de milhares de aparelhos vendidos,

logo

R(N) =

1000N

N

2

_{+ 9}

Procuramos o ponto de m´

aximo para R(N). Derivando obtemos,

R

0

(N) =

1000(3 − N)(3 + N)

(N

2

_{+ 9)}

2

Considerando N positivo, vemos que R

0

(N) = 0

quando N = 3.

Note que se N < 3, ent˜

ao R

0

(N) > 0

e quando N > 3, temos R

0

(N) < 0. Assim, devem

ser vendidos 3000 celulares para que a receita seja m´

axima.

Quest˜

ao 7 (10 pontos).

Determine os valores de k para que o sistema











x + y − z = 1

2x + 2z = 2

3x + y + z = k

seja imposs´ıvel, isto ´

e, n˜

ao admita solu¸c˜

oes.

Resposta:

Calculando o determinante associado ao sistema vemos que ´

e nulo, logo as equa¸c˜

oes s˜

ao

dependentes. Somando a primeira e segunda equa¸c˜

oes e subtraindo a terceira temos

0 = 3 − k

Assim, se k 6= 3 o sistema n˜

ao admite solu¸c˜

oes.

Quest˜

ao 8 (10 pontos).

Encontre o conjunto solu¸c˜

ao da seguinte equa¸c˜

ao

p

x

2

_{+ 5x + 1 = 2x − 1}

(4)

Temos como condi¸c˜

ao para existˆ

encia de solu¸c˜

ao, x > 1/2, para que o lado direito seja

positivo e a equa¸c˜

oes esteja bem definida. Elevando ambos os membros ao quadrado e

simplificando obtemos a equa¸c˜

ao

x

2

− 3x = 0

que tem como ra´ızes x

1

= 0

e x

2

= 3. Logo, a solu¸c˜

ao ´

e x = 3.

Quest˜

ao 9 (10 pontos).

Um fabricante de bolos vende-os a 38 reais cada. Se ele tem

custos fixos de 600 reais e cada bolo custa 8 reais para ser produzido, qual a quantidade

m´ınima de bolos para que o fabricante tenha lucro?

Resposta:

A express˜

ao para o lucro obtido ser´

a a diferen¸ca entre receita e custo, logo

L(N) = 38N − 8N − 600

Vemos que L ´

e positivo quando N > 20.

Quest˜

ao 10 (10 pontos).

Seja a fun¸c˜

ao

f(x) =

x−1

x2₋₁

,

x

6= 1

0,

x = 1

Avalie o limite de f quando x tende ao valor 1.

Resposta:

lim

x→1

x − 1

x

2

_{− 1}

=

lim

_x_→1

(x − 1)

(x − 1)(x + 1)

=

x

lim

→1

1 x + 1

=

1

2 .

4

(5)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

Pró-Reitoria de Graduação - PRG

Coordenação de Processos Seletivos – COPS

PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA

PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 28/06/2015

Programação

CANDIDATO: _________________________________________________________________

CURSO PRETENDIDO: _________________________________________________________

OBSERVAÇÕES: 01 – Prova sem consulta.

02 – A prova pode ser feita a lápis. 03 – Duração: 2 HORAS.

1

a

_{Questão (10 pontos):}

_{Supondo que pela leitura de dois números, os dígitos iniciais do n}o_{de CPF, uma}

organização de eventos consegue distribuir o ingresso dos participantes em quatro setores. Na distribuição, serão associadas as letras k e n aos números ímpares e pares respectivamente, direcionando ocupantes aos setores kk,

kn, nn e nk, conforme informação recebida. Considerando que um participante foi encaminhado ao setor kn,

assinale a alternativa que originou essa indicação apresentada pelo comando “ESCREVA” no fragmento de programa abaixo, escrito em pseudocódigo. (obs.: o símbolo “” corresponde ao comando de atribuição, isto é, a variável à esquerda recebe o valor apontado para ela):

