Curso técnico Integrado de Administração

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Juros Compostos

Diferente dos juros simples, o juro composto é calculado sobre o montante obtido no período anterior. Somente no primeiro período é que os juros são calculados sobre o capital inicial.

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: VF =VP.(1 + i)

2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: VF = VP.(1 + i).(1 + i)

3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: VF = VP.(1 + i).(1 + i).(1 + i)

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Juros Compostos

Simplificando, obtemos a fórmula:

𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑛

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de

tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

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Juros simples vs. Juros compostos

A tabela no próximo slide mostra os valores de um empréstimo de R$ 100,00 com taxa de juros de 10% ao período sob o regime de juros simples e juros compostos. Note que essa tabela apresenta três momentos diferentes:

Para períodos inferiores a 1 (n < 1), o regime de juros simples apresenta valores superiores ao regime de juros compostos.

No período 1, o valor é igual para ambos regimes.

Para períodos superiores a 1 (n > 1), o regime de juros compostos apresenta valores superiores ao regime de juros simples.

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Juros simples vs. Juros compostos

n Juros Simples Juros Compostos 0,00 100,00 100,00 0,25 102,50 102,41 0,50 105,00 104,88 0,75 107,50 107,41 1,00 110,00 110,00 1,25 112,50 112,65 1,50 115,00 115,37 1,75 117,50 118,15 2,00 120,00 121,00 2,25 122,50 123,92

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Exemplo 1

Fernanda empresta R$ 4000,00 (quatro mil reais) para Pedro cobrando juros compostos de 4% ao mês. Pedro prometeu pagar tudo após 5 meses. Qual será o valor que ele terá que pagar?

VF = ? 𝑉𝐹 = 4.000 1 + 0,04 5 VP = R$ 4000,00 𝑉𝐹 = 4.000 1,04 5

i = 4% /100 = 0,04 𝑉𝐹 = 4.000.1,2165 n = 5 VF = 4.866,00

Terá que pagar R$ 4.000,00 do empréstimo mais R$ 866,00 de juros.

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Exemplo 2

Paguei de juros um total R$ 2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de juro composto de 1,4% a.m. Qual foi o capital tomado emprestado? VP = ? 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑛 J = R$ 2.447,22 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 1 + 𝑖 𝑛 i = 1,4% /100 = 0,014 𝑉𝑃 = 𝑉𝑃+𝐽 1+𝑖 𝑛 n = 8 𝑉𝑃. 1 + 𝑖 𝑛 = 𝑉𝑃 + 𝐽 𝑉𝑃. 1 + 𝑖 𝑛 − 𝑉𝑃 = 𝐽 𝑉𝑃. 1 + 𝑖 𝑛 − 1 = 𝐽 𝑉𝑃 = 𝐽 1+𝑖 𝑛−1 = 2.447,22 1,014 8−1 ∴ 𝑽𝑷 = 𝟐𝟎. 𝟖𝟎𝟏, 𝟗𝟏

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Exemplo 3

Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro composto para que eu venha a conseguir este montante?

i = ? 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑛 VP = R$ 18.000,00 𝑉𝐹 𝑉𝑃 = 1 + 𝑖 𝑛 VF = R$ 26.866,57 𝑉𝐹 𝑉𝑃 𝑛 = 𝑛 1 + 𝑖 𝑛 n = 18 𝑉𝐹 𝑉𝑃 𝑛 = 1 + 𝑖 ⇒ 𝑖 = 𝑉𝐹 𝑉𝑃 𝑛 − 1 𝑖 = 26.866,57 18.000,00 18 − 1 ⇒ 𝑖 = 1,0225 − 1 ⇒ 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟐𝟓 𝒐𝒖 𝟐, 𝟐𝟓% 𝒂. 𝒎.

