UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO - INSTITUTO DE FÍSICA
P1 de Física I - EQN - 2015-2
Prof. Gabriel Bié Alves
Versão: A
Nas questões em que for necessário, considere que: todos os fios e molas são ideais; os fios permanecem esticados durante todo o tempo; a gravidade tem módulo g conhecido.
Questões Discursivas:
1. [2,0 pontos] No intuito de determinar os coeficientes de atrito estático (µe) e cinético (µc) entre as superfícies de um bloco
de massa m e um plano de comprimento D, foi realizada uma experiência esquematizada pela figura abaixo. No ponto B há um dobradiça que liga a superfície a um outro plano horizontal sem atrito, em cujo extremo há um mola de constante elástica k relaxada no ponto C com um marcador acoplado capaz de medir o deslocamento x sofrido pela mesma. O bloco é posicionado no início do experimento em A, no qual aplica-se gradativamente uma elevação, verificando-se que o objeto começa a deslizar a partir de uma altura h1. Elevando-se o plano a uma outra altura h2> h1o bloco então desliza sobre o plano desde A até a mola, que registra um
deslocamento máximo de x1. A partir dos dados fornecidos determine:
C B A A x D h θ θ E
a) Qual deve ser o coeficiente de atrito estático (µe). Justifique.
b) Qual deve ser o coeficiente de atrito cinético (µc). Justifique.
Gabarito:
a) • Até uma determinada elevação, o corpo não entra em movimento, pois a força de atrito estático é suficiente para equilibrar a componente da força peso na direção do plano inclinado.
• Como dito no enunciado, na altura h1, o corpo encontra-se na iminência de deslizar, portanto, para essa elevação, o atrito
estático assume seu valor máximo capaz de equilibrar a componente da força peso. Temos então que:
f = (fe)max= µeN = mg sin θ (1)
N = mg cos θ (2)
• De (1) e (2) teremos que: tan θ = µe, onde θ é o ângulo do plano inclinado com a horizontal. Podemos eliminá-lo usando
as relações trigonométricas no triângulo retângulo assim formado, conhecendo-se a hipotenusa D e o cateto oposto h1, de
maneira que µe= h1 pD2− h2 1 . (3)
b) • Para uma elevação maior do que h1, o ângulo θ aumenta, bem como a componente paralela da força peso e o atrito assume
sua forma cinética.
• Podemos então usar o teorema do trabalho da força resultante: Wres= ∆T = Tf− Ti. Assim sendo, ficaremos com
Wres= Wf A→B+ WP A→B+ WF el C→E= =0 z}|{ Tf − =0 z}|{ Ti = 0 ⇒ (4) mgh2− µc =N z }| { (mg cos θ) D − kx 2 1 2 = 0 ⇒ (5) µc= 1 pD2− h2 2 h2− kx2 1 2mg (6)
onde foi usado que cos θ =pD
2− h2 2
D .
2. [3,2 pontos] Um corpo de massa m encontra-se suspenso por dois fios, como representado na figura ao lado. O fio 1, de comprimento l, forma um ângulo α = 60◦com a vertical (eixo y), enquanto o fio 2 está
alinhado com a horizontal (eixo x). Em determinado instante, corta-se o fio 2, liberando o corpo. No decor-rer do movimento, o fio 1 passa por um prego que foi fixado na mesma vertical do ponto O a uma distância h = 4l/5 do mesmo, começando a enroscar-se sobre ele. A partir dos dados fornecidos determine:
O
B
θ y x α h θ 30°a) Os módulos das trações nos fios 1 e 2, antes de o fio 2 ser cortado. Justifique.
b) O módulo da tração no fio 1 quando o corpo encontra-se no ponto mais baixo de sua trajetória, imediatamente antes do fio enroscar sobre o prego. Justifique.
c) O vetor tração em termos dos unitários ˆi e ˆj em função do ângulo θ indicado na figura logo após começar a enroscar-se sobre o prego. Com base nisso, o corpo conseguirá dar uma volta completa sobre o prego? Justifique.
Gabarito:
a) • Pelo diagrama de forças do corpo suspenso, temos que:
Eixo y: T1sin(30) = mg ⇒ T1= 2mg
Eixo x: T1cos(30) = T2 ⇒ T2=
√ 3mg
b) • No ponto B, o corpo está descrevendo um movimento circular de raio r = l (imediatamente antes de enroscar no prego). Temos então que a força resultante centrípeta será dada por:
TB− mg = Fcp=
mv2 B
l . (7)
• Além disso, como o sistema não conta com nenhuma força dissipativa, podemos conservar a energia mecânica do corpo ao longo do seu movimento. Definindo a referência para a energia potencial gravitacional no nível do ponto B, temos que:
(Emec)A= (Emec)B ⇒ mgl/2 = mv2B/2. (8)
• As equações de resultante centrípeta e conservação da energia mecânica serão escritas agora por Fcp= Tθ− mg cos θ = 5mv2 θ l (9) mgl/2 = mgl(1 − cos θ)/5 + mvθ2/2 . (10) • Resolvendo-se o sistema de equações acima para a tração, encontra-se que
Tθ= 3mg(1 + cos θ) , (11)
portanto o vetor tração será dado por:
~
Tθ= Tθ(− sin θ ˆi + cos θ ˆj) (12)
• Para que o corpo consiga completar a volta sobre o prego, a condição mínima necessária para tal é que a tração no ponto mais alto seja nula (analogamente ao caso de um looping vertical). O ponto mais alto é caracterizado por θ = π, e vemos então que, da Eq.(11), T (π) = 0, ou seja, o corpo será capaz de completar a volta sobre o prego.