CARACTER A, B INTEIRO X, Y LEIA X SE X = 1 OU X = 3 OU X = 5 OU X = 7 OU X = 9 ENTÃO A  'k' SENÃO A  'n' FIM-SE LEIA Y SE Y = 1 OU Y = 3 OU Y = 5 OU Y = 7 OU Y = 9 ENTÃO B  'k' SENÃO B  'n' FIM-SE ESCREVA “Setor ”, A, B ( a ) 2, 9 ( b ) 4, 6 ( c ) 5, 2 ( d ) 5, 7

2

a

_{Questão (10 pontos):}

_{Observe abaixo um trecho de programa, escrito em pseudocódigo, que calcula}

e imprime os N primeiros elementos da série de Fibonacci (N > 1):

X  0 Y  1 i  2 ESCREVA X, “ , ”, Y ENQUANTO i  N FAÇA Fib  X + Y X  Y Y  Fib i  i + 1 ESCREVA “ , ”, Fib FIM-ENQUANTO

Escolha a alternativa que representa uma parte da série construída com esse programa:

( a ) ..., 6, 9, 12, ... ( b ) ..., 21, 34, 55,... ( c) ..., 5, 8, 16, ... ( d ) ..., 42, 50, 88, ...

3

a

_{Questão (10 pontos):}

_{Um departamento que controla o índice de poluição do meio ambiente mantém 3 grupos}

de indústrias (A, B, C) que são altamente poluentes do meio ambiente. O índice de poluição aceitável varia de 0,05 até 0,25. Se o índice sobe para 0,3 , as indústrias do grupo A serão intimadas a interromper as atividades. Se o índice cresce para 0,4 , as indústrias dos grupos A e B são intimadas a suspenderem suas atividades. Se o índice

(6)

(a) SE Ind  0,5 ENTÃO ESCREVA “notif A, B e C” SENÃO SE Ind  0,4 ENTÃO ESCREVA “notif A e B” SENÃO SE Ind  0,3

ENTÃO ESCREVA “notif A ” FIM-SE

FIM-SE FIM-SE

(b) SE Ind > 0,25 E Ind < 0,4

ENTÃO

ESCREVA “notif A” SENÃO SE Ind > 0,3 ENTÃO ESCREVA “notif A e B” SENÃO SE Ind > 0,3

ENTÃO ESCREVA “notif A ” FIM-SE

FIM-SE FIM-SE (c) SE Ind > 0,3

ENTÃO

ESCREVA “notif A” SENÃO SE Ind > 0,4 ENTÃO ESCREVA “notif A e B” SENÃO SE Índ > 0,5

ENTÃO ESCREVA “notif A,B, C ” FIM-SE

(d) SE Ind  0,25 ENTÃO

ESCREVA “notif A” SENÃO SE Índ > 0,3 ENTÃO ESCREVA “notif A e B” SENÃO SE Índ > 0,4

ENTÃO ESCREVA “notif A, B e C ” FIM-SE

4

a

_{Questão (10 pontos):}

_{Admitindo que uma data é lida por um programa em uma variável inteira e não em}

uma variável do tipo data, precisa-se criar uma rotina que leia uma data no formato DDMMAA e imprima essa data no formato AAMMDD, onde:

• DD corresponde a dois algarismos representando o dia; • MM corresponde a dois algarismos representando o mês;

• AA corresponde aos dois últimos algarismos representando o ano. Qual dos trechos de programa realiza essa tarefa corretamente:

(a) INTEIRO Data, Resto, AA, DD, MM

LEIA Data

DD  Data/1000

MM  Data/10 – DD*100

AA  Data – DD*10000 – MM*100

ESCREVA AAMMDD

(b) INTEIRO Data, Resto, AA, MM, DD

LEIA Data

DD  Data/100000 MM  Data/100 – DD*100 AA  Data + DD*10000 – MM*100

ESCREVA AAMMDD

(c) INTEIRO Data, Resto, AA, MM, DD

LEIA Data

DD  Data/10000

MM  Data/100 – DD*100 AA  Data – DD*10000 – MM*100

ESCREVA AAMMDD

(d) INTEIRO Data, Resto, AA, DD

LEIA Data

DD  Data/10000

MM  Data/100 – DD*100 AA  Data – DD*10000 – MM*100

ESCREVA AAMMDD

5a_{Questão (10 pontos):}_{Considere o seguinte problema: “Dados dois números naturais m e n determine, entre} todos os pares de números naturais (x,y) tais que x < m e y < n, um par para o qual o valor da expressão xy - x2

