p p p 0 1 2 f baaabbbap

(1)

Linguagens Formais e Autômatos - P. Blauth Menezes 74

δ₆_D a b

p₀ = 〈q₀〉〈q₀q₁〉〈q₀〉 p₁ = 〈q₀q₁〉〈q₀q₁q₂〉〈q₀〉 p₂ = 〈q₀q₁q₂〉〈q₀q₁q₂q_f〉〈q₀〉 p_f = 〈q₀q₁q₂q_f〉〈q₀q₁q₂q_f〉〈q₀〉

b

a a a

b b b

a

p₀ p₁ p₂ p_f

(2)

3 – Linguagens Regulares

3.1 Sistema de Estados Finitos

3.2 Composição Seqüencial, Concorrente e Não-Determinista

3.3 Autômato Finito

3.4 Autômato Finito Não-Determinístico

3.5 Autômato Finito com Movimentos Vazios 3.6 Expressão Regular

3.7 Gramática Regular

(3)

3.5 Autômato Finito com Movimentos Vazios

◆ Movimentos vazios

• generalizam os movimentos não-determinísticos

◆ Movimento vazio

• transição sem leitura de símbolo algum da fita

• interpretado como um não-determinismo interno ao autômato

∗ transição encapsulada

∗ excetuando-se por uma eventual mudança de estados

∗ nada mais pode ser observado

(4)

◆ Algumas vantagens

• facilita algumas construções e demonstrações

◆ Poder computacional p/ autômatos finitos

• não aumenta o poder de reconhecimento de linguagens

• qualquer aAFNε pode ser simulado por um AFD

(5)

Def: Autômato Finito com Movimentos Vazios - AFNε

M = (Σ, Q, δ, q₀, F)

• Σ - alfabeto (de símbolos) de entrada

• Q - conjunto de estados possíveis

• δ - (função) programa ou função de transição (função parcial) δ: Q × (Σ∪ { ε }) →2^Q

∗ movimento vazio ou transição vazia

δ(p, ε) = { q₁, q₂, …, q_n }

• q₀ - elemento distinguido de Q: estado inicial

• F - subconjunto de Q: conjunto de estados finais

(6)

◆ Autômato como diagrama

δ(q, ε) = { p₀ } δ(q, a₁) = { p₁ } … δ(q, a_n) = { p_n}

p

₀

p

₁

p

_n

q

a

₁

a

_n

ε

(7)

◆ Computação de um AFNε

• análoga à de um AFN

◆ Processamento de uma transição vazia

• não-determinístico

• assume simultaneamente os estados destino e origem

• origem de um movimento vazio: caminho alternativo

(8)

Exp: AFNε: a’s antecedem b’s

M₇ = ({ a, b }, { q₀, q_f }, δ₇, q₀, { q_f})

δ₇ a b ε

q₀ { q₀ } - { q_f } q_f - { q_f }

q₀ ^ε q_f

a b

(9)

◆ Antes de definir computação

• computação de transições vazias a partir de

∗ um estado

∗ um conjunto finito de estados

(10)

Def: Computação Vazia

M = (Σ, Q, δ, q₀, F)

Computação Vazia ou Função Fecho Vazio (um estado) δε: Q → 2^Q

• indutivamente definida

∗ δε(q) = { q }, se δ(q, ε) é indefinida

∗ δε(q) = { q } ∪ δ(q, ε) ∪ (

∪

p∈δ(q,ε) δε(p)), caso contrário Computação Vazia ou Função Fecho Vazio (conjunto de estados)

δε*: 2^Q → 2^Q

• tal que

(11)

◆ Por simplicidade, δε e δε*

• ambas denotadas por δε

Exp: Computação Vazia

q₀ ^ε q_f

a b

• δε(q₀) = { q₀, q_f }

• δε(q_f) = { q_f }

• δε({ q₀, q_f }) = { q₀, q_f }

(12)

◆ Computação de um AFNε para uma entrada w

• sucessiva aplicação da função programa

• para cada símbolo de w (da esquerda para a direita)

• cada passo de aplicação intercalado com computações vazias

• até ocorrer uma condição de parada

◆ Assim, antes de processar a próxima transição

• determinar

∗ todos os demais estados atingíveis

∗ exclusivamente por movimentos vazios

(13)

Def: Função Programa Estendida, Computação

M = (Σ, Q, δ, q₀, F) AFNε

δ*: 2^Q × Σ* → 2^Q indutivamente definida

• δ*(P, ε) = δε(P)

• δ*(P, wa) = δε(R) onde R = { r  r ∈δ(s, a) e s ∈ δ*(P, w) }

◆ Parada do processamento, Ling. Aceita/Rejeitada

• análoga à do autômato finito não-determinístico

(14)