Múltipla escolha [0,6 cada]:
1. Em um dia de chuva uma pessoa consegue proteger-se mantendo o guarda-chuva na posição vertical. Para chegar em casa mais rápido, essa pessoa decide correr, imprimindo uma velocidade de 4 m/s com relação ao solo horizontal. Verifica-se que para se proteger, ela teve que inclinar seu guarda-chuva a um ângulo de 60◦com relação à horizontal. Pode-se dizer que a velocidade da chuva com relação ao solo é de:
(a) 4√3/3 m/s (b) 4√3 m/s (c) 8 m/s (d) 2√3 m/s
2. Um objeto de 4 kg se desprende de um avião que voa horizontalmente a uma altura de 1 km com uma velocidade de 100 m/s. Esse objeto chega ao solo com uma velocidade de 130 m/s. O trabalho realizado pela força de atrito do ar durante a queda será dado por (considere g = 10 m/s2):
(a) 13800 J (b) -13800 J (c) -26200 J (d) 26200 J
3. Uma pequena esfera está suspensa por um fio ideal de comprimento l que está preso ao teto de um vagão. O trem faz uma curva plana horizontal de raio r, com velocidade v constante. Qual das opções representa o ângulo θ que o fio forma com a direção vertical:
(a) arctan v2/rg
(b) arcsin v2/lg (c) arccos v2/rg (d) arctan v2/lg
4. A posição x de um corpo, que se move ao longo de um eixo OX, em função do tempo t, é mostrada no grá-fico. Nos trechos II e IV o gráfico é uma reta. Marque a alternativa verdadeira:
(a) A aceleração do corpo é nula apenas no trecho IV. (b) As acelerações nos trechos I e III têm o mesmo sinal. (c) O movimento do corpo descrito em II tem velocidade
positiva e aceleração positiva.
(d) O movimento do corpo descrito em III tem velocidade
positiva e aceleração negativa. I II III IV
t x
5. Sabe-se que o movimento de um corpo é descrito pelo vetor posição ~r(t) = (t3− 2t2− 1)ˆi + (3t2− 10)ˆj + 5ˆk [m], com t em
segundos. Sobre o vetor aceleração no instante t = 1 s, pode-se afirmar que:
(a) ~a(t = 1) = −2ˆi − 7ˆj + 5ˆk [m/s2], sendo o movimento instantaneamente acelerado.
6. Uma partícula realiza um movimento unidimensional no eixo OX sujeita a uma força ~F = F (x)ˆi, cuja energia potencial é dada pelo gráfico abaixo. A energia mecânica da partícula é dada pelo valor E no gráfico. Marque a alternativa FALSA:
(a) Pode haver movimento oscilatório entre os pontos C e D.
(b) No ponto A, há um equilíbrio estável. (c) A força é negativa no ponto A.
(d) O trabalho realizado pela força de A até B é negativo.
E
A B
C D x
U(x)
7. Tem-se um sistema mecânico constituído por dois blocos de massas M e m, com M > m, interligados por um fio e puxados por outro fio no qual se aplica um força horizontal de módulo F . Analise as proposições a seguir:
m M F
fio 2 fio 1
I. Para uma dada aceleração a 6= 0 do sistema, F terá o mesmo valor se trocarmos os blocos de posição.
II. Para uma dada aceleração a 6= 0 do sistema, a tração no fio 2 terá o mesmo valor se trocarmos os blocos de posição, já que é uma força interna ao sistema.
III. Supondo que o coeficiente de atrito estático entre os blocos e a superfície é igual, a força F mínima para que o sistema se movimente será a mesma se posicionarmos o bloco m sobre M .
As proposições corretas são dadas por: (a) I e III.
(b) II e III. (c) I e II. (d) I, II e III.
8. Considere uma situação mais realista de um lançamento vertical de um corpo de massa m, na qual, em primeira aproximação, o atrito com o ar induz um força de módulo constante. Sendo v0o módulo da velocidade inicial, v o módulo da velocidade final
ao retornar ao mesmo ponto de lançamento, ts o tempo de subida e td o tempo de descida, escolha a alternativa que compara
corretamente esses valores: (a) ts< tde v > v0.
(b) ts< tde v < v0.
(c) ts> tde v = v0.