+ y seja máximo e calcule também esse máximo.” Escolha o fragmento de programa entre os listados abaixo, escrito em pseudocódigo, que resolve o problema:

(a) X  1 Y  -1 ENQUANTO X  n FAÇA ENQUANTO Y  m FAÇA Valor  X*Y + X*X - Y SE Valor > ValorMax

ENTÃO ValorMax  Valor FIM-SE X  X + 1 Y  Y + 1 FIM-ENQUANTO FIM-ENQUANTO (b) Xmax  0 Ymax  0 ValorMax  0 ENQUANTO X  n FAÇA Y  Y + 1 ENQUANTO Y  m FAÇA Valor  X*Y - X*X + Y SE Valor > ValorMax

ENTÃO ValorMax  Valor FIM-SE

FIM-ENQUANTO FIM-ENQUANTO

(7)

(c) Xmax  0 Ymax  0 ValorMax  0 X  0 Y  -1 ENQUANTO X  n FAÇA Y  Y + 1 ENQUANTO Y  m FAÇA Valor  X*Y - X*X + Y SE Valor > ValorMax

ENTÃO ValorMax  Valor Xmax  X Ymax  Y FIM-SE FIM-ENQUANTO X  X + 1 FIM-ENQUANTO (d) Xmax  0 Ymax  0 ValorMax  0 X  1 Y  1 ENQUANTO X  n FAÇA Y  Y + 1 ENQUANTO Y  m FAÇA Valor  X*Y + X*X - Y SE Valor > ValorMax

ENTÃO ValorMax  Valor Xmax  X Ymax  Y FIM-SE FIM-ENQUANTO X  X + Y FIM-ENQUANTO

6a_{Questão (10 pontos):}_{Escreva um programa que armazene, via leitura, três números inteiros positivos (A, B,} C), calcule e mostre o resultado da seguinte expressão:

M = [(A+B)

2

_{+ (B+C)}

2

_]/2

Programa-6

INTEIRO A, B, C

REAL M

ESCREVA “digite três números inteiros” LEIA A, B, C

M = ((A+B)*(A+B)+(B+C)*(B+C))/2

ESCREVA “M = [(”, A, “ + ”, B, “)^2 + (”, B, “ + ”, C, “)^2]/2 = ”, M

FIM Programa-6

7

a

_{Questão (10 pontos):}

_{Escreva um algoritmo que leia dois números inteiros, x e y, verifique se um é}

múltiplo do outro e, em seguida, os escreva dizendo se são múltiplos ou não. Exemplos: Se a leitura foi x=2 e y=6, após a verificação escreva a mensagem: "6 é múltiplo de 2". Outra leitura com x=7 e y=2 vai resultar na mensagem "7 e 2 não são múltiplos".

Programa-7

INTEIRO X, Y, Resto

ESCREVA “digite dois números inteiros” LEIA X, Y

SE X < Y

ENTÃO Resto  Y – X * (Y/X)

SE Resto = 0

ENTÃO ESCREVA Y, “é múltiplo de”, X

SENÃO ESCREVA X, “e”, Y, “não são múltiplos”

FIM-SE

SENÃO Resto  X – Y * (X/Y)

SE Resto = 0

ENTÃO ESCREVA X, “é múltiplo de”, Y

SENÃO ESCREVA X, “e”, Y, “não são múltiplos”

FIM-SE

FIM-SE FIM Programa-7

(8)

8

a

_{Questão (10 pontos):}

_{Qualquer número natural de quatro algarismos pode ser dividido em duas dezenas formadas pelos}

seus dois primeiros e dois últimos dígitos. Exemplos:

1297: 12 e 97 5314: 53 e 14

Escreva um programa que imprima todos os números naturais com 4 algarismos (1000  N  9999) cuja raiz quadrada seja a soma das dezenas formadas pela divisão acima.

Exemplo: raiz de 9801 = 99 = 98 + 01. Portanto, 9801 é um dos números a ser impresso.