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Exemplo 4

Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital?

n = ? 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑛 VP = R$ 100.000,00 𝑉𝐹 𝑉𝑃 = 1 + 𝑖 𝑛 VF = R$ 26.866,57 log 1 + 𝑖 𝑛 = log 𝑉𝐹 𝑉𝑃 i = 1,7/100 = 0,017 𝑛. log 1 + 𝑖 = log 𝑉𝐹 𝑉𝑃 𝑛 = log 2. 𝑉𝑃 𝑉𝑃 log 1 + 𝑖 ⇒ 𝑛 = log 2 log 1,017 ⇒ 𝑛 = 0,301030 0,007321 = 𝟒𝟏, 𝟏𝟐

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Exemplo 5

Um cliente aplicou o capital inicial de R$ 4.500,00 numa caderneta de poupança, obtendo juros de 0,5%, 0,7% e 0,6%, sucessivamente, durante 3 meses. Calcule o capital final.

VP = ? 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 1 + 𝑖₁ 1 + 𝑖₂ 1 + 𝑖₃

VP = R$ 4,500,00 𝑉𝐹 = 4.500 1,005 1,007 1,006

n = 3 meses 𝑉𝐹 = 4.500.1,01810721 i = 0,5%, 0,7% e 0,6% VF = 4.581,48

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Desconto Composto

Desconto composto é aquele obtido em função de cálculos exponenciais. São conhecidos dois tipos de descontos: o desconto composto “por fora” e o desconto composto “por dentro”, ou racional. O desconto composto “por fora”, não possui, pelo menos no Brasil, nenhuma utilização prática conhecida (Vamos desconsiderar). Quanto ao desconto “por dentro” ou racional, ele nada mais é do que a diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor atual, determinado com base no regime de capitalização composta; portanto de aplicação generalizada.

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Desconto Composto

Desconto “por dentro” ou racional, é dado pela diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor atual, calculado com base no regime de capitalização composta, como segue:

𝐷 = 𝑉𝐹 − 𝑉𝑃 ⇒ 𝐷 = 𝑉𝐹 − 𝑉𝐹 1 + 𝑖 𝑛 𝐷 = 𝑉𝐹 1 − 1

1 + 𝑖 𝑛 ⇒ 𝐷 = 𝑉𝐹. [1 − 1 + 𝑖

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Exemplo 1

Qual é o valor do título que, descontado 3 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de 10% a.m., determinou um valor de resgate de R$ 12.400,00?

VF = ? 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑛

i = 10% /100 = 0,10 𝑉𝐹 = 12.400 1,10 3

VP = 12.400,00 𝑉𝐹 = 12.400.1,331 1 + 𝑖 𝑛 N = 3 meses VF = 16.504,40

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Exemplo 2

Qual o valor atual de um título de R$ 100.000,00, resgatado racionalmente à taxa composta de 4%a.m., 3 meses antes de seu vencimento? VP = ? 𝑉𝑃 = 𝑉𝐹 1+𝑖 𝑛 VF = 100.000,00 i = 4% /100 = 0,04 𝑉𝑃 = 100.000 1,04 3 n = 3 meses VP = 88.899,64

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Exemplo 3

Encontrar o desconto racional composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% a.m. D = ? 𝐷 = 𝑉𝐹 1 − 1 1+𝑖 𝑛 ⇒ 𝐷 = 𝑉𝐹. [1 − 1 + 𝑖 −𝑛_] VF = 50.000 𝐷 = 50.000 1 − 1 1,03 2 n = 2 meses 𝐷 = 50.000 1 − 0,942596 i = 3% = 0,03 𝑫 = 𝟐. 𝟖𝟕𝟎, 𝟐𝟎

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Fator de Capitalização

O fator (1+i)n_{é chamado fator de capitalização ou fator de valor}

futuro para aplicação única. É o número pelo qual devemos

multiplicar o valor da aplicação inicial para obtermos seu valor futuro ou de resgate. Este fator pode se encontrado nas tabelas financeiras nos livros de matemática financeira para auxiliar na resolução dos exercícios.