Exp: Computação Vazia, Computação

L₈ = { w  w possui como sufixo a ou bb ou ccc }

M₈ = ({ a, b, c }, { q₀, q₁, q₂, q₃, q₄, q₅, q₆, q_f }, δ₈, q₀, { q_f })

q₂ q₃

a

a,b,c

q₁

q₄ q₅

q_f

b b

c c

ε ε ε

c q₀

q₆

(15)

q₂ q₃

a

a,b,c

q₁

q₄ q₅

q_f

b b

c c

ε ε ε

c q₀

q₆

δ*({ q₀ }, abb) = δε({ r  r ∈ δ(s, b) e s ∈δ*({ q₀ }, ab) }) (1) δ*({ q₀ }, ab)= δε({ r  r ∈ δ(s, b) e s ∈ δ*({ q₀ }, a) }) (2) δ*({ q₀ },a) = δε({ r  r ∈ δ(s, a) e s ∈ δ*({ q₀ }, ε)}) (3) Como:

δ*({ q₀ }, ε) } = δε({ q₀ }) = { q₀, q₁, q₂, q₄ } considerado em (3) δ*({ q₀ }, a) = { q₀, q₁, q₂, q₄, q_f } considerado em (2) δ*({ q₀ }, ab) = { q₀, q₁, q₂, q₃, q₄ } considerado em (1) Resulta na computação: δ*({ q₀ }, abb) = { q₀, q₁, q₂, q₃, q₄, q_f }

(16)

Teorema: Equivalência entre AFN e AFNε

Classe dos Autômatos Finitos com Movimentos Vazios é equivalente à Classe dos Autômatos Finitos Não-Determinísticos

Prova: (por indução)

Mostrar que

• a partir de um AFNε M qualquer

• construir um AFN M_N que realiza as mesmas computações

• M_N simula M AFNε → AFN

• construção de uma função programa sem movimentos vazios

• conjunto de estados destino de cada transição não-vazia

∗ ampliado com os demais estados possíveis de serem atingidos

(17)

M = (Σ, Q, δ, q₀, F) um AFNε qualquer. AFN construído M_N = (Σ, Q, δ_N, q₀, F_N)

• δ_N: Q × Σ →2^Q é tal que

δ_N(q, a) = δ*({ q }, a)

• F_N é o conjunto de todos os estados q pertencentes a Q δε(q) ∩ F ≠ ∅

∗ estados que atingem estados finais via computações vazias Demonstração que, de fato, o AFN M_N simula o AFNε M

• indução no tamanho da palavra

• exercício

(18)

◆ Portanto, linguagem aceita por AFNε

• é Linguagem Regular ou Tipo 3

(19)

Exp: Construção de um AFN a partir de um AFNε

AFNε - M₉ = ({ a, b }, { q₀, q₁, q₂ }, δ₉, q₀, { q₂ })

δ₉ a b ε

q₀ { q₀ } - { q₁ } q₁ - { q₁ } { q₂ } q₂ { q₂ } - -

q₀ ε q₁

a b

q₂ ε

a

(20)

q₀ ε q₁

a b

q₂ ε

a

M₉_N = ({ a, b }, { q₀, q₁, q₂ }, δ₉_N q₀, F_N)

q₀ q₁

a b

q₂

a

a,b a,b

a,b

(21)

q₀ ε q₁

a b

q₂ ε

a

F_N = { q₀, q₁, q₂ }

• δε(q₀) = { q₀, q₁, q₂ }

• δε(q₁) = { q₁, q₂ }

• δε(q₂) = { q₂ }

(22)

q₀ ε q₁

a b

q₂ ε

a

Na construção de δ₉_N

• δ₉*({ q₀ }, ε) = { q₀, q₁, q₂ }

• δ₉*({ q₁ }, ε) = { q₁, q₂ }

• δ₉*({ q₂ }, ε) = { q₂ }

(23)

q₀ ε q₁

a b

q₂ ε

a

Assim, δ₉_N é tal que

δ₉_N(q₀, a) = δ₉*({ q₀ }, a)=

δε({ r  r ∈ δ(s, a) e s ∈δ*({ q₀ },ε) }) = { q₀, q₁, q₂ } δ₉_N(q₀, b) = δ₉*({ q₀ }, b) =

δε({ r  r ∈ δ(s, b) e s ∈ δ*({ q₀ }, ε) }) = { q₁, q₂ } δ₉_N(q₁, a) = δ₉*({ q₁ }, a)=

δε({ r  r ∈ δ(s, a) e s ∈δ*({ q₁ },ε) }) = { q₂ }

(24)

q₀ ε q₁

a b

q₂ ε

a

• δ₉_N(q₁, b) = δ₉*({ q₁ }, b) = δε({ r  r ∈ δ(s, b) e s ∈δ*({ q₁ }, ε) }) = { q₁, q₂ }

• δ₉_N(q₂, a) = δ₉*({ q₂ }, a) = δε({ r  r ∈ δ(s, a) e s ∈δ*({ q₂ }, ε) }) = { q₂ }

• δ₉_N(q₂, b) = δ₉*({ q₂ }, b) = δε({ r  r ∈ δ(s, b) e s ∈δ*({ q₂ }, ε) }) é indefinida