Programa-8

INTEIRO N, MC, DU

N  1000

ESCREVA “ digite um número inteiro e positivo ” ENQUANTO N  9999 FAÇA

MC  N/100 DU  N – MC*100

SE (MC + DU) * (MC + DU) =N

ENTÃO ESCREVA N, “ = (”, MC, “ + ”, DU, “ )^2”, FIM-SE

N  N + 1 FIM-ENQUANTO FIM Programa-8

9a_{Questão (10 pontos):}_{Escreva um trecho de programa para imprimir uma palavra armazenada em um vetor de} caracteres e, em um espaço à frente, uma cópia invertida não anotando as vogais. Exemplo:

Palavra armazenada: futebolista Palavras impressas: futebolista tslbtf

Obs.: O vetor V[ ] tem 60 posições. Após a palavra armazenada, o símbolo # sinaliza seu final.

Declare as variáveis de controle que for utilizar no trecho de programa.

INTEIRO i i  1 ENQUANTO V[i]  ‘#’ FAÇA ESCREVA V[i] i  i + 1 FIM-ENQUANTO ESCREVA “ ” i  i - 1 ENQUANTO i1 FAÇA

SE V[i]  ‘A’ E V[i]  ‘E’ E V[i]  ‘I’ E V[i]  ‘O’ E V[i]  ‘U’

ENTÃO ESCREVA V[i] FIM-SE

i  i - 1

FIM-ENQUANTO

10

a

_{Questão (10 pontos):}

_{Escreva um trecho de programa para facilitar as vendas de um supermercado}

considerando que as compras são efetuadas em dois momentos. Primeiro o cliente faz sua escolha de produtos anotando em um dispositivo portátil o código e a quantidade desejada e, no segundo momento, recebe a lista de sua compra discriminando o produto, unidade de venda (quilo, metro, litro, dúzia, etc.), valor unitário, percentual de imposto (Nessa região os preços não incorporam impostos, uma vantagem no esclarecimento tributário aos cidadãos.), quantidade e valor total de cada item, e, no final, o total geral a pagar, ou seja, um cupom para pagar e receber sua compra. Considere que a lista de compra fica armazenada em uma matriz MN2, recebida pelo

dispositivo, contendo na 1ª coluna o código do produto e na 2ª a quantidade de N produtos selecionados. As informações dos produtos do supermercado estão armazenadas na matriz ESTK5 com os K itens de seu estoque

de produtos contendo os campos: código na coluna 1, descrição na coluna 2, unidade na coluna 3, valor unitário na coluna 4 e taxa de imposto na coluna 5. Sua tarefa será preparar o trecho de código no qual é montado o cupom de venda. Observe o exemplo abaixo, sabendo que já foram lidas as matrizes M e EST e são conhecidas as quantidades N e K. Declare variáveis de controle, contadores, variáveis para cálculo dos valores parciais e total, além de imprimir no cupom cada um dos N itens processados e, ao final, a mensagem “Valor total cupom “ com o valor a pagar. Como exemplo, considere uma venda de 3 produtos:

Lista



cupom

cód qtde cód descrição qtde unid Valor _un taxa Valor total

101 1 101 Laranja pera 1 dz 3,60 5,5% 3,80

112 3 112 Água mineral 3 gl 9,70 7,6% 31,31

257 1,25 257 Carne bovina 1ª 1,25 kg 28,70 15% 41,26

(9)

INTEIRO i, j, k

REAL Val-Cupom, Val-total

Val-Cupom  0

ESCREVA “ Cupom ”,

ESCREVA “ Cod descrição qtde unid Val-unit taxa Val-total ” PARA(i  1; i  ; i  i + 1) FAÇA

j  1

ENQUANTO j < K E M[i,1]  EST[j,1] FAÇA

j  j + 1 FIM-ENQUANTO

Val-total  M[i,2] * EST[j,4]*(1+EST[j,5])

ESCREVA EST[j,1], EST[j,2], M[i,2], EST[j,3], EST[j,4], EST[j,5], Val-total Val-Cupom  Val-Cupom + Val-total

FIM-PARA

UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ MATEMÁTICA