P ( x ) − P ( x )=(2 n +1) P ( x ) { P ( x ) } n x xy ( x )+(1 − x ) y ( x )+ ny ( x )=0 σ r + rx∂V∂x +12 σ x = rV ∂ V∂x ∂V∂t V ( x,t ) x t ExercícioEscolardeSegundaChamada

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FI596 - Métodos Matemáticos para a Física 2 - 2015.1 1

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

CURSO DE BACHARELADO EMFÍSICA DAUFPE

Exercício Escolar de Segunda Chamada

18 de dezembro de 2015, 14h30. Tempo de duração: 2h30m

Questão 1: Método de Separação de Variáveis

(2,0 pontos) Considere a EDP de Black-Scholes, que descreve o comportamento do valor de uma opçãono mercado de ações V(x, t), cujo preço do ativo subjacente é x no instantet, dada por

∂ V

∂ t +rx∂ V

∂ x + 1

2σ²x²∂²V

∂x² =rV

onde σ er denotam a volatilidadedo mercado e a taxa de juros, respectivamente. Verifique se esta equação pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis obtendo as EDO’s correspondentes. Justifique os procedimentos adotados.

Questão 2: Método de Frobenius

Considere a equação diferencial ordinária de segunda ordem

x y^′′(x) + (1−x)y^′(x) +n y(x) = 0

(a) [0,5 pontos] Classifique os pontos singulares da equação e obtenha a equação indicial analisando as possibilidades de solução à luz do Teorema de Fuchs.

(b) [1,5 pontos] Encontre a primeira solução em séries de potências (até ordem em x³) e verifique em que condições as soluções se tornam polinômios de ordemn.

Questão 3: Polinômios de Legendre (2,0 pontos)

Considerando a expressão de recorrência para os{Pn(x)}dada por P_n+1^′ (x)−P_n^′−1(x) = (2n+ 1)P_n(x)

Prof. Sérgio Coutinho Departamento de Física – UFPE

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FI596 - Métodos Matemáticos para a Física 2 - 2015.1 2 encontre uma expressão para a integral

Z 1

0

Pm(x)dx

em termos de valores de {Pn(0)}. Lembre quePm(1) = 1.

Questão 4: Polinômios de Hermite

(2,0 pontos) Demonstre a relação de recorrência para os Polinômios de Hermite Hn^′(x) = 2nHⁿ⁻¹(x)

Questão 5:

(1,0 pontos - bônus) Mostre que

1F₁(α;γ;x) =e^x₁F₁(γ−α;γ;−x)

Questão 6:

(2,0 pontos) Encontre a função de Green G(x, t) para o operador diferencial L com as respectivas condições de contorno:

Ly(x) =y^′′(x) +y(x), y^′(0) = 1, e y(1) = 0

isto é, obtenha a solução da equaçãoLG(x, t) =δ(x−t)com0< t <1e0≤x≤1, sujeita às mesmas condições de contorno.

Informações Gerais:

Equação de Cauchy-Euler

a_nxⁿy⁽ⁿ⁾(x) +a_n−1xⁿ⁻¹y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) +· · ·+a₀y(x) = 0.

y =x^m Solução tentativa

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FI596 - Métodos Matemáticos para a Física 2 - 2015.1 3 Polinômios de Legendre

(1−2xt+t²)⁻^1/2 =

∞

X

n=0

P^ℓ(x)t^ℓ (Geratriz)

Pℓ(x) = 1 2^ℓℓ!

d^ℓ dx^ℓ

(x² −1)^ℓ

. (Rodriguez)

Z 1

−1P^m(x)Pⁿ(x)dx= 2

2n+ 1δmn (ortogonalidade)

(ℓ+ 1)P^ℓ+1(x) = (2ℓ+ 1)xP^ℓ(x)−ℓP^ℓ⁻¹(x) (Recorrência)

Polinômios de Hermite

GH = exp [2tx−t²] =

∞

X

n=0

Hⁿ(x)

n! tⁿ (Geratriz)

Hⁿ(x) = (−1)ⁿe^x² dⁿ

dxⁿe⁻^x² (Rodriguez) Z ^∞

∞

e⁻^x²Hⁿ(x)H^m(x)dx= 2ⁿn!√

πδnm (ortogonalidade)

2nHn−1(x) =H^′n(x) (Recorrência)

2xHn(x) = 2nHn−1(x) +Hn+1(x) (Recorrência)

Polinômios de Laguerre Associados

GLag^m = 1

(1−t)^m+1 exp

− x t (1−t)

=

∞

X

n=0

L^mn(x)tⁿ (Geratriz)

L^mn(x) = e^xx⁻^m n!

dⁿ

dxⁿ(e⁻^xx^n+m) (Rodriguez)

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FI596 - Métodos Matemáticos para a Física 2 - 2015.1 4

Z ^∞

0

e⁻^xx^mL^mn(x)L^mn^′(x)dx= (n+m)!

n! δ_nn^′ (ortogonalidade)

Fórmula de Leibnitz

dⁿ

dxⁿ[f(x)g(x)] =

n

X

j=1

n j

d^j

dx^jf(x) dⁿ⁻^j dxⁿ⁻^jg(x)

Funções Hipergeométricas generalizadas

mF_n(α₁, α₂. . . α_m;β₁, β₂, . . . β_n;x) =

∞

X

j=0

(α1)j(α2)j. . .(αm)j

(β1)j(β2)j, . . .(βn)j

x^j j!

onde(x)j é o símbolo de Pochhammer definido por

(x)j = (x+j −1)!

(x−1)! = Γ(x+j)

Γ(x) , Γ(x) = Função Gama

Função Gamma

Γ(t) = Z ^∞

0

x^t⁻¹e⁻^xdx. Γ(t+ 1) =tΓ(t), t∈R

Γ(n+ 1) =n! n inteiro, positivo